Sosiaalisten verkostojen datan notaatio. Notation for Social Network Data

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sosiaalisten verkostojen datan notaatio. Notation for Social Network Data"

Transkriptio

1 Sosiaalisten verkostojen datan notaatio Notation for Social Network Data Jari Jussila

2 2 Notaatio Notaatiota tarvitaan / auttaa kuvaamaan: toimijat tai toimijoiden muodostamat joukot, toimijoiden ominaisuudet, sekä suhteet toimijoiden välillä On olemassa monta tapaa kuvata sosiaalisten verkostojen dataa matemaattisesti. Seuraavaksi esitellään kolme erilaista skeemaa [1] : Graafiteorinen notaatio Sosiometrinen notaatio Algebrallinen notaatio [1] Skeema tarkoittaa mallia, tietorakennetta, jonka avulla ihmiset tulkitsevat tapahtumia ja luovat niihin järjestystä. (ks. Kalliopuska 2005).

3 3 Notaatio skeemat Graafiteorinen notaatio sopii parhaiten centrality ja prestige cohesive subgroup ideas dyad and triad networks Sosiometrinen notaatio sopii parhaiten study of structural equivalence blockmodels Algebrallinen notaatio sopii parhaiten role and positional analysis relational algebra

4 4 Graafiteorinen notaatio Graafiteorinen notaatio mahdollistaa yksinkertaisen tavan esittää toimijoita ja suhteita. Graafiteoriaa on hyödynnetty 1940-luvulta lähtien sosiaalisten verkostojen tutkimiseen. Graafiteorinen notaatio on täysin yhdenmukainen sosiometrisen ja algebrallisen notaation kanssa. Graafiit koostuvat solmuista (engl. node) ja viivoista niiden välillä.

5 5 Sosiometrinen notaatio Sosiometrinen notaatio on yleisin sosiaalisten verkostojen kirjallisuudessa. Sosiometrinen notaatio esittää datan jokaisesta suhteesta sosiomatriisin muodossa, jossa rivit ja sarakkeet viittaavat toimijoiden pareihin. Sosiomatriisit esiintyivät ensimmäisen kerran Morenon (1934) sosiometrisissä tutkimuksissa. Useimmat ohjelmistot sosiaalisten verkostojen datan analyysiin hyödyntävät sosiomatriiseja. Sosiomatriisit ovat naapuruusmatriiseja (engl. adjacency matrices) graafeille, ja näin ollen liittyvät suoraan graafiteoreettiseen notaation.

6 6 Algrebrallinen notaatio Algebrallista notaatiota käytetään tutkimaan useita suhteita. Tämä notaatio on hyödyllinen tutkittaessa verkoston rooli rakenteita ja suhteiden algebraa. Algebrallisessa notaatiossa hyödynnetään algebrallisia menetelmiä vertaamaan ja rinnastamaan mitattuja suhteita ja niistä johdettuja yhdistelmä (engl. compound) suhteita. Esimerkiksi jos olemme mitanneet kahta suhdetta: on ystävä ja on vihollinen, niin meitä saattaa kiinnostaa seuraava suhde: ystävän vihollinen. Tämä notaatio on tarkoitettu yksimoodisille (saman tyyppisten toimijaryhmien) verkostoille ja sitä sovelsivat ensimmäisen kerran White (1963) ja Boyd (1969)

7 7 Graafiteorinen notaatio matemaattisesti N = toimijoiden joukko N sisältää g määrän toimijoita, joihin viitataan N = {n 1,n 2,..., n g } Esimerkiksi: g = 6, opiskelijaa: Allison, Drew, Eliot, Keith, Ross, Sarah N= {Allison, Drew, Eliot, Keith, Ross, Sarah} Eli meillä on toimijoiden joukko N, jonka toimijoihin voidaan viitata niiden symboleilla: n 1 = Allison, n 2 = Drew, n 3 = Eliot, n 4 = Keith, n 5 = Ross, n 6 = Sarah

8 8 Graafiteorinen notaatio: yksi suhde Oletetaan, että meillä on yksi suhde toimijoiden joukolle N Tällöin kuvaamme, miten jokainen toimija (toimijoiden joukossa N) on suhteessa toiseensa. Oletetaan myös, että suhteet ovat dikotomisia (binäärisiä) ja suunnattuja. Dikotominen tarkoittaa sitä, että toimija joko on suhteessa toiseen toimijaan tai se ei ole. Suunnattu puolestaan tarkoittaa sitä, että toimijoiden pari n i ja n j ovat eri asia kuin pari n j ja n i, järjestyksellä on siis merkitystä. Jos yhdysside on olemassa niin voidaan sanoa, että järjestetty pari on elementti erityisessä kokoelmassa pareja, jota kutsutaan L. Jos järjestetty pari on osa L, niin ensimmäinen toimija parista on suhteessa toiseen toimijaan tarkasteltavan suhteen laadun mukaisesti. On mahdollista olla 0:sta g(g 1) elementtiä (lukumäärä järjestettyjä pareja L kohden)

9 Dikotomisten verkostojen matemaattinen kuvaus 9 Jos järjestetty pari on < n i, n j > ja on olemassa yhdysside, niin n i n j Elementeistä (tai järjestetyistä pareista), jotka ovat osa kokoelmaa L käytetään symbolia l. Kun on olemassa L määrä elementtejä kokoelmassa L, joten L = {l 1. l 2,..., l L } Elementit kokoelmassa L voidaan esittää graafisesti piirtämällä viiva ensimmäisestä toimijasta toiseen toimijaan. Tälläisiä graafeja kutsutaan suunnatuiksi graafeiksi, koska viivoilla on suunta. Suunnatusta viivasta käytetään nimitystä kaari (engl. arc). Symbolia L käytetään viittaamaan kokoelmaan suunnattuja viivoja ja symboli l viittaa yksittäisiin suunnattuihin viivoihin kokoelmassa. Koska graafit koostuvat setistä solmuja N ja setistä viivoja L, niin graafeja voidaan matemaattisesti kuvata kahdella setillä (N, L). G symbolia käytetään kuvaamaan graafia. On tärkeätä huomata, että nämä kaksi settiä (toimijat ja järjestettyjen parien setti / kaarien setti) riittää kuvaamaan matemaattisesti verkostoja, joissa mitataan dikotomisia suhteita.

10 10 Suunnatut ja ei-suunnatut suhteet Joissain tilanteissa suunnalla ei ole merkitystä, toisin sanottuna ei voida erottaa viivaa n i ja n j välillä viivasta n j ja n i välillä. Esimerkkinä tällaisesta suhteesta on asuu lähellä toista Tälläisessä tapauksessa parien järjestyksellä ei ole merkitystä.

11 11 Suunnatun suhteen merkityksestä Suunnatut suhteet eivät automaattisesti merkitse kahden suuntaista yhteyttä. Esimerkiksi, jos ajatellaan joukon lapsia (toimijoita) välistä dikotomista suhdetta on ystävä, toinen toimija ei välttämättä ole samaa mieltä asiasta.

12 12 Suunnatun suhteen esimerkki Esimerkkinä kahdeksan mahdollisesta kolmesta kymmenestä järjestetystä parista ovat ystäviä (eli on olemassa kahdeksan kaarta kolmesta kymmenestä mahdollisesta) ja loput kaksikymmentä kaksi eivät ole ystäviä (puuttuu kaksikymmentä kaksi viivaa).. Olkoon nämä L=8 parit <Allison, Drew>, <Allison, Ross>, <Drew, Sarah>, <Drew, Eliot>, <Eliot, Drew>, <Keith, Ross>, <Ross, Sarah> ja <Sarah, Drew> Eli elementeille L, l 1 = <Allison, Drew>, l 2 = <Allison, Ross>,..., ja l 8 = <Sarah, Drew> Data kertoo meille, että Allison näkee Drew:n ystävänä, Alison näkee Rossin ystävänä, Drew näkee Sarahin ystävänä, jne. Huomattavaa on, että suhde, tässä tapauksessa ystävyys ei ole molemmanpuoleista, eli jos n i väittääettän j on hänen ystävänsä (tai n i n j ), niin on mahdollista, että tunne ei ole molemmanpuoleinen n j ei välttämättä valitse n i ystäväkseen (tai n j n i ).

13 13 Suunnattu suhde graafisesti Sama asia voidaan esittää graafina, jossa solmut ovat pisteitä kaksiulotteisessa avaruudessa ja kaaret edustaa suunnattuja nuolia pisteiden välillä. Kuusi lasta voidaan siis esittää pisteinä kaksi-ulotteisessa avaruudessa. On tärkeää huomata, että pisteiden sijainnilla ei ole mitään merkitystä (ei ole olennaista).

14 Sosiogrammi: 6 toimijaa ja suunnatut viivat niiden välillä 14 Allison Drew Elliot Keith Ross Sarah

15 15 Useita suhteita Kun meitä kiinnostaa useammat toimijoiden N väliset suhteet, olkoon R suhteiden lukumäärä. Jokaisella suhteella on setti kaaria, L r, joka sisältää L r järjestettyjä pareja toimijoita elementtinä. vaihtelee välillä 1 R. Jokainen näistä R seteistä määrittelee graafin N solmuille. Joten jokainen suhde on määritelty samalle joukolle solmuja, mutta jokaisella on yksilöllinen määrä kaaria. r -suhde voidaan kvantifioida seuraavasti: (N r, L r ), jossa r = 1,2,..., R.

16 16 Useiden suhteiden esimerkki Meillä on R = 3 suhdetta: 1. Kuka valitsee kenenkä ystäväkseen koulu vuoden alussa 2. Kuka valitsee kenenkä ystäväkseen koulu vuoden lopussa 3. Kuka asuu lähellä ketä Ensimmäiset kaksi suhdetta ovat suunnattuja ja viimeinen on eisuunnattu. Meillä on L 1 = 8 paria toimijoita L 2 = 11 paria toimijoita L 3 = 12 paria toimijoita Ei suunnatuille suhteille, jokainen pari voidaan listata useammasti kuin kerran, esim. jos Allison asuu lähellä Rossia, niin Ross asuu myös lähellä Allisonia (, ) tarkoittaa ei suunnattu suhdetta, ja <, > suunnattua suhdetta

17 17 Graafiteorinen notaatio taulukkona Suhde 1. Ystävyys alussa Suhde 2. Ystävyys lopussa Suhde 3. Asuu lähellä <Allison, Drew> <Allison, Drew> (Allison, Ross) <Allison, Ross> <Allison, Ross> (Allison, Sarah) <Drew, Sarah> <Drew, Sarah> (Drew, Elliot) <Drew, Eliot> <Drew, Eliot> (Keith, Ross) <Eliot, Drew> <Drew, Ross> (Keith, Sarah) <Keith, Ross> <Eliot, Ross> (Ross, Sarah) <Ross, Sarah> <Sarah, Drew> <Keith, Drew> <Keith, Ross> <Ross, Keith> <Ross, Sarah> <Sarah, Drew>

18 6 toimijaa ja kolmenlaisia suunnattuja viivoja 18 Allison Drew Elliot Keith Ross Sarah Ystävyys alussa Ystävyys lopussa Asuu lähellä

19 19 Graafiteoreettisen notaation soveltuvuus Grafiteoreettinen notaatio soveltuu heikommin tilanteisiin, jossa suhteet on arvotetu. Eli sellaisiin data joukkoihin, joissa suhteiden vahvuutta tai frekvenssiä on tarkasteltu. Näihin on olemassa erikoisgraafeja, kuten signed graphs ja valued graphs, mutta sosiometrinen notaatio soveltuu yleisesti paremmin arvotettujen suhteiden käsittelyyn.

20 20 Sosiometrinen notaatio Sosiometriikka tutkii ihmisjoukkojen positiivisia ja negatiivisia tunteisiin liittyviä (engl. affective) suhteita, kuten pitää/ei pidä, ystävä/vihamies. Suhde data esitetään usein kahden suuntaisina matriiseina, joita kutsutaan sosiomatriiseiksi. Sosiomatriisin kaksi dimensiota ovat indeksoitu lähettäviin toimijoihin (rivit) ja vastaanottaviin toimijoihin (sarakkeet). Yksimoodisessa verkostossa sosiomatriisi on neliö. Sosiomatriisi dikotomisille suhteille on täsmälleen naapuruusmatriisi graafeille (sosiogrammi), joka kvantifioi yhdyssidokset toimijoiden ja tutkittavan suhteen välillä.

21 21 Sosiometrinen notaatio: yksi suhde Oletetaan, että meillä on yksi suhde, jota mitataan g kokoisen joukon toimijoita N = {n 1, n 2,, n g } suhteen. Tästä yksiarvoisesta suunnatusta suhteesta käytetään symbolia X. Määritellään x ij yhdyssiteiden arvoiksi i toimijasta j toimijaan yhden suhteen mukaan. Tämän jälkeen mittaukset sijoitetaan sosiomatriisiin. Rivit ja sarakkeet ovat yksittäisiä toimijoita järjestettynä identtiseen järjestykseen. Koska on olemassa g määrä toimijoita, niin matriisin koko on g x g. Suhteelle X., määritellään sitä vastaava sosiomatriisi X. Tällä sosiomatriisilla on g riviä ja g sarakkeita. Yhdyssiteen arvo n i n j sijoitetaan X matriisin (i, j) elementteihin. x ij = yhdyssiteen arvo n i n j suhteelle X, jossa i ja j (i j) vaihtelevat kokonaislukujen 1 ja g välillä. X matriisin elementtejä voidaan ajatella olevan koodattuja arvoja suhteesta X. Jos kyseessä on dikotominen suhde, niin yhdyssiteen arvo on joko 0 tai 1.

22 22 Sosiometrinen notaatio: useita suhteita Oletetaan, että on useampia suhteita R, X. 1, X. 2,..., X. R joita mitataan samalla toimijoiden joukolla. Nämä suhteet ovat arvotettuja ja arvot suhteeseen X. R tulevat setistä {0, 1, 2,..., C r 1}. Määritellään x ijr yhdyssiteen voimakkuutena toimijasta i toimijaan j r suhteen suhteen. Tämän jälkeen mittaukset sijoitellaan kokoelmaan sosiomatriiseja, yksi jokaista suhdetta kohde. Rivit ja sarakkeet jokaisesta sosiomatriisista indeksoi yksittäiset toimijat identtiseen järjestykseen. Rivit ja sarakkeet nimetään siis identtisesti. Jokaisen matriisin koko on g x g. Ajatellaan yhtä suhdetta, X. r, ja määritellään tälle suhteella sosiomatriisi X r. Yhdyssiteen arvo n i n j sijoitetaan X r matriisin (i, j) elementteihin. x ijr = yhdyssiteen arvo n i :stä n j :hin X. r suhteen mukaan, jossa i ja j (i j) saavat kokonaisluvun arvon väliltä 1 g ja r = 1,2,..., R X r elementtien arvoja voidaan ajatella koodattuina arvoina suhteesta X. r On olemassa R, g x g sosiomatriiseja, yksi jokaista suhdetta kohden toimijoiden joukossa N

23 23 Sosiomatriisi: ystävyys vuoden alussa Ystävyys vuoden alussa Allison Drew Eliot Keith Ross Sarah Allison Drew Eliot Keith Ross Sarah

24 Graafiteoreettisen ja sosiometrisen notaation vertailu 24 Esimerkissä huomioitavaa on ensimmäinen suhde ja ensimmäinen kaari L 1. Ensimmäinen kaari (viiva) on l 1 = <Allison, Drew>. Allison Drew suhdetta kuvaa kaari l 1. Allison on siis valinnut Drew:n ystäväkseen kouluvuoden alussa. Tämä kaari (l 1 ) kuvaa graafiteoreettista notaatiota. Sosiometrisessä notaatiossa Allison (n 1 ) on lähettäjä (ensimmäinen rivi) ja Drew (n 2 ) on vastaanottaja (toinen sarake) suhteessa X. 1 Tämä arvo on tallennettu (1,2) soluun sosiomatriisissa ja sisältöö arvon 1: X 121 = yhdyssiteen arvo n 1 :stä n 2 : een X. 1 suhteen X 121 = 1 Kiinnitä huomiota myös X 211 = 0, eli Drew ei pidä Allisonia ystävänään vuoden alussa, eli Drew Allison Huomaa myös diagonaaliset määrittelemättömät arvot (-) Eli opiskelijoille ei ole annettu mahdollisuutta arvioida ovatko he itsensä ystäviä ja että asuvatko he lähellä itseään Nämä sosiomatriisit ovat naapuruusmatriiseja kahdelle suunnatulle graafille ja yhden suuntaamattomalle graafille kolmen dikotomisen suhteen suhteen.

25 25 Sosiomatriisi: ystävyys vuoden lopussa Ystävyys vuoden lopussa Allison Drew Eliot Keith Ross Sarah Allison Drew Eliot Keith Ross Sarah

26 26 Sosiomatriisi: asuu lähellä Asuu lähellä Allison Drew Eliot Keith Ross Sarah Allison Drew Eliot Keith Ross Sarah

27 27 Algebrallinen notaatio Algebrallinen notaatio on erilainen, mutta yhdenmukainen graafiteoreettisen ja sosiometrisen notaation kanssa. Algebrallisella ja sosiometrisella notaatiolla on kaksi merkittävää eroavaisuutta: 1. Algebrallinen notaatio viitaa suhteisiin isolla kirjaimella, esim. Y on ystävä ja V on vihamies [ X. 1, X. 2,..., X. r ] 2. Yhdysside toimijasta i toimijaan j merkitään suhteelle Y : iyj

28 28 Algebrallinen notaatio esimerkki Esimerkiksi on ystävä vuoden alussa on Y. Yhdysside tallennetaan opiskelija i valitsee opiskelijan j ystäväkseen vuoden alussa muotoon iyj. Sosiometrisisessa notaatiossa iyj tarkoitaa X ijy = 1, ja viittaa siihen, että on olemassa arvo 1 rivillä i ja sarakkeessa j sosiomatriisin solussa. Algebrallinen notaatio soveltuu hyvin dikotomisten suhteiden ja suhteiden kombinaatioiden kuvaamiseen: ystävän vihamies, äidin veli, tai ystävän naapuri Algebrallinen notaatio ei kuitenkaan sovellu arvotettujen suhteiden tai toimijoiden ominaisuuksien kuvaamiseen

29 29 Kaksi toimijajoukkoa Esimerkiksi, meillä voi olla kaksi joukkoa: opiskelijat ja opettajat. Tarkasteltavia suhteita voi olla esimerkiksi: on oppilas ja osallistuu tiedekunnan palavereihin. on oppilas suhde pätee vain opiskelijan ja opettajan välillä osallistuu tiedekunnan palavereihin suhde pätee vain opettajien pareilla Kutsumme ensimmäistä toimijaa pareista lähettäjäksi (engl. sender) ja toista toimijaa vastaanottajaksi (engl. receiver). Näistä on myös käytetty nimityksiä perustaja (engl. originator) ja saaja (engl. recipient) tai toimija (engl. actor) ja partneri (engl. partner). Ensimmäisestä toimijajoukosta käytetään symbolia N ja toisesta symbolia M. N joukko koostuu g toimijoista ja M joukko koostu h toimijoista. M joukko koostuu elementeistä {m 1, m 2,..., m h }, ja m i on tyypillinen toimija toisessa toimijajoukossa. h Lisäksi on olemassa dyadit, jotka voidaan muodostaa M toimijoista. 2

30 30 Kahden toimijajoukon esimerkki Olkoon N opiskelijoiden joukko ja M opettajien joukko. M koostuu h = 4 opettajasta. m 1 = Mr. Jones, m 2 = Ms. Smith, m 3 = Mr. White ja m 4 = Ms. Davis Kokonaisuudessaan on kymmenen toimijaa, jotka on ryhmitelty kahteen joukkoon. Toimijoiden joukko M tuo itsessään 4(4-1)/2 = 6 järjestämätöntä paria lisää.

31 Sosiomatriisi suhteesta on oppilas määritetty heterogeenisille pareillen ja M 31 N M Mr. Jones Ms. Smith Ms. Davis Mr. White Allison Drew Eliot Keith Ross Sarah X NM 6 x 4 = 24 heterogeenistä paria X N r X M r X NM r X MN r, dimensiot = g x g, dimensiot = h x h, dimensiot = g x h, dimensiot = h x g

32 32 Eri tyyppiset parit Kahden toimijajoukon sisällä voi olla kahden tyyppisiä pareja niitä jotka koostuvat saman joukon toimijoista ja niitä jotka koostuvat eri joukon toimijoista. Saman joukon toimijoiden pareja kutsutaan homogeeniseksi pareiksi. On olemassa kahdenlaisia homogeenisia pareja: 1. Lähettäjä ja vastaanottaja kuuluvat joukkoon N 2. Lähettäjä ja vastaanottaja kuuluvat joukkoon M Eri joukon toimijoiden pareja kutsutaan puolestaan heterogeenisiksi pareiksi Heterogeenisiä pareja on myös olemassa kahdenlaisia: 1. Lähettäjä kuuluu joukkoon N ja vastaanottajia kuuluu joukkoon M 2. Lähettäjä kuuluu joukkoon M ja vastaanottajia kuuluu joukkoon N

33 33 Yhteenveto Joukko toimijoita, informaatio toimijaparien suhteista, ja mahdolliset toimijoiden ominaisuudet muodostavat kokoelman dataa, jota voidaan kutsua sosiaalisten suhteiden järjestelmäksi (engl. social relational system). Dikotomisten suhteiden osalta kaikki kolme notaatio skeemaa pystyvät kuvaamaan koko data joukon. Symbolit n i n j on lyhennys notaatiosta: n i valitsee n j :n tietyn suhteen suhteen; eli kaari n i :stä n j :hin kuuluu joukkoon L, jolloin on olemassa yhdysside järjestettyjen parien < n i, n j > välillä. Algebrallisessa notaatiossa suhteet nimetään isoin kirjaimin ja suhteen olemassa oloon kahden parin välillä viitataan esim. iyj. Sosiometrisessä notaatiossa yhdysside kirjataan sosiomatriisiin: x ij = 1. Jos on olemassa yksi joukko g toimijoita, niin on olemassa g(g 1) järjestettyjä pareja toimijoita. N lisäksi on olemassa joukko L, joka sisältää kokoelman järjestettyjä pareja toimijoista, joiden välillä on yhdysside.

34 34 Yhteenveto kaavana S = {N, L } algebrallinen rakenne, jossa S on yksinkertaisin mahdollinen sosiaalinen verkosto (Freeman 1989). Freeman (1989) kuvaa kolmirakenteen, joka koostuu algebrallisesta rakenteesta S, suunnatusta graafista tai sosiogrammista G d ja naapuruusmatriisista tai sosiomatriisista X: P = <S, G d, X > Tämä kolmirakenne osoittaa, että eri notaatiot tarjoavat olennaisimmat komponentit yksinkertaisten sosiaalisten verkostojen tarkasteluun: Joukko solmuja ja kaaria (graafiteoreettisesta notaatiosta) Sosiogrammi tai graafi (tuotettu solmuista ja kaarista) Sosiomatriisi (sosiometrisestä notaatiosta)

Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä

Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä Stanley Wasserman and Katherine Faust: Social Network Analysis, Methods and Applications Sosiaalisten

Lisätiedot

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio

Lisätiedot

Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys

Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 20.2.2009 Seppo Pohjolainen 2 Rakenteellinen tasapaino Käsitteitä: Arvotettu graafi (signed graph) (+ tai - ) Suuntaamaton

Lisätiedot

Social Network Analysis Centrality And Prestige

Social Network Analysis Centrality And Prestige Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Social Network Analysis Centrality And Prestige Sosiaalisten verkostojen analyysi Keskeisyys ja arvostus 6.2.2009 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi

Lisätiedot

Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti. Diplomityö

Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti. Diplomityö Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti Diplomityö Tarkastajat: Prof. Seppo Pohjolainen (TTY) ja tutkija Jukka Huhtamäki (TTY) Tarkastajat ja aihe

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen data

Sosiaalisten verkostojen data Sosiaalisten verkostojen data Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 2. luento - 17.10.2008 Antti Kortemaa, TTY/Hlab Wasserman, S. & Faust, K.: Social Network Analysis. Methods and Applications. 1 Mitä

Lisätiedot

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

6.4. Järjestyssuhteet

6.4. Järjestyssuhteet 6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla

Lisätiedot

Koheesiiviset alaryhmät

Koheesiiviset alaryhmät 1 Koheesiiviset alaryhmät Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 11. luento - 6.3.2009 Joonas Meriläinen TTY / Hypermedialaboratorio http://eclectic.ss.uci.edu/~drwhite/cases/transparencies/clique.gif

Lisätiedot

Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia. Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus

Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia. Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus Verkostoanalyysi 2011, TTY 1 Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).

Lisätiedot

Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä

Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 20.3.2009 Jaakko Salonen TTY / Hypermedialaboratorio jaakko.salonen@tut.fi

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste

Lisätiedot

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA

TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA Harjoitus 4 syksy 2016 Ratkaisut 1. Mitä ehtoja joukkojen M ja N tulee täyttää (kussakin kohdassa erikseen), jotta seuraavat väittämät olisivat tosia a) M = b) N \ M = c) M

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Graphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa

Graphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Graphs in Social Network Analysis And Modeling Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa 28.11.2008 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Sisältö

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Hypermedian jatko-opintoseminaari. MATHM-6750x. 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät

Hypermedian jatko-opintoseminaari. MATHM-6750x. 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät 1 Hypermedian jatko-opintoseminaari MATHM-6750x 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät 26.10.2008 Modernissa yhteiskunnassa ovat sekä yhteisöjen että laitteistojen muodostamat verkostot muodostuneet

Lisätiedot

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset 32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt

Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt LuK-tutkielma Aku-Petteri Niemi Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Latinalaiset neliöt 3 1.1 Latinalainen neliö.........................

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu

Lisätiedot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot T-79.5101 kevät 2006 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a, Q b c d Lauseen X( UQ) sulkeuma: CL ( X( UQ) ) = { X( UQ), X( UQ), UQ, X ( UQ), ( UQ),, Q, X ( UQ),, } Muodostetaan

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Ekvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa

Ekvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.

Lisätiedot

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea. Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 25.3.2011 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla

Lisätiedot

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006 Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation

Lisätiedot

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a, Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA = 3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden

Lisätiedot

Rinnakkaistietokoneet luento S

Rinnakkaistietokoneet luento S Rinnakkaistietokoneet luento 2 521475S Tietokonealgoritmien rinnakkaisuuden analysointi Algoritmi on proseduuri, joka koostuu äärellisestä joukosta yksiselitteisiä sääntöjä jotka muodostavat operaatiosekvenssin,

Lisätiedot

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 12. tammikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 12. tammikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Äärellisiä automaatteja PUSH ON PUSH OFF Q T Q J C C H S C,Q C,Q 0 50s 1e

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea.

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea. Arvostus Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 8..0 in idea on määrittää verkoston solmuille arvostusta kuvaavat tunnusluvut. Voidaan ajatella

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Determinantti 1 / 30

Determinantti 1 / 30 1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015 TIEA24 Automaatit ja kieliopit, syksy 205 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 5. marraskuuta 205 Sisällys Käsiteanalyysiä Tarkastellaan koodilukkoa äärellisenä automaattina. Deterministinen äärellinen

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Hypermedian jatko-opintoseminaari

Hypermedian jatko-opintoseminaari Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Hypermedia jatko-opitosemiaari 28 29 Matrices i Social Network

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut 2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,

Lisätiedot

Syötteen ainoalla rivillä on yksi positiivinen kokonaisluku, joka on alle 1000000000000 = 10 12. Luvussa ei esiinny missään kohtaa numeroa 0.

Syötteen ainoalla rivillä on yksi positiivinen kokonaisluku, joka on alle 1000000000000 = 10 12. Luvussa ei esiinny missään kohtaa numeroa 0. A Alkulukuosat Tehtävänä on laskea annetusta kokonaisluvusta niiden osajonojen määrä, joita vastaavat luvut ovat alkulukuja. Esimerkiksi luvun 123 kaikki osajonot ovat 1, 2, 3, 12, 23 ja 123. Näistä alkulukuja

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 16.2.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 16.2.2010 1 / 41 Kännykkäpalautetteen antajia kaivataan edelleen! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

Jäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet

Jäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet Jäsenyysverkostot, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen anal Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 3.4.2009 Antti Syvänen TaY / antti.syvanen@uta.fi 1 Sisältö ja tavoitteet Esitellään jäsenyysverkostojen,

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä.

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä. POHDIN projekti TIEVERKKO Tieverkon etäisyyksien minimointi ja esimerkiksi maakaapeleiden kokonaismäärän minimointi sekä ylipäätään äärellisen pistejoukon yhdistäminen reitityksillä toisiinsa niin, että

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot