Mat Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia
|
|
- Tuomo Seppo Jaakkola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan: Todistuksia Monotonista luokkaa koskeva lause Oletetaan, että Ω on ei-tyhjä joukko; G H 2 Ω ; jos A ja B G niin A B G; Ω H; jos A ja B H ja A B niin B \ A H; ja joko, että jos A j H, j =, 2,... ja A A 2... niin A j H; tai yhtäpitävästi, että jos A j H, j =, 2,... ja A j A k =, j < k niin A j H. Silloin σ(g H. Ensiksi voidaan todeta, että viimeiset vaihtoehtoiset ehdot ovat muidebn ehtojen vallitessa ekvivalenettejä. Näin on koska jos A A 2... niin A j = ParA j \ A j kun A =. Vastaavasti n A j n+ ( A j, n= n A j = A j ja jos A, B H ja A B = niin B Ω \ A ja A B = Ω \ ((Ω \ A \ B joten n A j H jos A j A k =, j < k n. Olkoot H = { B H : B A A G }, H 2 = { C H : C B H B H } = { C H : C B A H B H, A G }. Koska G H niin Ω H ja siitä seuraa, että H 2 H. Koska A B G kun AB G niin G H 2 eli on osoitettu, että G H 2 H H. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 2 / 73 jatkuu Seuraavaksi osoitetaan, että H 2 on σ-algebra, ja olkoot B H ja A G mielivaltaisia jolloin B A H. Koska Ω B A = B A H niin Ω H 2. Jos C H 2 niin C c B A = (B A \ (C B A H joten C c H 2. Jos C ja C 2 H 2 ja B H niin C 2 B H joten (C C 2 B = C (C B H ja C C 2 H 2. Jos nyt C j G 2 kun j =, 2,..., D = C ja D k = C k C c... C c k kun k = 2,... niin C j H 2, C j C k = kun j < k ja C j = D j joten ( C j B A = (D j B A H ja C j H 2. Näin on osoitettu, että H 2 on σ-algebra jollloin σ(g H 2 H. Caratheodoryn laajennuslause Oletataan, että Ω on ei-tyhjä joukko. G 2 Ω, G ja Ω = Ω j joillakin Ω j G Funktio µ : G [, ] on sellainen, että µ( = ja µ(a µ(a j jos A A j missä A j G, j =, 2,.... Silloin on olemassa σ-algebra F µ joukossa Ω ja σ-additiivinen mitta µ C : F µ [, ] siten, että µ C (A = µ(a kaikilla A G F µ. Funktio µ C toteuttaa siis ehdot: µ C ( =, µ(a jos A F µ ja µ C ( A j = P µ(aj jos Aj Fµ ja Aj A k = kun j < k. Jos lisäksi pätee A G A c G; A, B G A B G; A, B G, A B = µ(a B = µ(a + µ(b; niin σ(g F µ. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 3 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 4 / 73
2 jatkuu: µ on σ-subadditiivinen Väite: Jos A A j niin : Ulkomitta µ Määritellään µ (A = inf{ µ(a j : A A j }, A Ω, jolloin oletuksista seuraa heti, että µ (A [, ] kun A Ω ja µ (A = µ(a kun A G. µ (A µ (A j. : Olkoon ɛ > mielivaltainen. Määritelmän mukaan on jokaisella j olemassa joukot B j,k G, k =, 2,... siten, että A j k= B j,k ja µ(b j,k µ (A j + ɛ2 (j+. k= Nyt A A j k= B j,k ja ( µ(b j,k µ(aj + ɛ2 (j+ = µ(a j + ɛ, k= ja koska ɛ oli mielivaltainen saadaan väite. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 5 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 6 / 73 jatkuu: F µ, µ c ja σ-algebran ensimmäiset ehdot Määritellään ja sitten F µ = { A Ω : µ (D = µ (A D + µ(a c D, D Ω }, µ C (A = µ (A, A F µ. funktion µ subadditiivisuudesta seuraa, että aina µ (D µ (A D + µ (A c D joten pätee myös F µ = { A Ω : µ (D µ (A D + µ(a c D, D Ω }. jatkuu: A, B F µ A B F µ Oletetaan, että A ja B F µ ja D Ω. Koska µ on subadditiivinen ja (A B D = (A (B A c D = (A D (B A c D niin µ ((A B D = µ ( (A D (B A c D µ (A D+µ (B A c D. Koska ja (A B c = A c B c, B F µ, (A c D Ω ja A F µ niin µ ((A B D + µ ((A B c D µ (A D + µ (B (A c D + µ(b c (A c D = µ (A D + µ (A c D = µ (D. Koska µ ( = niin Ω F µ, Koska toisaalta subadditiivisuuden nojalla pätee µ (D µ ((A B D + µ ((A B c D saadaan ja määritelmän symmetrisyydestä seuraa, että A F µ A c F µ. eli A B F µ. µ (D = µ ((A B D + µ ((A B c D G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 7 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 8 / 73
3 jatkuu: µ on σ-additiivinen F µ :ssä Koska edellisessä laskussa ei ollutkaan aito epäyhtälö saadaan myös µ ((A B D = µ (A D + µ (B A c D. Jos nyt A j F µ j =, 2,... niin induktiolla saadaan µ (( m A j D = µ (A D µ (A m A c... A c m D. Merkitään B = A, B j = A j A c... Ac j ja A = A j = B j. Funktion µ subadditiivisuudesta ja edellisestä tuloksesta seuraa, että µ (B j D µ (A D µ (( m m B j D = µ (B j D, Kun m saadaan µ (A D = µ (B j D. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 9 / 73 jatkuu: F µ on σ-algebra Koska A B F µ jos A ja B F µ niin myös m B j F µ ja µ (D = µ (( m B j D + µ (( m B j c D. Subadditiivisuudesta ja additiivisuudesta seuraa µ (D ja kun m saadaan µ (D m µ (B j D + µ (A c D, µ (B j D + µ (A c D = µ (A D + µ (A c D. Näin ollen A F µ ja on osoitettu, että F µ on σ-algebra. Valitsemalla D = Ω nähdään, että µ C on σ-additiivinen. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 / 73 jatkuu: G F µ kun lisäoletukset ovat voimassa Olkoon A G, D Ω ja ɛ >. Funktion µ määritelmän nojalla on olemassa A j G, j =, 2,... siten, että D A j ja µ(a j µ (D + ɛ. Nyt A A j ja A c A j G ja µ(a A j + µ(a c A j = µ(a j kun j =, 2,..., A D A A j ja A c D Ac A j joten µ (A D + µ (A c D µ(a A j + µ(a c A j = µ(a j µ (D + ɛ. Koska ɛ oli mielivaltainen niin µ (D µ (A D + µ (A c D eli A F µ. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 / 73 Dynkinin yksikäisitteisyyslause Oletetaan, että Ω on ei-tyhjä joukko ja G 2 Ω ; jos A ja B G niin A B G; P ja P 2 ovat todennäköisyysmittoja σ(g:llä ja P (A = P 2 (A kun A G. Silloin P = P 2. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 2 / 73
4 Olkoon H = { A σ(g : P (A = P 2 (A } joten oletuksen mukaan tiedetään, että G H. Seuraavaksi osoitetaan, että H on monotoninen luokka. Koska P (Ω = P 2 (Ω = niin Ω H. Jos A, B H ja A B niin P (B \ A = P (B P (A = P 2 (B P 2 (A = P 2 (B \ A joten B \ A H. Jos A j H, j =, 2,... ja A j A k = kun j < k niin P ( A j = j P (A j = j P 2(A j = P 2 ( A j joten A j H. Monotonisten luokkien ominaisuuden perusteella pätee nyt H = σ(g, eli P = P 2. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 3 / 73 Riippumattomat σ-algebrat Oletetaan että (Ω, F, P on todennäköisyysavaruus; G i F kun i I ; Jos A ja B G i niin A B G i kun i I ; (G i i I ovat riippumattomia. Silloin myös (σ(g i i I ovat riippumattomia. Jos lisäksi indeksijoukot I j I, j J ovat sellaiset, että I j I k = kun j k niin myös (σ( i Ij G i j J ovat riippumattomia. alkaa Koska voidaan valita J = I ja I j = {j} riittää tarkastella jälkimmäista tapausta. Olkoon Gj = { i K A i : K I j on äärellinen, A i G i, i K } kun j J. (Käytetään tulkintaa i A i = Ω. Tästä voidaan päätellä, että i Jj G i Gj σ( i Jj G i, joten σ(gj = σ( i Jj G i. Lisäksi nähdään, että oletuksista seuraa, että (Gj j J ovat riippumattomia ja jos A ja B Gj niin A B Gj. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 4 / 73 jatkuu Jos nyt L = {j,..., j m } J niin tiedämme että G j,..., Gj m ovat riippumattomia. Induktio-oletukseksi valitaan, että σ(g j,..., σ(gj n, G jn,..., Gj m ovat riippumattomia, eli tämä pätee kun n =. Olkoon nyt B = m k= B k, missä B k σ(gj k kun k n, B n = Ω ja B k Gj k kun n + k m. Jos nyt A Gj n niin induktio-oletuksesta seuraa, että P(A B = P(AP(B. Seuraavaksi osoitetaan, että P(A B = P(AP(B kaikilla A σ(gk. Jos P(B = tämä on selvää, joten oletetaan, että P(B >. Nyt voimme määritellä kaksi todennäköisyysmittaa σ-algebralla σ(gj n, nimittäin P (A = P(A ja P(A B P 2 (A =. Koska B:n valinnasta seuraa, että P (A = P 2 (A kun P(B A Gj n niin Dynkinin yksikäsitteisyyslauseesta seuraa, että P = P 2 eli P(A B = P(AP(B kaikilla A σ(g k. Tästä taas seuraa, että induktioaskel toimii eli n voidaan induktio-oletuksessa korvata n + :llä jolloin riippumattomuusväite pätee myös kun n = m +. Koska L oli mielivaltainen saadaan lopullinen väite että (σ(gj j J ovat riippumattomia. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 5 / 73 Aputulos Olkoon (Ω, F, P todennäköisyysavaruus ja olkoot X j : Ω R satunnaismuuttujia kun j =,..., n. Jos f : R n R on Borel-mitallinen niin Y = f (X,..., X n on satunnaismuuttuja siten, että σ(y σ( n σ(x j. Mitallisuusoletuksen mukaan { (x,..., x n : f (x,..., x n B } on Borel joukko avaruudessa R n (eli kuuluu R n :n σ-algebraan B n jos B R on Borel-joukko (eli B B eli f (B B n. Olkoon G n = { (B... B n : B j B, j,..., n }. Nyt pätee σ(g n = B n. Olkoon Z : Ω R n kuvaus Z(ω = (X (ω,... X n (ω. Jos nyt B j B kun j,..., n niin Z (B j... B n = X (B... Xn (B n σ( n σ(x j. Mutta koska σ(z (G n = Z (σ(g n = Z (B n niin nähdään, että Z (B n σ( n σ(x j ja väite seuraa, koska Y = f Z. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 6 / 73
5 Kolmogorovin - laki Oletetaan, että (Ω, F, P todennäköisyysavaruus; F n F on σ-algebra kun n ja (F n n= ovat riippumattomia (esimerkiksi niin, että F n = σ(x n missä X, X 2,... ovat riippumattomia satunnaismuuttujia; K = n= ( σ j=n F j ; A K. Silloin joko P(A = tai P(A =. alkaa Jos voidaan osoittaa, että on olemassa σ-algebra K siten, että K K ja K ja K ovat riippumattomia niin A K ja A K joten P(A = P(A A = P(AP(A josta väite seuraa. jatkuu Olkoon n > ja G,n = { A j... A jk : A ji F ji, i =,..., k, j <... j k < n, k }, G 2,n = { A j... A jk : A ji F ji, i =,..., k, n j <... < j k, k }. Oletuksesta, että (F j ovat riippumattomia, seuraa nyt, että G,n ja G 2,n ovat riippumattomia. Lisäksi on selvää, että jos B ja C G j,n niin B C G j,n kun j = tai 2. Näin ollen σ(g,n ja σ(g 2,n ovat riippumattomia ja erityisesti G,n ja σ(g 2,n ovat riippumattomia kaikilla n >. Nyt j=n F j G 2,n σ( j=n F j joten σ( j=n F j = σ(g 2,n ja K = n= σ(g 2,n. Olkoon G, = n= G,n ja K = σ(g,. Jos nyt B G, ja C K niin B G,n jollakin n > ja C σ(g 2,n joten edellisistä tuloksista seuraa, että P(B C = P(BP(C eli G, ja K ovat riippumattomia. Jos B ja C G, niin B C G, joten myös σ(g, = K ja K ovat riippumattomia. Koska j=n F j G, niin σ( j=n F j K kaikilla n > ja siitä seuraa, että K K. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 7 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 8 / 73 Jos Kertymäfunktio ja satunnaismuuttuja F : R [, ] on ei-vähenevä; F on oikealta jatkuva; lim x F (x = ja lim x + F (x = ; niin on olemassa reaaliarvoinen satunnaismuuttuja, siten, että sen jakauma on F eli P{X x} = F (x. alkaa Valitaan Ω = R ja G = { k (a j, b j ] : a < b < a 2 <... < b k < a k } missä käytetään tulkinta (a, ] = (a,. P (A = k (F (b j F (a j jos A = k (a j, b j ] missä taas käytetään tulkinnat (a, ] = (a, ja F ( =. Nyt on vain osoitettava, että kaikki laajennuslauseen ehdot ovat voimassa. jatkuu: Helpot kohdat Ω = (, G (valitaan k =, b = ja a = ; Jos A = k (a j, b j ] G niin ( A c = (, a ] k (b j, a j+ ] (a k, G, (mistä välit (, ] ja (, jätetään pois jos ne kaavan mukaan tulisivat mukaan. Jos A = k i= (a i, b i ] G ja B = m (c j, d j ] G niin A B = k i= m (max{a i, c j }, min{b i, d j }] missä tyhjät joukot jätetään huomioon ottamatta. Näin ollen A B G ja koska A B = (A c B c c niin edellisen kohdan nojalla nähdään että myös A B G. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 9 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 2 / 73
6 jatkuu: Hankalia itsestäänselvyyksiä Koska F on ei-vähenevä, niin F (b j F (a j F (a j+ F (b j+ kun j =, 2,..., k jos a < b < a 2 <... a k < b k, joten jos A = k (a j, b j ] G niin P (A = k (F (b j F (a j. Koska voimme myös kirjoittaa P (A = F (b k F (a + k (F (b j F (a j+ ja koska F (b j F (a j+, F (a ja F (b k niin P (A. Lisäksi P (Ω = P ((, = F ( F ( = =. Oletetaan seuraavaksi, että A = k i= (a i, b i ] G ja B = m (c j, d j ] G ovat sellaiset, että A B =. Silloin välit voidaan nimittää uudelleen siten, että on olemassa joukot I, J {,..., k + m} siten, että I J = ja A = i I (e i, f i ] ja B = j J (e j, f j ] missä e < f e 2 < f 2 e 3 <... f j+k e j+k < f j+k. Nyt P (A = i I (F (f i F (e i ja P (B = j J (F (f i F (e i ja koska P ((a, b] = F (b F (c + F (c F (a = P ((a, c] + P ((c, b] jos a < c < b niin P (A B = j+k n= (F (f n F (e n = P (A + P (B. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 2 / 73 Todistuksen viimeinen osa Oletetaan seuraavaksi, että A G ja A j G kun j =, 2,... ja että A A j. Nyt A = m i= B i missä B i = (a i, b i ] ja koska jokaisella i pätee (a i, b i ] (a i, b i ] A j ja jokaisella j =, 2,... pätee P ( m i= (a i, b i ] A j = m P ((a i, b i ] A j voimme olettaa, että A on muotoa (a, b]. Lisäksi voimme oletta, että jokaisella j pätee A j = (a j, b j ]. Olkoon f (x = P ((x, b] P ((a j, b j ] (x, b]. Jos nyt x (a, b] niin on olemassa k siten, että x (a k, b k ] joten f (a k P ((a k, x] + P ((x, b] P ((a j, b j ] (x, b] P ((a k, b k ] (a k, x] = f (x. Eli jos f (x niin on olemassa δ > siten, että f (x δ. Jos nyt x n x niin oletuksesta, että F on oikealta jatkuva seuraa, että jokaisella j pätee lim P ((a j, b j ] (x n, b] = P ((a j, b j ] (x, b] ja koska tämä jono on ei-vähenevä niin saadaan monotonisen konvergenssilauseen avulla, että lim P ((a j, b j ] (x n, b] = P ((a j, b j ] (x, b]. Koska lisäksi pätee lim P ((x n, b] = P ((x, b] todetaan, että lim f (x n = f (x. Tästä voidaa päätellä, että myös f (a. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 Todennäköisyysavaruuksien tulo Olkoot (Ω i, F i, P i todennäkösyysavaruuksia kun i I (ja. Silloin (Ω, F, P on todennäköisyysavaruus missä Lisäksi Ω = { ω : I i I Ω i : ω(i Ω i, i I }; F = σ(g missä G = { j J à j : J I on äärellinen, A j F j, j J } missä Ãj = { ω Ω : ω(j A j } jos A j Ω j ; P(A = inf{ k= P(A k : A k= A k, A k G } missä P(A = Π j J P j (A j jos A = j J à j G. σ-algebrat ( F i i I ovat riippumattomia, missä F i = { Ãi : A i F i }; Jos X i on satunnaismuuttuja todennäköisyysavaruudessa (Ω i, F i, P i kun i I niin X i, i I, missä X i (ω = X i (ω(i ovat riippumattomia satunnaismuuttujia todennäköisyysavaruudessa (Ω, F, P. alkaa Olkoon J I äärellinen joukko ja oletetaan, että väite pätee kun I korvataan J:llä ja olkoon näin saataava todenäköisyys avaruus (Ω J, F J, P J. Jos J sisältää vain yhden elementin, tämä on oletus. Kun A Ω J niin à = { ω Ω : ω J A }. Olkoon nyt k I \ J ja olkoot Ω J {k} ja F J {k} samalla tavalla määriteltyjä kuin Ω J ja F J. Jos nyt ω J Ω J ja A F J {k} niin A(ω J = { ω k Ω k : {ω J } {ω k } à }. Olkoon nyt H = { A F J {k} : A(ω J F k, ω J Ω J, kuvaus: ω J P k (A(ω J on mitallinen }. Olkoon G = { A F J {k} : à = B C, B F J, C F k }. Seuraavaski osoitetaan, että G ja H toteuttavat monotonista luokkaa koskevan lauseen oletukset. Jos A G niin à = B C missä B F J ja C F k niin A(ω J = C jos ω J B ja muuten joten P k (A(ω J = P k (C B (ω J ja A H. Jos A ja A 2 G niin à Ã2 = Koska Ω J {k} (ω J = Ω k niin Ω J {k} H. B B 2 C C 2 joten A A 2 G. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
7 jatkuu Jos A ja B H ja A B niin (B \ A(ω J = B(ω J \ A(Ω J F k kun ω J Ω J ja P k (B \ A(ω J = P k (A(ω J Pr k (B(ω J ja koska kahden mitallisen funktion rotus on mitallinen, niin B \ A H. Jos A n H, n =, 2,... ja A n A m = kun n < m niin A n (ω J A m (ω J = ja ( n= A n(ω J = n= (A n(ω J F k kaikilla Ω J Ω J. Koska mitallisten funktioden summa on mitallinen niin P k (( n= A n(ω J = n= P k(a n (ω J on ω J :n mitallinen funktio, eli n= A n H. Monotonista luokkaa koskevan lauseen perusteella tiedetään, nyt että H = F J {k}. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 jatkuu Seuraavaksi osoitetaan, että P J {k} (A = Ω J P k (A(ω J P J (dω J määrittelee todennäköisyysmitan σ-algebralla F J {k}. Koska P k ja P J ovat todennäköisyysmittoja niin P J {k} : F J {k} [, ]. Koska Ω J {k} (ω J = Ω k kaikilla ω J niin P(Ω J {k} =. Jos A n H, n =, 2,... ja A n A m = kun n < m niin P( n=a n = P k ( n=a n (ω J P J (dω j Ω J {k} = P k (A n (Ω J P J (dω j = P k (A n (Ω J P J (dω j Ω J {k} Ω J {k} n= n= = P J {k} (A n. Näin ollen väite on tullut todistetuksi kun I on äärellinen samalla on myös osoitettu, että P voidaan laajentaa todennäköisyysmitaksi σ-algebrassa F J kun J I on äärellinen. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 n= jatkuu Seuraavaksi osoitetaan, että laajennuslauseen ehdot ovat voimassa yleisessä tapauksessa. Olkoon G = { n k= A k : A k G, A j A k =, j < k n }. Jotta P voidaan määritellä joukossa G kaavalla P(A = n k= Pr(A k on osoitettava, että jos n k= A,k = n 2 k= A 2,k niin n k= P(A,k = n 2 k= P(A 2,k. Joukkojen G ja G määritelmistä seura, että on olemassa äärellinen joukko J siten, että jokainen joukoista A i,k F J ja koska P voidaan laajentaa todennäköisyysmitaksi tässä joukossa, väite seuraa. Seuraavaksi osoitetaan, että G on algebra, eli on suljettu komplementin ja leikkausen suhteen. Jos A ja B G niin A B G ja siitä seuraa, että jos A ja B G niin A B G. Jos A = j J Ã j G niin A c = K J,K ( k K Ã c k ( j J\K Ã j joten A c G. Jos A = n k= A k G niin A c = n k= Ac k G. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 päättyy Näin ollen on vielä osoitettava, että P on σ-additiivinen joukossa G eli jos A j G, j =, 2,... ja A j A k = kun j < k ja A = A j G niin P(A == P(A j. Mutta jos A G niin on olemassa äärellinen joukko J siten, että A F J jolloin kaikki joukot A j kuuluvat tähän σ-algebraan ja väite seuraa koska P on laajennettu todennäköisyysmitaksi tässä σ-algebrassa. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
8 Karakteristinen funktio ja toinen momentti Olkoon ϕ satunnaismuuttujan X karakteristinen funktio. Jos niin E(X 2 <. lim inf t t 2 ( 2 ϕ(t ϕ( t <, Koska 2 e itx e itx = 2( cos(tx niin ( 2 2 ϕ( t ϕ(t = t 2 t 2 ( cos(xtpx (dx. 2 Nyt lim t ( cos(xt = x 2 joten Fatoun lemman nojalla t 2 E(X 2 = x 2 P X 2 (dx lim inf t t 2 ( cos(xtpx (dx <. R R R Borel-Cantelli I Jos A, A 2,... ovat todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P tapahtumia niin n= P(A n < P(lim sup A n =. Koska P(A n = E( An niin oletuksesta seuraa, että E ( n= A n <. Jos ω lim sup A n niin on olemassa osajono n < n 2 <... siten, että ω A nj kun j ja silloin n= A n (ω =. Jos nyt P(lim sup A n > niin E ( n= A n = mikä on ristiriita. Seuraus Jos X, X 2,... ovat satunnaismuuttujia, a R ja P{X n < a + ɛ} < kaikilla ɛ > niin P{lim sup X n a} =. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 3 / 73 Borel-Cantelli II Jos A, A 2,... ovat todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P riippumattomia tapahtumia niin n= n= P(A n < P(lim sup A n =. P(A n = P(lim sup A n =. Koska lim sup A n = n= m n A m niin P(lim sup A n = lim P( m n A m. Samoin P( m n A m = lim k P( k m=na m. Koska myös tapahtumat A c m ovat riippumattomia niin P( k m=na m = P(( k m=na m c = P( k m=na c m = Π k m=n( P(A m. jatkuu Näin ollen P(lim sup A n = e lim lim P k k m=n log( P(Am. Nyt lim lim k k m=n log( P(A m = täsmälleen silloin kun sarja m=n log( P(A m supeenee ja kun se hajaantuu. Koska 2x log( x x kun x 2 niin sarja k m=n log( P(A m = suppenee täsmälleen silloin kun n= P(A n <, josta seuraa väiteet. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 3 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
9 Stokastinen suppeneminen: Ekvivalenssi Olkoot X n ja X satunnaismuuttujia. Jos h : R R on jatkuva, rajoitettu, h( = ja X n P X kun n niin lim E(h(X n X =. Jos h : R R, h( =, inf t >s h(t > kun s > ja lim E(h(X n X = niin X n P X kun n. Oletetaan, ensin, että X n P X ja että h on jatkuva ja rajoitettu funktio, siten, että h( =. Merkitään c = sup t R h(t ja oletuksesta seuraa, että c <. Olkoon ɛ > mielivaltainen. Koska h on jatkuva, niin on olemassa δ > siten, että h(t ɛ kun t δ. Nyt E(h(X n X E( h(x n X { Xn X >δ}+e( h(x n X { Xn X δ} cp{ X n X > δ} + ɛ, joten lim sup E(h(X n X ɛ ja koska ɛ oli mielivaltainen pätee lim E(h(X n X =. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 jatkuu Oletetaan seuraavaksi, että h( =, inf t >s h(t > kun s > ja lim E(h(X n X =. Silloin h(t kaikilla t ja jos ɛ > niin E(h(X n X E(h(X n X { Xn X >ɛ} inf t >ɛ h(tp{ X n X > ɛ}, josta seuraa, että lim sup P{ X n X > ɛ} inf t >ɛ h(t Koska ɛ > oli mielivaltainen saadaan väite. lim sup E(h(X n X =. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 Heikko suppeneminen: Ekvivalenssi I Olkoot X n, n ja X satunnaismuuttujia. Silloin X n D X kun n jos ja vain jos lim E(g(X n = E(g(X kaikilla äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituvilla funktiolla g joille pätee g(x = kun x c jollain vakiolla c. Olkoon Cc m m kertaa jatkuvasti derivoituvat funktiot jotka ovat kompaktin joukon ulkopuolella. Koska jokainen g Cc on myös rajoitettu niin on vain osoitettava, että jos lim E(g(X n = E(g(X kun g Cc niin X n D X kun n. Ensin osoitetaan, että jos g Cc niin lim E(g(X n = E(g(X. Jokaisella k löytyy funktio g k Cc siten, että g k (x g(x < k. jatkuu Oletuksista seuraa, että lim sup E(g(X n E(g(X ( lim sup E(gk (X n E(g k (X + E( g k (X n g(x n lim sup k + E( g k (X g(x ( lim sup + 2 =, k k joten väite lim E(g(X n = E(g(X kun g Cc pätee. Jos taas m on mielivaltanen, on monotonisen konvergenssilauseen nojalla olemassa funktio h m = max{, a(m x } missä a(m > siten, että E(h m (X m. Koska h m Cc on olemassa luku n siten, että kun n n niin E(h m (X n 2 m. Tästä seuraa myös, että E( h m (X m ja E( h m(x n 2 m. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
10 jatkuu Jos nyt g on mielivaltainen jatkuva ja rajoitettu funktio, g(x b niin lim sup E(g(X n E(g(X lim sup m lim sup E(h m (X n g(x n E(h m (X g(x + lim sup m + lim sup m lim sup E(( h m (X n g(x n E(( h m (X g(x lim sup lim sup m ( + b 2 m + b m =. Heikko suppeneminen: Ekvivalenssi II Olkoot X n, n ja X satunnaismuuttujia. Silloin X n D X kun n jos ja vain jos ϕ Xn (t = ϕ X (t kaikilla t R. Jos X n D X kun n niin E(cos(tX n E(cos(tX ja E(sin(tX n E(sin(tX kun n koska cos ja sin ovat jatkuvia ja rajoitettuja funktioita joten pätee myös lim ϕ Xn (t = lim E(e itxn = E(e itx = ϕ X (t kaikilla t R. Oletetaan seuraavaksi, että lim ϕ Xn (t = ϕ X (t kaikilla t R. Olkoon g mielivaltainen äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva funktio siten että g(x = kun x c jollakin luvulla c. Silloin voidaan osoittaa, että g(x = eitx h(t dt missä rajoitettu koska funktioksi h voidaan valita 2π ĝ( t h(t dt < ja h on jatkuva ja 2π. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 jatkuu Fubinin ja dominoidun konvergenssilauseen nojalla saadaan nyt kun n ( E(g(X n = E = e itxn h(t dt = ( E e itxn h(t ϕ Xn (th(t dt = E dt ϕ X (th(t dt ( e itx h(t dt = E(g(X. Koska g oli mielivaltainen väite seuraa aikaisemmasta tuloksesta. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 Jos Heikko suurten lukujen laki niin n X, X 2,... satunnaismuuttujia siten, että E(Xj 2 < kun j, E(X j =, j, E(X j X k = kun j < k, lim n 2 E(Xj 2 =, X j L 2 kun n. Jos Y n = n n X j niin E(Yn 2 = n n n 2 k= E(X jx k = n n 2 E(X j 2 koska oletettiin, että E(X j X k = kun j k, Näin ollen lim E(Yn 2 = eli Y n L 2 kun n. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 4 / 73
11 Kolmogorovin epäyhtälö Jos X, X 2,..., X n ovat riippumattomia satunnaismuuttujia siten, että E(X j = ja E(Xj 2 < kun j =,..., n, niin P max k k n X j x E(X j 2 x 2, x >. Olkoon S k = k X j ja A k = { S k x, S j < x, j < k}. Tapahtumat A k, k =,..., n ovat pistevieraita joten n k= A k ja koska satunnaismuuttujat X k, k =,..., n ovat riippumattomia ja E(X k = niin E(X j X k = kun j k ja n k= E(X k 2 = E(S n. 2 Näin ollen E(Xk 2 = E(S n 2 E(Sn 2 Ak = E(Sn 2 Ak. k= k= k= jatkuu Nyt S n S k = n j=k+ X j ja S k Ak ovat riippumattomia joten E((S n S k S k Ak = E(S n S k E(S k Ak = n j=k+ E(X je(s k Ak =. Tästä seuraa, koska S k (ω 2 x 2 kun ω A k, että E(S 2 n Ak = E((S n S k + S k 2 Ak = E((S n S k 2 Ak + 2E((S n S k S k Ak + E(S 2 k A k x 2 P(A k. Nyt n k= P(A k = P( n k= A k = P{max k n S k x} joten E(Xk 2 x 2 k= ja tämä on väite. k= P(A k = x 2 P{ max k n S k x}, G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 4 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 Jos Kolmogorovin suppenemislause X, X 2,..., riippumattomia satunnaismuuttujia, E(X j =, j, E(X 2 j <, niin sarja X j suppenee melkein varmasti. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 Olkoon S n = n X j. Kolmogorovin epäyhtälöstä seuraa, että { } P joten saadaan myös { P sup S n S M > ɛ n M max S n S M > ɛ M n N } ɛ 2 N j=m E(X 2 j, { } = lim P max S n S M > ɛ N M n N ɛ 2 j=m E(X 2 j. Olkoon v M = sup m,n M S m S n jolloin v M 2 sup n M S n S M ja P{v M > ɛ} P{ sup S n S M > 2 ɛ} 4 n M ɛ 2 E(Xj 2. j=m Nyt {v M+ > ɛ} {v M > ɛ} joten P{lim sup v M ɛ} = lim P{v M > ɛ} lim E(Xj 2 =. M M M j=m G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
12 jatkuu Näin ollen P({ ω : lim sup v M (ω > } = P M ( { k= ω : lim sup v M (ω } = M k Nyt sarja X j(ω suppenee täsmälleen silloin kun S n (ω on Cauchy-jono ja näin on täsmälleen silloin kun lim M v M (ω = mikä siis tapahtuu todennäköisyydellä. Kroneckerin lemma Jos < a n a n+ kun n ja lim a n =, x n sarja suppenee, a n niin lim n= a n x j =. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 Olkoon a = b = ja b n = n x j a j. Silloin x j = a j (b j b j = a j b j a j b j (a j a j b j joten a n x j = a n (a j b j a j b j (a j a j b j a n = a nb n a b a n a n a n (a j a j b j = (a j a j (b n b j. a n Koska lim b n on olemassa niin jokaisella ɛ > on olemassa n(ɛ siten, että b n b j < ɛ kun n j > n(ɛ. jatkuu Näin ollen lim sup a n x j lim sup + lim sup ( lim sup a n a n n(ɛ (a j a j ( b n + b j a n j=n(ɛ+ n(ɛ (a j a j b n b j (a j a j (lim sup b n + b j + ɛ a n a n(ɛ a n + ɛ. Koska ɛ > oli mielivaltainen saadaan väite. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
13 Jos Vahva suurten lukujen laki I niin n X, X 2,... ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, E(X j =, j, E(Xj 2 j 2 <, X j L 2 ja n X j mv kun n. Kroneckerin lemman nojalla pätee lim n n 2 E(X j 2 =. Koska ehto E(X j X k = E(X j E(X k on seuraus satunnaismuuttujien X j ja X k riippumattomuudesta sadaan L 2 -suppenemista koskeva väite aikaisemmasta tuloksesta. Kolmogorovin suppenemislauseesta seuraa, että sarja j X j suppenee melkein varmasti ja silloin melkein varmaa suppenemista koskeva väite seuraa Kroneckerin lemmasta. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 Jos Vahva suurten lukujen laki II X, X 2,... ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, sup j P{ X j > x} dx <, E(X j =, j, niin X j mv kun n. n G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 5 / 73 Olkoon Y j = X j { X j j}, j ja G(x = sup j P{ X j > x}. Koska G(x dx < niin P{ X j > j} G(j G(x dx <, Koska { X j > j} c = {X j = Y j } niin Borel-Cantellin lauseen ensimmäisen osan mukaan pätee P(lim inf j {X j = Y j } = ja tästä seuraa, että P lim (X j Y j = n =. joten riittää osoittaa, että n n Y j mv kun n. jatkuu Seuraavaksi osoitetaan, että Nyt E(Y 2 j = 2xP{ Y j > j} dx = E(Yj 2 j 2 < j jolloin Fubinin lasueen avulla saadaan E(Yj 2 4 j j 2 (j + 2 2xG(x dx = 8xG(x max{,x} y 2 dy = 2xP{ X j > j} dx j 2xG(x dx. 4 y y 2 2xG(x dx dy 8x G(x dx <. max{, x} G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 5 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
14 jatkuu Koska E(X j = niin E(Y j = E(Y j E(X j = (P{Y j > x} P{X j > x}dx j (P{Y j < x} P{X j < x} dx = P{X j > j} dx P{X j > x} dx j j + P{X j < x} dx + P{X j < j} dx, joten dominoudun konvergenssilauseen nojalla saadaan lim sup j E(Y j lim sup j j min{g(j, G(x} dx =. Näin ollen lim j E(Y j = µ. Koska X, X 2,... ovat riippumattomia niin myös Y, Y 2,... ovat riippumattomia. Näin ollen voimme soveltaa vahvaa suurten lukujen lakia I:tä satunnaismuuttujiin Y j E(Y j jolloin n n (Y j E(Y j mv kun n ja tästä saadaan väite koska lim n n E(Y j =. Jos Keskeinen raja-arvolause satunnaismuuttujat X, X 2,... ovat riippumattomia ja samalla tavalla jakautuneita, E(X j = µ R, j, var(x j = E((X j µ 2 = σ 2 <, j. niin n X j nµ nσ 2 missä Z on N(, -jakautunut. D Z kun n Olkoon Y j = X j µ ja olkoon ϕ y (t satunnaismuuttujien Y j karakteristinen funktio (joka siis ei riipu j:stä koska ne ovat samalla tavalla jakautuneita. Koska X, X 2,... ovat riippumattomia niin myös Y, Y 2,... ovat riippumattomia. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 jatkuu Nyt E (e it nσ (P n 2 X j nµ = E (e i t P n nσ 2 Y j = E (Π n e i t σ n Y j = Π n E (e i t ( σ n Y j t n = ϕ Y σ. n Koska E(Y 2 = σ 2 < niin ϕ Y C 2 (R ja Taylorin kehitelmästä seuraa, että ϕ Y (s = ϕ Y ( + ϕ Y (s + ϕ s2 Y ( 2 + o(s2 = + s2 σ o(s 2. Näin ollen ( t n ϕ Y σ = e n log( t2 σ 2 2nσ n 2 +o( t2 σ 2 nσ 2. ja koska lim ( n log t2 σ 2 2nσ 2 + o ( t 2 σ 2 nσ 2 = t2 2, ja N(, jakautuneen satunnaismuttujan karakteristinen funktio on e 2 t2 saadaan väite. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 Slutskyn lause Jos X n D X ja Y n P Y kun n missä P{Y = y} = niin X n Y n D Xy kun n, X n + Y n D X + y kun n, X n D Y y X kun n mikäli y. n Jos y ja Y n (ω y y 2 niin Y n (ω y 2 Y n(ω y y 2 josta päätellään, että jos Y n P Y niin Y n P Y kun n ja viimeinen väite on seuraus ensimmäisestä. Olkoon g äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva funktio siten, että g(x = riittävän suurilla x:n arvoilla. Silloin on myös olemassa luvut a ja b > siten, että g(x a ja g (x b kun x R. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
15 jatkuu Olkoon ɛ > mielivaltainen. Monotonisesta konvergenssilauseesta seuraa, että on olemassa funktio h ɛ (x = max{, x c(ɛ } missä c(ɛ > siten, että E( h ɛ (X ɛ 2a. Koska h ɛ on jatkuva ja rajoitettu funktio niin lim sup E( h ɛ (X n ɛ 2a. Merkitään A n = { Y n y < ɛ c(ɛb }. Jos nyt h ɛ(x n (ω > niin X n (ω c(ɛ joten h(x n (ω An (ω g(x n (ωy n (ω g(x n (ωy ɛ b X n (ω An (ω Y n (ω y bc(ɛ c(ɛb = ɛ. jatkuu Oletuksista seuraa, että lim sup P(A c n = ja näin ollen saadaan lim sup E(g(X n Y n E(g(X n y lim sup E(h ɛ (X n An g(x n Y n g(x n y + lim sup E(h ɛ (X n A c n g(x n Y n g(x n y + lim sup E(( h ɛ (X n g(x n Y n g(x n y ɛ + lim sup P(A c n2a + lim sup Koska ɛ > oli mielivaltainen, niin saadaan E(( h ɛ (X n 2a ɛ + ɛ = 2ɛ. lim sup E(g(X n Y n E(g(X n y =. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 jatkuu Valitaan seuraavaksi A n = { Y n y < ɛ b } jolloin saadaan lim sup E(g(X n + Y n E(g(X n + y lim sup E( An (g(x n + Y n g(x n + y + lim sup E( A c n (g(x n + Y n g(x n + y b ɛ b Koska ɛ > oli mielivaltainen, niin saadaan lim sup E(g(X + ny n E(g(X n + y =. + lim sup P(A c n2a = ɛ. Koska lim ϕ Xny (t = lim ϕ Xn (yt = ϕ X (yt = ϕ Xy (t kaikilla t niin todetaan, että X n y D Xy kun n eli lim sup E(g(X n y E(g(Xy = ja siten jatkuu Samoin pätee lim ϕ Xn+y (t = lim ϕ Xn (te iyt = ϕ X (te iyt = ϕ X +y (t kaikilla t joten lim sup E(g(X n + y E(g(X + y = ja siten lim sup E(g(X n + Y n E(g(X + y =. Koska g oli mielivaltainen saadaan halutut väiteet aikaisemmasta ekvivalenssituloksesta. lim sup E(g(X n Y n E(g(Xy =. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 6 / 73
16 Jos Y ja Y toteuttavat ehdollisen odotusarvon määritelmää, niin valitaan k ja A = {Y Y k } jolloin Ehdollinen odotusarvo, olemassaolo ja yksikäsitteisyys Jos X on todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P satunnaismuuttuja siten, että E( X < ja G F on Ω:n σ-algebra niin Y = E(X G on olemassa ja se on yksikäsitteinen siinä mielessä, että jos Y on toinen ehdot täyttävä satunnaismuuttuja, niin Y = Y melkein varmasti. = E( A X E( A X = E( A Y E( A Y = E( A (Y Y k P(A, josta seuraa P(A =. Koska k oli mielivaltainen niin saadaan Y Y melkein varmasti. Samalla tavalla päätellään, että Y Y melkein varmasti joten Y = Y melkein varmasti. Olkoon X + = max{, X } ja X = max{, X } ja määritellään µ(a = P(A ja ensin ν(a = E( A X + kun A G. Odotusarvon määritelmästä seuraa, että ν(a = jos µ(a = ja Radon Nikodymin lauseen nojalla on olemassa G-mitallinen funktio Y + siten, että ν(a = A Y + (ωp(dω = E( A Y +. Samalla tavalla löydetään funktio Y siten, että E( A X = E( A Y ja kun valitaan Y = Y + Y niin Y on mitallinen σ-algebran G suhteen ja jokaisella A G pätee E( A Y = E( A X. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 6 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 Vertailu aikaisempaan määritelmään Olkoot A i, i I ovat todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P tapahtumia siten, että P(A i >, A i A j = jos i, j I ja i j ja i I P(A i = ja olkoon G = σ({a i : i I }. Jos B F niin P(B G(ω = P(B A i kun ω A i, i I. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että i I A i = Ω. Joukko I on korkeintaan numeroituva ja siitä seuraa, että G = { j J A j : J I }. Jos nyt merkitään Y (ω = P(B A i kun ω A i ja A = j J A j G niin E( A Y = j J P(B A j P(A j = j J P(B A j = P(B A = E( A B Doob-Dynkinin lemma mitallisuudesta Jos X, X 2,..., X n ja Y ovat todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P satunnaismuttujia ja σ(y σ(x,..., X n = σ( n σ(x j niin löytyy Borel-mitallinen funktio f : R n R siten, että Y = h(x,..., X n. Olkoon X = (X,..., X n jolloin X on R n -arvoinen satunnaismuuttuja ja stodetaan, että Y on mitallinen σ(x:n suhteen. Oletetaan ensin, että Y = k a j Aj missä a i a j ja A i A j = kun i < j k. Koska σ(y σ(x niin A j = X (B j missä B j B n kun j =,..., k. Jos nyt valitaan f (x = k a j Bj (x niin Y = f (X ja f on Borel-mitallinen. joten määritelmän mukaan Y = E( B G = P(B G. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
17 jatkuu Oletetaan seuraavaksi, että Y. Silloin on olemassa kasvava jono yksinkertaisia funktioita Y m (eli Y m = k m a j,m Aj,m siten, että lim m Y m = Y. Jokaisella m löytyy ei-negatiivinen funktio f m siten, että Y m = f m (X. Määritellään f (x = lim sup m f m (x jos lim sup m f m (x < ja f (x muuten. Koska Y (ω = lim m Y m (ω = lim m f m (X(ω niin todetaan, että kun x = X(ω raja-arvo lim m f (x = f (X(ω on olemassa jolloin saadaan Y (ω = lim f m (X = f (X = f (X,..., X n. Yleisessä tapuksessa pätee Y + = f + (X,..., X n ja Y = f + (X,..., X n jolloin valitaan f = f + f. Martingaalin odotusarvo Jos todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P satunnaismuuttujajono (X n n= on martingaali σ-algebrajonon (F n n= suhteen (missä F n F n+ niin E(X n = E(X, n. Martingaalin määritelmän mukaan E(X n F = mv X ja koska Ω F niin ehdollisen odotusarvon määritelmän nojalla E(X = E( Ω X = E( Ω X n = E(X n. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 Martingaalit ja pysäytyshetket I Jos todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P satunnaismuuttujajono (X n n= on martingaali ja T pysäytyshetki σ-algebrajonon (F n n= suhteen (missä F n F n+ ja on olemassa k < siten, että P{T k} = niin E(X T = E(X. Martingaalin ja ehdollisen odotusarvon määritelmistä seuraa, että E( {T =n} X k = E( {T =n} E(X k F n = E( {T =n} X n kun n k joten ( k E(X T = E {T =n} X n = n= k E( {T =n} X n = n= k E(( {T =n} X k n= ( k = E {T =n} X k = E(X k = E(X. n= Martingaalit ja pysäytyshetket II Jos todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P satunnaismuuttujajono (X n n= on martingaali ja T pysäytyshetki σ-algebrajonon (F n n= suhteen (missä F n F n+ ja On olemassa luvut C < ja n siten, että E( X n+ X n F n mv C kun n n, E(T <, niin E(X T = E(X. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
18 Olkoon m mielivaltainen. Jokaisella ω Ω pätee X min{t (ω,m} (ω X (ω + {T (ω>n} X n+ (ω X n (ω. n= Pysäytyshetken määritelmästä seuraa, että {T > n} F n jolloin ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä ja oletuksista seuraa, että kun n n niin E( {T >n} X n+ X n = E( {T >n} E( X n+ X n F n CE( {T >n}. Koska n=n E( {T >n} n= P{T > n} = E(T < niin ( n E X + {T >n} X n+ X n 2 E( X n + CE(T <. n= Koska X min{t,m} mv X T kun m ja min{t, m} m niin saadaan dominoidun konvergenssilausee ja aikaisempien tulosten avulla n= E(X T = E( lim m X min{t,m} = lim m E(X min{t,m} = lim m E(X = E(X. Ekvivalentteja ehtoja martingaalin määritelmässä Olkoon (X n n= jono todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P satunnaismuuttujujia ja olkoon (F n n= jono Ω:n σ-algebroja siten, että F n F n+ F kun n ja oletetaan, että E( X n < ja σ(x n F n kun n. Silloin seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja: E(X n F m = mv X m, m n, E(X n+ F n = mv X n, n, E(X T = E(X kun T on rajoitettu pysäytyshetki (jonon (F n n= suhteen. Toinen ehto on erikoistapaus ensimmäisestä ja koska E(X n+ F m = E(E(X n+ F n F m kun m n voidaan indiktiolla osoittaa, että ne ovat ekvivalentteja. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 7 / 73 jatkuu Aikaisemmin on osoitettu, että kolmas ehto seuraa ensimmäisestä joten on vielä osoitettava, että ensimmäinen seuraa kolmannesta. Olkoon m n ja A F m. Jos määritellään { m, ω A c, T (ω = n, ω A. niin T on rajoitettu pysäytyshetki. Oletuksesta seuraa, että Jos m = n niin saadaan E(X = E(X T = E( A c X m + A X n. E(X = E(X T = E( A c X m + A X m. ja vähentämällä tämä edellisestä saadaan = E( A X n E( A X m jolloin ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä seuraa, että E(X n F m = X m. Martingaaliehin liittyvä yksikäsitteisyystulos Olkoon (Ω, F, P todennäköisyysavaruus ja olkoon (F n n= jono Ω:n σ-algebroja, siten, että F n F n+ F kun n. Jos X ja Y ovat satunnaismuuttujia siten, että E( X <, E( Y <, σ(x ja σ(y σ( n= F n ja E(X F n = mv E(Y F n kaikilla n niin X = mv Y. Olkoon H = { A F : E( A X = E( A Y } ja G = n=f n. Oletuksen ja ehdollisen odotusarvon määritelmän nojalla F n H kaikilla n joten G H. Jos A ja B G niin on olemassa n siten, että A ja B F n ja silloin A B F n G. Koska jokainen F n on Ω:n σ-algebra pätee Ω H. Jos A ja B H ja A B niin B\A = B A ja koska E( B X = E( B Y ja E( A X = E( A Y jolloin odotusarvon lineaarisuudesta seuraa, että E( B\A X = E( B\A Y ja B \ A H. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta 29 7 / 73 G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
19 jatkuu Olkoon lopuksi A j H, j =, 2,... sellaisia, että A A 2... ja A = A j. Silloin Aj (ω A (ω kaikilla ω Ω ja dominoidun konverkenssilauseen nojalla pätee E( A X = E( lim j Aj X = lim j E( Aj X = lim j E( Aj Y = E( lim j Aj Y = E( A Y joten A H. Näin ollen monotonista luokkaa kosekvan lauseen nojalla tiedetään, että σ(g H ja koska σ(x σ(g ja σ(y σ(g niin voidaan päätellä, että X = mv Y. G. Gripenberg (TKK Mat-.36 Johdatus stokastiikkaan 22. huhtikuuta / 73
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
LisätiedotX k+1 X k X k+1 X k 1 1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
Lisätiedot= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja
44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan
LisätiedotTodennäköisyysteoria. Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta. Tommi Sottinen
Todennäköisyysteoria Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta A. Kolmogorov P. Lévy Tommi Sottinen tommi.sottinen@helsinki.fi mathstat.helsinki.fi/ tsottine 1. joulukuuta
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
LisätiedotStokastinen reunasäännöllisyys ja häiritty köydenvetopeli
Stokastinen reunasäännöllisyys ja häiritty köydenvetopeli Joonas Heino Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 14 Tiivistelmä: Joonas Heino, Stokastinen
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotTiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma
Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
Lisätiedot4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.
Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotU missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A
Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i
LisätiedotModerni reaalianalyysi
JUHA KINNUNEN Moderni reaalianalyysi F ( ) := f (ξ)e i ξ dξ 2π Juha Kinnusen laatiman luentomateriaalin pohjalta toimittaneet Mikael Lindström, Olli Hyvärinen ja Tuomas Pöyhtäri Sisältö LEBESGUEN ULKOMITTA
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotMitta ja integraali 1
Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen 2 March 22, 2004 1 Perustuvat pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000 ja Väisälä: Diff. Int. III (1985 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse
LisätiedotVille Suomala MITTA- JA INTEGROINTITEORIAA
Ville Suomala MITT- J INTEGROINTITEORI Luentotiivistelmä kevät 2015 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Lebesguen ulkomitta 2 2.1 Merkintöjä............................... 2 2.2 Ulkomitta L..............................
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotKuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t
Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Valkoinen kohina ε t 2 1 0 1 2 Voimme tehdä saman laskun myös yleiselle välille [ a, a], missä 0 < a
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
LisätiedotStokastiikka. Sisältö. Dario Gasbarra 28. lokakuuta Esitiedot edellisistä todennäköisyys- ja mittateorian kursseista 1
Stokastiikka Dario Gasbarra 28. lokakuuta 2010 Sisältö 1 Esitiedot edellisistä todennäköisyys- ja mittateorian kursseista 1 2 Todennäköisyys äärettömissä tulo-avaruuksissa: satunnais-jonot ja stokastiset
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotMITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN
MITTA JA INTEGRAALI TUOMAS HYTÖNEN 1. Johdanto: Riemann vs. Lebesgue Useimmat integroimisteoriat perustuvat siihen, että on jokin joukko helppoja funktioita, jotka ilman muuta osataan integroida, ts. on
Lisätiedot3. Teoriaharjoitukset
3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotVille Suomala MITTA JA INTEGRAALI
Ville Suomala MITT J INTEGRLI Luentotiivistelmä kevät 2017 1 Johdanto bstraktin mittateorian voidaan katsoa syntyneen vuoden 1900 tienoilla, kun Henry Lebesgue esitteli uuden integrointiteorian. Mitta-
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotValintahetket ja pysäytetyt martingaalit
4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien
LisätiedotREAALIANALYYSI. Pekka Koskela. Syksy 2015
REAALIANALYYSI Pekka Koskela Syksy 2015 Luennot: Ti 1012, To 1416, MaD 380. Demot: To 1012, MaD 355, Changyu Guo.. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Pertti Mattila: Geometry of sets and
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot4.1 Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo
4 Odotusarvo Seuraavaksi kertaamme, miten satunnaismuuttujan odotusarvo (sv. väntevärde) määritellään diskreetissä ja jatkuvassa tapauksessa. Odotusarvolle käytetään englannikielisessä kirjallisuudessa
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
LisätiedotKompleksiset sarjat ja potenssisarjat
MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A 3A Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat 3A1 Laske seuraavien sarjojen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
Lisätiedot