SOBOLEV-AVARUUDET. Pekka Koskela. Kevät 2015
|
|
- Topi Väänänen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 SOBOLEV-AVARUUDET Pekka Koskela Kevät 2015 Luennot: Ti 1416 MaD 380, Ke 1214, MaD 302. Demot: To 1416, MaD 380. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Sergei L. Sobolev : On some estimates relating to families of functions having derivatives that are square integrable (Dokl. Akad. Nauk I (1936), ). On a theorem on functional analysis (Math. Sb. 46 (1938) ). Adams: Sobolev spaces Evans-Gariepy: Measure theory and ne properties of functions Gilbarg-Trudinger: Elliptic partial dierential equations of second order Maly and Ziemer: Fine regularity of solutions of elliptic partial dierential equations Ziemer: Weakly dierentiable functions Leoni: A rst course in Sobolev spaces Modernissa osittaisdierentiaaliyhtälöiden teoriassa toimitaan yleensä seuraavasti: Ensimmäiseksi osoitetaan ratkaisun olemassaolo, tämän jälkeen ratkaisun mahdollinen yksikäsitteisyys ja ratkaisun säännöllisyys (mahdollinen jatkuva dierentioituvuus, Hölder-jatkuvuus, Harnackin epäyhtälö jne.) ja lopuksi käytännön tilanteissa käytetään numeerisia menetelmiä ratkaisun approksimointiin. Usein yhtälön ratkaisua ei pystytä antamaan konkreettisessa muodossa. Perustava kysymys on luonnollisesti ratkaisun olemassaolo. Tähän käytetään usein variaatioperiaatteita ja Sobolev-avaruuksia. Tyypillinen tilanne on esimerkiksi seuraava. Olkoon B R 3 avoin pallo ja U B vaikkapa avoin kuutio. 1
2 Halutaan löytää u C 2 (B \ U) s.e. { u(x) = n 2 j=1 u(x) = 0, x 2 j u C(B), u 1 joukossa U, u 0 joukossa B. Tätä kysymystä kutsutaan usein Dirichlet'n ongelmaksi ja kyseistä funktiota u harmoniseksi funktioksi. Yleisempi ongelma on löytää annetulle alueelle ja joukossa määritellylle jatkuvalle funktiolle h funktio u C 2 () C(), jolle u(x) = 0 joukossa ja u(x) = h(x) joukossa. Yleisempi tilanne käsitellään oleellisesti samoin kuin yllä oleva erikoistapaus. Idea on seuraava. Minimoidaan integraalia B Ψ 2 dx luokassa F = {Ψ C0(B) 1 : Ψ 1 joukossa U}. Olkoon a = inf Ψ 2 dx. F B Nyt a 0, sillä myöhemmin todistettavan Sobolevin epäyhtälön perusteella: 0 < U 1 2 ( Ψ 2 ) 1 2 C(n, B ) Ψ 2. Inmumin määritelmän nojalla löytyy Ψ j F s.e. Ψ j 2 dx a, B B kun j. Siis Ψ j 2 M < kaikilla j ja yllä olevan Sobolevin epäyhtälön nojalla Ψ j 2 M <. Määritellään abstrakti Banach-avaruus V luokan C 1 0(B) täydellistymänä normilla Ψ = Ψ 2 + Ψ 2. Tällöin V on jopa reeksiivinen ja koska jono (Ψ j ) on rajoitettu avaruudessa V, löytyy funtionaalianalyysin nojalla u V ja osajono Ψ jk, joka suppenee heikosti funktioon u avaruudessa V. Edelleen L 2 -normin puolijatkuvuuden (funktionaalianalyysi) nojalla u 2 dx lim inf Ψ jk 2 dx = a, k B missä u on funktion u gradientti joka saadaan osajonon gradienttien heikkona rajana. Nyt u 2 dx Ψ 2 dx Ψ F. B B 2 B
3 Lisäksi voidaan osoittaa, että u 2 dx u + ϕ 2 dx B B ϕ C 1 0(B \ U). Nyt jokaiselle t > 0 ja kaikille ϕ C0(B 1 \ U) pätee u + t ϕ 2 u 2 0 dx B }{{ t } (V AL) 2 u+s ϕ ϕ, 0<s<t (DK) 2 u ϕdx. Syy: Olkoon f(y) = y 2 = n 1 y2 i, y R n. Tällöin f(y) = 2y ja B aina kun w R n. Edelleen f(y + tw) f(y) t f(y) w = 2y w, kun t 0, f(y + tw) f(y) f(y + sw) tw 2 y + sw tw (jollekin 0 < s < t) 2 t ( y w + t w 2 ). Perustelu: väliarvolauseen nojalla funktiolle g(t) = f(y + tw) pätee g(t) g(0) = g (s)t jollekin 0 < s < t, missä g (s) = f(y + sw) w. Siispä u + t ϕ 2 u 2 dx 2 u ϕdx, kun t 0 (DK) B }{{ t } B 2( u ϕ + t ϕ 2 ) }{{} 2( u ϕ + ϕ 2 ) L 1 (B), t 1 Ottamalla t<0 saadaan epäyhtälö " ". Täten u ϕdx = 0 ϕ C0(B 1 \ U). B Tätä yhtälöä käyttäen voidaan lopulta todistaa, että u C 2 (B \ U) ja u = 0. 3
4 Ehto u = 0 seuraisi itse asiassa helposti osittaisintegroimalla, jos todistaisimme ensiksi, että u C 2 (B \ U): 0 = u ϕdx = uϕdx. B Koska tämä pätisi kaikilla ϕ C 0 (B \ U), niin pakostakin u(x) = 0 jokaiselle x B \ U. Yllä olevan esimerkin nojalla tarvitsemme Banach-avaruuksia, jotka sisältävät kaikki L 2 -integroituvat C 1 -funktiot, joiden gradientit ovat L 2 -integroituvia. Tälläisen avaruuden määritelmä sulkeumana on erittäin epäkonkreettinen. Sobolevin kaunis idea oli määritellä konkreeettisella tavalla avaruuden L 2 aliavaruus, joka osoittautuu haluamaksemme avaruudeksi. Aloitamme johdattelemalla Sobolevin määritelmään yksiulotteisessa tapauksessa ja palauttamalla mieleen tuloksia mitta- ja integraaliteoriasta. Tämän jälkeen tarkastelemme konvoluutioapproksimaatiota L p -avaruuksissa. Näiden perustulosten jälkeen aloitamme varsinaisen Sobolev-avaruuksien tarkastelun. B 1 JOHDATTELUA 1.1 C 1 -funktioiden ominaisuuksia R:ssä Olkoon x 1 < x 2 ja u C 1 (R). Tällöin analyysin peruslauseen nojalla u(x 2 ) u(x 1 ) = joten Edelleen (kun p > 1) u(x 2 ) u(x 1 ) u(x 2 ) u(x 1 ) ( [x 1,x 2 ] [x 1,x 2 ] [x 1,x 2 ] [x 1,x 2 ] u (t) 1dt u (t)dt, u (t) p ) 1 p ( u (t) dt. [x 1,x 2 ] 1 p p 1 p 1 dt) p = u L p ([x 1,x 2 ]) x 1 x p. (1) 4
5 Kiinnitetään rajoitettu avoin väli I. Integroidaan (1) x 1 :n ja x 2 :n suhteen yli välin I: u(t) u(s) dtds u (x) dxdtds I I I I I = l(i) 2 u (x) dx (2) Nyt (u I = 1 u(s)ds) l(i) I u(t) u I dt = I = 1 l(i) 1 l(i) (2) l(i) I u(t) }{{} I R 1 l(i) I u(t)ds I I I 1 l(i) I u(s)ds dt u(t) u(s)ds dt I u(t) u(s) dsdt I u (x) dx. Tätä sanotaan Poincare'n epäyhtälöksi. Käyttämällä Hölderin epäyhtälöä nähdään argumentin pienellä modioinnilla myös, että u(t) u I p dt l(i) p u (t) p dt, missä p > Esimerkkifunktio Määritellään f(x) = x ja I I Df(x) = { f (x), kun x 0, 0, kun x = 0. Nyt (1):n nojalla f(x 2 ) f(x 1 ) = f [x 1,x 2 (t)dt, kun x ] 1 < x 2 ja x 1 > 0 tai x 2 < 0. Selvästi kaava pätee myös, kun x 1 = 0 tai x 2 = 0. Jos x 1 < 0 < x 2, niin f(x 2 ) f(x 1 ) = f(x 2 ) f(0) + f(0) f(x 1 ) = = f (t)dt + f (t)dt = Df(t)dt. [0,x 2 ] [x 1,0] 5 [x 1,x 2 ]
6 Näin ollen f(x 2 ) f(x 1 ) = kun x 1 < x 2. Edelleen f(x 2 ) f(x 1 ) [x 1,x 2 ] [x 1,x 2 ] Df(t)dt, (3) Df(t) dt. Käyttämällä tätä epäyhtälöä ja kohdan 1.2 päättelyä nähdään, että kyseiset C 1 -funktioiden ominaisuudet pätevät myös funktiolle f kun derivaatan sijasta käytetään funktiota Df. Yhtälö (3) pätee tietenkin yleisemminkin sopivalla Df : n valinnalla: riittää, että f on absoluuttisesti jatkuva. Huomautus. (3) ei päde kaikille funktioille, jotka ovat jatkuvia ja lisäksi derivoituvia melkein kaikkialla. (Esim. Cantorin funktiolle φ pätee φ(1) φ(0) [0,1] Dφ(t)dt, sillä Dφ(t)=0 m.k.) Palautetaan mieliin, että f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva, jos ɛ > 0 δ > 0 s.e. k (b i a i ) < δ i=1 k f(b i ) f(a i ) < ɛ aina kun välit ]a i, b i [ ovat välin [a, b] pareittain pistevieraita osavälejä. Absoluuttisesti jatkuvilla funktioilla on seuraavat ominaisuudet: 1. f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva f (x) m.k x [a, b], f on integroituva välillä [a, b] ja f(x) = f(a) + f (t)dt a x b. i=1 [a,x] 2. Absoluuttisesti jatkuva funktio on jatkuva (valitaan määritelmässä k = 1, x, y ]a, b[). 3. Jos h : [a, b] R on integroituva, niin f(x) := m + [a,x] h(t)dt on absoluuttisesti jatkuva, f(a) = m ja f (x) = h(x) m.k. x [a, b]. 6
7 Osa näistä ominaisuuksista on todistettu MIT:ssa ja loput (toivottavasti) reaalianalyysissä. Tarkastellaan lyhyesti kohdan 1. analyysin peruslausetta. Jokainen absoluuttisesti jatkuva f : [a, b] R voidaan esittää kahden kasvavan funktion erotuksena. Toisaalta jokainen kasvava funktio g : [a, b] R on m.k. dierentioituva ja g (x) on Lebesgue-integroituva. Tämä todistetaan peitelauseiden avulla. Olkoon f : [a, b] R absoluuttisesti jatkuva. Edellisen nojalla f on m.k. dierentioituva ja f L 1 ([a, b]). Määritellään F (x) = f(x) f (t)dt. Tällöin integraalin absoluuttisesta jatkuvuudesta saadaan, että myös F on absoluuttisesti jatkuva. Täten F on dierentioituva m.k. ja voidaan osoittaa, että F = 0 m.k. välillä [a, b] (katso esim. lausetta 7.5). Työllä nähdään, että kyseisen täysimittaisen joukon kuvan Lebesguen mitta on nolla ja koska F on absoluuttisesti jatkuva myös nollamittaisen poikkeusjoukon kuva on nollamittainen MIT. Koska F on jatkuva, F ([a, b]) on täten yhtenäinen nollamittainen joukko. Siispä F on vakio ja koska F (a) = f(a) tämä vakio on f(a). 1.3 Osittaisintegrointi Jos u C 1 (R) ja Ψ C 1 0(R), niin (valitaan a < b s.e. sptψ [a, b]) R uψ dt = [a,b] [a,x] / b uψ dt = uψ u Ψdt a [a,b] }{{} =0 = u Ψdt = u Ψdt. [a,b] R Tämä pätee myös jokaiselle suljetulla välillä I absoluuttisesti jatkuvalle funktiolle u kun Ψ on luokassa C 1 0 vastaavalla avoimella välillä ja integraalit otetaan yli välin I. 1.4 Sobolev-avaruuden määritelmä R:ssä Olkoon 1 p. Määritellään W 1,p (R) = {u L p (R) : v L p (R) s.e. 7 R uψ dt = vψdt Ψ C0(R)}. 1 R
8 Jos I R on avoin väli, niin W 1,p (I) määritellään vastaavasti, korvaamalla R välillä I. Tulemme myöhemmin osoittamaan, että yllä välttämättä u on absoluuttisesti jatkuva ja v(x) = u (x) melkein kaikkialla (muistetaan, että absoluuttisesti jatkuva funktio on dierentioituva m.k.). Toisaalta jokainen absoluuttisesti jatkuva u L p (I), jolle myös u L p (I), kuuluu avaruuteen W 1,p (I). Korkeammissa ulottuvuuksissa tilanne ei ole näin yksinkertainen. Tarkastelemme yhden muuttujan Sobolev-avaruutta tarkemmin vasta yleisen tilanteen yhteydessä. 1.5 Esitietoja Jos x R n, niin x = ( n i=1 x2 i ) 1 2, x = (x 1,..., x n ). on aina alue R n :ssä, n 2. Jos A, B R n, niin A B tarkoittaa että A B ja että A on rajoitettu (ja siten kompakti). Jos α = (α 1,..., α n ) N n, niin sanotaan, että α on multi-indeksi ja sen aste on α = n i=1 α i. 1.6 Derivaatat Olkoon x 0 ja e i = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) i. kantavektori. Jos u : R ja raja-arvo u(x 0 + te i ) u(x 0 ) lim t 0 t =: u x i (x 0 ) on olemassa, niin se on funktion u i. osittaisderivaatta pisteessä x 0. Jos u x i (x 0 ) on olemassa kaikilla x 0, niin saadaan funktio u x i : R, jolla saattaa olla osittaisderivaattoja. Jos sillä on j. osittaisderivaatta, niin merkitään x j ( u x i ) =: 2 u x j x i. Jos funktiolla u on toisen kertaluvun jatkuvat osittaisderivaatat, niin kaikilla i, j = 1,..., n. 2 u x j x i = 2 u x i x j 8
9 Jos x R n ja α N n, niin x α = (x α 1 1,..., x αn n ). Formaalisti on järkevä merkitä myös ( x 1,..., x n ) (e 1+e 3 ) = ( x 1, 1, x 3, 1,..., 1), kun i < j, joten on järkevää merkitä α ( x 1 x n) = 2 α x i x j, kun α = e i + e j, i < j. Yleinen merkintä: Kun funktiolla u on jatkuvat kertaluvun k osittaisderivaatat, niin kun α N n ja α k. Usein merkitään D α u = D 0 u = u, D e i u = D i u, α x α u, 1 1 x αn u = (D 1 u,..., D n u). n 1.7 Funktioluokkia Asetetaan C() = {u : R : u jatkuva}, C(E) = {u : E R : u jatkuva}, E R n, C k () = {u C() : D α u C() α k}, C () = C k (). k=1 Jos u : R, niin spt u =:{x : u(x) 0} on funktion u kantaja. Määritellään edelleen C 0 () = {u C() : spt u ja spt u kompakti}, C k 0 () = C k () C 0 (), C 0 () = C () C 0 (), C 0,1 () = {u C() : u(x) u(y) M x y jollain M < ja x, y }. 9
10 1.8 Peruslause Olkoon u C 1 () ja J xy = {x + t(y x) : 0 t 1}. Tällöin u(y) u(x) = 1 0 u(x + t(y x)) (y x)dt. Syy: funktio v(t) = u(x + t(y x)), 0 t 1 on jatkuva välillä [0, 1] ja derivoituva välillä (0, 1), joten v(1) v(0) = 1 0 v (t)dt. 1.9 Mitta ja integraali Jos A R n on mitallinen, niin A := m n (A) =: m(a). Mitallinen funktio u on integroituva mitallisessa joukossa A täsmälleen silloin kun u dm <. A Usein merkitään udm = udx = u(x)dx = u(x)dm(x). A A A A Jos 0 < A <, niin udx := 1 udx. A A A 1.10 Cavalierin periaate Olkoon A R n mitallinen, u 0 mitallinen ja p > 0. Merkitään A t = {x A : u(x) > t}, kun t 0. Tällöin u p dx = p t p 1 A t dt. HT 1.11 Fubini A [0, ] Olkoon f : R p+q R integroituva. Tällöin fdm p+q = f(x, y)dm q (y)dm p (x) = R p+q R p R q R q f(x, y)dm p (x)dm q (y). R p 10
11 1.12 Pallokoordinaatit Olkoon u L 1 (B(0, r)). Tällöin udx = B(0,r) S n 1 (0,1) [0,r] u(tω)t n 1 dtdσ(ω), missä σ on pintamitta joukossa S n 1 (0, 1) = {x : x = 1}. Siis σ on Hausdor-mitan H n 1 sopiva monikerta Monotoninen konvergenssi Olkoon f j : A [0, ] mitallisia, 0 f j f j+1 kaikilla j 1 ja A mitallinen. Tällöin lim f jdx = lim f j dx. j 1.14 Fatoun lemma A j A Olkoot f j : A [0, ] mitallisia. Tällöin lim inf f jdx lim j A j inf A f j dx Dominoitu konvergenssi Olkoot f j : A R mitallisia ja oletetaan että f j f m.k. joukossa A. Jos on olemassa integroituva funktio g s.e. f j g m.k. joukossa A kaikille j = 1, 2,..., niin f on integroituva joukossa A ja fdx = lim f j dx. A j A 11
12 2 L p -AVARUUDET Jos A R n on mitallinen ja 1 p, niin L p (A) = {f : A R, missä f mitallinen ja f L p (A) < }. Tässä f L p (A) = f p = ( A f p dx) 1 p, kun 1 p <, ja f L (A) = f = ess sup A f. Tarkastellaan siis ekvivalenssiluokkien sijasta luokkien edustajia. 2.1 Lause. (Perusepäyhtälöt) 1. Olkoot f L p (A), g L q (A) ja = 1, missä 1 p, q. p q Tällöin fg L 1 (A) ja fg 1 f p g q. 2. Olkoot f, g L p (A). Tällöin f + g L p (A) ja f + g p f p + g p. 2.2 Seuraus. (Yleistetty Hölder) Olkoot 1 p j, j = 1,..., k s.e. k j=1 j = 1,..., k, niin k j=1 f j L 1 (A) ja 1 p j = 1. Jos f j L p j (A) kaikille k k f j 1 f j pj. j=1 j=1 Induktio. Huomautus. 1. Jos 1 p ja 1 p + 1 q = 1, niin q = p p Jos A <, A 0 ja q > p, niin ( f p dx) 1 p ( f q dx) 1 q. A A 12
13 Syy: ( f p dx) 1 p = A 1 p ( f p 1dx) 1 p A A A 1 p (( f p q p p dx) q ( A = A 1 p ( f q dx) 1 q A = ( f q dx) 1 q. A A q p A pq dx) q p q ) 1 p 3. Jos A < ja 1 p q, niin L q (A) L p (A). Jos lisäksi A > 0, niin kyseinen inkluusio on aito. Äärellismittaisuutta todellakin tarvitaan kyseiseen inkluusioon: esim. L 2 (R) L 1 (R). 2.3 Lause. (L p on Banach) Normiavaruus L p (A) on täydellinen eli jokainen avaruuden L p (A) Cauchyjono suppenee johonkin avaruuden L p (A) funktioon. [MIT] Todistuksen idea: Olkoon 1 p < (p = samanlainen). Olkoon (f j ) Cauchy-jono avaruudessa L p (A). Löytyy osajono (f jl ) s.e. f jl+1 f jl p < 2 l kaikilla l. Määritellään g k = k l=1 f j l+1 f jl, g = l=1 f j l+1 f jl. Minkowskin epäyhtälön nojalla (käytetään k 1 kertaa) g k p k f jl+1 f jl p < l=1 k 2 l l=1 2 l = 1. Lisäksi 0 g k g k+1 g, joten monotonisen konvergenssin nojalla g L p (A) ja g p 1. Erityisesti 0 g < m.k. joukossa A. Täten f j1 (x) + l=1 (f j l+1 (x) f jl (x)) suppenee itseisesti m.k. x A ja siten k 1 f jk = f j1 + (f jl+1 f jl ) f j1 + l=1 l=1 (f jl+1 f jl ) l=1 m.k joukossa A. Löydettiin osajono, joka suppenee m.k. joukossa A! 13 } {{ } =:f L p (A)
14 Lisäksi A f f j p dx = lim f jl f j p dx A l lim inf f jl f j p dx l A ɛ, kun j j ɛ, koska (f j ) on Cauchy L p (A):ssa ja j l l. Täten f j f avaruudessa L p (A). 2.4 Seuraus. (Lauseen 2.3 todistuksesta) Olkoot f, f j L p (A) s.e. f j f avaruudessa L p (A). Tällöin on olemassa osajono (f jk ) s.e. f jk f m.k. joukossa A. Lisäksi löytyy h L p (A) s.e. f jk f h m.k. joukossa A. Huomautus. Osajonoon siirtyminen on yleensä oleellista: löytyy esimerkiksi jono (f j ) L p ([0, 1]), kun 1 p <, siten että f j 0 avaruudessa L p ([0, 1]), mutta lim j f j (x) ei ole olemassa millään x [0, 1]. Toisaalta, kun p =, jono f j (x) suppenee melkein kaikilla x ja jopa tasaisesti. 2.5 Lause. Olkoon 1 p <. Tällöin kompaktikantajaisten jatkuvien funktioiden luokka C 0 (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ). Erityisesti, jos f L p (R n ), niin lim h 0 R n f(x + h) f(x) p dx = 0. (4) Kompaktikantajaisten jatkuvien funktioden tiheys on HT. Jälkimmäinen väite on selvästi totta jos f C 0 (R n ), sillä tällöin f on tasaisesti jatkuva ja integrointi on yli kompaktien joukkojen. Olkoon sitten f L p (R n ) mielivaltainen ja ɛ > 0. Valitaan sellainen ϕ C 0 (R n ), jolle f ϕ p < ɛ. Silloin f(x + h) f(x) p = f(x + h) ϕ(x + h) + ϕ(x + h) ϕ(x) + ϕ(x) f(x) p 2 f ϕ p + ϕ(x + h) ϕ(x) p < 3ɛ kunhan h on riittävän pieni, sillä ϕ on tasaisesti jatkuva ja kompaktikantajainen. 14
15 Silotus Halutaan näyttää, että C 0 () on tiheässä avaruudessa L p () kun 1 p < : jos u L p (), niin löytyy jono (ϕ j ) C 0 () s.e. ϕ j u avaruudessa L p (). Silottajaydin Olkoon J C 0 (R n ), J 0 s.e. 1. J(x) = 0, kun x 1 (spt J B(0, 1)), 2. R n J(y)dy = 1. Voidaan esimerkiksi valita { Ce 1 1 x J(x) = 2, kun x < 1, missä 1 = 1 C B(0,1) e 1 x 2 dx, 0, kun x 1. Kun ɛ > 0, määritellään J ɛ (y) = ɛ n J( y ɛ ). Tällöin 1. 0 J ɛ C 0 (R n ), 2. spt J ɛ B(0, ɛ), =:x 3. J R n ɛ (y)dy = {}}{ ɛ n y J( R n ɛ )dy = ɛ n J(x)dy = J(x)dx = 1. R n R n Sovitaan, että jatkossa J on aina kuten yllä. Funktiota J ɛ sanotaan silottajaytimeksi ja konvoluutiota (J ɛ u)(x) := J ɛ (x y)u(y)dy, R n missä u L 1 loc(r n ) := {u : R n R : u K L 1 (K) kaikilla kompakteilla K R n }, kutsutaan u:n silotukseksi. Huomautus. 15
16 1. (J ɛ u)(x) on määritelty, kun u L 1 loc (Rn ) : (J ɛ u)(x) = u(y) R n J ɛ (x y) }{{} =0, kun x y ɛ dy u(y) J ɛ (x y) dy B(x,ɛ) }{{} C eɛ n u(y) dy <. eɛ n B(x,ɛ) 2. Pätee (J ɛ u)(x) = = = = J ɛ (x y)u(y)dy }{{} R n =z u(x z)j ɛ (z)dz R n u(x z)ɛ n J( z R ɛ )dz n u(x ɛy)j(y)dy. B(0,1) Konvoluutio voidaan määritellä yleisemminkin. Jos f, g L 1 (R n ), asetetaan (f g)(x) = f(x y)g(y)dy. R n Tällöin f g = g f L 1 (R n ) HT. Edellä annettu kaava määrittelee reaaliluvun (f g)(x) myös kun f C 0 (R n ) ja g L 1 loc (Rn ) HT. 2.6 Lause. 1. Jos u L 1 loc (Rn ), niin J ɛ u C (R n ) ja D α (J ɛ u)(x) = (D α J ɛ u)(x) x R n ja α N n. 2. Jos u L p (R n ), 1 p <, niin J ɛ u L p (R n ) ja J ɛ u p u p ja lim ɛ 0 J ɛ u u p = Jos u C() L 1 loc (Rn ), niin (J ɛ u)(x) u(x) tasaisesti jokaisessa kompaktissa joukossa K. 16
17 1. Osoitetaan ensiksi (osittais)derivointikaava kun α = 1. Olkoon 1 j n. Riittää osoittaa derivointikaava D j :lle. Merkitään g(t) = (J ɛ u)(x + te j ). Nyt g(h) g(0) = (J ɛ u)(x+he j ) (J ɛ u)(x) = u(y)[j ɛ (x+he j y) J ɛ (x y)]dy. R n Toisaalta väliarvolauseen nojalla J ɛ (x + he j y) J ɛ (x y) = hd j J ɛ (x + te j y), jollakin t, jolle 0 < t < h. Nyt D j J ɛ on jatkuva ja kompaktikantajainen ja D j J ɛ (x + te j y) M <, joten dominoidun konvergenssin lauseen nojalla lim h 0 1 (g(h) g(0)) = h mikä on haluttu kaava. R n D j J ɛ (x y)u(y)dy = (D j J ɛ u)(x), Koska D j J ɛ C 0 (R n ), niin helposti nähdään, että (D j J ɛ u)(x) on jatkuva (jokaiselle j). Täten J ɛ u C 1 (R n ). Korkeampi säännöllisyys ja vastaava osittaisderivointikaava saadaan modioimalla lievästi annettua argumenttia. 2. p = 1: Nyt (J ɛ u)(x) R n (J ɛ u)(x) dx J ɛ (x y) u(y) dy, joten R n J ɛ (x y)dx u(y) dy = u 1. R n R } n {{} =1 1 < p < : Ensinnäkin (J ɛ u)(x) J ɛ (x y) u(y) dy R n = J ɛ (x y) p 1 p Jɛ (x y) 1 p u(y) dy R n p 1 ( J ɛ (x y)dy) p ( J ɛ (x y) u(y) p dy) 1 p. R } n R {{} n =1 17
18 Täten R n (J ɛ u)(x) p dx = R n R n J ɛ (x y) u(y) p dydx R n u(y) p dy = u p p. lim ɛ 0 J ɛ u u p = 0 : Ensinnäkin (J ɛ u)(x) u(x) = J ɛ (x y)u(y)dy u(x) J ɛ (x y)dy R n R n J ɛ (x y) u(y) u(x) dy R n (Hölder, kuten edellä) ( J ɛ (x y) u(y) u(x) p dy) 1 p R }{{} n =: z = ( J ɛ (z) u(x z) u(x) p dz) 1 p. R n Täten R n (J ɛ u)(x) u(x) p dx = R n B(0,ɛ) J ɛ (y) u(x y) u(x) p dydx R n J ɛ (y) u(x y) u(x) p dx dy, R } n {{} 0 mikä menee nollaan kun ɛ 0 lauseen 2.5 nojalla, sillä y B(0, ɛ) ja siten y 0, kun ɛ Olkoon u C(), K kompakti. Tällöin u on tasaisesti jatkuva jokaisessa U, jolle K U, U 18
19 avoin. Nyt J ɛ u(x) u(x) 0, J ɛ (x y) u(y) u(x) dy R n C u(y) u(x) dy eɛ n B(x,ɛ) ( C eɛ = max J n ɛ (x y)) B(x,ɛ) C n u(y) u(x) }{{} B(x,ɛ) pieni tas. jatk. nojalla kun ɛ 0, kun x K, sillä löytyy δ > 0 s.e. B(x, ɛ) U aina kun ɛ < δ ja x K. dy Huomautus. 1. Kohdan 2. ja seurauksen 2.4 nojalla (J ɛj u)(x) u(x) m.k. x R n jollain jonolla ɛ j Kohdan 3. todistuksen nojalla (J ɛ u)(x) u(x) (kun ɛ 0) aina kun u(y) u(x) dy 0, kun ɛ 0 B(x,ɛ) Tämä pätee m.k. x, kun u L 1 loc (Rn ). Palataan tähän myöhemmin luvussa Lause. Olkoon 1 p <. Tällöin C 0 () on tiheä avaruudessa L p (). Olkoot u L p () ja δ > 0. Riittää löytää ϕ C 0 () L p () s.e. u ϕ p < δ. Koska C 0 () L p (), niin riittää löytää ϕ C 0 () s.e. u ϕ p < δ. Idea: Otetaan niin suuri kompakti K, että u L p (\K) on pieni ja approksimoidaan funktiota uχ K silotuksella. Määritellään K j = B(0, j) {x : d(x, ) 1 j } (jos = R n, niin asetetaan K j = B(0, j)). 19
20 Tällöin { K j on kompakti, K j+1 K j ja u(x) (uχkj )(x) v j (x)= p, x, 0, x R n \, toteuttaa v R n 1 dx < ja 0 v j 0. Täten MK-lauseen nojalla lim v j (x) dx = 0. j Valitaan nyt j s.e. jolloin Nyt lauseen 2.6 nojalla ( v j (x)dx) 1 p R n < δ 2, u uχ Kj p = v 1/p j L p (R n ) < δ 2. J ɛ (uχ Kj ) uχ Kj avaruudessa L p (R n ), joten voidaan valita ɛ > 0 s.e. J ɛ uχ Kj uχ Kj p < δ 2. Osoitetaan, että spt (J ɛ uχ Kj ) : K j on kompakti, joten d(k j, ) > 0. Jos 0 < ɛ < d(k j, ), niin B(x, ɛ) K 10 6 j = kun d(x, K j ) > d(k j, ) Tällöin (J ɛ uχ Kj )(x) = 0, joten spt (J ɛ uχ Kj ) {x : d(x, K j ) d(k j, ) 100 }. Väite seuraa Minkowskin epäyhtälöllä: u J ɛ uχ Kj p u uχ Kj p + uχ J Kj ɛ uχ Kj p < δ. }{{} C0 () 100. Huomautus. 1. C 0 () ei ole tiheässä L ():ssa kun. Olkoon esim. = R n, u(x) 1. HT. 20
21 2. Kuitenkin J ɛ u u, sillä J ɛ u(x) J ɛ (x y) u(y) dy u J ɛ (x y)dy = u. B(x,ɛ) B(x,ɛ) } {{ } =1 Huomautus. Jos u L p (), 1 p <, ja {u \ K : u(x) 0} = 0 jollain kompaktilla joukolla K, niin J ɛ u C0 () ja J ɛ u u avaruudessa L p () (ensimmäisessä väitteessä 0 < ɛ < dist(k, )). Olkoon ɛ > 0, u L p (R n ), {u R n \ K : u(x) 0} = 0. Lauseen 2.6 nojalla J ɛ u C (R n ), joten riittää osoittaa, että spt J ɛ u. Olkoon x R n s.e. dist(x, K) > ɛ. Tällöin B(x, ɛ) K = ja u(y) = 0 m.k. y B(x, ɛ). Nyt J ɛ u(x) = B(x,ɛ) J ɛ(x y)u(y)dy = 0. Täten spt J ɛ u(x) {x R n : dist(x, K) ɛ}, joka on kompakti, joten spt J ɛ u on rajoitettu. Koska K on kompakti, niin {x R n : dist(x, K) ɛ}, kun ɛ < dist(k, ). 21
22 3 SOBOLEV-AVARUUDET Aloitetaan johdattelemalla osittaisintegrointikaavaan. Esimerkki. Olkoon u C 1 () ja ϕ C0 (). Tällöin uϕ C0(). 1 Jatkamalla uϕ nollana joukkoon R n \ voidaan olettaa, että uϕ C0(R 1 n ). Valitaan a niin suuri, että sptϕ ] a, a[... ] a, a[. Nyt ja D 1 (uϕ)(t, x 2,..., x n )dt = a a D 1 (uϕ)(t, x 2,..., x n )dt 0 = = a a a D 1 (uϕ)(t, x 2,..., x n )dt (ϕd 1 u)(t, x 2,..., x n )dt + a a a (ud 1 ϕ)(t, x 2,..., x n )dt, joten (ud 1 ϕ)(t, x 2,..., x n )dt = (ϕd 1 u)(t, x 2,..., x n )dt. Integroidaan puolittain dx 2,..., dx n ja käytetään Fubinin lausetta: (ud 1 ϕ)(t, x 2,..., x n )dtdx 2 dx n = ud 1 ϕdx = ud 1 ϕdx R n 1 R n ja Siis R n 1 (ϕd 1 u)(t, x 2,..., x n )dtdx 2 dx n = ϕd 1 udx = R n ud 1 ϕdx = ϕd 1 udx. ϕd 1 udx Sobolevin määritelmä heikoille derivaatoille perustuu edellisen esimerkin ideaan. 22
23 Määritelmä. Olkoon u L 1 loc () ja α Nn. Jos on olemassa v L 1 loc () s.e. ud α ϕdx = ( 1) α vϕdx ϕ C0 (), (5) niin v on funktion u α:s heikko derivaatta (distribuutio/yleistetty/sobolevderivaatta) ja merkitään D α u := v. Kaavaa (5) sanotaan osittaisintegrointikaavaksi. Huomautus. 1. Jos u C k (), niin heikoksi derivaataksi D α u kelpaa funktion u tavallinen derivaatta D α u, kun α k. 2. Heikko derivaatta on yksikäsitteinen (jos on olemassa). Tämä seuraa lemmasta Lemma. Olkoon w L 1 loc (). Jos wϕdx = 0 ϕ C0 (), niin w=0 m.k. joukossa. Olkoon G. Määritellään f(x) = sgn (w(x))χ G (x) = χ G (x), kun w(x) > 0, 0, kun w(x) = 0, χ G (x), kun w(x) < 0, 0, kun w(x) ei määritelty. Nyt J ɛ f C0 () aina kun 0 < ɛ < d(g, ) ja (J ɛ f)(x) f(x) m.k. x (osajonolle). Lisäksi (J ɛ f)(x) J ɛ f f 1. 23
24 Täten w(x)(j ɛ f)(x) w(x) L 1 (G). Dominoidun konvergenssin lauseen perusteella w dx = wfdx = lim w(j ɛj f)dx G G ɛj 0 G sillä kun ɛ j 0 : = lim ɛj 0 spt(j ɛj f)\g kun ɛ 1 on pieni, ja (J ɛj f)(x) 1. Täten w(j ɛj f )dx }{{} C0 () w(j ɛj f)dx spt(j ɛj f)\g w(j ɛj f)dx = 0, } {{ } 0, kun ɛ j 0 spt(j ɛj f)\g w L 1 (spt(j ɛ1 f)), w J ɛj f dx 0, (J ɛj f)(x) 0 m.k. x spt (J ɛ1 f)\g G w dx = 0 ja siis w(x) = 0 m.k. x G. Koska G on mielivaltainen, niin w(x) = 0 m.k. x. Huomautus. 1. Yleistetyn derivaatan olemassaolo on lokaali kysymys (seuraa lemmasta 3.1). 2. Jos funktioilla u 1 ja u 2 on yleistetyt derivaatat D α u 1 ja D α u 2 ja λ 1, λ 2 R, niin D α (λ 1 u 1 + λ 2 u 2 ) = λ 1 D α u 1 + λ 2 D α u 2. Esimerkki. 24
25 1. =] 1, 1[, u(x) = x Väite : Funktio Du(x) = on funktion u heikko derivaatta. { 1, kun 1 < x < 0, 1, kun 0 < x < 1, Olkoon ϕ C0 (] 1, 1[). Tällöin 1 1 uϕ dx = 0 = 1 0 uϕ dx + 1 / xϕ (x)dx + = ( xϕ(x) 1 }{{} =0 uϕ dx 1 1 = Du(x)ϕ(x)dx. 1 0 xϕ (x)dx 0 ϕ(x)dx) + 1 / 1 ϕ(x) 0 } {{ } =0 { x, 0 < x < 1, 2. =]0, 2[, u(x) = 2, 1 x < 2 Väite : Ei ole olemassa yleistettyä derivaattaa v L 1 loc (). Antiteesi: Onpas! Kun ϕ C 0 (), niin 2 0 vϕdx = = = / 1 uϕ dx xϕ (x)dx + 2 xϕ(x) 0 } {{ } 0 =ϕ(1) 1 = ϕ(1) ϕ (x)dx 1 ϕ(x)dx + 2 ϕ(2) 2ϕ(1) }{{} =0 ϕ(x)dx. 0 ϕ(x)dx 25
26 Valitaan 0 ϕ j 1 s.e. ϕ j (1) = 1 ja ϕ j (x) 0 m.k. x. Nyt 2 vϕ j dx = ϕ j (1) ϕ 0 }{{} j (x)dx. 0 }{{} = 1 }{{} 0(DK) Tämä antaa ristiriidan 0 = (DK) 3. Olkoon u C 1 (B(0, 1)\{0}). Jos u L 1 (B(0, 1)\{0}), niin D α u on olemassa alueessa = B(0, 1) kaikilla α, joilla α = 1, ja D α u on funktion u tavallinen osittaisderivaatta. Voidaan esimerkiksi ottaa u(x) = log x, v(x) = x α sopivilla α (1 α < n eli α > 1 n). Syy: kuten luvun 3 ensimmäisessä esimerkissä voidaan käyttää Fubinia, sillä ( j u)ϕ L 1 (), u j ϕ L 1 () (tod. myöh) aina kun ϕ C0 (), ja tarkastaa, että osittaisintegrointikaava pätee tavallisilla derivaatoilla. Huomaa, että funktion u rajoittuma jokaiseen suoraan, joka ei kulje origon kautta on C 1. Integroitaessa ei koskaan huomata, että origo puuttuu. Määritelmä. Olkoon 1 p ja k N. Asetetaan W k,p () := {u L p () : D α u L p () α N n, α k} Avaruutta W k,p () sanotaan Sobolev-avaruudeksi. Kaava u W k,p () := u k,p, := D α u p, antaa tälle avaruudelle normin. α k Huomautus. 1. D 0 u = u, joten u k,p u p. 2. W k,p () on todellakin normiavaruus: Jos u 1, u 2 W k,p () ja λ 1, λ 2 R, niin λ 1 u 1 + λ 2 u 2 W k,p () ja 26
27 u k,p 0 ja u k,p = 0 joss u = 0. λ 1 u 1 k,p = λ 1 u 1 k,p u 1 + u 2 k,p u 1 k,p + u 2 k,p 3. Kun 1 p <, niin usein käytetään ekvivalenttia normia u := D α u p dx α k Perustelu normien ekvivalenttisuudelle: u u k,p C k max α k D α u p C k u, (Muista, että ( n i=1 a i ) α n i=1 a i α, kun 0 < α 1.) Yllä C k on niiden multi-indeksien lukumäärä, joille α k. 4. Useat Sobolev-avaruuden W k,p () ominaisuuksista, kun k > 1, saadaan avaruuden W 1,p () ominaisuuksista, joten usein tarkastellaan vain avaruutta W 1,p (). 1 p. Esimerkki. 1. C0 k () W k,p () Syy: Yleistetty derivaatta D α u, α k, on funktion u tavallinen α:s derivaatta, kun u C k () ja spt D α u, kun u C0 k (). On siis olemassa max D α u(x). Nyt D α u p dx D α u p dx max Dα u(x) p sptd α u < spt D α u kun α k. Täten u k,p < ja siten u W k,p (). 2. =] 1, 1[, u(x) = x 235. Tällöin u / W 1,7 (). 3. u(x) = x α W 1,p (B(0, 1)) aina kun u L p (B(0, 1)). (HT) 4. u(x) = x W 1, (] 1, 1[). 5. Jos < ja q < p, niin W k,p () W k,q (). 6. Jos k > 1, niin W k,p () W k 1,p (). 27
28 3.2 Lause. W k,p () on Banach-avaruus. Olkoon (u j ) Cauchy-jono avaruudessa W k,p (). Jos α k, niin D α u j D α u i p u j u i k,p, joten (D α u j ) on Cauchyjono avaruudessa L p (). Täten löytyy v α L p () s.e. D α u j v α avaruudessa L p () (lause 2.3). Merkitään v 0 =: u. Olkoon ϕ C0 (). Näytetään, että udα ϕdx = ( 1) α vα ϕdx, kun α k. Käytetään osittaisintegrointikaavaa funktioille u j : u j D α ϕ = ( 1) }{{} α (D α u j )ϕdx C 0 () dx }{{} R udα ϕdx }{{} ( 1) R α vα ϕdx Perustelu rajankäynnille: (u j (x) u(x))d α ϕ(x) M u j (x) u(x), M = max D α ϕ(x), ϕ(x)(d α u j (x) v α ) K D α u j (x) v α (x), K = max ϕ(x). Täten v α L p () on funktion u α:s yleistetty derivaatta D α u. Niinpä u W k,p () ja selvästi u u j k,p 0, kun j. Todistetaan seuraavaksi, että C () W k,p () on tiheässä avaruudessa W k,p (). 3.3 Lemma. Olkoon u L 1 loc () s.e. on olemassa Dα u L 1 loc (). Jos d(x, ) > ɛ, niin D α (J ɛ u)(x) = (J ɛ D α u)(x). 28
29 Suora lasku antaa D α (J ɛ u)(x) = (Dx α J ɛ u)(x) = Dx α J ɛ (x y) u(y)dy R }{{} n =Dy α J ɛ(x y)( 1) α = ( 1) R α Dy α J ɛ (x y) u(y)dy }{{} n =: g(y) C0 () = ( 1) 2 α }{{} =1 J ɛ (x y)d α u(y)dy R n = (J ɛ D α u)(x). Yhdistämällä Lause 2.6 ja Lemma 3.3 saadaan välittömästi sileiden funktioiden tiheys Sobolev-avaruudessamme kun on koko R n. Yleistä tilannetta varten tarvitsemme tärkeän teknisen tuloksen. 3.4 Lause. (Ykkösen ositus) Olkoon U alueen avoin peite. Tällöin löytyy numeroituva perhe F funktioita 0 f j C 0 (R n ) s.e. 0 f j 1 ja 1. f j U U s.e. spt f j U, 2. jos K on kompakti, niin spt f j K vain äärellisen monella j, 3. f F f(x) = j f j(x) = 1 kaikilla x. Voidaan olettaa, että jokainen U U on alue. (i) Olkoon E kompakti. Koska U on joukon E avoin peite, löytyy U 1,..., U N s.e. E N j=1 U j. Löytyy kompaktit joukot E j U j s.e. E = N j=1 E j : Jokainen x E sisältyy johonkin U j, joten löytyy r x > 0 s.e. B(x, r x ) U j. Nyt {B(x, r x ) : x E} on joukon E avoin peite, joten löytyy x 1,..., x k E s.e. E k i=1 B(x i, r xi ). Määritellään E j = E ( B(x i,r xi ) U j B(x i, r xi )). 29
30 Löytyy Ψ j C0 (U j ) s.e. 0 Ψ j 1 ja Ψ j 1 joukossa E j HT. Määritellään N v = Ψ j, j=1 jolloin v C0 (R n ), v 1 joukossa E ja v > 0 jossain joukon E ympäristössä. Vastaavasti löytyy Ψ C0 ( N j=1 U j) s.e. Ψ 1 joukossa E ja 0 Ψ 1. Määritellään { Ψj, kun Ψ f j = v Ψ+1 j 0, 0, muulloin. Nyt f j C 0 (R n ), 0 f j 1 j = 1,..., N, spt f j spt Ψ j U j U ja joukossa E. N f j = j=1 N j=1 Ψ j v Ψ + 1 = v v Ψ (ii) Määritellään E 1 = E 0 =, E j = {x : d(x, ) 1 } B(0, j), j F j = E j \ inte j 1, j = 1, 2,... Tällöin E j E j+1, E j on kompakti kaikilla j = 1, 2,... ja Myös joukot F j ovat kompakteja ja E j. j=1 G j = {U (int(e j+1 ) \ E j 2 ) : U U} on joukon F j avoin peite. Kohdan (i) avulla löydetään äärellinen määrä funktioita f ji, i = 1,..., N j s.e. f ji C 0 (R n ), spt f ji U jollain U U, spt (f ji ) (int(e j+1 ) \ E j 2 ) 30
31 ja joukossa F j. Määritellään Tällöin g C (R n ). Asetetaan Nyt N j f ji 1 i=1 g = j N f ji. i=1 f ji = f ji g. f ji = 1 joukossa, j i f ji C 0 (R n ), spt ( f ji ) U ij jollain U ij U ja selvästi jokaisella kompaktilla K spt ( f ji ) K vain äärellisen monella j i. 3.5 Lause. Olkoon 1 p <. Tällöin C () on tiheässä avaruudessa W k,p (): u W k,p () ϕ j C () W k,p () s.e. u ϕ j k,p 0, kun j. Olkoon u W k,p () ja ɛ > 0. Määritellään U i = {x : d(x, ) > 1 } B(0, i) i G i = U i+1 \ U i 1, U 1 = U 0 =. Nyt G i, i = 1, 2,... on alueen avoin peite. Olkoon F ykkösen ositus tälle peitteelle. Määritellään F i = {f F : spt f G i, spt f U i }. Perheessä F i on vain äärellisen monta funktiota, sillä U i. Olkoon f i = f F i f. Tällöin f i C 0 (U i+1 \ U i 1 ) 31
32 ja Nyt ja HT. Edelleen f i (x) = 1 x. i=1 J 1 l uf i W k,p () spt (uf i ) U i+1 (uf i ) uf i k,p 0, kun l : Lemman 3.3 nojalla jokaiselle x U i+1 pätee D α (J 1 l (uf i ))(x) = J 1 l kun 1 l < d(u i+1, ). Niinpä lause 2.6 antaa konvergenssin. Valitaan nyt l i < 1/(2i) s.e. D α (uf i )(x) J 1 l (uf i ) uf i k,p < ɛ 2 i. Tällöin ja Ψ = i=1 J 1 l i (uf i ) C () W k,p () u Ψ k,p = sillä u(x) = i=1 f i(x)u(x). i=1 i=1 (uf i J 1 l i (uf i )) k,p uf i J 1 l i (uf i ) k,p < ɛ, Huomautus. Todistusta tarkastelemalla huomaa helposti seuraavan: jos u W k,p () on jatkuva, niin löytyy jono (ϕ j ) C (), joka suppenee funktioon u avaruudessa W k,p () ja suppenee lisäksi joka pisteessä funktion u. Itse asiassa pisteittäinen suppeneminen on jopa lokaalisti tasaista. 32
33 Annetaan seuraavaksi Sobolev-avaruuksille vaihtoehtoinen määritelmä. Määritelmä. Olkoon 1 p < ja k N \ {0}. Asetetaan H k,p () = {u L p () : (ϕ j ) C (), v α L p () α k s.e. ϕ j u avaruudessa L p () ja D α ϕ j v α avaruudessa L p ()}. Huomautus. Yllä ϕ j W k,p () ja (ϕ j ) on Cauchy-jono avaruudessa W k,p (). Niinpä u W k,p () ja v α = D α u. Siis H k,p () W k,p (). 3.6 Seuraus. (H=W) Olkoon 1 p <. Tällöin H k,p () = W k,p (). Huomautus. 1. Usein merkitään H k,2 () = H k (). 2. Lauseen 3.5 nojalla Sobolev-funktioiden tuloksia "kannattaa" todistaa algoritmilla (i) helppoa, kun u C () W k,p () (ii) ominaisuus säilyy "rajalla". 3. Varoitus! Usein ei päde, että C (R n ) W k,p () olisi tiheässä avaruudessa W k,p (). Avaruuden H k,p () määritelmässä otettiin sileiden funktioiden sulkeuma Sobolev-normin suhteen. On luonnollista myös määritellä sileiden, kompaktikantajaisten funktioiden sulkeuma. Määritelmä. Asetetaan W k,p 0 () = {u W k,p () : ϕ j C 0 () W k,p () s.e. u ϕ j k,p 0, kun j }. Millaiset funktiot kuuluvat avaruuteen W k,p 0 ()? Ensimmäisenä arvauksena voisi yrittää: ne, jotka kuuluvat avaruuteen W k,p () ja jotka ovat nollia joukon reunalla. Ongelma: avaruuden W k,p () funktioita ei ole määritelty joukossa. Arvaus on kuitenkin oikein tulkittuna hyvin lähellä totuutta. 33
34 Huomautus. 1. Selvästi W k,p 0 () W k,p (). 2. Yllä yhtäsuuruus pätee vain kun on "pieni", palataan tähän myöhemmin. 3.7 Lause. Olkoon 1 p <. Tällöin W k,p 0 (R n ) = W k,p (R n ). Olkoon k = 1; tapaus k > 1 menee samoin. Olkoot u W 1,p (R n ) ja ɛ > 0. Löytyy r > 0 s.e. u W 1,p (R n \B(0,r)) < ɛ; voidaan olettaa, että r > 106. Olkoon Ψ(x) = J 1 χ B(0,r+1) (x). Tällöin 0 Ψ(x) 1, Ψ 1 joukossa B(0, r), Ψ C0 (B(0, 2r)) ja Ψ(x) J R n 1 (x y) χ B(0,r+1) (y)dy M χ B(x,1) B(0,r+1)(y)dy M, missä M ei riipu luvusta r. Nyt uψ W 1,p (R n ) HT ja uψ 0 joukossa R n \ B(0, 2r). Valitaan l niin suureksi, että uψ J 1 (uψ) 1,p,R n < ɛ. l Nyt J 1 (uψ) C0 (R n ), joten riittää osoittaa, että uψ u 1,p,R n < Cɛ l jollekin vakiolle C. Nyt u uψ 1,p,R n = u uψ 1,p,R n \B(0,r) u 1,p,R n \B(0,r) + uψ 1,p,R n \B(0,r) n ɛ + u L p (R n \B(0,r)) + ( (D j u)ψ p,r n \B(0,r)) + ud jψ p,r n \B(0,r) ) j=1 ɛ + u 1,p,R n \B(0,r) + M n u p,r n \B(0,r) (2 + M n)ɛ. Huomautus. Edellinen lause ei päde eksponentin p arvolle ääretön. Tarkastellaan seuraavaksi Sobolev-funktioiden absoluuttista jatkuvuutta suorilla. 34
35 3.8 Lause. Olkoot 1 p < ja R alue. Jos u W 1,p (), niin on olemassa g : R s.e. (i) g on absoluuttisesti jatkuva jokaisella välillä [a, b], (ii) g = u m.k. joukossa, (iii) Du = g m.k. joukossa. Kääntäen: Jos g on kuten kohdassa (i) ja g, g L p () niin g W 1,p (). Käänteinen: On osoitettava, että osittaisintegraalikaava pätee. Olkoon ϕ C0 (). Tällöin gϕ C 0 () ja gϕ on abs.jatkuva [MIT], joten 0 = (gϕ) dt = g ϕ + gϕ dt. Siis Dg = g, joten g W 1,p (). Välttämättömyys: Olkoon u W 1,p () ja ϕ j C () s.e. ϕ j u avaruudessa W 1,p (). Siirtymällä osajonoon voidaan olettaa, että ϕ j (x) u(x) m.k. x. Valitaan x 0 s.e. ϕ j (x 0 ) u(x 0 ), kun j. Olkoon x > x 0, x. Nyt ϕ j (x) u(x 0 ) Dudt [x 0,x] ϕ j (x) ϕ j (x 0 ) Dudt + ϕ }{{} j (x 0 ) u(x 0 ) 0, = R [x 0,x] }{{} [x 0,x] ϕ j (t)dt, ϕ j C 0, koska ϕ j (x 0 ) u(x 0 ) koska ϕ j u avaruudessa W 1,p () (jolloin ϕ j Du avaruudessa L 1 ([x 0, x])). Näin ollen ϕ j (x) u(x 0 ) + Dudt =: g(x). [x 0,x] Tämä pätee myös kun x < x 0 kunhan väli [x 0, x] korvataan välillä [x, x 0 ]. Nyt (i) seuraa absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuksien kohdasta 3., (ii) g(x) = u(x) m.k. x (g(x) = lim j ϕ j (x) = u(x) m.k. x ), (iii) seuraa absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuuksien kohdasta 3. Määritelmä. Olkoon R n. Tällöin u : R on ACL (absolutely continuous on lines) 35
36 (:ssa), jos m.k. koordinaattiakselien suuntaisilla suorilla L pätee: u L on absoluuttisesti jatkuva jokaisella suljetulla välillä [a, b] ( L) (sanotaan tällöin, että u on absoluuttisesti jatkuva suoralla L (:ssa)). Yllä m.k. suorilla tarkoittaa kun R 2 : m 1 ({y R: u ei abs.jatkuva suoralla x 2 = y}) = 0 ja m 1 ({x R: u ei abs.jatkuva suoralla x 1 = x}) = 0. Kun R 3 : m 2 ({(x, y) R 2 : u ei abs.jatkuva suoralla x 1 = x, x 2 = y}) = 0, m 2 ({(x, y) R 2 : u ei abs.jatkuva suoralla x 2 = x, x 3 = y}) = 0, m 2 ({(x, y) R 2 : u ei abs.jatkuva suoralla x 1 = x, x 3 = y}) = 0. Yleinen tilanne menee vastaavasti. Määritelmästä seuraa helposti, että funktio u : R on ACL :ssa jos ja vain jos jokaiselle x löytyy ympäristö U siten, että u on ACL U:ssa. 3.9 Lause. Olkoot 1 p < ja R n. Jos u W 1,p (), niin g : R s.e. (i) g on ACL :ssa, (ii) g = u m.k. joukossa, (iii) D j u = D j g m.k. joukossa j=1,...,n. Kääntäen: Jos funktiolle g pätee (i) ja g, D j g L p (), 1 j n, niin g W 1,p (). Käänteinen: Pitää todistaa, että (D j g)ϕdx = gd j ϕdx Tämä seuraa Fubinilla lauseen 3.8. nojalla. ϕ C 0 (). Välttämättömyys: Olkoon u W 1,p () ja ϕ j C () s.e. ϕ j u avaruudessa W 1,p (). Tarkastellaan ensiksi tapausta n = 2: Voidaan olettaa (osajonoon siirtymällä), että ϕ j (x) u(x) m.k. x. Tällöin ϕ j (x 1, y) u(x 1, y) m.k. x 1 m.k. y Fubinin nojalla m.k. y pätee u ϕ j p + D 1 u D 1 ϕ j p dx 2 0, {x 2 =y} 36
37 kun j. Käytetään lausetta 3.8 tällaiselle y ({x 2 = y} on numeroituva yhdiste avoimia välejä). Tehdään samoin suuntaan x 2. Yksityiskohdat HT. Yleinen tapaus menee samoin HT. Huomautus. Edellinen lause pätee myös kun p =. Todistus on tässä tapauksessa jopa helpompi. Esimerkki. = R n, n 2, u(x) = x 7 on ACL. Siis u W 1,p (R n ) u L p (R n ) ja u L p (R n ). (demot: u W 1,p (B(0, 1)) 7 > 1 n p eli n p > 8, p < n 8 ) Huomautus. 1. Yleinen ACL-funktio ei välttämättä ole edes mitallinen. 2. Olkoon u W 1,p (R 3 ). Lauseesta 3.9 seuraa, että löytyy g s.e. g = u m.k. R 3 :ssa ja m 1 ({y : g x3 =y / W 1,p ({x 3 = u})}) = 0. HT Lauseiden 3.8 ja 3.9 todistuksista ja lauseen 3.5 jälkeisestä huomautuksesta saadaan seuraava seuraus Seuraus. Olkoon u W 1,p () C(). Tällöin u on ACL. Huomautus. Lause 3.9 ja Fubinin lause palauttavat Sobolev-funktioilla operoinnin usein klassisiin absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuksiin. 37
38 4 SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖT Tarkastellaan seuraavaksi niinsanottuja Sobolevin epäyhtälöjä, jotka kontrolloivat Sobolev-funktiota sen heikon gradientin (tai korkeamman kertaluvun tapauksessa heikkojen derivaattojen) avulla. Jos u W k,p (), niin määritelmän nojalla u L p (). Sobolevin epäyhtälöistä seuraa, että aina kun p pätee u L q loc () jollakin q = q(n, p, k) > p. Käsitellään ensiksi tapaus p = Lause. (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev) Olkoon n 2 ja R n. Tällöin u n n 1 u 1 u C 1 0(). Olkoon u C0(). 1 Voidaan olettaa, että u C0(R 1 n ) ja = R n. Kiinnitetään x = (x 1,..., x n ) ja 1 j n. Nyt joten Siis R u(x) n n 1 dx1 u(x) u(x) n R ( ( xj n j=1 ( n R R j=1 R D j u(x 1,..., t,..., x n ) dt, R u dx 1 ) 1 n 1 u dx 1 ) 1 n 1 D j u(x 1,..., t,..., x n ) dt. D j u(x 1,..., t,..., x n ) dt n ( R j=2 n ( j=2 R R R ) 1 n 1 dx 1 D j u(x 1,..., t,..., x n ) dt) 1 n 1 dx1 D j u dx j dx 1 ) 1 n 1. Viimeisessä epäyhtälössä käytettiin yleistettyä Hölderin epäyhtälöä, katso Seuraus 2.2. Integroidaan molemmat puolet muuttujan x 2 suhteen, Hölderöidään, integroidaan seuraavan muuttujan suhteen jos tarvitaan jne.: u n n 1 dx = R n 38
39 = R R R... R R R u n n 1 dx1 dx n n ( u dx 1 ) 1 n 1 ( R j=2 [( u dx 1 dx 2 ) 2... ( u dx) n n 1. R n R R R n j=3 R D j u dx j dx 1 ) 1 n 1 dx2 dx n R R R D j u dx j dx 1 dx 2 ] 1 n 1 dx3 dx n Täten u n n 1 u 1. Määritelmä. Olkoon 1 p < n. Määritellään p = pn n p (jolloin p > p). 4.2 Lause. (Sobolevin upotuslause) Olkoon 1 p < n ja u W 1,p 0 (). Tällöin u p C(p, n) u p. (6) Olkoon 1 p < n. (i) Oletetaan ensin, että u C0(). 1 Lauseen 4.1 nojalla voidaan olettaa, että p > 1. Havaitaan ensiksi, että u q C0() 1 kun q > 1 (v(x) = f(u(x)), f(t) = t q C 1 (R) kun q > 1). Kiinnitetään q > 1. Lauseen 4.1 nojalla ( u qn n 1 n 1 dx) n ( u q ) dx q u q 1 u dx q u p ( u (q 1)p p 1 p 1 dx) p. Valitsemalla q = p(n 1) qn, jolloin = = pn = n p n 1 n p p ja (q 1)p = = p, p 1 saadaan ( u p dx) n 1 n q u p ( u p dx) 1 1 p. 39
40 Jos u p = 0, niin (6) pätee. Muutoin jakamalla epäyhtälön puolet termillä ( u p dx) 1 1 p saadaan ( u p dx) 1 p 1 n q u p ja (6) seuraa, sillä 1 p 1 n = n p np = 1 p (ii) Olkoot nyt u W 1,p 0 () ja ϕ j C 0 () s.e. ϕ j u avaruudessa W 1,p (). Kohdan (i) nojalla ϕ j ϕ }{{} k p C(p, n) ϕ j ϕ }{{} k }{{} p, C0 () u u joten (ϕ j ) on Cauchy-jono avaruudessa L p () ja siis ϕ j v avaruudessa L p () jollakin v L p (). Koska ϕ j u avaruudessa L p (), niin osajono suppenee m.k. joukossa funktioon u ja samoin tämän osajonon osajono suppenee m.k. joukosa funktioon v. Täten u = v ja selvästi u p = v p C(p, n) u p. 4.3 Seuraus. Olkoon 1 p < n ja u W 1,p (). Tällöin u L p loc (). Olkoon U. Valitaan Ψ C0 () s.e. Ψ 1 joukossa U. Nyt uψ W 1,p 0 () ja Lauseen 4.2 nojalla u p,u uψ p, C(p, n) (uψ) p, <. Huomautus. 1. Lauseiden 4.1 ja 4.2 epäyhtälöissä on oikealla puolella vain u p eikä lainkaan termiä u p. 2. Yleisesti ei päde W 1,p () L p () HT. 4.4 Seuraus. Olkoon 1 kp < n ja u W k,p 0 (). Tällöin u pn n kp C(k, p, n) u k,p. 40
41 Induktio. Lauseen 4.2 nojalla väite pätee, kun k = 1. Oletaan, että väite pätee kertaluvulle k 1. Merkitään v = D j u, 1 j n. Nyt }{{} v =D j u W k 1,p 0 () pn n (k 1)p C(k 1, p, n) }{{} v k 1,p C(k, p, n) u k,p =D j u pn pn n kp+p ja q = < n, joten n (k 1)p u q C(q, n) u q. Siis epäyhtälö pätee kertaluvulle k, kun vasemmalla puolella q = nq = pn n kp n q = Tarkastellaan seuraavaksi tapausta p > n. Tätä varten todistetaan erittäin hyödyllinen Poincaré'n epäyhtälö, joka pätee kaikille p Lause. (Poincarè) Olkoon 1 p. Olkoon x 0 R n, r > 0 ja u C 1 (B(x 0, r)). Oletetaan, että u p,b(x0,r) <. Tällöin u L p (B(x 0, r)) ja u u B(x0,r) p dx C(p, n)r p u p dx, B(x 0,r) B(x 0,r) missä u B(x0,r) = udx. B(x 0,r) Olkoon x B(x 0, r) ja B := B(x 0, r). Arvioidaan ensin integraalia B u(x) u(y) p dy. Nyt u(x) u(y) p u(x + t(y x)) (y x)dt u(x + t(y x)) p y x p dt p 41
42 ja siten u(x) u(y) p dy B 1 B 0 1 u(x + t(y x)) p y x p dtdy = u(x + t(y x)) p y x p dydt 0 B }{{} =: z 1 ( ) p z x u(z) p t n dzdt 0 B B(x,2tr) t 1 ( ) p 2tr u(z) p t n dzdt 0 B B(x,2tr) t 1 (2r) p u(z) p dt z x B t dz n 2r / 1 = (2r) p u(z) p 1 t 1 n dz B 1 n z x 2r = (2r) p u(z) p z x 1 n (2r) 1 n dz B (2r) 1 n (n 1) (2r) p (2r) n 1 1 u(z) p z x 1 n dz n 1 B = C(p, n)r n+p 1 B u(z) p 1 dz. z x n 1 Annetaan tälle epäyhtälölle numero (4.5). Integroidaan (4.5) muuttujan x suhteen: u(x) u(y) p dydx C(p, n)r n+p 1 u(z) p 1 dzdx B B B B z x n 1 C(p, n)r n+p 1 r u(z) p dz. B Siis u(x) u(y) p dydx C(p, n)r n+p u p dx <, B B B 42
43 joten u L p (B). Täten u u B p dx = B B B B B C(p, n)r n+p u(x) u(y)dy p dx u(x) u(y) p dydx u p dx B = C(p, n)r p u p dx. B Huomautus. 1. Lauseen 4.5 väite pätee myös funktioille u W 1,p (B(x 0, r)). Tämä nähdään approksimoimalla. 2. Lauseen 4.5 todistuksen voi palauttaa muuttujanvaihdolla tapaukseen x 0 = 0 ja r = 1 : annetulle u tarkastellaan funktiota v(x) = u(x 0 + rx). 4.6 Seuraus. Olkoon p > n ja u C 1 (B(x 0, r)). Tällöin u(x) u(y) C(p, n)r 1 n p u p,b(x0,r) x, y B(x 0, r). Voidaan olettaa, että u p,b(x0,r) <. Epäyhtälön (4.5) nojalla (otetaan p = 1) saadaan u(x) u(y) = u(x) u(y) dz B(x 0,r) B(x 0,r) C(n) u(x) u(z) dz + u(y) u(z) dz B(x 0,r) u(z) 1 z x + 1 n 1 z y n 1 dz ( z x p(n 1) p 1 B(x 0,r) B(x 0,r) C(p, n) u p,b(x0,r) + z y p(n 1) p 1 dz ) p 1 p. 43
44 Nyt B(x 0,r) z x p(n 1) p 1 dz = z x p(n 1) p 1 dz B(x,2r) 2r t p(n 1) p 1 t n 1 dt S n 1 0 } {{ } < n 1 1 C(p, n)r p 1, dσ joten u(x) u(y) C(p, n) u p,b(x0,r) (r 1 n 1 p 1 ) p 1 p kuten haluttiin. 4.7 Lause. Olkoot p > n ja u W 1,p 0 (). Tällöin löytyy v C() s.e. v = u m.k. joukossa ja kaikille x, y. v(x) v(y) C(p, n) x y 1 n p u p Olkoon ϕ C 0 (). Voidaan olettaa, että ϕ C 0 (R n ). Olkoot x, y. Nyt x, y B(x, 2 x y ), joten seurauksen 4.6 nojalla ϕ(x) ϕ(y) C(p, n)(2 x y 1 n p ) ϕ p,b(x,2 x y ) C(p, n) x y 1 n p ϕ p,. Olkoon u W 1,p 0 (). Tällöin löytyy (ϕ j ) C 0 () s.e. ϕ j u avaruudessa W 1,p (). Erityisesti ϕ j u avaruudessa L p () ja ϕ j u p 0, kun j. Osajonoon siirtymällä voidaan olettaa, että ϕ j (x) u(x) m.k. x. Olkoon x. Jos (ϕ j (x)) j=1 suppenee, niin määritellään v(x) := lim j ϕ j (x). 44
45 Ellei, löytyy :n pisteet x i, joille x i x ja joille i ϕ j (x i ) u(x i ) (syy: ϕ j (y) u(y) m.k. y ). Nyt ϕ j (x) ϕ k (x) ϕ j (x) ϕ j (x i ) + ϕ }{{} j (x i ) ϕ k (x i ) + ϕ }{{} k (x i ) ϕ k (x). }{{} (i) (ii) (i) (7) Tarkastellaan termejä (i),(ii). Ensinnäkin ϕ j (x) ϕ j (x i ) C(p, n) x x i 1 n p ϕj p M x x i 1 n p, sillä ( ϕ j ) on rajoitettu jono L p (R n ) :ssä. Kiinnitetään x i s.e. M x x i 1 n p < ɛ. Tällöin ϕ j (x i ) ϕ k (x i ) < ɛ, kun j, k ovat riittävän suuria, sillä ϕ j (x i ) u(x i ). Siispä ϕ j (x) ϕ k (x) 3ɛ, joten (ϕ j (x)) on Cauchy-jono R:ssä ja täten on olemassa lim j ϕ j (x). Voimme siis määritellä v(x) := lim j ϕ j (x) kun x. Edelleen v(x) v(y) = lim j (ϕ j (x) ϕ j (y)) n lim x y 1 p C(p, n) ϕj p j = C(p, n) x y 1 n p u p. Selvästi v on jatkuva ja koska ϕ j (x) u(x) m.k. x, niin u = v m.k. joukossa. Huomautus. 1. Lauseen 4.7 funktiolle v pätee v(x) = lim u(z)dz. r 0 B(x,r) 45
46 2. Lauseen 4.7 todistuksen argumentin sijasta todistuksen voi myös perustaa Arzela-Ascolin lauseeseen. 4.8 Seuraus. Olkoon u W 1,p () ja p > n. Tällöin funktiolle u löytyy jatkuva edustaja v, jolle kaikilla U on olemassa C = C(p, n, U, u p ) s.e. joukossa U. Edelleen, jos B(x 0, 2r), niin v(x) v(y) C x y 1 n p u p m.k. x, y B(x 0, r). HT u(x) u(y) C(p, n) x y 1 n p u p,b(x0,2r) Huomautus. 1. Aina ei päde u(x) u(y) C(p, n) x y 1 n p u p, m.k. x, y, kun u W 1,p () ja p > n. 2. Ehto p > n lauseissa on oleellinen kun n 2: löytyy u W 1,n 0 (B(0, 1)) s.e. ess sup B(0,1) u(x) =. 3. Korkeammille kertaluvuille saadaan samantyyppisiä tuloksia induktiolla käyttäen apuna edellä olevia lauseita. Olkoon esimerkiksi u W 2,p 0 (B(0, 1)). Jos p > n/2 ja p < n, niin lauseen 4.2 nojalla D j u L p (B(0, 1)) j = 1,..., n. Nyt p > n ja ( B(0,1) u p dx) 1 p <, joten u(x) u(y) C(p, n) x y 1 n p u p C(p, n) x y 2 n p u 2,p,B(0,1). Jos oletamme yllä, että p > n, niin lauseen 4.7 nojalla D j u on "jatkuva", joten löytyy v C 1 (B(0, 1)) s.e. v = u m.k. joukossa B(0, 1). 46
47 4. Tämän luvun tuloksia kutsutaan usein Sobolevin epäyhtälöiksi tai Sobolevin upotuslauseiksi (4.2,4.7). Yhdistämällä seuraukset 4.3 ja 4.8 saamme luvun alussa mainitun korkeamman integroituvuuden. 4.9 Seuraus. Olkoon 1 p < ja u W 1,p (). Tällöin u L q loc (), missä q = pn/(n p) kun p < n, q = kun p > n ja q on mikä tahansa äärellinen eksponentti kun p = n. Tarkastellaan lopuksi tapausta p = n tarkemmin. Kuten on jo todettu, tässä tapauksessa Sobolev-funktio ei välttämättä ole lokaalisti oleellisesti rajoitettu. Toisaalta kyseinen funktio kuuluu jokaiseen avaruuteen L q loc, q <. Tarkan integroituvuuden antaa seuraava tulos Lause. (Yudovich, Trudinger) Olkoon u W 1,n 0 () ja <. Tällöin ( [ ] ) n u n 1 exp dx C 2, C 1 u n missä C i = C i (n), i=1,2. Ziemer Thm T odistuksen idea: Hölderin epäyhtälön avulla nähdään, että u W 1,p 0 () jokaiselle p < n. Täten u L p () p < n ja u p C(p, n, ) u n. Nyt joten exp ( u n n 1 exp(t) = c k=0 ) dx = t k k! k=0 u kn n 1 c k k! dx. Käytetään tähän yllä olevaa arviota ja lasketaan arvio vakiolle C(p, n, ); sarjan suppeneminen saadaan osamäärätestillä. Vakiolle C(p, n, ) tarvitaan parempi arvio kuin mitä saadaan Lauseen 4.2 todistuksesta. 47
48 Huomautus. Sobolevin epäyhtälöiden iterointi ei välttämättä anna optimaalisia tuloksia avaruuksille W k,p kun k > 1. Esimerkiksi avaruuden W 3,1 (R 3 ) funktioilla on jatkuvat edustajat; Lauseen 4.2 nojalla saadaan u L 3 (R 3 ) ja täten Seurausta 4.8 ei pystytä käyttämään. Vastaava tilanne syntyy avaruuden W 2,n (R n ) tapauksessa. 48
49 5 PERUSOPERAATIOT Aikaisemman perusteella heikko derivointi D α on lineaarinen: jos D α u, D α v ja jos λ, µ R, niin D α (λu + µv) = λd α u + µd α v. Todistetaan versiot tulo- ja ketjusäännöstä. 5.1 Lause. (Tulosääntö) Olkoot u, v L () W 1,p (), 1 p. Tällöin uv W 1,p () ja kun α = 1. D α (uv) = ud α v + vd α u, Huomautus. Jos u, v L 1 loc () ja on olemassa Dα u, D α v L 1 loc (), niin ei välttämättä ole olemassa yleistettyä derivaattaa D α (uv). HT Olkoon ϕ C0 (). Valitaan 1 2 s.e. sptϕ 1. Määritellään u j = J 1 (uχ 2 ). j Tällöin u j C ( 1 ), kun j on riittävän suuri ja lemman 3.3 nojalla D α u j = J 1 D α u joukossa 1. j Lisäksi u j L ( 1 ) u L () ja u j u avaruudessa W 1,p ( 1 ); voidaan edelleen olettaa, että u j u m.k. joukossa 1. Olkoon ϕ C0 (). Nyt (D α v)( u j ϕ )dx = vd α (u }{{} j ϕ)dx C0 ( 1) C0 () = v(u j D α ϕ + ϕd α u j )dx. 1 Täten (u j D α v)ϕdx } 1 {{} R (ud α v)ϕdx 1 + ( 1 raj. raj. {}}{ v D α {}}{ u }{{} j ) ϕ dx L }{{ p } R (vd α u)ϕdx ( ) 1 = vu j D α ϕdx } 1 {{} R vud α ϕdx 1 49
50 ja siis (ud α v + vd α u)ϕdx = vud α ϕdx ϕ C0 (). Olkoon ensin p <. Nyt ( ud α v + vd α u p dx ) 1 p u D α v p + v D α u p <, joten D α (uv) L p (), erityisesti D α (uv) L 1 loc (). Jos p =, niin selvästi ud α v + vd α u L () L 1 loc(). Täten D α (uv) = ud α v + vd α u. Perustelu kohdalle (*): (vd α u j vd α u)ϕdx v ϕ D 1 α u j D α u dx 1 v ϕ D α u j D α u p,1 }{{} 1 < 0, kun j. p 1 p Huomautus. Lemmalle 5.1 saadaan myös lyhyt todistus käyttäen lausetta 3.9: valitaan funktioille u ja v ACL-edustajat û, ˆv. Olkoon D α = D j. Nyt melkein kaikille koordinaattiakselin x j -suuntaisille suorille molemmat funktiot û ja ˆv ovat absoluuttisesti jatkuvia kyseisellä suoralla joukossa. Tällaisella suoralla selvästi D j (ûˆv) = ûd jˆv + ˆvD j û. Väite seuraa täten Fubinin lauseella lauseesta 3.9. Tästä argumentista nähdään, että tulosääntö pätee kunhan u, v W 1,1 loc () ja uv, udα v, vd α u L 1 loc (). 5.2 Lemma. Olkoot u, v L 1 loc (). Tällöin v = Dα u jos ja vain jos löytyy ϕ j C () s.e. 1 pätee ϕ j u avaruudessa L 1 ( 1 ) ja D α ϕ j v avaruudessa L 1 ( 1 ). 50
51 " " ϕ j = J 1 (uχ 2 ), 1 2 j (jatketaan uχ 2 nollana joukkoon R n \ ). " " HT: ϕ jd α Ψdx = ( 1) α 1 sptψ (Dα ϕ j )Ψdx. 5.3 Lause. (Ketjusääntö) Olkoon f C 1 (R) s.e. f <. Jos funktiolla u L 1 loc () on heikko derivaatta Dα u L 1 loc (), α = 1, niin funktiolla f u on heikko derivaatta D α (f u) = f (u)d α u L 1 loc(). Erityisesti jos f u L p () ja u W 1,p (), niin f u W 1,p (). Väite seuraa helposti absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuksista käyttäen edellisen huomautuksen päättelyä. Esitetään harjoituksen vuoksi myös todistus, joka ei käytä lausetta 3.9: Riittää todistaa väite kun p <, sillä tapaus p = seuraa helposti tästä. Olkoot 1 2. Tällöin, kuten edellisen lauseen todistuksessa, löytyy ϕ j C ( 2 ) s.e. ϕ j u avaruudessa W 1,1 ( 1 ). Valitaan Ψ C0 ( 2 ) s.e. Ψ 1 joukossa 1 ja asetetaan ϕ j = Ψ ϕ j. Käyttämällä väliarvolausetta funktiolle f saadaan f ϕ j f u dx f ϕ j (x) u(x) dx kun j. Siis f ϕ j f u avaruudessa L 1 ( 1 ). Lisäksi f u L 1 ( 1 ). Syy: kuten yllä, 1 f ϕ j f ϕ k dx 0, kun j, k, joten jono (f ϕ j ) on Cauchy avaruudessa L 1 ( 1 ) ja siten (f ϕ j ) suppenee avaruudessa L 1 ( 1 ). Voidaan olettaa, että f ϕ j (x) f u(x) m.k. x 1 (siirtymällä osajonoon). Edelleen f (u)d α u D α (f ϕ j ) dx = f (u)d α u f (ϕ 1 }{{} j )D α ϕ j dx 1 C 51
52 f (u)d α u f (ϕ j )D α u dx + 1 }{{} f (ϕ j )D α u f (ϕ j )D α ϕ j dx. 1 }{{} 2 f D α u L 1 ( 1 ) f D α u D α ϕ j Edelleen f (ϕ j (x)) f (u(x)) m.k. x 1 ja D α ϕ j D α u avaruudessa L 1 ( 1 ). Täten D α (f ϕ j ) f (u)d α u avaruudessa L 1 ( 1 ). Käyttämällä lemmaa 5.2 jonolle f ϕ j, saadaan D α (f u) = f (u)d α u. Viimeinen väite selvä, sillä f (u)d α u p f D α u p. 5.4 Lause. Olkoon u W 1,p (), 1 p. Tällöin u +, u, u W 1,p () ja { D D α u + = α u m.k. joukossa {x : u(x) > 0} 0 m.k. joukossa {x : u(x) 0}, { D α u 0 m.k. joukossa {x : u(x) 0} = D α u m.k. joukossa {x : u(x) < 0}, D α u = D α u m.k. joukossa {x : u(x) > 0} 0 m.k.joukossa {x : u(x) = 0} D α u m.k. joukossa {x : u(x) < 0} kaikilla α = 1. Lisäksi D α u = 0 m.k. joukossa {x : u(x) = 0}. Väite seuraa absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuksista edellisen huomautuksen päättelyllä. Annetaan kuitenkin myös lauseeseen 5.3 perustuva todistus: Riittää { todistaa väite kun p <. Olkoon ɛ > 0. Määritellään t2 + ɛ f ɛ (t) = 2 ɛ, jos t > 0 0, jos t 0. Nyt { f ɛ(t) t = t, jos t > 0 2 +ɛ 2 0, jos t < 0, joten f ɛ C 1 (R), f ɛ(0) = 0 ja f ɛ 1 <. Ketjusäännön (lause 5.3) nojalla D α (f ɛ u) = f ɛ(u)d α, kun u W 1,p (). Olkoon ϕ C0 (). Nyt (f ɛ u)d α ϕdx = f ɛ(u)(d α u)ϕdx. 52
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotSobolev-avaruudet. Tero Kilpeläinen
Sobolev-avaruudet Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja 5. kesäkuuta 2007 Sisältö 1. Johdattelua 1 1.1. Perusmerkintöjä.............................. 8 2. L p -avaruudet 9 2.1. Yleistä...................................
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotModerni reaalianalyysi
JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
LisätiedotTiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma
Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause
LisätiedotREAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015
REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotSymmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö
Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö Arttu Yli-Sorvari Pro gradu -tutkielma 218 matematiikan ja tilastotieteen laitos Tiivistelmä Yli-Sorvari, Arttu Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö Matematiikan
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
LisätiedotDerivaatasta ja derivoituvuudesta
Derivaatasta ja derivoituvuudesta Piia Lehtola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Tiivistelmä: Piia Lehtola, Derivaatasta ja derivoituvuudesta,
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedotp-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta
p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jarkko Siltakoski Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 R N x alue B(x 0, r) E E E int E E U E Merkintöjä
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.
Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).
LisätiedotPerusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotJordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta
Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotPoissonin yhtälö ja Greenin funktio
Poissonin yhtälö ja Greenin funktio Ipa Puustinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 209 Tiivistelmä: Ipa Puustinen, Poissonin yhtälö ja Greenin funktio
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
Lisätiedotvan der Waals-Cahn-Hilliardin energiafunktionaalin minimointiongelma
van der Waals-Cahn-Hilliardin energiafunktionaalin minimointiongelma Miikka Kuisma Pro Gradu-tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2019 Tiivistelmä: Miikka Kuisma,
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π
78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
LisätiedotÄärellisen väännön kuvaukset: Diskreettisyys ja avoimuus
Äärellisen väännön kuvaukset: Diskreettisyys ja avoimuus Martti Rasimus Matematiikan pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2015 Tiivistelmä: Martti Rasimus,
LisätiedotL p -keskiarvoalueista
L p -keskiarvoalueista Jenni Alamehtä Matematiikan pro gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu 4 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFOS UNIVESITET UNIVESITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.
Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotHILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS
HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotU missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A
Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
Lisätiedotpuolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt
8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedot= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja
44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan
Lisätiedoton Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g) 1,2 = (f g) 2 + (f g ) 2, missä ( ) 2 on L 2 (0, 1):n tavallinen sisätulo.
f ( n n 6. Sobolevin avaruudet 1 Monisteen [7, 15.4 ja määritelmä 15.26] mukaan Banachin avaruus H 1,p (0, 1 on normiavaruuden C 1 p(0, 1 = {f C 1 (0, 1 f, f L p (0, 1} täydentymä, kun normina on f f p
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotMetristen avaruuksien differentioituvat struktuurit, syksy 2003
Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit, syksy 2003 Ilkka Holopainen 1 5. helmikuuta 2009 1 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen ilkka.holopainen@helsinki.fi 2 Metristen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot