MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

Transkriptio

1 MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 12. maaliskuuta 2015 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta I / 31 1 Joukko-oppi ja logiikka Iduktioperiaate 2 Relaatiot ja fuktiot Fuktiot Iso-O 3 Kombiatoriikka ym. Summa-, tulo ja lokeroperiaate G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta I / 31

2 Joukot Joukko-opissa peruskäsite o eli x A ku alkio x kuuluu joukkoo A ja x / A ku alkio x ei kuulu joukkoo A. Merkitätapoja: A = {2, 4, 5, 8} o joukko joka alkiot ovat 2, 4, 5 ja 8 ja B = {4, 5, } o joukko, joka alkiot ovat kaikki kokoaisluvut j joille pätee 4 j Usei merkitää A = { x B : P(x) } tai A = { x : x B, P(x) } jolloi A: alkiot ovat e jouko B alkiot joille väite P(x) o tosi. Tyhjä joukko: = {} o tyhjä joukko joho ei kuulu yhtää alkiota, eli x o aia epätosi. A = B jos pätee, että x A jos ja vai jos x B, eli esimerkiksi {1, 2, 2, 3} = {3, 2, 1}. Ei-egatiiviset kokoaisluvut joukkoia: Jos o luku 0 ii { } o luku 1, {, { }} o luku 2, {, { }, {, { }}} o luku 3 je. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta I / 31 Joukko-opi perusmerkitöjä Yhdiste tai uioi: x A B jos ja vai jos x A tai x B. A Leikkaus: x A B jos ja vai jos x A ja x B. B A B Joukkoerotus: x A \ B jos ja vai jos x A mutta x / B. A B Osajoukko: A B jos jokaie A: alkio o myös B: alkio. B A Potessijoukko: P(A) o jouko kaikkie osajoukkoje muodostama joukko. Yhtäläisyys: A = B jos A B ja B A. Komplemetti: A c = Ω \ A jos A Ω ja o selvää mikä Ω o. A Yhdiste tai uioi: x j J A j jos ja vai jos x A j jollaki j J. Leikkaus: x j J A j jos ja vai jos x A j kaikilla j J. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta I / 31

3 Huom! Usei kirjoitetaa A B: sijasta A B ja silloi kirjoitetaa A B ku A o B: aito osajoukko, eli A B mutta A B. Stadardimerkitöjä N 0 = {0, 1, 2, 3,...} o luoolliste lukuje (missä 0 o mukaa) joukko. Merkiällä N tarkoitetaa joskus N 0 ja joskus {1, 2, 3,...} = N 0 \ {0}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} o kokoaislukuje joukko. Q = { p q : p, q Z, q 0 } o ratioaalilukuje joukko. R o reaalilukuje joukko. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta I / 31 Propositiologiikka eli lausekalkyyli Jos a ovat b lauseita tai väitteitä, jotka voivat olla tosia tai epätosia mutta ei mitää siltä väliltä ii Lause a AND b o tosi ku a o tosi ja b o tosi Lause a OR b o tosi ku a o tosi tai b o tosi (ja myös ku molemmat ovat tosia). Lause NOT a o tosi ku a ei ole tosi eli a o epätosi. Lause a b o tosi ku (NOT a) OR b o tosi, eli ku b o tosi tai a o epätosi. Lause a b ku (a b) AND (b a) o tosi. Matemaattisessa logiikassa käytetää yleisesti AND: sijasta, OR: sijasta ja NOT: sijasta. Implikaatio Logiika lause a b ei täysi vastaa jokapäiväise kielekäytö jos a ii b koska se o tosi ku a o epätosi eikä sillä välttämättä ole mitää tekemistä syy-seuraus suhtee kassa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta I / 31

4 Predikaattilogiikka Lause x P(x) o tosi ku P(x) o tosi kaikilla x. Lause x P(x) o tosi ku o olemassa x site, että P(x) o tosi. Predikaattilogiikka o lausekalkyyli laajeus, jossa operaatiode eli koektiivie (NOT, AND, OR, ja ) lisäksi käytetää uiversaali- ja eksistessi kvattorit ( kaikilla ) ja ( o olemassa ), ja lauseide lisäksi käytetää muuttujia x, y,... ja predikaatteja P, Q,.... Predikaateilla o äärellie määrä argumetteja, esim. P(x), Q(x, y), je., ja predikaatti joide argumettie lukumäärä o 0 o lause. Predikaattie lisäksi voidaa käyttää fuktioita joide arvot kuuluvat samaa käsiteltävää aihepiirii ( domai of discourse ) kui muuttujat. Fuktio, jolla ei ole muuttuja o vakio. Fukiot ja vakiot voidaa esittää predikaattie avulla, mutta se o usei kömpelö vaihtoehto. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta I / 31 Prioriteettijärjestys Jos ei käytetä sulkuja, joilla tieteki o korkei prioriteetti, ii loogiset koektiivit evaluoidaa tavallisesti seuraavassa järjestyksessä: Esi NOT, sitte ja, sitte AND ja OR ja lopuksi ja. x A ja x A Lauseet x A (P(x)) ja x A (P(x)) ovat lyheteitä lauseista x (x A P(x)), x (x A AND P(x)), ja tarkoittavat (tieteki) että kaikilla A: alkiolla x pätee P(x) ja o olemassa A: alkio x jolla P(x) pätee. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta I / 31

5 Negaatio NOT, koektiivit AND ja OR sekä kvattorit ja Kaikilla lauseilla a ja b pätee NOT (a AND b) (NOT a) OR (NOT b), NOT (a OR b) (NOT a) AND (NOT b), eli esimerkiksi NOT (a AND b) o tosi täsmällee silloi ku NOT a OR NOT b o tosi ja lause NOT (a AND b) NOT a OR NOT b o tautologia koska se o tosi riippumatta a: ja b: totuusarvoista. Samoi kaikilla predikaateilla P pätee NOT ( x(p(x))) x(not P(x)), NOT ( x(p(x))) x(not P(x)). Epäsuora todistus Lause a b o tosi jos ja vai jos lause NOT b NOT a o tosi ja epäsuorassa todistuksessa tehdää vastaoletus, että NOT b o tosi eli että b ei ole tosi ja todistetaa, että NOT a o tosi ja tämä formuloidaa tavallisesti site, että johdetaa tulos joka o ristiriidassa a: kassa. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta I / 31 Iduktioperiaate Jos P() o väite (joka kaikilla 0 o joko tosi tai epätosi) ja P( 0 ) o tosi P(k + 1) o tosi jos P(k) o tosi (eli P(k) P(k + 1) o tosi) ku k 0 ii P() o tosi kaikilla 0. Joskus o tarpee ottaa iduktio-oletukseksi väite, että P(j) o tosi ku 0 j k se sijaa että pelkästää oletetaa, että P(k) o tosi. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

6 Karteesie tulo Kahde jouko X ja Y karteesie tulo X Y o joukko joho kuuluvat kaikki järjestetyt parit (a, b) tai [a, b] missä a X ja b Y, eli X Y = { [a, b] : a X ja b Y }. O mota tapaa määritellä järjestettyä paria [a, b] ja usei käytetty tapa o saoa, että [a, b] o joukko {{a}, {a, b}}. Relaatiot Relaatio joukosta X joukkoo Y (tai relaatio joukossa X jos Y = X ) o karteesise tulo X Y osajoukko. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31 Verkko? Verkko, eli graafi muodostuu joukosta solmuja ja joukosta iide väilisiä kaaria (tai likkejä), esim äi: Suuatussa verkossa jokaisella kaarella o lähtösolmu ja kohdesolmu ku suutaamattomassa verkossa ei tehdä eroa lähtö- ja kohdesolmu välillä. Suuattu verkko o järjestetty pari [V, E] (V = vertex, E = edge ) missä V o joukko (tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä) ja E V V, eli E o relaatio joukossa V. Suutaamato verkko o järjestetty pari [V, E] missä V o joukko (tavallisesti äärellie ja ei-tyhjä) ja E { {a, b} : a V, b V }. Suutaamato verkko voidaa myös ajatella oleva suuattu verkko missä relaatio E o symmetrie, eli [a, b] E [b, a] E. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

7 Erilaisia relaatioita joukossa X Relaatio W joukossa X o refleksiivie jos [x, x] W kaikilla x X. symmetrie jos [x, y] W [y, x] W kaikilla x ja y X. trasitiivie jos [x, y] W AND [y, z] W [x, z] W kaikilla x, y ja z X. atisymmetrie jos [x, y] W AND x y [y, x] / W eli [x, y] W AND [y, x] W x = y kaikilla x ja y X. asymmetrie jos [x, y] W [y, x] / W kaikilla x ja y X. totaalie tai täydellie jos [x, y] W OR [y, x] W kaikilla x ja y X. ekvivalessirelaatio jos W o refleksiivie, symmetrie ja trasitiivie. osittaisjäjestys jos W refleksiivie, atisymmetrie ja trasitiivie. Usei kirjoitetaa [x, y] W : sijasta xwy esim. x y eikä [x, y]. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31 Ekvivalessiluokat Jos X o ei-tyhjä joukko ja o ekvivalessirelaatio joukossa X, eli o refleksiivie, symmetrie ja trasitiivie, ii se jakaa jouko X osajoukkoihi Y j, j J joita kutsutaa ekvivalessiluokiksi site, että j J Y j = X, Y j Y k = jos j k, a b a ja b kuuluvat samaa joukkoo Y j. Usei ajatellaa, että kaksi alkiota jotka ovat ekvivalettia, eli iide muodostama pari kuuluu relaatioo, ovatki samat jolloi jouko X sijasta tarkastellaa joukkoa { Y j : j J }, joka alkiot ovat ekvivalessiluokat. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

8 Fuktiot Jos X ja Y ovat joukkoja ii fuktio f : X Y o relaatio joukosta X joukkoo Y eli X Y : osajoukko site, että jokaisella x X o olemassa y Y site, että [x, y] f. jos [x, y 1 ] f ja [x, y 2 ] f ii y 1 = y 2. Tavallisesti fuktio esitetää site, että [x, y] f jos ja vai jos y = f (x) (vaikka xf tms. voisi olla parempi merkitätapa jos luetaa vasemmalta oikealle). Toisi saoe, fuktio f joukosta X joukkoo Y o säätö, joka jokaisella x X ataa vastaukseksi yksikäsitteise alkio y = f (x) joukosta Y. Jos f : X Y o fuktio ii X o se määrittely- eli lähtöjoukko ja Y o se maalijoukko. Y X = { f : f o fuktio joukosta X joukkoo Y }. Jos f : X Y o fuktio ja A X ii f A : A Y o fuktio f rajoitettua joukkoo A eli relaatioa f A = { [x, y] : [x, y] f, x A }. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31 Aoyymit fuktiot Voidaa puhua esim. luvusta 2 ilma sekaatumise vaaraa, mutta jos puhutaa lausekkeesta x + 3 ei ole välttämättä selvää tarkoitetaako fuktiota, joka ataa tulokseksi argumettisa joho o lisätty 3 vai tämä fuktio arvo ku argumetti o x. Jos tarkoitetaa fuktiota eikä se arvoa ii voidaa kirjoittaa x x + 3 tai fuctio(x){retur x+3;} tai jotai muuta vastaavaa. Ijektiot, surjektiot ja bijektiot Fuktio f : X Y o ijektio jos f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 kaikilla x 1, x 2 X. surjektio jos kaikilla y Y o olemassa x X site, että f (x) = y. bijektio jos se o sekä ijektio että surjektio. Ekvivaletti määritelmä o, että f : X Y o ijektio jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) kaikilla x 1, x 2 X ja f o surjektio jos arvojoukko f (X ) = { f (x) : x X } o sama kui maalijoukko Y eli f (X ) = Y. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

9 Yhdistetyt fuktiot ja kääteisfuktiot Jos f : X Y ja g : Y Z ovat kaksi fuktiota ii h = g f : X Z o fuktio h(x) = g(f (x)). Jos f : X Y, g : Y Z ja h : Z W ovat fuktioita ii (h g) f = h (g f ) jote tämä fuktio voidaa myös kirjoittaa muodossa h g f. Jos f : X Y sellaie fuktio, että o olemassa fuktio g : Y X site että (g f )(x) = x ja (f g)(y) = y kaikilla x X ja y Y ii f o käätyvä, g o f : kääteisfuktio ja ja useimmite kirjoitetaa g = f 1. Fuktio f : X Y o käätyvä jos ja vai jos se o bijektio. Jos f : X Y o käätyvä ii (f 1 ) 1 = f eli kääteisfuktio o myös käätyvä ja se kääteisfuktio o f. Huomaa,ettei f 1 ole sama fuktio kui h(x) = f (x) 1 joka edyllyttää että Y : (tai aiaki arvojouko) elemeteillä o kääteeisalkioita mikä o esim. tilae joukossa R \ {0} mutta ei joukossa Z. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31 Ordo eli Iso-O: f O(g) Jos g o fuktio, joka o määritelty kaikilla riittävä isoilla kokoaisluvuilla ii f O(g) kertoo että myös f o määritelty kaikilla riittävä isoilla kokoaisluvuilla ja o olemassa vakioita C ja N site, että f () C g(), N. Tämä merkiä käyttö tarkoittaa myös sitä, ettei ole erityise oleellista mitä vakiot C ja N oikeasti ovat tai mite pieiksi iitä voi valita. Usei kirjoitetaa f O(g): sijasta f () = O(g()). Jos O() + O( 2 ) O( 2 ): sijasta kirjoitetaa O() + O( 2 ) = O( 2 ) ii pitää muistaa, ettei tästä seuraa O() = 0! Tässä käsitellää yksikertaisuude vuoksi vai (tietyillä) kokoaisluvuilla märiteltyjä fuktioita ja samoi tarkastellaa aioastaa mitä tapahtuu ku mutta se ei ole mitekää oleellista. Esimerkiksi pätee myös x4 x 3 x 3 +x2 O(x) ku x 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

10 Jouko mahtavuus eli alkioide lukumäärä Kahdella joukolla A ja B o sama lukumäärä alkioita A ja B eli e ovat yhtä mahtavia, jos o olemassa bijektio A B. Joukolla A o vähemmä tai yhtä mota alkiota kui joukolla B, eli A B, jos o olemassa ijektio A B. Joukolla A o vähemmä alkioita kui joukolla B, eli A < B, jos o olemassa ijektio A B mutta ei bijektiota A B. Jos A = {0, 1, 2,..., 1} ii A =. Joukko A o äärellie jos o olemassa kokoaisluku site, että A =. Joukko A o umeroituva jos A = N ja yliumeroituva jos A > N. Huom! Jotta ämä määritelmät olisivat järkeviä pitää osoittaa, että o olemassa bijektio {0, 1, 2,..., 1} {0, 1, 2,..., m 1} jos ja vai jos m = ja jos o olemassa ijektioita A B ja B A ii löytyy myös bijektio A B. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31 Summaperiaate, yksikertaisi muoto Jos A ja B ovat kaksi (äärellistä) joukkoa site, että A B = ii A B = A + B. Tästä seuraa, että jos B A ii A \ B = A B. Tuloperiaate, yksikertaisi muoto Jos A ja B ovat kaksi (äärellistä) joukkoa ii A B = A B. Lokero- eli kyyhkyslakkaperiaate Jos m 1 esiettä laitetaa 1 laatikkoo ii aiaki yhdessä m laatikossa o vähitää esiettä! Miksi? Jos laatikoissa olevie esieide lukumäärie maksimi o k ii k m jote k m ja koska määritelmä mukaa m o piei kokoaisluku joka o m ii k m. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

11 Seulaperiaate eli yleistetty summaperiaate Jos A j, j = 1, 2,... ovat äärellisiä joukkoja ii A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2, A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 k A j = j=1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3, k ( 1) r+1 r. A ji r=1 1 j 1 <j 2 <...<j r k i=1 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31 Tuloperiaate Jos valita- tai päätösprosessissa o k vaihetta ja vaiheessa j o j vaihtoehtoa, riippumatta siitä mitä valitoja tai päätöksiä o aikaisemmissa vaiheissa tehty, ja jos kaikki valiat johtavat erilaisii lopputuloksii, ii kaikkie vaihtoehtoje lukumääräksi tulee k = 24 Toisi saoe, jos C = { (x 1, x 2,..., x k ) : x 1 A 1, x 2 A 2,x1,..., x k A k,x1,...,x k 1 }, missä A 1 = 1, jokaisella x 1 A 1 pätee A 2,x1 = 2 ja yleisesti jos x 1 A 1, x 2 A 2,x1, x 3 A 3,x1,x 2 je., ii pätee A j,x1,x 2,...,x j 1 = j, 1 j k, ii silloi C = k. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

12 Kertoma Jos o positiivie kokoaisluku ii Lisäksi 0! = 1.! = ( 1). Biomikerroi Jos ja k ovat kokoaislukuja site, että 0 k ii ( )! = k k! ( k)! jolloi ( ) ( k = k). Multiomikerroi Jos j 0 ku j = 1, 2,..., m ja = m ii ( )! = 1, 2,..., m 1! 2!... m!. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31 Järjestetty otos A o joukko jossa o alkiota (eli A = ). Jos valitaa k alkiota joukosta A ja muodostetaa iistä joo [x 1, x 2,..., x k ] ja tehdää tämä palauttamatta, eli samaa alkiota ei valita mota kertaa jolloi x i x j ku i j ii saadaa s. k-permutaatio. Näide jooje eli k-permutaatioide lukumäärä o tuloperiaattee ojalla! ( 1)... ( k + 1) = ( k)! Jos valitaa k alkiota joukosta A ja muodostetaa iistä joo [x 1, x 2,..., x k ] ja tehdää tämä palauttae, eli voidaa valita sama alkio mota kertaa jolloi aioa vaatimus o, että x j A ku 1 j k ii tuloperiaattee ojalla äide jooje lukumäärä o A k = k. Huomaa, että molemmissa tapauksissa o oleellista että kyseessä o järjestetty otos eli sillä, missä järjestyksessä alkiot valitaa A:sta, o merkitystä. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

13 Otos palauttamatta ku järjestystä ei oteta huomioo Jos joukosta A, jossa o alkiota, valitaa k alkiota palauttamatta, eli jokaista alkiota voidaa valita korkeitaa kerra, eikä valitajärjestyksellä ole merkitystä ii vaihtoehtoje lukumäärä o ( ) k = ( ). k Miksi? Jos kyseie lukumäärä o b(, k) ii palauttamatta otettuje järjestettyje otoste lukumäärä o b(, k) k! koska k alkiota voidaa järjestää jooksi k! eri tavalla. Näi olle b(, k) k! =! ( k)! jote b(, k) = ( k). G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31 Otos palauttae ku järjestystä ei oteta huomioo Jos joukosta A, jossa o alkiota, valitaa k alkiota palauttae, eli voidaa valita sama alkio mota kertaa, eikä valitajärjestyksellä ole merkitystä ii vaihtoehtoje lukumäärä o ( ) ( ) k + 1 k + 1 =, 1 k Miksi? Olkoo A = {x 1, x 2,..., x }. Ku valitsemme k alkiota, palauttae, joukosta A eikä järjestyksellä ole merkitystä ii voimme esittää tulokse esim. äi: mikä o tulkittava site, että olemme kaksi kertaa valiet x 1 :, kerra x 2 :, ei kertaakaa x 3 :ta, kolme kertaa x 4 :, kaksi kerta x 5 : ja kolme kertaa x 6 : jote tässä = 6 ja k = = 11. Jokaie valita vastaa listaa missä o k alkiota ja 1 erotusmerkkiä, eli pituus o k + 1, ja valitsemme joosta e 1 paikkaa, joihi sijoitamme erotusmerkit jolloi alkiot sijoitetaa jäljelle jäävii paikkoihi. Tämä o otos palauttamatta missä valitajärjestyksellä ei ole merkitystä G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

14 Otos palauttamatta, palauttae, valitajärjestyksellä merkitystä, ei merkitystä: Yhteeveto Valitaa k alkiota joukosta, jossa o alkiota: Valitajärjestyksellä o merkitystä Valitajärjestyksellä ei ole merkitystä palauttamatta palauttae! (( ) k)! k ( ) k + 1 k 1 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31 Allokoitimallit eli vaihtoehtoie ajattelutapa O sijoitettava k palloa :ää umeroituu laatikkoo. Numeroidut pallot Valitajärjestyksellä o merkitystä. Idettiset pallot Valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Jokaisee laatikkoo korkeitaa yksi pallo Valita palauttamatta. Jokaisee laatikkoo mielivaltaie määrä palloja Valita palauttae. Palloje lukumäärä laatikoissa 1 ei rajoituksia! Numeroidut pallot k (( ) k)! ( ) k + 1 Idettiset pallot k 1 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

15 Multiomikertoimet ( )! = 1, 2,..., m 1! 2!... m! = m. ( ) o vaihtoehtoje lukumäärä ku joukko A jaetaa 1, 2,..., m osajoukoiksi A j, j = 1,..., m site, että m j=1 A j = A, A i A j = ku i j, ja A j = j. ( ) o vaihtoehtoje lukumäärärä ku järjestetää 1 1, 2,..., m oliota tyyppiä y 1, 2 tyyppiä y 2 je. missä = m ja samaa tyyppiä olevat oliot ovat idettiset. Jos A o joukko, jossa o alkiota ja B = {y 1,..., y m } o joukko, jossa o m alkiota ja 1, 2,...(, m ovat ei-egatiivisia ) lukuja site, että m = ii o iide fuktioide 1, 2,..., m f : A B lukumäärä joille pätee { x A : f (x) = y j } = j. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31 Biomi- ja multiomikaavat (x + y) = (x x m ) = j=0 ( ) x j y j, j ( m = j 0 1, 2,..., m ) x x m m. Miksi? ( Biomikaava o erikoistapaus multiomikaavasta koska ) ( j = j, j) ja multiomikaava pätee koska (x x m ) voidaa kirjoittaa summaa jossa o m termiä jotka ovat tyyppiä y 1 y 2... y missä jokaie y i {x 1, x 2,..., x m }. Jokaie muotoa x x m m termi sytyy siitä, että joukko {1,..., } jaetaa osajoukkoihi A j, j = 1,..., m site että i A j jos ja vai jos y i = x j jolloi siis A j = j. Tällaisia osituksia o täsmällee ( ) 1, 2,..., m kappaletta. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31

16 Fuktioide lukumäärät Oletetaa, että A = m ja B =. Fuktiode A B lukumäärä o B A = m. Miksi? Fuktio f : A B o järjestetty m-kokoie otos palauttae joukosta jossa o alkiota. Ijektioide A B lukumäärä o! ( 1)... ( m + 1) = ( m)!, m. Miksi? Ijektio A B o järjestetty m-kokoie otos palauttamatta joukosta jossa o alkiota. ( ) Surjektioide A B lukumäärä o ( 1) k k m. k k=0 Osajoukkoje lukumäärä: P(A) = 2 A Jos joukossa A o m alkiota ii joukossa P(A) o 2 m alkiota, eli A: osajoukkoje lukumäärä o 2 A koska jokaista osajoukkoa B vastaa fuktio f B : A {0, 1} site, että f B (x) = 1 jos x B ja muute 0. G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. maaliskuuta osa I / 31