Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50:
|
|
- Annikki Mikkonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50: Kaarevuussäteet R1 3 cm ja R. Systeemimatriisi on M R T R1, missä R1 on taittomatriisi 1. pinnassa, T on siirto pinnasta 1 pintaan ja R on taittomatriisi pinnassa. Kirjoitetaan: é1 0 ù é1 3ù é 1 M ê úê ú ê -0,5 ë 0 1,5û ë 0 1û ë 1,5 3 Tarkistus: Det( M ) Efektiivinen polttoväli: ja edelleen: 0 ù é 1 0 ù é 3 1 ú ê 3úê 1 1,5 û ë 0 û ë- 9 ù é 3 ê 1 ú 3û ë- 6 ù. ú 1û æ 1ö 1 - ç - 1 (ok!) 3 è 6ø f f (cm) D / A 1-3 sw - (cm) -1/ 6 Pääpisteet ja -tasot on piirretty kuvaan r v
2 174 Kotitehtävä Esimerkki: Paksun linssin yleiset kaavat (katso kappale 7.1). Matriisitulosta (7..8) paksun linssin systeemimatriisiksi tulee éa Bù M ê ú, D ë û missä (n - n) t, A 1- L nl R1 n B t, nl (nl - n ') 1 (nl - n) 1 (nl - n ')(nl - n) t, n' R n ' R1 n ' nl R1R n æ (nl - n ') t ö D ç1 +. n' è nl R ø Sivun 170 taulukon avulla nämä matriisielementit johtava tuloksiin: 1 n' n - n ' nl - n (nl - n ')( nl - n) t L, f1 n nr nr1 nnl R1R r v D - n / n ' nl - n ' f1 t ja nl R D - 1 æ n ' nl - n ' ö ç1 - + t f1. n n R è L ø Vastaavat yhtälöt kuvapuolen suureille f, s ja w saadaan suoraviivaisesti samalla periaatteella
3 175 8 OPTISIA INSTRUMENTTEJA Tässä kappaleessa tarkastellaan yksinkertaisia optisia instrumentteja, joiden toiminta voidaan ymmärtää geometrisen optiikan periaatteilla. 8.1 KAIHTIMET, PUPILLIT JA IKKUNAT Kaikki esinepisteestä kohti optista systeemiä lähtevät säteet eivät osallistu kuvan muodostukseen. Säteiden kulkua rajoittaa mm. linssien ja peilien koot (aukot) ja tarkoituksella systeemiin asetetut himmentimet eli kaihtimet. Kaihtimilla vähennetään mm. kuvausvirheitä ja ne ovat tarpeen myös hajavalon rajoittamiseksi. Aukkokaihdin (Aperture Stop, AS) on se systeemin elementti, joka määrää kuinka suuri optisella akselilla olevasta esinepisteestä lähtevä valokartio voi läpäistä systeemin. Se siis kontrolloi kuvan kirkkautta, ei kokoa. Aukkokaihdin voi olla todellinen (esimerkiksi kameran objektiivissa on erillinen säädettävä kaihdin) tai jonkin kuvaavan elementin määräämä (esimerkiksi linssin halkaisija).
4 176 Tulopupilli (Entrance Pupil, EnP) on aukkokaihdin sellaisena kuin systeemiin tuleva säde sen näkee ts. aukkokaihtimen kuva aukkokaihdinta edeltävällä optiikalla muodostettuna. Edellisissä esimerkeissä tulopupilli on itse aukkokaihdin (AS). Lähtöpupilli (Exit Pupil, ExP) on aukkokaihdin sellaisena kuin systeemistä lähtevä säde sen näkee, ts. aukkokaihtimen kuva muodostettuna kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Pääsäde (hief Ray) on mikä tahansa säde, joka ei lähde esineen optisella akselilla olevasta pisteestä ja joka kulkee aukkokaihtimen keskipisteen kautta. Kenttäkaihdin (Field Stop, FS) määrää näkökentän suuruuden. Esimerkiksi katsottaessa ikkunasta ulos ikkunat karmit toimivat kenttäkaihtimena. Kamerassa kenttäkaihtimena on filmikehikko. Kenttäkaihdin löydetään "kiertämällä" aukkokaihtimen keskipisteen kautta kulkevaa pääsädettä kunnes jokin komponentti rajoittaa sen kulkua. Kyseinen komponentti on kenttäkaihdin. Edellisessä esimerkissä (Esim. 3) kenttäkaihdin on linssi, koska se rajoittaa pääsädettä ensimmäisenä.
5 177 Tuloikkuna (Entrance Window, EnW) on kenttäkaihtimen kuva kaihdinta edeltävällä optiikalla. Lähtöikkuna (Exit Window, ExW) on kenttäkaihtimen kuva kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Kenttäkaihdin FS rajoittaa näkökulmaa, joka on pääsädekartion kulma, esine puolella kulma a (ks. kuva yllä) tulopupillin (EnP) kohdalla ja kuva puolella kulma a ' lähtöpupillin (ExP) kohdalla Esimerkki: Esine, jonka korkeus on cm, sijaitsee 10 cm:n etäisyydellä linssistä, jonka polttoväli on +5 cm ja halkaisija 5 cm. Linssin edessä cm:n etäisyydellä sijaitsee kaihdin, jonka halkaisija on cm. a) Laske kuvan paikka ja koko. b) Määritä aukkokaihdin ja laske tulo- ja lähtöpupillin paikka ja koko. c) Piirrä aukkokaihtimen määräämä valokartio systeemin läpi ja esineen kärjestä lähtevä pääsäde. Ratkaisu: a) s 10 cm ja f 5 cm, joten kuvan paikaksi saadaan sf 10 5 s' cm 10 cm s - f 10-5 ja suurennukseksi tulee m - s '/ s -1, joten kuva on kääntynyt ja cm:n korkuinen. Kuvaaja mittakaavassa:
6 178 b) Kuvaajan perusteella nähdään suoraan, että esineen optiselta akselilta olevasta pisteestä piirrettyä valokartiota rajoittaa kaihdin, joten se on nyt systeemin aukkokaihdin. Tulopupilli on aukkokaihtimen kuva kaihdinta edeltävällä optiikalla. Nyt edeltävää optiikkaa ei ole, joten itse aukkokaihdin on samalla tulopupilli. Tulopupilli on siis cm linssistä vasemmalle ja sen halkaisija on cm. Lähtöpupilli on aukkokaihdin kuvattuna kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Tässä kuvauksessa s cm ja f 5cm, joten sf 5 s ' -10/3 cm ja s- f -5 s' 10 1 m- 5/3 s 3 Lähtöpupilli on siis noin 3,33 cm linssistä vasemmalle ja sen halkaisija on (cm) 5/3» 3,33 cm. c) valokartio ja pääsäde: Valokartio (tai sen jatke) kulkee AS:n ja myös E n P:n ja E x P:n reunojen kautta. Pääsäde (tai sen jatke) kulkee AS:n, E n P:n ja E x P:n keskipisteiden kautta
7 Esimerkki: Sama systeemi kuin edellä. a) Määritä kenttäkaihdin sekä tulo- ja lähtöikkunat. b) Piirrä äärimmäisten pääsäteiden kartio systeemin läpi. c) Laske systeemin näkökulma. Ratkaisu: a) Kiertämällä pääsädettä AS:n keskipisteen ympäri havaitaan (ks. edellisen tehtävän kuva), että linssi rajoittaa sitä ensin, siis: - kenttäkaihdin (FS) on linssi - tuloikkuna (EnW) on linssi (ei kuvaavaa optiikkaa edellä) - lähtöikkuna (ExW) on linssi (ei kuvaavaa optiikkaa takana) b) Mittakaava 1:1 sekä z- että y-suunnassa Valokartio (tai sen jatke) kulkee FS:n ja myös EnW:n ja ExW:n reunojen kautta ja AS:n sekä EnP:n ja ExP:n keskipisteiden kautta. (Tässä kuvassa on "sattuma" että kartio kulkee läheltä AS:n sekä EnP:n ja ExP:n reunoja) c) Näkökulmat (merkitty kuvaan): a E W:n halkaisija/ 5/ 5 tan( ) n Þ a 103 E n W:n ja E n P:n väli 4 a' E W:n halkaisija/ 5 / 3 tan( ) x Þ a ' 74 E x W:n ja E x P:n väli 10 /
8 PRISMAT Taittava prisma muodostuu kahdesta tasosta, jotka ovat kulmassa A toistensa suhteen (katso kuvaa). Taittava kulma A ja tasojen välisen materiaalin taitekerroin n määräävät prisman läpi kulkevan säteen poikkeaman (deviaation) d suuruuden. Tarkastellaan prisman taittokykyä alla olevan kuvan mukaisesti. Valonsäde etenee ns. pääleikkauksessa eli taittavan särmän normaalitasossa. Kuvasta saadaan: ìd d 1 + d (q 1 - q '1 ) + (q - q ' ) í î A (90 - q '1 ) - (90 - q ' ) q '1 + q ' josta seuraa suoraan d q1 + q - A. Snelliuksen lain mukaan on ìsin q1 n sin q '1. í îsin q n sin q ' Deviaatiokulma d saadaan kulmien A ja q1 avulla, kun ensin kirjoitetaan sin q n sin( A - q '1 ) ja sovelletaan sitten identiteettiä sin(a - b ) sin a cos b - cos a sin b. Lopulta tulee (kotilasku) d q1 + arcsin ëé n - sin q1 sin A - sin q1 cos Aûù - A. (8..1)
9 181 Tulos on tarkka, mutta sitä on hankala käyttää. Tilanne yksinkertaistuu huomattavasti, jos säde kulkee prisman läpi symmetrisesti. Tällöin myös poikkeamalla on minimi. Miksi symmetrisesti kulkevan säteen deviaatio on minimissä? Tulos voidaan laskea minimoimalla deviaation lauseketta (8..1). Lasku on pitkähkö, joten perustellaan tulos nyt toisin. Seuraava selitys perustuu kokeelliseen havaintoon, jonka mukaan minimideviaatio havaitaan vain yhdellä tulokulman q 1 arvolla: Kuvassa alla säde kulkee prisman läpi symmetrisesti, ts. niin, että q q1 q. Oletetaan nyt, että minimideviaatio tapahtuisi jollakin epäsymmetrisellä ( q ¹ q 1 ) säteen kululla, tulokulmalla q 1. Säteen kulku on käänteistä, joten vastakkaisesta suunnasta tuleville säteille minimideviaatio tapahtuisi tulokulmalla q. Prismalla olisi siis kaksi eri tulokulmaa, joilla minimideviaatio tapahtuisi. Tämä on vastoin havaintoa, joten oletuksen on oltava väärin. Siispä jos säde kulkee prisman läpi symmetrisesti, deviaatio on minimissään.
10 18 Minimideviaatiossa sivun 180 yhtälöistä saadaan A+d A ja A q ' Þ q '. d q - A Þ q Kun nämä sijoitetaan Snelliuksen lakiin sin q n sin q ', saadaan sin 1 (d + A). (8..) n 1 sin A Tämä tulos on tarkka. Mittaamalla minimideviaatio prismalle, jonka taittava kulma on A, saadaan prismamateriaalin taitekerroin laskettua yo. tuloksesta. Kun taittava kulma A on pieni, sinit voidaan korvata kulmillaan ja saadaan approksimaatio 1 (d + A), n» 1 A josta edelleen d» (n - 1) A. (8..3) Kun A 15, kaavan virhe on noin 1%. Kulmalle A 30 virhe on noin 5%. Dispersio Lasin (optisen materiaalin yleensä) taitekerroin riippuu aallonpituudesta, n n(l ). Säteen suunnan muutos eli deviaatio prismassa on siten myös valon väristä riippuvainen. Tästä seuraa, että prisma hajottaa valkoisen valon väreihin. Materian taitekerroin voidaan ilmaista ns. auchy'n kaavalla B (8..4) n(l ) A , l l
11 183 jossa A, B,, jne., ovat kullekin materiaalille ominaisia, kokeellisesti määritettäviä, vakioita. Tavallisesti riittää kaksi ensimmäistä termiä. Normaalissa tapauksessa kaava (8..4) antaa taitekertoimelle viereisen kuvan mukaisen käyttäytymisen. Dispersio on taitekertoimen aallonpituusriippuvuus, ts. dn B»- 3. dl l Dispersio ei siis riipu taitekertoimen absoluuttisesta arvosta (A) vaan etupäässä kertoimesta B. Jos B > 0, niin dn d l < 0 ja tilanne on edellisen kuvan mukainen. Puhutaan normaalista dispersiosta. Jos tilanne on päinvastainen tai dn d l on epäjatkuva, kysymyksessä on anomaalinen dispersio. Kaikilla aineilla on myös anomaalista dispersiota, mutta tavallisesti anomaalisuus esiintyy näkyvän alueen ulkopuolella. Fraunhoferin viivat Optiikassa aallonpituuksien identifioiminen värien perusteella (punainen, keltainen,...) on aivan liian epätarkkaa. Käytännössä tarvitaan joukko hyvin tarkasti tunnettuja referenssiaallonpituuksia. Optisella alueella aallonpituusstandardeina käytetään erilaisista purkauslampuista saatavia ns. Fraunhoferin viivoja.
12 184 Fraunhoferin viivoja on hyvin paljon läpi koko optisen alueen. Edellisessä taulukossa on annettu vain kolme näkyvän alueen tärkeintä viivaa. Ne ovat vedyn F- ja -viivat (sininen ja punainen) sekä natriumin D-viiva (keltainen). F- ja - viivat edustavat näkyvän alueen reunoja ja D-viiva on keskellä. Optisten lasien valmistajat ilmoittavat lasiensa dispersio-ominaisuudet taitekertoimen n D ja ns. Abben luvun V avulla nd -1 V. nf - n Mitä pienempi on V, sitä suurempi dispersio lasilla on. Tavallisilla optisilla laseilla taitekerroin n D on välillä n D ja Abben luku välillä V Suuri dispersio ei välttämättä edellytä suurta taitekerrointa. Prisman dispersiolla D tarkoitetaan prisman kykyä hajottaa valkoinen valo väreihin. On tärkeää erottaa toisistaan prisman deviaatio d ja dispersio D. Asiaa valaisee seuraava kuva: Näkyvän valon keskialueella keltaisen D-viivan deviaatiolle tulee d d»( n - 1) A. Reuna-alueilla punaisen -viivan deviaatio on ja sinisen F-viivan D D d»( n - 1) A, d»( n - 1) A. F F
13 185 Näissä kaavoissa A on taittava kulma, joka nyt oletetaan pieneksi, katso (8..3). Punaisen ja sinisen viivan deviaatioiden erotus kuvaa nyt dispersiota, ts. D d F - d (nf - n ) A. Prismalasin dispersiokyky (dispersive power) määritellään nyt: D n - n. (8..5) D F nd - 1 d Huomaa että D -1 V Esimerkki: Prismalla, jonka taittava kulma on 60 on määritetty seuraavat minimideviaatiokulmat: -viiva punainen 38 0' D-viiva keltainen 38 33' F-viiva sininen 39 1' Laske prisman dispersiokyky. Ratkaisu: Minimideviaatiokulmat (1 aste on 60 minuuttia, ts. 1' (1/ 60) ) : -viiva 38,333 D-viiva F-viiva Tässä taittava kulma A 60 on suuri, joten on käytettävä tarkkaa tulosta (8..) sin 1 (d + A) sin 1 (d + 60 ) 1 sin (d + 60 ) n sin 1 A sin 30 Approksimaatiolla (8..3) laskettaessa kaava olisi n 1 + d / A 1 + d / 60 Tulee: tarkasta approksimaatiosta n nd nf ja dispersiokyvyksi saamme
14 186 nf -n D tarkasta (0.05 approksimaatiosta). nd Eri lasilaaduista valmistettuja prismoja voidaan yhdistää (kitata toisiinsa) eri tavoilla. Muutamia esimerkkejä: 1. Akromaattinen prisma taittaa valoa hajottamatta sitä väreihin: D1+ D 0, Þ( n - n ) A + ( n - n ) A 0. Þ A - 1F 1 1 F n -n A 1F 1 1 nf -n. Huom! Koska A < 0, prisma on ylösalaisin. Suoraanhajottava prisma ei poikkeuta D-viivaa lainkaan: d d 1D + D 0 Þ( n - 1) A + ( n - 1) A 0 Þ A - 1D 1 D n -1 A. 1D 1 nd Esimerkki: Käytettävissä on kruunulasia ja piilasia, joiden taitekertoimet ovat seuraavat: Kruunu: n 1,57, n D 1,530, n F 1,536 Pii: n 1,630, n D 1,635, n F 1,648 Näistä on muodostettava suoraanhajottava prisma. Piilasisen prisman taittava kulma on 5. Laske kruunulasiprisman taittava kulma
15 187 sekä - ja F -säteiden välinen kulma prisman jälkeen. Oleta prismat ohuiksi ja minimideviaatioehdon toteutuvan kaikille säteille. Ratkaisu: Suoraan hajottava prisma. Kruunulasin taittava kulma: n » -6 A - 1D A1 n D F-säteen deviaatio: d F d F 1 + d F (nf 1-1) A1 + (nf - 1) A (-5.99 ) säteen deviaatio: d d 1 + d (n1-1) A1 + (n - 1) A (-5.99 ) Erotus d F - d » 0.63 mrad Prismaspektrometrit Optinen spektrometri on laite, jolla analysoidaan suoraan valolähteestä tulevan tai jonkin näyteaineen läpi menneen säteilyn aallonpituusjakaumaa. Tutkitaan siis mitä aallonpituuksia valossa on ja mitä ei. Spektrometrissä tarvitaan komponentti, joka hajottaa valon väreihin. Prismaspektrometrissä tällaisena ns. dispersiivisenä elementtinä käytetään prismaa, joka antaa eri aallonpituuksille eri deviaatiokulmat. Prismaspektrometrin oleelliset osat on esitetty seuraavassa kuvassa:
7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI
67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli
Lisätiedota ' ExW:n halkaisija/2 5/ 2 3
79 ------------------------------------------------- Esimerkki: Sama systeemi kuin edellä. a) Määritä kenttäkaihdin sekä tulo- ja lähtöikkunat. b) Piirrä äärimmäisten pääsäteiden kartio systeemin läpi.
LisätiedotYHDEN RAON DIFFRAKTIO. Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11.
YHDEN RAON DIFFRAKTIO Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11. Vanha tenttitehtävä Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma saadaan lausekkeesta æsin b ö I = I0 ç b è ø, missä b = 1
LisätiedotKuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): ja kuvausyhtälö (6.3.2) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon + =. (6.3.
135 Kuvan etäisyys tässä tapauksessa on ns. polttoväli (focal length): R ì f > 0, kovera peili f = í (6.3.3) î f < 0, kupera peili ja kuvausyhtälö (6.3.) voidaan kirjoittaa mukavaan muotoon 1 1 1 + =.
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi
LisätiedotTeoreettisia perusteita I
Teoreettisia perusteita I - fotogrammetrinen mittaaminen perustuu pitkälti kollineaarisuusehtoon, jossa pisteestä heijastuva valonsäde kulkee suoraan projektiokeskuksen kautta kuvatasolle - toisaalta kameran
LisätiedotRatkaisu: Taittuminen ensimmäisessä pinnassa on tietysti sama kuin edellisessä esimerkissä. Säteet taittuvat ja muodostaisivat kuva 40 cm:n
141 ------------------------------------------------Esimerkki: Paksu linssi. Edellisessä esimerkissä materiaali 2 ulottuu niin pitkälle, että kuva muodostuu sen sisälle. Miten tilanne muuttuu, jos jälkimmäinen
LisätiedotTyö 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TYÖN TAVOITE Työssä perehdytään optisiin ilmiöihin tutkimalla valon kulkua linssisysteemeissä ja prismassa. Tavoitteena on saada
LisätiedotGeometrinen optiikka. Tasopeili. P = esinepiste P = kuvapiste
Geometrinen optiikka Tasopeili P = esinepiste P = kuvapiste Valekuva eli virtuaalinen kuva koska säteiden jatkeet leikkaavat (vs. todellinen kuva, joka muodostuu itse säteiden leikkauspisteeseen) Tasomainen
Lisätiedotja siis myös n= nk ( ). Tällöin dk l l
Tästä havaitaan, että jos nopeus ei riipu aallonpituudesta, ts. ei ole dispersiota, vg = v p. Tilanne on tällainen esimerkiksi tyhjiössä, missä vg = v p = c. Dispersiivisessä väliaineessa v p = c/ n, missä
Lisätiedot6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA
127 6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan
LisätiedotKuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.
FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin
LisätiedotRATKAISUT: 16. Peilit ja linssit
Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,
Lisätiedot3. Optiikka. 1. Geometrinen optiikka. 2. Aalto-optiikka. 3. Stokesin parametrit. 4. Perussuureita. 5. Kuvausvirheet. 6. Optiikan suunnittelu
3. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Aalto-optiikka 3. Stokesin parametrit 4. Perussuureita 5. Kuvausvirheet 6. Optiikan suunnittelu 3.1 Geometrinen optiikka! klassinen optiikka! Valoa kuvaa suoraan
Lisätiedotd sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila
Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
Lisätiedot8.3 KAMERAT Neulanreikäkamera
88 Analysoitava valo tulee vasemmalta. Se okusoidaan kapeaan rakoon S (tulorako), josta se kollimoidaan linssillä L yhdensuuntaiseksi sädekimpuksi. Rako S on siis linssin polttovälin päässä linssistä.
LisätiedotHILA JA PRISMA. 1. Työn tavoitteet. 2. Työn teoriaa
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt. Työn tavoitteet Tässä työssä tutustut hilaan ja prismaan, joiden avulla valo voidaan hajottaa eri väreiksi eli eri aallonpituuksiksi.
LisätiedotSPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA
FYSA234/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 Johdanto Kvanttimekaniikan mukaan atomi voi olla vain tietyissä, määrätyissä energiatiloissa. Perustilassa, jossa atomi normaalisti on, energia on pienimmillään.
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotFYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA
FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 JOHDANTO Työssä tutustutaan hila- ja prismaspektrometreihin, joiden avulla tutkitaan valon taipumista hilassa ja taittumista prismassa. Samalla tutustutaan eräiden
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotYOUNGIN KOE. varmistaa, että tuottaa vaihe-eron
9 10. YOUNGIN KOE Interferenssin perusteella voidaan todeta, onko jollakin ilmiöllä aaltoluonne. Historiallisesti ajatellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokeet 1800-luvun alussa olivat hyvin merkittäviä.
Lisätiedot34. Geometrista optiikkaa
34. Geometrista optiikkaa 34. Kuvan muodostuminen 2 Lähtökohta: Pistemäisestä esineestä valonsäteet lähtevät kaikkiin suuntiin. P P 3 s s Arkihavainto: Tasopeili muodostaa kuvan heijastamalla esineen pisteistä
LisätiedotS-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö
S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedot6 GEOMETRISTA OPTIIKKAA
127 6 GEOMETISTA OPTIIKKAA Näemme itsemme peilistä. Kuuta voidaan katsoa kaukoputken läpi. Nämä ovat esimerkkejä optisesta kuvan muodostumisesta. Molemmissa tapauksissa katsottava esine näyttää olevan
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
Lisätiedot9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO
09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa olemme tutkineet valon heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla Approksimaatiossa valon aaltoluonnetta
Lisätiedot1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011
1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan
LisätiedotFYSA2031/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA
FYSA2031/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 Johdanto Kvanttimekaniikan mukaan atomi voi olla vain tietyissä, määrätyissä energiatiloissa. Perustilassa, jossa atomi normaalisti on, energia on pienimmillään.
Lisätiedota b c d
.. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedot11.1 MICHELSONIN INTERFEROMETRI
47 11 INTERFEROMETRIA Edellisessä kappaleessa tarkastelimme interferenssiä. Instrumentti, joka on suunniteltu interferenssikuvion muodostamiseen ja sen tutkimiseen (mittaamiseen) on ns. interferometri.
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotValon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen
Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Lisätiedoteli HUOM! - VALEASIAT OVAT AINA NEGATIIVISIA ; a, b, f, r < 0 - KOVERALLE PEILILLE AINA f > 0 - KUPERALLE PEILILLE AINA f < 0
PEILIT KOVERA PEILI JA KUPERA PEILI: r = PEILIN KAAREVUUSSÄDE F = POLTTOPISTE eli focus f = POLTTOVÄLI eli polttopisteen F etäisyys pelin keskipisteestä; a = esineen etäisyys peilistä b = kuvan etäisyys
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut
A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 8.5.014, malliratkaisut Kalle ja Anne tekivät fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla jäällä.
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Optiikka. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos
Optiikka Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 5. Optiikka Geometrinen optiikka Peilit ja linssit Perussuureita Kuvausvirheet Aalto-optiikka Optiikan suunnittelu 5.1 Geometrinen optiikka Klassinen
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotValo, valonsäde, väri
Kokeellista fysiikkaa luokanopettajille Ari Hämäläinen kevät 2005 Valo, valonsäde, väri Näkeminen, valonlähteet Pimeässä ei ole valoa, eikä pimeässä näe. Näkeminen perustuu esineiden lähettämään valoon,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot5. Optiikka. Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman. HTTPK I, kevät 2012, luento 5
5. Optiikka Havaitsevan tähtitieteen pk I, luento 5, 16.2. 2012 Kalvot: Jyri Näränen ja Thomas Hackman 1 5. Optiikka 1. Geometrinen optiikka 2. Peilit ja linssit 3. Perussuureita 4. Kuvausvirheet 5. Aalto-optiikka
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Lisätiedot5.3 FERMAT'N PERIAATE
119 5.3 FERMAT'N PERIAATE Fermat'n periaatteen mukaan valo kulkee kahden pisteen välisen matkan siten, että aikaa kuluu mahdollisimman vähän, ts. ajalla on ääriarvo (minimi). Myös Fermat'n periaatteesta
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedot12.3 KAHDEN RAON DIFFRAKTIO. Yhden kapean raon aiheuttama amplitudi tarkastelupisteeseen P laskettiin integraalilla E = ò,
9 1.3 KAHDN RAON DIFFRAKTIO Yhden kapean raon aiheuttama amplitudi tarkastelupisteeseen P laskettiin integraalilla = ò, + / L ikssinq R e ds r - / missä s on alkion ds etäisyys raon keskipisteestä, ja
LisätiedotFYSI1040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus 1 1 / 6
FYSI040 Fysiikan perusteet III / Harjoitus / 6 Laskuharjoitus 2. Halogeenilampun käyttöhyötysuhde on noin 6 lm/w. Laske sähköiseltä ottoteholtaan 60 watin halogenilampun tuottama: (a) Valovirta. (b) Valovoima
Lisätiedot4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta
4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,
Lisätiedot7. Resistanssi ja Ohmin laki
Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotKartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
Lisätiedot2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
LisätiedotOPTIIKAN TYÖ. Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti:
Fysiikka 1-2:n/Fysiikan peruskurssien harjoitustyöt (mukautettu lukion oppimäärään) Nimi: Päivämäärä: Assistentti: OPTIIKAN TYÖ Vastaa ensin seuraaviin ennakkotietoja mittaaviin kysymyksiin. 1. Mitä tarkoittavat
LisätiedotPolarisaatio. Timo Lehtola. 26. tammikuuta 2009
Polarisaatio Timo Lehtola 26. tammikuuta 2009 1 Johdanto Lineaarinen, ympyrä, elliptinen Kahtaistaittuvuus Nicol, metalliverkko Aaltolevyt 2 45 Polarisaatio 3 Lineaarinen polarisaatio y Sähkökentän vaihtelu
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotYmpyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotRatkaisut Tarkastelemme kolmiota ABC, jonka sivujen pituudet ovat!, & ja ' ja niiden vastaiset korkeudet
197 Lausu logaritmeja käyttämättä jaksollisen desimaaliluvun (kymmenysluvun) 0,578703703 kuutiojuuri jaksollisena desimaalilukuna. [S3, pitempi kurssi] Ratkaisut 1917 197 1917 Tarkastelemme kolmiota ABC,
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
Lisätiedot. Lasketaan muutamia pisteitä ja piirretään kuvaajat:
RATKAISUOHJEET Harjoitus 1 1. a) Tässä paikka x ja aika t esiintyvät muodossa xv t, joten funktio etenee muotonsa säilyttäen. Nopeus on 1 m/s positiivisen x-akselin suuntaan. b) Tässä paikka z ja aika
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotKenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Lisätiedot2 paq / l = p, josta suuntakulma q voidaan ratkaista
33 Esimerkki: Youngin kokeessa rakojen välimatka on 0, mm ja varjostin on m:n etäisyydellä. Valon aallonpituus on 658 nm. a) Missä kulmassa rakojen keskeltä katsottuna näkyy keskimaksimin viereinen minimi?
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Lisätiedotja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:
10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotKenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotHarjoitus 7 -- Ratkaisut
Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä
LisätiedotPHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016
PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
Lisätiedotd+tv 1 S l x 2 x 1 x 3 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen
MEI-55100 Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen Tehtävä 1: Tarkastellaan luentojen esimerkkiä, jossa johepalkki liikkuu kahen johelevyn välissä homogeenisessä magneettikentässä,
LisätiedotTyö 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1
Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012
Lisätiedot