BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

Transkriptio

1 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät (a) Tunnemme vektorit a = [ ] ja b = [ ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien pistetulo; (iii) vektorien välinen kulma. Tunnemme pisteet P : (1, 1, 0), Q : (0, 3, 3) ja R : (2, 0, 2). Laske (i) vektorien P Q ja P R pituudet; (ii) vektorien P Q ja P R pistetulo; (iii) vektorien P Q ja P R välinen kulma. 2. (a) Tunnemme funktion f(x) = ln x. Muodosta f:lle lineaarinen approksimaatio muodostettuna pisteen x = 5 läheisyydessä. Minkä arvon tämä approksimaatio antaa, kun x = 6? Tunnemme funktion g(x) = ln x + 1 x. Muodosta g:lle lineaarinen approksimaatio muodostettuna pisteen x = 5 läheisyydessä. Minkä arvon tämä approksimaatio antaa, kun x = 6? 3. (a) Muodosta funktiolle f(x, y) = y 3 + 5x lineaarinen approksimaatio muodostettuna pisteessä ( 4, 3). Minkä arvon approksimaatio antaa, kun (x, y) = ( 3.5, 3.5)? Muodosta funktiolle g(x, y) = x 2 ln(y) lineaarinen approksimaatio muodostettuna pisteessä ( 3, 2). Minkä arvon approksimaatio antaa, kun (x, y) = ( 2.5, 2.5)? (c) Muodosta funktiolle h(x, y) = xy e x2 +y 2 5 lineaarinen approksimaatio muodostettuna pisteessä (2, 1). Minkä arvon approksimaatio antaa, kun (x, y) = (2.5, 0.5)? 4. Etsi seuraavien funktioiden lokaalit maksimit/minimit. Ovatko nämä globaaleja maksimeja/minimejä? (a) y(x) = 1 2 x2 + 4x 10 y(x) = ln(x) + x 2 (c) y(x) = e x x, 2 x Suorakulmaisen särmiön särmät ovat x-, y- ja z-akseleiden suuntaiset. Särmiön avaruuslävistäjän pituus on 1 metri. Kuinka suuri voi särmiön tilavuus suurimmillaan olla? 6. Tutkitaan kolmannen asteen polynomia f(x) = x 3 + 3x 2 bx, missä b on tunnettu vakio. (a) Olkoon nyt b = 0. Etsi f(x):n minimi- ja maksimipisteet. Olkoon nyt b = 4. Etsi f(x):n minimi- ja maksimipisteet. Mitä huomataan? (c) Selvästikin minimi- ja maksimipisteiden löytyminen on kiinni vakion b arvosta. Missä vakion b arvossa kulkee se haamuraja, jonka jälkeen tutkittavalla polynomilla ei enää olekaan ääriarvoja? 7. Selvitä, missä annettujen kahden muuttujan funktioiden kriittiset pisteet ovat (jos missään). Missä ovat maksimit/minimit (jos missään)? Piirrä tai selvitä itsellesi miltä nämä pinnat näyttävät. (a) f(x, y) = x + y f(x, y) = x 2 + y 2 1

2 (c) f(x, y) = x 2 y 2 (d) f(x, y) = x 2 (e) f(x, y) = x 2 + y 8. (a) Laske funktion f(x, y) = x cos(πy) + ye x kaikki ensimmäiset ja toiset osittaisderivaatat. Minkä arvon sekaderivaatta f xy saa, kun (x, y) = (1, 2)? Minkä arvon f yy saa näillä arvoilla? Laske funktion f(x, y) = 3x 2 y + x ln(y) kaikki ensimmäiset ja toiset osittaisderivaatat. Minkä arvon sekaderivaatta f xy saa, kun (x, y) = (3, 2)? Minkä arvon f yy saa näillä arvoilla? (c) Tunnemme funktion f(x, y) = xy + ey y Laske derivaatta 2 f x y. Huomaa, että tämän osittaisderivaatan laskemiseen on helpompi, ja vaikeampi tapa. 2

3 Vastaukset 1. (a) a , b , (a, b) rad P Q , P R , ( P Q, P R) rad 2. (a) L(6) = L(6) = (a) L(-3.5,-3.5) = 21.5 L(-2.5,2.5) = (c) L(2.5,-0.5) = (a) Minimiarvoa ei ole. Maksimiarvo y = 2 Ei maksimi- eikä minimiarvoja (c) Pienin arvo y = 1. Suurin arvo y x = y Ääriarvoja löydämme vain silloin, kun b < Mieti itse. 8. (a) 2 f 2.72 (x,y)=(1,2) (c) x y 2 f x y 18.5 (x,y)=(3,2) 2 f y x = 1 2 f y y 2 f y y = (x,y)=(1,2) = 0.75 (x,y)=(3,2) 3

4 Malliratkaisut (a) f(x) = ln x f (x) = 1 x L(x) = f(5) + f (5) (x 5) = ln x L(6) = ln (x 5) (6 5) g(x) = ln x + 1 x g (x) = x 1 + x 2 L(x) = g(5) + g (5) (x 5) ( = ln ) + 4 (x 5) (a) f = y 3 + 5x f (x,y)=( 4, 3) = 55 x = 10x x = 40 (x,y)=( 4, 3) y = 3y y = 9 (x,y)=( 4, 3) L(x, y) = f( 4, 3) + f 1 ( 4, 3) (x 2) + f 2 ( 4, 3) (y + 1) = (x + 4) 9 (y + 3) L( 3.5, 3.5) = ( ) 9 ( ) =

5 g = x 2 ln(y) g (x,y)=( 3,2) = 9 ln 2 g g = 2x ln(y) x x = 6 ln 2 (x,y)=( 3,2) g y = x2 y g y = 9 (x,y)=( 3,2) 2 L(x, y) = g( 3, 2) + g 1 ( 3, 2) (x + 3) + g 2 ( 3, 2) (y 2) = 9 ln 2 6 ln 2 (x + 3) (y 2) L( 2.5, 2.5) = 9 ln 2 6 ln 2 ( ) (2.5 2) (c) h = xy e x2 +y 2 5 h x = (2x2 + 1) y e x2 +y 2 5 h y = (2y2 + 1) y e x2 +y 2 5 h (x,y)=(2, 1) = 2 h x = 9 (x,y)=(2, 1) h y = 6 (x,y)=(2, 1) L(x, y) = h(2, 1) + h 1 (2, 1) (x 2) + h 2 (2, 1) (y + 1) = 2 9 (x 2) + 6 (y + 1) L(2.5, 0.5) = 2 9 (2.5 2) + 6 ( ) = Avaruuslävistäjän pituus d = 1 = x 2 + y 2 + z 2 = z = 1 x 2 y 2. Särmiön tilavuus V = xyz = xy 1 x 2 y 2. Juuren alle ei saa tulla negatiivista, joten voimme päätellä 1 x 2 y 2 0 = x 2 y 2 1. Tilavuus on nyt kahden muuttujan funktio, V = V (x, y), ja olemme etsimässä tämän kahden muuttujan funktion ääriarvoa. Äsken todettiin x 2 y 2 1, ja lisäksi rajoitamme tutkittavaa aluetta kiinnittämällä x 0 ja y 0 (jos särmiön sivun pituus on negatiivinen luku, sillä ei ole fysikaalista tulkintaa). Lasketaan osittaisderivaatat 5

6 V x = y 2yx2 y 3 1 x 2 y 2 V y = x 2xy2 x 3 1 x 2 y 2 Jotta molemmat osittaisderivaatat olisivat nollia, täytyy päteä { y 2yx 2 y 3 = 0 x 2xy 2 x 3 = 0 = { y(1 2x 2 y 2 ) = 0 x(1 2y 2 x 2 ) = 0 Selvästikin V x = V y = 0 jos x = 0 ja y = 0. Tämä yhdistelmä ei kuitenkaan maksimoi särmiön tilavuutta (toki tilavuus voi olla yli nollan). Lausekkeet näyttävät toinen toisiltaan, x:n ja y:n rooleja vaihtaen: ratkaisu voisi siis löytyä symmetriaa noudattaen, eli kun x = y. Nyt x 2x 3 x 3 = 0 x 3x 3 = 0 x(2 3x 2 ) = 0 1 3x 2 = 0 3x 2 = 1 x 2 = 1 3 x = 1 3 Kun x = 1 3, silloin itse asiassa x = y = z = 1 3. Havainto tuskin yllättää; usein tämän kaltaisten tilanteiden ratkaisu löytyy symmetrisimmästä pisteestä. 6. Lasketaan polynomin derivaatta, ja muodostetaan derivaatan nollakohtien paikan lauseke b- parametreineen kaikkineen (ei siis tehdä sijoituksia b = 0 tai b = 4 vielä). f(x) = x 3 + 3x 2 bx f (x) = 3x 2 + 6x b Missä f(x):n ääriarvot ovat? Ensin selvitämme, millä x:n arvoilla f (x) = 0. 6

7 3x 2 + 6x b = 0 x x + b 3 = 0 x 2 2x + b 3 = 0 x = 2 2 ± 1 ( ) b = 1 ± b Selvästikin, jos b < b < b > 4 b > 3 silloin derivaatan nollakohtia ei voida löytää. Jos b = 3, derivaatalla on yksi nollakohta, mutta kyseinen piste on kuitenkin vain polynomin satulapiste. Ääriarvoja löydämme siis vain silloin, kun b < 3. (a)- ja -kohtien ratkaisut sivuutetaan, ovathan kuitenkin yläastekamaa. 7. (a) x = 1 ja y = 1, eli funktio on tasaisesti nouseva suora levy. Suurinta arvoa ei siis ole, eikä pienintä myöskään. x = 2x ja y = 2x ; 2 f = 2 ja 2 f = 2. Pisteessä (x, y) = (0, 0) molemmat osittaisderivaatat x 2 y 2 ovat nollia, tässä on siis kriittinen piste. Molemmat osittaisderivaatat ovat positiivisia, eli selvästikin tässä on minimipiste. Funktio on muodoltaan pyörähdysparaboloidin muotoinen ylöspäin (kohti positiivista z-akselia) aukeava kuppi. (c) x = 2x ja y = 2x ; 2 f = 2 ja 2 f = 2. Pisteessä (x, y) = (0, 0) molemmat osittaisderivaatat ovat nollia, tässä on siis kriittinen piste. Osittaisderivaatat ovat kuitenkin eri merkki- x 2 y 2 siä, joten kyseessä on satulapiste. Tämän funktion kuvaaja näyttääkin pisteen (x, y) = (0, 0) ympäristössä hevosen satulalta; x-akselilla pinnan muoto mukaisee ylöspäin aukeavaa paraabelia z = x 2, ja y-akselilla pinnan muoto mukaisee alaspäin aukeavaa paraabelia z = y 2. (d) Huomataan, että x-akselilla pinnan muoto mukaisee alaspäin aukeavaa paraabelia z(x) = 7

8 x 2, kun taas y:llä ei ole funktion kuvaajan muotoon mitään vaikutusta. Funktion kuvaaja näyttää vuorenharjanteelta, joka jatkuu y-akselin suunnassa muuttumattomana kohti positiivista ja negatiivista ääretöntä. (e) Huomataan, että x-akselilla pinnan muoto mukaisee alaspäin aukeavaa paraabelia z(x) = x 2, kun taas y-akselilla kuvaaja näyttää suoralta y(y) = y. Funktion kuvaaja näyttää vuorenharjanteelta, näin ollen nousee lineaarisesti lähestyttäessä positiivista ääretöntä, ja laskee lineaarisesti lähestyttäessä negatiivista ääretöntä. 8. 8