Hypermedian jatko-opintoseminaari

Transkriptio

1 Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa Hypermedia jatko-opitosemiaari Matrices i Social Network Aalysis Ad Modelig Matriisit sosiaaliste verkostoje mallitamisessa Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi = X

2 Sisältö 2 Perusteluja matriisie ja matriisilaskea käytö soveltuvuudesta sosiaaliste verkostoje kvatitatiivise tutkimukse välieiä Sosiaaliste verkostoje aalyysissä käytettävä matriisiotaatio ja -laskea perusteita Taustalla pääosi Wassermai ja Fausti (994) kirjassaa esittämät sosiaaliste verkostoje malliuksessa käytettäviä matriiseja koskevat teoriat Laajeuksia Ruohose Graafiteoria (26) opetusmoisteesta sekä Koke ja Yagi (28) ja Scotti (2) teoksista Termistö suomeokset pohjautuvat Ruohose (26) ja Johassoi et al. (995) teoksissa käytettyihi suomeoksii Kuvat tehty yed -ohjelmistoilla ellei muuta ole maiittu Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

3 Tavoitteet 3 Matriisilaskea peruskäsitteide ymmärtämie Tässä ei kuitekaa perehdytä liia tarkoi yleisii matriisioperaatioihi tai matriisie yleisii yksittäisii omiaisuuksii Vai välttämättömimmät matriisilaskea perusteet esitellää tarvittaessa Matriisilaskea tärkeyde korostamie sosiaaliste verkostoje kvatitatiivisessa aalyysissa SNA:ssa käytettävä matriisiaalyysi perusteide ymmärtämie Jatkossa esiteltävät keskeisyyde (cetrality) ja arvostukse (prestige) käsitteet kokretisoituvat matriisie avulla suoritetulla laskealla Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

4 Sosiomatriisi 4 Verkosto toimijat ja eri toimijaparie väliset suuatut / suutaamattomat yhteydet voidaa esittää yhteä matriisia Jos verkosto koostuu g toimijasta, joide välillä joko o yhteys tai yhteys puuttuu, voidaa toimijoide väliset yhteydet kuvata taulukkoa, jossa kulleki toimijalle o merkitty oma vaakarivi ja vastaava pystysarake Taulukkoo merkitää biääriluvuilla ja toimijoide välise yhteyde olemassa olo se., alkio saa arvo, jos yhteyttä ei ole, ja arvo, jos toimijoide välillä o yhteys Koska silmukoita ei sallita verkostossa, tauluko lävistäjä alkiot jätetää määrittelemättä Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

5 Sosiomatriisi 5 Taulukko o g x g vieruspistematriisi (a adjacecy matrix) X, joka alkiot x ij määritellää, lk = ( i, j ) ei ole olemassa xij =, lk = ( i, j ) o olemassa Tätä vieruspistematriisia imitetää SNA:ssa sosiomatriisiksi (a sociomatrix, sociomatrices) Edellä esitetystä taulukosta saadaa siis sosiomatriisi X X = Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

6 Sosiomatriisi omiaisuuksia 6 Sosiomatriisi o yleisesti asymmetrie (asymmetric) suutaamattomille graafeille, mutta aia symmetrie (symmetric) suutaamattomille graafeille Täydellise K g -graafi sosiomatriisi jokaie diagoaalialkiosta poikkeava alkio o arvoltaa Vastaavasti tyhjää graafia vastaa sosiomatriisi, jossa jokaie (diagoaalialkiosta poikkeava) alkio o arvoltaa Arvotetuille graafeille sosiomatriisi alkiot ovat reaalilukuja, jotka vastaavat toimijoide väliste yhteyksie arvoja v k Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

7 Isidessimatriisi 7 Isidessimatriisissa (a icidece matrix) o esitetty tieto siitä, mitkä graafi (verkosto) solmut ovat johtuvia (icidet) miki graafi (verkosto) kaare suhtee Isidessimatriisissa kutaki solmua vastaa yksi matriisi rivi ja kutaki kaarta yksi sarake Jos siis verkostossa o g solmua ja L kaarta, o isidessimatriisi I g x L matriisi Isidessimatriisi alkiot I ij ovat biäärisiä se., jos solmu i o liittyyt kaaree l j, o I ij =, ja mikäli taas solmu i ei ole liittyyt kaaree l j, o I ij = Isidessimatriisi jokaisessa sarakkeessa o täsmällee kaksi ykköstä iillä riveillä, jotka edustavat kyseise kaare päätepisteitä Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

8 Isidessimatriisi 8 l l 2 l 3 l 4 l I = Isidessimatriisia I vastaava graafi Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

9 Kaksi-moodise verkosto ja hypergraafi matriisit 9 Kaksi-moodise verkosto (two-mode etwork) sosiomatriisi o g x h matriisi, jossa kutaki solmua joukosta N = {, 2,, g } vastaa yksi rivi ja kutaki solmua joukosta M = {m,m 2,,m h } vastaa yksi sarake Hypergraafia H (N,M ) kuvaava matriisi A o g x h matriisi, jossa alkio a ij =, jos pistejouko N = {, 2,, g } piste i o kaarijouko M = {M,M 2,,M h } kaaressa M j, ja muulloi Matriisia A o saottu hypergraafi isidessimatriisiksi, koska se ilmoittaa mitkä pisteet ovat liittyeet mihiki kaarii Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

10 Matriisioperaatioista Sosiaaliste verkostoje aalyysissa sosiomatriiseilla suoritettavaa lasketaa tarvitaa seuraavia matriisilaskea perusoperaatioita Matriisi X traspoosi X (X T ) Matriisie X ja Y yhtee- ja väheyslasku Matriisie X ja Y kertolasku ja matriisi potessi Matriisipermutaatio Edellä maiituista matriisioperaatioista viimeksi maiittu matriisipermutaatio käsitellää seuraavaksi pääkohdiltaa lyhyesti Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

11 Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa Matriisipermutaatio Yksikertaisuudessaa sosiomatriisie kohdalla matriisipermutaatiolla tarkoitetaa matriisi rivie ja sarakkeide samaaikaista ja vastaavalaista uudellee ryhmittelyä Sosiomatriisi sisältämä tieto verkostosta säilyy muuttumattomaa Aioastaa solmuje ideksoiti muuttuu Sopivalla permutoiilla saadaa matriisista itsessää eemmä kertova esim. verkostoaalyysissä aliryhmie etsimisessä = X = X

12 Kulku 2 Sosiomatriisi X alkiot x ij kertovat, oko solmuje i ja j välillä kulku i j Sosiomatriisi X eliö X 2 alkio x ij määritellää x [ 2] ij = k = Tämä summa yksi termi x ik x kj = vai, jos molemmat yhteydet ( i, k ) ja ( k, j ) ovat olemassa Summa laskee siis kulkuje, joide pituus o kaksi, lukumäärä solmusta i solmuu j g x ik x kj Sosiomatriisi X eliö X 2 alkiot ilmoittavat verkostossa olevie kulkuje, joide pituus o kaksi, lukumäärä solmusta i solmuu j Edellee matriisi X p alkiot ilmoittavat solmuje välisie kulkuje, joide pituus o p, lukumäärä [ 2] x ij Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

13 Saavutettavuus 3 Saavutettavuudella (reachability) tarkoitetaa sitä, että oko joideki verkosto kahde solmu välillä kulku [ R] Saavutettavuusmatriisissa (a reachability matrix) alkio X o yksi, jos solmuje i ja j välillä o kulku, olla muulloi Verkostossa kulku voi olla pituudeltaa korkeitaa g- Sosiomatriisi X potessit X 2, X 3,, X g- ilmoittavat solmuje väliste erimittaiste kulkuje lukumäärät [ Σ] Näide summamatriisi X [ Σ] g i 2 3 g X = X = X + X + X X i= ilmoittaa kaikkie erimittaiste kulkuje lukumäärät solmuparie välillä [ Σ] Tästä summamatriisista X saadaa saavutettavuusmatriisi [ R] [ Σ] X, ku matriisi X ollasta poikkeavat alkiot merkitää ykkösiksi Saavutettavuusmatriisi o määritettävissä myös Warshalli algoritmilla lasketatehokkaammi suurille verkostoille Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa [ R] x ij

14 Geodeesi ja etäisyys 4 Geodeesit eli solmuje lyhimmät etäisyydet esitetää usei etäisyysmatriisi (a distace matrix) avulla Etäisyysmatriisi alkiot d(i,j) ilmoittavat solmuje i ja j välise lyhimmä etäisyyde pituude Lyhimmät etäisyydet löytyvät tarkastelemalla sosiomatriisia X ja se potessimatriiseja X 2, X 3,, X g- se., d [ ] ( i, j ) = mi x p p ij > Verkosto halkaisija o yhtä suuri kui suuri verkostosta löytyvä geodeettie etäisyys, eli ts. halkaisija arvo o yhtä suuri kui etäisyysmatriisi alkioide maksimi (max [d(i,j)]) Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

15 Solmuje asteluvut 5 Suutaamattomille verkostoille solmuje asteluvut ovat helposti laskettavissa sosiomatriisi X tai isidessimatriisi I avulla Isidessimatriisissa rivillä o merkitty :llä, jos kaari o liittyyt solmuu ja :lla, jos kaari ei ole liittyyt solmuu Nyt siis solmu i asteluku d( i ) saadaa isidessimatriisi rivisummaa, eli L d( i ) = I ij j= Sosiomatriisissa rivillä o merkitty :llä, jos saraketta vastaava solmu o liittyyt kaarella riviä vastaavaa solmuu Nyt siis solmu i asteluku d( i ) saadaa sosiomatriisi rivisummaa tai sarakesummaa, koska matriisi o symmetrie, eli ts. g g d ( i ) = xij = xij = xi+ = x+ j j= i= Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

16 Solmuje vieti- ja tuotiluvut 6 Suuatuille verkostoille solmuje vieti- ja tuotiluvut (outdegree, idegree) ovat helposti laskettavissa sosiomatriisi X avulla Sosiomatriisissa rivillä o merkitty :llä, jos riviä vastaavasta solmusta lähtee uoli saraketta vastaavaa solmuu Nyt siis solmu i vietiluku d O ( i ) saadaa sosiomatriisi rivisummaa, eli d O i g ( ) = x = xi j= ij Sosiomatriisissa sarakkeessa o merkitty :llä, jos saraketta vastaavaa solmuu tulee uoli riviä vastaavasta solmusta + Nyt siis solmu i tuotiluku d I ( i ) saadaa sosiomatriisi sarakesummaa, eli g d I ( i ) = x ji = x+ i j= Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

17 Tiheys 7 Verkosto tiheys määriteltii verkostossa olemassa olevie solmuje väliste yhteyksie summa ja verkosto kaikkie mahdolliste solmuje väliste yhteyksie summa väliseä suhteea Verkostossa, jossa o g toimijaa, voi olla eitää g(g-) toimijaparie välistä suoraa yhteyttä Verkosto sosiomatriisissa o merkitty :llä, mikäli toimijapari välillä vallitsee yhteys ja :lla, jos toimipari väliltä puuttuu yhteys Nyt siis olemassa olevie yhteyksie summa saadaa yksikertaisesti sosiomatriisi kaikkie alkioide summaa, eli tiheys määritellää g g Σi= Σ j= x Δ = ij g( g ) Tämä tiheyde määritelmä pätee myös arvotetuille verkostoille Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

18 Lopuksi 8 Esitetyt perusteet ovat pohjaa laajemmalle ja yleisemmälle matriisilasketaa perustuvalle verkostoaalyysille Moet verkostosta määritettävät tuusluvut perustuvat jo pelkästää määritelmiesä puolesta verkostosta saatavaa perusdataa, joka o moilta osi helposti kerättävissä ja jalostettavissa verkostoa kuvaavasta sosiomatriisista Uohtaa ei kuitekaa sovi, että esim. graafiteoria pitää matriisilaskea ohella moi paikoi sisällää useita erilaisia meetelmiä sama kvatitatiivise aalyysi tekemisee ja ogelmie ratkaisemisee Tärkeää o löytää tilateesee sopiva meetelmä ja työkalu, joka huomioi mm. Tarvittava lähtödata Tavoiteltava tulokse Lasketatehokkuude ja -aja Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29

19 Lähteet 9 Johasso, J-E., Mattila, M. & Uusikylä, P Johdatus verkostoaalyysii. Helsiki: Kuluttajatutkimuskeskus. (Viitattu 7..29) Koke, D. & Yag, S. 28. Social Network Aalysis. Secod Editio. Los Ageles: Sage Publicatios. Ruohoe, K. 26. Graafiteoria. Tampere: Tamperee tekillise yliopisto opetusmoiste o. 5, uusi sarja. Scott, J. 2. Social Network Aalysis. A Hadbook. Secod Editio. Lodo: Sage Publicatios. Wasserma, S. & Faust, K Social Network Aalysis: Methods ad Applicatios. New York: Cambridge Uiversity Press, Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29