MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
|
|
- Niina Katriina Oksanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti. tammikuuta 6 6 Lineaarinen approksimointi 7 Newtonin menetelmä G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I / 33 Vektoreista R on reaalilukujen joukko ja R = R R = { (x, y) : x, y R } on xy-tason pisteitä. Jokaista pistettä tai paria (x, y) voimme käsitellä vektorina, jonka x voimme myös esittää joko pystyvektorina ( -matriisina), y vaakavektorina ( -matriisina) x y tai muodossa xi + yj (missä siis i on positiivisen x-akselin suuntainen yksikkövektori jne.) Jos u on vaakavektori u() u() v() ja v on pystyvektori niin v() niiden matriisitulo on uv = u()v() + u()v(). Jos emme tee eroa vaaka- ja pystyvektoriden välillä voimme myös kirjoittaa tätä pistetulona (sisätulona, skalaaritulona) u v. Vektorin pituuden määritelmäksi otamme u = u u. Vektorit u ja v ovat kohtisuorassa tosiaan vastaan jos u v =. R d = { (x, x,..., x d ) : x j R, j =,..., d } ja kun R korvataan R d :llä niin ainoastaan kuvien piirtäminen tulee vaikeammaksi. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 3 / 33 Funktioista f (x) = ( + cos(x)) cos(x) on yhden reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio (eli funktio: R R) jolla on kuvaaja: ( + cos(t)) cos(t) Funktio g(t) = on yhden ( + cos(t)) sin(t) reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio (eli funktio: R R ) jonka kuvajoukko on käyrä: Funktio h(x, y) = ( + cos(x)) sin(y) on kahden reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio (eli funktio: R R), jota voi myös käsitellä yhden vektorimuuttujan ( ) funktiona x h = ( + cos(x)) sin(y) ja jolla y on seuraava kuvaaja: t Huomaa, että f :n kuvaaja on käyrä, jolla on parametriesitys t. ( + cos(t)) cos(t) G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 4 / 33
2 Muuttujat, parametrit, vakiot Jos sylinterin muotoisella putkella on pituus L, sisähalkaisija r, seinämän paksuus h ja materiaalin tiheys on niin putken massa m = L π ( (r + h) r ). Riippuen tilanteesta voimme tämän kaavan avulla määritellä erilaisia funktioita: m = f (L) = L π ( (r + h) r ) kun pidämme suureita, r ja h parametreina, eli käsittelemme eripituisia putken pätkiä. m = f (L, r, h, ) = L π ( (r + h) r ) missä meillä on neljä muuttujaa. L m = f r = L π ( (r + h) r ) missä meillä on yhden h vektorimuuttujan funktio ja pidämme :ta parametrina. Muuttujat, parametrit, vakiot, jatk. Jos käytämme Matlab/Octavea voimme esimerkiksi kirjoittaa rho=7.87 f=@(l,r,h) rho*l*pi*((r+h)^-r^) tai jos käytämme vektoriargumenttiä rho=7.87 f=@(x) rho*x()*pi*((x()+x(3))^-x()^) Huomaa, että jos muutamme rho:n arvoa niin meidän pitää toistaa funktion f määritelmää! Kaikissa näissä tapauksissa pidämme π:tä vakiona mutta jos π:n paikalle sijoitetaan (epätarkka) likiarvo ja haluamme selvittää mikä on tämän approksimaation vaikutus voi syntyä tilanteita missä π:tä käsitellään muuttujana tai parametrina. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 5 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 6 / 33 Kuristusperiaate Jos meidän pitää määrittää raja-arvo lim (x,y) (,) 5x y x 4 + y, niin voimme yrittää käyttää kuristusperiaatetta jos arvelemme, että raja-arvo on ja silloin meidän pitää korvata 5x y suuremmalla funktiolla x 4 +y (kun olemme ottaneet itseisarvon, mikä tässä ei ole tarpeen) jolle on helpompaa osoittaa, että raja-arvo on. Voimme ensin todeta, että x 4 josta seuraa, että x 4 + y y jolloin 5x y x 4 + y 5x y y = 5x. Nyt on selvää (?), että lim 5x = lim 5x = 5 =, (x,y) (,) x ja näin ollen saamme kuristusperiaatteen nojalla 5x y lim (x,y) (,) x 4 + y =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 7 / 33 Esimerkki: Raja-arvo xy Jos haluamme määrittää raja-arvon lim (x,y) (,), niin voimme x +y 4 laskea raja-arvon sädettä (αt, βt) pitkin ja kun määrittelemme f (x, y) = xy saamme x +y 4 αtβ t lim f (αt, βt) = lim t + t + α t + β 4 t 4 = lim t αβ t α + β 4 t = Tästä seuraa (ainoastaan!), että jos raja-arvo on olemassa niin se on. Nyt osoittautuu, että raja-arvoa ei ole olemassa koska jos valitsemme x = t ja y = t ja laskemme raja-arvon kun t + niin saamme t t (t ) + t 4 =, lim f t + (t, t) = lim t + josta seuraa ettei f (x, y) ole lähellä jos (x, y) on riittävän lähellä (, ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 8 / 33
3 Derivoimisjärjestyksen vaihto Oleta, että funktion f (x, y) osittaisderivaatat f x (x, y), f y (x, y), f xy (x, y) ja f yx (x, y) ovat olemassa (ainakin) kaikissa pisteissä (x, y) joilla (x x ) + (y y ) < δ ja, että funktiot f xy (x, y) ja f yx (x, y) ovat jatkuvia pisteessä (x, y ). Silloin pätee f xy (x, y ) = f yx (x, y ). Todistus Olkoon < h < δ ja määrittele funktiot u ja v siten, että u(x) = f (x, y + h) f (x, y ) ja v(y) = f (x + h, y) f (x, y). Funktio u on derivoituva välillä (x, x + h) ja jatkuva välillä x, x + h ja näin ollen väliarvolauseesta seuraa, että on olemassa luku θ (, ) siten, että u(x + h) u(x ) = hu (x + θ h). (x, y + h) (x + h, y + h) u(x + h) u(x ) = v(y + h) v(y ) (x, y ) (x + h, y ) G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 9 / 33 Todistus, jatk. Koska hu (x + θ h) = h(f x (x + θ h, y + h) f x (x + θ h, y )) voimme soveltaa väliarvolausetta vielä kerran funktioon y f x (x + θ h, y) ja saamme u(x + h) u(x ) = h f xy (x + θ h, y + θ h), missä θ (, ). Samalla tavalla toteamme myös, että v(y + h) v(y ) = h f yx (x + θ 4 h, y + θ 3 h), missä θ 3 ja θ 4 (, ). Nyt u(x + h) u(x ) = v(y + h) v(y ) koska molemmat lausekkeet ovat f (x + h, y + h) f (x + h, y ) f (x, y + h) + f (x, y ) josta seuraa, että h f xy (x + θ h, y + θ h) = h f yx (x + θ 4 h, y + θ 3 h). Jos nyt jaamme h :lla, otamme raja-arvon kun h ja käytämme hyväksi oletusta, että f xy ja f yx ovat jatkuvia, niin saamme väitteen f xy (x, y ) = f yx (x, y ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33 Esimerkki: Osittaisderivaattoja ( Jos f (x, y, z) = ln + e x+yz) niin f :n osittaisderivaatat ovat seuraavat: f x (x, y, z) = x ln ( + e x+yz) = f y (x, y, z) = y ln ( + e x+yz) = f z (x, y, z) = x ln ( + e x+yz) = Näin ollen funktion f derivaatta eli gradientti on e x+yz, + e x+yz e x+yz z, + e x+yz e x+yz yz. + e x+yz f (x, y, z) = Df (x, y, z) = f (x, y, z) = e x+yz, e x+yz z, e x+yz yz + e x+yz + e x+yz + e x+yz = e x+yz i + e x+yz z j + e x+yz yz k. + e x+yz + e x+yz + e x+yz G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33 Esimerkki: Gradientti ja tasa-arvokäyrä Jos f (x, y) = x + y niin sen gradientti eli eli derivaatta on Df (x, y) = x y = x i + y j ja erityisesti pisteessä (, ) gradientti on i + j. Funktion pisteen (, ) kautta kulkeva tasa-arvokäyrä on (ellipsi) { (x, y) : x + y = 3 } ja alla olevasta kuviosta nähdään, että gradientti on kohtisuorassa tasa-arvokäyrää ja sen tangenttia pisteessä (, ) vastaan. Koska gradientti pisteessä (, ) on i + j niin tätä vastaan kohtisuorassa olevan, pisteen f = 8 (, ) kautta kulkevan suoran suuntavektori on i + j jolloin tämän suoran yhtälö on f = 3 y = x + eli y = x + 3. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33
4 Derivaatta ja koordinaattisysteemi Edellä annetun määritelmän mukaan esimerkiksi funktion f (x, y) = xy derivaatta eli gradientti on f (x, y) = y x = y i + x j, mutta tässä määritelmässä meillä on oletuksena, että koordinaattisysteemi on kiinnitetty. Jos valitsemme toisen, st-koordinaattisysteemin, esimerkiksi (kiertämällä xy-systeemin koordinaattiakseleita 45 ) siten, että s = x + y, t y x niin f (s, t) = (s t ) ja f (s, t) = s t = s u t v missä u ja v ovat s- ja t-akselien suuntaisia kantavektoreita, eli u = (i + j) ja v = (j i). Näin ollen voimme todeta, että derivaatta pisteessä x oikeasti on lineaarikuvaus h f (x)h ja tämän lineaarikuvauksen matriisiesitys (jota sitten käytetään laskuissa) riippuu käytetystä koordinaattisysteemistä. Samalla tavalla voimme sanoa, että funktion g(x) = x derivaatta pisteessä x = ei ole luku g () = 4 vaan lineaarikuvaus neljällä kertominen : t 4t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 3 / 33 Derivaatan tulosääntö ketjusäännön avulla Derivaatan tulosääntö sanoo tunnetusti, että (fg) = f g + fg. Vaihtoehtoinen lähestymistapa on seuraava: Kirjoita p(t) = f (t)g(t) yhdistettynä funktiona p(t) = (h k)(t) = h(k(t)) missä h : R R on h ( x y ) = xy ja k(t) = f (t) g(t). Derivaatan määritelmän nojalla ( ) h x = y x ja k (t) = y Ketjusäännön mukaan pätee silloin p (t) = h (k(t))k (t) = g(t) f (t) f (t) g (t) f (t) g. (t) = g(t)f (t) + f (t)g (t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 4 / 33 Laplacen yhtälö u xx + u yy = napakoordinaateissa Oletamme, että u toteuttaa ns. Laplacen yhtälön u xx + u yy = ja tehtävänä on selvittää minkä yhtälön funktio v(r, θ) = u(r cos(θ), r sin(θ)) toteuttaa. (Tässä siis v on funktio u esitettynä napakoordinaattien funktiona). Osittaisderivaattoja laskemalla (ja ketjusääntöä hyväksi käyttäen) toteamme, että v r (r, θ) = u x (r cos(θ), r sin(θ)) cos(θ) + u y (r cos(θ), r sin(θ)) sin(θ), v θ (r, θ) = u x (r cos(θ), r sin(θ))( r sin(θ)) + u y (r cos(θ), r sin(θ))r cos(θ). Osoittautuu, että meidän ei tarvitse laskea v rθ = v θr (mutta tämä ei ole lainkaan etukäteen selvää) mutta sen sijaan meidän pitää laskea v rr (r, θ) = u xx (r cos(θ), r sin(θ)) cos(θ) + u xy (r cos(θ), r sin(θ)) cos(θ) sin(θ) + u yy (r cos(θ), r sin(θ)) sin(θ), ja Laplacen yhtälö napakoordinaateissa, jatkuu v θθ (r, θ) = u xx (r cos(θ), r sin(θ))r sin(θ) + u xy (r cos(θ), r sin(θ))( r cos(θ) sin(θ)) + u yy (r cos(θ), r sin(θ))r cos(θ) u x (r cos(θ), r sin(θ))r cos(θ)) u y (r cos(θ), r sin(θ))r sin(θ). Oletuksen mukaan u xx (x, y) + u yy (x, y) =, erityisesti u xx (r cos(θ), r sin(θ)) + u yy (r cos(θ), r sin(θ)) =, ja tämän sekä kaavan cos(θ) + sin(θ) = avulla näemme, että v rr (r, θ) + r v r (r, θ) + r v θθ(r, θ) = G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 5 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 6 / 33
5 Esimerkki: Suunnatut derivaatat Jos funktio f on kolmen muuttujan derivoituva funktio ja en suunnatut derivaatat pisteessä x suuntiin u = i + j, u = j k ja u 3 = i + k ovat, ja 3 niin voimme määrittää derivaatan pisteessä x koska vektorit u, u ja u 3 ovat lineaarisesti riippumattomia (eli erisuuntaisia): Oletamme, että f (x ) = A i + B j + C k jolloin suunnatun derivaatan määritelmän nojalla saamme yhtälösysteemin = D u f (x ) = (A i + B j + C k) (i + j) = A + B, = D u f (x ) = (A i + B j + C k) (j k) = B C, 3 = D u3 f (x ) = (A i + B j + C k) ( i + k) = A + C. Matriisimuodossa tämä systeemi ja sen ratkaisu ovat A A B = B = 3. C 3 C G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 7 / 33 Esimerkki: Ketjusääntö ja virtausmekaniikka Oletamme, että neste virtaa tasossa siten, että nopeus pisteessä (x, y) hetkellä t on u(x, y, t)i + v(x, y, t)j. Jos nyt haluamme määrittää hetkellä t pisteessä (x, y) sijaitsevan nestepartikkelin kiihtyvyys niin ensin oletamme, että partikkelin sijainti hetkellä t on (X (t), Y (t)) (jolloin siis X (t) = x ja Y (t) = y jos se on pisteessä (x, y) hetkellä t). Silloin nopeus on X (t) i + Y (t) j, josta seuraa, että X (t) = u(x (t), Y (t), t) ja Y (t) = v(x (t), Y (t), t). Kiihtyvyys taas on X (t) i + Y (t) j ja ketjusäännön nojalla X (t) = u x (X (t), Y (t), t)x (t) + u y (X (t), Y (t), t)y (t) + u t (X (t), Y (t), t) = u x (X (t), Y (t), t)u(x (t), Y (t), t) + u y (X (t), Y (t), t)v(x (t), Y (t), t) + u t (X (t), Y (t), t) = u x (x, y, t)u(x, y, t) + u y (x, y, t)v(x, y, t) + u t (x, y, t), missä viimeisellä rivillä käytimme oletusta x(t) = x ja Y (t) = y. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 8 / 33 Esimerkki: Ketjusääntö ja virtausmekaniikka, jatk. Samalla tavalla saamme Y (t) = v x (x, y, t)u(x, y, t) + v y (x, y, t)v(x, y, t) + v t (x, y, t). Näin ollen kiihtyvyys on ( ux (x, y, t)u(x, y, t) + u y (x, y, t)v(x, y, t) + u t (x, y, t) ) i + ( v x (x, y, t)u(x, y, t) + v y (x, y, t)v(x, y, t) + v t (x, y, t) ) j. Huomaa, että tämä on epälineaarinen lauseke eli jos u korvataan u + u :lla ja samoin v korvataan v + v :lla niin tulos ei ole kahden lausekkeen summa missä toisessa esiintyy u ja v ja toisessa u ja v. Suuri osa virtausmekaniikan hankaluuksista on seuraus tästä epälineaarisuudesta. Milloin pätee f(x) f(y) C x y kun kun x, y? Jos f : R d R m on jatkuvasti derivoituva, niin jokainen komponentti f j, j m, on jatkuvasti derivoituva ja löytyy luvut c j siten, että f j (v) C kun v. Jos nyt x ja y ovat sellaisia, että x ja y niin määritellään funktio h kaavalla h j (t) = f j (( t)y + tx). Silloin h j on derivoituva reaaliarvoinen funktio ja väliarvolauseen nojalla f j (x) f j (y) = h j () h j () = h j(t j )( ), missä t j (, ). Ketjusäännön nojalla joten h j(t j ) = f j (( t j )y + t j x)(x y), f j (x) f j (y) = h j () h j () f j (( t j )y + t j x) x y c j x y, koska ( t j )y + t j x) ( t j ) y + t j x. Näin ollen f (x) f (y) C x y missä C = c c m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 9 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33
6 Milloin pätee g(x) g(y) c x y kun kun x, y? Ei välttämättä jos d >, g : R d R d on jatkuvasti derivoituva, > ja g (v)u > kun v, u R d ja u = kuten seuraava esimerkki näyttää: Olkoon g(v) = Jos u = u u e πs cos( πt e πs g (v) = π niin ) sin( πt ) kun v = e πs cos( πt ) e πs g (v)u = π e πs sin( πt ) s. Silloin t πs e sin( πt e πs ) cos( πt ), cos( πt )u sin( πt )u sin( πt )u + cos( πt )u, Milloin pätee g(x) g(y) c x y kun kun x, y? jatk. joten g (v)u ( = 4π e 4πx cos( πt ) u cos( πt + sin( πt ) u + sin( πt ) u ) sin( πt )u u + cos( πt πt ) sin( )u u + cos( πt ) u Tästä päättelemme, että jos v, niin s ja kaikilla vektoreilla u. Jos nyt x = g (v)u π e π u, ja y = ) = e x u. niin g(x) g(y) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33 Esimerkki: Tangenttitaso Jos haluamme määrittää funktion f (x, y) = x y kuvaajan tangenttitason kun x = ja y = niin kirjoitamme ensin yhtälön muodossa z = x y eli g(x, y, z) = missä g(x, y, z) = x y z (vaikka se voisi yhtä hyvin olla g(x, y, z) = x + y + z). Funktion g derivaatta on Dg(x, y, z) = x i y j k ja pisteessä (,, f (, )) = (,, 3) tämä derivaatta on n = 4 i j k. Tämä vektori on pinnan g(x, y, z) = normaali pisteessä (,, 3) ja samalla pinnan tässä pisteessä otetun tangenttitason normaali. Koska (,, 3) on tangenttitason piste niin v = (x ) i + (y ) j + (z 3) k on tangenttitason suuntainen vektori jos (x, y, z) on myös tangenttitason piste. Näin ollen v on kohtisuorassa normaalia n vastaan eli v n = ja tästä ehdosta saamme tangenttitason yhtälön 4(x ) (y ) (z 3) = eli 4x y z = 3. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 3 / 33 Lineaarinen approksimointi, suhteellinen virhe Jos meidän pitää arvioida virhettä, joka syntyy kun ympyräkartion tilavuus lasketaan kaavalla V = 3 πr h ja tiedämme ainoastaan, että säteen r mitatun arvon virhe on korkeintaan 3% ja korkeuden h mitatun arvon virhe on korkeintaan % niin emme saa absoluuttista ylärajaa tilavuuden virheelle mutta saamme helposti approksimatiivisen ylärajan suhteelliselle virheelle seuraavalla tavalla: Lineaarisen approksimoinnin perusteella: V = V (r + r, h + h) V (r, h) V r (r, h) r + V h (r, h) h, josta seuraa, että V V 3 πrh r 3 πr h + 3 πr h 3 πr h = r r Koska oletamme, että r h r.3 ja h. niin V V.3 +. =.8, eli suhteellinen virhe on korkeintaan 8%. + h h. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 4 / 33
7 Esimerkki: Lineaarinen approksimointi Sylinterimäisen säiliön sisältämä nestemäärä, kun säiliön akseli on vaakasuorassa on V = L(r arccos( h r ) (r h) hr h ) missä L on säiliön pituus, joka on noin m, r on säde, joka on noin 5 cm ja h on nestepinnan korkeus, joka myös on noin 5 cm. Pituuden L ja säteen r pystymme mittaamaan cm tarkkuudella. Miten tarkasti meidän on mitattava h jotta saisimme nestemäärän lasketuksi 5 litran tarkkuudella? Määrittelemme f (L, r, h) = L (r arccos( h ) r ) (r h) hr h. Silloin (funktion arccos(t) derivaatta on t ) f L (L, r, h) = ( r arccos( h r ) (r h) hr h ) f r (L, r, h) = Lr arccos( h r ) Lr h ( h ) r L hr h r h L(r h), hr h Esimerkki: Lineaarinen approksimointi, jatk. ja erityisesti f h (L, r, h) = Lr ( h ) r + L hr h r r h L(r h), hr h f L (, 5, 5) = π f r (, 5, 5) = π 46, f h (, 5, 5) = + =. Lineaarisella approksimoinnilla saamme f f L L + f r r + f h h. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 5 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 6 / 33 Esimerkki: Lineaarinen approksimointi, jatk. josta seuraa, että f f L L + f r r + f h h h koska L ja r. Jos nyt haluamme, että f 5 3 niin meidän täytyy vaatia, että h 5, ja tästä seuraa, että pitää olla h.4. Huom Tässä kuten muissa vastaavissa laskuissa L on virhe tai poikkeama muuttujan L arvossa, eli L = L L mutta :lla merkitään myös Laplacen differentiaalioperaattoria: u = u xx + u yy + u zz. Esimerkki: Lineaarinen approksimointi Funktiosta f tiedämme, että f (3, ) =.7, f (3.,.) =.75 ja f (.9,.) =.68. Nyt voimme seuraavalla tavalla arvioida derivaattaa käyttäen mikä on f (3.,.9): Lineaarisella approksimoinnilla saamme f (3 + x, + y) f (3, ) + f x (3, ) x + f y (3, ) y. Jos ensin valitsemme x =. ja y =. ja sitten x =. ja y =. niin saamme yhtälösysteemin eli.75 = f ((3 +., +.).7 + f x (3, ). + f y (3, ).,.68 = f (3., +.).7 + f x (3, ) (.) + f y (3, ).,.5 f x (3, ) + f y (3, ),. f x (3, ) + f y (3, ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 7 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 8 / 33
8 Esimerkki: Lineaarinen approksimointi, jatk. Laskemalla yhteen saamme ensin f y (3, ). ja sitten sijoittamalla tämän tuloksen ensimmäiseen yhtälöön saamme f x (3, ).5. =.3. Jos nyt valitsemme x =. ja y =. niin lineaarisella approksimoinnilla saamme f (3.,.9) = f (3 +.,.) f (3, ) + f x (3, ). + f y (3, ) (.) (.) Huomaa, että tässä virhelähteenä on myös epätarkkuudet osittaisderivaattojen arvoissa. = =.75. Differentiaali?? Sanomme, että ψ = a(x, y) dx + b(x, y) dy, on. kertaluvun differentiaalimuoto (tai differentiaalimuotokenttä koska kertoimet a ja b ovat muuttujien x ja y funktioita) tai lyhyemmin vain differentiaali. Tässä. kertaluvun tapauksessa voimme pitää dx symbolina, jota vastaa x-akselin suuntaista yksikkövektoria ja samoin dy symbolina jota vastaa y-akselin suuntaista yksikkövektoria jolloin differentiaalia ψ vastaa vektorifunktio a(x, y) b(x, y). Tällaista differentiaalia voimme (kunhan kertoimet ovat esim. jatkuvia) integroida käyrää pitkin: Jos r(t) = x(t) i + y(t) j, t a, b on suunnatun käyrän C parametriesitys (ja funktiot x(t) ja y(t) ovat esim. paloittain jatkuvasti derivoituvia) niin C ψ = b a ( a(x(t), y(t))x (t) + b(x(t), y(t))y (t) ) dt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 9 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 3 / 33 Differentiaali??, jatk. Jos nyt a(x, y) = f x (x, y) ja b(x, y) = f y (x, y) niin ketjusäännön nojalla integroitavana on derivaatta jolloin saamme integraalin suoraan sijoittamalla ja ψ = f (r(b)) f (r(a)) = f (C:n loppupiste) f (C:n alkupiste). C Jos siis a(x, y) = f x (x, y) ja b(x, y) = f y (x, y) niin kirjoitamme ψ = df, sanomme, että ψ on funktion f kokonaisdifferentiaali ja df = f x dx + f y dy, ja tämän vastine on approksimointikaavaa f f x x + f y y. Mutta jos ei päde a(x, y) = f x (x, y) ja b(x, y) = f y (x, y) jollain funktiolla f niin C ψ on edelleen laskettavissa mutta tulos ei enää riipu pelkästään differentiaalista ψ ja käyrän päätepisteistä vaan myös siitä miten käyrä kulkee alkupisteestä loppupisteeseen. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 3 / 33 Miksi Newtonin menetelmä konvergoi niin nopeasti kun se konvergoi? Oletamme, että funktio f : R d R d on derivoituva ja sellainen, että on olemassa vakioita L ja M siten, että f (x + v) f (x) L v ja f (x) M, kaikilla x ja v R d (tai ainakin kun x = x n ja v x n+ x n. Lisäksi oletamme, että f(x ) =. Jos käytämme Newtonin mentelmää yhtälösysteemin f(x) = ratkaisemiseksi ja laskemme (x n ) n= niin pätee x n+ x ML x n x, n. Perustelu tähän on seuraava: Jos g : R R d on jatkuvasti derivoituva niin pätee g() g() g () = (g (t) g ()) dt. Jos g(t) = f(x + th) niin g (t) = f (x + th)h jolloin f(x + h) f(x) f (x)h = g() g() g () = ( f (x + th)h f (x)h ) dt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 3 / 33
9 Miksi Newtonin menetelmä konvergoi niin nopeasti kun se konvergoi? jatk. Tästä epäyhtälöstä ja oletuksista seuraa, että f(x + h) f(x) f (x)h f (x + th)h f (x)h dt Lt h dt = L h. Jos nyt valitsemme x = x n ja h = x x n niin f(x n + h) = ja x n+ x = x n x f (x n ) f(x n ) = f (x n ) ( f(x n +h) f(x n ) f (x n )h ), ja oletuksesta edellä johdetusta epäyhtälöstä seuraa, että x n+ x M f(x n + h) f(x n ) f (x n )h ML x n x. Tästä tuloksesta seuraa, että ainakin jos ML x m x < jollain m niin vektorit x n suppenevat kohti ratkaisua x ja kun x n x on riittävän pieni, niin etäisyys ratkaisuun pienenee hyvin nopeasti. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 33 / 33
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 1. tammikuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotTutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3
2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 3A (Vastaukset) Alkuviikolla
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1
Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotTilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,
Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotVektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018
Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018 Ylimääräisiä harjoitustehtäviä 1. Osoita, että normin neliö f : R n R, f(x) = x 2 on differentioituva pisteessä a R n ja, että sen derivaatalle on voimassa 2.
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa II
MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 9. helmikuuta 216 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Riikka Kangaslampi Syksy 214 2 Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 tueksi
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 23. lokakuuta 2017 Sisältö Luennot syyslukukaudella 2017 3 Esimakua 4 Kertaus
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedot