Centrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus
|
|
- Julia Siitonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Hypermedian jatko-opintoseminaari Centrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus Jari Jussila
2 2 Tärkeys Yksi graafiteorian pääkäyttökohteista sosiaalisten verkostojen analyysissa on sosiaalisen verkoston tärkeimpien toimijoiden tunnistaminen. Tärkeyden (importance, prominence) määritelmiä on useita, mutta yhteistä niille on, että ne yrittävät kuvata ja mitata toimijan sijainnin ominaisuuksia sosiaalisessa verkostossa. Varhaisempia esimerkkejä Morenon (1934) tähdet ja eristäytyneet. Käydään läpi käsitteet: keskeisyysaste (degree) closeness (läheisyys) välisyys (betweenes) informaation keskeisyys (information)
3 3 Toimijan keskeisyys Tärkeät toimijat ovat laajasti osallisia yhteyksiin toisten toimijoiden kanssa. Osallisuus tekee toimijoista enemmän näkyviä muille toimijoille. Toimijan keskeisyydessä ei ole väliä, onko toimija lähettänyt vai vastaanottanut yhteyden. Soveltuu hyvin suuntaamattomille verkostoille, joissa ei tehdä eroa lähettämisen ja vastaanottamisen välille. Suuntaamattomissa verkostoissa keskeinen toimija on siis sellainen, joka on osallisena monissa yhteyksissä. Toimijan keskeisyys soveltuu esimerkiksi resurssien hallinnan ja pääsyn sekä informaation välittämisen mittaamiseen (Knoke & Burt, 1983). Freeman (1977, 1979) on esittänyt seuraavaan notaation toimijan keskeisyyden mitaksi: C on keskeisyyden mitta n i :n funktiona, jonka alaindeksi C A ilmaisee mittauksen tyypin. Indeksi i saa arvot 1 g.
4 4 Toimijan arvostus Suunnatuissa verkostoissa erotetaan toisistaan yhteyksien lähettäminen ja vastaanottaminen. Arvostettuja toimija on sellainen, joka on useampien yhteyksien vastaanottaja. Toisin sanottuna arvostettu toimija on sellainen, jolla on suuri tuontiluku (indegree). Huomaa, että jos tarkastellaan negatiivisia suhteita, kuten vihaa tai ei halua olla ystävä, niin tällöin arvostetut toimijat eivät ole vertaistensa kovasti arvostamia. Toimijan arvostusta on myös kutsuttu statukseksi (Moreno, 1934; Zeleny, 1940, 1941, 1960; Proctor & Loomis, 1951; Katz, 1953; Harary, 1959). Wasserman & Faust (1994) sen sijaan puhuvat mielummin sijasta (rank). Olkoon, P, arvostuksen mittaus, joka määritellään toimijalle n i.
5 Kertaus: Vienti- ja tuontiluvut (Miilumäki 2009) 5 Suunnatuille verkoistoille solmujen vienti- (outdegree) ja tuontiluvut (indegree) ovat helposti laskettavissa sosiomatriisin X avulla. d O = solmun vientiluku d I = solmun tuontiluku Arvostetut toimijat ovat yleensä niitä, joilla on suuret tuontiluvut, tai joihin kohdistuu suuri määrä vastaanotettuja valintoja.
6 6 Tärkeyden mitta Hubbelin (1965) ja Friedkinin (1991) mukaan tärkeyden mittauksessa pitää ottaa huomioon suorien (direct) ja viereisten (adjacent) yhteyksien lisäksi epäsuorat polut. Esim. LinkedIn:
7 7 Keskeisyys ja keskittyneisyys Keskeisyys (centrality) on toimijan ominaisuus Keskittyneisyys (centralisation) on koko verkoston ominaisuus Keskittyneisyys mittaa koko verkoston tasolla, missä määrin yksittäiset toimijat hallitsevat muiden välistä kanssakäymistä. Tähti on kaikkein keskittynein verkosto ja pyörä kaikkein vähiten keskittynyt. Siivonen 2003
8 Kolme havainnollista verkostoa keskeisyyden (keskittyneisyyden) ja arvostuksen tutkimiseen 8 Tähti Maksimaalisen keskittynyt, kaikki solmut jäsentyvät yhden keskeisen solmun ympärille Pyörä Keskittyneisyys äärimmäisen vähäinen, solmut kytkeytyvät toisiinsa ilman, että yksikään solmu olisi keskeisempi kuin toinen Ketju Löyhempi kuin tähti, mutta keskittyneempi kuin pyörä
9 9 Näkyvyys ja tärkeys -käsitteet Knoke and Burt 1983 Visibility (superordinate concept) = Wasserman & Faust 1994 Prominence (superordinate concept) CAN BE STUDIED BY CAN BE STUDIED BY Centrality (level two concept) Prestige (level two concept) Centrality (level two concept) Prestige (level two concept) Käsitekartta: Novak 1998
10 10 Prominence: Centrality and Prestige Prominence Centrality Prestige Degree Centrality Closeness Centrality Betweeness Centrality Information Centrality Degree Prestige Proximity Prestige Status or Rank Prestige Wasserman & Faust 1994
11 11 Tärkeys: keskeisyys ja arvostus Tärkeys Keskeisyys Arvostus Keskeisyysaste Läheisyys Välillisyys Informaation Degree keskeisyys Prestige Proximity Prestige Status or Rank Prestige Wasserman & Faust 1994
12 12 Keskeisyysaste Keskeisyysaste (degree) Kertoo, kuinka monta suoraa yhteyttä toimijalla on muihin toimijoihin Jos verkostoaineisto on suunnattu, voidaan laskea erikseen lähettäjäkeskeisyys (outdegree) ja vastaanottajakeskeisyys (indegree) Keskeisyysastetta läheinen indeksi on ego tiheys (ego density) (Burt 1982, Knoke & Kuklinski 1982). Ego tiheys on suhdeluku toimijan suorista yhteyksistä kaikkiin mahdollisiin yhteyksiin suuntaamattomissa verkostoissa.
13 13 Keskeisyysasteen mitta Standardi mittana Wasserman & Faust (1994) esittävät seuraavan kaavan: ' d( ni ) CD ( ni ) = g 1 Joka kuvaa osuutta solmuja jotka ovat viereisiä n i. C D (n i ) on itsenäinen g:stä, jolloin sitä voidaan verrata eri kokoisiin verkostoihin. Esimerkiksi asteluku seitsemälle toimijalle tähtigraafissa ovat 6 (n i :lle) ja 1 (n 2 -n 7 ). Jolloin jakaja standardoidulle toimija indeksille C D (n i ) on g-1=6. Standardoitu indeksi saa arvot {1.0, 0.167, 0.167, 0.167, 0.167, 0.167, 0.167). Pyörägraafille asteluku on kaikille d(n i )=2, joten kaikki indeksit ovat yhtäsuuria: C D (n i ) = Vastaavasti ketjugraafissa n 1 -n 5 on kaikilla : C D (n i ) = 0.333, mutta kaksi viimeistä toimijaa C D (n 6 ) = C D (n 7 ) = ovat vähemmän keskeisiä.
14 14 Keskeisyys indeksit Florentine perheille With g = 16 actors With g = 15 actors C D (n i ) C B (n i )* C D (n i )* C C (n i )* C B (n i )* C I (n i )* Acciaiuoli Albizzi Barbadori Bischeri Castellani Ginori Guadagni Lamberteschi Medici Pazzi Peruzzi Pucci Ridolfi Salvati Strozzi Tornabuoni Centralization
15 15 Läheisyys Ideana on, että toimija on keskeinen jos se kykenee nopeasti vuorovaikutukseen muiden kanssa Läheisyys (closeness) on toimijan lyhyimpien polkujen summa kaikkiin verkoston muihin toimijoihin d ij on lyhyimmän polun pituus i:n ja j:n välillä n c i = d ij j= i Huomaa tulkinnassa, että pieni arvo tarkoittaa keskeistä pistettä
16 16 Läheisyyden mitta Sabidussin (1966) esittämä läheisyys: C C ( n i ) = [ g j= 1 d( n 1 i, n j )] ja Beauchamp (1965) esittämä standardi läheisyys: C ' C ( n i ) = ( g 1) C C ( n i ) Tämä standardoitu indeksi saa arvot välillä 0 ja 1, ja se voidaan ajatella käänteisenä etäisyynä toimija i:stä muihin toimijoihin.
17 Kertaus: Geodeesit ja etäisyys (Miilumäki 2009) 17 Geodeesit eli solmujen lyhimmät etäisyydet esitetään usein etäisyysmatriisin (distance matrix) avulla Etäisyysmatriisin alkiot d(i, j) ilmoittavat solmujen n i ja n j välisemmän lyhimmän etäisyyden pituuden
18 18 Välillisyys Välillisyys (betweenness) mittaa, kuinka monen toimijaparin välisen lyhyimmän polun varrelle toimija sijoittuu Jos piste sijaitsee useiden muiden pisteiden välillä, se pystyy säätelemään esim. tiedon kulkua näiden välillä (portinvartijat) Piste voi olla (lokaalisti) hyvin epäkeskeinen, mutta sen välillisyys voi silti olla hyvin suuri
19 19 Välillisyyden mitta Esimerkiksi solmujen lyhimmät etäisyydet (geodeesi) toimijoiden n 2 ja n 3 välillä on n 2 n 1 n 4 n 3 eli lyhyn polku näiden kahden toimijan välillä kulkee kahden toimijan n 1 ja n 4 kautta- voidaan sanoa, että n 1 ja n 4 on vaikutusta n 2 ja n 3 välisessä vuorovaikutuksessa. Toimija on siis keskeinen jos sen on useiden toimijoiden ja niiden geodeesien välissä, jolloin toimijalla on suuri keskeisyys välillisyys. Välillisyyden mitta voidaan pukea seuraavaan kaavaan: B i C ( n ) = g ( n ) / g j< k jk i jossa g jk on j ja k toimijoiden yhdistävien geodeesien lukumäärä. Koska mikä tahansa geodeesi on yhtä todennäköinen, niin todennäköisyys minkä tahansa geodeesin kautta on 1 / g jk (Freeman) joka on standardoituna: C ' B ( n i ) = C ( n ) /[( g 1)( g B i jk 2) / 2]
20 Kritiikkiä Freemanin (1979) välillisyydelle 20 Freeman (1979) olettaa, että kaikki geodeesit ovat yhtä todennäköisiä, huomioimatta toimijoita. Jotkut toimijat saattavat kuintenkin olla keskeisempiä keskeisyysasteeltaan, esim. jonkun toimijan keskeisyysaste voi olla 10 kun toisen toimijan 3, tällöin yleensä sellainen toimija valitaan todennäköisemmin joka on keskeisempi. Freeman (1979) olettaa myös, että aina mennään lyhintä reittiä pitkin, eli keskitityyn vain geodeeseihin, vaikka jossain tapauksissa pidemmän reitit tai polut saattavat olla todennäköisempiä.
21 21 Informaation keskeisyys Stephensonin ja Zelenin (1989) keskeisyyden indeksi vastaa tähän kritiikiin, ja huomioi kaikki polut sekä niiden painoarvot. Geodeeseille yleensä annetaan painoarvoina niiden yhteneväisyydet. Kun taas poluille joiden pituus on pidempi kuin geodeesin pituus annetaan pienemmät painoarvot sen mukaan mitä informaatiota ne sisältävät. Polun informaatio on yksinkertaisesti määritelty sen pituuden inverssinä.
22 22 Informaation keskeisyyden mitta Informaatio keskeisyyden laskemiseksi tarvitaan kaksi välillistä arvoa. Nämät ovat summa-arvoja: g g ja C : T = i = c R = 1 ii j = T on yksinkertaisesti summa kaikista matriisin diagonaalisista arvoista, ja R on joku rivi summista (kaikki rivi summat ovat yhtäsuuria). Näiden kahden arvojen avulla voidaan vihdoin laskea informaation keskeisyys indeksi toimijalle i: C ( n ) = I 1 + ( T 2R) / g Tämä indeksi mittaa kuinka paljon informaatiota sisältyy polkuihin jotka alkavat (ja päättyvät) tiettyyn toimijaan. Indeksin minimiarvo on 0, mutta sillä ei ole maksimiarvoa; jos T = 2R, ja C ii = 0, niin indeksi on ääretön. Stephenson ja Zelen (1989) suosittelevat että käytetään suhteellista informaatio indeksi, joka saadaan jakamalla jokainen indeksi (C I (n i ) kaikilla indekseillä: C ' I i ( ni) = c ii CI ( ni ) C ( n ) i I i 1 c ij
23 23 Lähteet Johanson, J-E., Mattila, M., Uusikylä, P Johdatus verkostoanalyysiin. Novak, J.D Learning, Creating and Using Knowledge: Concept Maps as Facilitative Tools in Schools and Corporations. New York, Lawrence Erlbaum Associates. Miilumäki, T Matriisit verkostojen mallintamisessa. Siivonen, V Johdatus verkostoanalyysiin. Wasserman, S., Faust, K Social Network Analysis, Methods and Applications.
Social Network Analysis Centrality And Prestige
Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Social Network Analysis Centrality And Prestige Sosiaalisten verkostojen analyysi Keskeisyys ja arvostus 6.2.2009 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi
LisätiedotVerkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia. Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus
Verkostoanalyysi 2011, TTY 1 Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio
LisätiedotSuunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla
Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio
LisätiedotJäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä
Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 20.3.2009 Jaakko Salonen TTY / Hypermedialaboratorio jaakko.salonen@tut.fi
LisätiedotKoheesiiviset alaryhmät
1 Koheesiiviset alaryhmät Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 11. luento - 6.3.2009 Joonas Meriläinen TTY / Hypermedialaboratorio http://eclectic.ss.uci.edu/~drwhite/cases/transparencies/clique.gif
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
LisätiedotHypermedian jatko-opintoseminaari. MATHM-6750x. 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät
1 Hypermedian jatko-opintoseminaari MATHM-6750x 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät 26.10.2008 Modernissa yhteiskunnassa ovat sekä yhteisöjen että laitteistojen muodostamat verkostot muodostuneet
LisätiedotRakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys
1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 20.2.2009 Seppo Pohjolainen 2 Rakenteellinen tasapaino Käsitteitä: Arvotettu graafi (signed graph) (+ tai - ) Suuntaamaton
Lisätiedotv 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
LisätiedotGraphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa
Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Graphs in Social Network Analysis And Modeling Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa 28.11.2008 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Sisältö
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotSosiaalisten verkostojen datan notaatio. Notation for Social Network Data
Sosiaalisten verkostojen datan notaatio Notation for Social Network Data Jari Jussila 14.11.2008 2 Notaatio Notaatiota tarvitaan / auttaa kuvaamaan: toimijat tai toimijoiden muodostamat joukot, toimijoiden
LisätiedotHypermedian jatko-opintoseminaari
Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Hypermedia jatko-opitosemiaari 28 29 Matrices i Social Network
LisätiedotJäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet
Jäsenyysverkostot, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen anal Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 3.4.2009 Antti Syvänen TaY / antti.syvanen@uta.fi 1 Sisältö ja tavoitteet Esitellään jäsenyysverkostojen,
LisätiedotKönigsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
LisätiedotJarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti. Diplomityö
Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti Diplomityö Tarkastajat: Prof. Seppo Pohjolainen (TTY) ja tutkija Jukka Huhtamäki (TTY) Tarkastajat ja aihe
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
LisätiedotDepartment of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.
Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 25.3.2011 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla
LisätiedotSosiaalisten verkostojen data
Sosiaalisten verkostojen data Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 2. luento - 17.10.2008 Antti Kortemaa, TTY/Hlab Wasserman, S. & Faust, K.: Social Network Analysis. Methods and Applications. 1 Mitä
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotLuku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Lisätiedot0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.
Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi
LisätiedotVerkostoanalyysi 2011 Jatko-opintoseminaari Case: Verkostot ja muutos Statsterverkkopalvelussa
Verkostoanalyysi 2011 Jatko-opintoseminaari 1.4.2011 Case: Verkostot ja muutos Statsterverkkopalvelussa Tutkija Teemo Anton Tebest teemo.tebest@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Teemo Tebest Tietotekniikan
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
LisätiedotSuomen rautatieverkoston robustisuus
Suomen rautatieverkoston robustisuus Samu Kilpinen 28.09.2016 Ohjaaja: Eeva Vilkkumaa Valvoja: Ahti Salo Rautatieverkosto Rautatie on erinomainen tapa kuljettaa suuria ihmis- ja hyödykemääriä Käyttöä etenkin
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Lisätiedotkeskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a
Lisätiedotj n j a b a c a d b c c d m j b a c a d a c b d c c j
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-38.115 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 12 29.2.2008 D12/1 Tarkastellaan verkkoa, jossa on solmua ja linkkiä.
LisätiedotKriteeri 1: Oppija on aktiivinen ja ottaa vastuun oppimistuloksista (aktiivisuus)
Kriteeri 1: Oppija on aktiivinen ja ottaa vastuun oppimistuloksista (aktiivisuus) Oppimistehtävät ovat mielekkäitä ja sopivan haasteellisia (mm. suhteessa opittavaan asiaan ja oppijan aikaisempaan tietotasoon).
LisätiedotVERKOSTOANALYYSI raportti
Verkostosta Voimaa -projekti VERKOSTOANALYYSI raportti Net Effect Oy 1 Sisällys Yleisiä havaintoja Kysymyksenasettelu Koko verkosto, kaikki yksittäiset toimijat, kaikki suhteet (myös yksisuuntaiset) Aineiston
LisätiedotMatemaatiikan tukikurssi
Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotDepartment of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea.
Arvostus Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 8..0 in idea on määrittää verkoston solmuille arvostusta kuvaavat tunnusluvut. Voidaan ajatella
LisätiedotLokikirjojen käyttö arviointimenetelmänä
Lokikirjojen käyttö arviointimenetelmänä Kaisu Rättyä Itä-Suomen yliopisto Tero Juuti Tampereen teknillinen yliopisto Teoreettinen viitekehys kognitiiviskonstruktivistinen oppimiskäsitys opettajan tiedon
LisätiedotDatatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotInduktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotToimivan verkoston rakentaminen ja verkoston toimintamallit. Mikä on verkosto? Mikä on verkosto? Miksi verkostot kiinnostavat?
Toimivan verkoston rakentaminen ja verkoston toimintamallit Lasse Lipponen Kasvatustieteen professori Opettajankoulutuslaitos, Helsingin yliopisto 27.1.2011 VOIMAA KANSAINVÄLISTYMISEEN VERKOSTOISTA Mikä
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
LisätiedotVerkostoanalyysi yritysten verkostoitumista tukevien EAKRhankkeiden arvioinnin menetelmänä. Tamás Lahdelma ja Seppo Laakso
Verkostoanalyysi yritysten verkostoitumista tukevien EAKRhankkeiden arvioinnin menetelmänä Tamás Lahdelma ja Seppo Laakso Euroopan aluekehitysrahasto-ohjelmien arviointi alueellisten osaamisympäristöjen
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen
LisätiedotGraafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
LisätiedotHarjoitus 1 (20.3.2014)
Harjoitus 1 (20.3.2014) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Hämeenlinna 4 = Imatra 5 = Jyväskylä. 5 2 149(5) 190(4) 113(1)
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Lisätiedots = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4
BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotOikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen.
Tietorakenteet, kevät 2012 Kurssikoe 2, mallivastaukset 2. (a) Järjestämistä ei voi missään tilanteessa suorittaa nopeammin kuin ajassa Θ(n log n), missä n on järjestettävän taulukon pituus. Epätosi: Yleisessä
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
Lisätiedot1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
Lisätiedot1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa:
Tietorakenteet, laskuharjoitus 10, ratkaisuja 1. (a) Seuraava algoritmi tutkii, onko jokin luku taulukossa monta kertaa: SamaLuku(T ) 2 for i = 1 to T.length 1 3 if T [i] == T [i + 1] 4 return True 5 return
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotJoonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen
Hävittäjälentokoneen reitin suunnittelussa käytettävän dynaamisen ja monitavoitteisen verkko-optimointitehtävän ratkaiseminen A*-algoritmilla (valmiin työn esittely) Joonas Haapala 8.6.2015 Ohjaaja: DI
LisätiedotRinnakkaistietokoneet luento S
Rinnakkaistietokoneet luento 2 521475S Tietokonealgoritmien rinnakkaisuuden analysointi Algoritmi on proseduuri, joka koostuu äärellisestä joukosta yksiselitteisiä sääntöjä jotka muodostavat operaatiosekvenssin,
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)
Lisätiedot4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
LisätiedotMonikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
Lisätiedot13 Lyhimmät painotetut polut
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien
LisätiedotKenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lisätiedot6.4. Järjestyssuhteet
6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotSosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä
Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä Stanley Wasserman and Katherine Faust: Social Network Analysis, Methods and Applications Sosiaalisten
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
Lisätiedot