4.6 Matriisin kääntäminen rivioperaatioilla

Transkriptio

1 Vaasan liopiston julkaisuja 9 kuva.plot(,n, k-o,,n, k-s,,n3, k-d ); kuva.set_label( kausi ); kuva.set_label( lkm ); kuva.ais([,,,8]); kuva = fig.add_subplot(); kuva.plot(,tulo, k-o ); kuva.set_label( kausi ); kuva.set_label( tulo ); kuva.ais([,,,]); plt.show() Ohjelman piirtämä graafi on kuvassa 3. LAPc3sfig LAPc3sfig Kuva 3. Rhmien koko ja tallin tulo tulevina kausina. nvgaussjordan.6 Matriisin kääntäminen rivioperaatioilla Seuraavassa esitett Gaussin algoritmi perustuu tuttuihin rivioperaatioihin. Teoria on esitett mahdollisimman lhesti ja esimerkit saavat selvittää asian. Algoritmi esite-

2 Vaasan liopiston julkaisuja 9 tään vasta lopuksi, koska se tiivistää esimerkit. Olkoon A seuraavassa n n-matriisi. Rivioperaatiot voidaan muuntaa matriisilla (rivioperaattorilla) kertomiseksi seuraavalla tavalla: ) kahden rivin vaihto Kun matriisi A kerrotaan matriisilla (rivioperaattorilla) e pq = e qp = E vaihda p;q = (e i j ), missä e ii =, kun i p ja i q e i j =, muulloin niin rivit p ja q vaihtavat paikkaa. Esim: 3 E vaihda ; 3 = =, ) rivin kertominen luvulla λ Kun matriisi A kerrotaan matriisilla (rivioperaattorilla) e pp = λ E kerro p;λ = (e i j), missä e ii =, kun i p e i j =, muulloin niin rivi p tulee kerrotuksi luvulla λ. Esim: 3 E kerro ; 3 = =, ) rivin p lisääminen luvulla λ kerrottuna riviin q Kun matriisi A kerrotaan matriisilla (rivioperaattorilla) E lisaa p,q;λ = (e i j), missä e ii =, i e qp = λ e i j =, muulloin niin rivi p tulee lisätksi luvulla λ kerrottuna riviin q. Esim: 3 3 E lisaa,; 3 = , =

3 Vaasan liopiston julkaisuja 9 Kaikki edellä esiintneet rivioperaattorit ovat säännöllisiä sillä helposti nähdään että ( ) E vaihto p,q = E vaihto p,q, ( ) E kerro p;λ = E kerro p; /λ ja ( ) E lisaa p,q;λ = E lisaa p,q; λ, Lause 83 Olkoon A säännöllinen n n-matriisi. Jos on olemassa n n-matriisi B, jolle BA = I, niin A = B. Todistus: AB = ABAA = AIA = I Lause 8 Olkoon A säännöllinen n n-matriisi. Jos A voidaan muuttaa jonolla rivioperaatioita ksikkömatriisiksi I, niin käänteismatriisi A saadaan tekemällä samat rivioperaatiot ksikkömatriisille I. Todistus: Olkoon E, E,..., E n jono rivioperaattoreita siten, että E n E E A = I. Silloin edellisen lauseen mukaan A = E n E E = E n E E I Esimerkki 8 Määritetään käänteismatriisi matriisille A =. 8 Kirjoitetaan ensin kaavio (A I), jolle rhdmme tekemään rivioperaatioita. Tällä var-

4 Vaasan liopiston julkaisuja 93 mistamme, että I:hin kohdistuu täsmälleen samat rivioperaatiot kuin A:han. (A I) [] 8 () [] 3 () () [] () 6 7 () 7 3 [] 6 7 7/ 3/ A = 6 7 7/ 3/ : Tarkistus AA = A A = / 3/ 6 7 7/ 3/ 8 = = Esimerkki 86 Määritetään käänteismatriisi matriisille A = 3.

5 Vaasan liopiston julkaisuja 9 (A I) [] 3 () [] 3 3 () 3/ / () [] 7/ 3/ + + +/ +3/ Viimeinen pivotointi epäonnistuu, jonka tulkitsemme merkiksi siitä, että matriisilla ei ole käänteismatriisia. Edellä kuvattu menetelmä johtaa helposti hankaliin murtolukulaskuihin, mutta se on erittäin suoraviivainen ja sellaisena helppo omaksua. Gaussin algoritmi (käänteismatriisin määrittämiseksi): () Aseta k =, B() = (A I). () Otetaan tukialkioksi (pivot element) alkio b(k) kk. () Jos tukialkio on ja tukialkion sarakkeessa tukialkion alapuolella on nollasta poikkeava alkio b(k) rk, r > k, vaihdetaan rivit r ja k keskenään. Jos tukialkio on ja sen alapuoleltakaan ei löd nollasta poikkeavaa alkiota, lopetetaan ja todetaan ettei käänteismatriisia ole olemassa. (3) Jaetaan tukialkion rivi tukialkiolla. (Eli tehdään tukialkio :ksi.) () Lisätään tukialkion rivi muihin riveihin sopivalla luvulla kerrottuna siten, että tukialkion lä- ja alapuolella olevat alkion muuttuvat nolliksi. () Jos k < n, niin kasvatetaan k:ta hdellä ja siirrtään kohtaan (). (6) A on saadun n n-matriisin B(k) oikea puolikas.

6 Vaasan liopiston julkaisuja 9.7 Yhtälörhmän ratkaisun herkks Yhtälörhmän ratkaisu on 3 + = + + = + + = 3 } {{ } =A = = = A b = = = b Jos jonkun htälön RHS muuttuu, niin mös ratkaisu muuttuu. Jos kolmannen htälön RHS kasvaa arvosta arvoon, niin htälörhmän ratkaisu muuttuu. Uusi ratkaisu on 3 + = + + = + + = 3 } {{ } =A = = = b ratkaisu on = = A b =..7 Muutos ratkaisussa on Δ = =..7 =.7. = Δ Δ Δ Kun siis hdenkin htälön RHS muuttui, niin jokaisen muuttujan arvo ratkaisussa muuttui!

7 Vaasan liopiston julkaisuja 96 Jos pienikin muutos htälörhmän RHS-luvuissa saa aikaan suuria muutoksia muuttujien ratkaisu-arvoihin sanomme, että htälörhmä on herkkä. Herkkdelle on olemassa mitta (kerroinmatriisin kuntoluku), mutta emme opettele sitä vielä nt. Toinen esimerkki Edellisessä esimerkissä muutos RHS:ssä oli melko suuri. Seuraavaksi katsomme vastaavan esimerkin, jossa RHS:n muutos on pienempi (realistisempi, koska pieniä muutoksia on aina). Olkoon htälörhmän kertoimet samat kuin edellisessä esimerkissä. Alkutilanteen RHS on b = ja lopputilanteen RHS olkoon b =, Δ b = b 3 =.. = b + =. Laskemme vastaavan muutoksen ratkaisuvektorissa : Δ = 3 3 = A b 3 A b Esimerkkien hteenveto., b 3 = b + Δ b = = A ( b 3 b ) = A Δ b Δ = A Δ b..7.7 =. =.... Yksinkertainen periaate: Tarkastellaan htälörhmää A = b. Jos k:nnen htälön RHS kasvaa hdellä, niin ratkaisuvektori muuttuu määrällä, joka on kerroinmatriisin käänteismatriisin k:nnes sarake.. Merkitään A:n käänteismatriisin k:tta saraketta vektorilla u k = (u k u k...u nk ) T Täsmällisempi periaate: Tarkastellaan htälörhmää A = b. Jos htälörhmän RHS kasvaa määrällä Δ b = (Δb Δb...Δb n ) T, niin ratkaisuvektori muuttuu määrällä Δ = A Δ b = Δb u + Δb u +...Δb n u n