0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E."

Tuomo Nieminen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on G:n pisteiden lukumäärä ja { 0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi on aina symmetrinen. Lause 7.1. Kaksi graafia ovat isomorfisia täsmälleen silloin kun niillä on yhteinen vieruspistematriisi. Kahdella isomorfisella graafilla on täsmälleen samat vieruspistematriisit. Graafin aste Graafin G = (V, E) pisteen v naapurusto (neighbourhood) on joukko N G (v) = {u V vu E} Pisteen v aste (degree) graafissa G deg G (v) (lyhyemmin deg(v)) on v:n naapuruston pisteiden lukumäärä. deg G (v) = N G (v). Irtopiste: deg G (v) = 0 lehti, loppupiste (leaf, endpoint): deg G (v) = 1

2 Handshaking lemma Lause 7.2.(Euler 1736, Handshaking lemma): Jokaiselle graafille G = (V, E) on deg G (v) = 2 E v G eli G:n pisteiden asteiden summa on kaksi kertaa G:n viivojen lukumäärä. Lisäksi parittoman asteen omaavien pisteiden lukumäärä on aina parillinen Tod.... Graafityyppejä Graafi on nollagraafi, jos se ei sisällä yhtään pistettä. Graafi on triviaali (trivial), jos se sisältää korkeintaan yhden pisteen. Graafi G = K V on täydellinen graafi pistejoukossa V, jos se sisältää kaikki mahdolliset viivat eli jokainen piste on kaikkien muiden pisteiden vieruspiste. Kaikki täydelliset n pistettä sisältävät graafit ovat isomorfisia. Niitä merkitään K n :llä. Selvästi E Kn = n(n 1) 2 E G n(n 1) 2 aina kun G on n:n pisteen graafi, n 1.

3 Graafin komplementti Graafin G komplementti (complement)on graafi G, missä V G = V G ja E G = {e E(V ) e / E G }. Täydellisten graafien komplementteja K n kutsutaan erillisiksi graafeiksi (discrete graphs). Säännöllinen graafi Graafi on säännöllinen (regular), jos jokaisella graafin pisteellä on sama aste. Jos tämä aste on r, niin graafia kutsutaan r-säännölliseksi (r-regular). Erillinen graafi on 0-säännöllinen. K n on n 1-säännöllinen.

4 Petersenin graafi Petersenin graafi on 3-säännöllinen. Kaksijakoinen graafi Kaksijakoinen(bipartite) graafi G = (V, E): pistejoukolla V on sellainen ositus X, Y, että jokaisen viivan uv E toinen päätepiste on joukon X ja toinen päätepiste joukon Y piste. Silloin (X, Y ) on graafin G kaksijako (bipartition of G) ja G on (X, Y )-kaksijakoinen ((X, Y )-bipartite).

5 Kaksijakoinen graafi G = (V, E) on täydellinen (m, k)-kaksijakoinen graafi (complete (m, k)-bipartite graph), jos X = m, Y = k ja uv E aina kun u X ja v Y. Kaikki täydelliset (m, k)-kaksijakoiset graafit ovat isomorfisia keskenään. Merkitään niitä K m,k :lla Graafi on täydellinen kaksijakoinen graafi, jos se on täydellinen (m, k)-kaksijakoinen graafi jollain luvuilla m, k. Graafi K 1,n on tähti (star). Aligraafit Graafi H = (V H, E H ) on graafin G = (V G, E G ) aligraafi (subgraph), jos V H V G ja E H E G. Silloin merkitään H G. Jos H G ja V H = V G, niin H on G:n virittävä aligraafi (spanning subgraph). Viivojen osajoukko F E G muodostaa yksikäsitteisen graafin G virittävän aligraafin G[F ] = (V G, F ).

6 Indusoitu aligraafi Jos H G ja E H = E G E(V H ) (eli H sisältää kaikki G:n viivat, joiden molemmat päätepisteet ovat V H :n pisteitä), niin H on pistejoukon V H indusoima G:n aligraafi (induced subgraph). Pistejoukolla A V G on olemassa yksikäsitteinen G:stä indusoitu aligraafi G[A] = (A, E G E(A)) Polut ja piirit. Graafin yhtenäisyys Sovelluksissa usein oleellista: Pisteiden läpikäyminen (esimerkiksi etsintäalgoritmit) Pisteiden välinen etäisyys (esimerkiksi sähköpostin kulkemien solmukoneiden lukumäärä)

7 Kulku Olkoot e i = u i u i+1 E G graafin G viivoja aina kun i = 1, 2,..., k. Viivat e i ja e i+1 ovat vierekkäisiä, sillä niillä on yhteinen päätepiste u i+1. Jono W = e 1 e 2 e k on k:n pituinen kulku (walk) pisteestä u 1 pisteeseen u k+1 Kulusta käytetään myös merkintöjä W : u 1 u 2 u k u k+1, ja W : u 1 u 2 u k+1 sekä W : u 1 k uk+1. u 1 uk+1 : On olemassa kulku pisteestä u 1 pisteeseen u k+1. W : u 1 uk+1 tarkoittaa aina tiettyä kulkua W = e 1 e 2 e k. Kulun W pituus W on kulun viivojen lukumäärä. Polku ja piiri Kulku W = e 1 e 2 e k (e i = u i u i+1 ) on suljettu (closed), jos u 1 = u k+1, polku (path), jos u i u j aina kun i j, reitti (trail),jos e i e j aina kun i j, piiri (cycle), jos u 1 = u k+1 ja muulloin u i u j aina kun i j, triviaali polku (trivial path), jos W = 0.

8 Esimerkki kuluista Kulku, joka ei ole reitti: g e d c b e d Kulku, joka ei ole polku: g e d c b e c Esimerkki jatkoa: Polkuja b d: b e d, b e c d b c d, b c e d b a f c d ja b a f c e d. Piiri: b a f c b b a f c e d c b ei ole piiri

9 Käsitteitä Kulun W : u = u 1 u 2 u k+1 = v käänteiskulku (inverse of W) on kulku W 1 : v = u k+1 u k u 1 = u. Piste u on kulun P päätepiste (end of P), jos P alkaa tai päättyy pisteeseen u. Polut P ja Q ovat erilliset (disjoint): Poluilla ei ole yhteisiä pisteitä (eikä siis myöskään yhteisiä viivoja) Polut P ja Q ovat riippumattomat (independent): Vain päätepisteet ovat samat Polun P käänteispolku P 1 on polku. Kahden polun yhdiste ei välttämättä ole polku. Graafi (tai aligraafi) P k on graafi joka muodostuu k 1:sen pituisesta polusta (k 1 viivaa, k pistettä). Graafi (tai aligraafi) C k on k:n pituinen piiri. Jos k on parillinen, niin polkua P k (piiriä C k ) kutsutaan parilliseksi poluksi (parilliseksi piiriksi). Jos k on pariton, niin P k (vastaavasti C k ) on pariton polku (piiri).

10 Kulku poluksi Lause 7.3. Aina kun W : u v on kulku ja u v, niin on olemassa polku P : u v, joka on saatu W :stä poistamalla siitä pisteitä ja viivoja. Tod.... Etäisyys ja yhtenäisyys Jos graafissa G esiintyy kulku (eli myös polku) pisteestä u pisteeseen v, niin pisteen u etäisyys (distance) pisteestä v on d G (u, v) = min{k u k v} Jos kulkua ei ole, niin d G (u, v) =. Graafi G on yhtenäinen (connected), jos d G (u, v) < aina kun u, v V G, muulloin G on epäyhtenäinen (disconnected).

11 Graafin komponentit Aligraafi H G on G:n komponentti (connected component), jos H on yhtenäinen, indusoitu G:n aligraafi ja aina kun piste v / H, niin aligraafi G[V H {v}] on epäyhtenäinen. c(g) on graafin G komponenttien lukumäärä. Graafin G komponentti H on G:n maksimaalinen yhtenäinen aligraafi. Pisteen v sisältää G:n komponentti G[N G (v)], missä N G (v) = {u V G d G (v) < }.

Samankaltaiset tiedostot

Pisteet ja viivat. Multigraafi

Pisteet ja viivat. Multigraafi Pisteet ja viivat Josuv on viiva, niin pisteetujav ovat viivanuv päätepisteet (endpoints) ja u jav ovat vierekkäisiä eli vieruspisteitä (neighbours, adjacent points). Piste on irtopiste (isolated point)