Matriisieksponenttifunktio

Transkriptio

1 Ma Mariisiksponnifunkio KP3-II, syksy 2008 Pkka Alsalo/(Hikki Apiola) Pkan ysävällissi käyööni anamaan L A TEX-idosoon oln hny joiakin piniä yylimuuoksia, lisäyksiä ja huudahduksia HA Viiiä [TE] Timo Eirola: Linaarialgbra, lunomonis [EN] EirolaNvanlinna: Diyhälösysmi, lunomonis [BDiP] BoycDiPrima: Elmnary Dirnial Equaions..., Wily 1997 [19D] Clv Molr Charls van Loan: Ninn dubious ways o compu h xponnial of a marix, Siam Rviw Vol 4 nr. 1, 2003 (alkupräinn vrsio vuonna 1978) hp:// Mariisiksponnifunkio Suraavassa A on raalinn n n-mariisi, jonka alkio ova vakioia. Tarkoiuksnamm on rakaisa alkuarvohävä y Ay, y(0) y 0. Tidämm jo, ä jos A on diagonalisoiuva, niin rakaisu on y() C 1 λ1 x 1 + C 2 λ2 x C n λn x n, missä {x 1,... x n } on R n :n (C n :n) ominaisvkorikana ja λ 1,..., λ n vasaava ominaisarvo. Kirjoiaan rakaisu muooon: y() X D C, missä D diag(λ 1,..., λ n ) ja C [C 1,... C n ] T. Oimm käyöön mrkinnän D diag( λ1,..., λn ). Ts. määrilimm diagonaalimariisin D ksponnifunkion asamalla: D diag( d 1,..., d n ). Koska D0 I yksikkömariisi, niin y(0) XC, jon alkuarvohävän rakaisukaava voidaan kirjoiaa muooon: y() X D X 1 y(0). Tässä i ol vilä miään muua uua kuin suggsiivinn mrkinä. Sama vanha onglma vaanii miä yhä: Enä silloin, kun ominaisvkoria i ol arpksi, s. mariisi X i ol käänyvä? Tavallisn dirniaaliyhälön y ay, y(0) y 0, rakaisu saadaan ksponnifunkion avulla muodossa y() y 0 a. Enä jos kylmävrissi kirjoiaisimm sysmin apauksssa rakaisun muooon y() A y 0. (Mariisi kraa pysyvkori on kirjoiava ässä järjsyksssä.) Diagonalisoiuvan mariisin apauksssahan voisimm määrillä A X D X 1, jolloin ämä kaava odn oa olisi voimassa. Tarviaan vain yksi rakaisva hyppy unmaomaan... köynä prusmariisi Näin määrily A on yhälösysmin prusmariisi josa oli aimmin ohimnnn puh, ja joa mrkiiin Y () :llä. Ny lähdään hakmaan prusmariisia uskallisn ioisina siiä, ä siä i aina voida raknaa ominaisvkorisa. No, jospa millä ny olisi sllainn maaginn mariisi Y (), ä y() Y ()y 0 Sijoiaan ällainn yri yhälöön y Ay, jolloin saadaan Y ()y 0 AY ()y 0. Tämä ouuu, jos mariisill Y () pä Y () AY (). Alkuhdosa y(0) y 0 suraa lisäksi, ä Y (0) I yksikkömariisi. Yhälön Y () AY () ouavaan mariisiin Y () voidaan pääyä monlla ri avalla. Eräs mahdollisuus on siä mariisia Y () ponssisarjan avulla: kirjoiaan (formaalisi, kiinniämää huomioa suppnmiskysymyksiin ) Y () X 0 + X X X , missä n n-mariisi X 0, X 1,... ivä riipu ajasa. Koska Y (0) I, äyyy olla X 0 I. Lisäksi jon sijoiamalla yhälöön Y () AY () saadaan Y () X 1 + 2X X , Y () X 1 + 2X X 3 + A(I + X X X ) A + AX AX

2 Vraamalla lauskkidn n (mariisi)kroimia, nähdään ä X 1 A, 2X 2 AX 1, 3X 3 AX 2 jn. Rakaismalla saadaan siis X 1 A, X A2, X 3 1 3! A3 jn. Mariisin X() äyyy siis olla muooa Y () I + A (A) ! (A) Hurka! Tämähän on ksponnifunkion sarjakhilmä, jos A on luku. Nyhän millä i nää ol vaihohoja, vaan määrilmä suorasaan huuaa saada ulla asuksi. Koska A( A) on n n-mariisi siinä missä A, on yksinkraisina jäää ylisissä arkasluissa pois ai ajalla, ä käyämm välillä mrkinää B A. Määrilmä 1. Olkoon B n n-mariisi. Mariisiksponnifunkio B määrillään sarjakhilmällä B I + B B ! B Ensimmäinn onglma on s, miä ämä sarjakhilmä arkoiaa. Jos khilmä kakaisaan (k + 1). rmin jälkn saadaan lausk S(k) I + B B ! B k! Bk, joka on määrily kaikill nliömariisill B. Sarjakhilmän suppnminn arkoiaa yksinkraissi siä, ä jokainn ylläolvan mariisin alkio S(k) i,j lähsyy lukua s i,j, kun k. Voidaan osoiaa, ä näin odlla käy kaikill nliömariisill, ja sin B on hyvin määrily n n-mariisi. Thävä: Osoia, ä mariisiksponnifunkion sarjan suppn kaikilla nliömariisilla B. Tarvis kaha asiaa: 1) x 1 + x + x2 2! xn n! +... suppn kaikilla x R. (Pruskurssi 1 ai 2) 2) Yläraja-arvioa mariisin B k alkioill,joa pääs käyämään dllä olvaa sarjaa vrailusarjana kullkin alkiosarjall. Voi rajoiua mariisiin, jonka alkio ova samoja, koska sillkin asian ul pää, ja oisaala milivalaisn mariisin apauksssa saadaan yläraja-arvio korvaamalla kaikki mariisin alkio isisrvolaan suurimmalla. Käsil nsin mariisia E, jonka kaikki alkio ova ykkösiä, ylinn apaus palauuu ähän hlposi. Kooaan yhn A :n ominaisuuksia. Laus 1 1. O I, jos O on nollamariisi 2. I I, sillä I n I kaikilla n 3. jos D on lävisäjämariisi diag([λ 1,..., λ n ]), niin D diag([ λ 1,..., λ n ]). Syy: D k diag([λ k 1,..., λ k n ]) 4. d d A A A A A (johdiin alussa!) 5. Alkuarvohävän y Ay, y(0) y 0, yksikäsiinn rakaisu on y() A y 0 6. Dirniaaliyhälöryhmän y Ay ylinn rakaisu on muooa y() A c, missä c [c 1,..., c n ] T on vapaisa paramrisa c 1,..., c n muodosu vkori 7. A+B A B, jos AB BA, mua i ylnsä muulloin 8. A on aina käänyvä ja ( A ) 1 A. Tod: Kohda 1,2,3 ova varsin slviä. Kohdan 4. od. myös suoraan drivoimalla: [EN] Laus 2.2 s ja 6 suraava suoraan drvoimiskaavasa 4. Huom! Rakaisun yksikäsiisyys voidaan odisaa samanin, arvismaa nojauua ylisn rakaisujn olmassaolo- ja yksikäsiisyyslaussn. (Ks. [EN] Laus 2.2) Koha 7 voidaan odisaa aivan kun sarjojn krominn raaliluvuilla ([TE] Laus 4.20). Vaihohoinn odisus kohaan 7: Funkio y() (A+B) y 0 on alkuarvohävän (lyh. AA-hävän) y (A+B)y, y(0) y -käs. rakaisu. Toisaala z() A B y 0 on saman AA-hävän rakaisu, sillä z () A A B y 0 + A B B y 0. 2

3 Koska AB BA, niin A B B A, kun nähdään kromalla A :n sarjakhilmä vasmmala ja oikala B:llä. (Kysymys palauuu siihn, ä AB BA A k B BA k.) Niinpä z () (A + B) A B y 0 (A + B)z(). Lisäksi z(0) A0 B0 y 0 y 0. Yksikäsiisyyslausn pruslla (A+B) y 0 A B y 0 y 0 R n. Valismalla y 0 k, k 1... n, missä k on R n :n k : s yksikkövkori, nähdään kummankin mariisin k:s sarak samaksi kaikilla k:n arvoilla, li mariisi (A+B) ja A B ova samoja. 7 Koha 8: A ja A kommuoiva, jon I E O (A A) A A. Huom! Tarkkaavainn lukija huomaa khäpäälyn ainksia, jos sauu lukmaan myös [EN]-prujusa yksikäsiisyysodisuksn. Siinä arviaan kohdan 8 ulosa, joka odisaan kohdan 7 avulla. No, [EN]/[TE]-prujuissa i ol khäpäälyä, koska sillä odisaan ominaisuus 7 ri avalla. Yllä olva puhdisuu voamalla ylisn (linaarisn sysmin) olmassaolo- ja yksikäs. laussn. Min A laskaan? Diagonalisoiuva mariisi: Tää apausa voidaan piää nmmänkin vanhan asian käärimisnä hiukan värikkäämpään karamllipapriin. Toki rakaisukaava saadaan yhnäisn muooon. Jos A XDX 1, missä A:n ominaisarvo ova mariisin D lävisäjällä ja ominaisvkori mariisin X sarakkina, niin nsinnäkin A k (XDX 1 )(XDX 1 )... (XDX 1 )(XDX 1 ) XD k X 1, sillä välissä olva rmi X 1 X supisuva pois! Tämän pruslla A I + A A 2 + X(I + D D )X 1 X D X 1. Kun yllä odiin, D diag([ λ1,..., λn ]) ja niinpä diagonalisoiuvan mariisin kaava A :ll on juuri sama, joa alkujohdalussa hdoiin. Eriyissi on huomaava, ä vaikka raalisn A:n ominaisarvo ja -vkori olisiva komplksisia, niin loppuulos on ällöinkin raalinn, koska kaikki sarjakhilmän ponssi A k ova raalisia mariisja. Raalinn rakaisukana saadaan sin suoraan myös komplksiapauksssa. 2 2-käänismariisi Koska simrkissä ul ällaisn laskminn [ mona] kraa vasaan, annaan valmis kaava: a b d b Jos A, niin A 1 1 d(a). (Päälävisäjän alkio vaihdaan, sivulävisäjän miinusaan, c d c a jaaan d(a):lla.) Esimrkki Olkoon A. Tällöin A XDX 0 2 1, missä D ja X ; ämä li räs aikaismpi simrkki diagonalisoinnisa. Ny X 1, jon A Esimrkki Olkoon A. Tällöin ominaisarvo ova 1 ± 3i ja niiä vasaava ominaisvkori x 3 1 (1) [1, i] T ja x (2) [1, i] T. Edlln on voimassa A XDX 1, jossa 1 + 3i D ja X. 3i i i 3

4 Ny X 1 1/2 i/2 ja siis 1/2 i/2 A 1 1 (1+3i) /2 i/2 i i 0 (1 3i) 1/2 i/2 [ 1 ] 2 (1+3i) + 1 i 2(1 3i) 2 (1+3i) + i 2 (1 3i) i 2 (1+3i) + i 2 (1 3i) 1 2 (1+3i) (1 3i) [ cos(3) ] sin(3) sin(3) cos(3) sivnnysn jälkn. Kun huomaamm, laskujn välivaih saaava näyää himan hankalila, mua una on joka apauksssa s, ä alkuarvohävin rakaisu saadaan hi raalimuodossa ja yhdnmukaislla avalla. (Tällaisissa symbolisissa mariisiopraaioissa symbolilasknaohjlma (Mapl, Mahmaica) on suurksi avuksi.) Esimrkki 4. Rakais dllisiin mariisihin liiyvä alkuarvohävä y Ay, y(0) [1, 2] T. Esimrkissä 2 rakaisu on li y 1 () 2 2 ja y 2 () 2 2. [ y() A y(0) ] , Esimrkissä 3 rakaisu on muooa y() cos(3) sin(3) 1 sin(3) cos(3) 2 li y 1 () cos(3) + 2 sin(3) ja y 2 () 2 cos(3) sin(3). Mariisi, joka ivä diagonalisoidu: cos(3) + 2 sin(3) 2 cos(3), sin(3) Ny pääsään varsinaissi uun asiaan. Toki olmm oppin yhdn apauksn hoiamaan, sn, jossa 2 2 mariisilla on kaksinkrainn ominaisarvo ja vain yksi ominaisvkori. Ny kasoaan, miä voidaan ylissi sanoa. Kys on siis siiä, minkälaisia apoja millä on A :n laskmisn. Toki voidaan käyää määrilmän sarjakhilmää, joissakin apauksissa s oimiikin, jos voidaan unnisaa alkiosarjoisa unnuja sarjakhilmiä. Numrissi laskassa sarjakhilmän käyö on ylnsä hyvin hoona. Esimrkki: Diagonalisoiumaon mariisi, A kahdlla avalla 1 1 A, jolla on kaksinkrainn ominaisarvo λ 1 λ 2 1. Kun yriämm laska ominaisvkoria, saamm [ x1 0 yhälöparin, josa saadaan ominaissuora: y 0 0 x 2 0] 1 aksli, jon kaksi LRT ominaisvkoria jää haavksi. 1 k Tässä apauksssa saadaan mariisin ponssill hlposi kaava: A k, jon A [ ! ] 0. Alkuarvohävän y Ay, y(0) [1, 2] T rakaisu on ässä apauksssa y() Toinn apa laska A yllä olvassa simrkissä on kirjoiaa A I + B, missä siis B ja käyää kaavaa 0 0 A I B, joka on voimassa yhälön IB BI pruslla. Jos laskaan mariisin B ponssja, havaiaan, ä 4

5 B 2 0, B on ns. nilponi mariisi, ässä apauksssa sarjakhilmä kakaa jo 1. asn rmin jälkn ja homma on harvinaisn hlppo. 1 B I + B, joka siis krroaan diag([, ]):llä. Tämähän arkoiaa kummankin rivin kromisa samalla :llä, jon sopusoinu vallis dllisn avan kanssa. Ylinn apaus voidaan slviää priaassa samalla avalla, mua diagonalisoinnin sijasa on käyävä ns. Jordanhajolmaa, joka muodosaan ns. ylisyjn ominaisvkoridn avulla. Yllä olva simrkki liiyykin yksinkraisimman Jordan-lohkon mariisiksponnifunkion laskmisn, ja vasaava pääly ylisyy suurmmill mariisill. Malabin avulla mariisiksponnifunkio A saadaan kmällä nsin :sää symbolinn muuuja käskyllä syms ja kirjoiamalla sin xpm(a*). Tämä dllyää Symbolic oolboxin läsnäoloa, jolloin symbolinn osuus hoiuu is asiassa Mapl-ohjlman avulla. Malabin xpm on hyvä numrinn ouus mariisiksponnifunkioll. Tässä yhydssä kannaaa mainia jo klassikon mainn alalla saavuanu julkaisu [19D] yllä. Epähomognisn yhälöryhmän rakaisminn. Suraavassa siään, kuinka myös pähomogninn dirniaaliyhälöryhmä y Ay +g() voidaan rakaisa mariisiksponnifunkion avulla. Tässä A on n n-vakiomariisi ja g() [g 1 (),..., g n ()] T on pysyvkori. Kirjoiaan yhälö aluksi muooon y Ay g() ja krroaan sn jälkn molmma puol vasmmala mariisilla A, jolloin saadaan yhälö A y A Ay A g(). Koska mariisill on voimassa ulon drivoimissäänö (XY ) X Y + XY (syy: (XY ) ij k x iky kj, misä väi suraa avallisn ulon drivoimissäännön avulla), niin yhälö ul muooon d d ( A y) A g(). Mariisja drivoidaan alkio krrallaan, jon niiä voidaan myös ingroida alkioiain. Näin olln saamm A y A g() d + c, missä ingroini kohdisuu riksn pysyvkorin A g() jokaisn komponniin ja c [c 1,..., c n ] T on ingroimisvakioisa koosuva pysyvkori. Mariisin A käänismariisi on A, jon rakaisuksi saadaan y() A A g() d + A c. Tässä rmi A c on vasaavan homogniyhälön ylinn rakaisu ja lausk A A g() d on puolsaan alkupräisn yhälön yksiäisrakaisu. Mariisiksponnifunkion avulla yksiäisrakaisull saadaan siis ksplisiiinn lausk. Ylnsä saaaa kuinkin olla hlpompi haka yksiäisrakaisua sopivan yrin avulla, sillä yo. kaava johaa usin osiaisingroinihin. Jos haluaan rakaisa yhälöryhmään y määräyä ingraalia välillä [0, ]. Koska Ay + g() liiyvä alkuarvohävä y(0) y 0, niin voidaan käyää niin alkuarvohävän rakaisuksi saadaan 0 d ds ( sa y(s)) ds A y() O y(0) A y() y 0, y() A y 0 + A sa g(s) ds. 0 Esimrkki 5. Rakaisaan ryhmä y Ay + g(), missä A on simrkin 2 mariisi ja g() [1, ] T. Aikaismmin laskiin jon Tällöin A A ( )A 2 0 2, A g() , 5

6 jon A g() d [ ] (2 1) d 2 d. Ryhmän yksiäisrakaisu on siis muooa y 0 () A A g() d , jonka avulla ylisksi rakaisuksi saadaan { y 1 () (c 1 c 2 ) + c y 2 () c 2 2. Vasaavalla avalla saadaan simrkiksi alkuarvohävän y(0) [1, 2] T rakaisuksi [ ] y() (2 s 1) ds s ds 3 2. Sabiilisuus. Mariisiksponnifunkion avulla voidaan ukia myös asapainorakaisujn sabiilisuua ja yyppiä. Diagonalisoiuvill mariisill A X D X 1, jon yyppi ja sabiilisuus slviävä suoraan lävisäjämariisin D käyäyymisä ukimalla. 6