Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria"

Transkriptio

1 Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut: Haaraan liittyvät solmut Kaaren alku- ja loppusolmut: Kaareen liittyvät solmut Solmun aste: Solmuun liittyvien haarojen lukumäärä 1

2 b 2 1 d e c a 3 4 f 5 Suuntaamaton graafi G(N, A) Solmut N = {1,2,3,4,5} Haarat A = {a, b, c, d, e, f} = {(1,4),(1,2),(1,3),(2,3),(2,3),(3,5)} 2

3 2 b 1 d e c a 3 4 f 5 Suunnattu graafi G(N, A) Solmut N = {1,2,3,4,5} Kaaret A = {a, b, c, d, e, f} = {(1,4),(2,1),(1,3),(2,3),(3,2),(5,3)} 3

4 Polku: Katkeamaton jono solmuja ja haaroja/kaaria Silmukka: Polku, jonka alku- ja loppusolmut ovat samat Yksinkertainen polku: Solmu esiintyy polussa vain kerran Yhdistetyt solmut: Solmujen välillä on ainakin yksi polku 4

5 Yhtenäinen (yhdistetty) graafi: Kaikki solmuparit ovat yhdistettyjä Renkaaton graafi: Ei yhtään silmukkaa Puu: Graafi, joka on yhtenäinen ja renkaaton 5

6 Verkko: Graafi, jonka solmuihin ja haaroihin/kaariin liittyy numeerisia arvoja (esimerkiksi pituus, kustannus tai kapasiteetti) Virtaus: Tavara tms. kulkee solmusta toiseen kaaria/haaroja pitkin Lähdesolmu: Solmu, josta tulee lisää tavaraa verkkoon Viemärisolmu: Solmu, josta tavaraa poistuu verkosta Virtauksen säilyvyys: Solmuun saapuva ja siitä lähtevä virtaus ovat samat (paitsi lähde- ja viemärisolmuissa) 6

7 Tuotannon ajoitus Tuotetta valmistetaan usean tuotantokauden aikana Tuotteen tarve kaudella i on d i Tuotetta voidaan valmistaa myös varastoon Valmistuksesta ja varastoinnista aiheutuvat tietyt kustannukset Tavoite: Määrää tuotteen valmistusmäärät kullakin kaudella siten, että kokonaiskustannukset minimoituvat 7

8 x i = valmistusmäärä kaudella i v i = varaston koko kaudelta i kaudelle i + 1 Solmut kuvaavat kausia, solmu 0 kuvaa alkutilannetta Kaaret kuvaavat tuotteen kulkeutumista kaudelta toiselle Jokaiseen kaareen liittyy joko valmistuskustannus tai varastointikustannus 8

9 d 1 + d 2 + d 3 + d 4 0 x 1 x 2 x 3 x 4 v 1 v 2 v d 1 d 2 d 3 d 4 Tehtävä: Etsi minimihintainen virtaus verkon läpi 9

10 Lukujärjestysongelma Seminaarissa kuusi tunnin esitelmää Seminaarin kokonaiskesto neljä tuntia Esitelmän 1 kanssa ei samanaikaisesti esitelmää 3 Esitelmän 3 kanssa ei samanaikaisesti esitelmiä 1, 4, 5, 6 Esitelmän 4 kanssa ei samanaikaisesti esitelmiä 3, 5, 6 Esitelmän 5 kanssa ei samanaikaisesti esitelmiä 3, 4, 6 Esitelmän 6 kanssa ei samanaikaisesti esitelmiä 3, 4, 5 Tavoite: Järjestä esitelmät siten, että rajoitteet toteutuvat 10

11 Solmut kuvaavat esitelmiä Solmut yhdistetään haaralla, jos vastaavat esitelmät eivät saa olla samanaikaisesti Neljä eri tunnusta, yksi kullekin seminaarin tunnille 11

12 Tehtävä: Liitä jokaiseen solmuun yksi tunnus siten, että kahdella solmulla ei saa olla sama tunnus, jos niiden välillä on haara 12

13 Jakeluongelma Pizzerialla on kotiinkuljetusta varten käytössä n autoa Tavoite: Toimita pizzat asiakkaille siten, että toimituksille luvattu aikaraja ei ylity 13

14 Solmut kuvaavat pizzeriaa ja eri asiakkaita Haarat kuvaavat lyhimpiä reittejä eri solmujen välillä Jokaiseen haaraan liitetään ajoaika kyseisellä reitillä (= haaran pituus) Tehtävä: Muodosta n silmukkaa siten, että pizzeriasolmu on mukana jokaisessa silmukassa jokainen asiakassolmu on mukana jossain silmukassa jokaisen silmukan pituus viimeiseen asiakassolmuun asti ei ylitä aikarajaa 14

15 Koneen vaihto-ongelma Tarkastellaan n:ää aikaperiodia Jokaisen periodin alussa vanha kone voidaan vaihtaa uuteen tai säilyttää vanha kone Kun hankitaan uusi kone periodin i alussa ja myydään se periodin j alussa, siitä aiheutuu kustannus c ij Tavoite: Määrää, milloin kone vaihdetaan, jotta kokonaiskustannukset minimoituvat 15

16 Solmut kuvaavat periodeja 1,..., n + 1 Kaari (i, j) tarkoittaa, että kone hankitaan periodin i alussa ja myydään periodin j alussa Jokaiseen kaareen (i, j) liitetään vastaava kustannus c ij (= kaaren pituus) 16

17 Tehtävä: Etsi lyhin reitti solmusta 1 solmuun n

18 Toimintaverkko Projektissa on n osatehtävää Osatehtävät on suoritettava tiettyjen sääntöjen mukaisessa järjestyksessä Osatehtävän i suoritusaika on t i Tavoite: Määrää osatehtävien suoritusjärjestys siten, että kokonaissuoritusaika minimoituu 18

19 s i = osatehtävän i aloitusaika Solmut kuvaavat osatehtäviä Solmu 0 on projektin aloitusosatehtävä, solmu n + 1 lopetusosatehtävä Kaari (i, j) tarkoittaa, että osatehtävä i on saatava valmiiksi ennen osatehtävän j aloittamista Jokaiseen kaareen (i, j) liitetään rajoite s j s i + t i 19

20 Tehtävä: Ratkaise min s n+1 s 0 kun s j s i + t i (i, j) A 20

21 Tavallisesti kuitenkin toimintaverkko kuvataan seuraavasti: Solmut kuvaavat osatehtävien alku- ja lopputapahtumia Kaaret kuvaavat osatehtäviä Jokaiseen kaareen liitetään osatehtävän kesto (= kaaren pituus) Kaikkien tiettyyn solmuun päättyvien osatehtävien täytyy olla suoritettu ennen kuin mikään kyseisestä solmusta alkava osatehtävä voidaan aloittaa Tehtävä: Etsi pisin polku ensimmäisestä solmusta viimeiseen solmuun 21

22 Graafien ja verkkojen tietorakenteita Naapurimatriisit Insidenssimatriisit Haara- ja kaarilistat Naapurilistat 22

23 Naapurimatriisi, suuntaamaton graafi: HUOM: Symmetrinen

24 Naapurimatriisi, suunnattu graafi:

25 Insidenssimatriisi, suuntaamaton graafi: (1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5) HUOM: Täysin unimodulaarinen 25

26 Insidenssimatriisi, suunnattu graafi: (1,2) (1,3) (2,5) (3,4) (4,2) (4,5) (5,3) HUOM: Täysin unimodulaarinen 26

27 Haaralista, suuntaamaton verkko: Päätesolmu Päätesolmu Pituus (1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (3,4) (3,5) (4,5)

28 Kaarilista, suunnattu verkko: Alkusolmu Loppusolmu Pituus (1,2) (1,3) (2,5) (3,4) (4,2) (4,5) (5,3)

29 Naapurilista, suuntaamaton graafi: Naapurisolmut

30 Naapurilista, suunnattu graafi: Naapurisolmut (lähtevät kaaret) Naapurisolmut (tulevat kaaret)

31 Graafin tai verkon virittävä puu Aligraafi: Graafi, jossa on mukana osa (tai kaikki) solmuista ja osa (tai kaikki) haaroista Virittävä aligraafi: Aligraafi, jossa on mukana kaikki solmut Yhtenäinen virittävä aligraafi: Virittävä aligraafi, joka on yhtenäinen Minimaalinen yhtenäinen virittävä aligraafi: on mukana mahdollisimman vähän haaroja Yhtenäinen virittävä aligraafi, jossa 31

32 Puu: Graafi, joka on yhtenäinen ja renkaaton Yhtenäisen graafin minimaalinen yhtenäinen virittävä aligraafi on puu = Graafin virittävä puu (Verkon virittävä puu vastaavasti) Graafi on yhtenäinen, jos sillä on olemassa virittävä puu 32

33 Esimerkki Tiedetään, ketkä kylän asukkaista keskustelevat keskenään Tavoite: Selvitä, saavuttaako juoru kaikki kylän asukkaat Solmut kuvaavat asukkaita Haara (i, j) tarkoittaa, että asukkaat i ja j keskustelevat keskenään Tehtävä: Tutki, onko graafilla virittävää puuta 33

34 Esimerkki Rakennetaan kaapeliyhteyksiä eri kaupunkien välille Jokaisen kaupungin on oltava mukana kaapeliverkossa Kun rakennetaan yhteys kaupunkien i ja j välille, siitä aiheutuu kustannus c ij Tavoite: Määrää rakennettavat kaapeliyhteydet siten, että kokonaiskustannukset minimoituvat 34

35 Solmut kuvaavat kaupunkeja Haara (i, j) tarkoittaa, että kaupunkien i ja j välille voitaisiin rakentaa kaapeliyhteys Jokaiseen haaraan (i, j) liitetään vastaava kustannus c ij (= haaran pituus) Tehtävä: Etsi verkon virittävä puu, jonka kokonaispituus on mahdollisimman pieni 35

36 Virittävän puun etsiminen Aluksi puu on tyhjä, jokainen solmu muodostaa oman komponenttinsa ja kaikki haarat (tai kaaret) ovat tutkimattomia. 1. Jos tutkimattomia haaroja ei ole jäljellä, niin lopeta. Muuten valitse jokin haara ja merkitse se tutkituksi. 2. Jos valitun haaran molemmat päätesolmut kuuluvat samaan komponenttiin, jatka kohdasta 1. Muuten lisää haara puuhun ja yhdistä päätesolmujen komponentit samaksi komponentiksi. 3. Jos jäljellä on vain yksi komponentti, niin lopeta. Muuten jatka kohdasta 1. 36

37 Jos algoritmin päättyessä jäljellä on vain yksi komponentti, virittävä puu on löytynyt Jos halutaan löytää verkon lyhin virittävä puu, niin haarat valitaan pituuden mukaan kasvavassa järjestyksessä Jos halutaan löytää verkon pisin virittävä puu, niin haarat valitaan pituuden mukaan laskevassa järjestyksessä 37

38 Lyhimmät polut Lyhimpien polkujen tehtäviä: Etsi lyhin polku kahden solmun välillä Etsi lyhimmät polut jostain solmusta verkon kaikkiin muihin solmuihin Etsi lyhimmät polut verkon kaikkien solmujen välillä Seuraavassa oletetaan, että verkko on suunnattu, yhdistetty ja kaarien pituudet ovat kokonaislukuja 38

39 Esimerkki Pakkausongelma: max a 1 x a n x n kun w 1 x w n x n W x 1,..., x n N Vastaava lyhimmän polun tehtävä: Solmut 0,1,..., W Jokaista tavaraa j kohti kaaret (i, i + w j ), i = 0,1,..., W w j, joiden pituus on a j Lisäksi kaaret (i, i + 1), i = 0,1,..., W 1, joiden pituus on 0 (vastaavat puutemuuttujaa) Tehtävä: Etsi lyhin polku solmusta 0 solmuun W 39

40 Lyhimpien etäisyyksien puu Lyhimpien etäisyyksien puu: Sellainen verkon virittävä puu, jossa polut juurisolmusta s puun muihin solmuihin ovat samat kuin verkon lyhimmän etäisyyden polut solmusta s verkon muihin solmuihin Olkoon s = i 1 i 2 i p = t lyhin polku solmusta s solmuun t = s = i 1 i 2 i j on lyhin polku solmusta s solmuun i j kaikilla j = 2,..., p 1 = On aina olemassa lyhimpien etäisyyksien puu 40

41 Lyhimmät polut yhdestä lähtösolmusta alkaen Solmuihin liitetään tunnuksia (etäisyys lähtösolmusta, solmun edeltäjäsolmu, jne.) Tunnukset voivat olla väliaikaisia tai lopullisia Väliaikaisia tunnuksia muutetaan iteratiivisesti Tunnuksen asettavat menetelmät: Joka iteraatiolla yksi väliaikainen tunnus kiinnitetään lopulliseksi Tunnusta korjaavat menetelmät: Kaikki väliaikaiset tunnukset kiinnitetään kerralla lopullisiksi sitten, kun muutoksia ei enää voi tehdä 41

42 Dijkstran menetelmä Tunnuksen asettava menetelmä Oletus: Kaarien pituudet d ij ovat ei-negatiivisia Tunnukset: d(i) = jonkin polun pituus lähtösolmusta s solmuun i e(i) = solmun i edeltäjäsolmu kyseisellä polulla Solmut jaetaan kahteen ryhmään: P = {solmut, joiden tunnukset ovat lopullisia} T = {solmut, joiden tunnukset ovat väliaikaisia} 42

43 1. Aluksi P =, T = N, d(s) = 0 ja d(i) = kaikilla i T \ {s}. 2. Jos P = N, niin lopeta. Muuten valitse jokin solmu i T siten, että d(i) = min{d(j) j T }. Kaikilla j T siten, että on olemassa (i, j) A tee seuraavaa: Jos d(i) + d ij < d(j), niin aseta d(j) = d(i) + d ij ja e(j) = i. 3. Kiinnitä solmun i tunnukset lopullisiksi, ts. aseta P = P {i} ja T = T \ {i}. Jatka kohdasta 2. 43

44 Algoritmin päätyttyä: Lyhin etäisyys lähtösolmusta s solmuun i on d(i) Vastaava polku on i e(i) e(e(i)) s Jos halutaan löytää lyhin polku lähtösolmusta s johonkin tiettyyn solmuun t, algoritmi voidaan lopettaa, kun solmun t tunnukset on kiinnitetty lopullisiksi 44

45 Solmuja n kpl Yhdellä iteraatiolla valitaan yksi solmu, jonka tunnukset ovat väliaikaisia = n operaatiota Yhdellä iteraatiolla kiinnitetään yhden solmun tunnukset lopullisiksi = n iteraatiota = Algoritmin suoritusaika (laskennallinen vaativuus) on O(n 2 ) 45

46 Dialin toteutustapa: Solmun valintaan kuluvaa aikaa pienennetään pitämällä joukon T solmut lajiteltuina väliaikaisten tunnusten d(i) mukaan kasvavassa järjestyksessä Käytössä on joukko lokeroita, jotka on numeroitu 0,1,2,... Lokeroon k tallennetaan ne joukon T solmut, joilla d(i) = k (jos d(i) =, solmua ei tarvitse tallentaa) = Valittava solmu löytyy ensimmäisestä epätyhjästä lokerosta 46

47 Olkoon C pisimmän kaaren pituus = Jokaisen solmun lopullinen d(i) on pienempi kuin nc = nc + 1 lokeroa riittää varmasti Jokaisella iteraatiokierroksella on d(i) d(j) d(i) + C kaikilla j T siten, että d(j) = Vain lokerot d(i), d(i) + 1,..., d(i) + C ovat epätyhjiä = C + 1 lokeroa riittää 47

48 Optimaalisuusehdot Olkoot d ij kaarien (i, j) A pituudet (voivat olla myös negatiivisia) Oletetaan, että verkossa ei ole silmukkaa, jonka pituus on negatiivinen Etäisyystunnukset d(i) ovat lyhimpien polkujen etäisyyksiä lähtösolmusta s solmuihin i, jos ja vain jos d(j) d(i) + d ij (i, j) A 48

49 Silmukka, jonka pituus on negatiivinen: Olkoon C = {silmukan kaaret} ja (i,j) C d ij < 0 Oletetaan, että optimaalisuusehdot ovat voimassa = d(j) d(i) + d ij (i, j) C = d(i) d(j) + d ij 0 (i, j) C = = (i,j) C (i,j) C (d(i) d(j) + d ij ) 0 d ij 0 = Ristiriita = Optimaalisuusehdot eivät voi olla voimassa 49

50 Optimaalisuusehtoihin perustuva menetelmä Tunnusta korjaava menetelmä Oletus: Verkossa ei ole silmukkaa, jonka pituus on negatiivinen Tunnukset: d(i) = jonkin polun pituus lähtösolmusta s solmuun i e(i) = solmun i edeltäjäsolmu kyseisellä polulla Tunnukset kiinnitetään lopullisiksi vasta, kun algoritmi on päättynyt 50

51 1. Aluksi d(s) = 0 ja d(i) = kaikilla i N \ {s}. 2. Jos d(j) d(i) + d ij kaikilla (i, j) A, niin lopeta. Muuten valitse jokin kaari (i, j) siten, että d(j) > d(i) + d ij ja tee seuraavaa: Aseta d(j) = d(i) + d ij ja e(j) = i. 3. Jatka kohdasta 2. Algoritmin päätyttyä: Lyhin etäisyys lähtösolmusta s solmuun i on d(i) Vastaava polku on i e(i) e(e(i)) s 51

52 Järjestys, jossa kaaret käydään läpi kullakin iteraatiolla, vaikuttaa algoritmin suoritusaikaan Huono järjestys (esim. satunnainen) = Suoritusaika voi olla eksponentiaalinen Järkevä järjestys (esim. aina samassa järjestyksessä) = Suoritusaika saadaan polynomiseksi 52

53 Algoritmin nopeuttaminen: Käydään kaaret läpi aina samassa järjestyksessä, siten että samasta solmusta lähtevät kaaret ovat aina peräkkäin Olkoon solmu i siten, että jollain iteraatiolla ehdot d(j) d(i) + d ij j siten että (i, j) A ovat voimassa Jos solmun i tunnukset eivät muutu kyseisellä iteraatiolla = Samat ehdot ovat voimassa myös seuraavalla iteraatiolla = Kaaria (i, j) A ei tarvitse tutkia seuraavalla iteraatiolla 53

54 Lyhimmät polut kaikkien solmuparien välillä Käytetään edellisiä menetelmiä n kertaa: Määrätään lyhimmät polut jostain lähtösolmusta s kaikkiin muihin solmuihin Vaihdetaan lähtösolmuksi s jokin muu solmu ja toistetaan Jos kaikki kaarien pituudet ei-negatiivisia, voidaan käyttää Dijkstran menetelmää; muuten täytyy käyttää (esimerkiksi) optimaalisuusehtoihin perustuvaa menetelmää 54

55 Kaarien pituuksien muuntaminen Olkoon osa kaarien pituuksista negatiivisia, mutta verkossa ei ole silmukkaa, jonka pituus on negatiivinen Määrätään lyhimmät polut jostain lähtösolmusta s kaikkiin muihin solmuihin optimaalisuusehtoihin perustuvalla menetelmällä = d(j) d(i) + d ij kaikilla (i, j) A Asetetaan jokaiselle kaarelle uusi pituus d ij = d ij + d(i) d(j) = d ij 0 kaikilla (i, j) A 55

56 Olkoon k = i 0 i 1 i p = l jokin polku ja P = {polun kaaret} = (i,j) P d ij = (i,j) P (d ij + d(i) d(j)) = (i,j) P d ij + d(k) d(l) = Polun pituus muuttuu vakiolla d(k) d(l) = Kaikki solmujen k ja l väliset polut muuttuvat samalla vakiolla = Lyhimmät polut säilyvät muunnoksessa = Lyhimmät polut kaikista muista solmuista N \ {s} alkaen voidaan määrätä Dijkstran menetelmällä 56

57 Floydin menetelmä Merkitään: D k ij = lyhimmän polun pituus solmusta i solmuun j, kun välisolmuina sallitaan solmut 1,2...,k Perusidea: Jos välisolmuina sallitaan solmut 1,2,..., k + 1 = Joko solmu k + 1 on mukana lyhimmällä polulla solmusta i solmuun j tai se ei ole mukana = Joko Dij k+1 = Di,k+1 k + Dk k+1,j tai Dk+1 ij = Dij k = Dij k+1 = min{di,k+1 k + Dk k+1,j, Dk ij } 57

58 1. Aluksi Dij 0 = d ij ja E ij = i kaikilla (i, j) A, Dij 0 ja Dii 0 = 0 kaikilla i N. Aseta k = 1. = kaikilla (i, j) / A, 2. Kaikilla (i, j) tee seuraavaa: Jos D k 1 ik + D k 1 kj < Dij k 1, niin aseta Dij k = Dk 1 ik ja E ij = E kj ; muuten aseta D k ij = Dk 1 ij. + D k 1 kj 3. Jos k = n, niin lopeta. Muuten aseta k = k + 1 ja jatka kohdasta 2. 58

59 Algoritmin päätyttyä: Dij n = lyhin etäisyys solmusta i solmuun j E ij = solmun j edeltäjäsolmu vastaavalla polulla Etäisyyksiä Dij k 1 ei enää tarvita, kun kaikki etäisyydet Dij k on laskettu = Laskenta voidaan suorittaa yhdessä etäisyysmatriisissa 59

60 Esimerkki

61 Aluksi: D 0 = E =

62 Kun k = 1 : D 0 = E = = D 1 = E =

63 Kun k = 2 : D 1 = E = = D 2 = E =

64 Kun k = 3 : D 2 = E = = D 3 = E =

65 Kun k = 4 : D 3 = E = = D 4 = E =

66 D 4 = E = Esimerkiksi: Lyhimmän polun pituus solmusta 2 solmuun 4 on D 4 24 = 3 Solmun 4 edeltäjä polulla on E 24 = 1 Solmun 1 edeltäjä polulla on E 21 = 2 = Lyhin polku on

14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut

14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 14. Luennon sisältö Kuljetustehtävä esimerkki Verkkoteoria ja optimointi verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet

Diskreetit rakenteet Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Harjoitus 1 (20.3.2014)

Harjoitus 1 (20.3.2014) Harjoitus 1 (20.3.2014) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Hämeenlinna 4 = Imatra 5 = Jyväskylä. 5 2 149(5) 190(4) 113(1)

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 14 Ke 25.2.2015 Timo Männikkö Luento 14 Heuristiset menetelmät Heuristiikkoja kapsäkkiongelmalle Kauppamatkustajan ongelma Lähimmän naapurin menetelmä Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.40 Lineaarinen ohjelmointi 5..007 Luento 9 Verkkotehtävän erikoistapauksia (kirja 7., 7.5, 7.9, 7.0) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 007 / Luentorunko (/) Verkkotehtävän ominaisuuksia Kuljetustehtävä

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

Harjoitus 1 (17.3.2015)

Harjoitus 1 (17.3.2015) Harjoitus 1 (17.3.2015) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Helsinki 4 = Kuopio 5 = Joensuu. a) Tehtävänä on ratkaista Bellman

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:

Lisätiedot

Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij

Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0

Lisätiedot

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I. Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.

Lisätiedot

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista (eli mitä kaikkea kokonaisluvuilla voi mallintaa) 27. marraskuuta 2013 Pääoman budjetointiongelma Kulut Projekti Vuosi 1 Vuosi 2 Vuosi 3 Tuotto 1 5 1 8 20 2

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Harjoitus 4 (7.4.2014)

Harjoitus 4 (7.4.2014) Harjoitus 4 (7.4.2014) Tehtävä 1 Tarkastellaan Harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä solmusta

Lisätiedot

3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin.

3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin. 3. Hakupuut Hakupuu on listaa tehokkaampi dynaamisen joukon toteutus. Erityisesti suurilla tietomäärillä hakupuu kannattaa tasapainottaa, jolloin päivitysoperaatioista tulee hankalampia toteuttaa mutta

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan

Lisätiedot

Ratkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl.

Ratkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl. iskreetti matematiikka, syksy 00 arjoitus, ratkaisuista. seta 8 nollaa ja 8 ykköstä renkaaksi niin, että jokainen yhdistelmä 0000, 000,..., esiintyy täsmälleen kerran. Vihje: Tulkitse de ruijnin jonon

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi 8..7 Luento 8 Verkkotehtävät, simlex ja duaalisuus (kirja 7.-7., 7.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Motivointi Käsitteitä Verkkotehtävä Verkkosimlex Duaalitehtävä Yhteenveto

Lisätiedot

Optimoinnin sovellukset

Optimoinnin sovellukset Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 811 Tietorakenteet (kevät 9) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 1. Bellmanin-Fordin algoritmin alustusvaiheen jälkeen aloitussolmussa on arvo ja muissa solmuissa on arvo ääretön. Kunkin solmun arvo

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 9 Ti 19.4.2016 Timo Männikkö Luento 9 Merkkitiedon tiivistäminen LZW-menetelmä Taulukointi Editointietäisyys Peruutus Verkon 3-väritys Algoritmit 2 Kevät 2016 Luento 9 Ti 19.4.2016

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017

Lisätiedot

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. 5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,

Lisätiedot

T : Max-flow / min-cut -ongelmat

T : Max-flow / min-cut -ongelmat T-61.152: -ongelmat 4.3.2008 Sisältö 1 Määritelmät Esimerkki 2 Max-flow Graafin leikkaus Min-cut Max-flow:n ja min-cut:n yhteys 3 Perusajatus Pseudokoodi Tarkastelu 4 T-61.152: -ongelmat Virtausverkko

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

Kustannustehokkaat riskienhallintatoimenpiteet kuljetusverkostossa (Valmiin työn esittely)

Kustannustehokkaat riskienhallintatoimenpiteet kuljetusverkostossa (Valmiin työn esittely) Kustannustehokkaat riskienhallintatoimenpiteet kuljetusverkostossa (Valmiin työn esittely) Joonas Lanne 23.2.2015 Ohjaaja: Eeva Vilkkumaa Valvoja: Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 Kertausta jälkiosasta IV Perustietorakenteet Pino, jono ja listat tunnettava Osattava soveltaa rakenteita algoritmeissa Osattava päätellä operaatioiden aikakompleksisuus

Lisätiedot

PARITUS KAKSIJAKOISESSA

PARITUS KAKSIJAKOISESSA PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi

Lisätiedot

Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista

Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista 8. Verkkomallit Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista (P. D. Seymour, Journal of Combinatorial Theory (B),

Lisätiedot

Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon 12 laskareihin

Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon 12 laskareihin Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon laskareiin (a) Oletetaan seuraavan kuvan mukainen verkko ja etsitään lyyimpiä polkuja solmusta Ensimmäiseksi käsitellään solmu B, jonka etäisyys on kolme Seuraavaksi

Lisätiedot

Rinnakkaistietokoneet luento S

Rinnakkaistietokoneet luento S Rinnakkaistietokoneet luento 4 521475S Rinnakkaiset ei-numeeriset algoritmit: transitiivisulkeuma (transitive closure) Oletetaan suunnattu graafi G = (V,E) ja halutaan tietää onko olemassa kahta pistettä

Lisätiedot

Lyhin kahden solmun välinen polku

Lyhin kahden solmun välinen polku Lyhin kahden solmun välinen polku Haluamme etsiä lyhimmän polun alla olevan ruudukon kohdasta a kohtaan b vierekkäisten (toistensa sivuilla, ylä- ja alapuolella olevien) valkoisten ruutujen välinen etäisyys

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 2 Ke 15.3.2017 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento

Lisätiedot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot T-79.5101 kevät 2006 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a, Q b c d Lauseen X( UQ) sulkeuma: CL ( X( UQ) ) = { X( UQ), X( UQ), UQ, X ( UQ), ( UQ),, Q, X ( UQ),, } Muodostetaan

Lisätiedot

Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten

Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten TERMEJÄ Tietorakenne Tietorakenne on tapa tallettaa tietoa niin, että tietoa voidaan lisätä, poistaa, muokata ja hakea. Tietorakenteet siis säilövät tiedon niin,

Lisätiedot

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla? 7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,

Lisätiedot

9. Graafit. 9.1. Graafin abstrakti tietotyyppi

9. Graafit. 9.1. Graafin abstrakti tietotyyppi 9. Graafit Graafeilla eli verkoilla esitetään yhteystietoja. Esimerkkejä niistä ovat kaupunkikartan kadut ja tietoverkon tietokoneet. Tämä luku tarkastelee verkkojen perusasioita. 9.1. Graafin abstrakti

Lisätiedot

TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 9. marraskuuta 2009

TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 9. marraskuuta 2009 TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe D tiistai 10.11. klo 10 välikielen generointi Vaihe E tiistai

Lisätiedot

Uolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2

Uolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2 Uolevin reitti Kuvaus Uolevi on ruudukon vasemmassa ylänurkassa ja haluaisi päästä oikeaan alanurkkaan. Uolevi voi liikkua joka askeleella ruudun verran vasemmalle, oikealle, ylöspäin tai alaspäin. Lisäksi

Lisätiedot

Graafin virittävä puu 1 / 20

Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä

Lisätiedot

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on

Lisätiedot

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).

Lisätiedot

3.4 Peruutus (backtracking)

3.4 Peruutus (backtracking) 3.4 Peruutus (backtracking) Tarkastellaan kahta esimerkkiongelmaa: Kahdeksan kuningattaren ongelma: sijoitettava 8 8 ruudun pelilaudalle 8 nappulaa siten, että millekään vaaka-, pysty- tai viistoriville

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu 832A Tietorakenteet ja algoritmit, 204-205, Harjoitus 7, ratkaisu Hajota ja hallitse-menetelmä: Tehtävä 7.. Muodosta hajota ja hallitse-menetelmää käyttäen algoritmi TULOSTA_PUU_LASKEVA, joka tulostaa

Lisätiedot

Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys

Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 20.2.2009 Seppo Pohjolainen 2 Rakenteellinen tasapaino Käsitteitä: Arvotettu graafi (signed graph) (+ tai - ) Suuntaamaton

Lisätiedot

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti. Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa

Kokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa Kokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa Systeemianalyysin laboratorio Teknillinen Korkeakoulu, TKK 3 Maaliskuuta 2008 Sisällys 1 Johdanto Taustaa Ongelman kuvaus 2 PACE-graafi Graafin muodostaminen

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea. Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 25.3.2011 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Stabilointi. Marja Hassinen. p.1/48

Stabilointi. Marja Hassinen. p.1/48 Stabilointi Marja Hassinen marja.hassinen@cs.helsinki.fi p.1/48 Kertausta ja käsitteitä Sisältö Stabilointi Resynkroninen stabilointi Yleinen stabilointi Tarkkailu Alustus Kysymyksiä / kommentteja saa

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 2 Ke 11.1.2017 Timo Männikkö Luento 2 Algoritmin esitys Algoritmien analysointi Suoritusaika Asymptoottinen kertaluokka Peruskertaluokkia NP-täydelliset ongelmat Algoritmit 1 Kevät

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT GRAAFITEHTÄVIÄ JA -ALGORITMEJA Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) GRAAFIN LÄPIKÄYMINEN Perusta useimmille

Lisätiedot

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot.. Tehtävä Edellinen tehtävä voidaan ratkaista mm. Bellman-Fordin, Floyd-Warshallin tai Dikstran algoritmilla. Kyseessä on syklitön suunnattu verkko, oten algoritmi. (lyhimmät tiet

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 12 Ke 15.2.2017 Timo Männikkö Luento 12 Pikalajittelu Pikalajittelun vaativuus Osittamisen tasapainoisuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu

Lisätiedot

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013 VERKKOTEORIAN ALKEITA Martti E. Pesonen 28.2.2013 1 Sisältö 1 VERKOISTA 1 1.1 Mitä matemaattiset verkot ovat?................ 1 1.1.1 Verkkoteorian synty.................... 1 1.2 Suuntaamaton verkko.......................

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Oikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen.

Oikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen. Tietorakenteet, kevät 2012 Kurssikoe 2, mallivastaukset 2. (a) Järjestämistä ei voi missään tilanteessa suorittaa nopeammin kuin ajassa Θ(n log n), missä n on järjestettävän taulukon pituus. Epätosi: Yleisessä

Lisätiedot

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:

1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] == T [i + 1] 4 return True 5 return

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 14 Ke 3.5.2017 Timo Männikkö Luento 14 Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke 3.5.2017 2/30 Ositus Tehtävän esiintymä ositetaan

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Dynaaminen optimointi

Dynaaminen optimointi Dynaaminen optimointi Tapa ratkaista optimointitehtävä Tehtävä ratkaistaan vaiheittain ja vaiheet yhdistetään rekursiivisesti Perustuu optimaalisuusperiaatteeseen: Optimaalisen ratkaisupolun loppuosa on

Lisätiedot

Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon 12 laskareihin

Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon 12 laskareihin Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon laskareiin (a) Oletetaan seuraavan kuvan mukainen verkko ja etsitään lyyimpiä polkuja solmusta Ensimmäiseksi käsitellään solmu B, jonka etäisyys on kolme Seuraavaksi

Lisätiedot

Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla

Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla 5 12 30 19 72 34 Jukka Suomela 15 77 18 4 9. tammikuuta 2012 19 2 68 Verkko 2 Verkko solmu 3 Verkko solmu kaari 4 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone)

Lisätiedot

Seminaari: Hajautetut algoritmit syksy 2009

Seminaari: Hajautetut algoritmit syksy 2009 Seminaari: Hajautetut algoritmit syksy 2009 http://www.cs.helsinki.fi/u/josuomel/sem-2009s/ Jukka Suomela 10.9.2009 Seminaari: Hajautetut algoritmit syksy 2009 Seminaarin työmuodot 2 / 38 Aikataulu ja

Lisätiedot

Kytkentäkentät, luento 2 - Kolmiportaiset kentät

Kytkentäkentät, luento 2 - Kolmiportaiset kentät Kytkentäkentät, luento - Kolmiportaiset kentät Kolmiportaiset kytkentäkentät - esitystapoja ja esimerkkejä Kytkentäkenttien vertailuperusteet Estottomuus, looginen syvyys, ajokyky Closin -verkko Paull

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 3 Ti 17.1.2017 Timo Männikkö Luento 3 Algoritmin analysointi Rekursio Lomituslajittelu Aikavaativuus Tietorakenteet Pino Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 3 Ti 17.1.2017 2/27 Algoritmien

Lisätiedot

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree)

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Jatkossa puu tarkoittaa vapaata puuta (ks. s. 11) eli suuntaamatonta verkkoa, joka on yhtenäinen: minkä tahansa kahden solmun välillä on polku syklitön: minkä

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 11 Ti 25.4.2017 Timo Männikkö Luento 11 Peruutusmenetelmä Osajoukon summa Pelipuut Pelipuun läpikäynti Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 11 Ti 25.4.2017 2/29

Lisätiedot

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit V Verkkojen algoritmeja Osa1 : Leveys- ja syvyyshaku

811312A Tietorakenteet ja algoritmit V Verkkojen algoritmeja Osa1 : Leveys- ja syvyyshaku 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 V Verkkojen algoritmeja Osa1 : Leveys- ja syvyyshaku Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi 811312A

Lisätiedot

Matemaattinen optimointi II

Matemaattinen optimointi II Matemaattinen optimointi II Marko M. Mäkelä Turun yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 21 Sisältö Esipuhe 1 1 Lyhimmät tiet ja diskreetti dynaaminen optimointi 2 1.1 Lyhimmän tien ongelmia............................

Lisätiedot