Mat Matematiikan peruskurssi L4, osa I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat Matematiikan peruskurssi L4, osa I"

Transkriptio

1 Fourier-sarjat Mat-.4 Matematiikan peruskurssi L4, osa I In matematics you don t understand tings. You just get used to tem. Jon von eumann G. Gripenberg Aalto-yliopisto 9. elmikuuta Fourier-integraalit Fourier-käänteismuunnos Fourier-muunnos ja derivaatta Poissonin summakaava Keskeinen raja-arvolause Moniulotteinen Fourier-muunnos Vaimennetut distribuutiot ja niiden Fourier-muunnokset Diskreetti Fourier-muunnos Laplacen ytälö Poissonin kaavat pallossa ja ylemmässä puoliavaruudessa.. 55 Keskiarvo-ominaisuus Maksimiperiaatteet ja Harnackin epäytälö G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 Jaksolliset funktiot, T jne Funktio f : C on jaksollinen jaksolla jos f (t + ) = f (t) kaikilla t. T = /Z jolloin siis T on ekvivalenssiluokkien muodostama joukko eli joukko missä pisteet t ja t + n on samaistettu kun n Z. Jokaista funktiota f : T C voidaan käsitellä jaksollisena funktiona f : C ja päinvastoin ja näin tässä tullaan tekemäänkin. Joukko L p (T) sisältää kaikki jaksolliset (jaksolla ) ja mitalliset ( ) funktiot f, joilla f L P (T) < missä f L P (T) = f (t) p p dt kun p < ja f L (T) = inf{ C : f (t) C melkein kaikkialla }. Jaksollisen funktion Fourier-kertoimet Jos f L (T) niin ˆf (n) = e iπnt f (t) dt, n Z. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 Jos f L (T) niin funktioden f ja e iπnt jaksollisuudesta seuraa, että Fourier-kertoimet saadaan myös kaavoilla ˆf (n) = e iπnt f (t) dt = Jaksolliset funktiot jaksolla T a a e iπnt f (t) dt. Jos f :n jakso on T eli f (t + T ) = f (t) kaikilla t niin funktio g(t) = f (tt ) on jaksollinen jaksolla ja muuttujan vaidon jälkeen todetaan, että g:n (eli ytä yvin f :n) Fourier-kertoimiksi tulee T T e iπnt T f (t) dt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6

2 iemann-lebesguen lemma Jos f L (T) niin ˆf (n) f L (T), n Z ja lim ˆf (n) =. n Jos f L p ([, ]) niin f :n arvoilla pisteissä ja ovat epäoleellisia ja jatkamalla funktiota jaksolliseksi funktioksi voidaan ytä yvin ajatella, että f L p (T). äin ei ole asian laita jos käsitellään jatkuvia funktioita ja C(T) C([, ]) koska edellisessä tapauksessa vaaditaan, että f () = f (). Fourier-analyysi perustuu tuloksiin, joiden mukaan n= eiπntˆf (n) on f (t) mutta ongelma on missä mielessä sarja suppenee eli mitä summalla tarkoitetaan. Tietyin oletuksin ongelmia ei ole, muissa tapauksissa sen sijaan on valittava sopiva tulkinta tai sitten todistuksista tulee yvin ankalia. Fourier-sarjan suppeneminen, I Jos f L (T) on derivoituva pisteessä t tai jos pelkästään t f (t + t ) f (t ) dt < niin lim,m n= M ˆf (n)e iπnt = f (t ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6 Konvoluutio Jos f ja g L (T) niin f g L (T) missä ja (f g)(t) = f (t s)g(s) ds = f g(n) = ˆf (n)ĝ(n), n Z. Itseisesti suppenevat Fourier-sarjat f (s)g(t s) ds, Jos n Z a n < niin A(t) = n Z a ne iπnt C(T) ja Â(n) = a n. Jos lisäksi f L (T) niin Erikoistapaus: Fejerin ydin F m (t) = ( ) sin(mπt), m sin(πt) t, m =,,.... { F m (n) = max, m n m }, n Z. F m C (T) ja F m (t), t. F m(t) dt =. Jos f L (T), niin lim m (F m f )(t) f (t) dt = ja jos f C(T) niin lim m sup t F m f (t) f (t) =. (A f )(t) = n Z a nˆf (n)e iπnt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 7 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 8 / 6

3 Fourier-sarjan suppeneminen II Jos f C(T) niin lim sup m ja jos f L (T) niin t lim m m n= m m n= m m n m m n m ˆf (n)e iπnt f (t) =. ˆf (n)e iπnt f (t) dt =. Fourier-muunnos on injektio Jos f L (T) ja ˆf (n) = kaikilla n Z niin f (t) m.k. =. Fourier-sarjan suppeneminen III Jos f L (T) ja n Z ˆf (n) < niin f C(T) ja ja sarja suppenee tasaisesti. f (t) = n Z ˆf (n)e iπnt, t, Weierstrassin approksimaatiolause Jos f C([a, b]) niin f voidaan approksimoida tasaisesti polynomeilla välillä [a, b], eli löytyy jono polynomeja P n s.e. lim sup n t [a,b] P n (t) f (t) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 9 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 Sisätulo L (T):ssä Jos f ja g L (T) niin f, g = f (t)g(t) dt. Funktiot t e iπnt muodostavat L (T):n ortonormaalin kannan Jos märitellään e n (t) = e iπnt niin ja jos f L (T) niin e m, e n = {, m = n,, m n, L (T) on Hilbert-avaruus Jos funktioden sijasta tarkastellaan ekvivalenssiluokkia eli f = g jos ja vain jos f (t) = g(t) melkein kaikilla t, niin silloin L (T) on Hilbert-avaruus eli täydellinen (eli jokainen Caucy-jono suppenee) sisätuloavaruus (ja siten samanlainen joukko kuin taso, jossa sisätulo on x, y = x y = x y + x y, kun :n paikalle tulee ja :n paikalle C). f, e n = f (t)e iπnt dt = f (t)e iπnt dt = ˆf (n), n Z, ja f = f, e n e n = ˆf (n)e n. n Z n Z Jos f ja g L (T) niin f (t)g(t) dt = n Z ˆf (n)ĝ(n) ja erityisesti f (t) dt = n Z ˆf (n). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6

4 Fourier-sarjan suppeneminen IV Jos f L (T) niin jokaisella ɛ > on olemassa äärellinen joukko I Z siten, että jos I J Z ja J on äärellinen niin f (t) ˆf (n)e iπnt dt < ɛ. n J Toisin sanoen, sarja suppenee L -mielessä ja kun lasketaan yteen sarjan termit, järjestyksellä ei ole merkitystä, eli sarja on summautuva. Mutta sen sijaan sarja ei ole välttämättä itseisesti suppeneva. Aritmeettisten jonojen jakaumat Valitaan x [, ) ja γ (, ) \ Q (eli γ on irrationaalinen) ja määritellään x k = (x + kγ) (mod ) = x + kγ x + kγ. Luvun γ irrationaalisuudesta seuraa, että jos f C(T) niin tämän funktion aika-keskiarvo j tila-keskiarvo ovat ytä suuret eli n lim f (x k ) = n n k= Lisäksi pätee, että jos a, b [, ), a < b niin f (t) dt. lim n n #{ k : k < n, a x k b } = b a, missä #S on S:n elementtien lukumäärä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6 Avaruus L () Joukko L () sisältää kaikki mitalliset funktiot (eli ne, jotka ovat jatkuvien funkioiden raja-arvona melkein kaikkialla) joilla f L () = f (t) dt <. Jos f L () ja ɛ > niin löytyy funktio f ɛ C c (), eli se on jatkuva joukossa ja rajoitetun välin ulkopuolella, siten, että f f ɛ L () < ɛ. Fourier-muunnos Jos f L () niin ˆf (ω) = F(f )(ω) = e iπtω f (t) dt. Kuten sarjojen kodalla saadaan f periaatteessa integraalina eiπtωˆf (ω) dω mutta ongelmat syntyvät siitä, ettei funktio ˆf välttämättä ole integroituva joten tulee taas tulkintaongelmia. Jaksollisten funktioden kodalla pätee L (T) L (T) mutta L () L () ja L () L (). iemann-lebesguen lemma Jos f L () niin ˆf C(), sup ω ˆf (ω) f L () ja ˆf (ω) kun ω. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6

5 Translaatiot, dilaatiot, jne Jos f L (), x ja a niin Erikoistapaus Jos (t) = e πt g(t) = f (t x) ĝ(ω) = e iπωxˆf (ω), (t) = e iπxt f (t) ĥ(ω) = ˆf (ω x), k(t) = f (at) k(ω) = a ˆf ( ω ). a niin ĥ(ω) = (ω). Konvoluutio Jos f ja g L () niin f g L () ja f g L () f L () g L () missä (f g)(t) = f (t s)g(s) ds. Lisäksi pätee Approksimointi konvoluutioilla f g(ω) = ˆf (ω)ĝ(ω). Jos k L () on sellainen, että k(t) dt = ja k a(t) = ak(at) niin lim a k a f f L () = jos f L (). lim a sup t (k a f )(t) f (t) = jos f on rajoitettu ja tasaisesti jatkuva. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 7 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 8 / 6 Kertolaskukaava Jos f ja g L () niin ˆf (ω)g(ω) dω = f (t)ĝ(t) dt. Kertolaskukaava, erikoistapaus Jos f ja k L () niin e iπωt k( ω)ˆf (ω) dω = (ˆk f )(t). Fourier-käänteismuunnos I Jos f L () niin lim ɛ f (t) Fourier-käänteismuunnos II e iπωtˆf (ω)e ɛω dω dt =. Jos f L () ja ˆf L () niin f (t) = e iπωtˆf (ω) dω, t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 9 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6

6 C () F(L ()) Jos esimerkiksi g C () (eli g on jatkuva ja lim ω = g(ω) = ) ja g(ω) = g( ω) kun ω ja g(ω) ω dω = + niin ei ole olemassa f L () siten, että g(ω) = ˆf (ω). Oletetaan, että tällainen funktio f L () löytyy. Silloin g(ω) = g( ω) = eiπωt f (t) dt jolloin g(ω) = g(ω) g( ω) = ( e iπωt e iπωt) f (t) dt = i sin(πωt)f (t) dt. Jos nyt määritellään F (t) = i(f (t) f ( t)) niin F L () ja muuttujan vaidolla saadaan g(ω) = sin(πωt)f (t) dt. C () F(L ()), jatkuu Jos a < b < niin b a g(ω) ω dω = b sin(πωt) F (t) dω dt a ω = πbt F (t) πat sin(x) x yt on olemassa vakio C < siten, että πbt sin(x) πat x dx C joten b sup g(ω) ω dω C F (t) dt <, <a<b< a ja tämä on ristiriita. Funktioksi g voidaan esimerkiksi valita g(ω) = { ω ω ln( ω ) ω e, ω > e,, ω e. dx dfft G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta / 6 Fourier-muunnos ja derivaatta I opeasti väenevät funktiot S() = { f : C : f C (), sup t k f (m) (t) <, k, m }. t S() sisältää siis kaikki äärettömän monta kertaa derivoituvat funktiot, joiden kaikki derivaatat suppenevat koti nopeammin kuin jokainen muotoa t m oleva funktio kun t. äin ollen f (m) L () kaikilla m. Esimerkkinä kelpaa yvin funktio. Jos ( + t )f (t) L () niin ˆf C () ja (missä D = d dω ) D(F(f ))(ω) = F(( iπt)f (t))(ω). Fourier-muunnos ja derivaatta II Jos f ja f L () ja f (t) = f () + t Df (s) ds niin F(Df )(ω) = iπωf(f )(ω). Fourier-muunnos ja derivaatta III Jos f S() niin ˆf S() ja (iπω) k D m (F(f ))(ω) = F ( D k( ( iπt) m f (t) )) (ω), k, m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6

7 Fourier-muunnos ja L () I Jos f ja g S() niin f (t)g(t) dt = Fourier-muunnos ja L () II ˆf (ω)ĝ(ω) dω. Jos f ja g L () niin on olemassa ˆf ja ĝ L () siten, että f (t)g(t) dt = ˆf (ω)ĝ(ω) dω, ja erityisesti f L () = ˆf L (). Jos f L () L () niin ˆf tulee määritellyksi kadella eri tavalla, toisaalta suoraan integraalina koska f L () ja toisaalta raja-arvona lim n fn, missä f n S(), mutta nämä määritelmät antavat saman tuloksen. Jos f L () niin pätee myös lim S,T ˆf (ω) T S e iπωt f (t) dt dω =. Jos f L () niin löytyy jono (f n ) n=, f n S() kun n siten, että lim n f n f L () = ja silloin lim n f n ˆf L () =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6 Poissonin summakaava Jos f L () C(), sarja n= f (t + n) suppenee tasaisesti kun t [ δ, δ] missä δ > ja sarja ˆf n= (n) suppenee, niin n= f (n) = n= ˆf (n). Koska funktion t f (t + x) Fourier-muunnos on e iπωxˆf (ω) saadaan vastaavin oletuksin myös kaava f (n + x) = e iπωxˆf (n). n Z n Z Vastaesimerkki Seuraava esimerkki osoittaa etteivät oletukset, että n= f (t + n) suppenee kaikilla t ja että ˆf n= (n) suppenee ole riittäviä: Määritellään g n (t) = max { min{, nt, n( t)}, }, ja f (t) = {, jos t <, g n+ (t n) g n (t n), jos t [n, n + ), n, joten f on jatkuva, ei-negatiivinen ja integroituva. Jos t [, ) niin n n ( f (t + k) = gk+ (t) g k (t) ) = g n+ (t) g(t) kun n k= missä k= g(t) = {, jos t (, ), jos t =. yt ˆf () = ĝ() = ja ˆf (n) = ĝ(n) =, n mutta f (n) = kaikilla n. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 7 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 8 / 6

8 Keskeinen raja-arvolause Tässä tarkastellaan oleellisesti kysymystä miksi normaalijakauma σ t π e p σ (t) = σ jonka odotusarvo on ja ajonta σ on normaali. Olkoot X, X,... toisistaan riippumattomia reaalisia satunnaismuuttujia joilla on tieysfunktiot f, f,.... Siis, Pr{a X j b} = b a f j (t) dt. Funktioista f j oletetaan, että ne ovat mitallisia, ja että kaikilla indekseillä j, f j (t), t, f j(t) dt =, tf j(t) dt = ja t f j (t) dt = σj (, ) missä luvut σ j ovat sellaisia, että jos vn = n j= σ j, niin v n, σn/v n kun n ja lisäksi t T t f j (t) dt/σj kun T tasaisesti j:llä. Keskeinen raja-arvolause sanoo, että jos S n = n j= X j niin { Pr a S } n b v n b a (π) e t G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 9 / 6 dt. Keskeinen raja-arvolause, jatkuu Tunnetusti S n :n tieysfunktio on g n = (f f... f n ) joten Sn v n :n tieysfunktio tulee olemaan v n g n (tv n ). Olkoon k S() mielivaltainen jolloin se on funktion ˆk( ω) Fourier-muunnos. Funktion v n g n (v n t) Fourier-muunnos taas on Π n j=ˆf j ( ω v n ) joten kertolaskukaavan nojalla saadaan v n g n (v n t)k(t) dt = Taylorin keitelmästä seuraa, että missä e iπωt vn jokaisella M < ja ˆk( ω)π n j=ˆf j ( ω v n ) dω. = iπωt π ω t ( + δ n (ωt)) v n lim n y M v n sup δ n (y) = sup δ n (y) <. n,y G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 Keskeinen raja-arvolause, jatkuu Tämän perusteella saadaan ( ) ω ( ˆf j = iπωt π ω t ) ( + δ n (ωt)) f j (t) dt v n v n missä v n ɛ j,n (ω) = t δ n (ωt)f j (t) dt. σ j = π ω σ j vn ( + ɛ j,n (ω)), yt tiedetään, että jokaisella kiinteällä luvulla ω pätee sup j,n ɛ j,n (ω) < ja lim n sup j ɛ j,n (ω) =. Koska lisäksi σj sup j n kun n niin saadaan jokaisella ω vn n lim log( π ω σ n j ɛ vn ( + ɛ j,n (ω))) + π ω σ j vn = j= G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6 j= Keskeinen raja-arvolause, jatkuu Pätee tietenkin myös, että P n Π n j=ˆf j ( ω j= v n ) = e log( π ω σ j vn (+ɛ j,n (ω))) ja jos lisäksi otetaan uomioon v n :n määritelmä niin todetaan että jokaisella ω lim n Πn j=ˆf j ( ω v n ) = e π ω. Dominoidun konvergenenssilauseen perusteella saadaan ˆk( ω)π n j=ˆf j ( ω v n )dω = ˆk( ω)e π ω dω (π) e t k(t) dt. Koska karakteristista funktiota [a,b] voidaan approksimoida sekä yläältä että alaalta S()-funktioilla mielivaltaisen yvin L ()-normissa niin saadaaan väite. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 3 / 6

9 Fourier-muunnos d :ssä Jos f L ( d ) niin ˆf (ω) = e iπω x f (x) dx, d ω d, missä ω x on sisätulo d :ssä. Käänteismuunnoskaavat, L -teoria jne. ovat samanlaiset kuin tapauksessa d =. Fourier-muunnos d :ssä ja lineaarikuvakset Jos M on d d-matriisi, jolla on käänteismatriisi ja f M (x) = f (Mx) missä f L ( d ) L ( d ) niin f M (ω) = det(m) ˆf ((M T ) ω), ω d, ja erityisesti jos M on ortogonaalinen (jolloin M T = M ) niin f M (ω) = ˆf (Mω), ω d. Jos M = ai missä a niin det(m) = a d. adon-muunnos Jos f on integroituva funktio tasossa niin määritellään sen adon-muunnos käyräintegraalilla f = f ds, missä L on suora ja integraali on käyräintegraali kaarenpituuden suteen. Fubinin lauseesta seuraa, että tämä integraali on määritelty melkein kaikilla suorilla. Suoran L ytälö voidaan kirjoittaa muodossa x cos(θ) + y sin(θ) = ρ, jolloin adon-muunnos on kaden muuttujan funktio: (f )(ρ, θ) = f ds, ρ, θ [, π). { (x,y):x cos(θ)+y sin(θ)=ρ } L G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 33 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 34 / 6 adon-muunnos, jatkuu Tämä suora voidaan myös esittää parametrimuodossa r(t) = (ρ cos(θ) t sin(θ), ρ sin(θ) + t cos(θ)), t,jolloin adon-muunnos voidaan kirjoittaa muodossa (koska r (t) = ) (f )(ρ, θ) = f ( ρ cos(θ) t sin(θ), ρ sin(θ) + t cos(θ) ) dt. Tästä funktiosta otetaan nyt Fourier-muunnos muuttujan ρ suteen jolloin saadaan F (f )(ω, θ) = e iπωρ f ( ρ cos(θ) t sin(θ), ρ sin(θ)+t cos(θ) ) dt dρ. (Merkintä F tarkoittaa siis, että Fourier-muunnos on otettu ainoastaan ensimmäisen muuttujan suteen.) adon-muunnos, jatkuu Jos nyt tedään muuttujan vaito [ ] [ ] x ρ cos(θ) t sin(θ) = y ρ sin(θ) + t cos(θ) niin dt dρ = dx dy ja [ ] ρ = t [ cos(θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) [ ] [ cos(θ) sin(θ) x sin(θ) cos(θ) y äin ollen saadaan muuttujan vaidolla ]. ] [ ρ t F (f )(ω, θ) = e iπ(ω cos(θ),ω sin(θ)) (x,y) f (x, y) dx dy ], = ˆf (ω cos(θ), ω sin(θ)). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 35 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 36 / 6

10 Metriikka joukossa S() Jos φ ja ψ S() niin d(φ, ψ) = k= m= (k) sup t t k (φ (m) (t) ψ (m) (t)) + sup t t k (φ (m) (t) ψ (m) (t)). äin ollen funktio esim. u : S() C on jatkuva jos jokaisella ψ S() ja jokaisella ɛ > on olemassa δ > siten että jos φ S() ja d(φ, ψ) < δ niin u(φ) u(ψ) < ɛ. Vaimennetut distribuutiot S () = { u : u on jatkuva ja lineaarinen funktio: S() C }. Vaimennetun distribuution Fourier-muunnos Jos u S () niin û = F(u) on vaimennettu distribuutio û(φ) = u( ˆφ). Jotta voidaan osoittaa, että û S () jos u S () pitää ensin osoittaa että Fourier-muunnos on jatkuva: S() S(). (Lineaarisuus on melkein itsestään selvä asia.) Esimerkki Jos f : C on mitallinen ja on olemassa m siten, että f (t) ( + t ) m dt < niin voidaan määritellä vaimennettu distribuutio f D (tai pelkästään f ) kaavalla f D (φ) = f (t)φ(t) dt. Fourier-muunnos on järkevästi määritelty Jos f L () tai f L () niin F(f D ) = (ˆf ) D. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 37 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 38 / 6 Fourier-muunnos ja derivaatta IV Jos u S () niin sen derivaatta Du = u määritellään kaavalla äin ollen Du(φ) = u(dφ). F(Du)(φ) = Du(F(φ)) = u(d(f(φ))) = u(f(( iπt)φ(t))) = F(u)(((iπt)φ(t)) = ((iπt)f(u))(φ) joten F(Du) = (iπt)f(u) missä siis distribuutio ψu määritellään kaavalla (ψu)(φ) = u(ψφ) (mikä onnistuu ainakin jos ψ C () ja sup t ( + t ) k(m) ψ (m) (t) < kaikilla m jollain k(m)). Samalla tavalla todetaan, että Jaksollisen funktion Fourier-muunnos Jos f L (T) niin f määrittelee myös funktion: C siten, että f (t) ( + t ) dt <. Silloin F(f D ) = n Z ˆf (n)δ n, missä ˆf (n) on f :n Fourier-kerroin ja δ τ (φ) = φ(τ). D(F(u)) = F(( iπt)u). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 39 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6

11 Diskreetti Fourier-muunnos Jos on positiivinen kokonaisluku niin Π = { F : Z C : F(m + ) = F(m) kaikilla m Z }. Jos F Π niin F (F)(m) = ˆF(m) = k= e iπmk F(k). Joukko Π on siis oleellisesti C, jonka vektoreista on tety jaksollisia jonoja. Diskreetti Fourier-muunnos määritellään usein kaavoilla iπmk k= e F(k) tai iπmk k= e F(k). Valittu määritelmä vaikuttaa vain siien missä kodassa muissa kaavoissa esiintyy. Diskreetin Fourier-muunnoksen käänteismuunnos F on bijektio:π Π ja jos F Π niin eli F (F (F))(m) = e iπmk F(k) k= = F = F missä (F)(m) = F( m). FFT FFT on algoritmi, jolla diskreetti Fourier-muunnos lasketaan käyttäen c log() laskutoimitusta eikä c niin kuin suoraviivainen lasku edellyttäisi. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 4 / 6 FFT:n perusideat Diskreetin Fourier-muunnoksen teokas käyttö perustuu siien, että on madollista laskea se nopeasti ja teokkaasti, mutta jos lädetään laskemaan suoraan määritelmästä joudutaan suorittamaan suurin piirtein laskuoperaatiota. Laskun nopeuttamiseksi voidaan käyttää esim. seuraavanlaisia ideoita: Olkoon parillinen luku ja olkoon F Π. yt F (F)(m) = ˆF(m) = = j= = j= k= e iπmk F (k) e iπmj F(j) + j= e iπmj F(j) + e iπm e iπm(j+) F(j + ) j= e iπmj F(j + ) = F (F( : : ))(m) + e iπm F (F( : : ))(m). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 43 / 6 FFT:n perusideat, jatkuu Kun lisäksi muistetaan, että F (G) on jaksollinen jaksolla = e iπm pystyvektoreina niin saadaan e iπ(m+ ) missä B M = [ I M I M Ω M Ω M ja että niin nädään, että kun kirjoitetaan vektorit [ ] F (F( : : )) F (F) = B, (F( : : )) ] ja F ([ ]) Ω M = diag e iπ M e iπ M... e iπ(m ) M G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 44 / 6

12 FFT:n perusideat, jatkuu Jos nyt = q ja niin silloin A k = I q k B k = diag([b k,..., B k ]) F (F) = A q A q... A P F missä P F on permutaatio vektorista F. Kun lisäksi uomataan, että kun kerrotaan vektoria matriisilla A k niin jokaisen elementin laskemiseksi on kerrottava yksi elementti kompleksiluvulla ja tulokseen lisätään toinen kompleksiluku eli kaiken kaikkiaan kertolaskua ja yteenlaskua ja kaiken kaikkiaan on siis laskettava q kertolaskua ja q yteenlaskua. opea Fourier-muunnos on siis todella uomattavasti nopeampi kuin suoraviivainen määritelmän soveltaminen. Vastaavasti nopeita Fourier-muunnosalgoritmeja on myös olemassa tapauksissa kun k. Konvoluutio ja diskreetti Fourier-muunnos Jos F ja G Π niin niiden konvoluutiotulo on ja (F G)(m) = k= F(m k)g(k), () F (F G)(m) = F (F)(m)F (G)(m). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 45 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 46 / 6 Jonot ja konvoluutiot Tässä tarkastellaan jonoja (A(k)) k= eli funktiota C. Yteenlaskun, skalaarilla kertomisen ja termeittäin otetun kertolaskun lisäksi voidaan myös määritellä konvoluutiotulo kaavalla (A B)(m) = m A(m k)b(k), m. k= Tämä konvoluutio ei ole sama kuin jaksollisille jonoille määritelty konvoluutio, mutta tämänkin konvoluution laskemisessa voidaan käyttää diskreettiä Fourier-muunnosta. Jos alutaan laskea (A B)(k) kun k =,,..., n niin valitaan = n ja määritellään jaksolliset jonot F ja G Π : { A(k), k n, F(k) =, n k, { B(k), k n, G(k) =, n k. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 47 / 6 Jonot ja konvoluutiot, jatkuu Jos nyt m n niin m (F G)(m)= F(m k)g(k)+ k= n k=m+ n F(m k)g(k)+ F(m k)g(k). Määritelmän mukaan m k= F(m k)g(k) = m k= A(m k)b(k) ja n k=n F(m k)g(k) =. Koska F on jaksollinen niin F(m k) = F(n + m k) ja kun m n ja m + k n niin n + m k n + n = n ja n + m k n + m m = n joten F(m k) = kun k = m +,..., n ja n k=m+ F(m k)g(k) =. äin ollen m (F G)(m) = F(m k)g(k), m =,,..., n, k= ja laskemalla Fourier-muunnoksia saadaan k=n (A B)(m) = F n (F n(f) F n (G))(m), m =,,..., n. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 48 / 6

13 Jonot ja konvoluutiot, jatkuu Jonon sijasta voitaisiin myös puua potenssisarjasta Ã(x) = A(k)x k. k= Tällaiset sarjat ovat muodollisia siinä mielessä ettei välitetä sarjan suppenemisesta. Tärkeintä on tietenkin, että (A B)(x) = Ã(x) B(x). Fourier-integraalin numeerinen laskeminen Olkoon g(t) = k= ( t t k t f (k t + t )p t missä t > ja p : on sellainen, että p() = ja p(j) = kun j Z \ {}. Silloin g on funktio joka interpoloi funktion f, eli ), g(k t + t ) = f (k t + t ), k =,...,, ja g(k t) = kun k < tai k >. Jos nyt F(k) = f (k t + t ), k =,...,, Monet esimerkit, missä lasketaan jonoilla liittyvät juuri tään. ja niin t ω =, ĝ(m ω) = te iπm ωt ˆF(m)ˆp ( m ), m Z. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 49 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 Harmoniset funktiot Jos Ω d on avoin niin u : Ω on armoninen Ω:ssa jos u C (Ω) ja d u = u = Ω:ssa. x j= j G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6 Laplacen ytälö ja satunnaiskulku Olkoon > ja =. Satunnaiskulku toimii siten, että jos tietyllä etkellä ollan pisteessä (j, k) ja k > niin siirrytään todennäköisyydella 4 pisteeseen ((j )), k), ((j + ), k), (j, (k )) tai (j, (k + )) ja pysädytään jos tullan x-akselille. Olkoon nyt U(j, k) todennäköisyys, että jos lädetään liikkeelle pisteestä (j, k) niin pysädytään x-akselilla välillä [, ]. Jos nyt oletetaan, että siirtymät ovat toisistaan riippumattomia niin kokonaistodennäköisdyyden kaavan mukaan U(j, k) = 4 U(j, k) + 4 U(j +, k) + 4 U(j, k ) + U(j, k + ). 4 Jos u(x, y) on funktio siten, että u(j, k) = U(j, k) niin tätä ytälöä voidaan myös esittää seuraavassa muodossa kun (x, y) = (j, k): ( u(x +, y) u(x, y) + ( u(x, y + ) u(x, y) ) u(x, y) u(x, y) ) u(x, y) u(x, y ) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 5 / 6

14 Laplacen ytälö ja satunnaiskulku, jatkuu Koska u(x+,y) u(x,y) u(x,y+) u(x,y) u x (x + u(x,y) u(x,y), y), u x (x, y), u(x,y) u(x,y ) ) ja u y (x, y ) niin u y (x, y + saadaan raja-arvona kun Laplacen ytälö u xx + u yy =, x, y >. Koska U(j, ) = jos j ja U(j, ) = jos j < tai j > niin saadaan reuna-arvoksi u(x, ) = [,] (x). Lisäksi tiedetään tässä tapauksessa, että u on rajoitettu. Laplacen ytälö on rotaationinvariantti Jos u on armoninen joukossa B(x, r) = { x d : x < r } ja v(x) = u(x + Q(x x )) missä Q on ortogonaalinen matriisi (Q = Q T ) niin myös v on armoninen joukossa B(x, r). adiaaliset armoniset funktiot Jos u on armoninen joukossa { x : r < x < r } d ja u(x) = v( x ) niin v (r) + d v (r) =, r < r < r. r Jos lisäksi r = ja u on rajoitettu, niin u on vakio. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 53 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 54 / 6 Poissonin kaava pallolle Jos r > ja g on jatkuva joukossa { x d : x = r } niin funktio u(x) = r x ra(s d g(y) ds(y), ) x y d y =r missä a(s d ) = x = ds on yksikköpallon B(, ) reunan Sd pinta-ala, on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva ja armoninen funktio (, r):ssä, u C(B(, r)) ja u(x) = g(x) kun x = r. Poissonin kaava ylemmässä puoliavaruudessa Jos g on jatkuva ja rajoitettu funktio d :ssä niin funktio y u(x, y) = a(s d g(z) dz, x d, y >, ) d ( x z + y ) d on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva, rajoitettu ja armoninen funktio ylätasossa { (x, y) : x d, y > } ja jatkuva ylätason sulkeumassa ja u(x, ) = g(x). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 55 / 6 Esimerkki Seuraavassa konstruoidaan tason yksikköympyrän sisäpuolella armoninen funktio, jota ei voida esittää reunaarvojen integraalina. Ensikisi todetaan, että kun d = niin jokainen armoninen funktio on analyyttisen funktion reaaliosa. Tästä seuraa, että jos u on armoninen ja f on analyyttinen niin funktio v(x, y) = u(e (f (x + iy)), Im (f (x + iy))) on myös armoninen. yt valitaan u(x, y) = sin(x) sin(y) ja f (z) = i +z z, jolloin f siis kuvaa joukon { z C : z < } joukolle { w C : Im (w) > }. apakoordinaateilla saadaan f (re iθ ) = i ( + reiθ )( re iθ ) re iθ = ja kun määritellään ( v(r cos(θ), r sin(θ)) = sin r sin(θ) r cos(θ) + r +i r r cos(θ) + r, r sin(θ) r cos(θ) + r ) ( sin r r cos(θ) + r niin v on armoninen joukossa { (x, y) : x + y < } ja v(x, y) kun x + y mutta (x, y) (, ) mutta kaikilla θ pätee lim r v(r cos(θ), r sin(θ)) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 56 / 6 )

15 Keskiarvo-ominaisuus Jos Ω d on avoin ja u C(Ω) niin u:lla on keskiarvo-ominaisuus jos u(x ) = x = ds x = u(x + rx) ds kaikilla x ja r joilla pätee { x d : x x r } Ω. u:lla on eikko keskiarvo-ominaisuus jos jokaisella x Ω ja jokaisella ɛ > on olemassa r (, ɛ) siten, että { x d : x x r } Ω ja u(x ) = x = ds u(x + rx) ds. x = Harmoniset funktiot, keskiarvo-ominaisuus ja derivoituvuus Jos Ω d on avoin niin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja: u C (Ω) ja u on armoninen Ω:ssa. u C (Ω) ja u on armoninen Ω:ssa. u C(Ω) ja u:lla on keskiarvo-ominaisuus. u C(Ω) ja u:lla on eikko keskiarvo-ominaisuus. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 57 / 6 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 58 / 6 Jos Heijastusperiaate Ω + { (x, y) : x d, y > }; u C(Ω + ) ja u on armoninen joukossa Ω; u(x, ) = jos (x, ) Ω + ; Ω ± = Ω + Ω Ω missä (x, y) Ω jos ja vain jos (x, y) Ω + ja (x, ) Ω jos ja vain jos B((x, ), r) { (x, y) : x d, y > } Ω + jollakin r > ; määritellään u(x, y) = u(x, y) kun (x, y) Ω ; niin silloin u on armoninen joukossa Ω ± Yksinkertaisin tilanne on tietenkin se, että Ω + = { (x, y) : x d y > } mutta oleellista on että eijastus tedään jonkin ypertason { w d : (w w ) n = } suteen ja että u on vakio tällä ypertasolla. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 59 / 6 Liouvillen lause Jos u on armoninen ja alaalta (tai yläältä) rajoitettu joukossa d niin u on vakio. Aputulos Jos u on armoninen ja ei-negatiivinen avoimessa joukossa Ω d, B(x, ) Ω ja x x = r < niin ( r) d ( + r) d u(x ( + r)d ) u(x) ( r) d u(x ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6

16 Maksimiperiaate Jos Ω d on avoin ja rajoitettu, u on jatkuva Ω:n sulkeumassa Ω ja armoninen Ω:ssa niin max u(y) = max u(y) eli u(x) max u(y), x Ω. y Ω y Ω y Ω Yksikäsitteisyys Jos Ω d on avoin ja rajoitettu ja f ja g ovat annettuja funktioita niin on olemassa korkeintaan yksi funktio u C (Ω) C(Ω) siten, että u = f joukossa Ω ja u = g reunalla Ω. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6 Vava maksimiperiaate Jos Ω d on avoin ja ytenäinen, u C (Ω) on armoninen Ω:ssa ja jos jossain pisteessä x Ω pätee u(x ) = sup x Ω u(x) niin u on vakio. Harnackin epäytälö Jos Ω d on avoin ja jos V Ω on rajoitettu, avoin, ytenäinen ja V Ω niin on olemassa vakio c (, ) siten, että jos u on armoninen Ω:ssa ja sup x Ω u(x) < niin sup x V u(x) ( c) sup u(x) + c inf u(x). x Ω x V Koska u on armoninen jos ja vain jos u on armoninen saadaan maksimiperiaatteista vastaavanlaisia minimiperiaatteita ja erikoisesti Harnackin epäytälö esitetään tavallisesti niin, että u(x) joukossa Ω jolloin epäytälöksi tulee sup u(x) x V c inf u(x). x V G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa I 9. elmikuuta 6 / 6

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I 1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit Poissonin summakaava Whittaker-Shannonin interpolointikaava 2 Vaimennetunen distribuution

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja 1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Harjoitus 1, tehtävä 1

Harjoitus 1, tehtävä 1 Heikki Kallasjoki, 66H, htkallas@cc.hut.fi /34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f C(R) on π-jaksollinen funktio ja a R. Näytä, että f(t + a) dt f(t) dt a+π f(t) dt. a () () (3) Tarkastellaan ensin lauseketta

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä

11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä . Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Fourier-sarjat ja -muunnos

Fourier-sarjat ja -muunnos 24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Mat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia

Mat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Monotonista luokkaa koskeva lause Oletetaan, että Ω on ei-tyhjä joukko; G H 2 Ω ; jos A ja B G niin A B G; Ω H; jos A ja B H ja A B niin B \ A H; ja joko, että

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0, Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z 5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon

Lisätiedot

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f, 7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot