Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä"

Transkriptio

1 Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä Hypermedian jatko-opintoseminaari Jaakko Salonen TTY / Hypermedialaboratorio TTY / Hypermedialaboratorio 1

2 Sisältö ja tavoitteet Tässä esityksessä tutustumme jäsenyysverkostojen eli ryhmien ja niiden jäsenten muodostaman kaksimoodisen sosiaalisen verkoston analysoinnin menetelmiin Perustuu pääosin teoksen Wasserman, S. & Faust, K. (1994) lukuihin (ss ) Lähestymistavassa tulkintateoreettinen tausta tulee pitkälti sosiaalitieteistä, mutta sovellettavat mallit ovat matemaattisia TTY / Hypermedialaboratorio 2

3 Taustaa Lähtökohtana on soveltaa SNA:n menetelmiä erityiseen, kaksimoodiseen kytkösverkostoon (affiliation network): Moodeina toimijat (actors) sekä toimijoita yhdistävät tapahtumat Toimija yksilöi ihmisen; tyypillisesti eri rooleissa esiintyvä ihminen käsitetään yksittäiseksi toimijaksi (roolista riippumatta) TTY / Hypermedialaboratorio 3

4 Taustaa Tapahtumaksi voidaan käsittää mikä tahansa toimijoita epäsuorasti yhdistävä kytkös (affiliation). Esim. jaettu työtila, kerho, järjestö Kytkös on epäsuora ja voi olla löyhäkin, mutta niiden tulisi mielellään olla osoitettavissa (ts. esim. saatavilla julkaistuista lähteistä) Osoitettavuudesta: laskennallisesti pääteltyjen (inferred) kytkösten sosiaalitieteellinen tulkinta voinee olla haastavaa Kytkökset tarjoavat toimijoille mahdollisuuksia vuorovaikutukseen ja toistensa tapaamiseen. Kytkös ei vielä tarkoita sidosta (dyadia) yksittäisten toimijoiden välillä se tulisikin tulkita ennemminkin tapahtuman osallistujien joukon ominaisuutena TTY / Hypermedialaboratorio 4

5 Kytkösverkostojen mallinnus Moodit kytkösverkostossa 1. moodina toimijoiden joukko 2. moodina tapahtumien joukko N ={n 1, n 2,..., n g } M ={m 1, m 2,...,m h } Tässä esityksessä käymme läpi seuraavia kytkösverkoston mallinnustapoja: Kytkösverkostomatriisina Kaksiosaisena (bipartite) graafina Hypergraafina Johtamalla sen ominaisuuksista 1-moodisia esityksiä TTY / Hypermedialaboratorio 5

6 Kytkösverkosto matriisina Kytkösverkostomatriisi (Affiliation Network Matrix) on matriisi A={a ij }, jossa a ij = { 1, 0, jos i liittyy tapahtumaan j muutoin Esimerkki kytkösverkostomatriisista: kuuden lapsen ja kolmen syntymäpäivätapahtuman muodostama matriisi (Wasserman & Faust, 1994) Triviaalisti nähdään, että kytkösverkostomatriisista on erityisen helppo laskea mm.: 1) tapahtumia yhteensä per osallistuja, 2) osallistujia per tapahtuma TTY / Hypermedialaboratorio 6

7 Kytkösverkosto kaksiosaisena graafina Kytkösverkosto voidaan mallintaa myös kaksiosaisena graafina: Alijoukkoina tapahtumat ja osallistujat Näin mallinnettuna voidaan tulkinnassa hyödyntää graafiteorian tarjoamia menetelmiä Esimerkkejä: Tapahtuman asteluku Toimijan asteluku Epäsuorat polut toimijoiden välillä Sama syntymäpäivädatan kaksiosaisen graafiesityksen visualisointi. (Wasserman & Faust, 1994). TTY / Hypermedialaboratorio 7

8 Kytkösverkosto hypergraafina (1/2) Hypergraafi koostuu: Joukosta objekteja (pisteitä), sekä Joukosta näiden objektien osajoukkoja (reunat) Tyypillisesti mallinnetaan siten, että: Objektit (pisteet vastaavat toimijoita, ja Tapahtumat kuvataan hypergraafin reunoina Kuvataan syntymäpäivädata hypergraafina. Tällöin tapahtumien osallistujia kuvaavat joukot ovat: M 1 ={n 1, n 5, n 6 } M 2 ={n 2, n 3, n 5, n 6 } M 3 ={n 1, n 3, n 4, n 5 } TTY / Hypermedialaboratorio 8

9 Kytkösverkosto hypergraafina 21/2) Hypergraafi voidaan visualisoida esim. seuraavasti Venn-diagrammi-tyyppisellä leikkauskuviolla: (Wasserman & Faust, 1994) TTY / Hypermedialaboratorio 9

10 Kytkösverkostosta 1-moodiseksi Kytkösverkostosta voidaan johtaa 1-moodinen verkosto: Valitaan tutkimuskohteeksi joko tapahtumat tai niiden osallistujat Lasketaan yhdistävän moodin perusteella tapahtumien/osallistujien väliset yhteydet TTY / Hypermedialaboratorio 10

11 Esimerkki 1-moodisesta esityksestä Tehdään syntymäpäivädatasta osallistujien sosiomatriisi, siten että alkion arvo kuvaa yhteisten tapahtumien lukumäärää Huomioita tulkinnasta: Diagonaalialkiot kertovat toimijan osallistumien tapahtumien lukumäärän Suhteet ovat suuntaamattomia - symmetrinen matriisi TTY / Hypermedialaboratorio 11

12 Kytkösverkostojen ominaisuuksista Sekä yksimoodisten sosiomatriisiesitysten että kytkösmatriisin perusteella voidaan laskea kytkösverkolle sen yleisiä ominaisuuksia. Osallistumistiheys - Yksittäisen osallistujan kytkösten lukumäärä tapahtumiin Vastaavasti verkoston keskiarvo Tapahtumien koko Yksittäisen tapahtuman osallistujien lukumäärä Vastaavasti keskiarvo tapahtumien koosta koko verkostossa TTY / Hypermedialaboratorio 12

13 Lopuksi Jäsenyys/kytkösverkostot ovat sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmasta erityisen mielekkäitä siksi, että data on usein helposti saatavilla: Osallistujalistat, ym. epäsuorat kytkökset on usein helpompi määritellä kuin eksplisiittiset dyadit toimijoiden välillä Mallinnusta voitanee pitää hieman epätäsmällisenä yksittäisten toimijoiden välisiä suhteita kuvatessa, vaikka se verkoston tasolla toimisikin Esimerkki: samassa seminaarissa voi istua passiivisena kuulijana koko lukukauden tutustumatta kehenkään muuhun TTY / Hypermedialaboratorio 13

14 Lähteet Wasserman, S. & Faust, K Social Network Analysis: Methods and Applications. New York: Cambridge University Press TTY / Hypermedialaboratorio 14

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla

Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio

Lisätiedot

Jäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet

Jäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet Jäsenyysverkostot, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen anal Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 3.4.2009 Antti Syvänen TaY / antti.syvanen@uta.fi 1 Sisältö ja tavoitteet Esitellään jäsenyysverkostojen,

Lisätiedot

Social Network Analysis Centrality And Prestige

Social Network Analysis Centrality And Prestige Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Social Network Analysis Centrality And Prestige Sosiaalisten verkostojen analyysi Keskeisyys ja arvostus 6.2.2009 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen data

Sosiaalisten verkostojen data Sosiaalisten verkostojen data Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 2. luento - 17.10.2008 Antti Kortemaa, TTY/Hlab Wasserman, S. & Faust, K.: Social Network Analysis. Methods and Applications. 1 Mitä

Lisätiedot

Koheesiiviset alaryhmät

Koheesiiviset alaryhmät 1 Koheesiiviset alaryhmät Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 11. luento - 6.3.2009 Joonas Meriläinen TTY / Hypermedialaboratorio http://eclectic.ss.uci.edu/~drwhite/cases/transparencies/clique.gif

Lisätiedot

Hypermedian jatko-opintoseminaari. MATHM-6750x. 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät

Hypermedian jatko-opintoseminaari. MATHM-6750x. 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät 1 Hypermedian jatko-opintoseminaari MATHM-6750x 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät 26.10.2008 Modernissa yhteiskunnassa ovat sekä yhteisöjen että laitteistojen muodostamat verkostot muodostuneet

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä

Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä Stanley Wasserman and Katherine Faust: Social Network Analysis, Methods and Applications Sosiaalisten

Lisätiedot

Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys

Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 20.2.2009 Seppo Pohjolainen 2 Rakenteellinen tasapaino Käsitteitä: Arvotettu graafi (signed graph) (+ tai - ) Suuntaamaton

Lisätiedot

Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti. Diplomityö

Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti. Diplomityö Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti Diplomityö Tarkastajat: Prof. Seppo Pohjolainen (TTY) ja tutkija Jukka Huhtamäki (TTY) Tarkastajat ja aihe

Lisätiedot

Graphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa

Graphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Graphs in Social Network Analysis And Modeling Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa 28.11.2008 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Sisältö

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen datan notaatio. Notation for Social Network Data

Sosiaalisten verkostojen datan notaatio. Notation for Social Network Data Sosiaalisten verkostojen datan notaatio Notation for Social Network Data Jari Jussila 14.11.2008 2 Notaatio Notaatiota tarvitaan / auttaa kuvaamaan: toimijat tai toimijoiden muodostamat joukot, toimijoiden

Lisätiedot

Centrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus

Centrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus 1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Centrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus 21.1.2009 Jari Jussila jari.j.jussila@tut.fi 2 Tärkeys Yksi graafiteorian pääkäyttökohteista sosiaalisten verkostojen

Lisätiedot

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia. Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus

Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia. Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus Verkostoanalyysi 2011, TTY 1 Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Verkostoanalyysi 2011 Jatko-opintoseminaari Case: Verkostot ja muutos Statsterverkkopalvelussa

Verkostoanalyysi 2011 Jatko-opintoseminaari Case: Verkostot ja muutos Statsterverkkopalvelussa Verkostoanalyysi 2011 Jatko-opintoseminaari 1.4.2011 Case: Verkostot ja muutos Statsterverkkopalvelussa Tutkija Teemo Anton Tebest teemo.tebest@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Teemo Tebest Tietotekniikan

Lisätiedot

Toimivan verkoston rakentaminen ja verkoston toimintamallit. Mikä on verkosto? Mikä on verkosto? Miksi verkostot kiinnostavat?

Toimivan verkoston rakentaminen ja verkoston toimintamallit. Mikä on verkosto? Mikä on verkosto? Miksi verkostot kiinnostavat? Toimivan verkoston rakentaminen ja verkoston toimintamallit Lasse Lipponen Kasvatustieteen professori Opettajankoulutuslaitos, Helsingin yliopisto 27.1.2011 VOIMAA KANSAINVÄLISTYMISEEN VERKOSTOISTA Mikä

Lisätiedot

Keskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä

Keskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä Keskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä Verkostoanalyysi 2011 TTY Jarno Marttila Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio TUT / HLAB 1 Sisällys Graafien piirtämisestä Ladonnasta

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI Ohjaamattomassa oppimisessa on tavoitteena muodostaa hahmoista ryhmiä, klustereita, joiden sisällä hahmot ovat jossain mielessä samankaltaisia ja joiden välillä

Lisätiedot

Verkoston muutoksen mallinnus ja visualisointi

Verkoston muutoksen mallinnus ja visualisointi Verkoston muutoksen mallinnus ja visualisointi Verkostoanalyysi 2011 -seminaari Tampere teknillinen yliopisto Jaakko Salonen Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio 1 Tässä esityksessä Dynaamiset

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio

Lisätiedot

Katsaus visualisointitekniikoihin

Katsaus visualisointitekniikoihin Katsaus visualisointitekniikoihin Pohjautuen artikkeliin: Heer, J., Bostock, M., & Ogievetsky, V. 2010. A Tour through the Visualization Zoo. ACM Queue 8, 5. Saatavissa: http://queue.acm.org/detail.cfm?id=1805128

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Rinnakkaistietokoneet luento S

Rinnakkaistietokoneet luento S Rinnakkaistietokoneet luento 4 521475S Rinnakkaiset ei-numeeriset algoritmit: transitiivisulkeuma (transitive closure) Oletetaan suunnattu graafi G = (V,E) ja halutaan tietää onko olemassa kahta pistettä

Lisätiedot

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea. Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 25.3.2011 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

PARITUS KAKSIJAKOISESSA

PARITUS KAKSIJAKOISESSA PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi Kurssin loppuosa Diskreettejä menetelmiä laajojen 0-1 datajoukkojen analyysiin Kattavat joukot ja niiden etsintä tasoittaisella algoritmilla Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Lajittelumenetelmät ilmakehän kaukokartoituksen laadun tarkkailussa (valmiin työn esittely)

Lajittelumenetelmät ilmakehän kaukokartoituksen laadun tarkkailussa (valmiin työn esittely) Lajittelumenetelmät ilmakehän kaukokartoituksen laadun tarkkailussa (valmiin työn esittely) Viivi Halla-aho 30.9.2013 Ohjaaja: Dos. Johanna Tamminen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006 Harjoitus 1: Matlab Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen Matlab-ohjelmistoon Laskutoimitusten

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS

PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS PÄÄKANNATTAJAN LIITOSTEN MITOITUS VERKKOLIITE 1a Diagonaalien liitos pääkannattajan alapaarteeseen (harjalohkossa) Huom! K-liitoksen mitoituskaavoissa otetaan muuttujan β arvoa ja siitä laskettavaa k n

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ

ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ ÄÄNEKKÄÄMMÄN KANTELEEN MALLINTAMINEN ELEMENTTIME- NETELMÄLLÄ Henna Tahvanainen 1, Jyrki Pölkki 2, Henri Penttinen 1, Vesa Välimäki 1 1 Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Aalto-yliopiston sähkötekniikan

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

Projektiportfolion valinta

Projektiportfolion valinta Projektiportfolion valinta Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011 Portfolion valinta Käytettävissä on rajallinen määrä resursseja, joten ne on allokoitava mahdollisimman hyvin eri projekteille

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Otanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 3: Frekvenssiaineistojen asetelmaperusteinen analyysi: Perusteita

Otanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 3: Frekvenssiaineistojen asetelmaperusteinen analyysi: Perusteita Otanta-aineistojen analyysi (78136, 78405) Kevät 2010 TEEMA 3: Frekvenssiaineistojen asetelmaperusteinen analyysi: Perusteita risto.lehtonen@helsinki.fi OHC Survey Tilastollinen analyysi Kysymys: Millä

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia

Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella

Lisätiedot

Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Sami Hokuni 12 Syyskuuta, 2012 1/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Turun Yliopisto. Gradu tehty 2012 kevään

Lisätiedot

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea.

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea. Arvostus Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 8..0 in idea on määrittää verkoston solmuille arvostusta kuvaavat tunnusluvut. Voidaan ajatella

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Miten läpäisyn tehostaminen toimii käytännössä opiskelijoiden kanssa? 31.10.2012 Paasitorni Jari Pöyhönen, Opinto-ohjaaja Koulutuskeskus Salpaus

Miten läpäisyn tehostaminen toimii käytännössä opiskelijoiden kanssa? 31.10.2012 Paasitorni Jari Pöyhönen, Opinto-ohjaaja Koulutuskeskus Salpaus Miten läpäisyn tehostaminen toimii käytännössä opiskelijoiden kanssa? 31.10.2012 Paasitorni Jari Pöyhönen, Opinto-ohjaaja Koulutuskeskus Salpaus 2 LÄHTÖTILANNE Kysymys 1. 1.1.2007-31.12.2010 Salpauksessa

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Sosiaalisten verkostojen visualisointi

Sosiaalisten verkostojen visualisointi Sosiaalisten verkostojen visualisointi Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2008 Sosiaalisten verkostojen visualisointi Jukka Huhtamäki, Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).

Lisätiedot

GRAAFITEORIAA. Pertti Koivisto Riitta Niemistö

GRAAFITEORIAA. Pertti Koivisto Riitta Niemistö GRAAFITEORIAA Pertti Koivisto Riitta Niemistö Esipuhe Tämän monisteen tarkoituksena on tutustuttaa lukija graafiteorian peruskäsitteisiin ja -tuloksiin. Vaikka algoritminen graafiteoria on tietokoneiden

Lisätiedot

67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista

67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 0 Harjoitus, ratkaisuista. Esitä seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot: a) := { y y = ( ) n n+ n+, n N } b) := { n Z n = k, k Z } c) := { sin( nπ ) n N } Ratkaisut.

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n)) Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Stokesin lause LUKU 5

Stokesin lause LUKU 5 LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1

Lisätiedot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot T-79.5101 kevät 2006 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a, Q b c d Lauseen X( UQ) sulkeuma: CL ( X( UQ) ) = { X( UQ), X( UQ), UQ, X ( UQ), ( UQ),, Q, X ( UQ),, } Muodostetaan

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

JANNE LIUTTU ARVOSTUSALGORITMIT VERKOSTOANALYYSISSA. Diplomityö

JANNE LIUTTU ARVOSTUSALGORITMIT VERKOSTOANALYYSISSA. Diplomityö JANNE LIUTTU ARVOSTUSALGORITMIT VERKOSTOANALYYSISSA Diplomityö Tarkastajat: Prof. Seppo Pohjolainen (TTY) ja tutkija Jukka Huhtamäki (TTY) Tarkastaja ja aihe hyväksytty Luonnontieteiden ja ympäristötekniikan

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

päätöksellä 20.11.1989 ja tuli kansainvälisesti voimaan 2.9.1990 Maailman laajimmin ratifioitu ihmisoikeussopimus -193

päätöksellä 20.11.1989 ja tuli kansainvälisesti voimaan 2.9.1990 Maailman laajimmin ratifioitu ihmisoikeussopimus -193 Lapsen osallisuus varhaiskasvatuksessa Taustaa ja teoriaa Lapsella on oikeus, kasvattajalla vastuu 20.4.2010 2010 Sylvia Tast YK:n sopimus velvoittaa Hyväksyttiin YK:n yleiskokouksen yksimielisellä päätöksellä

Lisätiedot

Palvelusuuntautunut ohjelmistotuotanto Laskuharjoitus 1: Ryhmätöiden alustaminen Toni Ruokolainen,

Palvelusuuntautunut ohjelmistotuotanto Laskuharjoitus 1: Ryhmätöiden alustaminen Toni Ruokolainen, CINCO Collaborative and interoperable computing Palvelusuuntautunut ohjelmistotuotanto Laskuharjoitus 1: Ryhmätöiden alustaminen Toni Ruokolainen, 29.1.2010 Laskuharjoitustilaisuuden sisältö Harjoitustyön

Lisätiedot

13.11. Tulosten arviointi. tulosten arviointi. voimmeko luottaa saamiimme tuloksiin?

13.11. Tulosten arviointi. tulosten arviointi. voimmeko luottaa saamiimme tuloksiin? 13.11. tulosten arviointi Tulosten arviointi voimmeko luottaa saamiimme tuloksiin? onko osa saaduista tuloksista sattumanvaraisia? mitkä OSAT puusta ovat luotettavimpia? 1 KONSENSUSDIAGRAMMI Useita yhtä

Lisätiedot

Customer Intelligence ja Big Data. Digile D2I Kimmo Valtonen

Customer Intelligence ja Big Data. Digile D2I Kimmo Valtonen Customer Intelligence ja Big Data Digile D2I Kimmo Valtonen Sisältö 1. Data2Intelligence-ohjelman kuvaus 2. Customer Intelligence: mitä sillä tässä tarkoitetaan? 3. Customer Intelligence Big Data ongelmana

Lisätiedot

Kaupunkimalli Heinolassa

Kaupunkimalli Heinolassa Kaupunkimalli Heinolassa Hankittu EAKR-hankerahoituksella, 2012 (ensimmäinen versio 2011) Alusta: Vianova Oy:n Novapoint Virtual Map (Autodesk IDSP) Tuotettu kaupungin kantakartasta, MML:n maastotietokannasta,

Lisätiedot

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo

Lineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det

Lisätiedot

FARAX johtamisstrategian räätälöinti

FARAX johtamisstrategian räätälöinti FARAX johtamisstrategian räätälöinti Sisältö Taustaa Johtamisstrategian luominen ja instrumentin luominen Hyödyt ja referenssit Esimerkkejä matriiseista Prosessi Taustaa Esityksessä käydään läpi FaraxGroupin

Lisätiedot

Osaamispassi ja erityisosaamistietokanta tulevaisuuden osaajille

Osaamispassi ja erityisosaamistietokanta tulevaisuuden osaajille Osaamispassi ja erityisosaamistietokanta tulevaisuuden osaajille Futurex -seminaari Korkeakoulujen täydennyskoulutusten laatu Helsinki 6.3.2013 Anne-Maritta Tervakari Intelligent Information Systems Laboratory

Lisätiedot

TYYn avustukset alayhdistyksille 11.03.2015

TYYn avustukset alayhdistyksille 11.03.2015 TYYn avustukset alayhdistyksille 11.03.2015 Universitas Turku TYY & TY yhteistyössä Opetusta tukevan tai muuten akateemisen toiminnan järjestämiseen Esimerkiksi kurssien tai seminaarien järjestämiseen

Lisätiedot

Wikit + opetuskäyttö - mahdoton yhtälö?

Wikit + opetuskäyttö - mahdoton yhtälö? Wikit + opetuskäyttö - mahdoton yhtälö? ITK'09, 23.4.2009, Aulanko Liisa Lähteinen, Jaakko Salonen Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio TTY / Hypermedialaboratorio 1 Tässä esityksessä

Lisätiedot

AIKUISSOSIAALITYÖN JA JÄRJESTÖJEN YHTEISTYÖ -ASIAKKAIDEN HYVINVOINTIA LISÄÄMÄSSÄ SEKÄ MOLEMPIIN SUUNTIIN TAPAHTUVAN TIEDONKULUN VAHVISTAMISEKSI

AIKUISSOSIAALITYÖN JA JÄRJESTÖJEN YHTEISTYÖ -ASIAKKAIDEN HYVINVOINTIA LISÄÄMÄSSÄ SEKÄ MOLEMPIIN SUUNTIIN TAPAHTUVAN TIEDONKULUN VAHVISTAMISEKSI AIKUISSOSIAALITYÖN JA JÄRJESTÖJEN YHTEISTYÖ -ASIAKKAIDEN HYVINVOINTIA LISÄÄMÄSSÄ SEKÄ MOLEMPIIN SUUNTIIN TAPAHTUVAN TIEDONKULUN VAHVISTAMISEKSI 1. LÄHTÖKOHDAT Sosiaalityöntekijät kokivat osan asiakastilanteista

Lisätiedot

Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin

Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n.

Lisätiedot

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä

Lisätiedot