8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19

Transkriptio

1 8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). SuhdeRjoukossaAon osittain järjestys;, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen. KunR on osittain järjestys, niin voidaan merkitä: (a,b) R a b Esimerkki Osoita, että suhde "suurempi tai yhtäsuuri kuin"on osittainen järjestys kokonaislukujen joukossa. Ratk / 19 Esimerkki Olkoon suhde positiivisten kokonaislukujen joukossa, jollex y jos ja vain josxony:n tekijä. Onko osittain järjestys. Ratk / 19 1

2 Totaalijärjestys R on totaalijärjestys A:ssa (jonojärjestys, ketjujärjestys), josron osittain järjestys ja kuna,b A, niin joko(a,b) R tai(b,a) R. Esimerkki Tarkastellaan joukon A = {1, 2, 3,..., 15} suhteita x y jos ja vain jos lukuxon pienempi tai yhtä suuri kuiny ja x y jos ja vain josxony:n tekijä. Ovatko suhteet jonojärjestyksiäa:ssa Ratk / 19 Järjestyskuva Osittain järjestystär(vastaavasti ) joukossaahavainnollistetaan usein kuvalla, järjestyskuvalla, missä pisteet ovata:n alkiot jaajabon yhdistetty nousevalla viivallaa:stab:hen jos(a,b) R (vastaavastia b) ja a b eikä ole olemassa c:tä siten, että (a, c),(c, b) R. Esimerkki. Yo. järjestyskuviosta nähdään mm. (a,e) R, (e,g) R, mutta myös(a,g) R. 5 / 19 2

3 Maksimaalinen ja suurin alkio Äärellisen osittain järjestetyn joukon alkio (=elementti) on maksimaalinen, jos sitä suurempaa ei ole. Elementti a on suurin osittain järjestetyssä joukossa U, jos u a (vastaavasti(u, a) R) jokaisella u U. Jokaisessa äärellisessä osittain järjestetyssä joukossa on ainakin yksi maksimaalinen elementti. 6 / 19 Minimaalinen ja pienin alkio Äärellisen osittain järjestetyn joukon alkio (=elementti) on minimaalinen, jos sitä pienempää ei ole. Elementti a on pienin osittain järjestetyssä joukossa U, jos a u (vastaavasti(a, u) R) jokaisella u U. Jokaisessa äärellisessä osittain järjestetyssä joukossa on ainakin yksi minimaalinen elementti 7 / 19 3

4 Esimerkki jatkoa Esimerkki jatkoa Tarkastellaan joukon A = {1, 2, 3,..., 15} suhteita x y jos ja vain jos lukuxon pienempi tai yhtä suuri kuiny ja x y jos ja vain josxony:n tekijä. Määrää suhteiden järjestyskuvio. Ratk... 8 / 19 Yhteensopivuus Totaalinen järjestys ja osittain järjestys R ovat keskenään yhteensopivat, jos(a, b) R a b. Esimerkki Allaolevan kuvan osittain järjestys ja totaalinen järjestys ovat yhteensopivat. 9 / 19 4

5 Topologinen lajittelu Ongelma: On joukko töitä. Jotkut työt voidaan aloittaa vasta kun joitain muita töitä on tehty. Kuinka työt on organisoitava? Ratk / Graafeista 11 / 19 Königsberg1 12 / 19 5

6 Königsberg2 Ongelma: Miten kävellä kaikkien siltojen yli kävelemättä yhtäkään siltaa useammin kuin kerran? 13 / 19 Königsberg3 14 / 19 6

7 Graafiteorian sovellusalueita. Graafi- eli verkkoteoria Sovelletaan tieto- ja tietoliikennetekniikassa, kemiassa, ympäristötekniikassa, psykologiassa, sosiologiassa, liikenteen ohjauksessa jne. Kemia: Molekyylien kemialliset sidokset. Operaatioanalyysi: Graafiteoreettiset algoritmit. Tietoliikennetekniikka: Saavutettavuus graafeissa. Viansieto siirtoverkoissa. Ohjelmistotekniikka: Tietokantojen puuesitykset. Elektroniikka: Piirit ja tasograafit. Pohjimmiltaan graafiteoria on pisteistä ja niitä yhdistävistä viivoista koostuvien rakenteiden tutkimusta. Seuraavassa käydään läpi lyhyesti keskeiset määritelmät ja perustulokset. 15 / Merkintöjä 16 / 19 Joukot OlkoonV äärellinen joukko. V :n kaksialkioisten (eri alkiot) osajoukkojen joukko. E(V) = {{u,v} u,v V,u v} 17 / 19 7

8 Graafin määritelmä Graafi on järjestetty parig = (V G,E G ), missäv G on äärellinen joukko (pisteet) jae G E(V G ) (viivat). g b a d c f G 18 / 19 Synonyymit Piste, solmu, node, point, vertex Viiva, linkki, särmä, link, line, edge Graafi, verkko, graph, network, simple graph. JosGtiedetään, niinv G = V jae G = E. Viiva{u,v} merkitään yleensäuv (=vu) Usein merkitään myösu G, kunu V G jauv G, kunuv E G. 19 / 19 8