6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA"

Transkriptio

1 127 6 GEOMETISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan eri paikassa ja mahdollisesti eri kokoisena kuin missä se todellisuudessa on. Kuvan muodostuminen voidaan ymmärtää mallintamalla valo säteillä ja soveltamalla yksinkertaisia geometrisen optiikan peruslakeja, geometriaa ja trigonometriaa. 6.1 HEIJASTUMINEN TASOPEILISTÄ Kun valo saapuu kahden aineen rajapintaan, osa siitä heijastuu takaisin tuloväliaineeseen. Jos rajapinta on karkea (kuva b), heijastuneet säteet lähtevät satunnaisiin suuntiin eikä tapahtumaa voida hallita tarkastelemalla yksittäisiä säteitä. Kysymys on ns. diffuusista heijastumisesta. Diffuusi pinta ei pysty tuottamaan varsinaista optista kuvaa, vaikkakin kaikki esineet ympäristössämme (vaatteet, ihmiset, kirjat, yms.) ovat näkyviä juuri sen ansiosta. Tässä kappaleessa tarkastelemme heijastumista ja optisen kuvan muodostumista hyvin sileästä pinnasta (kuva a). Yhdensuuntainen sädekimppu heijastuu yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Puhutaan peilimäisestä heijastuksesta (specular reflection). 128 Tasopeilissä esinepisteestä (object point) P lähtevät säteet heijastuvat peilistä. Jokaisen säteen heijastuskulma on sama kuin sen tulokulma peilipintaan. Heijastumisen jälkeen jokainen säde näyttää tulevan peilin takaa kuvapisteestä P (image point). Säteet itse eivät kulje kuvapisteen kautta, vaan kuvan paikka voidaan hahmotella säteiden jatkeiden avulla. Yleisesti kuvausteoriassa säteiden jatkeiden muodostamat kuvat ovat ns. valekuvia eli virtuaalisia kuvia (virtual images). Tällaisia valekuvia ei voida projisoida varjostimelle, vaan niitä on katsottava suoraan silmällä. Jos kuva muodostuu itse säteiden leikatessa toisensa, kysymyksessä on ns. todellinen kuva (real image). Tarkastellaan tarkemmin kuvan muodostumista heijastumisessa. Oleelliset säteet on piirretty kuvassa alla: s on esineen etäisyys kuvaavasta pinnasta s ' on kuvan etäisyys Geometrian avulla saadaan tasopeilin ns.kuvausyhtälö: s. (6.1.1)

2 129 atkaisu: 130 Tarkastellaan seuraavaksi äärellisen esineen kuvautumista tasopeilissä. Esineen (nuoli) korkeus on y. Jokainen esineen piste kuvautuu kuvapisteeksi, joista muodostuu äärellinen kuva. Tutkitaan nuolen kärjen (pisteen Q) kuvautumista. Kuvaan on piirretty kaksi pisteestä Q lähtevää sädettä, jotka heijastuttuaan jatkavat matkaa vasemmalle. Säteiden jatkeet yhtyvät pisteessä Q ', jonne kuva muodostuu. Taas heijastumislain ja yhtenevien kolmioiden avulla näemme, että kuvan korkeus y ' on sama kuin esineen korkeus y, ts. y' y. Kuvan korkeuden y ' suhdetta esineen korkeuteen y sanotaan (poikittaiseksi) suurennukseksi m (lateral magnification), siis y ' m. (6.1.2) y Tasopeilille laskimme edellä tuloksen y y', joten suurennukseksi tulee yksi. Tasopeili ei siis suurenna tai pienennä. Edellisessä kuvassa kuvanuoli osoittaa samaan suuntaan kuin esinenuoli. Sanotaan, että kuva on oikein päin. Tasopeilin suurennus on aina siis m 1, jossa (+)-merkki tarkoittaa oikeinpäin Esimerkki: Nainen, jonka pituus on 160 cm, näkee itsensä juuri ja juuri kokonaan seinäpeilistä. Naisen silmät ovat 150 cm:n korkeudella lattiasta. Määritä peilin korkeus ja alareunan etäisyys lattiasta. Peilin korkeus on 80 cm. Alareuna on 75 cm:n etäisyydellä lattiasta. Mielenkiintoinen yksityiskohta: tulokset eivät riipu peilin ja katsojan etäisyydestä s. 6.2 TAITTUMINEN TASOPINNASSA Kuva voi muodostua myös tasomaisen rajapinnan läpi taittuneilla säteillä (esim. vesi-ilma-rajapinnassa): Kulmat ovat pieniä ja molemmat säteet menevät silmään.

3 131 Taittumislaki: n1sin 1 n2sin 2. Pienillä kulmilla sin tan, ja taittumislaki voidaan kirjoittaa n tan n tan, joka kuvan perusteella saadaan muotoon x x n1 n2. s Tästä kirjoitamme kuvausyhtälöksi n. (6.2.1) n 2 s Suurennuksen tutkimme myöhemmin taittavan pallopinnan yhteydessä. Esimerkki: Kala ui 1 m:n syvyydessä. Kuinka syvällä se näyttää uivan? atkaisu: Ilman taitekerroin: n Veden taitekerroin: n / 3 Esine: s 1.00 m n2 3 Kuva: s s 75 cm n HEIJASTUMINEN PALLOPEILISTÄ Pallopeili on esinepisteen O suhteen joko kovera (concave) tai kupera (convex) riippuen siitä onko peilin kaarevuuskeskipiste C samalla tai vastakkaisella puolella kuin esine. Viereisessä kuvassa tarkastellaan kuperaa peiliä. O = esinepiste, I = kuvapiste, V = vertex (huippupiste), s = esineen etäisyys ja = kuvan etäisyys V:stä. Jana OC on systeemin ns. optinen akseli. Piste P on mielivaltainen piste pinnalla korkeudella h. Kuvaan on piirretty kaksi esinepisteestä lähtevää sädettä. Toinen, optisen akselin suuntainen säde heijastuu huippupisteestä V suoraan takaisin ja toinen pisteestä P heijastuslain mukaisesti. Heijastuneet säteet divergoivat, mutta niiden jatkeet leikkaavat muodostaen virtuaalisen kuvapisteen I. Etsimme yhtälöä, joka kytkee toisiinsa esineen etäisyyden s kuvapisteen etäisyyden s ' ja peilin kaarevuussäteen. Kolmiosta OPC kirjoitamme ensin siis (180 ) 180 ja kolmiosta OPI saamme ' (180 2 ) 180. Sieventämällä tulee ja 2 ' ja nämä yhdistämällä tulee ' 2. (6.3.1)

4 133 Kuvan perusteella kirjoitamme myös tulokset h h tan, tan ' s ja tan h, missä on pieni väli VQ. Seuraavaksi teemme tärkeän approksimaation. Jos piste P on lähellä huippupistettä V, kulmat, ' ja ovat pieniä ja sarjakehitelmistä (esim. :lle) 3 5 sin 3! 5! 2 4 cos 1 2! 4! riittää ottaa huomioon vain ensimmäiset termit. Voidaan kirjoittaa (esim. :lle) tan sin h/. Tässä siis myös pieni väli on approksimoitu nollaksi. Yhtälö (6.3.1) saa nyt muodon h h 2 h, mistä pisteen P korkeus h supistuu pois. Kaikki etäisyydet ovat positiivisia ja tulos pätee kuperalle peilille. Vastaava tarkastelu, positiivisia suureita soveltaen johtaa samantapaiseen yhtälöön koveralle peilille. Kun sovelletaan jäljempänä esitettyjä merkkisääntöjä, yhteinen yhtälö molemmille peilityypeille on (6.3.2) Tämä on ensimmäisen kertaluvun teorian mukainen kuvausyhtälö. Säteiden suunnat poikkeavat vain vähän optisesta akselista, joten puhutaan myös ns. paraksiaalisesta approksimaatiosta. Kuvausyhtälön esitti ensimmäisen kerran Gauss vuonna 1841 ja hänen mukaansa sitä sanotaan myös Gaussin kuvausyhtälöksi. Merkkisäännöt: 1. Esineen etäisyys s 0, kun esine on samalla puolella kuin pintaan tulevat säteet. 2. Kuvan etäisyy 0, kun kuva on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet. 3. kaarevuussäde 0, kun kaarevuuskeskipiste C on samalla puolella kuin pinnasta lähtevät säteet. - kovera peili 0 - kupera peili Yhteenvetona merkkisäännöistä voidaan todeta, että positiiviset kuvan ja esineen etäisyydet muodostuvat todellisilla säteillä ja vastaavat siten todellisia esineitä ja kuvia. Negatiiviset etäisyydet muodostuvat säteiden jatkeilla ja vastaavat virtuaalisia (vale-) esineitä ja kuvia. Pallopeilistä saadaan tasopeili asettamalla. Kuvausyhtälö (6.3.2) antaa tällöin s, joka on tuloksen (6.1.1) yleisempi muoto. Negatiivinen merkki tarkoittaa, että kuva on virtuaalinen kuva, joka siis muodostuu säteiden jatkeiden avulla. Polttoväli f Jos esine on äärettömän kaukana (s ), säteet tulevat peiliin optisen akselin suuntaisina ja fokusoituvat polttopisteeseen F kuvausyhtälön (6.3.2) mukaan etäisyydelle /2.

5 135 Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): f 0, kovera peili f (6.3.3) 2 f 0, kupera peili ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon (6.3.4) f Suurennus lasketaan tarkastelemalla taas äärellisen kokoista (korkeus y) nuolta ja tutkimalla miten sen korkeus muuttuu: Nuolen korkeus on y ja sen kärjen kuvan paikka etsitään kahden säteen avulla. Verteksiin tulevan säteen lähtökulma on sama kuin tulokulma ja optisen akselin suuntainen säde taittuu siten, että sen jatke leikkaa polttopisteen F. Kuva muodostuu heijastuneiden säteiden jatkeiden leikkauspisteeseen. Kuvan kolmioiden avulla kirjoitamme y y'. s Suurennus määritellään suhteena m y'/ y, joka etäisyyksien avulla saa muodon m. (6.3.5) s 136 Esimerkki: Esine, jonka korkeus on 3.0 cm on 20 cm:n etäisyydellä pallopeilistä, jonka polttoväli on 10 cm. Laske kuvan paikka ja luonne, kun peili on a) kupera b) kovera atkaisu: a) kupera peili: f 10 cm ja s 20 cm s f sf (20) ( 10) 20 cm cm 6.7 cm. s f (20) ( 10) 3 ( 20/3) 1 m s (20) 3 Kuva on oikeinpäin ( m 0) oleva valekuva ( 0) peilin takana 6.7 cm:n etäisyydellä peilistä. Sen koko on kolmasosa esineen koosta, ts. 1.0 cm korkea. b) kovera peili: f 10 cm ja s 20 cm. sf (20) (10) cm 20cm s f (20) (10) s ' (20) m 1. s (20) Kuva on kääntynyt ( m 0) todellinen kuva ( 0) peilin edessä 20 cm:n etäisyydellä peilistä. Sen koko on sama kuin esineen koko, ts. 3.0 cm korkea. Kun peilin kaarevuuskeskipiste C (ja siten polttopiste F) on annettu, kuvautuminen voidaan konstruoida graafisesti piirtämällä vähintään kaksi seuraavista "helpoista" säteistä: 1. Optisen akselin suuntainen säde heijastuu siten, että se tai sen jatke kulkevat polttopisteen kautta. 2. Peilin huippupisteeseen tuleva säde on helppo piirtää heijastuslain mukaan.

6 Kohti polttopistettä tuleva säde heijastuu optisen akselin suuntaiseksi. Esimerkki: Piirrä edellisen esimerkin kuvautumiset mittakaavassa. atkaisu: a) kupera peili b) kovera peili Huom! Paraksiaalisessa approksimaatiossa tarkastellaan säteitä, jotka kulkevat hyvin lähellä optista akselia. Tämän vuoksi peilejä ei saa piirtää kaareviksi vaan ne on piirrettävä tasomaisiksi. Vain tällöin graafisesti etsitty kuva saadaan kuvausyhtälön (6.3.4) osoittamaan paikkaan suurennusyhtälöstä (6.3.5) lasketun kokoisena TAITTUMINEN PALLOPINNASSA Viereinen kuva esittää kahden materiaalin (taitekertoimet n 1 ja n 2) pallomaista koveraa rajapintaa. Pinnan kaarevuuskeskipiste on C, esinepiste O ja kuvapiste I. Kaksi sädettä lähtee esinepisteestä. Toinen läpäisee pinnan huippupisteessä V eikä muuta suuntaansa. Toinen osuu pisteeseen P ja taittuu Snelliuksen lain mukaan n sin n sin Materiaalissa 2 säteet etääntyvät toisistaan, mutta näyttävät tulevan yhteisestä kuvapisteestä I. Kolmiosta CPO ja CPI kirjoitamme 1 (180 ) (180 ') 180 ja näistä 1 ja 2 '. Paraksiaalisen approksimaation hengessä kirjoitamme kuvausyhtälön muotoon n 1 1 n 2 2, joka nyt siis saa asun n ( ) n ( ' ). 1 2 Kuvan kolmioista saamme (approksimoidaan taas QV 0) h h h tan, tan ' ' ja tan. s Kuvausyhtälöksi tulee n h h h h 1 n 2 s josta

7 139 n1 n2 ( n2 n1). Tässä taas kaikki etäisyydet on ajateltu positiivisiksi. Kun sovelletaan samoja merkkisääntöjä kuin peileille (s. 134) (positiiviset etäisyydet todellisille esineille ja kuville), edellisen sivun kuvassa virtaalisen kuvan etäisyys on negatiivinen ( 0) ja kaarevuussäde on negatiivinen ( 0). Edellä johdettu kuvausyhtälö voidaan yleistää muotoon n1 n2 n2 n1, (6.4.1) joka pätee siis myös kuperalle rajapinnalle. Kun pallopinnasta tulee tasopinta ja n 2 s, n1 mikä on sama kuin aikaisemmin johtamamme tulos (6.2.1). Tässä todellisille esineille ( s 0) kuvan etäisyys on negatiivinen ( 0) tarkoittaen sitä, että kuva on virtuaalinen (vale)kuva, joka muodostuu säteiden jatkeiden avulla. Lauseke poikittaiselle suurennukselle johdetaan seuraavan kuvan avulla. Pienten kulmien approksimaatiossa Snelliuksen laki on esimerkiksi tangenttien avulla muotoa n1tan 1 n2tan 2, joten ho hi n1 n2. Suurennukseksi tulee siis 140 h n, (6.4.2) i 1 m h o ns 2 mihin ( )-merkki on lisätty edustamaan kuvan kääntymistä. Tasopinnalle (laske) m 1, joten kuva on esineen kokoinen ja samoin päin. Esimerkki: Esine on 30 cm:n etäisyydellä ilmassa ( n 1 1) lasiputken edessä. Putken kuperan pallopintaisen pään kaarevuussäde on 5 cm ja putki on täytetty vedellä, jonka taitekerroin on n /3. Laske kuvan sijainti ja laatu. atkaisu: Kuvausyhtälö on (6.4.1) n1 n2 n2 n1 1 4/3 4/ cm 5 cm 4/ cm 30 cm 30 cm 40 cm. Suurennus yhtälöstä (6.4.2) (1)( 40) m1 1. (4/ 3)( 30) Kuva on putken sisällä ( 0) 40 cm:n etäisyydellä putken päästä. Kuva on todellinen mutta kääntynyt ( m 0) esineeseen verrattuna. Se on saman kokoinen kuin esine.

8 141 Esimerkki: Paksu linssi. Edellisessä esimerkissä materiaali 2 ulottuu niin pitkälle, että kuva muodostuu sen sisälle. Miten tilanne muuttuu, jos jälkimmäinen materiaali ulottuu vain 10 cm:n päähän? Olkoon tällaisen paksun linssin jälkimmäinen pinta kovera pallopinta, jonka kaarevuussäde on sama 5 cm kuin etupinnallakin (kuva alla). Lasketaan mihin kuva nyt muodostuu ja mikä on sen luonne. 142 Kokonaissuurennukseksi laskemme luonnollisesti tulon 2 m m1 m2 ( 1)( 2/5). 5 Lopullinen kuva on todellinen kuva ja etäisyydellä 9 cm jälkimmäisestä pinnasta. Kuvan koko on 2/5 esineen koosta ja kuva on kääntynyt. 6.5 OHUET LINSSIT atkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n päähän. Nyt kuitenkin toinen pinta taittaa säteet uudelleen ja lopullinen kuva muodostuukin eri paikkaan. Ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii tässä virtuaalisena esineenä toiselle pinnalle. Virtuaalinen esine on pinnan oikealla puolella, kun taas säteet tulevat pintaan vasemmalta. Merkkisääntöjen mukaan esineen etäisyys pinnasta 2 on negatiivinen ja suuruudeltaan (40 10) cm 30cm. Myös kaarevuussäde on negatiivinen (kaarevuuskeskipiste on eri puolella kuin pinnasta lähtevät säteet), joten kuvautuminen toisessa pinnssa saa muodon 4/ /3 2 9 cm. 30 cm s ' 2 5 cm Suurennus toisen pinnan kuvautumisessa on (6.4.2):n mukaan ( 4/3)( 9) 2 m2. (1)( 30) 5 Linssi on ylivoimaisesti yleisin optinen laite, tasopeilin jälkeen. Yksinkertainen ohut linssi (thin lens) muodostuu kahdesta taittavasta pallopinnasta, jotka ovat niin lähellä toisiaan, että niiden välimatka voidaan approksimoida nollaksi. Linssin kuvausyhtälö johdetaan sovelletaan edellisen esimerkin menetelmää. Linssin taitekerroin olkoon n 2 ja pintojen kaarevuussäteet 1 ja 2. Linssiä ympäröivien materiaalien taitekertoimet olkoon esinetilassa n 1 ja kuvatilassa n 3. Peräkkäiset kuvaukset ovat (6.4.1):n ja (6.4.2):n mukaan n1 n2 n2 n1, n2 n3 n3 n2, m n1 1 m1 n s n s ' n s Ensimmäisen pinnan muodostama kuva toimii esineenä toiselle pinnalle, joten voidaan kirjoittaa s2 t 1, missä t on linssin paksuus. Ohuen linssin approksimaatiossa s2 1.

9 Tulee joista Kun vielä merkitään s n1 n2 n2 n1, s1 1 1 n3 n2 n3 n2, n ( ') m m 1 m 2 n s n s n1 n3 n2 n1 n3 n2, n s ja 2 saadaan n1 n3 ( n2 n1) ( n2 n3) ja 1 2 n m n s m n s ' 1 n3 s, (6.5.1) missä siis linssin taitekerroin on n 2. Tavallisesti linssiä ympäröi sama väliaine (esimerkiksi ilma), jolloin n 3 n 1 ja kuvausyhtälö saa muodon 1 1 n2 n1 1 1 ja m. (6.5.2) n1 1 2 s Ohuen linssin polttoväli f saadaan, kun esine (s) tai kuva ( s ') asetetaan äärettömyyteen. Tulee 1 n2 n1 1 1, (6.5.3) f n1 1 2 joka on ns. linssintekijän yhtälö (lensmaker's equation). Polttovälin avulla kuvausyhtälö (6.5.2) saa kätevän muodon ja f m. (6.5.4) s Kokoava linssi (converging lens) Linssi kokoaa optisen akselin suuntaiset säteet kulkemaan ns. toisen polttopisteen (second focal point) F 2 kautta. Ensimmäisestä polttopisteestä (first focal point) F 1 lähtevät säteet ohjautuvat optisen akselin suuntaisiksi läpäistyään linssin. Linssi toimii näin, jos sen polttoväli on f 0. Tämän vuoksi kokoavaa linssiä sanotaan myös positiiviseksi linssiksi. Linssin polttoväli on positiivinen, kun n2 n1 (esim. lasilinssi ilmassa) ja linssi on keskeltä paksumpi kuin reunoilta, ts. (katso linssintekijän yhtälö) Viereisen kuvan ns. meniskuslinssi, tasokupera linssi ja kaksoiskupera linssi ovat kaikki kokoavia linssejä. Hajottava linssi (diverging lens) Linssiin optisen akselin suuntaisesti tulevat säteet hajoavat linssin läpi mentyään niin, että ne näyttävät tulevan toisesta polttopisteestä F 2. Vastaavasti kohti ensimmäistä polttopistettä F 1 tulevat säteet kääntyvät kulkemaan optisen akselin suuntaisesti. Hajottavan linssin polttoväli on f 0 ja sitä sanotaankin usein negatiiviseksi linssiksi. Tämä toteutuu, kun n 2 n 1 ja linssi on reunoilta paksumpi kuin keskeltä. Vieressä esimerkki negatiivisesta meniskuslinssistä. 144

10 145 On huomattava, että jos linssi siirretään väliaineeseen, jonka taitekerroin on suurempi kuin itse linssin taitekerroin, niin kokoava linssi muuttuu hajottavaksi ja hajottava kokoavaksi. Esimerkiksi ilmakupla vedessä on kupera linssi, mutta se on hajottava. Hahmotellaan "suttupaperille": 146 Kuvautumisen graafisessa analyysissä tärkeiden säteitä ovat: 1. Optisen akselin suuntainen säde (tai sen jatke) kulkee polttopisteen kautta. 2. Polttopistettä kohti kulkeva säde taittuu optisen akselin suuntaiseksi. 3. Linssin keskipisteen kautta kulkeva säde ei muuta suuntaansa. Esimerkki: Käytössä on hajottava linssi, jonka polttoväli on 20 cm. Halutaan muodostaa oikein päin oleva valekuva, jonka koko on 1/3 esineen koosta. Mihin esine on sijoitettava? Esitä kuvan muodostuminen myös graafisesti. z-suunnassa kaikki mahtuu 40 cm:n matkalle Valitaan mittakaavaksi: z-suunnassa 1:3 (1 cm kuvassa on 3 cm todellisuudessa) y-suunnassa 1:1 (olkoon esineen korkeus 1 cm) 40 cm 13.3 cm 20 cm 6.7 cm 13.3 cm 4.4 cm piirretään: atkaisu: Hajottava linssi: f 20 cm. Suurennuksen oltava: m 1/ 3 / s s/3 Kuvausyhtälöstä: f s s f s f josta s 2f 40 cm. Esine on sijoitettava 40 cm linssin eteen. Graafinen esitys: Mittakaavan määrittämiseksi lasketaan kuvan paikka s ': s/ 3 40/3 cm 13.3 cm (myös linssin edessä) Tarvittavat etäisyydet ovat siis: s on 40 cm linssin edessä s ' on 13.3 cm linssin edessä F on 20 cm linssistä (edessä olevaa tarvitaan kuvaajassa)

11 147 Kun kuvaavassa optisessa systeemissä on useita komponentteja (linssejä, peilejä, pintoja, ), säteiden etenemistä systeemin läpi seurataan vaihe vaiheelta komponentti kerrallaan. Edellisen komponentin muodostama kuva on aina seuraavan komponentin esine, jne Lopullinen suurennus lasketaan komponenttien suurennuksien tulona. Esimerkki: Linssisysteemi muodostuu kahdesta ohuesta linssistä, joiden polttovälit ovat f1 15 cm ja f2 15 cm. Linssien välimatka on 30 cm ja esine sijaitsee 25 cm kokoavan linssin edessä. Laske kuvan paikka ja laatu. atkaisu: Hahmotellaan systeemi: Kuvaus 1. linssillä: s1 25cm, f1 15cm s f s m sf (25)(15) 1 1 ' 1 cm 37.5 s1 f s ' s Välikuva on siis 37.5 cm ensimmäisestä linssistä oikealle, kääntynyt ja kooltaan 1.5 kertainen esineeseen nähden. Kuva on todellinen. Tämä välikuva toimii toiselle linssille esineenä. Se on 7.5 cm:n etäisyydellä toisesta linssistä. cm 148 Kuvaus toisella linssillä: f2 15cm, s2 ( ) 7.5cm. s m s f ( 7.5)( 15) 2 2 ' 2 cm 15 s2 f2 ( 7.5) ( 15) s ' s Systeemin kokonaissuurennus on m m1 m2 ( 1.5)(2) 3 Lopullinen kuva on kääntynyt ( m 0) ja todellinen ( 2 0). Sen koko on 3 esineen koko ja se sijaitsee 15 cm jälkimmäisen linssin takana. cm 6.6 KUVAUSVIHEET Jokainen esine (valaistu tai itsevalaiseva) koostuu pistelähteistä, jotka lähettävät palloaaltoja. Viereisessä kuvassa esinepisteestä S lähtevä palloaalto etenee kohti optista systeemiä, joka puolestaan fokusoi aallon kuvapisteeseen P. Kuvapiste P ei ole esinepisteen S täydellinen kuva, koska kuvautumiseen vaikuttaa 1. Sironta 2. Diffraktio 3. Kuvausvirheet Sironnassa osa säteistä muuttaa suuntaansa esimerkiksi optisissa materiaaleissa olevista tiheysvirheistä. Tämä lähinnä vain vähentää kuvan kirkkautta. Toisaalta kuvapisteeseen saattaa tulla sironneita säteitä muualta kuin esinepisteestä. Kuvan laatu huononee. Diffraktio häiritsee kuvan tarkkuutta, koska optiset systeemit ovat aina äärellisen kokoisia. Diffraktio asettaa perustavaa laatua olevan rajan kuvan tarkkuudelle, eikä sitä voida koskaan ylittää.

12 149 Kuvausvirheet (aberrations) syntyvät kun optinen systeemi ei itsessään pysty tuottamaan yksi-yhteen vastaavuutta esineestä lähtevän ja kuvaan tulevan säteen välille. 1. Palloaberraatio - kuvan etäisyys riippuu säteen korkeudesta h: 150 Täydellisesti kuvaavia pintoja on olemassa. Tällaisia ovat esimerkiksi ns. kartioleikkauspinnat (ellipsoidi, paraboloidi,...), joista alla esimerkkinä hyperboloidi-pintainen linssi, joka kuvaa täydellisesti (sirontaa ja diffraktiota lukuunottamatta) pisteen F 1 pisteeksi F Koma - kun esinepiste ei ole optisella akselilla, eri korkeudet h antavat kuvan eri korkeuksille: Tällaisia pintoja käytetään vain tarkkuusoptiikassa, koska niiden valmistus on kallista ja ne ovat epäkäytännöllisiä. Esimerkiksi edellisessä kuvassa vain yhdellä tietyllä etäisyydellä oleva piste F 1 kuvautuu tarkasti F 2 :ksi. Toisaalta pallopintoja on helppo valmistaa, ne ovat käytännöllisiä ja kuvausvirheitäkin voidaan eliminoida hyvin tehokkaasti. Kuvausvirheet pallopintojen käytössä Paraksiaalinen kuvausyhtälö on täydellinen kuvaaja. Piste kuvautuu täydelliseksi pisteeksi. Tämän vuoksi poikkeamat paraksiaalisen kuvausyhtälön antamista ratkaisuista ovat kuvausvirheitä. 3. Astigmaattisuus - kun esinepiste ei ole optisella akselilla, eri tasojen säteet antavat kuvan eri etäisyydelle: 4. Kentän kaareutuminen - kuva muodostuu kaarevalle "kuvatasolle" 5. Vääristymä - Suurennus muuttuu akselilta ulospäin siirryttäessä Paraksiaalisessa kuvautumisessa: sin Kolmannen kertaluvun teoriassa: 3 sin / 3! Kolmannen kertaluvun teorian käyttäminen kuvausyhtälöiden johtamisessa paljastaa viisi kuvausvirhettä, jotka ovat ns. Seidelin aberraatiot:

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA

6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA 127 6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan

Lisätiedot

Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon + =. (6.3.

Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon + =. (6.3. 135 Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): R ì f > 0, kovera peili f = í (6.3.3) î f < 0, kupera peili ja kuvausyhtälö (6.3.) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon 1 1 1 + =.

Lisätiedot

Ratkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n

Ratkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n 141 ------------------------------------------------Esimerkki: Paksu linssi. Edellisessä esimerkissä materiaali 2 ulottuu niin pitkälle, että kuva muodostuu sen sisälle. Miten tilanne muuttuu, jos jälkimmäinen

Lisätiedot

Geometrinen optiikka. Tasopeili. P = esinepiste P = kuvapiste

Geometrinen optiikka. Tasopeili. P = esinepiste P = kuvapiste Geometrinen optiikka Tasopeili P = esinepiste P = kuvapiste Valekuva eli virtuaalinen kuva koska säteiden jatkeet leikkaavat (vs. todellinen kuva, joka muodostuu itse säteiden leikkauspisteeseen) Tasomainen

Lisätiedot

5.3 FERMAT'N PERIAATE

5.3 FERMAT'N PERIAATE 119 5.3 FERMAT'N PERIAATE Fermat'n periaatteen mukaan valo kulkee kahden pisteen välisen matkan siten, että aikaa kuluu mahdollisimman vähän, ts. ajalla on ääriarvo (minimi). Myös Fermat'n periaatteesta

Lisätiedot

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0 PEILIT KOVERA PEILI JA KUPERA PEILI: r = PEILIN KAAREVUUSSÄDE F = POLTTOPISTE eli focus f = POLTTOVÄLI eli polttopisteen F etäisyys pelin keskipisteestä; a = esineen etäisyys peilistä b = kuvan etäisyys

Lisätiedot

34. Geometrista optiikkaa

34. Geometrista optiikkaa 34. Geometrista optiikkaa 34. Kuvan muodostuminen 2 Lähtökohta: Pistemäisestä esineestä valonsäteet lähtevät kaikkiin suuntiin. P P 3 s s Arkihavainto: Tasopeili muodostaa kuvan heijastamalla esineen pisteistä

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI 67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli

Lisätiedot

34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics)

34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics) 90 34 GEOMETRINEN OPTIIKKA (Geometric Optics) Omat kasvot kylpyhuoneen peilissä, kuu kaukoputken läpi katsottuna, kaleidoskoopin kuviot. Kaikki nämä ovat esimerkkejä optisista kuvista (images). Kuva muodostuu,

Lisätiedot

Teoreettisia perusteita I

Teoreettisia perusteita I Teoreettisia perusteita I - fotogrammetrinen mittaaminen perustuu pitkälti kollineaarisuusehtoon, jossa pisteestä heijastuva valonsäde kulkee suoraan projektiokeskuksen kautta kuvatasolle - toisaalta kameran

Lisätiedot

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6

FYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6 FYSI040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus / 6 Laskuharjoitus 2. Halogeenilampun käyttöhyötysuhde on noin 6 lm/w. Laske sähköiseltä ottoteholtaan 60 watin halogenilampun tuottama: (a) Valovirta. (b) Valovoima

Lisätiedot

3. Optiikka. 1. Geometrinen optiikka. 2. Aalto-optiikka. 3. Stokesin parametrit. 4. Perussuureita. 5. Kuvausvirheet. 6. Optiikan suunnittelu

3. Optiikka. 1. Geometrinen optiikka. 2. Aalto-optiikka. 3. Stokesin parametrit. 4. Perussuureita. 5. Kuvausvirheet. 6. Optiikan suunnittelu 3. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Aalto-optiikka 3. Stokesin parametrit 4. Perussuureita 5. Kuvausvirheet 6. Optiikan suunnittelu 3.1 Geometrinen optiikka! klassinen optiikka! Valoa kuvaa suoraan

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 10 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Valon sironta

Lisätiedot

Valo, valonsäde, väri

Valo, valonsäde, väri Kokeellista fysiikkaa luokanopettajille Ari Hämäläinen kevät 2005 Valo, valonsäde, väri Näkeminen, valonlähteet Pimeässä ei ole valoa, eikä pimeässä näe. Näkeminen perustuu esineiden lähettämään valoon,

Lisätiedot

Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA

Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TYÖN TAVOITE Työssä perehdytään optisiin ilmiöihin tutkimalla valon kulkua linssisysteemeissä ja prismassa. Tavoitteena on saada

Lisätiedot

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.

Kuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla. FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin

Lisätiedot

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5

5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5 5. Optiikka Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, 16.2. 2012 Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman 1 5. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Peilit ja linssit 3. Perussuureita 4. Kuvausvirheet 5. Aalto-optiikka

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 10 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Valon sironta Huygensin periaate Kenttien rajapintaehdot Rajapintaehdot Fresnelin

Lisätiedot

8.3 KAMERAT Neulanreikäkamera

8.3 KAMERAT Neulanreikäkamera 88 Analysoitava valo tulee vasemmalta. Se okusoidaan kapeaan rakoon S (tulorako), josta se kollimoidaan linssillä L yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Rako S on siis linssin polttovälin päässä linssistä.

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50:

Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50: 173 ------------------------------------------------Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50: Kaarevuussäteet R1 3 cm ja R. Systeemimatriisi on M R T R1,

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

YOUNGIN KOE. varmistaa, että tuottaa vaihe-eron

YOUNGIN KOE. varmistaa, että tuottaa vaihe-eron 9 10. YOUNGIN KOE Interferenssin perusteella voidaan todeta, onko jollakin ilmiöllä aaltoluonne. Historiallisesti ajatellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokeet 1800-luvun alussa olivat hyvin merkittäviä.

Lisätiedot

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto

25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto 5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?

Lisätiedot

11.1 MICHELSONIN INTERFEROMETRI

11.1 MICHELSONIN INTERFEROMETRI 47 11 INTERFEROMETRIA Edellisessä kappaleessa tarkastelimme interferenssiä. Instrumentti, joka on suunniteltu interferenssikuvion muodostamiseen ja sen tutkimiseen (mittaamiseen) on ns. interferometri.

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Valon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen

Valon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen Valon luonne ja eteneminen Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen 1 Valonlähteitä Perimmiltään valon lähteenä toimii kiihtyvässä liikkeessä olevat sähkövaraukset Kaikki

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Optiikka. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Optiikka. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos Optiikka Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 5. Optiikka Geometrinen optiikka Peilit ja linssit Perussuureita Kuvausvirheet Aalto-optiikka Optiikan suunnittelu 5.1 Geometrinen optiikka Klassinen

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

YHDEN RAON DIFFRAKTIO. Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11.

YHDEN RAON DIFFRAKTIO. Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11. YHDEN RAON DIFFRAKTIO Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11. Vanha tenttitehtävä Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma saadaan lausekkeesta æsin b ö I = I0 ç b è ø, missä b = 1

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet. Kari Sormunen Syksy 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet. Kari Sormunen Syksy 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet Kari Sormunen Syksy 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen. Todellisuudessa

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

FY9 Fysiikan kokonaiskuva

FY9 Fysiikan kokonaiskuva FY9 Sivu 1 FY9 Fysiikan kokonaiskuva 6. tammikuuta 2014 14:34 Kurssin tavoitteet Kerrata lukion fysiikan oppimäärä Yhdistellä kurssien asioita toisiinsa muodostaen kokonaiskuvan Valmistaa ylioppilaskirjoituksiin

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen.

Lisätiedot

oppilaitos: ARKADIAN YHTEISL YSEO

oppilaitos: ARKADIAN YHTEISL YSEO ,/ VALO-OPPI oppilaitos: ARKADIAN YHTEISL YSEO kurssi FY1 tehnyt Markus Hagmal1 Jätetty syyskuun 28. päivä 1999 Tarkastaja Jari Pyy LYHENNELMÄ Tutkielma käsittelee optiikkaa eli valo-oppia Lukiessasi tätä

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Geometrinen optiikka 3. Optiikka Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka Geometrinen optiikka (kuva: @www.goldastro.com) Ei huomioi, että valo on aaltoliikettä

Lisätiedot

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Ratkaisut Tarkastelemme kolmiota ABC, jonka sivujen pituudet ovat!, & ja ' ja niiden vastaiset korkeudet

Ratkaisut Tarkastelemme kolmiota ABC, jonka sivujen pituudet ovat!, & ja ' ja niiden vastaiset korkeudet 197 Lausu logaritmeja käyttämättä jaksollisen desimaaliluvun (kymmenysluvun) 0,578703703 kuutiojuuri jaksollisena desimaalilukuna. [S3, pitempi kurssi] Ratkaisut 1917 197 1917 Tarkastelemme kolmiota ABC,

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

2 paq / l = p, josta suuntakulma q voidaan ratkaista

2 paq / l = p, josta suuntakulma q voidaan ratkaista 33 Esimerkki: Youngin kokeessa rakojen välimatka on 0, mm ja varjostin on m:n etäisyydellä. Valon aallonpituus on 658 nm. a) Missä kulmassa rakojen keskeltä katsottuna näkyy keskimaksimin viereinen minimi?

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Optiikkaa. () 10. syyskuuta 2008 1 / 66

Optiikkaa. () 10. syyskuuta 2008 1 / 66 Optiikkaa Kaukoputki on oikeastaan varsin yksinkertainen optinen laite. Siihen liitettävissä mittalaitteissa on myös optiikkaa, joskus varsin mutkikastakin. Vaikka havaitsijan ei tarvitsekaan tietää, miten

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot