U missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A

Transkriptio

1 Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i a i =. Osoita, että a i = os a vain os sup a i = inf a i = i i a i a i = os a vain os sup a i = inf i i i a i = Ratkaisu. Osoitetaan ensin ensimmäinen väite. Olkoon M >. Oletetaan a i =. Nyt löytyy i N, olle kaikilla i i pätee a i > M. Erityisesti tällöin inf i i a i > M. Siis inf i k a i > M kaikilla k i. Siis inf a i =. Lisäksi nyt sup a i inf a i, oten sup i a i = inf i a i =. Oletetaan sitten sup i a i = inf i a i =. Nyt löytyy i N, olle inf i io > M. Siis kaikilla i i pätee a i > M, oten a i =. Nyt os a i =, niin a i =. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että sup i a i = inf i a i =, tai siis sup i a i = inf i a i =. Siis toinenkin väite pätee. 2. Olkoon A R n. Määritellään A:n sisäpisteitten oukko A := U U A U missä U A := {U R n : U avoin a U A}; intuitiivisesti suurin avoin oukko, oka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A F missä F A := {F R n : F on sulettu a A F }; intuitiivisesti pienin sulettu oukko, oka sisältää A:n. Määritellään A:n reuna A := A \ A. Osoita, että os m ( A) =, niin A on mitallinen. Ratkaisu. Nyt A = A (A A), missä A on avoimena mitallinen, a A A A, oten se on nollamittaisen oukon osaoukkona nollamittainen a siten mitallinen (Lebesguen mitta on täydellinen). Siis A on kahden mitallisen oukon yhdisteenä mitallinen. Vaihtoehtoisesti ratkaisussa voi käyttää haroitusten 2 tehtävää 8, sillä A = A \ A A A A. 3. Olkoot f, g : A Ṙ mitallisia. Osoita, että f g : A Ṙ on mitallinen. Ratkaisu. Merkitään A = f R g R, olloin A on mitallisten oukkoen leikkauksena mitallinen. Nyt kuvaus (f, g) : A R R on mitallinen, sillä molemmat komponenttikuvaukset ovat mitallisia. Koska lisäksi kuvaus u : R R R on atkuva, on yhdistetty kuvaus u (f, g) : A R mitallinen.

2 Merkitään h = fg : A Ṙ. Olkoon G R avoin oukko, olle G. Nyt os x h (G), niin h(x) = f(x)g(x) R\{}. Tällöin f(x), g(x) R, oten h (G) A, oten, koska h A = u (f, g), on h (G) = (u (f, g)) (G), a siten mitallinen. Toisaalta h { } = (f { } g (, ]) (g { } f (, ]) (f { } g [, )) (g f [, )), h { } = (f { } g (, ]) (g { } f (, ]) (f { } g [, )) (g { } f [, )), a h {} = f {} g {} ovat funktioitten f a g mitallisuuden noalla mitallisia. Jos nyt G R on avoin, niin h (G) = h (G \ {}) h (G {}) on mitallinen. Siis h = fg on mitallinen. 4. Olkoon A R n, mitallinen a f : A R N, ono mitallisia funktioita. Osoita, että oukot A = {x A : f + (x) > f (x)} ovat mitallisia. Ratkaisu. Koska f(x) R kaikilla x A, pätee A = {x A : f + (x) > f (x)} = {x A : f + (x) f (x) > } = (f + f ) (, ). Nyt f + f on mitallisten funktioitten summana mitallinen, oten A on mitallinen. 5. Olkoot A a f : A R kuten edellisessä tehtävässä. Osoita, että oukko {x A : ono (f (x)) = on aidosti kasvava} on mitallinen. Ratkaisu. Olkoot oukot A kuten edellisessä tehtävässä. Koska f(x) R kaikilla x A, pätee {x A : ono (f (x)) = on aidosti kasvava} = {x A : f + (x) > f (x) N} = N A Siis tehtävän oukko on mitallisten oukkoen numeroituvana leikkauksena mitallinen. 6. Sanotaan että funktio g : R R on kasvava os g(x) g(y) aina kun x y. Osoita, että kasvava funktio on mitallinen. 2

3 Ratkaisu. Olkoon a R. Nyt riittää näyttää, että g (, a) on mitallinen. Voidaan olettaa, että g (, a) a g (, a) R, sillä muutoin se olisi mitallinen. Nyt g (, a) on ylhäältä raoitettu, sillä muuten kaikilla x R pätee x g (, a), olloin g (, a) = R. Siis löytyy M := sup g (, a) R. Jos x g (, a), niin on x M. Siis g (, a) (, M]. Toisaalta os x (, M). niin löytyy y g (, a), olle x < y < M. Koska funktio g on kasvava, niin g(x) g(y) < a, olloin (, M) g (, a). Siis g (, a) on oko (, M) tai (, M], a siten oko avoimena tai sulettuna oukkona mitallinen. 7. Olkoon f : R n R mitallinen a g : R R kasvava. Osoita, että g f : R n R on mitallinen. Ratkaisu. Olkoon a R. Nyt (g f) (, a) = f (g (, a)), missä g (, a) = (, M) tai g (, M] edellisen tehtävän merkinnöillä. Tällöin (g f) (, a) = f (, M) tai (g f) (, a) = f (, M], otka ovat mitallisia funktion f mitallisuuden noalla. Siis g f on mitallinen. 8. Olkoot f, f 2,... ono mitallisia funktioita A R, missä A R n. Osoita, että oukko B = {x A : f (x) on olemassa} on mitallinen. Ratkaisu. Merkitään C = (( sup f ) { } ( inf f ) { }) (( sup f ) { } ( inf f ) { }); C on selvästi mitallinen. Määritellään funktio g : A R asettamalla g(x) =, kun x C, a g(x) = sup f (x) inf f (x) muuten. Nyt funktio g on mitallinen, sillä sen raoittumat oukkoihin C a A \ C ovat mitallisia; C:ssä funktio on vakiofunktiona atkuva, a A \ C:ssä se on mitallisten funktioiden summa. Nyt B = g {} = g (, ] g [, ), oten se on mitallisten oukkoen leikkauksena mitallinen. 9. Etsi funktion f = 2χ [,π] + 5χ [π/2,6] + 3χ Q normaaliesitys a laske sen integraali. Ratkaisu. Nyt f (x) = 2, kun x [, π/2) \ Q =: A + 3, kun x [, π/2) Q =: A2 + 5, kun x [π/2, π] \ Q =: A3 + 8, kun x [π/2, π] Q =: A4 5, kun x (π, 6] \ Q =: A 5 8, kun x (π, 6] Q =: A 6 3, kun x Q \ [, 6] =: A 7, muuten 3

4 Funktion f normaaliesitykseksi saadaan f = 2χ A + ( 2 + 3)χ A2 + ( 2 + 5)χ A3 + ( 2 + 8)χ A4 + 5χ A5 + 8χ A6 + 3χ A7. Nyt saadaan f = 2m(A ) + ( 2 + 3)m(A 2 ) + ( 2 + 5)m(A 3 ) + ( 2 + 8)m(A 4 ) + 5m(A 5 ) + 8m(A 6 ) + 3m(A 7 ) R = 2 π 2 + ( 2 + 5) π + 5(6 π) 2 = 3 + ( )π.. Olkoot A, A 2,..., A k R n mitallisia oukkoa. Oletetaan, että okainen R n :n piste kuuluu korkeintaan p:hen oukkoon A. Osoita käyttämällä yksinkertaisia funktioita, että ( k ) p m A m(a ). = Ratkaisu. Oletuksen noalla pätee k = m(a ) p. Koska lisäksi m(a) = χ A, integraalin lineaarisuudesta yksinkertaisille funktioille saadaan m(a ) = = = = R n χ A χ A R n = p χ R n i A i ( k ) = p m A. =. Olkoon < s <. Osoita, että voit käyttää MKL:ta laskemaksesi seuraavan raa-arvon a laske se. + nx Ratkaisu. Selvästi funktiot f ovat epänegatiivisia integrointivälillä. Ne ovat mitallisia, sillä akaa eroaa nollasta kaikilla x [, ], minkä vuoksi funktiot ovat atkuvia. Lisäksi f (x) = xs + x n xs + x = f +(x), n+ 4

5 oten funktioono on kasvava. Siis monotonisen konvergenssin lauseen noalla + nx = = x s + nx Nyt funktiot χ [,] muodostavat kasvavan onon mitallisia, epänegatiivisia funktioita. Edelleen funktiot x s χ [,] muodostavat kasvavan onon mitallisia, epänegatiivisia funktioita, oten voidaan käyttää uudestaan MKL:ta: x s = x s = s. 5