jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "jakokulmassa x 4 x 8 x 3x"

Transkriptio

1 Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± ± 4 4 ± 4 4 ± ± ± 6 Vastaus: Vastaus jakoytälönä on = ( )

2 74. Jaetaan polynomi 5 binomilla ± ± ± Vastaus: Jakojäännös on Jaetaan polynomi 4 binomilla ± ± 4 4 ± ± Vastaus: Jakojäännös on

3 76. Polynomin 4 f( ) = + jako tekijöiin [ ] f( ) = + = ( ) = ( )( + ) = ( ) ( + ) 4 Polynomin nollakodat f( ) = 0 ( ) ( + ) = 0 = 0 tai + = 0 = = Vastaus: Polynomin nollakodat ovat = ja =. Polynomin jako tekijöiin on f( ) = ( ) ( + ). 77. Polynomi f Nollakodat f( ) = = 0 ( ) = Määritetään madolliset rationaalijuuret Luvun a 0 = 6 kaikki tekijät: ±, ±, ±, ± 6 Luvun a n = kaikki tekijät: ±, ± b0 Madolliset rationaalijuuret sievennettynä ±, ±, ±, ± 6, ±, ± bn Kokeillaan = : + 4 6= + 4 6= = : = + + = 4 4 Koska = toteuttaa ytälön, niin se on ytälön juuri ja polynomi + on jaollinen binomilla +, joka voidaan saattaa muotoon +. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± ± Ytälön ratkaisu eli polynomin nollakodat 55

4 + 4 6= 0 (+ )( ) = 0 + = 0 tai = 0 = = =± Vastaus: Polynomin jako tekijöiin on f( ) = (+ )( + )( ).. Jatkuvuuslauseita 78. Funktio f() = + on jatkuva välillä ja derivoituva välillä < <. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. Välin päätepisteet Funktion f() = + arvot välin päätepisteissä. f( ) = ( ) ( ) + = f() = + = Derivaatan nollakodat Funktio f() = + Derivaatta f () = 6 6 Derivaatan nollakodat f () = = 0 6( ) = 0 6 = 0 tai = 0 = 0 = Välin päätepiste Funktion f() = + arvot derivaatan nollakodissa f(0) = = Vastaus: Funktion suurin arvo välillä on ja pienin Funktio f( ) =,, on jatkuva välillä [0, 5] ja derivoituva välillä ] [ + 0,5. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. 56

5 Välin päätepisteet + Funktion f( ) = arvot välin päätepisteissä f (0) = = f (5) = = 4 5+ Derivaatan nollakodat + Funktio f( ) = + ( + ) ( + ) + Derivaatta f () = = ( + ) ( + ) Derivaatan nollakodat f () = = ( + ) + = 0 ± 4 ( ) = 6 = = Ei Käy + 6 = = + + Funktion f() = f( ) = arvo derivaatan nollakodassa f () = = + + Vastaus: Funktion suurin arvo välillä [0,5] on 4 ja pienin. 80. Funktio f( ) = + + ( + ) ( + ) Derivaatta f () = = ( + ) ( + ) Tutkitaan funktiota g ( ) =.Funktio g ( ) = on jatkuva välillä [0, 9] ja ( + ) ( + ) derivoituva välillä ] [ 0,9. Nimittäjän nollakota on =. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. 57

6 Välin päätepisteet Funktion g ( ) = arvot välin päätepisteissä ( + ) g(0) = = (0 + ) g(9) = = (9 + ) 50 Derivaatan nollakodat Funktio g ( ) = = ( + ) ( + ) 4 Derivaatta g () = ( )( + ) = ( + ) Derivaatan nollakodat f () = 0 4 = 0 ( + ) 4= 0 Ei nollakotia Vastaus: Funktion derivaatan suurin arvo välillä [0,9] on ja pienin a)ytälö tan = + tan = 0 π π π Tutkitaan funktiota f() = tan, + n π eli + n 6 π Funktiolla on välillä [0,] kota = 0, , jossa sitä ei ole määritelty. 6 Derivaatta f () = 0, joten funktio f() on kasvava. cos f(0) = tan 0 0 = < 0 f(0,5) = tan ( 0,5) 0,5 =,6 > 0 Koska funktio on jatkuva ja funktion arvot välin [0; 0,5] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on nollakota välillä ]0; 0,5[. Tämä väli sisältyy väliin [0,], joten ytälöllä on ratkaisu välillä [0,]. b) Ytälö ln = e 00 ln e + 00 = 0 Tutkitaan funktiota f() = ln e + 00 Funktio on jatkuva ja derivoituva, kun > 0. Derivaatta f () = e = e 58

7 Derivaatan nollakodat f () = 0 e = 0 = e e = e = 0 Nollakotien ratkaisu ei onnistu analyyttisesti. 0,00 0,00 Koska f (0,00) = e = 000 e > 0 ja f () = e = e < 0, 0,00 derivaatalla on välillä ] 0, [ ainakin yksi nollakota. Tutkitaan derivaattafunktion f () = e = e kulkua. Derivaatan derivaatta f () = e = 9e < 0, sillä > 0 ja e > 0, kun > 0. Täten derivaatta f () on aidosti väenevä, joten sillä on korkeintaan yksi nollakota välillä 0,. ] [ Kotien ja perusteella derivaatalla on täsmälleen yksi nollakota välillä ] 0, [. Koska derivaatta saa aluksi positiivisia arvoja ja sitten negatiivisia arvoja, on itse funktio aluksi kasvava ja sitten väenevä. Lasketaan funktion arvoja f 0 = ln 0 e + 00 = ln0 e = 000 ln0 e < 0 f() = ln e > Koska funktio on jatkuva ja funktion arvot välin 0, päätepisteissä ovat 000 erimerkkiset, funktiolla on nollakota välillä 0,. Tämä väli sisältyy väliin [0,], joten ytälöllä on ratkaisu välillä [0,]. Vastaus: Ytälöllä a) on juuri b) on juuri välillä [0,]. 8. Osoitetaan, että funktiolla f() = ln on ainakin yksi nollakota. Funktio f() = ln on jatkuva, kun > 0. f() = ln = < 0 f(0) = 0 ln 0 5,69 > 0 Koska funktion arvot välin [;5,69] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ] ; 5, 69 [ ainakin yksi nollakota. 59

8 8. Osoitetaan, että funktiolla f() = on täsmälleen yksi nollakota. Funktio f() = on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f(0) = = 8 > 0 f( ) = 5 ( ) + ( ) + 8 = 8 < 0 Koska funktion arvot välin [,0] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon,0 ainakin yksi nollakota. lauseen perusteella välillä ] [ Funktio f() = on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () = > 0 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() = on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f() = on täsmälleen yksi nollakota.. Absoluuttinen ja suteellinen vire 84. Lukujen a ja b likiarvojen a, ja b,789 summan ja erotuksen osamäärä a+ b, +, 789 = = 4, , a b,,789 Vastaus: Lukujen summan ja erotuksen osamäärä on 4,. 85. Luvun 7 = asemasta käytetään likiarvoa 0, ,0 a) Luvun suteellinen vire = 0,4... 4% ,0 7 0, 0 b) Lausekkeen suteellinen vire Vastaus: Suteellinen vire on a) 4 % b) 5 %. = 0, % 60

9 86. Määritä tulon ab suteellinen vire, kun Luvut a =,4 ± 0, ja b = 0,7 ± 0, Δ( ab) Δa Δb 0, 0, Tulon ab suteellinen vire + + 0,57... < 6% ab a b, 4 0, 7 Vastaus: Tulon ab suteellinen vire 6 %. 4. Funktion nollakotien ratkaiseminen numeerisesti 87. Funktion f() = ln nollakota puolitusmenetelmällä f() Nollakota välillä, ,00000, ,695 ], [,50000,0945 ], 5; [, ,6908 ], 75; [, ,006 ], 75;,875 [,850 0,479 ], 85;,875 [,8475 0,6945 ],8475;,875[,8598 0,0888 ],8598;,875[,8679 0,096 ],8679;,875[ Nollakota on välillä ],8679;,875 [, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on =,87. Vastaus: Nollakota on, Ytälö = = 0 Tutkitaan funktiota f() = Funktion yksi nollakota on = 0. Funktion f() = nollakota sekanttimenetelmää käyttäen. b a Uusi välin päätepiste c = a f( a) f( b) f( a) a b c f(a) f(b), , ,0854, ,4456, ,0854,576 0,4456 0,70060,0854,576,077 0, , ,576,077, , , ,077,46666, , , ,46666,47804, , ,000000,47804,47796, , ,

10 Nollakota on välillä ], 47804;, 47796[, joten viiden desimaalin tarkkuudella se on =,47. Vastaus: Ytälön ratkaisu on, a) Funktio f() = 5 Kiintopisteet f() = 5 = 6 = 0 ( 6) = 0 = 0 tai = 6 b) Funktio g() = Kiintopisteet g() = = = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = = ± Vastaus: Funktion kiintopisteet ovat a) 0 ja 6 b), 0 ja. 90. Funktio f() = e Kiintopisteet f() = 0 e = 0 = e Iterointifunktio g() = e Alkuarvo 0 = 4 Nollakota kiintopistemenetelmällä n n f( n ) 0 4, ,986846,986846,949965,949965,94766,94766, , , ,94756, ,947509, , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua, , joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on =,9475. Vastaus: Nollakota on,

11 9. Funktio f() = ln = ( ) ln Derivaatta f () = ( ) = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n ) n ln n+ = n = n f '( ) n Alkuarvo 0 = Nollakota Newtonin menetelmällä n n n n n n + 0, ,59677,59677,758986,758986,799559,799559, ,799556, Likiarvojen jono suppenee koti lukua,799556, joten viiden desimaalin tarkkuudella se on =,7996. Vastaus: Nollakota on, Ytälö 7 = + 7 = 0 Tutkitaan funktiota f() = 7 Derivaatta f () = 7 6 Newtonin menetelmän iteroimiskaava 7 f( n) n n n+ = n = n 6 f '( n ) 7n n Alkuarvo 0 = Nollakota Newtonin menetelmällä n n n + 0, , , ,68705,68705, , ,9578 4,9578, ,90905, ,908988,

12 Likiarvojen jono suppenee koti lukua,908988, joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on =,9090. Vastaus: Ytälön juuri on, Luku = 4 on ytälön = 4 eli 4 = 0 ratkaisu. Funktio f() = 4 Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) n 4 n+ = n = n f '( n ) n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = n n n + 0, , , , , ,59,59, , , , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua, , joten seitsemän desimaalin tarkkuudella se on =, Vastaus: Luvun 4 likiarvo seitsemän desimaalin tarkkuudella on, Numeerinen derivointi 94. Funktio f() = Kota 0 = 4 e ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e Etenevää erotusosamäärä f '( 0 ) E+ ( ) = = f( 0) f( 0 ) e e Takeneva erotusosamäärä f '( 0 ) E ( ) = = Taulukoidaan arvot E + () E () 0, 6, , ,0, , ,00 0,9886 0,8576 0,000 0, , ,0000 0, , Vastaus: Taulukossa 64 ( )

13 95. Funktio f() = ln (sin ) Kota 0 = Etenevää erotusosamäärä Takeneva erotusosamäärä Taulukoidaan arvot ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e f '( 0 ) E+ ( ) = = f '( ) E ( ) 0 f( ) f( ) e e 0 0 = = ( ) E + () Vire E () Vire 0, 0, , , , ,00 0, , , , ,0000 0, , , , , , , , , Vastaus: Taulukossa 96. Funktio f() = Kota 0 = Keskeisdifferenssi Taulukoidaan arvot f '( ) K( ) = = + f( + ) f( ) ( + ) ( ) Vastaus: Taulukossa e 97. Funktio f() = ln Kota 0 = K() 0, 0, ,0 0, ,00 0, ,000 0, ,0000 0, ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e Etenevää erotusosamäärä f '( 0 ) E+ ( ) = = f( 0) f( 0 ) e e Takeneva erotusosamäärä f '( 0 ) E ( ) = = f ( 0 + ) f( 0 ) Keskeisdifferenssi f '( 0 ) K( ) = 65 ( )

14 Taulukoidaan arvot E + () E () K(), , , ,,76659,0886, ,0, , , ,00,746589,79505, ,000, ,74804, ,0000,75549, , Vastaus: Taulukossa a) Lauseke f( ) = Taulukoidaan likiarvot. n = + 0 n f(),,6,00, ,0000, ,000000, , b) Olkoon funktio f() = Tällöin f() = = 8 Funktio f() = on derivoituvaa Raja arvo 8 f( ) f() lim f( ) = lim = lim = f '() Funktion derivaatta f () = Derivaatan arvo f () = = Vastaus: a) Taulukossa b) Raja-arvo on lim f ( ) =. 6. Pinta-alan numeerinen määrittäminen 99. Funktion f() = kuvaajan ja -akselin rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo välillä [0,] käyttäen keskipistesääntöä, kun n = = = [ ( ) ]+ [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] 0,

15 Suteellinen vire 0, % 0,78% Vastaus: 0,67875 ja 0,78 % 00. Sekä puolisuunnikassäännön että Simpsonin säännön avulla viiden desimaalin tarkkuudella avulla käyrän y = ja -akselin rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo välillä [0,], ja a) n = 4 b) n = 0. a) Puolisuunnikassäännöllä f() = n = 4 0 = = 4 4 f() = 0 4 0,975 0,75 4 0,475 0 A = [ f( 0) + f( ) f( n ) + f( n)] = ( + 0, , , ) 4 =0,6565 Simpsonin säännöllä f() = n = 4 0 = =

16 f() = 0 4 0,975 0,75 4 0,475 0 A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = 4 ( + 4 0, , , ) = 0, b) f() = n = 0 0 = = 0 0 f() = Puolisuunnikassääntö Simpsonin sääntö 0, , 0, , ,99 0, 0, , ,96 0, 0,9000 0, ,9 0,4 0, , ,84 0,5 0, , ,75 0,6 0, , ,64 0,7 0,5000 0, ,5 0,8 0,6000 0,6000 0,6 0,9 0,9000 0, ,9,0 0, yt. 6, ,0000 Puolisuunnikassäännöllä A = 6,65000=0,

17 Simpsonin säännöllä A = 0 0,0 = 0,66667 Huomataan, että Simpsonin säännöllä saadaan tarkka arvo. Vastaus: a) Puolisuunnikassäännöllä 0,6565 ja Simpsonin säännöllä 0,66667 b) Puolisuunnikassäännöllä 0,66500 ja Simpsonin säännöllä 0, Funktion f() = 0, (,5 )( e 8( ) ) kuvaajan ja -akselin rajoittaman alueen pintaalan likiarvo välillä [0,] käyttäen puolisuunnikassääntöä. n = 5 0 = = 5 5 f() = 0, (,5 )( e 8( ) ) 0 0 5, , , , A= [ f( 0) + f( ) f( n ) + f( n)] = ( 0 +, , ,80+ 0, ) 5 0,6999 Vastaus: 0, Käyrän y = + e ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-alan likiarvo, kun ja n = 4. Puolisuunnikassäännöllä f() = + e n = 4 69

18 ( ) = = 0,75 4 f() = + e -,788-0,5,684 0,5 0,75,5,96 8,55 A= [ f( 0) + f( ) f( n ) + f( n)] = 0, 75 (, 788 +, , 75+, ,55) 6, Likiarvon suteellinen vire verrattuna tietokoneella saatuun arvoon 6,. 6, , 8, 6% 6, Simpsonin säännöllä A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] 0,75 = (, , ,75 + 4,96 + 8,55) 6,700 Likiarvon suteellinen vire verrattuna tietokoneella saatuun arvoon 6,. 6, 700 6, 0,066% 6, Vastaus: 6, (vire 8,6 %) ja 6,700 (vire 0,066 %) 7. Approksimointi 0. Funktion f() = f() = f () = 6 f () = 4, kodassa = Taylorin polynomi asteluvulla ja n. 70

19 4! f () = 5 f (n) ( )! () = ( ) n n + n + f ''( ) f '''( ) P ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) + ( + )!! 6 4! = ( + ) + ( + ) ( + ) 4 5 ( )!( )!( ) = + ( + ) + ( + ) + 4( + ) Funktion f() n. asteen Taylorin polynomi kodassa = f ''( ) f ( ) n Pn ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) ( + )! n! 6 4! ( n + )! = ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) 4 5 n+ ( )!( )!( ) n!( ) = + ( + ) + ( + ) + 4( + ) ( n+ )( + ) Vastaus: + (+) + (+) + 4 (+) ja + (+) + (+) + 4 (+) (n + ) (+) n n ( n) n 04. Funktion f() = +, kodassa = 0 Taylorin polynomi asteluvulla. f() = + f () = + f () = (+ ) f () = 5 (+ ) f ''(0) f '''(0) P ( ) = f(0) + f '(0) + +!! = !! = + + Vastaus: + + 7

20 05. Funktion f() = f() = f () = ( ) f () = 4 ( ) f () = ( ) 7 f ''(0) f '''(0) P ( ) = f(0) + f '(0) + +!! 5 = + + +! 4! 8 5 = Vastaus: , kodassa = 0 Taylorin polynomi asteluvulla. 06. Funktion f() = e Taylorin polynomi kodassa = 0 asteluvulla n. f() = e f () = e e f () = e (e e ) = e + e f () = e + e e = e e f (4) () = e (e e ) = 4e + e f (n) () = n + n ( ) ne + ( ) e Funktion f() n. asteen Taylorin polynomi kodassa = 0 ( n) f ''(0) f (0) n Pn ( ) = f(0) + f '(0) ! n! n+ n ( ) n + ( ) 0 = 0 + ( 0) !! n! n+ n = ( )! ( n )! 4 n+ n Vastaus: ( )!! ( n )! n 7

21 07. a) Funktion f() = ( + ) k Taylorin polynomi kodassa = 0 asteluvulla n. f() = ( + ) k f '() = k( + ) k f ''() = k(k )( + ) k... f (n) () = k(k )(k )...(k n+)( + ) k n ( n) f ''(0) f (0) Pn ( ) = f(0) + f '(0) ! n! k k k n k k kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n = + k !! n! kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n = + k !! n! b) Taylorin polynomin asteluku, kun k = 6 ja vire kodassa = 0, on pienempi kuin 0 4. Funktion f() = ( + ) 6 (n + ):nnen derivaatan lauseke f (n) 6 () = (6 n+ )!( + ) n f (n + ) 5 () = (6 n)!( + ) n Taylorin polynomin vire arvolla = 0, n ( n+ ) f () t n+ Rn+ ( ) = ( a) = 0, ; a = 0;0 < t < ( n + )! ( n+ ) f () t = (0, 0) f ( t ) = (6 n )!( + t ) ( n + )! 5 n (6 n)!( + t) = 0, ( n + )! n+ ( n+ ) 5 n n+ R n+ 5 n (6 n)!( + t) n+ = 0, 0 < t < 0, ( n + )! 5 n (6 n)!( + 0) < 0, ( n + )! (6 n)! = 0, ( n + )! n+ n+ Edon mukaan R n+ < 0 (6 n)! 0, < 0 ( n + )! 4 n+ 4 Taulukoidaan lausekkeen (6 n)! 0, ( n + )! n+ arvoja, kun n kasvaa. 7

22 n n n+ (6 )! 0, ( n + )! 0, , , , Huomataan, että kun asteluku n on, on vire pienempi kuin 0 4. kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n Vastaus: a) + k b)!! n! asteluku n on väintään. Harjoituskoe 4. a) Suoritetaan jakolasku ( + ):( + ) jakokulmassa ± ± 4 4 Vastaus jakoytälönä ( + ) = ( )( + ) + 4 b) Funktio f( ) = lauseke ensimmäisen asteen tekijöiin. Nollakodat f( ) = = 0 Määritetään madolliset rationaalijuuret Luvun a 0 = 5 kaikki tekijät: ±, ± 5 Luvun a n = kaikki tekijät: ±, ± b0 Madolliset rationaalijuuret b sievennettynä 5 ±, ± 5, ±, ± n Kokeillaan = : 5 + 5= 5 + 5= 0 Koska = toteuttaa ytälön, niin se on ytälön juuri ja polynomi jaollinen binomilla. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa on 74

23 ± ± ± Ytälön ratkaisu eli polynomin nollakodat 5 + 5= 0 ( )( 5) = 0 = 0 tai 5 = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 5) = = 64 = = = = 6 Funktion jako tekijöiin on f( ) = ( + )( )( 5). Vastaus: a) 4 ( ) ( )( ) 4 + = + + b) f( ) = ( + )( )( 5). a) Ytälö = ln + ln = 0 Tutkitaan funktiota f( ) = + ln, > 0 Funktio f( ) = + ln on jatkuva, kun > 0. f () = + ln = > 0 f (9) = 9 + ln 9 = + ln 9 > 0 Koska funktion arvot välin [,9] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ], 9 [ ainakin yksi nollakota. Funktio Derivaatta f () = f( ) = + ln = + ln on derivoituva, kun > 0. ) + + = + = > 0, kun > 0. 75

24 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f( ) = + ln on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f( ) = + ln on täsmälleen yksi nollakota, joten ytälöllä = ln on täsmälleen yksi juuri. b) Ratkaistaan ytälö + ln = 0 Tutkitaan funktiota f( ) = + ln + Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) n + ln n n+ = n = n f '( n ) n + n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = n n n + 0, ,874907,874907,87796,87796,87767,87767,87767 Likiarvojen jono suppenee koti lukua,87767, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on =,88. Newtonin menetelmässä määrätään funktion kuvaajalle tangentti alkuarvon osoittamaan kotaan. Tämän jälkeen lasketaan tangentin ja akselin leikkauspiste, jota käytetään uutena alkuarvona. Tätä toistetaan kunnes nollakota on saatu määrättyä vaadittavalla tarkkuudella. Vastaus: Ytälön juuri on,88.. Funktio f( ) = Muuttujan arvo =,45 Pyöristetty arvo,5 Absoluuttinen vire,45,5 = 0,04875 < 0,0, 45,5 Suteellinen vire = 0,009...,%, 45 Vastaus: Absoluuttinen vire on 0,0 ja suteellinen vire, %. 76

25 4. Kappaleen putoamista tutkittaessa saatiin seuraavanlaiset tulokset: Aika (s) Matka (m) 0 0 0, 0,6 0, 0, 0, 0,40 0,4 0,80 0,5, a) Piirretään koordinaatistoon kuvaaja matka ajan funktiona.,4, matka (m) 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,6 aika (s) Määritetään taulukon avulla. asteen malli riippuvuuden välille. Toisen asteen polynomifunktio y = a + b + c Kuvaaja kulkee pisteiden (0,0), (0,; 0,) ja (0,4; 0,80) kautta. 0= a 0 + b 0+ c 0, = a 0, + b 0, + c 0,8 = a 0, 4 + b 0, 4 + c 0 = c 0, = 0,04a+ 0, b+ c 0,8 = 0,6a+ 0, 4b+ c Sijoitetaan ylimmän ytälön c = 0 muiin ytälöiin. 0,04a+ 0, b = 0, 0,6a+ 0, 4b = 0,8 Ylemmästä ytälöstä saadaan a = 5,5 5b. Sijoitetaan alempaan ytälöön. 0,6(5,5 5b) + 0,4b = 0,8 0,4b = 0,04 :( 0,4) b = 0, Lasketaan a: a = 5,5 5b = 5,5 5 0, = 4,75 Toisen asteen malli riippuvuuden välille on y = 4,75 + 0, b) Hetkellinen nopeus y () = 9,5 + 0, Hetkellinen nopeus, kun aikaa on kulunut alusta 0,0 s: y (0,0) = 9,5 0, + 0, =,05 Nopeus graafisesti 77

26 y,, y = 4,75 + 0, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, y =,05 0,0475 0, 0,05 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,5 0,4 0,45 0,5 0,55 Tangentti kulkee pisteiden (0,05; 0) ja (0,5; 0,48) kautta. 0, 48 0 Nopeus on tangentin kulmakerroin k t =, 0,5 0, 45 Vastaus: a) Toisen asteen malli on y = 4,75 + 0,. b) Nopeus on, m/s. 5. Lasketaan Taylorin polynomia käyttäen luvun e kaksidesimaalinen likiarvo. Funktio f() = e Taylorin polynomi kodassa = a f() = f(a) + f (a)( a) +! f (a) ( a) +! f (a) ( a) + Derivaatat ja termit kodassa = 0 n Derivaatta Arvo f() = e f (0) = e 0 = f () = e f (0) = f () = e f (0) = 4 f () = e f (0) = 5 f (4) () = e f (4) (0) = Taylorin polynomi, kun a = 0 f() = f(0) + f (0)( 0) +! f (0) ( 0) +! f (0) ( 0) + 4! f (4) ( 0)( 0) 4 + = f(0) + f (0) +! f (0) +! f (0) + 4! f (4) ( 0) 4 + = + +! +! + 4!

27 Funktion arvo, kun = e = f() = + +! +! + 4! 4 + Taulukoidaan arvoja Termi Arvo 0, 4 0, , , , , , , Termien summa 7, Vastaus: Kaksidesimaalinen likiarvo on 7,9. 6. a) Jodetaan Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( ) = 0 0 f '( 0 ). Oletetaan, että funktio f on jatkuva ja derivoituva nollakodan läeisyydessä. Määritettäessä funktion f nollakotaa Newtonin menetelmällä aloitetaan läellä nollakotaa olevasta alkuarvosta = 0. Määritetään tään kotaan käyrälle y = f() tangentti ja lasketaan tangentin ja -akselin leikkauspiste =. Valitaan tämä uudeksi alkukodaksi ja määritetään käyrälle y = f() tään kotaan tangentti, jonka leikkauspiste -akselin kanssa lasketaan. Näin jatkamalla saadaan funktion nollakodan likiarvo yvin nopeasti laskettua. Newtonin menetelmässä on tärkeää, että iteroinnin alkuarvo on riittävän läellä nollakotaa. Varsinkin jaksollisten funktioiden tapauksessa voi käydä niin, että aluttua nollakotaa ei löydetä vaan päädytään joonkin muuun nollakotaan. 79

28 y y = f() 0 Määritetään funktion f() nollakota. Valitaan kota = 0. Käyrän y = f() kotaan = 0 piirretyn tangentin ytälö y y 0 = k t ( 0 ) y 0 = f( 0 ), k t = f ( 0 ) y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) y = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y = 0 tangentin ytälöön. y = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) y = 0 f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) = 0 f ( 0 )( 0 ) = f( 0 ) : f ( 0 ) 0 f( 0 ) 0 = f '( 0 ) f ( 0 ) = 0 f '( 0 ) Valitaan saatu kota uudeksi alkukodaksi 0 ja toistetaan edellä olevat toimenpiteet. f( 0 ) Tällä tavalla saadaan aina seuraava nollakodan likiarvo kaavalla = 0 f '( ). b) Määritä Newtonin menetelmää käyttäen funktion f( ) = ln+ e nollakota neljän desimaalin tarkkuudella. Funktio f( ) = ln+ e Derivaatta f () = e + + e = Newtonin menetelmän iteroimiskaava n f( n) lnn + e n+ = n = n f '( ) n n e n + n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = 0 80

29 n n n + 0, , , , , , , , , , , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua 0,698744, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on = 0,699. Vastaus: Nollakota on 0, Funktio f ( ) = + e Derivaatta keskeisdifferenssiä käyttäen kolmen desimaalin tarkkuudella Funktio f() = + Kota 0 = Keskeisdifferenssi f( 0 + ) f( 0 ) ( + ) + e ( ) + e f '( 0 ) K( ) = = Taulukoidaan arvot K() 0,, ,0, ,00, ,000,89687 Vastaus: Taulukosta nädään, että likiarvo on,896. ( + ) ( ) 8. Pinta-ala Simpsonin säännöllä käyttäen neljää jakoväliä. Simpsonin säännöllä Funktio f( ) = Nollakodat f() = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = ± Kuvaaja 8

30 y 4 f() = Jakovälit n = 4 0 Jakovälin pituus = = 4 4 Pinta-ala välillä [,0] f() = 0 4 0,85 0,75 4 0, A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = 4 ( ,85 + 0, , ) = 0, 5 Symmetrian perusteella ala on 0,5 = 0,5 Vastaus: Ala on 0,5. 8

31 Harjoituskoe. Funktio f() = ln( + ) Taylorin polynomi f() = f(a) + f (a)( a) +! f (a) ( a) +! f (a) ( a) + 4! f (4) (a)( a) 4 + Derivaatat ja termit kodassa = 0 n Derivaatta Arvo Termi f() = ln( + ) f (0) = ln(0 + ) = 0 0 f () = = ( + ) f (0) = + 0+ = f () = ( + ) = f (0) = ( + ) (0 + ) = 4 f () = ( + ) = f (0) = = ( + ) (0 + ) 5 f (4) 4 6 () = 6( + ) = f (4) 6 (0) = = ( + ) (0 + ) 4 Vastaus: Taylorin polynomin viisi ensimmäistä termiä kodassa = 0 ovat 0,,, ja a) Luvut a =,6 ± 0,00 ja b =, ± 0,. Lausekkeen a + b arvo a + b =,6 +, = 4,6 Lausekkeen a + b pienin arvo a + b =,59 +,8 =,959 Vire 4,6,959 = 0,0 Lausekkeen a + b suurin arvo a + b =,6 +,4 = 4,56 Vire 4,56 4,6 = 0,0 Lausekkeen a + b arvo virerajoineen a + b = 4, ± 0, Lausekkeen ab arvo ab =,6, = 4,58 Lausekkeen ab pienin arvo ab =,59,8 =,886 Vire 4,58,886 = 0,659 Lausekkeen ab suurin arvo ab =,6,4 = 5,9 Vire 5,9 4,58 = 0,65 Lausekkeen ab arvo virerajoineen ab = 4,5 ± 0,7 b) Funktio + f( ) = 8

32 Suteellinen vire 5 +,+ f ( 5) f (,) 5, = = 0, ,% f ( 5) Vastaus: a) a + b = 4, ± 0, ja ab = 4,5 ± 0,7 b), %. Jaetaan polynomi jaetaan trinomilla + jakokulmassa ± ± Vastaus: Jakojäännös on ± ± ± 6 6± Ytälö = 0 Vakiotermin 6 tekijät ±, ±, ±, ±6 Korkeimman asteen termin tekijät ± Madolliset rationaalilukunollakodat ±, ±, ±, ±6 Sijoittamalla =, saadaan = 0, joten on polynomin f() tekijä. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± 5 5 ± ± 6 0 Ratkaistaan nollakodat = 0 ( )( ) = 0 = 0 tai = 0 = + 84

33 ± = 5 = = 5+ = = Vastaus: Juuret ovat, ja. ln 5. Funktio f() = Kota 0 = f( 0 + ) f( 0 ) ( + ) ( ) Keskeisdifferenssi f '( 0 ) K( ) = = Taulukoidaan arvot K(), ,0000, , , , Vastaus: Taulukossa ln( + ) ln( ) 6. Käyrä y = + 4 Käyrän ja ja -akselin leikkauspisteet y = = 0 ( + 4) = 0 = 0 tai = 4 Käyrän ja ja -akselin väliin jäävän alueen alan likiarvo Simpsonin säännön avulla jakamalla väli kadeksaan osaan. Pinta-ala A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] n Välin leveys = = = 0,5 n 8 Taulukoidaan arvot. f() Summan termit 0,0 0,00 0,00 0,5,75 7,00,0,00 6,00,5,75 5,00,0 4,00 8,00,5,75 5,00,0,00 6,00,5,75 7,00 4,0 0,00 0,00 Yteensä 64 85

34 Pinta-ala 0,5 A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = 64 0,7 Vastaus: Pinta-ala on 0,7. 7. Osoitetaan, että ytälöllä + = on täsmälleen yksi juuri. Ytälö + = + = 0 Tutkitaan funktiota f() = + on täsmälleen yksi nollakota. Funktio f() = + on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f(0) = = < 0 f() = + = > 0 Koska funktion arvot välin [0,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ]0,[ ainakin yksi nollakota. Funktio f() = + on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () = > 0 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() = + on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f() = + on täsmälleen yksi nollakota. Funktion f() = + nollakota sekanttimenetelmää käyttäen. b a Uusi välin päätepiste c = a f( a) f( b) f( a) a b c f(a) f(b) 0, , , , , , , ,66664, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Nollakota on välillä ] 0,68578; 0,68780 [, joten neljän desimaalin tarkkuudella se on = 0,68. Vastaus: Ytälön juuri on 0,68. 86

35 8. Ytälö = 0 Tutkitaan funktiota f() = f() = y Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) 0n 0n + 0n n+ = n = n f '( n ) 0n 40n + 0 Alkuarvo 0 = 0,5 Nollakota Newtonin menetelmällä n n n + 0 0, , , , , , , , , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua 0, , joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on = 0, Vastaus: Ytälön keskimmäinen juuri on 0,

36 Harjoituskoe ± ± ± Vastaus: = 0 Rymitellään ( ) ( ) = 0 ( )( ) = 0 = 0 tai = 0 = ± = Vastaus: ± tai. aika (t) matka (m),8,87,4 5,66 7,99 9,,44,8 5,9 7 4,6 9 88

37 5 0 5 y =,609 0,49 0,555 R = 0, asteen malli mopon kulkeman ajan (s) ja matkan (m) riippuvuuden välillä f() =,609 0,49 0,555 Mopon kulkema matka sekunnin kuluttua lädöstä. f() =,609 0,49 0,555,6 (m) Vastaus: f() =,609 0,49 0,555 ja,6 m 4. f() = 4 f '() = 4 f ''() = f '''() = 4 f (4) () = 4 f (5) () = 0 f( ) = ( ) 4 = f '( ) = 4 ( ) = 4 f ''( ) = ( ) = f '''( ) = 4 ( )= 4 f (4) ( ) = 4 f (5) ( ) = 0 Monomi 4 Taylorin polynomin avulla binomin + kasvavien potenssien lausekkeena. Koska 5. ja sitä suuremmat derivaatat saavat arvon nolla, riittää muodostaa 4. asteen Taylorin polynomi kodassa =. (4) f ''( ) f '''( ) f ( ) 4 P4 ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )!! 4! = 4( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )!! 4! 4 = 4( + ) + 6( + ) 4( + ) + ( + ) Vastaus: 4( + ) + 6( + ) 4( + ) + ( + ) 4 89

38 5. Luvun likiarvo viiden desimaalin tarkkuudella Newtonin menetelmää käyttäen. n+ = n n n Vastaus:,599 f ( ) n f '( ), ,,, ,68889,5995 5,5995,599 6,599,5990 7,5990,5990 n 6. Funktion f() = ( + ) derivaatan likiarvo keskeisdifferenssiä käyttäen kodassa = muutoksen arvoilla ; 0,000 0; 0, ja 0, f ( 0 + ) f( 0 ) Derivaatan likiarvo f '( 0 ) = Taulukoidaan derivaatan likiarvoja. d f () 0, , , , , , , , Käyrän y = + ja -akselin väliin välillä [0,4] jäävän alueen alan likiarvo Simpsonin säännön avulla, kun n = 8. f() = + n = = = 8 f() = + 0 0,5,06066,444,5,0965,5 4, ,950,5 6,68 4 8,

39 A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = ( + 4, , , , , , , 0658),9887 Likiarvon suteellinen vire, kun tietokoneella saatu tulos on,989., 989,9887 0, 0 %, 989 Vastaus:,9887 ja 0,0 % 8. ) f() = f (0) = f () = f () = 9 Koska funktio on jatkuva ja se vaitaa välillä [0,] merkkinsä kertaa, on tällä välillä väintään nollakotaa. ) f '() = 5 ln5 9 5 ln5 9 = = ln 5 9 ln = ln 5 =, ln 5 Kulkukaavio f () f (),454 min f '(0)< 0 f '() > 0 Kulkukaaviosta nädään, että funktio on aidosti väenevä, kun <,454..., joten tällä välillä on korkeintaan nollakota. Kulkukaaviosta nädään, että funktio on aidosti kasvava, kun >,454..., joten tällä välillä on korkeintaan nollakota. Kodista ) ja ) seuraa, että funktiolla f() = on tasan nollakotaa. Määritetään pienemmän nollakodan likiarvo sekanttimenetelmää käyttäen kaden desimaalin tarkkuudella. 9

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

Schildtin lukio

Schildtin lukio MAA1.9.15 Scildtin lukio LIKIARVO MUISTA: tavallisesti matematiikassa pyritään aina tarkkoiin arvoiin! Kuitenkin esim. mittaustulokset ovat aina likiarvoja. o Luvun katkaiseminen: näin tekevät mm. jotkut

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut

Harjoitustehtävien ratkaisut Johdatus numeerisiin menetelmiin Harjoitustehtäviä. Esitä luvun 7 8 a) tarkka arvo desimaalilukuna b) kolmidesimaalinen likiarvo c) nolladesimaalinen likiarvo d) Likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

1.7. Trigonometristen funktioiden derivaatat

1.7. Trigonometristen funktioiden derivaatat Yleensä jodetaan aina ensin funktion y sin derivaatta. Erotusosamäärän sin( + ) sin käsittely vaatii ainakin sinin yteenlaskukaavan allintaa: sin( + ) sin sin + sin sin sin 1 sin, missä viimeksi saadussa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä Olkoon funktio f x jatkuva jollain välillä [a;b]. Jos on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f a f b 0, niin on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f c =0. Tämän Bolzanon lauseen mukaan

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Numeerinen integrointi ja derivointi

Numeerinen integrointi ja derivointi Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt

mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt 1. Historiallisesti mielenkiintoinen yhtälö on x 3 2x 5 = 0, jota Wallis-niminen matemaatikko käsitteli,

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Virheen arviointia

Virheen arviointia 16.4.014 Vireen arviointia NUMEERISIA JA ALGEBRAL- LISIA MENETELMIÄ, MAA1 Virettä, tai oikeammin vireen suuruutta, voidaan arvioida seuraavilla tavoilla: 1. Maksimi-minimikeino (-menettely), nopea ja yksinkertainen,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

Yhden muuttujan funktion minimointi

Yhden muuttujan funktion minimointi Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai

Lisätiedot