Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria"

Transkriptio

1 Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut: Haaraan liittyvät solmut Kaaren alku- ja loppusolmut: Kaareen liittyvät solmut Solmun aste: Solmuun liittyvien haarojen lukumäärä 1

2 b 2 1 d e c a 3 4 f 5 Suuntaamaton graafi G(N, A) Solmut N = {1,2,3,4,5} Haarat A = {a, b, c, d, e, f} = {(1,4),(1,2),(1,3),(2,3),(2,3),(3,5)} 2

3 2 b 1 d e c a 3 4 f 5 Suunnattu graafi G(N, A) Solmut N = {1,2,3,4,5} Kaaret A = {a, b, c, d, e, f} = {(1,4),(2,1),(1,3),(2,3),(3,2),(5,3)} 3

4 Polku: Katkeamaton jono solmuja ja haaroja/kaaria Silmukka: Polku, jonka alku- ja loppusolmut ovat samat Yksinkertainen polku: Solmu esiintyy polussa vain kerran Yhdistetyt solmut: Solmujen välillä on ainakin yksi polku 4

5 Yhtenäinen (yhdistetty) graafi: Kaikki solmuparit ovat yhdistettyjä Renkaaton graafi: Ei yhtään silmukkaa Puu: Graafi, joka on yhtenäinen ja renkaaton 5

6 Verkko: Graafi, jonka solmuihin ja haaroihin/kaariin liittyy numeerisia arvoja (esimerkiksi pituus, kustannus tai kapasiteetti) Virtaus: Tavara tms. kulkee solmusta toiseen kaaria/haaroja pitkin Lähdesolmu: Solmu, josta tulee lisää tavaraa verkkoon Viemärisolmu: Solmu, josta tavaraa poistuu verkosta Virtauksen säilyvyys: Solmuun saapuva ja siitä lähtevä virtaus ovat samat (paitsi lähde- ja viemärisolmuissa) 6

7 Tuotannon ajoitus Tuotetta valmistetaan usean tuotantokauden aikana Tuotteen tarve kaudella i on d i Tuotetta voidaan valmistaa myös varastoon Valmistuksesta ja varastoinnista aiheutuvat tietyt kustannukset Tavoite: Määrää tuotteen valmistusmäärät kullakin kaudella siten, että kokonaiskustannukset minimoituvat 7

8 x i = valmistusmäärä kaudella i v i = varaston koko kaudelta i kaudelle i + 1 Solmut kuvaavat kausia, solmu 0 kuvaa alkutilannetta Kaaret kuvaavat tuotteen kulkeutumista kaudelta toiselle Jokaiseen kaareen liittyy joko valmistuskustannus tai varastointikustannus 8

9 d 1 + d 2 + d 3 + d 4 0 x 1 x 2 x 3 x 4 v 1 v 2 v d 1 d 2 d 3 d 4 Tehtävä: Etsi minimihintainen virtaus verkon läpi 9

10 Lukujärjestysongelma Seminaarissa kuusi tunnin esitelmää Seminaarin kokonaiskesto neljä tuntia Esitelmän 1 kanssa ei samanaikaisesti esitelmää 3 Esitelmän 3 kanssa ei samanaikaisesti esitelmiä 1, 4, 5, 6 Esitelmän 4 kanssa ei samanaikaisesti esitelmiä 3, 5, 6 Esitelmän 5 kanssa ei samanaikaisesti esitelmiä 3, 4, 6 Esitelmän 6 kanssa ei samanaikaisesti esitelmiä 3, 4, 5 Tavoite: Järjestä esitelmät siten, että rajoitteet toteutuvat 10

11 Solmut kuvaavat esitelmiä Solmut yhdistetään haaralla, jos vastaavat esitelmät eivät saa olla samanaikaisesti Neljä eri tunnusta, yksi kullekin seminaarin tunnille 11

12 Tehtävä: Liitä jokaiseen solmuun yksi tunnus siten, että kahdella solmulla ei saa olla sama tunnus, jos niiden välillä on haara 12

13 Jakeluongelma Pizzerialla on kotiinkuljetusta varten käytössä n autoa Tavoite: Toimita pizzat asiakkaille siten, että toimituksille luvattu aikaraja ei ylity 13

14 Solmut kuvaavat pizzeriaa ja eri asiakkaita Haarat kuvaavat lyhimpiä reittejä eri solmujen välillä Jokaiseen haaraan liitetään ajoaika kyseisellä reitillä (= haaran pituus) Tehtävä: Muodosta n silmukkaa siten, että pizzeriasolmu on mukana jokaisessa silmukassa jokainen asiakassolmu on mukana jossain silmukassa jokaisen silmukan pituus viimeiseen asiakassolmuun asti ei ylitä aikarajaa 14

15 Koneen vaihto-ongelma Tarkastellaan n:ää aikaperiodia Jokaisen periodin alussa vanha kone voidaan vaihtaa uuteen tai säilyttää vanha kone Kun hankitaan uusi kone periodin i alussa ja myydään se periodin j alussa, siitä aiheutuu kustannus c ij Tavoite: Määrää, milloin kone vaihdetaan, jotta kokonaiskustannukset minimoituvat 15

16 Solmut kuvaavat periodeja 1,..., n + 1 Kaari (i, j) tarkoittaa, että kone hankitaan periodin i alussa ja myydään periodin j alussa Jokaiseen kaareen (i, j) liitetään vastaava kustannus c ij (= kaaren pituus) 16

17 Tehtävä: Etsi lyhin reitti solmusta 1 solmuun n

18 Toimintaverkko Projektissa on n osatehtävää Osatehtävät on suoritettava tiettyjen sääntöjen mukaisessa järjestyksessä Osatehtävän i suoritusaika on t i Tavoite: Määrää osatehtävien suoritusjärjestys siten, että kokonaissuoritusaika minimoituu 18

19 s i = osatehtävän i aloitusaika Solmut kuvaavat osatehtäviä Solmu 0 on projektin aloitusosatehtävä, solmu n + 1 lopetusosatehtävä Kaari (i, j) tarkoittaa, että osatehtävä i on saatava valmiiksi ennen osatehtävän j aloittamista Jokaiseen kaareen (i, j) liitetään rajoite s j s i + t i 19

20 Tehtävä: Ratkaise min s n+1 s 0 kun s j s i + t i (i, j) A 20

21 Tavallisesti kuitenkin toimintaverkko kuvataan seuraavasti: Solmut kuvaavat osatehtävien alku- ja lopputapahtumia Kaaret kuvaavat osatehtäviä Jokaiseen kaareen liitetään osatehtävän kesto (= kaaren pituus) Kaikkien tiettyyn solmuun päättyvien osatehtävien täytyy olla suoritettu ennen kuin mikään kyseisestä solmusta alkava osatehtävä voidaan aloittaa Tehtävä: Etsi pisin polku ensimmäisestä solmusta viimeiseen solmuun 21

22 Graafien ja verkkojen tietorakenteita Naapurimatriisit Insidenssimatriisit Haara- ja kaarilistat Naapurilistat 22

23 Naapurimatriisi, suuntaamaton graafi: HUOM: Symmetrinen

24 Naapurimatriisi, suunnattu graafi:

25 Insidenssimatriisi, suuntaamaton graafi: (1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5) HUOM: Täysin unimodulaarinen 25

26 Insidenssimatriisi, suunnattu graafi: (1,2) (1,3) (2,5) (3,4) (4,2) (4,5) (5,3) HUOM: Täysin unimodulaarinen 26

27 Haaralista, suuntaamaton verkko: Päätesolmu Päätesolmu Pituus (1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)

28 Kaarilista, suunnattu verkko: Alkusolmu Loppusolmu Pituus (1,2) (1,3) (2,5) (3,4) (4,2) (4,5) (5,3)

29 Naapurilista, suuntaamaton graafi: Naapurisolmut

30 Naapurilista, suunnattu graafi: Naapurisolmut (lähtevät kaaret) Naapurisolmut (tulevat kaaret)

31 Graafin tai verkon virittävä puu Aligraafi: Graafi, jossa on mukana osa (tai kaikki) solmuista ja osa (tai kaikki) haaroista Virittävä aligraafi: Aligraafi, jossa on mukana kaikki solmut Yhtenäinen virittävä aligraafi: Virittävä aligraafi, joka on yhtenäinen Minimaalinen yhtenäinen virittävä aligraafi: on mukana mahdollisimman vähän haaroja Yhtenäinen virittävä aligraafi, jossa 31

32 Puu: Graafi, joka on yhtenäinen ja renkaaton Yhtenäisen graafin minimaalinen yhtenäinen virittävä aligraafi on puu = Graafin virittävä puu (Verkon virittävä puu vastaavasti) Graafi on yhtenäinen, jos sillä on olemassa virittävä puu 32

33 Esimerkki Tiedetään, ketkä kylän asukkaista keskustelevat keskenään Tavoite: Selvitä, saavuttaako juoru kaikki kylän asukkaat Solmut kuvaavat asukkaita Haara (i, j) tarkoittaa, että asukkaat i ja j keskustelevat keskenään Tehtävä: Tutki, onko graafilla virittävää puuta 33

34 Esimerkki Rakennetaan kaapeliyhteyksiä eri kaupunkien välille Jokaisen kaupungin on oltava mukana kaapeliverkossa Kun rakennetaan yhteys kaupunkien i ja j välille, siitä aiheutuu kustannus c ij Tavoite: Määrää rakennettavat kaapeliyhteydet siten, että kokonaiskustannukset minimoituvat 34

35 Solmut kuvaavat kaupunkeja Haara (i, j) tarkoittaa, että kaupunkien i ja j välille voitaisiin rakentaa kaapeliyhteys Jokaiseen haaraan (i, j) liitetään vastaava kustannus c ij (= haaran pituus) Tehtävä: Etsi verkon virittävä puu, jonka kokonaispituus on mahdollisimman pieni 35

36 Virittävän puun etsiminen Aluksi puu on tyhjä, jokainen solmu muodostaa oman komponenttinsa ja kaikki haarat (tai kaaret) ovat tutkimattomia. 1. Jos tutkimattomia haaroja ei ole jäljellä, niin lopeta. Muuten valitse jokin haara ja merkitse se tutkituksi. 2. Jos valitun haaran molemmat päätesolmut kuuluvat samaan komponenttiin, jatka kohdasta 1. Muuten lisää haara puuhun ja yhdistä päätesolmujen komponentit samaksi komponentiksi. 3. Jos jäljellä on vain yksi komponentti, niin lopeta. Muuten jatka kohdasta 1. 36

37 Jos algoritmin päättyessä jäljellä on vain yksi komponentti, virittävä puu on löytynyt Jos halutaan löytää verkon lyhin virittävä puu, niin haarat valitaan pituuden mukaan kasvavassa järjestyksessä Jos halutaan löytää verkon pisin virittävä puu, niin haarat valitaan pituuden mukaan laskevassa järjestyksessä 37

38 Lyhimmät polut Lyhimpien polkujen tehtäviä: Etsi lyhin polku kahden solmun välillä Etsi lyhimmät polut jostain solmusta verkon kaikkiin muihin solmuihin Etsi lyhimmät polut verkon kaikkien solmujen välillä Seuraavassa oletetaan, että verkko on suunnattu, yhdistetty ja kaarien pituudet ovat kokonaislukuja 38

39 Esimerkki Pakkausongelma: max a 1 x a n x n kun w 1 x w n x n W x 1,..., x n N Vastaava lyhimmän polun tehtävä: Solmut 0,1,..., W Jokaista tavaraa j kohti kaaret (i, i + w j ), i = 0,1,..., W w j, joiden pituus on a j Lisäksi kaaret (i, i + 1), i = 0,1,..., W 1, joiden pituus on 0 (vastaavat puutemuuttujaa) Tehtävä: Etsi lyhin polku solmusta 0 solmuun W 39

40 Lyhimpien etäisyyksien puu Lyhimpien etäisyyksien puu: Sellainen verkon virittävä puu, jossa polut juurisolmusta s puun muihin solmuihin ovat samat kuin verkon lyhimmän etäisyyden polut solmusta s verkon muihin solmuihin Olkoon s = i 1 i 2 i p = t lyhin polku solmusta s solmuun t = s = i 1 i 2 i j on lyhin polku solmusta s solmuun i j kaikilla j = 2,..., p 1 = On aina olemassa lyhimpien etäisyyksien puu 40

41 Lyhimmät polut yhdestä lähtösolmusta alkaen Solmuihin liitetään tunnuksia (etäisyys lähtösolmusta, solmun edeltäjäsolmu, jne.) Tunnukset voivat olla väliaikaisia tai lopullisia Väliaikaisia tunnuksia muutetaan iteratiivisesti Tunnuksen asettavat menetelmät: Joka iteraatiolla yksi väliaikainen tunnus kiinnitetään lopulliseksi Tunnusta korjaavat menetelmät: Kaikki väliaikaiset tunnukset kiinnitetään kerralla lopullisiksi sitten, kun muutoksia ei enää voi tehdä 41

42 Dijkstran menetelmä Tunnuksen asettava menetelmä Oletus: Kaarien pituudet d ij ovat ei-negatiivisia Tunnukset: d(i) = jonkin polun pituus lähtösolmusta s solmuun i e(i) = solmun i edeltäjäsolmu kyseisellä polulla Solmut jaetaan kahteen ryhmään: P = {solmut, joiden tunnukset ovat lopullisia} T = {solmut, joiden tunnukset ovat väliaikaisia} 42

43 1. Aluksi P =, T = N, d(s) = 0 ja d(i) = kaikilla i T \ {s}. 2. Jos P = N, niin lopeta. Muuten valitse jokin solmu i T siten, että d(i) = min{d(j) j T }. Kaikilla j T siten, että on olemassa (i, j) A tee seuraavaa: Jos d(i) + d ij < d(j), niin aseta d(j) = d(i) + d ij ja e(j) = i. 3. Kiinnitä solmun i tunnukset lopullisiksi, ts. aseta P = P {i} ja T = T \ {i}. Jatka kohdasta 2. 43

44 Algoritmin päätyttyä: Lyhin etäisyys lähtösolmusta s solmuun i on d(i) Vastaava polku on i e(i) e(e(i)) s Jos halutaan löytää lyhin polku lähtösolmusta s johonkin tiettyyn solmuun t, algoritmi voidaan lopettaa, kun solmun t tunnukset on kiinnitetty lopullisiksi 44

45 Solmuja n kpl Yhdellä iteraatiolla valitaan yksi solmu, jonka tunnukset ovat väliaikaisia = n operaatiota Yhdellä iteraatiolla kiinnitetään yhden solmun tunnukset lopullisiksi = n iteraatiota = Algoritmin suoritusaika (laskennallinen vaativuus) on O(n 2 ) 45

46 Dialin toteutustapa: Solmun valintaan kuluvaa aikaa pienennetään pitämällä joukon T solmut lajiteltuina väliaikaisten tunnusten d(i) mukaan kasvavassa järjestyksessä Käytössä on joukko lokeroita, jotka on numeroitu 0,1,2,... Lokeroon k tallennetaan ne joukon T solmut, joilla d(i) = k (jos d(i) =, solmua ei tarvitse tallentaa) = Valittava solmu löytyy ensimmäisestä epätyhjästä lokerosta 46

47 Olkoon C pisimmän kaaren pituus = Jokaisen solmun lopullinen d(i) on pienempi kuin nc = nc + 1 lokeroa riittää varmasti Jokaisella iteraatiokierroksella on d(i) d(j) d(i) + C kaikilla j T siten, että d(j) = Vain lokerot d(i), d(i) + 1,..., d(i) + C ovat epätyhjiä = C + 1 lokeroa riittää 47

48 Optimaalisuusehdot Olkoot d ij kaarien (i, j) A pituudet (voivat olla myös negatiivisia) Oletetaan, että verkossa ei ole silmukkaa, jonka pituus on negatiivinen Etäisyystunnukset d(i) ovat lyhimpien polkujen etäisyyksiä lähtösolmusta s solmuihin i, jos ja vain jos d(j) d(i) + d ij (i, j) A 48

49 Silmukka, jonka pituus on negatiivinen: Olkoon C = {silmukan kaaret} ja (i,j) C d ij < 0 Oletetaan, että optimaalisuusehdot ovat voimassa = d(j) d(i) + d ij (i, j) C = d(i) d(j) + d ij 0 (i, j) C = = (i,j) C (i,j) C (d(i) d(j) + d ij ) 0 d ij 0 = Ristiriita = Optimaalisuusehdot eivät voi olla voimassa 49

50 Optimaalisuusehtoihin perustuva menetelmä Tunnusta korjaava menetelmä Oletus: Verkossa ei ole silmukkaa, jonka pituus on negatiivinen Tunnukset: d(i) = jonkin polun pituus lähtösolmusta s solmuun i e(i) = solmun i edeltäjäsolmu kyseisellä polulla Tunnukset kiinnitetään lopullisiksi vasta, kun algoritmi on päättynyt 50

51 1. Aluksi d(s) = 0 ja d(i) = kaikilla i N \ {s}. 2. Jos d(j) d(i) + d ij kaikilla (i, j) A, niin lopeta. Muuten valitse jokin kaari (i, j) siten, että d(j) > d(i) + d ij ja tee seuraavaa: Aseta d(j) = d(i) + d ij ja e(j) = i. 3. Jatka kohdasta 2. Algoritmin päätyttyä: Lyhin etäisyys lähtösolmusta s solmuun i on d(i) Vastaava polku on i e(i) e(e(i)) s 51

52 Järjestys, jossa kaaret käydään läpi kullakin iteraatiolla, vaikuttaa algoritmin suoritusaikaan Huono järjestys (esim. satunnainen) = Suoritusaika voi olla eksponentiaalinen Järkevä järjestys (esim. aina samassa järjestyksessä) = Suoritusaika saadaan polynomiseksi 52

53 Algoritmin nopeuttaminen: Käydään kaaret läpi aina samassa järjestyksessä, siten että samasta solmusta lähtevät kaaret ovat aina peräkkäin Olkoon solmu i siten, että jollain iteraatiolla ehdot d(j) d(i) + d ij j siten että (i, j) A ovat voimassa Jos solmun i tunnukset eivät muutu kyseisellä iteraatiolla = Samat ehdot ovat voimassa myös seuraavalla iteraatiolla = Kaaria (i, j) A ei tarvitse tutkia seuraavalla iteraatiolla 53

54 Lyhimmät polut kaikkien solmuparien välillä Käytetään edellisiä menetelmiä n kertaa: Määrätään lyhimmät polut jostain lähtösolmusta s kaikkiin muihin solmuihin Vaihdetaan lähtösolmuksi s jokin muu solmu ja toistetaan Jos kaikki kaarien pituudet ei-negatiivisia, voidaan käyttää Dijkstran menetelmää; muuten täytyy käyttää (esimerkiksi) optimaalisuusehtoihin perustuvaa menetelmää 54

55 Kaarien pituuksien muuntaminen Olkoon osa kaarien pituuksista negatiivisia, mutta verkossa ei ole silmukkaa, jonka pituus on negatiivinen Määrätään lyhimmät polut jostain lähtösolmusta s kaikkiin muihin solmuihin optimaalisuusehtoihin perustuvalla menetelmällä = d(j) d(i) + d ij kaikilla (i, j) A Asetetaan jokaiselle kaarelle uusi pituus d ij = d ij + d(i) d(j) = d ij 0 kaikilla (i, j) A 55

56 Olkoon k = i 0 i 1 i p = l jokin polku ja P = {polun kaaret} = (i,j) P d ij = (i,j) P (d ij + d(i) d(j)) = (i,j) P d ij + d(k) d(l) = Polun pituus muuttuu vakiolla d(k) d(l) = Kaikki solmujen k ja l väliset polut muuttuvat samalla vakiolla = Lyhimmät polut säilyvät muunnoksessa = Lyhimmät polut kaikista muista solmuista N \ {s} alkaen voidaan määrätä Dijkstran menetelmällä 56

57 Floydin menetelmä Merkitään: D k ij = lyhimmän polun pituus solmusta i solmuun j, kun välisolmuina sallitaan solmut 1,2...,k Perusidea: Jos välisolmuina sallitaan solmut 1,2,..., k + 1 = Joko solmu k + 1 on mukana lyhimmällä polulla solmusta i solmuun j tai se ei ole mukana = Joko Dij k+1 = Di,k+1 k + Dk k+1,j tai Dk+1 ij = Dij k = Dij k+1 = min{di,k+1 k + Dk k+1,j, Dk ij } 57

58 1. Aluksi Dij 0 = d ij ja E ij = i kaikilla (i, j) A, Dij 0 ja Dii 0 = 0 kaikilla i N. Aseta k = 1. = kaikilla (i, j) / A, 2. Kaikilla (i, j) tee seuraavaa: Jos D k 1 ik + D k 1 kj < Dij k 1, niin aseta Dij k = Dk 1 ik ja E ij = E kj ; muuten aseta D k ij = Dk 1 ij. + D k 1 kj 3. Jos k = n, niin lopeta. Muuten aseta k = k + 1 ja jatka kohdasta 2. 58

59 Algoritmin päätyttyä: Dij n = lyhin etäisyys solmusta i solmuun j E ij = solmun j edeltäjäsolmu vastaavalla polulla Etäisyyksiä Dij k 1 ei enää tarvita, kun kaikki etäisyydet Dij k on laskettu = Laskenta voidaan suorittaa yhdessä etäisyysmatriisissa 59

60 Esimerkki

61 Aluksi: D 0 = E =

62 Kun k = 1 : D 0 = E = = D 1 = E =

63 Kun k = 2 : D 1 = E = = D 2 = E =

64 Kun k = 3 : D 2 = E = = D 3 = E =

65 Kun k = 4 : D 3 = E = = D 4 = E =

66 D 4 = E = Esimerkiksi: Lyhimmän polun pituus solmusta 2 solmuun 4 on D 4 24 = 3 Solmun 4 edeltäjä polulla on E 24 = 1 Solmun 1 edeltäjä polulla on E 21 = 2 = Lyhin polku on

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Harjoitus 1 (20.3.2014)

Harjoitus 1 (20.3.2014) Harjoitus 1 (20.3.2014) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Hämeenlinna 4 = Imatra 5 = Jyväskylä. 5 2 149(5) 190(4) 113(1)

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 14 Ke 25.2.2015 Timo Männikkö Luento 14 Heuristiset menetelmät Heuristiikkoja kapsäkkiongelmalle Kauppamatkustajan ongelma Lähimmän naapurin menetelmä Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

Harjoitus 1 (17.3.2015)

Harjoitus 1 (17.3.2015) Harjoitus 1 (17.3.2015) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Helsinki 4 = Kuopio 5 = Joensuu. a) Tehtävänä on ratkaista Bellman

Lisätiedot

Harjoitus 4 (7.4.2014)

Harjoitus 4 (7.4.2014) Harjoitus 4 (7.4.2014) Tehtävä 1 Tarkastellaan Harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä solmusta

Lisätiedot

Optimoinnin sovellukset

Optimoinnin sovellukset Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten

Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten TERMEJÄ Tietorakenne Tietorakenne on tapa tallettaa tietoa niin, että tietoa voidaan lisätä, poistaa, muokata ja hakea. Tietorakenteet siis säilövät tiedon niin,

Lisätiedot

9. Graafit. 9.1. Graafin abstrakti tietotyyppi

9. Graafit. 9.1. Graafin abstrakti tietotyyppi 9. Graafit Graafeilla eli verkoilla esitetään yhteystietoja. Esimerkkejä niistä ovat kaupunkikartan kadut ja tietoverkon tietokoneet. Tämä luku tarkastelee verkkojen perusasioita. 9.1. Graafin abstrakti

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

Graafin virittävä puu 1 / 20

Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector

Lisätiedot

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013 VERKKOTEORIAN ALKEITA Martti E. Pesonen 28.2.2013 1 Sisältö 1 VERKOISTA 1 1.1 Mitä matemaattiset verkot ovat?................ 1 1.1.1 Verkkoteorian synty.................... 1 1.2 Suuntaamaton verkko.......................

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä

Lisätiedot

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).

Lisätiedot

Matemaattinen optimointi II

Matemaattinen optimointi II Matemaattinen optimointi II Marko M. Mäkelä Turun yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 21 Sisältö Esipuhe 1 1 Lyhimmät tiet ja diskreetti dynaaminen optimointi 2 1.1 Lyhimmän tien ongelmia............................

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu 832A Tietorakenteet ja algoritmit, 204-205, Harjoitus 7, ratkaisu Hajota ja hallitse-menetelmä: Tehtävä 7.. Muodosta hajota ja hallitse-menetelmää käyttäen algoritmi TULOSTA_PUU_LASKEVA, joka tulostaa

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT GRAAFITEHTÄVIÄ JA -ALGORITMEJA Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) GRAAFIN LÄPIKÄYMINEN Perusta useimmille

Lisätiedot

kaikki kielet tunnistettavat A TM HALT TM { a n } { a n b n } { a n b n c n } TOTAL TM EQ TM

kaikki kielet tunnistettavat A TM HALT TM { a n } { a n b n } { a n b n c n } TOTAL TM EQ TM Kurssi tähän asti: säännölliset yhteydettömät ratkeavat { a n } { a n b n } { a n b n c n } tunnistettavat A TM HALT TM kaikki kielet A TM HALT TM TOTAL TM TOTAL TM EQ TM EQ TM 277 5. Laskennan vaativuus

Lisätiedot

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree)

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Jatkossa puu tarkoittaa vapaata puuta (ks. s. 11) eli suuntaamatonta verkkoa, joka on yhtenäinen: minkä tahansa kahden solmun välillä on polku syklitön: minkä

Lisätiedot

Stabilointi. arvosana. arvostelija. Marja Hassinen

Stabilointi. arvosana. arvostelija. Marja Hassinen hyväksymispäivä arvosana arvostelija Stabilointi Marja Hassinen Helsinki 28.10.2007 Hajautetut algoritmit -seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö 1 1 Johdanto 1 2 Resynkroninen

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT PUURAKENTEET, BINÄÄRIPUU, TASAPAINOTETUT PUUT MIKÄ ON PUUTIETORAKENNE? Esim. Viereinen kuva esittää erästä puuta. Tietojenkäsittelytieteessä puut kasvavat alaspäin.

Lisätiedot

Kytkentäkentät, luento 2 - Kolmiportaiset kentät

Kytkentäkentät, luento 2 - Kolmiportaiset kentät Kytkentäkentät, luento - Kolmiportaiset kentät Kolmiportaiset kytkentäkentät - esitystapoja ja esimerkkejä Kytkentäkenttien vertailuperusteet Estottomuus, looginen syvyys, ajokyky Closin -verkko Paull

Lisätiedot

Energiatehokkaista reititysmenetelmistä

Energiatehokkaista reititysmenetelmistä Energiatehokkaista reititysmenetelmistä Olli Pottonen 21. helmikuuta 2005 1 Johdanto Tässä paperissa esitellään lyhyehkösti kaksi reititysmenetelmää. max-min zp min - algoritmin ovat kehittäneet Li, Aslam

Lisätiedot

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] == T [i + 1] 4 return True 5 return

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja 811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016 VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja Sisältö 1. Hajota ja hallitse-menetelmä 2. Dynaaminen taulukointi 3. Ahneet algoritmit 4. Peruuttavat algoritmit 811312A

Lisätiedot

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Kukin alkio (viite) talletettuna solmuun (node) vastaa paikan käsitettä

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Verkko eli graafi: Määritelmä 1/2 Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min

Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min Koe Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min Kokeessa saa olla mukana A4:n kokoinen kaksipuolinen käsiten tehty, itse kirjoitettu lunttilappu 1 Tärkeää ja vähemmäntärkeää Ensimmäisen

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan koe 1.6.2010 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET: 1. Koeaika on 2 tuntia (klo 12.00 14.00). Kokeesta saa poistua aikaisintaan

Lisätiedot

A* Reitinhaku Aloittelijoille

A* Reitinhaku Aloittelijoille A* Reitinhaku Aloittelijoille Alkuperäisen artikkelin kirjoittanut Patrick Lester, suomentanut Antti Veräjänkorva. Suom. huom. Tätä kääntäessäni olen pyrkinyt pitämään saman alkuperäisen tyylin ja kerronnan.

Lisätiedot

LOAD R1, =2 Sijoitetaan rekisteriin R1 arvo 2. LOAD R1, 100

LOAD R1, =2 Sijoitetaan rekisteriin R1 arvo 2. LOAD R1, 100 Tiedonsiirtokäskyt LOAD LOAD-käsky toimii jälkimmäisestä operandista ensimmäiseen. Ensimmäisen operandin pitää olla rekisteri, toinen voi olla rekisteri, vakio tai muistiosoite (myös muuttujat ovat muistiosoitteita).

Lisätiedot

Verkkokerroksen palvelut. 4. Verkkokerros. Virtuaalipiiri (virtual circuit) connection-oriented ~ connectionless. tavoitteet.

Verkkokerroksen palvelut. 4. Verkkokerros. Virtuaalipiiri (virtual circuit) connection-oriented ~ connectionless. tavoitteet. 4. Verkkokerros sovelluskerros asiakas kuljetuskerros end-to-end verkkokerros Verkkokerroksen palvelut tavoitteet palvelut riippumattomia aliverkkojen tekniikasta kuljetuskerros eristettävä aliverkkojen

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 10 Ke 11.2.2015 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelman ratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Väliinsijoituslajittelu Valintalajittelu

Lisätiedot

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat TRAK-vierailuluento 13.4.2010 Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietojenkäsittelytiede Tietojenkäsittelytiede tutkii 1. mitä tehtäviä voidaan

Lisätiedot

Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille?

Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille? Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille? Tuotetun oppimateriaalin analysointia aiheesta painotetut verkot Pro gradu -tutkielma Mika Koponen Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 1.

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit. Verkot. Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit. Verkot. Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Verkot Ari Korhonen 1 10. VERKOT ( graphs ) 10.1 Yleistä 10.2 Terminologiaa 10.3 Verkon esittäminen 10.4 Verkon läpikäyntialgoritmit (graph traversal) 10.5 Painotetut verkot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op. Assembly ja konekieli

TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op. Assembly ja konekieli TIEP114 Tietokoneen rakenne ja arkkitehtuuri, 3 op Assembly ja konekieli Tietokoneen ja ohjelmiston rakenne Loogisilla piireillä ja komponenteilla rakennetaan prosessori ja muistit Prosessorin rakenne

Lisätiedot

Verkkojen värittäminen

Verkkojen värittäminen Verkkojen värittäminen Pro gradu -tutkielma Tiina Aaltonen 165231 Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 10. tammikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Verkkojen peruskäsitteitä 4 2.1 Solmu,

Lisätiedot

OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020

OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 VAASAN YLIOPISTO Talousmatematiikka Prof. Ilkka Virtanen OPERAATIOANALYYSI ORMS.1020 Tentti 2.2.2008 1. Yrityksen tavoitteena on minimoida tuotannosta ja varastoinnista aiheutuvat kustannukset 4 viikon

Lisätiedot

8. Lajittelu, joukot ja valinta

8. Lajittelu, joukot ja valinta 8. Lajittelu, joukot ja valinta Yksi tietojenkäsittelyn klassisista tehtävistä on lajittelu (järjestäminen) (sorting) jo mekaanisten tietojenkäsittelylaitteiden ajalta. Lajiteltua tietoa tarvitaan lukemattomissa

Lisätiedot

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) 8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista toimistaan

Lisätiedot

Sisällys. 11. Javan toistorakenteet. Laskurimuuttujat. Yleistä

Sisällys. 11. Javan toistorakenteet. Laskurimuuttujat. Yleistä Sisällys 11. Javan toistorakenteet Laskuri- ja lippumuuttujat.. Tyypillisiä ohjelmointivirheitä: Silmukan rajat asetettu kierroksen verran väärin. Ikuinen silmukka. Silmukoinnin lopettaminen break-lauseella.

Lisätiedot

finnish BOI 2015, päivä 1. Muistiraja: 256 MB. 30.04.2015

finnish BOI 2015, päivä 1. Muistiraja: 256 MB. 30.04.2015 Tehtävä: BOW Keilaus finnish BOI 0, päivä. Muistiraja: 6 MB. 30.04.0 Jarkka pitää sekä keilauksesta että tilastotieteestä. Hän on merkinnyt muistiin muutaman viimeisimmän keilapelin tulokset. Valitettavasti

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Muita rekisteriallokaatiomenetelmiä

Muita rekisteriallokaatiomenetelmiä TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 23. marraskuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe E tiistai 1.12. klo 10 koodigenerointi (ilman rekisteriallokaatiota)

Lisätiedot

Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely)

Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Jari Hast xx.12.2013 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Hari Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. päätöspuiden avulla tarkastellaan vasta seuraavissa harjoituksissa.

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. päätöspuiden avulla tarkastellaan vasta seuraavissa harjoituksissa. ORMS00 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 008 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Nämä harjoitukset liittyvät päätöspuiden rakentamiseen: varsinaista päätöksentekoa päätöspuiden avulla tarkastellaan

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Tehtävä: FIL Tiedostopolut

Tehtävä: FIL Tiedostopolut Tehtävä: FIL Tiedostopolut finnish BOI 2015, päivä 2. Muistiraja: 256 MB. 1.05.2015 Jarkka pitää vaarallisesta elämästä. Hän juoksee saksien kanssa, lähettää ratkaisuja kisatehtäviin testaamatta esimerkkisyötteillä

Lisätiedot

Vertailulauseet. Ehtolausekkeet. Vertailulauseet. Vertailulauseet. if-lauseke. if-lauseke. Javan perusteet 2004

Vertailulauseet. Ehtolausekkeet. Vertailulauseet. Vertailulauseet. if-lauseke. if-lauseke. Javan perusteet 2004 Vertailulauseet Ehtolausekkeet Ehdot, valintalausekkeet Boolean-algebra == yhtäsuuruus!= erisuuruus < pienempi suurempi >= suurempi tai yhtäsuuri Esimerkkejä: int i=7; int j=10;

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut

2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut 2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut Shortcut Menut Shortcut menut voidaan aktivoida seuraavista paikoista. Shortcut menun sisältö riippuu siitä, mistä se aktivoidaan. 1. Shortcut menu suunnitellusta linjasta

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Reiluus. Maxmin-reiluus. Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa. Reiluuden maxmin-määritelmä

Reiluus. Maxmin-reiluus. Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa. Reiluuden maxmin-määritelmä J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Reiluus 1 Reiluus Maxmin-reiluus Tärkeä näkökohta best effort -tyyppisissä palveluissa kenellekään ei anneta kvantitatiivisia QoS-takuita kaikkien pitää saada palvelua

Lisätiedot

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä.

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä. POHDIN projekti TIEVERKKO Tieverkon etäisyyksien minimointi ja esimerkiksi maakaapeleiden kokonaismäärän minimointi sekä ylipäätään äärellisen pistejoukon yhdistäminen reitityksillä toisiinsa niin, että

Lisätiedot

etunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä

etunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä Sisällys 1. Algoritmi Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.1 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Simulointi. Tapahtumapohjainen

Simulointi. Tapahtumapohjainen Simulointi Tapahtumapohjainen Diskreettiaikainen simulointi 1 Tarkastellaan systeemejä, joissa on äärellisen monta komponenttia. Jokaisella komponentilla äärellisen monta tilaa. Komponentit vaikuttavat

Lisätiedot

Muurahaiskolonnaoptimointi ja kauppamatkustajan ongelma

Muurahaiskolonnaoptimointi ja kauppamatkustajan ongelma Muurahaiskolonnaoptimointi ja kauppamatkustajan ongelma Jaakko Ahola LuK-tutkielma Turun yliopisto Helmikuu 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Muunnos oikeista muurahaisista keinotekoisiin 4 2.1 Tuplapolkukoe...........................

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

SQL-perusteet, SELECT-, INSERT-, CREATE-lauseet

SQL-perusteet, SELECT-, INSERT-, CREATE-lauseet SQL-perusteet, SELECT-, INSERT-, CREATE-lauseet A271117, Tietokannat Teemu Saarelainen teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Leon Atkinson: core MySQL Ari Hovi: SQL-opas TTY:n tietokantojen perusteet-kurssin

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT ALGORITMIEN ANALYYSISTÄ 1.ratkaisu Laskentaaika hakkeri - optimoitu ALGORITMIANALYYSIÄ hyvä algoritmi hakkeri -optimoitu hyvä algoritmi Tehtävän koko Kuva mukailtu

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 1.4.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 1.4.2009 1 / 56 Tentti Ensimmäinen tenttimahdollisuus on pe 8.5. klo 13:00 17:00 päärakennuksessa. Tämän jälkeen

Lisätiedot

TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009. Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2009

TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009. Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2009 TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 7. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale

Lisätiedot

Puzzle-SM 2000. Loppukilpailu 18.6.2000 Oulu

Puzzle-SM 2000. Loppukilpailu 18.6.2000 Oulu Puzzle-SM Loppukilpailu 8.6. Oulu Puzzle Ratkontaaikaa tunti Ratkontaaikaa tunti tsi palat 6 Varjokuva 7 Parinmuodostus 7 Paikallista 7 Metris 7 ominopalapeli Kerrostalot Pisteestä toiseen Heinäsirkka

Lisätiedot

MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014

MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014 MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014 KOE 2: Ympäristöekonomia KANSANTALOUSTIEDE JA MATEMATIIKKA Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän

Lisätiedot

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R

Lisätiedot

Suurten asiakasriskien ilmoittamiseen liittyvät konekielisen tietojenvälityksen ohjeet

Suurten asiakasriskien ilmoittamiseen liittyvät konekielisen tietojenvälityksen ohjeet 1(6) Suurten asiakasriskien ilmoittamiseen liittyvät konekielisen tietojenvälityksen ohjeet 1 Tietojen esitystapa ja tietoväline Toimitettavat tiedostot koostuvat vaihtuvanmittaisista tietueista. Tietueiden

Lisätiedot

Tietotyypit ja operaattorit

Tietotyypit ja operaattorit Tietotyypit ja operaattorit Luennossa tarkastellaan yksinkertaisten tietotyyppien int, double ja char muunnoksia tyypistä toiseen sekä esitellään uusia operaatioita. Numeeriset tietotyypit ja muunnos Merkkitieto

Lisätiedot

DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi

DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi Historiaa Bayesin kaavan hyödyntäminen BN-ohjelmistoja ollut ennenkin Tanskalaisten Hugin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

SISÄLLYSLUETTELO RC-436

SISÄLLYSLUETTELO RC-436 Asennusohje AXCARD CR-36 Versio 3. Ver. 3. AXCARD SISÄLLYSLUETTELO RC-436 JOHDANTO... 4 YKSITTÄISEN KORTINLUKIJAN KÄYTTÖÖNOTTO... 4 ALUSTUS JA MUISTIN NOLLAUS... 4 VAIHTOEHTO. OHJELMOINTISALASANAN ASETUS...

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJEET

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJEET AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 010 VALINTAKOETEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJEET Pisteytys on pyritty tekemään pelkistetyksi, jotta kaikki korjaajat päätyisivät samaan arvosteluun.

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

Fylogeneettiset puut. Fylogeneettiset puut. UPGMA: esimerkki 2/2 UPGMA

Fylogeneettiset puut. Fylogeneettiset puut. UPGMA: esimerkki 2/2 UPGMA ylogeneettiset puut ylogeneettisen puun rakentaminen koostuu seuraavista vaiheista ) atan valinta (sekvenssi,piirredata) ) Sekvenssien linjaus 3) Puun rakentamismenetelmän/menetelmien valinta: - etäisyysmenetelmät

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Johdatus Ohjelmointiin

Johdatus Ohjelmointiin Johdatus Ohjelmointiin Syksy 2006 Viikko 2 13.9. - 14.9. Tällä viikolla käsiteltävät asiat Peruskäsitteitä Kiintoarvot Tiedon tulostus Yksinkertaiset laskutoimitukset Muuttujat Tiedon syöttäminen Hyvin

Lisätiedot

Uudet energiatekniikat

Uudet energiatekniikat Uudet energiatekniikat Professori Esa Vakkilainen 1 Energian käytön tulevaisuus? Lisää ihmisiä -> lisää energiaa Parempi elintaso -> lisää energiaa Uusia tarpeita -> lisää energiaa Ilmaston muutoksen hillintä

Lisätiedot

1 Erilaisia tapoja järjestää

1 Erilaisia tapoja järjestää TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Erilaisia tapoja järjestää Käsitellään seuraavaksi järjestämisalgoritmeja, jotka perustuvat muihin kuin vertailuun alkioiden oikean järjestyksen saamiseksi. Lisäksi

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT TEHTÄVÄT 1.a) Oheisessa kuviossa janat ja janoihin liittyvät luvut kuvaavat pisteiden välisiä reittejä

Lisätiedot