MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

Transkriptio

1 MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I 1 Joukko-oppi ja logiikka Iduktioperiaate G. Gripeberg 2 Relaatiot ja fuktiot Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta Kombiatoriikka ym. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osahuhtikuuta I / 27 G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osahuhtikuuta I / 27 Joukot Joukko-opissa peruskäsite o eli a A ku alkio a kuuluu joukkoo A ja a / A ku alkio a ei kuulu joukkoo A. Merkitätapoja: A = {2, 4, 5, 8} o joukko joka alkiot ovat 2, 4, 5 ja 8 ja B = {4, 5, } o joukko, joka alkiot ovat kaikki kokoaisluvut j joille pätee 4 j Usei merkitää A = { x B : Px) } jolloi A: alkiot ovat e jouko B alkiot joille väite Px) o tosi. Tyhjä joukko: = {} o tyhjä joukko joho ei kuulu yhtää alkiota, eli x o aia epätosi. A = B ku x A jos ja vai jos x B, eli esimerkiksi {1, 2, 2, 3} = {3, 2, 1}. Ei-egatiiviset kokoaisluvut joukkoia: Jos o luku 0 ii { } o luku 1, {, { }} o luku 2, {, { }, {, { }}} o luku 3 je. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osahuhtikuuta I / 27 Joukko-opi perusmerkitöjä Yhdiste tai uioi: x A B jos ja vai jos x A tai x B. Leikkaus: x A B jos ja vai jos x A ja x B. Joukkoerotus: x A \ B jos ja vai jos x A mutta x / B. Osajoukko: A B jos jokaie A: alkio o myös B: alkio. Yhtäläisyys: A = B jos A B ja B A. Komplemetti: A c = Ω \ A jos A Ω ja o selvää mikä Ω o. Yhdiste tai uioi: x j J A j jos ja vai jos x A j jollaki j J. Leikkaus: x j J A j jos ja vai jos x A j kaikilla j J. Stadardimerkitöjä N 0 = {0, 1, 2, 3,...} o luoolliste lukuje missä 0 o mukaa) joukko. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} o kokoaislukuje joukko. Q = { p q : p, q Z, q 0 } o ratioaalilukuje joukko. R o reaalilukuje joukko. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osahuhtikuuta I / 27

2 Propositiologiikka eli lausekalkyyli Jos a ovat b lauseita tai väitteitä, jotka voivat olla tosia tai epätosia mutta ei mitää siltä väliltä ii Lause a & b o tosi ku a o tosi ja b o tosi Lause a b o tosi ku a o tosi tai b o tosi ja myös ku molemmat ovat tosia). Lause!a o tosi ku a ei ole tosi eli a o epätosi. Lause a b o tosi ku!a) b o tosi, eli ku b o tosi tai a o epätosi. Lause a b ku a b) & b a) o tosi. Matemaattisessa logiikassa käytetää yleisesti &: sijasta, : sijasta ja!: sijasta. Implikaatio Logiika lause a b ei täysi vastaa jokapäiväise kielekäytö jos a ii b koska se o tosi ku a o epätosi eikä sillä välttämättä ole mitää tekemistä syy-seuraus syhtee kassa. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osahuhtikuuta I / 27 Predikaattilogiikka Lause x Px) o tosi ku Px) o tosi kaikilla x. Lause x Px) o tosi ku o olemassa x site, että Px) o tosi. Predikaattilogiikka o lausekalkyyli laajeus, jossa operaatiode eli koektiivie!, &,, ja ) lisäksi käytetää uiversaali- ja eksistessi kvattorit kaikilla ) och o olemassa ), ja lauseide lisäksi käytetää muuttujia x, y,... ja predikaatteja P, Q,.... Predikaateilla o äärellie määrä argumetteja, esim. Px), Qx, y), je., ja predikaatti joide argumettie lukumäärä o 0 o lause. Predikaattie lisäksi voidaa käyttää fuktioita joide arvot kuuluvat samaa käsiteltävää aihepiirii domai of discourse ) kui muuttujat. Fuktio, jolla ei ole muuttuja o vakio. Fukiot ja vakiot voidaa esittää predikaattie avulla, mutta se o usei kömpelö vaihtoehto. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osahuhtikuuta I / 27 Prioriteettijärjestys Jos ei käytetä sulkuja, joilla tieteki o korkei prioriteetti, ii loogiset koektiivit evaluoidaa tavallisesti seuraavassa järjestyksessä: Esi!, sitte ja, sitte & ja ja lopuksi ja. x A ja x A Lauseet x A Px)) ja x A Px)) ovat lyheteitä lauseista x x A Px)), x x A & Px)), ja tarkoittavat tieteki) että kaikilla A: alkiolla x pätee Px) ja o olemassa A: alkio x jolla Px) pätee. Negaatio!, koektiivit & ja sekä kvattorit ja Kaikilla lauseilla a ja b pätee!a & b)!a!b,!a b)!a &!b, eli esimerkiksi!a & b) o tosi täsmällee silloi ku!a!b o tosi ja lause!a & b)!a!b o tautologia koska se o tosi riippumatta a: ja b: totuusarvoista. Samoi kaikilla predikaateilla P pätee! xpx))) x!px)),! xpx))) x!px)). G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osahuhtikuuta I / 27 G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osahuhtikuuta I / 27

3 Iduktioperiaate Jos P) o väite joka kaikilla 0 o joko tosi tai epätosi) site, että P 0 ) o tosi Pk + 1) o tosi jos Pk) o tosi eli Pk) Pk + 1) o tosi) ku k 0 ii P) o tosi kaikilla 0. Joskus o tarpee ottaa iduktio-oletukseksi väite, että Pj) o tosi ku 0 j k se sijaa että pelkästää oletetaa, että Pk) o tosi. Karteesie tulo Kahde jouko X och Y karteesie tulo X Y o joukko joho kuuluvat kaikki järjestetyt parit a, b) tai [a, b] missä a X ja b Y, eli X Y = { [a, b] : a X ja b Y }. O mota tapaa määritellä järjestettyä paria [a, b] ja usei käytetty tapa o saoa, että [a, b] o joukko {{a}, {a, b}}. Relaatiot Relaatio joukosta X joukkoo Y tai relaatio joukossa X jos Y = X ) o karteesise tulo X Y osajoukko. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osahuhtikuuta I / 27 G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 Verkko? Verkko, eli graafi muodostuu joukosta solmuja ja joukosta iide väilisiä kaaria tai likkejä), esim äi: 4 3 Suuatussa verkossa jokaisella kaarella o lähtösolmu ja kohdesolmu ku suutaamattomassa verkossa ei tehdä eroa lähtö- ja kohdesolmu välillä. Suuattu verkko o järjestetty pari [V, E] V = vertex, E = edge ) missä V o joukko tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä) ja E V V, eli E o relaatio joukossa V. Suutaamato verkko o järjestetty pari [V, E] missä V o joukko tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä) ja E { {a, b} : a V, b V }. Suutaamato verkko voidaa myös ajatella oleva suuattu verkko missä relaatio E o symmetrie, eli [a, b] E [b, a] E. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / Erilaisia relaatioita joukossa X Relaatio W joukossa X o refleksiivie jos [x, x] W kaikilla x X. symmetrie jos [x, y] W [y, x] W kaikilla x ja y X. trasitiivie jos [x, y] W & [y, z] W [x, z] W kaikilla x, y ja z X. atisymmetrie jos [x, y] W & x y [y, x] / W eli [x, y] W & [y, x] W x = y kaikilla x ja y X. asymmetrie jos [x, y] W [y, x] / W kaikilla x ja y X. totaalie tai täydellie jos [x, y] W [y, x] W kaikilla x ja y X. ekvivalessirelaatio jos W o refleksiivie, symmetrie ja trasitiivie. osittaisjäjestys jos W refleksiivie, atisymmetrie ja trasitiivie. Usei kirjoitetaa [x, y] W : sijasta xwy esim. x y se sijaa, että kirjoitettaisii [x, y]. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27

4 Fuktiot jos X ja Y ovat joukkoja ii fuktio f : X Y o relaatio joukosta X joukkoo Y eli X Y : osajoukko site, että jokaisella x X o olemassa y Y site, että [x, y] f. jos [x, y 1 ] f ja [x, y 2 ] f ii y 1 = y 2. Tavallisesti fuktio esitetää site, että [x, y] f jos ja vai jos y = f x) vaikka xf tms. voisi olla parempi merkitätapa jos luetaa vasemmalta oikealle). Toisi saoe, fuktio f joukosta X joukkoo Y o säätö, joka jokaisella x X ataa vastaukseksi yksikäsitteise alkio y = f x) joukossa Y. Jos f : X Y o fuktio ii X o se määrittely- eli lähtöjoukko ja Y o se maalijoukko. Y X = { f : f o fuktio joukosta X joukkoo Y }. Jos f : X Y o fuktio ja A X ii f A : A Y o fuktio f rajoitettua joukkoo A eli relaatioa f A = { [x, y] : [x, y] f, x A }. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 Aoyymit fuktiot Voidaa puhua esim. luvusta 2 ilma sekaatumise vaaraa, mutta jos puhutaa lausekkeesta x + 3 ei ole välttämättä selvää tarkoitetaako fuktiota, joka ataa tulokseksi argumettisa joho o lisätty 3 vai tämä fuktio arvo ku argumetti o x. Jos tarkoitetaa fuktiota eikä se arvoa ii voidaa kirjoittaa x x + 3 tai fuctiox){retur x+3;} tai jotai muuta vastaavaa. Ijektiot, surjektiot och bijektiot Fuktio f : X Y o ijektio jos f x 1 ) = f x 2 ) x 1 = x 2 kaikilla x 1, x 2 X. surjektio jos kaikilla y Y o olemassa x X site, että f x) = y. bijektio jos se o sekä ijektio että surjektio. Ekvivaletti määritelmä o, että f : X Y o ijektio jos x 1 x 2 f x 1 ) f x 2 ) kaikilla x 1, x 2 X ja f o surjektio jos arvojoukko f X ) = { f x) : x X } o sama kui maalijoukko Y eli f X ) = Y. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 Yhdistetyt fuktiot ja kääteisfuktiot Jos f : X Y ja g : Y Z ovat kaksi fuktiota ii h = g f : X Z o fuktio hx) = gf x)). Jos f : X Y, g : Y Z ja h : Z W ovat fuktioita ii h g) f = h g f ) jote tämä fuktio voidaa myös kirjoittaa muodossa h g f. Jos f : X Y sellaie fuktio, että o olemassa fuktio g : Y X site että g f )x) = x ja f g)y) = y kaikilla x X ja y Y ii f o käätyvä, g o f : kääteisfuktio ja ja useimmite kirjoitetaa g = f 1. Fuktio f : X Y o käätyvä jos ja vai jos se o bijektio. Jos f : X Y o käätyvä ii f 1 ) 1 = f eli kääteisfuktio o myös käätyvä ja se kääteisfuktio o f. Huomaa,ettei f 1 ole sama fuktio kui hx) = f x) 1 joka edyllyttää että Y : fai aiaki arvojouko) elemeteillä o Ordo eli Iso-O: f Og) Jos g o fuktio, joka o määritelty kaikilla riittävä isoilla kokoaisluvuilla ii f Og) kertoo että myös f o määritelty kaikilla riittävä isoilla kokoaisluvuilla ja o olemassa vakioita C ja N site, että f ) C g),. Tämä merkiä käyttö tarkoittaa myös sitä, ettei ole erityise oleellista mitä vakiot C ja N oikeasti ovat tai mite pieiksi iitä voi valita. Usei kirjoitetaa f Og): sijasta f ) = Og)) mutta jos O) + O 2 ) O 2 ): sijasta kirjoitetaa O) + O 2 ) = O 2 ) ii pitää muistaa, ettei tästä seuraa O) = 0! Tässä käsitellää yksikertaisuude vuoksi vai tietyillä) kokoaisluvuilla märiteltyjä fuktioita ja samoi tarkastellaa aioastaa mitä tapahtuu ku mutta se ei ole mitekää oleellista. Esimerkiksi pätee myös x4 x 3 x 3 +x2 Ox) ku x 0. kääteeisalkioita mikä o esim. tilae joukossa R \ {0} mutta ei joukossa Z. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27

5 Jouko mahtavuus eli alkioide lukumäärä Kahdella joukolla A ja B o sama lukumäärä alkioita A och B eli e ovat yhtä mahtavia, jos o olemassa bijektio A B. Joukolla A o vähemmä tai yhtä mota alkiota kui joukolla B, eli A B, jos o olemassa ijektio A B. Joukolla A o vähemmä alkioita kui joukolla B, eli A < B, jos o olemassa ijektio A B mutta ei bijektiota A B. Jos A = {0, 1, 2,..., 1} ii A =. Joukko A o äärellie jos o olemassa kokoaisluku site, että A =. Joukko A o umeroituva ja A = N ja yliumeroituva jos A > N. Huom! Jotta ämä määritelmät olisivat järkeviä pitää osoittaa, että o olemassa bijektio {0, 1, 2,..., 1} {0, 1, 2,..., m 1} jos ja vai jos m = ja jos o olemassa ijektioita A B ja B A ii löytyy myös bijektio A B. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 Summaperiaate, yksikertaisi muoto Jos A ja B ovat kaksi äärellistä) joukkoa site, että A B = ii A B = A + B. Tästä seuraa, että jos B A ii A \ B = A B. Tuloperiaate, yksikertaisi muoto Jos A ja B ovat kaksi äärellistä) joukkoa ii A B = A B. Lokero- eli kyyhkyslakkaperiaate Jos m 1 esiettä laitetaa 1 laatikkoo ii aiaki yhdessä m laatikossa o vähitää esiettä! Miksi? Jos laatikoissa olevie esieide lukumäärä maksimi o k ii k m jote k m ja koska määritelmä mukaa m o piei kokoaisluku joka o m ii k m. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 Tuloperiaate Seulaperiaate eli yleistetty summaperiaate Jos A j, j = 1, 2,... ovat äärellisiä joukkoja ii A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2, A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 k j=1 A j = A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3, k 1) r+1 r. A ji r=1 1 j 1 <j 2 <...<j r k i=1 Jos valita- tai päätösprosessissa o k vaihetta ja vaiheessa j o j vaihtoehtoa, riippumatta siitä mitä valitoja tai päätöksiä o aikaisemmissa vaiheissa tehty, ja jos kaikki valiat johtavat erilaisii lopputuloksii, ii kaikkie vaihtoehtoje lukumääräksi tulee Toisi saoe, jos k. C = { x 1, x 2,..., x k ) : x 1 A 1, x 2 A 2,x1,..., x k A k,x1,...,x k 1 }, missä A 1 = 1, jokaisella x 1 A 1 pätee A 2,x1 = 2 ja yleisesti jos x 1 A 1, x 2 A 2,x1, x 3 A 3,x1,x 2 je., ii pätee A j,x1,x 2,...,x j 1 = j, 1 j k, ii silloi C = k. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27

6 Kertoma Jos o positiivie kokoaisluku ii Lisäksi 0! = 1.! = ). Biomikerroi Jos ja k ovat kokoaislukuja site, että 0 k ii )! = k k! k)! jolloi ) k = k). Multiomikerroi Jos j 0 ku j = 1, 2,..., m ja = m ii )! = 1, 2,..., m 1! 2!... m!. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 Järjestetty otos A o joukko jossa o alkiota eli A = ). Jos valitaa k alkiota joukosta A ja muodostetaa iistä joo [x 1, x 2,..., x k ] ja tehdää tämä palauttamatta, eli samaa alkiota ei valita mota kertaa jolloi x i x j ku i j ii saadaa s. k-permutaatio. Näide jooje eli k-permutaatioide lukumäärä o tuloperiaattee ojalla! 1)... k + 1) = k)! Jos valitaa k alkiota joukosta A ja muodostetaa iistä joo [x 1, x 2,..., x k ] ja tehdää tämä palauttae, eli voidaa valita sama alkio mota kertaa jolloi aioa vaatimus o, että x j A ku 1 j k ii tuloperiaattee ojalla äide jooje lukumäärä o A k = k. Huomaa, että molemmissa tapauksissa o oleellista että kyseessä o järjestetty otos eli sillä, missä järjestyksessä alkiot valitaa A:sta, o merkitystä. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 Otos palauttamatta ku järjestystä ei oteta huomioo A o joukko jossa o alkiota eli A = ). Jos valitaa k alkiota joukosta A palauttamatta, eli samaa alkiota ei valita mota kertaa eikä valitajärjestystä oteta huomioo ii saadaa A: osajoukko jossa o k alkiota. Tällaiste osajoukkoje lukumäärä o ). k Miksi? Jos kyseie lukumäärä o f, k) ii palauttamatta otettuje järjestettyje otoste lukumäärä o f, k) k! koska k alkiota voidaa järjestää jooksi k! eri tavalla. Näi olle f, k) k! =! k)! ii f, k) = k). Joukkoa A voidaa jakaa osajoukoiksi A j, j = 1,..., m site, että m j=1 A j = A, A i A j = ku i j, ja A j = j 1, 2,..., m ) eri tavalla. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 Otos palauttae ku järjestystä ei oteta huomioo Joukosta A, jossa o alkiota, voidaa valita k alkiota palauttae, eli voidaa valita sama alkio mota kertaa, ) ) k + 1 k + 1 =, 1 k eri tavalla jos valitajärjestystä ei oteta huomioo. Miksi? Olkoo A = {x 1, x 2,..., x }. Ku valitsemme k alkiota, palauttae, joukosta A eikä järjestyksellä ole merkitystä ii aioa asia jolla o merkitystä o motako kertaa valitsemme alkio x j missä j = 1,...,. Jos alkio x j o valittu k j kertaa ii j=1 k j = k. Kaikki tällaiset joot [k 1, k 2,..., k ] voidaa geeroida seuraavalla tavalla: Joukosta {1, 2,..., k + 1} valitaa osajoukko joho kuuluu 1 lukua. Nämä luvut olkoot 1 p 1 < p 2 <... < p 1 k + 1 ja lisäksi määritellää p 0 = 0 ja p = k +. Nyt luvuksi k j otetaa k j = p j p j 1 1, j = 1,...,. Jos esimerkiksi = 4 ja k = 10 ii joo [k 1, k 2, k 3, k 4 ] = [3, 2, 2, 3] voidaa esittää äi: k 1 k 2 k 3 k 4 erotetaa -joot toisistaa -merkeillä joita o 1 kappaletta ja joide ideksit joossa ovat p j, eli tässä esimerkissä p 1 = 4, p 2 = 7 ja p 3 = 10. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 eli

7 Allokoitimallit eli vaihtoehtoie ajattelutapa O sijoitettava k palloa :ää umeroituu laatikkoo. Pallot umeroitu Valitajärjestyksellä o merkitystä. Pallot samalaiset: Valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Jokaisee laatikkoo korkeitaa yksi pallo Valita palauttamatta. Jokaisee laatikkoo mielivaltaie määrä palloja Valita palauttae. Pallot umeroitu Samalaiset pallot Palloje lukumäärä laatikoissa 1 ei rajoituksia! k ) k)! ) k + 1 k 1 G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 Biomi- ja multiomikaavat x + y) = x x m ) = j=0 ) x j y j, j m= j 0 1, 2,..., m ) x x m m. Miksi? Biomikaava o erikoistapaus multiomikaavasta koska ) j = j, j) ja multiomikaava pätee koska x x m ) voidaa kirjoittaa summaa jossa o m termiä jotka ovat tyyppiä y 1 y 2... y missä jokaie y i {x 1, x 2,..., x m }. Jokaie muotoa x x m m termi sytyy siitä, että joukko {1,..., } jaetaa osajoukkoihi A j, j = 1,..., m site että i A j jos ja vai jos y i = x j jolloi siis A j = j. Tällaisia osituksia o täsmällee ) 1, 2,..., m kappaletta. Tästä seuraa myös, että ) 1, 2,..., m kertoo moellako tavalla voidaa kirjoittaa joo [y 1, y 2,..., y ] site että siiä esiityy j kertaa alkio x j kaikilla j = 1, 2,..., m. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27 Fuktioide lukumäärät Oletetaa, että A = m och B =. Fuktiode A B lukumäärä o B A = m. Miksi? Fuktio f : A B o järjestetty m-kokoie otos palauttae joukosta jossa o alkiota. Ijektioide A B lukumäärä o! 1)... m + 1) = m)! m. Miksi? Ijektio A B o järjestetty m-kokoie otos palauttamatta joukosta jossa o alkiota. ) Surjektioide A B lukumäärä o 1) r r m. r r=0 Miksi? Surjektioide lukumäärä o kaikkie fuktioide lukumäärä josta väheetää iide fuktiode lukumäärä joide arvojoukko o B: aito osajoukko ja tämä o laskettavissa seulaperiaattee avulla jolloi lopulta saadaa yllä oleva kaava. G. Gripeberg Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteetyhteeveto, 3. osa huhtikuuta I / 27