Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla"

Transkriptio

1 Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari Jaakko Salonen TTY / Hypermedialaboratorio 1

2 Sisältö ja tavoitteet Oletuksena on, että (suuntaamattomien) graafien perusteet ovat lukijalle tuttuja Sisällöllisesti käymme läpi perusteita 1. suunnattuista sekä 2. etumerkillistä ja arvotettuista graafeista Perustuu pääosin teoksen Wasserman & Faust (2004) lukuihin (s ) Tavoitteena ymmärtää suunnattujen graafien teoriaa sekä sen soveltamista sosiaalisen verkostojen analysiin TTY / Hypermedialaboratorio 2

3 1. Suunnatut graafit Kuva: Wikimedia Commons TTY / Hypermedialaboratorio 3

4 Suunnattu graafi (digraafi) Suunnattu graafi (digraafi) G d N, L koostuu kahdesta alkioiden joukosta: Solmujen joukosta N ={n 1, n 2,..., n g } sekä L={l 1, l 2,..., l L } Kaarien joukosta Jokainen kaari on järjestetty pari solmuja, ts. l k = n i,n j Suunnatussa graafissa kaarilla on suunta, siis n i, n j n j, n i, josn i n j Kaaren ensimmäinen solmu on lähettäjä ja toinen kaaren vastaanottava solmu Digraafien visualisoinneissa nuolen suunta merkintään vastaanottavan solmun suuntaan TTY / Hypermedialaboratorio 4

5 Johtuvuus ja naapuruus Solmu n x,1 x g on kaaren L y,1 y L suhteen johtuva (engl. incident), jos n x L y Digraafissa kaaren solmujen järjestys on merkityksellinen naapuruuden määrittäminen ei ole yhtä yksiselitteistä kuin suuntaamattomilla graafeilla Naapuruus määrittyy kaaren suunnan perusteella: Solmu n i on solmun n j naapuri jos n i,n j L (ja sama toisinpäin) Naapuruus on siis asymmetrinen (yksisuuntainen) ominaisuus Esimerkkejä digraafeista SNAssa: suunnattu ystävyyssuhteiden verkosto, kansainvälinen tuonti/vienti TTY / Hypermedialaboratorio 5

6 Aligraafit; dyadit Dyadi on yksinkertaisin täydellinen aligraafi, koostuen kahdesta solmusta ja niiden välille määritellyistä kaarista Digraafissa dyadille voidaan määrittää kolme erityyppistä (isomorfista) tilaa: Nolla-dyadi (null): ei kaaria kumpaakaan suuntaan Asymmetrinen: kaari vain toiseen suuntaan (2 vaihtoehtoa) Vastavuoroinen (engl. mutual): kaaret molempiin suuntiin TTY / Hypermedialaboratorio 6

7 Solmujen asteluvut Solmun asteluku määräytyy sen naapurien summana Koska digraafissa naapurusto on asymmetrinen, asteluvut määritellään erikseen saapuville- ja lähteville kaarille: Solmun tuontiluku d I n i (engl. nodal indegree) = solmuun tuovien kaarien lukumäärä Solmun vientiluku d O n i (engl. nodal outdegree) = solmusta lähtevien kaarien lukumäärä TTY / Hypermedialaboratorio 7

8 Solmujen luokittelu asteluvuilla Astelukujen perusteella graafin solmut voidaan luokitella neljään tyyppiin: Solmu on eristynyt jos d I n i =d O n i =0, Lähettäjä jos d I n i =0 ja d O n i 0, Vastaanottaja jos d I n i 0 ja d O n i =0, Tavallinen tai kuljettaja jos d I n i 0 ja d O n i 0, Kuljettaja (engl. carrier) on tavallisen solmun erikoistapaus. Siinä d I n i =d O n i =1 TTY / Hypermedialaboratorio 8

9 Asteluvut SNAssa SNAssa asteluvuilla on mielekkäitä sovelluskohteita Vientiluvulla voidaan mitata solmun laajentuvuutta, vastaavasti tuontiluvulla vastaanottavuutta tai suosiota Koko verkoston tunnusluvuiksi voidaan laskea astelukujen tilastollisia muuttujia, erityisesti niiden keskiarvo ja keskihajonta TTY / Hypermedialaboratorio 9

10 Tiheys Digraafissa tiheys lasketaan graafiin määriteltyjen kaarien suhteena kaikkiin mahdollisiin kaariin: Tiheys = L g g 1,0 1 L = kaarien lkm g = solmujen lkm TTY / Hypermedialaboratorio 10

11 Kulku, reitti ja polku Suunnattu kulku tai lyhyemmin kulku on solmujen jono, joka noudattaa määriteltyjä kaaria niiden suuntaisesti Esimerkkikulku: W =n 5 n 1 n 2 n 3 n 4 n 2 n 3 Kulku sallii saman solmun käytön useamminkin kerran Puolikulussa ei välttämättä noudateta kaarien suuntia Reitti on kulku, jossa kukin kaari esiintyy vain kerran, Polussa kukin solmu ja kaari esiintyvät vain kerran Vastaavasti määritellään myös puolireitti ja puolipolku TTY / Hypermedialaboratorio 11

12 Solmujen väliset suhteet Kaikkien graafin solmujen välisiä suhteita voidaan määritellä polkujen avulla. Graafin kaksi mielivaltaista solmua ja ovat: n i n j (i) Heikosti yhdistetyt, jos niitä yhdistää puolipolku (ii) Yksipuolisesti yhdistetyt, jos niitä yhdistää polku n i n j tai polku n j n i (iii) Vahvasti yhdistetyt, jos on olemassa polku n i :stä n j :n ja toisinpäin siten, että erisuuntaiset polut voivat sisältää eri kaaria (iv) Rekursiivisesti yhdistetyt, jos ne ovat vahvasti yhdistetyt ja lisäksi polku n i :stä n j :n käyttää täsmälleen samoja solmuja ja kaaria, kuin vastakkaissuuntainen polku Yleistämällä yksittäisen dyadin välisiä suhteita, voidaan vastaavasti määritellä koko digraafin liitännäisyys Tällöin vastaavien kohtien i-iv pädettävä kaikille solmupareille TTY / Hypermedialaboratorio 12

13 Geodeesi, etäisyys ja halkaisija Digraafissa geodeesi on suuntaamattoman graafin tavoin lyhin polku kahden graafin solmun välillä Etäisyys d n i,n j kahden mielivaltaisen solmun n i ja n j välillä on asymmetrinen. Ei siis välttämättä päde d n i,n j =d n j,d i Halkaisija on koko graafin pisin geodeesi. Digraafin halkaisija voidaan määritellä ainoastaan, jos graafi on vahvasti tai rekursiivisesti yhdistetty Tämä sen takia, että heikosti tai yksipuolisesti yhdistetyssä digraafissa n i N, n j N : d n i,n j =d n j,n i = TTY / Hypermedialaboratorio 13

14 2. Etumerkilliset ja arvotetut graafit TTY / Hypermedialaboratorio 14

15 Etumerkillinen graafi, arvotettu graafi Arvotetussa graafissa kaareen liitetään sen arvotusta kuvaavaa informaatiota (kaarien valenssit) Solmujen joukosta N ={n 1, n 2,..., n g } Kaarien joukosta L={l 1, l 2,...,l L }, sekä Valenssien joukosta V ={v 1, v 2,...,v L } Etumerkillinen graafi voidaan käsittää arvotetun graafin erikoistapaukseksi. Siinä arvojen (valenssien) joukkona käytetään ainoastaan etumerkkejä +/- Laskennallisesti voidaan ajatella, että v i {-1,+1},1 i L TTY / Hypermedialaboratorio 15

16 Etumerkillinen digraafi, arvotettu digraafi Etumerkillisiin ja arvotettuihin graafeihin voidaan lisätä digraafien tavoin tieto arvotuksen suunnasta Tällöin jokainen kaari on järjestetty pari solmuja, ts. l k = n i, n j,1 k L Esimerkki suunnatun, arvotetun graafin sovelluksesta: Ihmisten välisten ystävyys- ja vihasuhteiden ilmaiseminen suunnattujen, etumerkillisten graafien avulla TTY / Hypermedialaboratorio 16

17 Dyadi ja kierto Etumerkillisessä, suuntaamattomassa graafissa dyadilla on kolme mahdollista tilaa: Positiivinen (+) Negatiivinen (-) Ei suhdetta Tilat voidaan vastaavasti määrittää etumerkillisen graafin triadille sekä yleistää mille tahansa arvotetulla graafille kombinatorisesti, mutta tämä ei aina ole mielekästä Kierto etumerkillisessä. graafissa kuvaa suljettua kulkua siten, että ainoastaan alku- ja loppupiste on sama solmu Kierron etumerkki lasketaan kulun kaarien etumerkkien tulona TTY / Hypermedialaboratorio 17

18 Polut ja polkujen arvotus Kulut ja polut määritellään vastaavasti kuin graafeissa (ja digraafeissa). Lisäksi voidaan arvotusten perusteella laskea erilaisia suureista polusta Polun arvo Polun kaarien pienin arvo eli Polku-käsitteen tulkintaesimerkki: viestinkulku ihmisten välillä on juuri niin tehokasta kuin yksittäinen, rajatuin viestiyhteys Polun arvoa ja sen ominaisuuksia käytetään hyväksy mm. kohesiivisia osajoukkoja tutkittaessa Saavutettavuus (engl. reachability) Määräytyy suhteellisesti polun arvoon (=tasoon) Polun saavutettavuuden taso = polun arvo TTY / Hypermedialaboratorio 18

19 Arvotettujen graafien sovelluksia Erityisesti yleistetyillä, arvotetuilla graafeilla ja digraafeilla on runsaasti mielekkäitä sovelluksia: Niiden avulla voidaan kuvata käytännössä mitä tahansa suunnattua tai suuntaamatonta vuorovaikutusta Esim. maiden välisiä tuonti- ja vientisuhteita (esim. suhteiden arvotukset euromääräisinä) Ystävyyssuhteita niiden subjektiivisen arvotuksen perusteella ( parempi kaveri suurempi arvotus kaaressa) Erityisenä sovelluskohteena arvotettujen graafien tulkinta (bayesilaisina) todennäköisyyksinä, ts. graafien tulkinta stokastisina markovin ketjuina TTY / Hypermedialaboratorio 19

20 Kohti yleisempiä graafirakenteita Esitetyt yksinkertaiset graafirakenteet soveltuvat sosiaalisten verkostojen analysointiin, erityisesti kun halutaan mitata ainoastaan yhtä suuretta Eesim. toimijoiden välisten ystävyyssuhteiden läheisyyden tunnusluku Poistamalla rajoitus yhden kaaren (per suunta) määrittelylle, saadaan monigraafi, joka mahdollistaa mm. usean yhtäaikaisen suureen mittaamisen verkostosta Esim. ystävyyssuhteiden läheisyyden ja keston tunnusluvut Vaihtoehtona yksinkertaisille graafille SNAssa voivat olla myös matemaattiset relaatiot TTY / Hypermedialaboratorio 20

21 Lopuksi Suunnattujen, arvotettujen ja digraafien soveltaminen sosiaalisten verkostojen analysointiin ml. visualisointiin Selvästi epätyypillisempää erityisesti visualisoinnissa kuin yksinkertaisempia graafirakenteiden käyttö Graafien esittäminen graafisesti hankaloituu erityisesti monigraafien ja suunnattujen graafien osalta. TTY / Hypermedialaboratorio 21

22 Lähteet Wasserman, S. & Faust, K Social Network Analysis: Methods and Applications. New York: Cambridge University Press Lopuksi-sivun kuva: jaycross / flickr.com. Joitain oikeuksia pidätetään. TTY / Hypermedialaboratorio 22

Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä

Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 20.3.2009 Jaakko Salonen TTY / Hypermedialaboratorio jaakko.salonen@tut.fi

Lisätiedot

Social Network Analysis Centrality And Prestige

Social Network Analysis Centrality And Prestige Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Social Network Analysis Centrality And Prestige Sosiaalisten verkostojen analyysi Keskeisyys ja arvostus 6.2.2009 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi

Lisätiedot

Jäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet

Jäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet Jäsenyysverkostot, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen anal Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 3.4.2009 Antti Syvänen TaY / antti.syvanen@uta.fi 1 Sisältö ja tavoitteet Esitellään jäsenyysverkostojen,

Lisätiedot

Koheesiiviset alaryhmät

Koheesiiviset alaryhmät 1 Koheesiiviset alaryhmät Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 11. luento - 6.3.2009 Joonas Meriläinen TTY / Hypermedialaboratorio http://eclectic.ss.uci.edu/~drwhite/cases/transparencies/clique.gif

Lisätiedot

Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys

Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 20.2.2009 Seppo Pohjolainen 2 Rakenteellinen tasapaino Käsitteitä: Arvotettu graafi (signed graph) (+ tai - ) Suuntaamaton

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste

Lisätiedot

Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia. Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus

Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia. Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus Verkostoanalyysi 2011, TTY 1 Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio

Lisätiedot

Graphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa

Graphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Graphs in Social Network Analysis And Modeling Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa 28.11.2008 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Sisältö

Lisätiedot

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen datan notaatio. Notation for Social Network Data

Sosiaalisten verkostojen datan notaatio. Notation for Social Network Data Sosiaalisten verkostojen datan notaatio Notation for Social Network Data Jari Jussila 14.11.2008 2 Notaatio Notaatiota tarvitaan / auttaa kuvaamaan: toimijat tai toimijoiden muodostamat joukot, toimijoiden

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Centrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus

Centrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus 1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Centrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus 21.1.2009 Jari Jussila jari.j.jussila@tut.fi 2 Tärkeys Yksi graafiteorian pääkäyttökohteista sosiaalisten verkostojen

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen data

Sosiaalisten verkostojen data Sosiaalisten verkostojen data Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 2. luento - 17.10.2008 Antti Kortemaa, TTY/Hlab Wasserman, S. & Faust, K.: Social Network Analysis. Methods and Applications. 1 Mitä

Lisätiedot

6.4. Järjestyssuhteet

6.4. Järjestyssuhteet 6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu

Lisätiedot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot T-79.5101 kevät 2006 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a, Q b c d Lauseen X( UQ) sulkeuma: CL ( X( UQ) ) = { X( UQ), X( UQ), UQ, X ( UQ), ( UQ),, Q, X ( UQ),, } Muodostetaan

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Graafin virittävä puu 1 / 20

Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector

Lisätiedot

Hypermedian jatko-opintoseminaari. MATHM-6750x. 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät

Hypermedian jatko-opintoseminaari. MATHM-6750x. 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät 1 Hypermedian jatko-opintoseminaari MATHM-6750x 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät 26.10.2008 Modernissa yhteiskunnassa ovat sekä yhteisöjen että laitteistojen muodostamat verkostot muodostuneet

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10

Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut

14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 14. Luennon sisältö Kuljetustehtävä esimerkki Verkkoteoria ja optimointi verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti

Lisätiedot

13 Lyhimmät painotetut polut

13 Lyhimmät painotetut polut TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet

Diskreetit rakenteet Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja

Lisätiedot

Hypermedian jatko-opintoseminaari

Hypermedian jatko-opintoseminaari Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Hypermedia jatko-opitosemiaari 28 29 Matrices i Social Network

Lisätiedot

T Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A

Lisätiedot

Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti. Diplomityö

Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti. Diplomityö Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti Diplomityö Tarkastajat: Prof. Seppo Pohjolainen (TTY) ja tutkija Jukka Huhtamäki (TTY) Tarkastajat ja aihe

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,

Lisätiedot

Graafiteoria matematiikkaako?

Graafiteoria matematiikkaako? Koostanut: Elina Viro, Juho Lauri Opettajalle Graafiteoria matematiikkaako? Kohderyhmä: 7.-9.-luokkalaiset Esitiedot: - Taustalla oleva matematiikka: Graafiteoria, looginen ajattelu Ajankäyttö: Varsinainen

Lisätiedot

Oikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen.

Oikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen. Tietorakenteet, kevät 2012 Kurssikoe 2, mallivastaukset 2. (a) Järjestämistä ei voi missään tilanteessa suorittaa nopeammin kuin ajassa Θ(n log n), missä n on järjestettävän taulukon pituus. Epätosi: Yleisessä

Lisätiedot

Keskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä

Keskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä Keskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä Verkostoanalyysi 2011 TTY Jarno Marttila Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio TUT / HLAB 1 Sisällys Graafien piirtämisestä Ladonnasta

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen

Lisätiedot

SÄHKE-hanke. Abstrakti mallintaminen Tietomallin (graafi) lukuohje

SÄHKE-hanke. Abstrakti mallintaminen Tietomallin (graafi) lukuohje 04.02.2005 1 (6) SÄHKE-hanke Versio ja pvm Laatinut Tarkpvm Tarkastanut Hyvpvm Hyväksynyt 2.0 / 04.02.2005 Anneli Rantanen 15.02.2005 Markus Merenmies 18.02.2005 Ohjausryhmä 04.02.2005 2 (6) Muutoshistoria

Lisätiedot

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003

T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 T-79.144 Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 28 31.10.2003 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R

Lisätiedot

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Kukin alkio (viite) talletettuna solmuun (node) vastaa paikan käsitettä

Lisätiedot

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti. Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen

Lisätiedot

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2

Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja

Lisätiedot

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!

Lisätiedot

PARITUS KAKSIJAKOISESSA

PARITUS KAKSIJAKOISESSA PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten

Lisätiedot

Silmukkaoptimoinnista

Silmukkaoptimoinnista sta TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale

Lisätiedot

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

TIE Tietorakenteet ja algoritmit 261

TIE Tietorakenteet ja algoritmit 261 TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 261 12 Graafit Seuraavaksi tutustutaan tietorakenteeseen, jonka muodostavat pisteet ja niiden välille muodostetut yhteydet graafiin. Keskitymme myös tyypillisimpiin

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä

Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä Stanley Wasserman and Katherine Faust: Social Network Analysis, Methods and Applications Sosiaalisten

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Se mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A.

Se mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A. Tehtävä. Tämä tehtävä on aineistotehtävä, jossa esitetään ensin tehtävän teoria. Sen jälkeen esitetään neljä kysymystä, joissa tätä teoriaa pitää soveltaa. Mitään aikaisempaa tehtävän aihepiirin tuntemusta

Lisätiedot

Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace

Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace Johdatus verkkoteoriaan luento 20.3.18 Netspace Kurssin sijainti muussa suunnitellussa kokonaisuudessa Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot, verkon

Lisätiedot

Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista

Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista 8. Verkkomallit Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista (P. D. Seymour, Journal of Combinatorial Theory (B),

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka 10.3. 11.4) 26. 30.3. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 10.5 Allaolevat kolme graafia pyrkivät selventämään

Lisätiedot

Optimoinnin sovellukset

Optimoinnin sovellukset Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä

Lisätiedot

P (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1)

P (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1) Harjoitustehtäviä (erä 1) 1 1. Käytetään yksinkertaisesti Bayesin kaavaa: P (A B) = P (A)P (B A). P (B) Tapauksessa B = 1 saadaan P (A = 0 B = 1) = P (A = 1 B = 1) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (A = 1)P

Lisätiedot

Kiinalaisen postimiehen ongelma

Kiinalaisen postimiehen ongelma Kiinalaisen postimiehen ongelma Kimmo Kontio 1.12.2015 Ohjaaja/Valvoja: Harri Ehtamo [5] Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Puiden karakterisointi

Puiden karakterisointi Puiden karakterisointi LuK-tutkielma Airta Ella 2502661 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Johdatus verkkoteoriaan 3 1.1 Verkko käsitteenä.........................

Lisätiedot

Internet ja muut informaatioverkostot

Internet ja muut informaatioverkostot Internet ja muut informaatioverkostot Pekka Orponen Teknillinen korkeakoulu Tietojenkäsittelyteorian laboratorio Tieteen päivät 2005 1 Tieteen päivät 2005 Pekka Orponen 2 Sisällys Verkostoja Verkostomalleja

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

Eulerin verkkojen karakterisointi

Eulerin verkkojen karakterisointi Eulerin verkkojen karakterisointi Pro Gradu -tutkielma Jenni Heikkilä 373175 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 018 Sisältö Johdanto 1 Verkkojen peruskäsitteet 3 1.1 Verkon määrittely.........................

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017

Lisätiedot

0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013 VERKKOTEORIAN ALKEITA Martti E. Pesonen 28.2.2013 1 Sisältö 1 VERKOISTA 1 1.1 Mitä matemaattiset verkot ovat?................ 1 1.1.1 Verkkoteorian synty.................... 1 1.2 Suuntaamaton verkko.......................

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2018-2019 Kertausta jälkiosasta V Hashtaulukot ja binääriset etsintäpuut Hashtaulukot Perusajatus tunnettava Tiedettävä mikä on tiivistefunktio Törmäysongelman hallinta:

Lisätiedot

Ratkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl.

Ratkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl. iskreetti matematiikka, syksy 00 arjoitus, ratkaisuista. seta 8 nollaa ja 8 ykköstä renkaaksi niin, että jokainen yhdistelmä 0000, 000,..., esiintyy täsmälleen kerran. Vihje: Tulkitse de ruijnin jonon

Lisätiedot

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I. Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea. Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 25.3.2011 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla

Lisätiedot

Verkko-optimointiin perustuva torjuntatasan laskenta mellakkapoliisin resurssien kohdentamisessa (valmiin työn esittely) Paavo Kivistö

Verkko-optimointiin perustuva torjuntatasan laskenta mellakkapoliisin resurssien kohdentamisessa (valmiin työn esittely) Paavo Kivistö Verkko-optimointiin perustuva torjuntatasan laskenta mellakkapoliisin resurssien kohdentamisessa (valmiin työn esittely) Paavo Kivistö 21.01.2013 Ohjaaja: Kai Virtanen Valvoja: Raimo P. Hämäläinen Työn

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Mikä on probabilistinen malli? Kutsumme probabilistisiksi malleiksi kaikkia

Lisätiedot

9. Graafit. 9.1. Graafin abstrakti tietotyyppi

9. Graafit. 9.1. Graafin abstrakti tietotyyppi 9. Graafit Graafeilla eli verkoilla esitetään yhteystietoja. Esimerkkejä niistä ovat kaupunkikartan kadut ja tietoverkon tietokoneet. Tämä luku tarkastelee verkkojen perusasioita. 9.1. Graafin abstrakti

Lisätiedot

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.

Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. 5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018 Kertausta kurssin alkuosasta II Perustietorakenteet Pino, jono ja listat tunnettava Osattava soveltaa rakenteita algoritmeissa Osattava päätellä operaatioiden

Lisätiedot

Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi

Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Panu Luosto 23. marraskuuta 2007 3 4 putki 1 2 α α+1 α+2 α+3 0 K 1 kehä K 2 K 3 K 4 Lähdeartikkeli Boulinier, C., Petit, F. ja Villain, V., When graph

Lisätiedot

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla? 7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).

Lisätiedot