Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö
|
|
- Emma Heino
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö Arttu Yli-Sorvari Pro gradu -tutkielma 218 matematiikan ja tilastotieteen laitos
2 Tiivistelmä Yli-Sorvari, Arttu Symmetrisointi ja Pólya-Szegő-epäyhtälö Matematiikan pro gradu -tutkielma Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Jyväskylän yliopisto, kesäkuu 218, 63 sivua Todistetaan variaatio-ongelmissa hyödyllinen ja hyvin tunnettu Pólyan ja Szegőn epäyhtälö, jonka mukaan Dirichlet n p-energia pienenee Sobolevfunktioiden Schwarzin symmetrisoinnissa. Tämä voidaan muotoilla siten, että jos u W 1,p (R n ), 1 p < ja u on funktion u vähenevä pallosymmetrinen uudelleenjärjestys, niin pätee u p dm n u p dm n. R n R n Schwarzin symmetrisoinnissa funktiota u kohti muodostetaan siis pallosymmetrinen ja vähenevä funktio u muuttamatta sen distribuutiofunktiota. Näistä ominaisuuksista seuraa, että alkukuvajoukot {u > t} ovat joukkojen {u > t} kanssa samanmittaisia palloja. Tämä taas liittää symmetrisoinnin luontevasti isoperimetriseen epäyhtälöön, jonka mukaan avaruuden R n samanmittaisista (ja äärellismittaisista) osajoukoista palloilla on pienin reunan pintamitta. Tämä on myös perimmäinen syy sille, miksi Pólyan ja Szegőn epäyhtälö on tosi. Avainsanat: uudelleenjärjestys, Schwarzin symmetrisointi, Pólyan ja Szegőn epäyhtälö, isoperimetrinen epäyhtälö i
3 And if you are inclined to be a pedant and must rely upon some rule, learn this one: Always use your own brains first. George Pólya ii
4 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Taustatietoja Tuloksia reaalianalyysistä Sobolev-avaruudet Perusominaisuuksia Heikko suppeneminen Rajoitetusti heilahtelevat funktiot Funktioiden symmetrisointi Vähenevä uudelleenjärjestys Schwarzin symmetrisointi Koarea-kaava 3 5 Isoperimetrinen epäyhtälö Minkowskin sisältö Sobolevin epäyhtälö tapauksessa p = Pólya-Szegő-periaate Pólyan ja Szegőn epäyhtälö Esimerkkejä Kapasitanssi Lämmönjohtuminen iii
5 1 Johdanto Erilaiset symmetrisointioperaatiot tarjoavat usein hyödyllisiä lähestysmistapoja variaatiolaskennan ongelmiin. Tässä työssä symmetrisoinnilla viitataan funktioiden symmetrisointiin (uudelleenjärjestämiseen), jossa ajatuksena on korvata funktio parempien symmetriaominaisuuksien funktiolla säilyttäen kuitenkin riittävästi informaatiota alkuperäisestä funktiosta. Valaistaan symmetrisoinnin ideaa ja sen hyödyllisyyttä esimerkillä. Viritetään tason rajoitetun alueen yli elastinen kalvo kiinnittäen se reunaltaan. Kalvon värähtelyä kuvataan aaltoyhtälöllä, johon voidaan hakea ratkaisuehdokkaita separoituvassa muodossa. Tällöin avaruusosan suhteen päädytään Laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmaan { u(x) = λu(x), x u(x) =, x, missä λ >. Kalvon värähtelyn ominaistaajuuksia vastaavat ne luvut λ, joille kyseiseen ongelmaan löytyy epätriviaaleja ratkaisuja. Osoittautuu, että pienin näistä, siis perustaajuus, löydetään minimoimalla niin sanottua Rayleighin osamäärää. Tämä tarkoittaa, että etsitään luku λ 1 () = inf { u 2 dx u2 dx : u W 1,2 (), u }. Kiinnitetään alueen pinta-ala. Tällöin perustaajuus on pienimmillään joukon ollessa ympyrä. Vastaavaa ominaisarvo-ongelmaa voidaan toki tarkastella korkeammissakin ulottuvuuksissa, ja tällöin edelleen pätee, että alin ominaisarvo minimoituu joukon R n ollessa pallo. Tätä tulosta kutsutaan Faber-Krahn-epäyhtälöksi. Faber-Krahn-epäyhtälö on suora seuraus työssä todistettavasta Pólyan ja Szegőn epäyhtälöstä. Funktioille u W 1,p (), 1 p <, muodostetaan vähenevä pallosymmetrinen uudelleenjärjestys u joukkoon, joka on joukon kanssa samanmittainen origokeskinen avoin pallo. Tällöin Pólyan ja Szegőn epäyhtälön mukaan u W 1,p ( ) ja u p dm n u p dm n. 1
6 Toisaalta uudelleenjärjestys tehdään muuttamatta funktion integraalinormeja, joten tästä seuraa välittömästi λ 1 ( ) λ 1 (). Esimerkki kuvaa hyvin sitä perusajatusta, jolla Pólya-Szegő-epäyhtälöä voidaan hyödyntää isoperimetrisissä ongelmissa. 1 Löytyy esimerkiksi monia muitakin matemaattisen fysiikan isoperimetrisiä epäyhtälöitä, jotka perustuvat sopiviin symmetrisointitekniikoihin. Faber-Krahn-epäyhtälön lisäksi klassisina esimerkkeinä mainittakoon aikanaan Saint-Venantin sekä Poincarén otaksumat teoreemat. Näistä ensimmäinen sanoo, että kun poikkileikkauksen ala on kinnitetty, on sylinterimäisistä tangoista suurin kiertojäykkyys sillä, jonka poikkileikkaus on ympyrä. Jälkimmäisen mukaan johtavista kappaleista pallolla on pienin sähköstaattinen kapasiteetti, 2 kun kappaleen tilavuus on kiinnitetty. Esimerkkejä löytyy lisää esimerkiksi artikkelista [Tal93] sekä tietenkin Pólyan ja Szegőn klassikkoteoksesta [PS51]. Yleensä tällaisiin matemaattisen fysiikan isoperimetrisiin epäyhtälöihin päästään käsiksi siten, että kiinnostuksen kohteena oleva fysikaalinen suure liittyy sopivan reuna-arvo-ongelman ratkaisuun ja erityisesti johonkin sen energialuonteiseen integraaliin. Kunhan tämä reuna-arvo-ongelma saadaan muotoiltua variaatio-ongelmana, voi symmetrisointiargumenttien mahdollisuus olla ilmeinen. Tiivistäen voidaan todeta, että symmetrisointitekniikoiden luonnollinen hyödyllisyys variointiongelmissa tekee niistä käyttökelpoisen työkalun yleisemminkin elliptisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden käsittelyssä. Hieman erilainen variointiongelma on optimaalisen vakion etsintä niin sanottuun Sobolevin epäyhtälöön u p C(p, n) u p funktioille u W 1,p (R n ). Tässä 1 p < n ja p =. Jälleen Pólyan ja n p Szegőn periaatteen nojalla voidaan rajoittua tarkastelemaan pallosymmetrisiä ja väheneviä funktioita, mikä palauttaa ongelman yksiulotteiseksi. Tähän menettelyyn nojautuen on artikkelissa [Tal76] löydetty optimaalinen, luvuista p ja n riippuva vakio sekä yhtäsuuruuden tavoittavat funktiot. Näin on esitelty mahdollisia käyttökohteita Pólyan ja Szegőn epäyhtälölle, jonka todistaminen on tämän työn päätavoite. Pólyan ja Szegőn epäyhtälö 1 Isoperimetrisillä ongelmilla tarkoitetaan yleisesti variaatio-ongelmia kiinnitetyillä sidosehdoilla. Nimityksensä nämä ovat saaneet alkuperäisestä isoperimetrisestä epäyhtälöstä, jonka mukaan tason osajoukoista ympyrällä on pienin ympärysmitan ja pinta-alan suhde. 2 Tämä voidaan tulkita varauksena, joka tasapainoasemassa nostaa kappaleen pinnan potentiaalia yhdellä yksiköllä suhteessa äärettömyyteen. 2 np
7 on sukua isoperimetriselle epäyhtälölle, johon sen todistus viime kädessä perustuu. Isoperimetrinen epäyhtälö todistetaan ilman yhtäsuuruuden karakterisointia, ja tässä yhteydessä tulee käsitellyksi myös Sobolevin epäyhtälö tapauksessa p = 1. Tämän lisäksi oleellisen tärkeä työkalu on niin sanottu koarea-kaava, joka käydään läpi siinä muodossa kuin se työn kannalta on tarpeen. 3
8 2 Taustatietoja Tähän lukuun kootaan hyödyllisiä tuloksia ja esitietoja ilman todistuksia. Mitta- ja integraaliteorian perusasiat oletetaan työssä tunnetuiksi. Käydään lyhyesti läpi käytettyjä merkintöjä siltä osin kuin ne eivät tekstissä erikseen tule määritellyksi. Kun X on topologinen avaruus, niin jatkuvien funktioiden X R joukkoa merkitään C(X). Joukolla tarkoitetaan lähtökohtaisesti avaruuden R n avointa osajoukkoa. Tällöin C k () koostuu funktioista f : R, joiden osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia kertalukuun k saakka. Edelleen C () = k N Ck (), ja funktioita f C () sanotaan sileiksi. Funktion f : X R kantaja spt f on joukon {x X : f(x) } sulkeuma. Funktion f sanotaan olevan kompaktikantajainen, jos spt f on joukon X kompakti osajoukko. Edelleen C (X) on jatkuvien ja kompaktikantajaisten funktioiden luokka. Vastaavasti määritellään C () = C () C (). Merkitään N = N {}. Olkoon α N n (multi-indeksi). Jos u C k () ja α := n j=1 α j k, niin merkinnällä α u tarkoitetaan α u = α x α x αn n Avaruus R n varustetaan euklidisella normilla ( n x = j=1 Tällöin avoin x-keskinen, r-säteinen pallo on B(x, r). Vastaavaa suljettua palloa merkitään B(x, r), ja yleisesti joukon A sulkeuma on Ā. Lebesguen mittaa (ulkomittaa) avaruudessa R n merkitään m n. Yksikköpallon mitasta käytetään lyhennettä ω n = m n (B(, 1)). Tällöin yksikköpallon (n 1)- ulotteinen pintamitta on yhtä kuin nω n. Merkinnällä χ A tarkoitetaan joukon A karakteristista funktiota, joka saa arvon 1 joukossa A ja arvon muualla. x 2 i ) Tuloksia reaalianalyysistä Kappaleeseen liittyen todistuksia ja lisätietoja löytyy lukuisista reaalianalyysin oppikirjoista. u. 4
9 Kerrataan Hausdorffin mittojen määritelmä. Olkoon s <. Merkitään π s/2 α(s) = 2 s Γ(s/2 + 1), missä Γ on tavanomainen gammafunktio Huomaa, että kun n N, niin Γ(s) = e x x s 1 dx. π n/2 Γ(n/2 + 1) = ω n on n-ulotteisen yksikköpallon Lebesguen mitta. Määritelmä 2.1. Olkoon s, δ > ja A R n. Määritellään joukolle A s-ulotteinen Hausdorffin δ-sisältö Hδ(A) s = inf {α(s) diam(e j ) s : A E j, diam(e j ) δ}. j=1 j=1 Tällöin joukon A s-ulotteinen Hausdorffin mitta on H s (A) = sup Hδ(A) s = lim H s δ> δ δ(a). Huomautus 2.2. Sovitaan tässä =. Tällöin -ulotteiseksi Hausdorffin mitaksi saadaan lukumäärämitta. Hausdorffin mitta voidaan määritellä samaan tapaan yleisiin metrisiin avaruuksiin. Annettu määritelmä voidaan nähdä erikoistapauksena niin sanotusta Carathéodoryn konstruktiosta, jolla saadaan konstruoitua Borelin mittoja. Itse asiassa konstruktion nojalla H s on Borel-säännöllinen, sillä peittävien joukkojen E j voidaan yhtä hyvin olettaa olevan suljettuja. Tämä siksi että sulkeuman ottaminen ei muuta joukon halkaisijaa. Kertoimen α(s) hyödyllisyyden voi aavistaa havaitsemalla, että jos n N ja B R n on pallo, niin α(n)diam(b) n on pallon B n-ulotteinen Lebesguen mitta. Osoittautuukin, että n-ulotteinen Hausdorffin mitta ja n-ulotteinen Lebesguen mitta ovat tällöin samat avaruudessa R n (ja H k on k-ulotteinen pintamitta, kun 1 k < n). Lause 2.3. Avaruudessa R n pätee H n = m n. 5
10 Todistus. Katso [EG92]. Minkä tahansa joukon Hausdorffin mitta voi olla positiivinen ja äärellinen ainoastaan yhdellä ulottuvuudella s. Tämä johtaa joukon Hausdorffin dimension käsitteeseen. Lause 2.4. Olkoot s < t < ja A R n. (i) Jos H s (A) <, niin H t (A) =. (ii) Jos H t (A) >, niin H s (A) =. Määritelmä 2.5. Joukon A X Hausdorffin dimensio on luku dim H (A) = inf {s : H s (A) = }. Seuraava lause yleistää Lebesguen mitalle tuttuja ominaisuuksia Borelin mitoille. Lause 2.6. Olkoon X metrinen avaruus, µ Borel-mitta joukossa X ja B X Borel-joukko. (i) Jos µ(b) <, niin kaikilla ε > on olemassa suljettu F B, jolla µ(b \ F ) < ε. (ii) Oletetaan, että löytyy avoimet joukot {G i } i N niin, että µ(g i ) < kaikilla i N, ja B i N G i. Jos ε >, niin B sisältyy johonkin avoimeen joukkoon G, jolla µ(g \ B) < ε. Palautellaan sitten mieleen funktioiden silotus. Olkoon vakio C siten, että Ce 1 1 x 2 dm n (x) = 1. Määritellään B(,1) ϕ(x) = {Ce 1 1 x 2, kun x < 1, kun x 1, ja kaikille ε > asetetaan ϕ ε (x) = ε n ϕ( x). Tällöin pätee ϕ ε ε C (R n ), spt ϕ ε B(, ε) ja ϕ R n ε dm n = 1. Funktiota ϕ ε kutsutaan silottajaytimeksi. Jos sitten u L 1 loc (Rn ), niin funktion u silotukseksi sanotaan konvoluutiota u ε (x) := (ϕ ε u)(x) = ϕ ε (x y)u(y) dy. R n 6
11 Lause 2.7. Olkoon α N n ja 1 p <. (i) Jos u L 1 loc (Rn ), niin u ε C (R n ) ja α u ε = α ϕ ε u. (ii) Jos u L p (R n ), niin u ε L p (R n ), u ε p u p ja u ε u p, kun ε. (iii) Jos u on jatkuva, niin u ε u lokaalisti tasaisesti, kun ε. Lauseen 2.7 mukaan sileät funktiot ovat tiheässä avaruudessa L p (R n ). Tätä tulosta voidaan vielä kuitenkin parantaa. Lause 2.8. Olkoon 1 p < ja R n avoin. Tällöin C () on tiheässä avaruudessa L p (). Seuraavaa lausetta kutsutaan Lebesguen derivointilauseeksi. Lause 2.9. Olkoon µ Radonin mitta ja f L 1 loc (Rn, µ). Tällöin on voimassa 1 lim f dµ = f(x) r µ(b(x, r)) µ-m.k. x R n. B(x,r) Huomautus 2.1. Radonin mitalla tarkoitetaan tässä avaruuden R n Borelsäännöllistä ulkomittaa, jolle kompaktit joukot ovat äärellismittaisia. Jos µ = m n, niin pallojen ei tarvitse olla x-keskisiä, vaan raja-arvo voidaan ottaa yli pisteen x sisältävien suljettujen pallojen säteen mennessä kohti nollaa. Yksi klassisista reaalianalyysin tuloksista kertoo kasvavan funktion olevan melkein kaikkialla derivoituva. Lause Olkoon f : R R kasvava. Tällöin f on melkein kaikkialla derivoituva ja b kaikilla a < b. a f dm 1 f(b) f(a) Määritelmä Funktio f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva, jos jokaiselle ε > löytyy δ > niin, että k f(b j ) f(a j ) < ε j=1 aina, kun (a 1, b 1 ),..., (a k, b k ) [a, b] ovat erillisiä ja k j=1 (b j a j ) < δ. 7
12 Absoluuttisesti jatkuvien funktioiden luokka on oikea analyysin peruslauseeseen. Lause Olkoon f : [a, b] R. Tällöin f on absoluuttisesti jatkuva täsmälleen silloin, kun se on derivoituva melkein kaikkialla joukossa [a, b], f on integroituva ja d f dm 1 = f(d) f(c) kaikilla a c < d b. c 2.2 Sobolev-avaruudet Kootaan Sobolev-avaruuksista joitakin perusasioita. Laajemmin tietoa löytyy Sobolev-avaruuksia käsittelevistä kirjoista kuten [Zie89] tai [Leo9] Perusominaisuuksia Olkoon jatkossa aina R n avoin. Määritelmä Olkoon u L 1 loc () ja α Nn. Oletetaan, että on olemassa funktio v L 1 loc () niin, että kaikilla ϕ C () pätee u α ϕ dm n = ( 1) α v ϕ dm n. (2.1) Tällöin sanotaan, että v on funktion u α:s heikko osittaisderivaatta. Merkitään lisäksi D α u = v. Huomautus Jos u C k () ja α k, niin tavallinen derivaatta α u on myös α:s heikko derivaatta. Ollessaan olemassa heikko derivaatta on aina yksikäsitteinen (L p -mielessä). Yhtälöä (2.1) sanotaan osittaisintegrointikaavaksi. Usein käsitellään vain ensimmäisen kertaluvun derivaattoja, jolloin heikkoja derivaattoja tavataan merkitä muodossa D j u. Jos ensimmäisen kertaluvun heikot osittaisderivaatat ovat olemassa, tarkoitetaan u:n heikolla gradientilla vektorifunktiota u = (D 1 u,..., D n u). 8
13 Määritelmä Olkoon 1 p ja k N. Sobolevin avaruus W k,p () koostuu kaikista niistä funktioista u L p (), joille on olemassa D α u L p () kaikilla α k. Määritellään avaruuteen normi asettamalla u k,p := D α u p. (Huom: Jos α =, niin D α u = u.) α k Sobolev-avaruus W k,p () on Banachin avaruus. Sen tärkeä ominaisuus on sileiden funktioiden tiheys. Lause Olkoon 1 p < ja u W k,p (). Tällöin löytyy jono funktioita ϕ j C () W k,p () niin, että u ϕ j k,p, kun j. Vaatimalla sileiden ja kompaktikantajaisten funktioiden tiheys saadaan määritelmä avaruudelle W k,p (). Määritelmä Avaruus W k,p () on joukon C () sulkeuma avaruudessa W k,p (). Avaruuden W k,p () suljettuna aliavaruutena myös W k,p () on Banachin avaruus. Mainittakoon, että on voimassa W k,p (R n ) = W k,p (R n ), kun 1 p <. Sobolev-funktioille saadaan hyödyllinen karakterisaatio suorilla absoluuttisen jatkuvuuden avulla. Määritelmä Olkoon L koordinaattiakselin suuntainen suora. Sanotaan, että funktio u : R on absoluuttisesti jatkuva suoralla L, jos rajoittumafunktio u L on absoluuttisesti jatkuva kaikilla suljetuilla väleillä [a, b] L. Edelleen u on ACL (absolutely continuous on lines), jos u on absoluuttisesti jatkuva melkein kaikilla koordinaattiakselien suuntaisilla suorilla. Tällä ilmaisulla tarkoitetaan sitä, että kun kunkin akselin suuntaiset suorat vastaavat pistettä n 1-ulotteisessa aliavaruudessa, niin suorat joilla absoluuttinen jatkuvuus ei päde, muodostavat kussakin suunnassa m n 1 - nollamittaisen joukon. Lause 2.2. Olkoon 1 p < ja u L p (). Tällöin u W 1,p () jos ja vain jos funktiolle u löytyy ACL-edustaja, jonka osittaisderivaatat kuuluvat avaruuteen L p (). ACL-karakterisaatio mahdollistaa absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuksien käytön Sobolev-funktioiden käsittelyssä. Tämä helpottaa esimerkiksi erilaisten derivointisääntöjen todistamista. 9
14 Lause Olkoot u, v W 1,p () L (). Tällöin uv W 1,p () ja (uv) = u v + v u. Lause Olkoon u W 1,p (). Tällöin positiivi- ja negatiiviosille pätee u +, u W 1,p () sekä { u + u(x), u(x) > (x) =, u(x), ja u (x) = {, u(x) u(x), u(x) <. Huomautus Erityisesti u = (m.k.) joukossa {x : u(x) = }. Lisäksi kun u, v W 1,p (), niin max {u, v} W 1,p () ja { u(x), u(x) v(x) max {u, v}(x) = v(x), u(x) < v(x). Myös seuraava ketjusääntö pätee. Lause Olkoon f : R R Lipschitz ja u W 1,p (), p 1. Jos f u L p (), niin f u W 1,p () ja (f u) = (f u) u Heikko suppeneminen Kerrataan hieman funktionaalianalyysiä (ks. esim. [Bre1]). Määritelmä Olkoon E (reaalikertoiminen) normiavaruus. Sen kaikkien lineaaristen funktionaalien, siis jatkuvien lineaarikuvausten f : E R joukkoa kutsutaan avaruuden E (topologiseksi) duaaliksi, jota merkitään muodossa E. Duaaliavaruus on vektoriavaruus luonnollisilla yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella. Normiavaruus siitä saadaan asettamalla niin sanottu operaattorinormi f = sup{ f(x) : x 1}. Tällöin E on Banachin avaruus, vaikka E ei olisikaan. 1
15 Topologiasta muistetaan kuvausperheen indusoiman topologian käsite. Tämän ideana voidaan ajatella olevan se, että kokoelma joukon X funktioita f i : X Y i, i I, topologisille avaruuksille Y i määrää joukkoon X karkeimman mahdollisen topologian, jossa kaikki kuvaukset f i ovat jatkuvia. Eräs kanta tälle topologialle saadaan muodossa { j J f 1 j (U j ) : U j Y j avoin, J I äärellinen}. Tyypillinen esimerkki indusoidusta topologiasta on projektiokuvausten indusoima tulotopologia karteesiseen tuloavaruuteen. Toinen tärkeä esimerkki on heikko topologia: Määritelmä Olkoon E normiavaruus. Kuvausten f E indusoima topologia on avaruuden E heikko topologia. Määritelmä Kun normiavaruuden E jono (x j ) suppenee heikossa topologiassa alkioon x E, sanotaan, että jono suppenee heikosti alkioon x ja merkitään x j x. Huomautus Heikolla topologialla varustettu E on Hausdorffin avaruus. Erityisesti heikko raja on yksikäsitteinen. Lause Olkoon (x j ) jono Banachin avaruudessa (E, ) ja x E. (i) Pätee x j f E. x täsmälleen silloin, kun lim j f(x j ) = f(x) kaikilla (ii) Jos x n x normin suhteen, niin x j x. (iii) Jos x j x, niin jono (x j ) on rajoitettu, ja lisäksi on voimassa x lim inf j x j. Heikko topologia on karkeampi kuin normin määrittämä topologia, eli heikosti avoimet joukot ovat avoimia normin suhteen. (Ja siispä sama pätee suljetuille joukoille.) Äärellisulotteisessa tapauksessa mainitut topologiat ovat itse asiassa samat, mutta ääretönulotteisessa tilanteessa heikko topologia on aidosti karkeampi. Hahnin ja Banachin lauseen avulla voidaan kuitenkin todistaa seuraava tieto. Lause 2.3. Normiavaruuden E konveksit suljetut joukot ovat suljettuja myös heikossa topologiassa. 11
16 Kun A R n on mitallinen ja 1 < p <, niin Rieszin esityslauseen mukaan avaruuden L p (A) duaali voidaan samaistaa avaruuteen L p p 1 (A). Jonon (f j ) heikko suppeneminen funktioon f avaruudessa L p (A) tarkoittaa siis sitä, että lim f j g dm n = fg dm n j A kaikilla g L p p 1 (A). Rieszin esityslausetta voidaan yleistää sopivasti myös avaruuteen W 1,p (), ja tällöin voidaan todeta, että u j u avaruudessa W 1,p () täsmälleen silloin, kun u j u avaruudessa L p () ja u j u avaruudessa L p (; R n ). Avaruuden L p (A) suljetut pallot ovat heikosti jonokompakteja, kun 1 < p < : Lause Olkoon 1 < p <. Jos (f j ) on avaruuden L p (A) rajoitettu jono, niin on olemassa osajono (f jk ) ja f L p (A) niin, että f jk f. Tätä käyttämällä saadaan vastaava tulos Sobolev-avaruuksille. Lause Olkoon 1 < p < ja (u j ) rajoitettu jono avaruudessa W 1,p (). Tällöin on olemassa osajono (u jk ) ja u W 1,p () niin, että u jk u avaruudessa W 1,p (). 2.3 Rajoitetusti heilahtelevat funktiot Lause 2.32 ei päde, kun p = 1. Tämä antaa syyn tarkastella avaruutta, joka on sopivasti laajempi kuin W 1,1 (). Tällöin päädytään puhumaan rajoitetusti heilahtelevista funktioista. Otetaan hyvin lyhyesti tarkasteluun tämä käsite. Työn kannalta oleellisinta on tältä osin näiden erikoistapauksena saatavat äärellisen perimetrin joukot. Lisätietoja ja todistuksia varten voi kääntää katseensa vaikkapa kirjoihin [EG92] tai [Zie89]. Määritelmä Olkoon R n avoin ja u L 1 (). Sanotaan, että u on rajoitetusti heilahteleva joukossa, jos sup { u div ϕ dm n : ϕ C (; R n ), ϕ 1} <. Merkitään rajoitetusti heilahtelevien funktioiden avaruutta BV (). Usein rajoitetusti heilahtelevat funktiot luonnehditaan tai suorastaan määritellään funktioiksi, joiden distribuutioderivaatat ovat Radonin mittoja. Tälle ilmaisulle perustelun antaa seuraava lause, jonka todistus perustuu Rieszin esityslauseeseen avaruudessa C (; R n ). A 12
17 Lause Olkoon u BV (). Tällöin on olemassa Radonin mitta µ joukossa ja µ-mitallinen funktio σ : R n siten, että σ(x) = 1 µ-m.k. x ja u div ϕ dm n = ϕ σ dµ kaikilla ϕ C 1 (; R n ). Lauseen 2.34 mittaa merkitään usein µ = Du. Tätä kutsutaan funktion u variaatiomitaksi ja sille on voimassa Du () = sup { u div ϕ dm n : ϕ C (; R n ), ϕ 1}. Avaruus BV () on Banachin avaruus normilla u BV () = u L 1 () + Du (). Esimerkiksi kaikki Sobolev-funktiot u W 1,1 () ovat rajoitetusti heilahtelevia funktioita. Näille pätee Du () = u dm n. Myös BV -funktioita voidaan tietyssä mielessä approksimoida sileillä funktioilla. Tämä ei kuitenkaan yleisesti ottaen onnistu BV -normissa; silloin kyseessä olisi Sobolev-funktio. Lause Jos u BV (), niin on olemassa funktiot u j C (), j N, niin, että u j u avaruudessa L 1 () ja u j dm n Du (), BV () kun j. Huomautus Jos = R n, niin edellinen approksimointi onnistuu funktioilla u j C (R n ). Ideana on se, että ensinnäkin kompaktikantajaisille funktioille u BV (R n ) tämä on totta. Yleistä u approksimoidaan sitten kompaktikantajaisella funktiolla uφ, missä φ on riittävän suuren pallon karakteristisen funktion silotus. 13
18 Määritelmä Olkoon R n avoin ja E R n mitallinen. Joukolla E sanotaan olevan äärellinen perimetri joukossa, jos χ E BV (). Tällöin lukua P (E; ) := Dχ E () = sup { div ϕ dm n : ϕ C (; R n ), ϕ 1} E sanotaan joukon E perimetriksi joukon suhteen. Jos = R n, niin puhutaan vain joukon E perimetristä ja merkitään tätä lyhyemmin muodossa P (E). Huomautus Jos E ei ole äärellisen perimetrin joukko, siis jos sup { div ϕ dm n : ϕ C (; R n ), ϕ 1} =, E niin on hyvin luonnollista määritellä tällöin P (E; ) =. Huomautus Jos avoimen joukon G R n reuna on riittävän siisti, niin P (G) = H n 1 ( G), mikä seuraa Gaussin ja Greenin lauseesta. 14
19 3 Funktioiden symmetrisointi Tässä luvussa tarkastellaan funktioiden uudelleenjärjestelyä ja sen ominaisuuksia. Aloitetaan tarkastelu yksiulotteisella uudelleenjärjestyksellä, jonka pallosymmetrinen versio on Pólyan ja Szegőn epäyhtälössä käytettävä Schwarzin symmetrisaatio. Schwarzin symmetrisointia voidaan alkukevennyksenä havainnollistaa seuraavasti. Kuvitellaan, että jollekin tasaiselle alueelle on levittynyt lunta erilaisiin kasoihin. Oletetaan myös, että tiedämme, kuinka suuressa joukossa lumenkorkeus ylittää kunkin arvon. Rajataan ympyränmuotoinen alue, jonka pinta-ala on sama kuin alkuperäisen alueen. Ryhdytään sitten järjestämään lumimassa tähän ympyrään symmetriseen ja laskevaan muotoon siten, että lumenkorkeus ylittää kunkin lukeman aina yhtä suuressa joukossa kuin alkutilanteessa. Jos u on funktio, joka kertoo alkuperäisen lumenkorkeuden kussakin pisteessä, on tälle funktiolle tullut näin muodostettua vähenevä pallosymmetrinen uudelleenjärjestys u, jota myös Schwarzin symmetrisaatioksi kutsutaan. Luku pohjautuu erityisesti lähteisiin [Leo9] ja [Kes6]. 3.1 Vähenevä uudelleenjärjestys Määritelmä 3.1. Olkoon E R n mitallinen joukko ja u : E [, ] mitallinen funktio. Funktion u distribuutiofunktio on kuvaus µ u : R [, ], µ u (t) = m n ({x E : u(x) > t}). Distribuutiofunktio on vähenevä, mikä seuraa välittömästi määritelmästä. Lisäksi pätee µ u (t) = kaikilla t ess sup E u ja µ u (t) = m n (E) kaikilla t < ess inf E u. Propositio 3.2. Olkoon E R n mitallinen joukko ja u : E [, ] mitallinen funktio. Tällöin distribuutiofunktiolle µ u pätee: (i) Distribuutiofunktio on oikealta jatkuva. (ii) Jos µ u (s) < jollakin s < t, niin µ u on jatkuva pisteessä t täsmälleen silloin, kun m n ({x E : u(x) = t}) =. (iii) Jos nouseva jono (u j ) suppenee pisteittäin funktioon u, niin (µ uj ) on nouseva jono, joka suppenee funktioon µ u. 15
20 Todistus. (i) Olkoon (t j ) vähenevä jono siten, että t j t. Oikealta jatkuvuuden näyttämiseksi riittää todeta, että µ u (t j ) µ u (t). Koska joukot {x E : u(x) > t j } muodostavat kasvavan jonon mitallisia joukkoja, pätee lim µ u(t j ) = lim m n ({x E : u(x) > t j }) j j = m n ( j N{x E : u(x) > t j }) = m n ({x E : u(x) > t}) = µ u (t). (ii) Olkoon (t j ) kasvava jono siten, että s < t j < t kaikilla j N ja t j t. Nyt joukkojen {x E : u(x) > t j } jono on laskeva, ja koska m n ({x E : u(x) > t 1 }) <, saadaan lim µ u(t j ) = lim m n ({x E : u(x) > t j }) j j = m n ( j N{x E : u(x) > t j }) = m n ({x E : u(x) t}) = µ u (t) + m n ({x E : u(x) = t}). Näin ollen µ u on tässä tapauksessa myös vasemmalta jatkuva pisteessä t, jos ja vain jos m n ({x E : u(x) = t}) =. (iii) Selvästi {x E : u j (x) > t} {x E : u j+1 (x) > t}, joten µ uj (t) µ uj+1 (t). Loppu seuraa laskusta µ u (t) = m n ({x E : u(x) > t}) = m n ( j N{x E : u j (x) > t}) = lim j m n ({x E : u j (x) > t}) = lim j µ uj (t). Lemma 3.3. Olkoon u : E [, ] mitallinen funktio niin, että u(x) < m.k. x E. Jos µ u (t) < kaikilla t >, niin lim µ u(t) =. t Todistus. Joukot {x E : u(x) > k} muodostavat laskevan jonon äärellismittaisia mitallisia joukkoja. Siispä lim µ u(k) = lim m n ({x E : u(x) > k}) k k = m n ( k N{x E : u(x) > k}) = m n ({x E : u(x) = }) =. 16
21 Väite seuraa, sillä µ u on vähenevä. Huomautus 3.4. Toisinaan ei-negatiivisen funktion u sanotaan olevan äärettömyydessä häviävä, jos µ u (t) < kaikilla t >. Tämä nimitys ei ole välttämättä täysin osuva, sillä esimerkiksi funktio k=1 kχ [k,k+2 k ] olisi myös äärettömyydessä häviävä. Distribuutiofunktion ei tarvitse olla aidosti kasvava, joten sillä ei ole välttämättä käänteisfunktiota. On kuitenkin hyödyllistä muodostaa eräänlainen vasemmanpuolinen käänteisfunktio. Tämä tehdään seuraavassa määritelmässä. Rajoitetaan tarkastelu ei-negatiivisiin funktioihin. Merkitään jatkossa E = [, m n (E)). Määritelmä 3.5. Olkoon E R n mitallinen joukko ja u : E [, ] mitallinen funktio. Kuvaus u : E [, ], u (t) = inf {s : µ u (s) t}, on funktion u vähenevä uudelleenjärjestys. Propositio 3.6. Mitallisen funktion u : E [, ] vähenevälle uudelleenjärjestykselle u on voimassa seuraavat ominaisuudet: (i) Funktio u on vähenevä, u () = ess sup E u ja u (t) ess inf E u kaikilla t E. Jos lisäksi pätee µ u (t) < kaikilla t >, niin tällöin lim t m u (t) = ess inf u. n(e) E (ii) Olkoon t < m n (E) ja s. Tällöin u (t) > s täsmälleen silloin kun µ u (s) > t. (iii) Funktio u on oikealta jatkuva. (iv) Olkoon t niin, että µ u (t) < m n (E). Tällöin pätee u (µ u (t)) t. Aito epäyhtälö on voimassa jos ja vain jos µ u on vakio jollakin välillä [t, t], missä t < t. (v) Kaikilla s pätee m 1 ({t E : u (t) > s}) = m n ({x E : u(x) > s}). (vi) Jos (u j ) on nouseva jono ja u j (x) u(x) kaikilla x E, niin tällöin myös (u j ) on nouseva jono, joka suppenee pisteittäin funktioon u. 17
22 Todistus. (i) Jos t 1 t 2, niin {s : µ u (s) t 1 } {s : µ u (s) t 2 }, ja siten u (t 2 ) u (t 1 ). Oleellisen supremumin määritelmä antaa suoraan u () = inf{s : µ u (s) = } = ess sup u. E Koska µ u (s) = m n (E) kaikilla s < ess inf E u, pätee {s : µ u (s) < t} [ess inf E u, ) jokaisella t < m n (E). Siispä u ess inf E u. Koska u on vähenevä ja alhaalta rajoitettu, on olemassa lim t m u (t) ess inf u. n(e) E Yhtäsuuruden näyttämistä varten olkoot ε > ja t j t j m n (E). Nyt koska < m n (E) niin, että m n ({x E : u(x) ess inf E u + ε}) >, pätee lisäoletuksen nojalla µ u (ess inf E u + ε) < m n (E). Määritelmää käyttäen tästä nähdään, että isoilla j on voimassa u (t j ) ess inf E u + ε. Täten lim t mn(e) u (t) ess inf E u. (ii) Jos u (t) > s, niin µ u (s) > t suoraan määritelmän perusteella. Oletetaan sitten µ u (s) > t. Oikealta jatkuvuuden nojalla löytyy s > s niin, että µ u (s ) > t. Nyt s on eräs alaraja joukolle {s : µ u (s ) t}, joten u (t) s > s. (iii) Olkoon t < m n (E). Voidaan olettaa, että u (t) >. Kiinnitetään s < u (t). Tällöin µ u (s) > t, joten voidaan valita h > niin, että µ u (s) > t+h. Edellisen kohdan ja vähenevyyden nojalla u (t) u (t+h) > s. Koska s voidaan valita mielivaltaisen läheltä lukua u (t), ja u on vähenevä, seuraa tästä oikealta jatkuvuus. (iv) Huomio on triviaali. u (µ u (t)) = inf {s : µ u (s) µ u (t)} t 18
23 Jos sitten löytyy väli [t, t] [, ), jossa µ u on vakio, niin u (µ u (t)) t < t. Toisaalta jos oletetaan, että u (µ u (t)) < t, niin löytyy t < t, jolla µ u (t ) µ u (t). Koska µ u on vähenevä, niin se on tällöin vakio välillä [t, t]. joten (v) Kohdan (ii) nojalla {t E : u (t) > s} = [, µ u (s)), m 1 ({t E : u (t) > s}) = µ u (s) = m n ({x E : u(x) > s}). (vi) Koska u j u j+1, on µ uj µ uj+1. Siispä {s : µ uj+1 (s) t} {s : µ uj (s) t}, mistä edelleen seuraa u j (t) u j+1 (t). Riittää siis näyttää, että aina kun s < u (t), niin u j (t) > s jollakin j. Ehdosta u (t) > s siis seuraa µ u (s) > t. Proposition 3.2 kohdan (iii) nojalla löytyy k N, jolla µ uk (s) > t. Edelleen tästä seuraa u k (t) > s. Huomautus 3.7. Tarkastellaan vielä Proposition 3.6 kohtaa (iv). Olkoon t < ess sup E u siten, että µ u (t) < m n (E). Jos u (µ u (t)) < t, niin µ u on vakio jollakin välillä [t, t] [, ). Tällöin funktiolla u nähdään olevan epäjatkuvuuspiste kyseisen vakion kohdalla. Jos siis muutoin tiedetään funktion u olevan jatkuva, niin pätee u (µ u (t)) = t kaikilla niillä t < ess sup E u, joilla µ u (t) < m n (E). Vähenevä uudelleenjärjestys on siis nimensä mukaisesti vähenevä sekä oikealta jatkuva. Toisaalta vähenevä ja oikealta jatkuva funktio on (siirtoa vaille) itsensä vähenevä uudelleenjärjestys, minkä kertoo seuraava lemma. Lemma 3.8. Olkoon a (, ] ja u : [, a) [, ) vähenevä funktio. Tällöin u (t) = u(t) kaikissa pisteissä t, joissa u on oikealta jatkuva. Erityisesti u = u melkein kaikkialla joukossa [, a). Todistus. Koska u on vähenevä, pätee µ u (u(t)) t kaikilla t. Tästä määritelmä antaa suoraan u (t) u(t). Oletetaan sitten, että u on oikealta jatkuva pisteessä t. Olkoon ε >. Väitetään, että u(t) u (t) + ε. Valitaan s niin, että µ u (s) t ja 19
24 s u (t) + ε. Koska u on vähenevä, ehdosta u(t ) > s seuraa µ u (s) t. Tästä nähdään, että kaikilla h > on oltava voimassa u(t + h) s u (t) + ε. Väite seuraa oikealta jatkuvuuden perusteella. Proposition 3.6 kohta (v) kertoo funktioilla u ja u olevan sama distribuutiofunktio. Tällaisia funktioita kutsutaan keskenään yhtäjakautuneiksi tai toistensa uudelleenjärjestyksiksi. Cavalierin kaavaa 1 käyttämällä tästä nähdään välittömästi, että uudelleenjärjestys ei muuta funktion L p -normia. Tästä tuloksesta saadaan kuitenkin vahvempikin versio, kun huomataan, että funktioiden u ja u jakautuneisuudesta voidaan sanoa enemmänkin, kuin mitä yhtäjakautuneisuus ensisijaisesti tarkoittaa. Lemma 3.9. Olkoon u : E [, ) mitallinen funktio niin, että µ u (t) < kaikilla t >. Tällöin pätee m 1 ({t E : u (t) B}) = m n ({x E : u(x) B}) (3.1) kaikilla Borel-joukoilla B (, ). Todistus. Näytetään ensin, että väite pätee kaikilla välin (, ) avoimilla joukoilla. Koska jokainen avoin joukko voidaan esittää erillisten avoimien välien numeroituvana yhdisteenä, riittää todeta, että m 1 ({t E : u (t) (a, b)}) = m n ({x E : u(x) (a, b)}) aina, kun a < b <. Funktioiden u ja u yhtäjakautuneisuuden mukaan ja m 1 ({t E : u (t) > a}) = m n ({x E : u(x) > a}) m 1 ({t E : u (t) > b}) = m n ({x E : u(x) > b}). Tarkastelemalla laskevia joukkojonoja {t E : u (t) > b 1 } ja {x E : k u(x) > b 1 } saadaan rajalla k tulos k m 1 ({t E : u (t) b}) = m n ({x E : u(x) b}). 1 Olkoon u : A [, ] mitallinen ja p >. Tällöin A u p dm n = p t p 1 m n ({x A : u(x) > t}) dt. 2
25 (Oletuksen mukaan nämä joukot ovat äärellismittaisia ainakin riittävän suurilla k.) Näin ollen voidaan laskea m 1 ({t : a < u (t) < b}) = m 1 ({t : u (t) > a}) m 1 ({t : u (t) b}) = m n ({x : u(x) > a}) m n ({x : u(x) b}) = m n ({x : a < u(x) < b}). Olkoon sitten B (, ) Borel. Voidaan olettaa, että m n ({x E : u(x) B}) < ja m 1 ({t E : u (t) B}) <, sillä muussa tapauksessa tarkastellaan joukkoja B (1/k, ) ja tehdään rajankäynti k. Määritellään niin sanotut eteentyönnetyt mitat ja ν 1 (A) = m n ({x E : u(x) A}) ν 2 (A) = m 1 ({t E : u (t) A}), jotka voidaan suoraviivaisesti todeta Borelin mitoiksi. Nyt mittojen avoimissa joukoissa yhteneväisyyden ja Lauseen 2.6 avulla voidaan päätellä mikä haluttiinkin todistaa. ν 1 (B) = inf {ν 1 (U) : B U, U avoin} = inf {ν 2 (U) : B U, U avoin} = ν 2 (B), Lause 3.1. Olkoon u : E [, ) mitallinen, ja oletetaan, että µ u (t) < kaikilla t >. Olkoon lisäksi g : [, ) [, ] Borel-funktio. Tällöin on voimassa g u dm 1 g u dm n. Lisäksi kyseessä on yhtäsuuruus, jos g() =. E Todistus. Huomioidaan ensin, että u voi saada arvon ääretön vain pisteessä t =. Tämä pätee, koska jos u (t) = jollakin t >, niin tällöin µ u (s) > t kaikilla s. Tämä on nyt kuitenkin mahdotonta, sillä Lemman 3.3 mukaan µ u (s), kun s. Mitallinen funktio voidaan tunnetusti esittää rajana nousevasta jonosta yksinkertaisia funktioita. Jos funktio on Borel-mitallinen, jonon funktiot saadaan konstruoitua Borelin funktioiksi. Olkoot nyt g k : (, ) [, ], E 21
26 k N, nouseva jono yksinkertaisia Borel-funktioita siten, että g k (t) g(t) kaikilla t >. Lemmasta 3.9 seuraa välittömästi g k u dm 1 = g k u dm n {u >} {u>} kaikilla k N. Monotonisen konvergenssin lauseen avulla tästä saadaan g u dm 1 = g u dm n. {u >} {u>} Lauseen jälkimmäinen väite seuraa tästä. Yleisen tapauksen todistamiseksi riittää vielä todeta, että aina pätee m 1 ({t E : u (t) = }) m n ({x E : u(x) = }). Jos u (t) > kaikilla t, niin ilmiselvästi väite on tosi. Olkoon sitten s siten, että u (s) =. Funktion u vähenevyydestä johtuen joukko {t E : u (t) > } on rajoitettu. Näin ollen voidaan laskea m 1 ({t E : u (t) = }) = m 1 (E ) m 1 ({t E : u (t) > }) = m n (E) m n ({x E : u(x) > }) = m n ({x E : u(x) = }). Seuraus Olkoon 1 p ja u L p (E), u. Tällöin u L p (E ) ja on voimassa u L p (E) = u L p (E ). Todistus. Kun 1 p <, väite seuraa Lauseesta 3.1 valitsemalla g(t) = t p. Tapaus p = on selvä, sillä u () = ess sup E u. Edellisessä seurauksessa yhtäsuuruuden ei tietenkään tarvitse olla enää voimassa, jos E korvataan mielivaltaisella osajoukollaan; saattaahan u olla esimerkiksi identtisesti nolla kyseisessä joukossa. Kuitenkin arvio ylöspäin pätee aina. Lause Olkoon u : E [, ) mitallinen funktio ja F E mitallinen joukko. Tällöin on voimassa u dm n u dm 1. F F 22
27 Todistus. Merkitään v = u F. Triviaalisti µ v µ u, joten {s : µ u (s) t} {s : µ v (s) t} kaikilla t. Siispä v u. Seurausta 3.11 hyödyntäen saadaan u dm n = v dm n = v dm 1 u dm 1. F F F F Todistetaan vielä kappaleen lopuksi, että kuvaus u u on jatkuva L p - normin suhteen. On hyvä huomata, että kyseinen operaatio ei suinkaan ole lineaarinen. Otetaan ennen jatkuvuustodistusta kaksi aputulosta. Lemma Olkoon u : E [, ) mitallinen niin, että µ u (t) < kaikilla t >. Jos ψ : [, ) [, ) on kasvava funktio, niin pätee melkein kaikkialla joukossa E. (ψ u) = ψ u Todistus. Olkoon t. Tällöin ψ 1 ((t, )) on Borel-joukko, joten Lemman 3.9 nojalla m n ({x E : ψ(u(x)) > t}) = m n ({x E : u(x) ψ 1 ((t, ))}) = m 1 ({s E : u (s) ψ 1 ((t, ))}) = m 1 ({s E : ψ(u (s)) > t}). Huomaa, että funktion ψ kasvavuudesta johtuen edellinen pätee myös siinä tapauksessa, että joukko ψ 1 ((t, )) sisältää nollan. Näin ollen funktioilla ψ u ja ψ u on sama distribuutiofunktio ja siten erityisesti sama vähenevä uudelleenjärjestys. Koska ψ u on vähenevä, on Lemman 3.8 nojalla voimassa melkein kaikkialla. (ψ u) = (ψ u ) = ψ u Lemma Olkoot u, v : E [, ] mitallisia. Tällöin kaikilla t on voimassa u χ {v t} dm 1 u χ {v t} dm n. E E 23
28 Todistus. Oletetaan ensin, että u on integroituva (ja äärellisarvoinen). Kuten Propositiossa 3.6 huomattiin, kaikilla t on voimassa {s : v (s) > t} = [, µ v (t)) = {x E : v(x) > t}. Siten Lauseen 3.12 nojalla pätee u dm n {v>t} {v >t} u dm 1. Nyt u dm n + u dm n = u dm 1 + u dm 1 {v>t} {v t} {v >t} u dm n + {v t} u dm 1, {v>t} {v t} joten väite seuraa vähentämällä ensimmäiset termit puolittain. Yleistä tapausta varten määritellään funktiot u j : E [, ), j N, u j = χ B(,j) min {u, j}. Nämä funktiot muodostavat nousevan jonon, joka suppenee pisteittäin funktioon u. Koska u j dm n jm n (B(, j)) <, pätee todistuksen alkuosan mukaan u j dm 1 E {v t} {v t} u j dm n kaikilla j N. Proposition 3.6 nojalla myös (u j ) on nouseva jono, joka suppenee funktioon u. Näin ollen väite seuraa edellisestä epäyhtälöstä käyttämällä monotonisen konvergenssin lausetta. Lause Olkoot u, v L p (E), 1 p <, ei-negatiivisia funktioita. Tällöin u v p dm 1 u v p dm n. E E 24
29 Todistus. Määritellään funktiot ja f 1 (t) = f 2 (t) = { t p, kun t, kun t < {, kun t t p, kun t <, jotka ovat jatkuvasti derivoituvia (paloittain jos p = 1). Nyt voidaan kirjoittaa f 1 (u(x) v(x)) = f 1(u(x) t) χ {v t} (x) dt. Fubinin lausetta käyttäen saadaan f 1 (u(x) v(x)) dx = f 1(u(x) t) χ {v t} (x) dx dt, (3.2) E E ja aivan vastaavasti pätee f 1 (u (s) v (s)) ds = E E f 1(u (s) t) χ {v t}(s) ds dt. (3.3) Koska f 1 on kasvava, kuvaukselle x f 1(u(x) t) kiinnitetyllä t pätee (f 1(u t)) (s) = f 1(u (s) t) melkein kaikilla s (Lemma 3.13). Tämä yhdessä Lemman 3.14 kanssa antaa f 1(u (s) t) χ {v t}(s) ds f 1(u(x) t) χ {v t} (x) dx. E E Nyt yhtälöiden (3.2) ja (3.3) perusteella päätellään f 1 (u (s) v (s)) ds f 1 (u(x) v(x)) dx. E E Samaan tapaan voidaan näyttää f 2 (u (s) v (s)) ds f 2 (u(x) v(x)) dx. E Lauseen väite seuraa summaamalla edelliset epäyhtälöt, sillä f 1 (t) + f 2 (t) = t p. E 25
30 3.2 Schwarzin symmetrisointi Kun E R n on mitallinen joukko, niin määritellään E origokeskiseksi avoimeksi palloksi, jolla on sama mitta kuin joukolla E. Toisin sanoen asetetaan E = {x R n : ω n x n < m n (E)}. Erityisesti näin määriteltynä on E = R n, jos m n (E) = sekä E =, jos m n (E) =. Aina siis pätee m n (E ) = m n (E), ja E on avoin. Schwarzin symmetrisoinnin sanallinen määritelmä on seuraavanlainen. Annetun funktion u Schwarzin symmetrisaatio on se pallosymmetrinen, säteen suhteen vähenevä ja alhaalta puolijatkuva funktio, joka on funktion u kanssa yhtäjakautunut. Määritelmä Olkoon E R n mitallinen joukko ja u : E [, ] mitallinen funktio. Kuvausta u : E [, ], u (x) = u (ω n x n ) sanotaan funktion u väheneväksi pallosymmetriseksi uudelleenjärjestykseksi tai Schwarzin symmetrisaatioksi. Huomautus Joskus Schwarzin symmetrisoinnilla tarkoitetaan juurikin joukon E symmetrisointia palloksi E. Nimitykset sopivat hyvin yhteen, sillä karkeasti ottaen voidaan ajatella, että funktion u tasa-arvojoukoille tehdään kyseinen symmetrisointi. Propositio Mitallisen funktion u : E [, ] Schwarzin symmetrisaatiolle pätee seuraavat ominaisuudet: (i) Funktio u on säteen suhteen vähenevä, u () = ess sup E u ja u (t) ess inf E u kaikilla t. Jos lisäksi pätee µ u (t) < kaikilla t >, niin tällöin inf E u = ess inf u. E (ii) Kaikilla t pätee Erityisesti {x E : u (x) > t} = {x E : u(x) > t}. m n ({x E : u (x) > t}) = m n ({x E : u(x) > t}), eli u ja u ovat yhtäjakautuneita. 26
31 (iii) Funktio u on alhaalta puolijatkuva. (iv) Jos u j u, niin u j u. (v) Jos u(x) v(x) m.k. x E, niin u v. (vi) Kaikilla vakioilla c pätee (u + c) = u + c. Todistus. Kohdat (i) ja (iv) ovat selviä funktiolle u pätevien vastaavien ominaisuuksien perusteella. (ii) Pisteelle x E pätee u (x) > t täsmälleen silloin, kun u (ω n x n ) > t, mikä taas on yhtäpitävää ehdon µ u (t) > ω n x n kanssa. Väite havaitaan joukon {u > t} määritelmästä. (iii) Väite seuraa suoraan edellisestä kohdasta, nimittäin joukko on aina avoin. {x E : u (x) > t} (v) Distribuutiofunktio ja siten uudelleenjärjestys ei muutu, jos funktiota muutetaan nollamittaisessa joukossa. Täten voidaan olettaa, että u v kaikkialla. Tällöin väite on kohdan (iv) erikoistapaus. (vi) Merkitään v = u + c. Erityisesti pätee v c. Kaikilla t E on µ u (t) = m n ({x E : u(x) > t}) = µ v (t + c). Ehtojen v (t) > s ja µ v (s) > t yhtäpitävyyttä hyödyntämällä lasketaan Väite seuraa tästä. u (t) = inf {s : µ v (s + c) t} = inf {s : v (t) s + c} = v (t) c. Vähenevälle uudelleenjärjestykselle todistetut tulokset yleistyvät sopivasti myös Schwarzin symmetrisaatiolle. Muotoillaan erikseen näistä oleellisimmat. Lause Olkoon u : E [, ) mitallinen siten, että µ u (t) < kaikilla t >. Jos g : [, ) [, ] on Borelin funktio, niin on voimassa g u dm n g u dm n. E Jos g() =, kyseessä on yhtäsuuruus. E 27
32 Todistus. Pallosymmetriaa ja sopivaa muuttujanvaihtoa hyödyntämällä lasketaan E E g u dm n = g u dm 1. Tällöin väite seuraa Lauseesta 3.1. Seuraus 3.2. Olkoon 1 p ja u L p (E), u. Tällöin u L p (E ) ja on voimassa u L p (E) = u L p (E ). Lause Olkoot u, v L p (E), 1 p <, ei-negatiivisia funktioita. Tällöin u v p dm n u v p dm n. E Todistus. Jälleen huomataan u v p dm n = E joten Lause 3.15 antaa väitteen. E E u v p dm 1, Vastaava tulos pätee myös tapauksessa p =. Lause Olkoot u, v L (E) ei-negatiivisia. Tällöin u v u v. Todistus. Melkein kaikilla x E pätee u(x) = v(x) + u(x) v(x) v(x) + u v. Nyt Proposition 3.18 kohtien (v) ja (vi) mukaan on voimassa u v + u v. Vastaava arvio pätee, kun vaihdetaan funktioiden u ja v roolit. Näin ollen kaikilla x E. u (x) v (x) u v Seuraus Jos ei-negatiivisten funktioiden jono (u k ) suppenee funktioon u avaruudessa L p (E), 1 p, niin u k u avaruudessa L p (E ). 28
33 Todistetaan vielä lopuksi Hardyn ja Littlewoodin klassinen uudelleenjärjestysepäyhtälö. Lause Olkoot u, v : E [, ) mitallisia. Tällöin uv dm n u v dm n. E E Todistus. Kun F E, niin Lauseen 3.12 nojalla u dm n u dm 1 = u dm n. (3.4) F F F Kirjoittamalla v(x) = χ (,v(x)) dt saadaan Fubinin lauseesta u(x)v(x) dx = u(x)χ (,v(x)) dt dx = u(x) dx dt. (3.5) E E {v>t} Soveltamalla epäyhtälöä (3.4) joukkoon {v > t} huomataan u(x) dx dt u (x) dx dt, {v>t} {v >t} sillä {v > t} = {v > t}. Näin ollen lauseen väite seuraa yhtälöstä (3.5) sekä vastaavasta yhtäsuuruudesta funktioille u ja v. 29
34 4 Koarea-kaava Pólyan ja Szegőn epäyhtälön todistuksessa tärkeässä osassa on niin kutsutun koarea-kaavan (coarea formula) käyttäminen. Tätä Fubinin lauseen käyräviivaiseksi yleistykseksi kutsuttua geometrisen mittateorian tulosta ei tässä työssä kuitenkaan tarvita koko yleisyydessään (Lipschitz-funktioille R n R m, m n). Tapausta p > 1 varten todistetaan versio sileille funktioille. Tämän lisäksi kaavasta käydään läpi niin sanottu BV -versio, joskin Sobolev-funktioille. Otetaan käyttöön Sardin lemma. Lause 4.1 (Sard). Jos u C (), ja merkitään A = {x : u(x) = }, niin pätee m 1 (u(a)) =. Todistus. Katso esim. [Leo9, Lause 13.42]. Huomautus 4.2. Sardin lemmasta seuraa erityisesti, että funktion u gradientti ei häviä tasa-arvojoukossa {x : u(x) = t} melkein kaikilla t. Tällöin kyseinen tasa-arvojoukko on sileä (n 1)-ulotteinen pinta. Lisäksi näillä t pätee {u > t} = {u = t}, ja pinnan {u = t} ulkoinen yksikkönormaali pisteessä x on ν(x) = u(x)/ u(x). Myös Gaussin ja Greenin kaavoille on aina käyttöä. Lause 4.3 (Gauss-Green). Olkoon R n avoin joukko, jonka reuna on C 1 -pinta. Kun φ C(R 1 n ; R n ), niin pätee div φ dm n = φ ν dh n 1, missä ν on joukon ulkoinen yksikkönormaali. Todistus. Todistus löytyy vaikkapa kirjasta [Mag12]. Huomautus 4.4. Gaussin ja Greenin kaavoista seuraavia integrointikaavoja kutsutaan usein vain osittaisintegroinniksi. Erityisesti jos on φ C(; 1 R n ), niin div φ dm n =. Lisäksi jos u C 1 (), niin pätee u φ dm n = u div φ dm n. Nämä toisaalta havaitaan jo käyttämällä Fubinin lausetta ja yksiulotteista osittaisintegrointia. 3
35 Seuraava viipalointikaava on myös varsin hyödyllinen. Lemma 4.5. Olkoon R n avoin, u L 1 loc () ja φ C1 (; R n ). Tällöin pätee u div φ dm n = div φ dm n dt. {u>t} Todistus. Olkoon ensin u. Koska u(x) = χ (,u(x)) (t) dt, ja χ (,u(x)) (t) = χ {u>t} (x) kun t, saadaan Fubinin lausetta käyttäen u(x) div φ(x) dx = χ (,u(x)) (t) div φ(x) dt dx = = χ {u>t} (x) div φ(x) dx dt div φ(x) dx dt. {u>t} Olkoon sitten u. Nyt u(x) = χ [u(x),] (t) dt, jolloin samaan tapaan laskemalla saadaan u(x) div φ(x) dx = χ [u(x),] (t) div φ(x) dt dx = χ {u t} div φ(x) dx dt = div φ(x) dx dt. {u t} 31
36 Koska φ C(; 1 R n ), on div φ dm n =, mistä seuraa div φ dm n = div φ dm n {u t} {u>t} kaikilla t. Näin ollen u(x) div φ(x) dx = div φ(x) dx dt. {u>t} Lemman väite seuraa kirjoittamalla u = u + +( u ) ja huomaamalla, että {u + > t} = {u > t}, kun t > sekä { u > t} = {u > t}, kun t <. Seuraavan koarea-kaavan version todistus seurailee pitkälti osiota kirjasta [Maz11]. Lause 4.6 (coarea formula). Olkoon R n avoin. Olkoon lisäksi g jatkuva ja ei-negatiivinen sekä u C (). Tällöin kuvaus t g dh n 1 on mitallinen, ja on voimassa {u=t} g u dm n = g dh n 1 dt. (4.1) {u=t} Todistus. Käytetään aluksi testifunktiota φ C (; R n ). Osittaisintegroimalla ja Lemmaa 4.5 käyttämällä saadaan φ u dm n = u div φ dm n = div φ dm n dt. {u>t} Pitäen mielessä Sardin lemma ja sitä seurannut huomautus saadaan yhtäsuuruus div φ dm n = φ ν dh n 1 u = φ u dhn 1 {u>t} {u=t} {u=t} 32
37 melkein kaikilla t. (Ei haittaa, vaikka olisi {u = t} =.) Näin ollen φ u dm n = {u=t} φ u u dhn 1 dt. Huomaa, että funktio t {u=t} φ u u dhn 1 on mitallinen, sillä t {u>t} div φ dm n on sitä selvästi. Jaetaan nyt varsinainen todistus osiin. Todistetaan lause ensin sileälle ja kompaktikantajaiselle g, sitten jatkuvalle ja kompaktikantajaiselle g, ja lopuksi vielä yleiselle jatkuvalle g. Funktiot g ovat lauseen väitteen mukaisesti koko ajan ei-negatiivisia. Olkoon g C () ja k N. Määritellään edellisen testifunktion paikalle jolloin pätee g φ = g u 2 u + 1/k dm n = u u + 1/k, {u=t} g u u + 1/k dhn 1 dt. (4.2) Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla yhtälön vasen puoli suppenee rajalla k kohti integraalia g u dm n. Sardin lemman mukaan u joukossa {u = t} m.k. t R. Näille t saadaan monotonisen konvergenssin lauseesta lim k {u=t} g u u + 1/k dhn 1 = {u=t} g dh n 1. Funktion t g u {u=t} u +1/k dhn 1 arvoksi voidaan jäljelle jäävässä nollamittaisessa joukossa uudelleenmääritellä g {u=t} dhn 1 (yhtälön (4.2) oikean puolen arvoa muuttamatta). Näin ollen kyseisten funktioiden jono on nouseva ja se suppenee pisteittäin funktioon t g {u=t} dhn 1. Erityisesti tämä rajafunktio on mitallinen. Vielä kerran monotonista korvergenssia soveltamalla saadaan lim k {u=t} g u u + 1/k dhn 1 dt = 33 {u=t} g dh n 1 dt.
38 Yhtälö (4.1) pätee siis funktioille g C (). Olkoon sitten g C (). Löytyy vakio M niin, että g M. Pienillä ε > pätee tämän silotukselle g ε C (), ja siispä g ε u dm n = g ε dh n 1 dt. (4.3) {u=t} Pätee myös g ε M. Valitaan nollaan suppeneva jono (ε j ). Näytetään yhtälö (4.1) menemällä rajalle j yhtälössä (4.3). Koska nyt g ε j g tasaisesti (:n kompakteissa osajoukoissa), on selvästi lim g ε j u dm n = g u dm n. j Valitaan avoin joukko U siten, että spt g U. Silottamalla funktiota Mχ U löydetään funktio f C () siten, että g ε j f M (suurilla j). Todistuksen edellisen vaiheen mukaan f dh n 1 dt = f u dm n, {u=t} mistä nähdään, että kuvaus t f {u=t} dhn 1 on integroituva, ja siispä myös f {u=t} dhn 1 < m.k. t R. Näin ollen dominoidun konvergenssin lauseesta saadaan lim g ε j dh n 1 = g dh n 1 j {u=t} {u=t} melkein kaikille t R. Erityisesti t {u=t} g dhn 1 on mitallinen. Uudestaan dominoidun konvergenssin lausetta soveltamalla saadaan viimein lim j {u=t} g ε j dh n 1 dt = {u=t} g dh n 1 dt. Siispä (4.1) pätee funktioille g C (). 34
39 Olkoon sitten vielä g C(). Löytyy kasvava jono kompakteja joukkoja K j niin, että j N K j =, sekä kasvava jono ei-negatiivisia funktioita f j C () niin, että f Kj = 1. Tällöin f j g u dm n = f j g dh n 1 dt {u=t} kaikilla j N. Jälleen monotonisen konvergenssin lauseen avulla saadaan funktion t {u=t} g dhn 1 mitallisuus sekä yhtälö (4.1). Seuraus 4.7. Olkoon u C () ja 1 p <. Tällöin on voimassa u p dm n = u p 1 dh n 1 dt. {u=t} Pallokoordinaateissa integrointi on Lauseen 4.6 erikoistapaus. Seuraus 4.8. Olkoon g : B(, R) R jatkuva ja ei-negatiivinen. Tällöin on g dm n = R g dh n 1 dt. B(,R) B(,t) Todistus. Valitaan u(x) = x, jolloin u(x) = 1 kaikilla x. Siispä Lauseen 4.6 nojalla kaikilla ε > pätee g dm n = R g dh n 1 dt. B(,R)\ B(,ε) ε B(,t) Väite seuraa nyt monotonisen konvergenssin lauseen avulla, kun annetaan ε. Todistetaan vielä koarea-kaavasta versio avaruuden W 1,1 () funktioille. Seuraava lause olisi kenties luontevin rajoitetusti heilahtelevien funktioiden kontekstissa (ks. [EG92]). Annettava todistus lainaa kirjan [Mag12, Lause 13.1] vastaavaa todistusta Lipschitz-funktioille. 35
40 Lause 4.9. Jos u W 1,1 (), niin pätee u dm n = P ({u > t}; ) dt. Erityisesti joukolla {u > t} on äärellinen perimetri joukossa m.k. t R. Todistus. Olkoon Φ C (; R n ), Φ 1. Määritelmän mukaan div Φ dm n P ({u > t}; ) {u>t} kaikilla t R. Edelleen osittaisintegrointikaavaa ja Lemmaa 4.5 käyttämällä tästä seuraa u Φ dm n = u div Φ dm n = div Φ dm n dt P ({u > t}; ) dt. {u>t} Nyt tavoiteena on sopivan approksimaation avulla saada tästä arvio u dm n P ({u > t}; ) dt. (4.4) Tätä varten olkoon j N, K j = {x : d(x, ) 1/j}, ja määritellään v j : R n, { u(x) u(x) v j (x) =, kun x K j ja u(x) muutoin. Tämän silotukselle pätee (pienillä ε > ) vj ε C (; R n ) ja vj ε 1. Lisäksi jollekin jonolle ε k pätee v ε k j (x) v j(x), kun k m.k. x. Nyt dominoidun konvergenssin lauseen nojalla K j u dm n = lim k u v ε k j dm n P ({u > t}; ) dt. Vielä kun sovelletaan monotonisen konvergenssin lausetta rajankäyntiin j, saadaan epäyhtälö (4.4). 36
41 Lause on siis todistettu, kunhan näytetään vielä epäyhtälö u dm n P ({u > t}; ) dt. (4.5) Määritellään funktio f : R [, ), f(t) = u dm n. {u t} Kasvavana funktiona f on melkein kaikkialla derivoituva, ja kaikilla kompakteilla väleillä [a, b] R on voimassa b f dm 1 f(b) f(a) u dm n. Tällöin pätee myös a f dm 1 u dm n, ja näin ollen epäyhtälön (4.5) todistamiseksi riittää näyttää, että arvio f (t) P ({u > t}; ) pätee m.k. t R. Kiinnitetään t R niin, että f on derivoituva pisteessä t. Olkoon h >, ja määritellään apufunktio g : R R,, kun s t s t g(s) = h, kun t < s t + h 1, kun s > t + h. Tällöin g u W 1,1 () ja (g u) = (g u) u = 1 h (χ (t, t+h) u) u. Jos sitten on ϕ C (; R n ), ϕ 1, niin (g u) div ϕ dm n = (g u) ϕ dm n = 1 h u ϕ dm n. {t<u<t+h} 37
Reaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotTiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma
Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedotp-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta
p-laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta Jarkko Siltakoski Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 R N x alue B(x 0, r) E E E int E E U E Merkintöjä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotModerni reaalianalyysi
JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
LisätiedotLaskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotISOPERIMETRINEN ONGELMA
ISOPERIMETRINEN ONGELMA Pertti Pitkänen Matematiikan pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 11. heinäkuuta 2005 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Isoperimetrisen epäyhtälön
LisätiedotREAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015
REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotTopologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotDerivaatasta ja derivoituvuudesta
Derivaatasta ja derivoituvuudesta Piia Lehtola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Tiivistelmä: Piia Lehtola, Derivaatasta ja derivoituvuudesta,
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotVille Suomala MITTA- JA INTEGROINTITEORIAA
Ville Suomala MITT- J INTEGROINTITEORI Luentotiivistelmä kevät 2015 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Lebesguen ulkomitta 2 2.1 Merkintöjä............................... 2 2.2 Ulkomitta L..............................
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotPoissonin yhtälö ja Greenin funktio
Poissonin yhtälö ja Greenin funktio Ipa Puustinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 209 Tiivistelmä: Ipa Puustinen, Poissonin yhtälö ja Greenin funktio
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.
Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
LisätiedotVille Suomala MITTA JA INTEGRAALI
Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotSobolev-avaruudet. Tero Kilpeläinen
Sobolev-avaruudet Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja 5. kesäkuuta 2007 Sisältö 1. Johdattelua 1 1.1. Perusmerkintöjä.............................. 8 2. L p -avaruudet 9 2.1. Yleistä...................................
Lisätiedotvan der Waals-Cahn-Hilliardin energiafunktionaalin minimointiongelma
van der Waals-Cahn-Hilliardin energiafunktionaalin minimointiongelma Miikka Kuisma Pro Gradu-tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2019 Tiivistelmä: Miikka Kuisma,
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotSOBOLEV-AVARUUDET. Pekka Koskela. Kevät 2015
SOBOLEV-AVARUUDET Pekka Koskela Kevät 2015 Luennot: Ti 1416 MaD 380, Ke 1214, MaD 302. Demot: To 1416, MaD 380. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Sergei L. Sobolev 1908-1989: On some
LisätiedotMITTA- JA INTEGRAALITEORIA 2015
MITT- J INTEGRLITEORI 2015 HELI TUOMINEN Sisältö Johdantoa 2 Mitta 2 Integraali 2 nalyysin peruslause 2 Riemann-integraalista 2 1. Valmistelua, kertausta ja merkintöjä 4 Infimum ja supremum 4 Laajennettu
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotVariaatiolaskenta. Petri Juutinen
Variaatiolaskenta Petri Juutinen 25. lokakuuta 25 Sisältö Johdanto 2 2 Ääriarvo-ongelmista R n :ssä 2. Puolijatkuvuus................................ 2.2 Konveksit joukot ja funktiot.........................
LisätiedotTasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista
Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista Pro gradu -tutkielma Toni Vesikko 243023 Itä-Suomen yliopisto 7. heinäkuuta 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Perusteet ja merkintöjä 2 3 Funktionaalianalyysin
Lisätiedot2. Normi ja normiavaruus
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
Lisätiedot