Graphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa
|
|
- Sofia Niemelä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Hypermedian jatko-opintoseminaari Graphs in Social Network Analysis And Modeling Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi
2 Sisältö 2 Perusteluja graafiteoreettisten menetelmien käytön soveltuvuudesta sosiaalisten verkostojen kvantitatiivisen tutkimuksen välineinä Sosiaalisten verkostojen analyysissä käytettävän graafiteorian perusteita Esimerkkejä SNA-visualisoinneista eri ohjelmistoilla Taustalla pääosin Wassermanin ja Faustin (1994) kirjassaan esittämät suuntaamattomien graafien teoriat Laajennuksia Ruohosen Graafiteoria (2006) opetusmonisteesta Termistön suomennokset pohjautuvat Ruohosen (2006) ja Johanssonin et al. (1995) teoksissa käytettyihin suomennoksiin Kuvat tehty Pajek ohjelmistolla ellei muuta ole mainittu
3 Tavoitteet 3 Graafiteoreettisten peruskäsitteiden ymmärtäminen Graafien tärkeyden korostaminen sosiaalisten verkostojen mallintamisessa Graafiteoreettisen ajatuspohjan luominen matriisilaskennan avulla toteutettavan sosiaalisten verkostojen kvantitatiivisen analyysin tueksi
4 Taustaa 4 Tapoja sosiaalisten verkostojen mallintamiseen on useita Käytettävät menetelmät riippuvat mallinnuksen kohteesta, näkökulmasta ja tavoitteesta Esimerkiksi monet tilastolliset mallinnusmenetelmät ovat sovellettavissa sosiaalisten verkostojen mallinnuksessa, mikäli verkostodata on valittuun tarkoitukseen relevanttia Edelleen monet diagrammit ja kaaviot ovat sovellettavissa sosiaalisen verkoston datan käsittelyyn Graafeilla pyritään luomaan mahdollisimman todenmukainen visualisointi, ikään kuin valokuva, tarkasteltavasta verkostosta, jossa toimijat ja niiden väliset yhteydet on esitetty selkeästi Graafin ja todellisuuden yhteensovittaminen on haasteellista, sillä graafi luodaan usein diskreetistä ja rajallisesta määrästä verkostodataa
5 Perusteluja graafien käytölle 5 SNA:ssa (Social Network Analysis) graafien käytölle on useita perusteita Graafiteoreettinen sanasto soveltuu sosiaalisten rakenteiden kuvaamiseen ja merkitsemiseen Useimmat sosiaalisten rakenteiden ja ominaisuuksien kvantitatiiviset tunnusluvut ovat laskettavissa graafiteoreorian sisältämien matemaattisten menetelmien avulla Graafiteoreettinen notaatio ja sanasto sekä sen sisältämä matematiikka tarjoavat mahdollisuuden erilaisten graafeja koskevien teoreemien todistamiseen, ja siten myös sosiaalisia rakenteita koskevat väitteet ovat todistettavissa (Wasserman & Faust 1994, 93.) Graafiteoria tarjoaa mahdollisuuden sosiaalisen verkoston mallintamiseen Graafi on esitys tarkasteltavasta verkosta Reaalimaailman toimijat esitetään graafissa solmuina / (kärki)pisteinä (a node, nodes / a vertex, vertices) ja niiden väliset yhteydet solmuja yhdistävinä kaarina (an edge, edges) tai nuolina (an arc, arcs)
6 Historiaa graafeista ja niiden käytöstä SNA:ssa 6 Jacob Levy Moreno esitteli 1930-luvulla sosiogrammin (sociogram), joka on edelleen pohjana graafiteoreettisessa SNA:ssa ja verkostojen visualisoinnissa Graafiteoria on ollut voimakkaasti käytössä Antropologiassa Kommunikaatiotutkimuksissa Elinkeino- ja liiketaloustutkimuksissa Organisaatiotutkimuksissa Maantieteissä (Wasserman & Faust 1994, 94.) Piiriteoriassa ja -analyysissa Kaikissa em. tieteen- ja tutkimuksenaloilla on aina jollain tapaa ja jollain asteella mukana ihmisten muodostama sosiaalinen verkosto, jota graafiteoreettisin menetelmin on hyvä lähestyä ja analysoida
7 Graafit 7 Seuraavassa esitellään suuntaamaton (undirected) ja kaksiarvoinen (dichotomous) graafi verkoston mallina Suuntaamattomassa graafissa verkoston toimijoiden väliset yhteydet ovat aina kaksisuuntaisia Kaksiarvoisessa graafissa yhteyksien voimakkuutta ei oteta huomioon vaan ainoastaan yhteyden olemassaoloon otetaan kantaa, ts. yhteys joko on olemassa tai ei ole
8 Suuntaamaton graafi 8 Suuntaamaton graafi G Toimijoita kuvaava solmujen joukko N koostuu kahdesta joukosta: Yhteyksiä kuvaava kaarien (viivojen) joukko L = {n 1,n 2,,n g } (a set of nodes) = {l 1,l 2,,l L } (a set of lines) Graafissa G (N, L ) on siis yhteensä g solmua ja solmuja yhdistäviä kaaria yhteensä L kappaletta Suuntaamattomassa graafissa jokainen kaari on kahden erillisen solmun n i ja n j ei-järjestetty pari, ts. kaari l k = (n i,n j ) = (n j,n i ) Kaarta, jonka alku- ja päätepisteenä on yksi ja sama solmu n i, sanotaan silmukaksi (a loop) tai sisä-/refleksiivisidokseksi (a reflexive tie) Silmukoita ei useinkaan käytetä sosiogrammeissa Sosiogrammit yksinkertaisia (simple) graafeja Arvotetuilla/painotetuilla (valued, weighted) graafeilla silmukoita voidaan hyödyntää kuvaamaan itseisiä toimintoja ja niiden määriä Voidaan merkitä graafiin kaaren sijasta solmun kokoa muuttaen
9 Perusmääritelmiä 9 Kaksi solmua n i ja n j ovat vierekkäiset (adjacent), jos kaari l k =(n i,n j ) on joukossa L ts. l k = (n i,n j ) L Solmu n i on liittynyt (incident) kaareen l k, jos se on toinen solmuista, jotka muodostavat kaaren l k määrittelevän järjestämättömän parin l k =(n i,n j ) Graafia, jossa on vain yksi solmu, sanotaan triviaaliksi (trivial) Tyhjässä (empty) graafissa ei ole yhtään kaarta solmujen välissä, ts. G (N, L ): N ={n 1,n 2,,n g }, L =Ø
10 Aligraafit 10 Graafi G s (N s, L s ) on graafin G (N, L ) aligraafi (subgraph), jos N, L s L N s Graafin G (N, L ) solmugeneroitu aligraafi (node-generated subgraph) on graafi G s (N s, L s ) se., kaarijoukko L s sisältää kaikki ne kaarijoukon L kaaret, jotka yhdistävät solmuja joukossa N s Graafin G (N, L ) viivageneroitu aligraafi (line-generated subgraph) on graafi G s (N s, L s ) se., solmujoukko N s sisältää kaikki ne solmujoukon N solmut, jotka ovat liittyneitä joukon L s kaariin
11 Aligraafit 11 Graafi G (N, L ) Viivageneroitu aligraafi G s1 (N s1, L s1 ) Solmugeneroitu aligraafi G s2 (N s2, L s2 )
12 Dyadit ja triadit 12 Dyadi (a dyad, dyads) on solmugeneroitu aligraafi, joka koostuu solmuparista ja mahdollisesta solmuja yhdistävästä kaaresta Triadi (a triad, triads) on myöskin solmugeneroitu aligraafi, jossa Solmuja on kolme Solmuja yhdistäviä kaaria voi olla 0 3 kappaletta 0 kaarta 1 kaari 2 kaarta 3 kaarta
13 Solmun aste 13 Suuntaamattomassa graafissa solmun aste (degree) d(n i ) kertoo solmuun n i liittyneiden kaarien lukumäärän Kun graafissa G on g solmua, kullakin solmulla on aste, joka voi olla Minimissään 0, jolloin solmuun n i ei ole liittynyt yhtään kaarta Maksimissaan g-1, jolloin kaikki muut graafin solmut ovat liittyneet suoraan erillisillä kaarilla solmuun n i Graafin G, jossa on g solmua ja L kaarta, solmujen asteiden keskiaste (mean degree) määritellään g i= 1 d( ni ) 2L d = = g g Edelleen astelukujen varianssi (variance of degrees) S ( d( ni ) d g g 2 2 i= 1 ) D =
14 Säännöllisyys 14 Graafi on säännöllinen (regular), kun sen jokaisen solmun aste on yhtä suuri, ts. d(n i ) = d, i {1, 2,, L}, d {0, 1,, g}, g {0, Z + }, L {0, 1,, g(g-1)/2} Tällaisen d-säännöllisen (d-regular) graafin astelukujen varianssi S 2 D = 0 5-säännöllinen graafi (K 6 -graafi)
15 Graafin tiheys 15 Graafin G (N, L ) tiheys (density) on graafin kaarien osuus graafin kaikista mahdollisista kaarista Yksinkertaisessa (ei silmukoita, eikä rinnakkaisia (parallel) kaaria) graafissa, jossa on g solmua, on kaaria maksimissaan g = 2 g ( g 1) 2 Jos graafissa G (N, L ) on L kaarta, saadaan graafin tiheydelle määritelmä Δ = L 2L = g( g 1) / 2 g( g 1) Tiheys voi olla Minimissään 0, jos graafissa ei ole lainkaan kaaria (L = 0) Maksimissaan 1, jos graafi on täydellinen (complete) eli graafin kaikki mahdolliset kaaret ovat edustettuina (L = g(g-1)/2) Täydellistä graafia, jossa on g solmua, merkitään K g
16 Graafin tiheys 16 Suuntaamattomassa g solmun graafissa kaikkien solmujen asteiden summa on 2L, mikä antaa keskiasteeksi 2L/g Täten tiheys voidaan kirjoittaa muodossa 2L d Δ = = g( g 1) ( g 1) Tiheyden määritelmä pätee myös aligraafeille G s (N s, L s ) 2Ls Δ = g ( g 1) s s
17 Kulku, reitti ja polku 17 Kulku (a walk, walks) on graafin G (N, L ) solmujen ja kaarien äärellinen jakso W = n i0, l j0, n i1, l j1,, l jk, n ik Kulku alkaa aina solmusta ja päättyy solmuun Mikäli kulun alkusolmu n i0 ja loppusolmu n ik ovat yksi ja sama solmu n, on kulku suljettu (closed) Kulku voi sisältää saman kaaren ja solmun useammin kuin kerran jaksossa Kulun pituus (length) on kulun sisältämien kaarien lukumäärä Jos jokin kaari on kulussa useampaan kertaan lasketaan ne erillisinä kaarina kulun pituuteen Kulun vastakulku W -1 on itse kulku käänteisessä järjestyksessä Reitti (a trail, trails) on kulku, jossa kukin kaari esiintyy vain kerran Polku (a path, paths) on kulku, jossa kukin solmu ja kaari esiintyy vain kerran
18 Piiri ja kierto 18 Piiri (a cycle, cycles) on suljettu kulku, jossa On vähintään kolme solmua, joista kaikki muut solmut paitsi alku- ja loppusolmu ovat erillisiä Kulun sisältämät kaaret ovat erillisiä Hamiltonin (Hamiltonian) piirin kulkuun sisältyy graafin jokainen kaari ja solmu ainoastaan kerran (pl. alku- ja loppusolmu, joka on yksi ja sama solmu) Kierto (a tour, tours) on suljettu kulku, jossa jokainen graafin kaari on kuljettu vähintään kerran
19 Yhtenäiset graafit ja graafin komponentit 19 Graafi on yhtenäinen (connected), jos sen jokaisen solmuparin välillä on polku Yhtenäisessä graafissa jokainen solmu on saavutettavissa (reachable) toisesta solmusta Jos graafi ei ole yhtenäinen, se on epäyhtenäinen (disconnected) Epäyhtenäisen graafin maksimaalisia yhtenäisiä aligraafeja sanotaan graafin komponenteiksi (a component, components) Yhtenäinen graafi Epäyhtenäinen graafi (Kaksi komponenttia)
20 Geodeesi, etäisyys, halkaisija ja eksentrisyys 20 Geodeesi (a geodesic, geodesics) on lyhin polku graafin kahden solmun välillä Geodeettinen etäisyys (geodesic distance), yksinkertaisemmin etäisyys (distance), kahden solmun välillä määritellään solmujen geodeesin pituutena Etäisyyttä solmujen n i ja n j välillä merkitään d(i,j) Solmujen n i ja n j välinen etäisyys on minkä tahansa geodeesin pituus ko. solmujen välillä Mikäli solmuparin välillä ei ole polkua, on ko. solmujen välinen etäisyys ääretön (tai määrittämätön) Suuntaamattomilla graafeilla d(i,j) = d(j,i) Graafin halkaisija (diameter) on yhtä suuri kuin graafin minkä tahansa solmuparin suurin geodeettinen etäisyys Solmun n i eksentrisyys (eccentricity) eli epäkeskisyys (myös ns. suhdeluku (association number)) on suurin geodeettinen etäisyys solmun n i ja minkä tahansa graafin muun solmun n j kanssa
21 Irrotuspiste ja silta 21 Graafin solmu n i on irrotuspiste (a cutpoint, cutpoints), jos graafissa, joka sisältää n i :n, on vähemmän komponentteja, kuin graafissa, josta n i ja siihen liittyneet kaaret on poistettu n i Graafin kaari l i on silta (a bridge, bridges), jos graafissa, joka sisältää l i :n, on vähemmän komponentteja, kuin graafissa, josta kaari l i on poistettu l i
22 Graafien yhtenäisyydestä 22 Graafin G piste- tai solmuyhtenäisyys (point-/node-connectivity) κ (G ) on pienin luku κ, jolla graafissa on κ-pisteirrotus κ -pisteirrotuksella tarkoitetaan pienintä graafin G solmujen lukumäärää, mikä tulisi poistaa graafista, jotta saataisiin epäyhtenäinen graafi tai triviaali graafi Jos graafi on valmiiksi epäyhtenäinen κ = 0 Jos graafissa on irrotuspiste n i, niin κ = 1 Jos graafista pitää poistaa n solmua, jotta graafi olisi epäyhtenäinen, niin κ = n Jos graafi on täydellinen K g -graafi, niin κ = g-1 Mille tahansa luvulle k < κ graafin sanotaan olevan k-solmuyhtenäinen (k-node connected) Graafin G viiva- tai kaariyhtenäisyys (line-/edge-connectivity) λ (G ) on pienin luku λ, jolla graafissa on λ-viivairrotus λ-viivairrotuksella tarkoitetaan pienintä graafin G kaarien lukumäärää, mikä tulisi poistaa graafista, jotta saataisiin epäyhtenäinen graafi tai triviaali graafi Jos graafi on valmiiksi epäyhtenäinen λ = 0 Jos graafissa on silta l i, niin λ = 1 Jos graafista pitää poistaa m kaarta, jotta graafi olisi epäyhtenäinen, niin λ = m Jos graafi on täydellinen K g -graafi, niin λ = g-1 Mille tahansa luvulle l < λ graafin sanotaan olevan l-viivayhtenäinen (l-line connected)
23 Isomorfiset graafit 23 Kaksi graafia G ja G * ovat isomorfisia (isomorphic), jos on olemassa yksi yhteen kuvaus G :n solmuilta G *:n solmuille se., solmujen vierekkäisyydet säilyvät Yksi yhteen kuvauksella tarkoitetaan, että jokainen G :n solmu kuvautuu yhteen (ja vain yhteen) G *:n solmuun ja päinvastoin Toisin sanoen, jos graafien G (N, L ) ja G *(N *, L *) solmujoukkojen välillä on yksi yhteen kuvaus ɸ, niin tällöin ɸ (n i ) = n k *, ja sen käänteiskuvaus ɸ -1 toteuttaa ehdon ɸ -1 (n k *) = n i Formaalisti graafit ovat isomorfisia, jos n i, n j N, n k *, n l * N * ɸ (n i ) = n k *, ɸ (n j ) = n l * : l m = (n i, n j ) L l 0 = (n k *, n l *) L *
24 Erityiset graafit: komplementti, puu ja kaksijakoinen graafi 24 Graafin G, jossa on g solmua, komplementissa (complement) G on sama solmujoukko kuin G :ssä, mutta sen kaarijoukkoon kuuluvat ainoastaan ne kaaret, jotka eivät esiinny G :ssä, mutta esiintyisivät täydellisessä K g -graafissa Puu (a tree, trees) on asyklinen (acyclic) eli piiritön yhtenäinen graafi Piiritön epäyhtenäinen graafi on metsä (a forest, forests) Kaksijakoisessa graafissa solmujoukko N voidaan jakaa kahteen alisolmujoukkoon N 1 ja N 2 se., jokainen joukon L kaari lk on järjestetty pari se., l k = (n i,n j ), n i N 1, n j N 2 Täydellistä kaksijakoista graafia, jonka solmujoukossa N 1 on yhteensä g 1 solmua ja solmujoukossa N 2 yhteensä g 2 solmua, merkitään K g1,g2
25 Graafit visualisoinnin työkaluina 25 Monet matematiikkaohjelmistot tarjoavat hyvät mahdollisuudet erilaisten kuvaajien ja graafienkin piirtämiseen Matlab -ohjelmistolla voidaan suorittaa tehokkaasti graafiteoreettisiin matriiseihin perustuvaa laskentaa Maple -ohjelmistossa on itsessään kattava graafiteoriapaketti (GraphTheory) Petersenin graafi Maple -ohjelmistolla piirrettynä Pajek -ohjelmisto on puhtaasti SNA -työkalu, joka tarjoaa mm. monipuoliset visualisointimahdollisuudet erilaisin graafinladonta-algoritmein Esimerkkinä sosiaalisen verkkoyhteisön evoluution visualisointi Pajek -ohjelmistolla OPAALS 2008 Community Evolution Visualization (Miilumäki 2008)
26 Lähteet 26 Johansson, J-E., Mattila, M. & Uusikylä, P Johdatus verkostoanalyysiin. Helsinki: Kuluttajatutkimuskeskus. (Viitattu ) Miilumäki, T OPAALS 2008 Community Evolution Visualization. (Viitattu ) Ruohonen, K Graafiteoria. Tampere: Tampereen teknillisen yliopiston opetusmoniste no. 5, uusi sarja. Wasserman, S. & Faust, K Social Network Analysis: Methods and Applications. New York: Cambridge University Press,
Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia. Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus
Verkostoanalyysi 2011, TTY 1 Verkostoanalyysin peruskäsitteitä ja visualisointia Graafit ja matriisit, keskeisyys ja arvostus Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio
Lisätiedot0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.
Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on
LisätiedotSocial Network Analysis Centrality And Prestige
Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Social Network Analysis Centrality And Prestige Sosiaalisten verkostojen analyysi Keskeisyys ja arvostus 6.2.2009 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi
LisätiedotSuunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla
Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
LisätiedotKysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
LisätiedotJäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä
Jäsenyysverkostot Kytkökset ja limittyneet aliryhmät sosiaalisten verkostojen analyysissä Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 20.3.2009 Jaakko Salonen TTY / Hypermedialaboratorio jaakko.salonen@tut.fi
Lisätiedot6.4. Järjestyssuhteet
6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu
LisätiedotSosiaalisten verkostojen datan notaatio. Notation for Social Network Data
Sosiaalisten verkostojen datan notaatio Notation for Social Network Data Jari Jussila 14.11.2008 2 Notaatio Notaatiota tarvitaan / auttaa kuvaamaan: toimijat tai toimijoiden muodostamat joukot, toimijoiden
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
LisätiedotRakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys
1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 20.2.2009 Seppo Pohjolainen 2 Rakenteellinen tasapaino Käsitteitä: Arvotettu graafi (signed graph) (+ tai - ) Suuntaamaton
LisätiedotLuku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
LisätiedotDiskreetit rakenteet
Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 20.3.18 Netspace Kurssin sijainti muussa suunnitellussa kokonaisuudessa Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot, verkon
LisätiedotGraafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
LisätiedotGraafiteoria matematiikkaako?
Koostanut: Elina Viro, Juho Lauri Opettajalle Graafiteoria matematiikkaako? Kohderyhmä: 7.-9.-luokkalaiset Esitiedot: - Taustalla oleva matematiikka: Graafiteoria, looginen ajattelu Ajankäyttö: Varsinainen
LisätiedotCentrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus
1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Centrality and Prestige Keskeisyys ja arvostus 21.1.2009 Jari Jussila jari.j.jussila@tut.fi 2 Tärkeys Yksi graafiteorian pääkäyttökohteista sosiaalisten verkostojen
LisätiedotJäsenyysverkostot ominaisuudet, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen analyysi. Sisältö ja tavoitteet. Osallistujien ja tapahtumien ominaisuudet
Jäsenyysverkostot, toimijoiden ja tapahtumien samanaikainen anal Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 3.4.2009 Antti Syvänen TaY / antti.syvanen@uta.fi 1 Sisältö ja tavoitteet Esitellään jäsenyysverkostojen,
LisätiedotPuiden karakterisointi
Puiden karakterisointi LuK-tutkielma Airta Ella 2502661 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Johdatus verkkoteoriaan 3 1.1 Verkko käsitteenä.........................
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
LisätiedotKoheesiiviset alaryhmät
1 Koheesiiviset alaryhmät Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 11. luento - 6.3.2009 Joonas Meriläinen TTY / Hypermedialaboratorio http://eclectic.ss.uci.edu/~drwhite/cases/transparencies/clique.gif
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
Lisätiedot8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).
LisätiedotPertti Koivisto ja Riitta Niemistö. Graafiteoriaa
Pertti Koivisto ja Riitta Niemistö Graafiteoriaa TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 60/2018 TAMPERE 2018 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 60/2018 TAMMIKUU
LisätiedotKönigsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
LisätiedotPARITUS KAKSIJAKOISESSA
PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi
LisätiedotLiite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa
LisätiedotSosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä
Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät - historiallisia ja teoreettisia perusteita sekä peruskäsitteitä Stanley Wasserman and Katherine Faust: Social Network Analysis, Methods and Applications Sosiaalisten
LisätiedotGraafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005
Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla
Lisätiedotb) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
LisätiedotHypermedian jatko-opintoseminaari. MATHM-6750x. 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät
1 Hypermedian jatko-opintoseminaari MATHM-6750x 2-6 op. Sosiaalisten verkostojen tutkimusmenetelmät 26.10.2008 Modernissa yhteiskunnassa ovat sekä yhteisöjen että laitteistojen muodostamat verkostot muodostuneet
LisätiedotGRAAFITEORIAA. Pertti Koivisto Riitta Niemistö
GRAAFITEORIAA Pertti Koivisto Riitta Niemistö Esipuhe Tämän monisteen tarkoituksena on tutustuttaa lukija graafiteorian peruskäsitteisiin ja -tuloksiin. Vaikka algoritminen graafiteoria on tietokoneiden
LisätiedotHypermedian jatko-opintoseminaari
Matematiika laitos & Hypermedialaboratorio Thumas Miilumäki SNA Matriisit verkostoje mallitamisessa 9..29 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Hypermedia jatko-opitosemiaari 28 29 Matrices i Social Network
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotJarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti. Diplomityö
Jarno Marttila Datalähtöinen sosiaalisten verkostojen analyysi: tapaus Suomen Lasten Parlamentti Diplomityö Tarkastajat: Prof. Seppo Pohjolainen (TTY) ja tutkija Jukka Huhtamäki (TTY) Tarkastajat ja aihe
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotPisteet ja viivat. Multigraafi
Pisteet ja viivat Josuv on viiva, niin pisteetujav ovat viivanuv päätepisteet (endpoints) ja u jav ovat vierekkäisiä eli vieruspisteitä (neighbours, adjacent points). Piste on irtopiste (isolated point)
LisätiedotVERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013
VERKKOTEORIAN ALKEITA Martti E. Pesonen 28.2.2013 1 Sisältö 1 VERKOISTA 1 1.1 Mitä matemaattiset verkot ovat?................ 1 1.1.1 Verkkoteorian synty.................... 1 1.2 Suuntaamaton verkko.......................
Lisätiedot9. Graafit. 9.1. Graafin abstrakti tietotyyppi
9. Graafit Graafeilla eli verkoilla esitetään yhteystietoja. Esimerkkejä niistä ovat kaupunkikartan kadut ja tietoverkon tietokoneet. Tämä luku tarkastelee verkkojen perusasioita. 9.1. Graafin abstrakti
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut
Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
Lisätiedotkeskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a
Lisätiedot14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 14. Luennon sisältö Kuljetustehtävä esimerkki Verkkoteoria ja optimointi verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti
LisätiedotVoidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille?
Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille? Tuotetun oppimateriaalin analysointia aiheesta painotetut verkot Pro gradu -tutkielma Mika Koponen Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 1.
Lisätiedot13 Lyhimmät painotetut polut
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
LisätiedotKuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä.
POHDIN projekti TIEVERKKO Tieverkon etäisyyksien minimointi ja esimerkiksi maakaapeleiden kokonaismäärän minimointi sekä ylipäätään äärellisen pistejoukon yhdistäminen reitityksillä toisiinsa niin, että
LisätiedotRatkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl.
iskreetti matematiikka, syksy 00 arjoitus, ratkaisuista. seta 8 nollaa ja 8 ykköstä renkaaksi niin, että jokainen yhdistelmä 0000, 000,..., esiintyy täsmälleen kerran. Vihje: Tulkitse de ruijnin jonon
LisätiedotGRAAFITEORIA. Keijo Ruohonen
GRAAFITEORIA Keijo Ruohonen 2013 Sisältö 1 I MÄÄRITELMIÄ JA PERUSTULOKSIA 1 1.1 Määritelmiä 5 1.2 Kulku. Reitti. Polku. Piiri. Yhtenäisyys. Komponentti 10 1.3 Graafien operaatioita 14 1.4 Irrotus 17 1.5
LisätiedotTotaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista
8. Verkkomallit Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista (P. D. Seymour, Journal of Combinatorial Theory (B),
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
LisätiedotInduktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT GRAAFITEHTÄVIÄ JA -ALGORITMEJA Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) GRAAFIN LÄPIKÄYMINEN Perusta useimmille
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
LisätiedotT : Max-flow / min-cut -ongelmat
T-61.152: -ongelmat 4.3.2008 Sisältö 1 Määritelmät Esimerkki 2 Max-flow Graafin leikkaus Min-cut Max-flow:n ja min-cut:n yhteys 3 Perusajatus Pseudokoodi Tarkastelu 4 T-61.152: -ongelmat Virtausverkko
LisätiedotKeskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä
Keskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä Verkostoanalyysi 2011 TTY Jarno Marttila Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio TUT / HLAB 1 Sisällys Graafien piirtämisestä Ladonnasta
LisätiedotEulerin verkkojen karakterisointi
Eulerin verkkojen karakterisointi Pro Gradu -tutkielma Jenni Heikkilä 373175 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 018 Sisältö Johdanto 1 Verkkojen peruskäsitteet 3 1.1 Verkon määrittely.........................
LisätiedotGraafin virittävä puu 1 / 20
Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ma 26.2.2018 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks may
Lisätiedot10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
LisätiedotEräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.
5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,
Lisätiedotv 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotSilmukkaoptimoinnista
sta TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale
LisätiedotTietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137
Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit. Verkot. Ari Korhonen
Tietorakenteet ja algoritmit Verkot Ari Korhonen 1 10. VERKOT ( graphs ) 10.1 Yleistä 10.2 Terminologiaa 10.3 Verkon esittäminen 10.4 Verkon läpikäyntialgoritmit (graph traversal) 10.5 Painotetut verkot
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
LisätiedotTaulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot
T-79.5101 kevät 2006 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a, Q b c d Lauseen X( UQ) sulkeuma: CL ( X( UQ) ) = { X( UQ), X( UQ), UQ, X ( UQ), ( UQ),, Q, X ( UQ),, } Muodostetaan
Lisätiedot7.4. Eulerin graafit 1 / 22
7.4. Eulerin graafit 1 / 22 Viivojen läpikäynti Graafin pisteiden/viivojen läpikäyminen esiintyy usein sovelluksissa: Etsintäalgoritmit, reititykset Läpikäyminen tehdään nopeimmin, kun yhtäkään viivaa/pistettä
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
LisätiedotOikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen.
Tietorakenteet, kevät 2012 Kurssikoe 2, mallivastaukset 2. (a) Järjestämistä ei voi missään tilanteessa suorittaa nopeammin kuin ajassa Θ(n log n), missä n on järjestettävän taulukon pituus. Epätosi: Yleisessä
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotKatsaus visualisointitekniikoihin
Katsaus visualisointitekniikoihin Pohjautuen artikkeliin: Heer, J., Bostock, M., & Ogievetsky, V. 2010. A Tour through the Visualization Zoo. ACM Queue 8, 5. Saatavissa: http://queue.acm.org/detail.cfm?id=1805128
LisätiedotLuentorunko Kevät Matti Peltola.
GRAAFITEORIA 031029S Luentorunko Kevät 2009 Matti Peltola http://www.ee.oulu./mpa/graate.htm Hyödyllistä tietoa Matematiikan jaoksen tuottamasta opetuksesta löytyy osoitteesta http://s-mat-pcs.oulu./opetus
LisätiedotSuuntaamattomia verkkoja lukiossa itsetuotetun oppimateriaalin analysointia
Suuntaamattomia verkkoja lukiossa itsetuotetun oppimateriaalin analysointia Pro gradu -tutkielma Jussi Kotilainen 165258 Itä-Suomen yliopisto 14. toukokuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Verkkoteoriasta
LisätiedotDatatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
Lisätiedotj(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
LisätiedotSosiaalisten verkostojen data
Sosiaalisten verkostojen data Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 2. luento - 17.10.2008 Antti Kortemaa, TTY/Hlab Wasserman, S. & Faust, K.: Social Network Analysis. Methods and Applications. 1 Mitä
LisätiedotTIE Tietorakenteet ja algoritmit 261
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 261 12 Graafit Seuraavaksi tutustutaan tietorakenteeseen, jonka muodostavat pisteet ja niiden välille muodostetut yhteydet graafiin. Keskitymme myös tyypillisimpiin
LisätiedotEloisuusanalyysi. TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2009 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. Eloisuusanalyysi.
TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe E tiistai 1.12. klo 10 koodigenerointi (ilman rekisteriallokaatiota)
LisätiedotLuento 9: Permutaatiot ja symmetriat 1 MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet, syksy 2014 Harri Varpanen Aalto-yliopisto Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Keskiviikko 8.10.2014 Ryhmän toiminta
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks
Lisätiedot10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 10.4.18 Netspace Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot, verkon duaali, verkon upottaminen, verkon genus, verkon komplementti,
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotDepartment of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea.
Arvostus Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 8..0 in idea on määrittää verkoston solmuille arvostusta kuvaavat tunnusluvut. Voidaan ajatella
Lisätiedot