Mat Matematiikan peruskurssi L4, osa I
|
|
- Anna-Leena Kokkonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Fourier-sarjat Mat-.4 Matematiikan peruskurssi L4, osa I In matematics you don t understand tings. You just get used to tem. Jon von eumann G. Gripenberg Aalto-yliopisto 9. elmikuuta Fourier-integraalit Fourier-käänteismuunnos Fourier-muunnos ja derivaatta Poissonin summakaava Keskeinen raja-arvolause Moniulotteinen Fourier-muunnos Vaimennetut distribuutiot ja niiden Fourier-muunnokset Diskreetti Fourier-muunnos Laplacen ytälö Poissonin kaavat pallossa ja ylemmässä puoliavaruudessa.. 55 Keskiarvo-ominaisuus Maksimiperiaatteet ja Harnackin epäytälö G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 Jaksolliset funktiot, T jne Funktio f : C on jaksollinen jaksolla jos f (t + ) = f (t) kaikilla t. T = /Z jolloin siis T on ekvivalenssiluokkien muodostama joukko eli joukko missä pisteet t ja t + n on samaistettu kun n Z. Jokaista funktiota f : T C voidaan käsitellä jaksollisena funktiona f : C ja päinvastoin ja näin tässä tullaan tekemäänkin. Joukko L p (T) sisältää kaikki jaksolliset (jaksolla ) ja mitalliset ( ) funktiot f, joilla f L P (T) < missä f L P (T) = f (t) p p dt kun p < ja f L (T) = inf{ C : f (t) C melkein kaikkialla }. Jaksollisen funktion Fourier-kertoimet Jos f L (T) niin ˆf (n) = e iπnt f (t) dt, n Z. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 Jos f L (T) niin funktioden f ja e iπnt jaksollisuudesta seuraa, että Fourier-kertoimet saadaan myös kaavoilla ˆf (n) = e iπnt f (t) dt = Jaksolliset funktiot jaksolla T a a e iπnt f (t) dt. Jos f :n jakso on T eli f (t + T ) = f (t) kaikilla t niin funktio g(t) = f (tt ) on jaksollinen jaksolla ja muuttujan vaidon jälkeen todetaan, että g:n (eli ytä yvin f :n) Fourier-kertoimiksi tulee T T e iπnt T f (t) dt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6
2 iemann-lebesguen lemma Jos f L (T) niin ˆf (n) f L (T), n Z ja lim ˆf (n) =. n Jos f L p ([, ]) niin f :n arvoilla pisteissä ja ovat epäoleellisia ja jatkamalla funktiota jaksolliseksi funktioksi voidaan ytä yvin ajatella, että f L p (T). äin ei ole asian laita jos käsitellään jatkuvia funktioita ja C(T) C([, ]) koska edellisessä tapauksessa vaaditaan, että f () = f (). Fourier-analyysi perustuu tuloksiin, joiden mukaan n= eiπntˆf (n) on f (t) mutta ongelma on missä mielessä sarja suppenee eli mitä summalla tarkoitetaan. Tietyin oletuksin ongelmia ei ole, muissa tapauksissa sen sijaan on valittava sopiva tulkinta tai sitten todistuksista tulee yvin ankalia. Fourier-sarjan suppeneminen, I Jos f L (T) on derivoituva pisteessä t tai jos pelkästään t f (t + t ) f (t ) dt < niin lim,m n= M ˆf (n)e iπnt = f (t ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6 Konvoluutio Jos f ja g L (T) niin f g L (T) missä ja (f g)(t) = f (t s)g(s) ds = f g(n) = ˆf (n)ĝ(n), n Z. Itseisesti suppenevat Fourier-sarjat f (s)g(t s) ds, Jos n Z a n < niin A(t) = n Z a ne iπnt C(T) ja Â(n) = a n. Jos lisäksi f L (T) niin Erikoistapaus: Fejerin ydin F m (t) = ( ) sin(mπt), m sin(πt) t, m =,,.... { F m (n) = max, m n m }, n Z. F m C (T) ja F m (t), t. F m(t) dt =. Jos f L (T), niin lim m (F m f )(t) f (t) dt = ja jos f C(T) niin lim m sup t F m f (t) f (t) =. (A f )(t) = n Z a nˆf (n)e iπnt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 7 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 8 / 6
3 Fourier-sarjan suppeneminen II Jos f C(T) niin lim sup m ja jos f L (T) niin t lim m m n= m m n= m m n m m n m ˆf (n)e iπnt f (t) =. ˆf (n)e iπnt f (t) dt =. Fourier-muunnos on injektio Jos f L (T) ja ˆf (n) = kaikilla n Z niin f (t) m.k. =. Fourier-sarjan suppeneminen III Jos f L (T) ja n Z ˆf (n) < niin f C(T) ja ja sarja suppenee tasaisesti. f (t) = n Z ˆf (n)e iπnt, t, Weierstrassin approksimaatiolause Jos f C([a, b]) niin f voidaan approksimoida tasaisesti polynomeilla välillä [a, b], eli löytyy jono polynomeja P n s.e. lim sup n t [a,b] P n (t) f (t) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 9 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 Sisätulo L (T):ssä Jos f ja g L (T) niin f, g = f (t)g(t) dt. Funktiot t e iπnt muodostavat L (T):n ortonormaalin kannan Jos märitellään e n (t) = e iπnt niin ja jos f L (T) niin e m, e n = {, m = n,, m n, L (T) on Hilbert-avaruus Jos funktioden sijasta tarkastellaan ekvivalenssiluokkia eli f = g jos ja vain jos f (t) = g(t) melkein kaikilla t, niin silloin L (T) on Hilbert-avaruus eli täydellinen (eli jokainen Caucy-jono suppenee) sisätuloavaruus (ja siten samanlainen joukko kuin taso, jossa sisätulo on x, y = x y = x y + x y, kun :n paikalle tulee ja :n paikalle C). f, e n = f (t)e iπnt dt = f (t)e iπnt dt = ˆf (n), n Z, ja f = f, e n e n = ˆf (n)e n. n Z n Z Jos f ja g L (T) niin f (t)g(t) dt = n Z ˆf (n)ĝ(n) ja erityisesti f (t) dt = n Z ˆf (n). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6
4 Fourier-sarjan suppeneminen IV Jos f L (T) niin jokaisella ɛ > on olemassa äärellinen joukko I Z siten, että jos I J Z ja J on äärellinen niin f (t) ˆf (n)e iπnt dt < ɛ. n J Toisin sanoen, sarja suppenee L -mielessä ja kun lasketaan yteen sarjan termit, järjestyksellä ei ole merkitystä, eli sarja on summautuva. Mutta sen sijaan sarja ei ole välttämättä itseisesti suppeneva. Aritmeettisten jonojen jakaumat Valitaan x [, ) ja γ (, ) \ Q (eli γ on irrationaalinen) ja määritellään x k = (x + kγ) (mod ) = x + kγ x + kγ. Luvun γ irrationaalisuudesta seuraa, että jos f C(T) niin tämän funktion aika-keskiarvo j tila-keskiarvo ovat ytä suuret eli n lim f (x k ) = n n k= Lisäksi pätee, että jos a, b [, ), a < b niin f (t) dt. lim n n #{ k : k < n, a x k b } = b a, missä #S on S:n elementtien lukumäärä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6 Avaruus L () Joukko L () sisältää kaikki mitalliset funktiot (eli ne, jotka ovat jatkuvien funkioiden raja-arvona melkein kaikkialla) joilla f L () = f (t) dt <. Jos f L () ja ɛ > niin löytyy funktio f ɛ C c (), eli se on jatkuva joukossa ja rajoitetun välin ulkopuolella, siten, että f f ɛ L () < ɛ. Fourier-muunnos Jos f L () niin ˆf (ω) = F(f )(ω) = e iπtω f (t) dt. Kuten sarjojen kodalla saadaan f periaatteessa integraalina eiπtωˆf (ω) dω mutta ongelmat syntyvät siitä, ettei funktio ˆf välttämättä ole integroituva joten tulee taas tulkintaongelmia. Jaksollisten funktioden kodalla pätee L (T) L (T) mutta L () L () ja L () L (). iemann-lebesguen lemma Jos f L () niin ˆf C(), sup ω ˆf (ω) f L () ja ˆf (ω) kun ω. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6
5 Translaatiot, dilaatiot, jne Jos f L (), x ja a niin Erikoistapaus Jos (t) = e πt g(t) = f (t x) ĝ(ω) = e iπωxˆf (ω), (t) = e iπxt f (t) ĥ(ω) = ˆf (ω x), k(t) = f (at) k(ω) = a ˆf ( ω ). a niin ĥ(ω) = (ω). Konvoluutio Jos f ja g L () niin f g L () ja f g L () f L () g L () missä (f g)(t) = f (t s)g(s) ds. Lisäksi pätee Approksimointi konvoluutioilla f g(ω) = ˆf (ω)ĝ(ω). Jos k L () on sellainen, että k(t) dt = ja k a(t) = ak(at) niin lim a k a f f L () = jos f L (). lim a sup t (k a f )(t) f (t) = jos f on rajoitettu ja tasaisesti jatkuva. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 7 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 8 / 6 Kertolaskukaava Jos f ja g L () niin ˆf (ω)g(ω) dω = f (t)ĝ(t) dt. Kertolaskukaava, erikoistapaus Jos f ja k L () niin e iπωt k( ω)ˆf (ω) dω = (ˆk f )(t). Fourier-käänteismuunnos I Jos f L () niin lim ɛ f (t) Fourier-käänteismuunnos II e iπωtˆf (ω)e ɛω dω dt =. Jos f L () ja ˆf L () niin f (t) = e iπωtˆf (ω) dω, t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 9 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6
6 C () F(L ()) Jos esimerkiksi g C () (eli g on jatkuva ja lim ω = g(ω) = ) ja g(ω) = g( ω) kun ω ja g(ω) ω dω = + niin ei ole olemassa f L () siten, että g(ω) = ˆf (ω). Oletetaan, että tällainen funktio f L () löytyy. Silloin g(ω) = g( ω) = eiπωt f (t) dt jolloin g(ω) = g(ω) g( ω) = ( e iπωt e iπωt) f (t) dt = i sin(πωt)f (t) dt. Jos nyt määritellään F (t) = i(f (t) f ( t)) niin F L () ja muuttujan vaidolla saadaan g(ω) = sin(πωt)f (t) dt. C () F(L ()), jatkuu Jos a < b < niin b a g(ω) ω dω = b sin(πωt) F (t) dω dt a ω = πbt F (t) πat sin(x) x yt on olemassa vakio C < siten, että πbt sin(x) πat x dx C joten b sup g(ω) ω dω C F (t) dt <, <a<b< a ja tämä on ristiriita. Funktioksi g voidaan esimerkiksi valita g(ω) = { ω ω ln( ω ) ω e, ω > e,, ω e. dx dfft G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 Fourier-muunnos ja derivaatta I opeasti väenevät funktiot S() = { f : C : f C (), sup t k f (m) (t) <, k, m }. t S() sisältää siis kaikki äärettömän monta kertaa derivoituvat funktiot, joiden kaikki derivaatat suppenevat koti nopeammin kuin jokainen muotoa t m oleva funktio kun t. äin ollen f (m) L () kaikilla m. Esimerkkinä kelpaa yvin funktio. Jos ( + t )f (t) L () niin ˆf C () ja (missä D = d dω ) D(F(f ))(ω) = F(( iπt)f (t))(ω). Fourier-muunnos ja derivaatta II Jos f ja f L () ja f (t) = f () + t Df (s) ds niin F(Df )(ω) = iπωf(f )(ω). Fourier-muunnos ja derivaatta III Jos f S() niin ˆf S() ja (iπω) k D m (F(f ))(ω) = F ( D k( ( iπt) m f (t) )) (ω), k, m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6
7 Fourier-muunnos ja L () I Jos f ja g S() niin f (t)g(t) dt = Fourier-muunnos ja L () II ˆf (ω)ĝ(ω) dω. Jos f ja g L () niin on olemassa ˆf ja ĝ L () siten, että f (t)g(t) dt = ˆf (ω)ĝ(ω) dω, ja erityisesti f L () = ˆf L (). Jos f L () L () niin ˆf tulee määritellyksi kadella eri tavalla, toisaalta suoraan integraalina koska f L () ja toisaalta raja-arvona lim n fn, missä f n S(), mutta nämä määritelmät antavat saman tuloksen. Jos f L () niin pätee myös lim S,T ˆf (ω) T S e iπωt f (t) dt dω =. Jos f L () niin löytyy jono (f n ) n=, f n S() kun n siten, että lim n f n f L () = ja silloin lim n f n ˆf L () =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6 Poissonin summakaava Jos f L () C(), sarja n= f (t + n) suppenee tasaisesti kun t [ δ, δ] missä δ > ja sarja ˆf n= (n) suppenee, niin n= f (n) = n= ˆf (n). Koska funktion t f (t + x) Fourier-muunnos on e iπωxˆf (ω) saadaan vastaavin oletuksin myös kaava f (n + x) = e iπωxˆf (n). n Z n Z Vastaesimerkki Seuraava esimerkki osoittaa etteivät oletukset, että n= f (t + n) suppenee kaikilla t ja että ˆf n= (n) suppenee ole riittäviä: Määritellään g n (t) = max { min{, nt, n( t)}, }, ja f (t) = {, jos t <, g n+ (t n) g n (t n), jos t [n, n + ), n, joten f on jatkuva, ei-negatiivinen ja integroituva. Jos t [, ) niin n n ( f (t + k) = gk+ (t) g k (t) ) = g n+ (t) g(t) kun n k= missä k= g(t) = {, jos t (, ), jos t =. yt ˆf () = ĝ() = ja ˆf (n) = ĝ(n) =, n mutta f (n) = kaikilla n. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 7 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 8 / 6
8 Keskeinen raja-arvolause Tässä tarkastellaan oleellisesti kysymystä miksi normaalijakauma σ t π e p σ (t) = σ jonka odotusarvo on ja ajonta σ on normaali. Olkoot X, X,... toisistaan riippumattomia reaalisia satunnaismuuttujia joilla on tieysfunktiot f, f,.... Siis, Pr{a X j b} = b a f j (t) dt. Funktioista f j oletetaan, että ne ovat mitallisia, ja että kaikilla indekseillä j, f j (t), t, f j(t) dt =, tf j(t) dt = ja t f j (t) dt = σj (, ) missä luvut σ j ovat sellaisia, että jos vn = n j= σ j, niin v n, σn/v n kun n ja lisäksi t T t f j (t) dt/σj kun T tasaisesti j:llä. Keskeinen raja-arvolause sanoo, että jos S n = n j= X j niin { Pr a S } n b v n b a (π) e t G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 9 / 6 dt. Keskeinen raja-arvolause, jatkuu Tunnetusti S n :n tieysfunktio on g n = (f f... f n ) joten Sn v n :n tieysfunktio tulee olemaan v n g n (tv n ). Olkoon k S() mielivaltainen jolloin se on funktion ˆk( ω) Fourier-muunnos. Funktion v n g n (v n t) Fourier-muunnos taas on Π n j=ˆf j ( ω v n ) joten kertolaskukaavan nojalla saadaan v n g n (v n t)k(t) dt = Taylorin keitelmästä seuraa, että missä e iπωt vn jokaisella M < ja ˆk( ω)π n j=ˆf j ( ω v n ) dω. = iπωt π ω t ( + δ n (ωt)) v n lim n y M v n sup δ n (y) = sup δ n (y) <. n,y G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 Keskeinen raja-arvolause, jatkuu Tämän perusteella saadaan ( ) ω ( ˆf j = iπωt π ω t ) ( + δ n (ωt)) f j (t) dt v n v n missä v n ɛ j,n (ω) = t δ n (ωt)f j (t) dt. σ j = π ω σ j vn ( + ɛ j,n (ω)), yt tiedetään, että jokaisella kiinteällä luvulla ω pätee sup j,n ɛ j,n (ω) < ja lim n sup j ɛ j,n (ω) =. Koska lisäksi σj sup j n kun n niin saadaan jokaisella ω vn n lim log( π ω σ n j ɛ vn ( + ɛ j,n (ω))) + π ω σ j vn = j= G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 j= Keskeinen raja-arvolause, jatkuu Pätee tietenkin myös, että P n Π n j=ˆf j ( ω j= v n ) = e log( π ω σ j vn (+ɛ j,n (ω))) ja jos lisäksi otetaan uomioon v n :n määritelmä niin todetaan että jokaisella ω lim n Πn j=ˆf j ( ω v n ) = e π ω. Dominoidun konvergenenssilauseen perusteella saadaan ˆk( ω)π n j=ˆf j ( ω v n )dω = ˆk( ω)e π ω dω (π) e t k(t) dt. Koska karakteristista funktiota [a,b] voidaan approksimoida sekä yläältä että alaalta S()-funktioilla mielivaltaisen yvin L ()-normissa niin saadaaan väite. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6
9 Fourier-muunnos d :ssä Jos f L ( d ) niin ˆf (ω) = e iπω x f (x) dx, d ω d, missä ω x on sisätulo d :ssä. Käänteismuunnoskaavat, L -teoria jne. ovat samanlaiset kuin tapauksessa d =. Fourier-muunnos d :ssä ja lineaarikuvakset Jos M on d d-matriisi, jolla on käänteismatriisi ja f M (x) = f (Mx) missä f L ( d ) L ( d ) niin f M (ω) = det(m) ˆf ((M T ) ω), ω d, ja erityisesti jos M on ortogonaalinen (jolloin M T = M ) niin f M (ω) = ˆf (Mω), ω d. Jos M = ai missä a niin det(m) = a d. adon-muunnos Jos f on integroituva funktio tasossa niin määritellään sen adon-muunnos käyräintegraalilla f = f ds, missä L on suora ja integraali on käyräintegraali kaarenpituuden suteen. Fubinin lauseesta seuraa, että tämä integraali on määritelty melkein kaikilla suorilla. Suoran L ytälö voidaan kirjoittaa muodossa x cos(θ) + y sin(θ) = ρ, jolloin adon-muunnos on kaden muuttujan funktio: (f )(ρ, θ) = f ds, ρ, θ [, π). { (x,y):x cos(θ)+y sin(θ)=ρ } L G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 33 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 34 / 6 adon-muunnos, jatkuu Tämä suora voidaan myös esittää parametrimuodossa r(t) = (ρ cos(θ) t sin(θ), ρ sin(θ) + t cos(θ)), t,jolloin adon-muunnos voidaan kirjoittaa muodossa (koska r (t) = ) (f )(ρ, θ) = f ( ρ cos(θ) t sin(θ), ρ sin(θ) + t cos(θ) ) dt. Tästä funktiosta otetaan nyt Fourier-muunnos muuttujan ρ suteen jolloin saadaan F (f )(ω, θ) = e iπωρ f ( ρ cos(θ) t sin(θ), ρ sin(θ)+t cos(θ) ) dt dρ. (Merkintä F tarkoittaa siis, että Fourier-muunnos on otettu ainoastaan ensimmäisen muuttujan suteen.) adon-muunnos, jatkuu Jos nyt tedään muuttujan vaito [ ] [ ] x ρ cos(θ) t sin(θ) = y ρ sin(θ) + t cos(θ) niin dt dρ = dx dy ja [ ] ρ = t [ cos(θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) [ ] [ cos(θ) sin(θ) x sin(θ) cos(θ) y äin ollen saadaan muuttujan vaidolla ]. ] [ ρ t F (f )(ω, θ) = e iπ(ω cos(θ),ω sin(θ)) (x,y) f (x, y) dx dy ], = ˆf (ω cos(θ), ω sin(θ)). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 35 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 36 / 6
10 Metriikka joukossa S() Jos φ ja ψ S() niin d(φ, ψ) = k= m= (k) sup t t k (φ (m) (t) ψ (m) (t)) + sup t t k (φ (m) (t) ψ (m) (t)). äin ollen funktio esim. u : S() C on jatkuva jos jokaisella ψ S() ja jokaisella ɛ > on olemassa δ > siten että jos φ S() ja d(φ, ψ) < δ niin u(φ) u(ψ) < ɛ. Vaimennetut distribuutiot S () = { u : u on jatkuva ja lineaarinen funktio: S() C }. Vaimennetun distribuution Fourier-muunnos Jos u S () niin û = F(u) on vaimennettu distribuutio û(φ) = u( ˆφ). Jotta voidaan osoittaa, että û S () jos u S () pitää ensin osoittaa että Fourier-muunnos on jatkuva: S() S(). (Lineaarisuus on melkein itsestään selvä asia.) Esimerkki Jos f : C on mitallinen ja on olemassa m siten, että f (t) ( + t ) m dt < niin voidaan määritellä vaimennettu distribuutio f D (tai pelkästään f ) kaavalla f D (φ) = f (t)φ(t) dt. Fourier-muunnos on järkevästi määritelty Jos f L () tai f L () niin F(f D ) = (ˆf ) D. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 37 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 38 / 6 Fourier-muunnos ja derivaatta IV Jos u S () niin sen derivaatta Du = u määritellään kaavalla äin ollen Du(φ) = u(dφ). F(Du)(φ) = Du(F(φ)) = u(d(f(φ))) = u(f(( iπt)φ(t))) = F(u)(((iπt)φ(t)) = ((iπt)f(u))(φ) joten F(Du) = (iπt)f(u) missä siis distribuutio ψu määritellään kaavalla (ψu)(φ) = u(ψφ) (mikä onnistuu ainakin jos ψ C () ja sup t ( + t ) k(m) ψ (m) (t) < kaikilla m jollain k(m)). Samalla tavalla todetaan, että Jaksollisen funktion Fourier-muunnos Jos f L (T) niin f määrittelee myös funktion: C siten, että f (t) ( + t ) dt <. Silloin F(f D ) = n Z ˆf (n)δ n, missä ˆf (n) on f :n Fourier-kerroin ja δ τ (φ) = φ(τ). D(F(u)) = F(( iπt)u). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 39 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6
11 Diskreetti Fourier-muunnos Jos on positiivinen kokonaisluku niin Π = { F : Z C : F(m + ) = F(m) kaikilla m Z }. Jos F Π niin F (F)(m) = ˆF(m) = k= e iπmk F(k). Joukko Π on siis oleellisesti C, jonka vektoreista on tety jaksollisia jonoja. Diskreetti Fourier-muunnos määritellään usein kaavoilla iπmk k= e F(k) tai iπmk k= e F(k). Valittu määritelmä vaikuttaa vain siien missä kodassa muissa kaavoissa esiintyy. Diskreetin Fourier-muunnoksen käänteismuunnos F on bijektio:π Π ja jos F Π niin eli F (F (F))(m) = e iπmk F(k) k= = F = F missä (F)(m) = F( m). FFT FFT on algoritmi, jolla diskreetti Fourier-muunnos lasketaan käyttäen c log() laskutoimitusta eikä c niin kuin suoraviivainen lasku edellyttäisi. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6 FFT:n perusideat Diskreetin Fourier-muunnoksen teokas käyttö perustuu siien, että on madollista laskea se nopeasti ja teokkaasti, mutta jos lädetään laskemaan suoraan määritelmästä joudutaan suorittamaan suurin piirtein laskuoperaatiota. Laskun nopeuttamiseksi voidaan käyttää esim. seuraavanlaisia ideoita: Olkoon parillinen luku ja olkoon F Π. yt F (F)(m) = ˆF(m) = = j= = j= k= e iπmk F (k) e iπmj F(j) + j= e iπmj F(j) + e iπm e iπm(j+) F(j + ) j= e iπmj F(j + ) = F (F( : : ))(m) + e iπm F (F( : : ))(m). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 43 / 6 FFT:n perusideat, jatkuu Kun lisäksi muistetaan, että F (G) on jaksollinen jaksolla = e iπm pystyvektoreina niin saadaan e iπ(m+ ) missä B M = [ I M I M Ω M Ω M ja että niin nädään, että kun kirjoitetaan vektorit [ ] F (F( : : )) F (F) = B, (F( : : )) ] ja F ([ ]) Ω M = diag e iπ M e iπ M... e iπ(m ) M G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 44 / 6
12 FFT:n perusideat, jatkuu Jos nyt = q ja niin silloin A k = I q k B k = diag([b k,..., B k ]) F (F) = A q A q... A P F missä P F on permutaatio vektorista F. Kun lisäksi uomataan, että kun kerrotaan vektoria matriisilla A k niin jokaisen elementin laskemiseksi on kerrottava yksi elementti kompleksiluvulla ja tulokseen lisätään toinen kompleksiluku eli kaiken kaikkiaan kertolaskua ja yteenlaskua ja kaiken kaikkiaan on siis laskettava q kertolaskua ja q yteenlaskua. opea Fourier-muunnos on siis todella uomattavasti nopeampi kuin suoraviivainen määritelmän soveltaminen. Vastaavasti nopeita Fourier-muunnosalgoritmeja on myös olemassa tapauksissa kun k. Konvoluutio ja diskreetti Fourier-muunnos Jos F ja G Π niin niiden konvoluutiotulo on ja (F G)(m) = k= F(m k)g(k), () F (F G)(m) = F (F)(m)F (G)(m). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 45 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 46 / 6 Jonot ja konvoluutiot Tässä tarkastellaan jonoja (A(k)) k= eli funktiota C. Yteenlaskun, skalaarilla kertomisen ja termeittäin otetun kertolaskun lisäksi voidaan myös määritellä konvoluutiotulo kaavalla (A B)(m) = m A(m k)b(k), m. k= Tämä konvoluutio ei ole sama kuin jaksollisille jonoille määritelty konvoluutio, mutta tämänkin konvoluution laskemisessa voidaan käyttää diskreettiä Fourier-muunnosta. Jos alutaan laskea (A B)(k) kun k =,,..., n niin valitaan = n ja määritellään jaksolliset jonot F ja G Π : { A(k), k n, F(k) =, n k, { B(k), k n, G(k) =, n k. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 47 / 6 Jonot ja konvoluutiot, jatkuu Jos nyt m n niin m (F G)(m)= F(m k)g(k)+ k= n k=m+ n F(m k)g(k)+ F(m k)g(k). Määritelmän mukaan m k= F(m k)g(k) = m k= A(m k)b(k) ja n k=n F(m k)g(k) =. Koska F on jaksollinen niin F(m k) = F(n + m k) ja kun m n ja m + k n niin n + m k n + n = n ja n + m k n + m m = n joten F(m k) = kun k = m +,..., n ja n k=m+ F(m k)g(k) =. äin ollen m (F G)(m) = F(m k)g(k), m =,,..., n, k= ja laskemalla Fourier-muunnoksia saadaan k=n (A B)(m) = F n (F n(f) F n (G))(m), m =,,..., n. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 48 / 6
13 Jonot ja konvoluutiot, jatkuu Jonon sijasta voitaisiin myös puua potenssisarjasta Ã(x) = A(k)x k. k= Tällaiset sarjat ovat muodollisia siinä mielessä ettei välitetä sarjan suppenemisesta. Tärkeintä on tietenkin, että (A B)(x) = Ã(x) B(x). Fourier-integraalin numeerinen laskeminen Olkoon g(t) = k= ( t t k t f (k t + t )p t missä t > ja p : on sellainen, että p() = ja p(j) = kun j Z \ {}. Silloin g on funktio joka interpoloi funktion f, eli ), g(k t + t ) = f (k t + t ), k =,...,, ja g(k t) = kun k < tai k >. Jos nyt F(k) = f (k t + t ), k =,...,, Monet esimerkit, missä lasketaan jonoilla liittyvät juuri tään. ja niin t ω =, ĝ(m ω) = te iπm ωt ˆF(m)ˆp ( m ), m Z. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 49 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 Harmoniset funktiot Jos Ω d on avoin niin u : Ω on armoninen Ω:ssa jos u C (Ω) ja d u = u = Ω:ssa. x j= j G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 Laplacen ytälö ja satunnaiskulku Olkoon > ja =. Satunnaiskulku toimii siten, että jos tietyllä etkellä ollan pisteessä (j, k) ja k > niin siirrytään todennäköisyydella 4 pisteeseen ((j )), k), ((j + ), k), (j, (k )) tai (j, (k + )) ja pysädytään jos tullan x-akselille. Olkoon nyt U(j, k) todennäköisyys, että jos lädetään liikkeelle pisteestä (j, k) niin pysädytään x-akselilla välillä [, ]. Jos nyt oletetaan, että siirtymät ovat toisistaan riippumattomia niin kokonaistodennäköisdyyden kaavan mukaan U(j, k) = 4 U(j, k) + 4 U(j +, k) + 4 U(j, k ) + U(j, k + ). 4 Jos u(x, y) on funktio siten, että u(j, k) = U(j, k) niin tätä ytälöä voidaan myös esittää seuraavassa muodossa kun (x, y) = (j, k): ( u(x +, y) u(x, y) + ( u(x, y + ) u(x, y) ) u(x, y) u(x, y) ) u(x, y) u(x, y ) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6
14 Laplacen ytälö ja satunnaiskulku, jatkuu Koska u(x+,y) u(x,y) u(x,y+) u(x,y) u x (x + u(x,y) u(x,y), y), u x (x, y), u(x,y) u(x,y ) ) ja u y (x, y ) niin u y (x, y + saadaan raja-arvona kun Laplacen ytälö u xx + u yy =, x, y >. Koska U(j, ) = jos j ja U(j, ) = jos j < tai j > niin saadaan reuna-arvoksi u(x, ) = [,] (x). Lisäksi tiedetään tässä tapauksessa, että u on rajoitettu. Laplacen ytälö on rotaationinvariantti Jos u on armoninen joukossa B(x, r) = { x d : x < r } ja v(x) = u(x + Q(x x )) missä Q on ortogonaalinen matriisi (Q = Q T ) niin myös v on armoninen joukossa B(x, r). adiaaliset armoniset funktiot Jos u on armoninen joukossa { x : r < x < r } d ja u(x) = v( x ) niin v (r) + d v (r) =, r < r < r. r Jos lisäksi r = ja u on rajoitettu, niin u on vakio. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 53 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 54 / 6 Poissonin kaava pallolle Jos r > ja g on jatkuva joukossa { x d : x = r } niin funktio u(x) = r x ra(s d g(y) ds(y), ) x y d y =r missä a(s d ) = x = ds on yksikköpallon B(, ) reunan Sd pinta-ala, on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva ja armoninen funktio (, r):ssä, u C(B(, r)) ja u(x) = g(x) kun x = r. Poissonin kaava ylemmässä puoliavaruudessa Jos g on jatkuva ja rajoitettu funktio d :ssä niin funktio y u(x, y) = a(s d g(z) dz, x d, y >, ) d ( x z + y ) d on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva, rajoitettu ja armoninen funktio ylätasossa { (x, y) : x d, y > } ja jatkuva ylätason sulkeumassa ja u(x, ) = g(x). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 55 / 6 Esimerkki Seuraavassa konstruoidaan tason yksikköympyrän sisäpuolella armoninen funktio, jota ei voida esittää reunaarvojen integraalina. Ensikisi todetaan, että kun d = niin jokainen armoninen funktio on analyyttisen funktion reaaliosa. Tästä seuraa, että jos u on armoninen ja f on analyyttinen niin funktio v(x, y) = u(e (f (x + iy)), Im (f (x + iy))) on myös armoninen. yt valitaan u(x, y) = sin(x) sin(y) ja f (z) = i +z z, jolloin f siis kuvaa joukon { z C : z < } joukolle { w C : Im (w) > }. apakoordinaateilla saadaan f (re iθ ) = i ( + reiθ )( re iθ ) re iθ = ja kun määritellään ( v(r cos(θ), r sin(θ)) = sin r sin(θ) r cos(θ) + r +i r r cos(θ) + r, r sin(θ) r cos(θ) + r ) ( sin r r cos(θ) + r niin v on armoninen joukossa { (x, y) : x + y < } ja v(x, y) kun x + y mutta (x, y) (, ) mutta kaikilla θ pätee lim r v(r cos(θ), r sin(θ)) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 56 / 6 )
15 Keskiarvo-ominaisuus Jos Ω d on avoin ja u C(Ω) niin u:lla on keskiarvo-ominaisuus jos u(x ) = x = ds x = u(x + rx) ds kaikilla x ja r joilla pätee { x d : x x r } Ω. u:lla on eikko keskiarvo-ominaisuus jos jokaisella x Ω ja jokaisella ɛ > on olemassa r (, ɛ) siten, että { x d : x x r } Ω ja u(x ) = x = ds u(x + rx) ds. x = Harmoniset funktiot, keskiarvo-ominaisuus ja derivoituvuus Jos Ω d on avoin niin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja: u C (Ω) ja u on armoninen Ω:ssa. u C (Ω) ja u on armoninen Ω:ssa. u C(Ω) ja u:lla on keskiarvo-ominaisuus. u C(Ω) ja u:lla on eikko keskiarvo-ominaisuus. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 57 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 58 / 6 Jos Heijastusperiaate Ω + { (x, y) : x d, y > }; u C(Ω + ) ja u on armoninen joukossa Ω; u(x, ) = jos (x, ) Ω + ; Ω ± = Ω + Ω Ω missä (x, y) Ω jos ja vain jos (x, y) Ω + ja (x, ) Ω jos ja vain jos B((x, ), r) { (x, y) : x d, y > } Ω + jollakin r > ; määritellään u(x, y) = u(x, y) kun (x, y) Ω ; niin silloin u on armoninen joukossa Ω ± Yksinkertaisin tilanne on tietenkin se, että Ω + = { (x, y) : x d y > } mutta oleellista on että eijastus tedään jonkin ypertason { w d : (w w ) n = } suteen ja että u on vakio tällä ypertasolla. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 59 / 6 Liouvillen lause Jos u on armoninen ja alaalta (tai yläältä) rajoitettu joukossa d niin u on vakio. Aputulos Jos u on armoninen ja ei-negatiivinen avoimessa joukossa Ω d, B(x, ) Ω ja x x = r < niin ( r) d ( + r) d u(x ( + r)d ) u(x) ( r) d u(x ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6
16 Maksimiperiaate Jos Ω d on avoin ja rajoitettu, u on jatkuva Ω:n sulkeumassa Ω ja armoninen Ω:ssa niin max u(y) = max u(y) eli u(x) max u(y), x Ω. y Ω y Ω y Ω Yksikäsitteisyys Jos Ω d on avoin ja rajoitettu ja f ja g ovat annettuja funktioita niin on olemassa korkeintaan yksi funktio u C (Ω) C(Ω) siten, että u = f joukossa Ω ja u = g reunalla Ω. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6 Vava maksimiperiaate Jos Ω d on avoin ja ytenäinen, u C (Ω) on armoninen Ω:ssa ja jos jossain pisteessä x Ω pätee u(x ) = sup x Ω u(x) niin u on vakio. Harnackin epäytälö Jos Ω d on avoin ja jos V Ω on rajoitettu, avoin, ytenäinen ja V Ω niin on olemassa vakio c (, ) siten, että jos u on armoninen Ω:ssa ja sup x Ω u(x) < niin sup x V u(x) ( c) sup u(x) + c inf u(x). x Ω x V Koska u on armoninen jos ja vain jos u on armoninen saadaan maksimiperiaatteista vastaavanlaisia minimiperiaatteita ja erikoisesti Harnackin epäytälö esitetään tavallisesti niin, että u(x) joukossa Ω jolloin epäytälöksi tulee sup u(x) x V c inf u(x). x V G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6
MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa II
MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa II
MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit Poissonin summakaava Whittaker-Shannonin interpolointikaava 2 Vaimennetunen distribuution
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi L4, osa II, todistuksia ym
Mat-.4 Matematiikan peruskurssi L4, osa II, todistuksia ym G. Gripenberg Aalto-yliopisto 4. maaliskuuta 2 G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 / 68 Poissonin yhtälö...................
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotMat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus
Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotHarjoitus 1, tehtävä 1
Heikki Kallasjoki, 66H, htkallas@cc.hut.fi /34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f C(R) on π-jaksollinen funktio ja a R. Näytä, että f(t + a) dt f(t) dt a+π f(t) dt. a () () (3) Tarkastellaan ensin lauseketta
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotOsa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotFourier-sarjat ja -muunnos
24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi L4, osa II
Mat-.040 Matematiikan peruskurssi L4, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 26. maaliskuuta 200 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 / 70 Poissonin yhtälö................... 4
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotMat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia
Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Monotonista luokkaa koskeva lause Oletetaan, että Ω on ei-tyhjä joukko; G H 2 Ω ; jos A ja B G niin A B G; Ω H; jos A ja B H ja A B niin B \ A H; ja joko, että
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotKompleksianalyysi viikko 3
Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 1. tammikuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta
Lisätiedote ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,
Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
Lisätiedot