RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit"

Sofia Susanna Kokkonen
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste, jonka kautta kuperan linssin läpi kulkeneet tai koverasta peilistä heijastuneet pääakselin suuntaiset valonsäteet kulkevat d) Todellinen kuva on linssin tai peilin muodostama kuva, jonka voi saada näkymään varjostimella e) Valekuva on kuva, joka muodostuu piirrossäteiden jatkeiden leikkauspisteeseen, eikä sitä voi saada näkymään varjostimella ) Linssin taittovoimakkuus on suure, jonka arvo on linssin polttovälin käänteisarvo 16 Hehkulampun etäisyys linssistä on a = 6,5 cm ja linssin polttoväli on = 10,0 cm Linssin muodostaman kuvan paikan voi määrittää kuvausyhtälön = 1 avulla Kun tästä ratkaistaan kuvan paikka b, saadaan a = =, ja edelleen b a a a 6,5 cm 10,0 cm b = = = 18,5714 cm 18,6 cm a 6,5 cm 10,0 cm Kuva on valekuva, koska kuvan paikan arvo on negatiivinen Kuvaa ei siten voida saada varjostimelle Kuva on samalla puolella linssiä kuin hehkulamppu Vastaus: Kuva on valekuva, joka muodostuu 18,6 cm linssin etupuolelle, eikä sitä voi saada näkymään varjostimella 163 a) Äärimmäiset valonsäteet tulevat peilin kautta silmiin kuvan mukaisesti Peilin alareunasta ja yläreunasta tulevien valonsäteiden lähtöpisteiden etäisyys on siten kaksi kertaa peilin korkeus, ja siksi peilistä voi nähdä itsestään enintään 56 cm = 11 cm korkuisen osan b) Katsoja näkee kohteen peilissä, jos kohteesta lähtevä valonsäde heijastuu peilin kautta katsojan silmiin heijastumislain mukaisesti i Oppilas näkee opettajan peilistä, koska opettajasta lähtenyt valonsäde voi heijastua peilin kautta oppilaan silmiin

saada näkymään varjostimella e) Valekuva on kuva, joka muodostuu piirrossäteiden jatkeiden leikkauspisteeseen, eikä sitä voi saada näkymään varjostimella ) Linssin taittovoimakkuus on suure, jonka

2 Physica 9 1 painos (6) ii Oppilaasta kulkee opettajan silmiin peilin kautta valonsäde samaa reittiä vastakkaiseen suuntaan kuin kohdan i valonsäde, joten myös opettaja voi nähdä oppilaan iii Lampusta lähtenyt valonsäde voi heijastua oppilaan silmiin peilin kautta, joten oppilas voi nähdä lampun peilissä iv Lampusta lähtevät valonsäteet eivät voi tulla opettajan silmiin peilin kautta, joten opettaja ei näe lamppua c) Kun Aurinko laskee, Auringon kuva liikkuu lasiseinällä alaspäin 164 Esineen etäisyys peilistä on 6,0 cm ja linssin polttoväli on 1,5 cm Piirretään kuva, jossa esinettä edustaa pystyssä oleva nuoli Etsitään esineen (nuolen) yläkärjen kuvan paikka piirtämällä kaksi valonsädettä: tässä tapauksessa pääakselin suuntainen säde, joka taittuu kulkemaan linssin takana olevan polttopisteen läpi, ja linssin keskipisteen kautta kulkeva säde, joka kulkee linssin läpi suoraan Säteet eivät kohtaa linssin takana, vaan taittuneiden säteiden jatkeet leikkaavat linssin edessä Kuvapiste muodostuu säteiden jatkeiden leikkauspisteeseen

opettaja ei näe lamppua c) Kun Aurinko laskee, Auringon kuva liikkuu lasiseinällä alaspäin 164 Esineen etäisyys peilistä on 6,0 cm ja linssin polttoväli on 1,5 cm Piirretään kuva, jossa esinettä

3 Physica 9 1 painos 3(6) Vastaus: Kuvauksessa syntyy oikeinpäin oleva suurennettu valekuva, joka sijaitsee samalla puolella linssiä kuin esine 165 Pallopeilin kaarevuussäde on r = 0,60 m ja hehkulampun etäisyys peilistä on a = 0,45 m Pallopeilin polttoväli on puolet peilin kaarevuussäde, ja koska peili on kupera, polttoväli on negatiivinen 0,60 m = = 0,30 m Ratkaistaan kuvausyhtälöstä = 1 kuvan paikka, a a = = = b a a a a Siten kuvan paikka on a 0,45 m ( 0,30 m) b = = = 0,18 m a 0,45 0,30 m Koska b < 0, kuva on valekuva, joten se on oikeinpäin Kuvan viivasuurennos on b 0,18 m m = = = 0, 40 a 0,45 m Vastaus: Kuva muodostuu 18 cm:n etäisyydelle peilistä, ja se on oikeinpäin oleva valekuva Kuvan suurennos on 0, a) Objektiivi muodostaa ilmille tai kennolle todellisen kuvan Kovera linssi muodostaa aina valekuvan, joten linssin olisi oltava kupera b) Tarkastellaan tilannetta, jossa esine on koko ajan yhtä kaukana kuvaajasta Kun a kuvausyhtälöstä + = ratkaistaan kuvan paikka b = a Kun lauseke ratkaistaan muotoon b = a a, siitä nähdään, että polttovälin kasvaessa kuvan etäisyys 1 linssistä (eli tässä objektiivin keskipisteestä) on sitä suurempi, mitä suurempi polttoväli on Siksi objektiivin keskipisteen pitää olla sitä kauempana ilmistä tai kennosta, mitä suurempi polttoväli on c) Koska objektiivi muodostaa todellisen kuvan, kuvan etäisyys linssistä on positiivinen, ja viivasuurennoksen yhtälö voidaan kirjoittaa b = k b)-kohdan perusteella kuvan a e

+ 1 = 1 kuvan paikka, 1 1 1 a a = = = b a a a a Siten kuvan paikka on a 0,45 m ( 0,30 m) b = = = 0,18 m a 0,45 0,30 m Koska b < 0, kuva on valekuva, joten se on oikeinpäin Kuvan viivasuurennos on b

4 Physica 9 1 painos 4(6) etäisyys b on sitä suurempi, mitä suurempi on polttoväli Jos kuvattava kohde pidetään samana, kuvan korkeus k on suoraan verrannollinen kuvan etäisyyteen b Siksi teleobjektiivi muodostaa suuremman kuvan kuin laajakulmaobjektiivi b k 167 a) Koska kuva ja esine ovat yhtä suuret, saadaan viivasuuurennoksen yhtälöstä = = 1, a e joten b= a Koska a + b = 36 cm, niin b = a = 18 cm Kuvausyhtälöstä saadaan silloin 1 = = = Objektiivin polttoväli on a b a a a a 18 cm siis = = = 9,0 cm = 90 mm b) Kun objektiivia siirretään 50 mm lähemmäs ilmitasoa, kuvan etäisyys muuttuu arvoon b = 18 cm 5 cm = 13 cm Esineen etäisyys objektiivista on silloin kuvausyhtälön = 1 perusteella b 13 cm 9 cm a = = = 9,5 cm b 13 cm 9 cm Viivasuurennos on täten b 13 cm m = = = 0,4444 0,44 a 9,5 cm Vastaus: a) Objektiivin polttoväli on 90 mm b) Kuvauksen viivasuurennos on 0, Kuvan ja esineen välinen etäisyys on d = a+ b Kun kuvausyhtälöstä = 1 ab ratkaistaan polttoväli, saadaan = a + b Sijoittamalla tähän b= d asaadaan edelleen a( d a) ad a = =, d d joka on esineen etäisyyden suhteen toisen asteen yhtälö a ad d + = 0 Tällä yhtälöllä on esineen etäisyydelle linssistä kaksi ratkaisua (kun d ja ovat vakioita), joten linssin voi sijoittaa kahteen kohtaan niin, että kuvan ja esineen välinen etäisyys on sama

niin b = a = 18 cm Kuvausyhtälöstä saadaan silloin 1 = 1 + 1 = 1 + 1 = Objektiivin polttoväli on a b a a a a 18 cm siis = = = 9,0 cm = 90 mm b) Kun objektiivia siirretään 50 mm lähemmäs ilmitasoa,

5 Physica 9 1 painos 5(6) Molemmissa tapauksissa kuva on todellinen ja ylösalaisin Kun polttoväli lasketaan eri mittaustulosten perusteella lausekkeella saadaan kuusi arvoa 398, , , ,48 397, ,16 ( a) a d =, d joiden keskiarvo on = 398,846 mm 399 mm Vastaus: Linssin polttoväli on 399 mm 169 Linssin polttoväli on = 0,15 m Merkitään kuvan ja esineen välistä etäisyyttä tunnuksella s, jolloin s = a + b Kun kuvausyhtälöstä = 1 ratkaistaan kuvan paikka a b = a, ja sijoitetaan se kuvan ja esineen välisen etäisyyden yhtälöön, saadaan ( ) + + a a a a a a a a s = a+ = = = a a a a Kuvan ja esineen välisen etäisyyden pienin arvo saadaan derivoimalla yllä saatu lauseke a:n suhteen, ja etsimällä derivaattaunktion nollakohta: a a 1 a a a da da a a a a ds d a a a a = = = = Derivaattaunktio saa arvon nolla, kun a = 0 a = Kuvan etäisyys linssistä on silloin a b= = = a Kuvan ja esineen välinen pienin etäisyys on smin = 4 = 4 0,15 m= 0,60 m Vastaus: Kuvan ja esineen välisen etäisyyden pienin arvo 0,60 m 1610 a) Kuperan linssin polttovälin voi määrittää ainakin kahdella tavalla: 1 Muodostetaan kuperan linssin avulla todellinen kuva varjostimelle Mitataan esineen ja kuvan etäisyydet linssistä, a ja b Ratkaistaan kuvausyhtälöstä = 1 polttovälin lauseke ab = a + b, ja sijoitetaan siihen mitatut esineen ja kuvan etäisyydet linssistä

tunnuksella s, jolloin s = a + b Kun kuvausyhtälöstä 1 + 1 = 1 ratkaistaan kuvan paikka a b = a, ja sijoitetaan se kuvan ja esineen välisen etäisyyden yhtälöön, saadaan ( ) + + a a a a a a a a s = a+

6 Physica 9 1 painos 6(6) Muodostetaan kuperalla linssillä varjostimelle kuva Auringosta Kuvausyhtälöstä nähdään, että kun esineen etäisyys on hyvin suuri, kuva muodostuu oleellisesti polttopisteeseen Linssin ja varjostimen välinen etäisyys on siis tässä tilanteessa linssin polttoväli b) Kovera linssi muodostaa aina valekuvan, joten sitä ei voida saada näkyviin varjostimelle Koveran linssin hajottamat valonsäteet voidaan kuitenkin koota kuperalla linssillä, jonka taittovoimakkuus on suurempi kuin koveran linssin taittovoimakkuus Näiden kahden linssin yhdistelmällä saadaan varjostimelle aikaan todellinen kuva Koveran linssin polttoväli voidaan nyt määrittää seuraavasti Muodostetaan esineestä kuva K 1 varjostimelle kuperalla linssillä Sijoitetaan tutkittava kovera linssi kuperan linssin ja varjostimen väliin Mitataan koveran linssin ja varjostimen välinen etäisyys a Kuperan linssin muodostama kuva toimii koveran linssin vale-esineenä, joten etäisyys a on koveran linssin ja esineen välinen etäisyys, ja a < 0 Siirretään varjostinta poispäin linsseistä, kunnes siihen saadaan terävä kuva K Mitataan koveran linssin ja varjostimen välinen etäisyys b Sijoitetaan mitatut etäisyydet kuvausyhtälöön, ja ratkaistaan koveran linssin polttoväli

hajottamat valonsäteet voidaan kuitenkin koota kuperalla linssillä, jonka taittovoimakkuus on suurempi kuin koveran linssin taittovoimakkuus Näiden kahden linssin yhdistelmällä saadaan varjostimelle

Samankaltaiset tiedostot

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0

eli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0 PEILIT KOVERA PEILI JA KUPERA PEILI: r = PEILIN KAAREVUUSSÄDE F = POLTTOPISTE eli focus f = POLTTOVÄLI eli polttopisteen F etäisyys pelin keskipisteestä; a = esineen etäisyys peilistä b = kuvan etäisyys