jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "jakokulmassa x 4 x 8 x 3x"

Transkriptio

1 Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± ± 4 4 ± 4 4 ± ± ± 6 Vastaus: Vastaus jakoytälönä on = ( )

2 74. Jaetaan polynomi 5 binomilla ± ± ± Vastaus: Jakojäännös on Jaetaan polynomi 4 binomilla ± ± 4 4 ± ± Vastaus: Jakojäännös on

3 76. Polynomin 4 f( ) = + jako tekijöiin [ ] f( ) = + = ( ) = ( )( + ) = ( ) ( + ) 4 Polynomin nollakodat f( ) = 0 ( ) ( + ) = 0 = 0 tai + = 0 = = Vastaus: Polynomin nollakodat ovat = ja =. Polynomin jako tekijöiin on f( ) = ( ) ( + ). 77. Polynomi f Nollakodat f( ) = = 0 ( ) = Määritetään madolliset rationaalijuuret Luvun a 0 = 6 kaikki tekijät: ±, ±, ±, ± 6 Luvun a n = kaikki tekijät: ±, ± b0 Madolliset rationaalijuuret sievennettynä ±, ±, ±, ± 6, ±, ± bn Kokeillaan = : + 4 6= + 4 6= = : = + + = 4 4 Koska = toteuttaa ytälön, niin se on ytälön juuri ja polynomi + on jaollinen binomilla +, joka voidaan saattaa muotoon +. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± ± Ytälön ratkaisu eli polynomin nollakodat 55

4 + 4 6= 0 (+ )( ) = 0 + = 0 tai = 0 = = =± Vastaus: Polynomin jako tekijöiin on f( ) = (+ )( + )( ).. Jatkuvuuslauseita 78. Funktio f() = + on jatkuva välillä ja derivoituva välillä < <. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. Välin päätepisteet Funktion f() = + arvot välin päätepisteissä. f( ) = ( ) ( ) + = f() = + = Derivaatan nollakodat Funktio f() = + Derivaatta f () = 6 6 Derivaatan nollakodat f () = = 0 6( ) = 0 6 = 0 tai = 0 = 0 = Välin päätepiste Funktion f() = + arvot derivaatan nollakodissa f(0) = = Vastaus: Funktion suurin arvo välillä on ja pienin Funktio f( ) =,, on jatkuva välillä [0, 5] ja derivoituva välillä ] [ + 0,5. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. 56

5 Välin päätepisteet + Funktion f( ) = arvot välin päätepisteissä f (0) = = f (5) = = 4 5+ Derivaatan nollakodat + Funktio f( ) = + ( + ) ( + ) + Derivaatta f () = = ( + ) ( + ) Derivaatan nollakodat f () = = ( + ) + = 0 ± 4 ( ) = 6 = = Ei Käy + 6 = = + + Funktion f() = f( ) = arvo derivaatan nollakodassa f () = = + + Vastaus: Funktion suurin arvo välillä [0,5] on 4 ja pienin. 80. Funktio f( ) = + + ( + ) ( + ) Derivaatta f () = = ( + ) ( + ) Tutkitaan funktiota g ( ) =.Funktio g ( ) = on jatkuva välillä [0, 9] ja ( + ) ( + ) derivoituva välillä ] [ 0,9. Nimittäjän nollakota on =. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. 57

6 Välin päätepisteet Funktion g ( ) = arvot välin päätepisteissä ( + ) g(0) = = (0 + ) g(9) = = (9 + ) 50 Derivaatan nollakodat Funktio g ( ) = = ( + ) ( + ) 4 Derivaatta g () = ( )( + ) = ( + ) Derivaatan nollakodat f () = 0 4 = 0 ( + ) 4= 0 Ei nollakotia Vastaus: Funktion derivaatan suurin arvo välillä [0,9] on ja pienin a)ytälö tan = + tan = 0 π π π Tutkitaan funktiota f() = tan, + n π eli + n 6 π Funktiolla on välillä [0,] kota = 0, , jossa sitä ei ole määritelty. 6 Derivaatta f () = 0, joten funktio f() on kasvava. cos f(0) = tan 0 0 = < 0 f(0,5) = tan ( 0,5) 0,5 =,6 > 0 Koska funktio on jatkuva ja funktion arvot välin [0; 0,5] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on nollakota välillä ]0; 0,5[. Tämä väli sisältyy väliin [0,], joten ytälöllä on ratkaisu välillä [0,]. b) Ytälö ln = e 00 ln e + 00 = 0 Tutkitaan funktiota f() = ln e + 00 Funktio on jatkuva ja derivoituva, kun > 0. Derivaatta f () = e = e 58

7 Derivaatan nollakodat f () = 0 e = 0 = e e = e = 0 Nollakotien ratkaisu ei onnistu analyyttisesti. 0,00 0,00 Koska f (0,00) = e = 000 e > 0 ja f () = e = e < 0, 0,00 derivaatalla on välillä ] 0, [ ainakin yksi nollakota. Tutkitaan derivaattafunktion f () = e = e kulkua. Derivaatan derivaatta f () = e = 9e < 0, sillä > 0 ja e > 0, kun > 0. Täten derivaatta f () on aidosti väenevä, joten sillä on korkeintaan yksi nollakota välillä 0,. ] [ Kotien ja perusteella derivaatalla on täsmälleen yksi nollakota välillä ] 0, [. Koska derivaatta saa aluksi positiivisia arvoja ja sitten negatiivisia arvoja, on itse funktio aluksi kasvava ja sitten väenevä. Lasketaan funktion arvoja f 0 = ln 0 e + 00 = ln0 e = 000 ln0 e < 0 f() = ln e > Koska funktio on jatkuva ja funktion arvot välin 0, päätepisteissä ovat 000 erimerkkiset, funktiolla on nollakota välillä 0,. Tämä väli sisältyy väliin [0,], joten ytälöllä on ratkaisu välillä [0,]. Vastaus: Ytälöllä a) on juuri b) on juuri välillä [0,]. 8. Osoitetaan, että funktiolla f() = ln on ainakin yksi nollakota. Funktio f() = ln on jatkuva, kun > 0. f() = ln = < 0 f(0) = 0 ln 0 5,69 > 0 Koska funktion arvot välin [;5,69] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ] ; 5, 69 [ ainakin yksi nollakota. 59

8 8. Osoitetaan, että funktiolla f() = on täsmälleen yksi nollakota. Funktio f() = on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f(0) = = 8 > 0 f( ) = 5 ( ) + ( ) + 8 = 8 < 0 Koska funktion arvot välin [,0] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon,0 ainakin yksi nollakota. lauseen perusteella välillä ] [ Funktio f() = on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () = > 0 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() = on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f() = on täsmälleen yksi nollakota.. Absoluuttinen ja suteellinen vire 84. Lukujen a ja b likiarvojen a, ja b,789 summan ja erotuksen osamäärä a+ b, +, 789 = = 4, , a b,,789 Vastaus: Lukujen summan ja erotuksen osamäärä on 4,. 85. Luvun 7 = asemasta käytetään likiarvoa 0, ,0 a) Luvun suteellinen vire = 0,4... 4% ,0 7 0, 0 b) Lausekkeen suteellinen vire Vastaus: Suteellinen vire on a) 4 % b) 5 %. = 0, % 60

9 86. Määritä tulon ab suteellinen vire, kun Luvut a =,4 ± 0, ja b = 0,7 ± 0, Δ( ab) Δa Δb 0, 0, Tulon ab suteellinen vire + + 0,57... < 6% ab a b, 4 0, 7 Vastaus: Tulon ab suteellinen vire 6 %. 4. Funktion nollakotien ratkaiseminen numeerisesti 87. Funktion f() = ln nollakota puolitusmenetelmällä f() Nollakota välillä, ,00000, ,695 ], [,50000,0945 ], 5; [, ,6908 ], 75; [, ,006 ], 75;,875 [,850 0,479 ], 85;,875 [,8475 0,6945 ],8475;,875[,8598 0,0888 ],8598;,875[,8679 0,096 ],8679;,875[ Nollakota on välillä ],8679;,875 [, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on =,87. Vastaus: Nollakota on, Ytälö = = 0 Tutkitaan funktiota f() = Funktion yksi nollakota on = 0. Funktion f() = nollakota sekanttimenetelmää käyttäen. b a Uusi välin päätepiste c = a f( a) f( b) f( a) a b c f(a) f(b), , ,0854, ,4456, ,0854,576 0,4456 0,70060,0854,576,077 0, , ,576,077, , , ,077,46666, , , ,46666,47804, , ,000000,47804,47796, , ,

10 Nollakota on välillä ], 47804;, 47796[, joten viiden desimaalin tarkkuudella se on =,47. Vastaus: Ytälön ratkaisu on, a) Funktio f() = 5 Kiintopisteet f() = 5 = 6 = 0 ( 6) = 0 = 0 tai = 6 b) Funktio g() = Kiintopisteet g() = = = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = = ± Vastaus: Funktion kiintopisteet ovat a) 0 ja 6 b), 0 ja. 90. Funktio f() = e Kiintopisteet f() = 0 e = 0 = e Iterointifunktio g() = e Alkuarvo 0 = 4 Nollakota kiintopistemenetelmällä n n f( n ) 0 4, ,986846,986846,949965,949965,94766,94766, , , ,94756, ,947509, , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua, , joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on =,9475. Vastaus: Nollakota on,

11 9. Funktio f() = ln = ( ) ln Derivaatta f () = ( ) = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n ) n ln n+ = n = n f '( ) n Alkuarvo 0 = Nollakota Newtonin menetelmällä n n n n n n + 0, ,59677,59677,758986,758986,799559,799559, ,799556, Likiarvojen jono suppenee koti lukua,799556, joten viiden desimaalin tarkkuudella se on =,7996. Vastaus: Nollakota on, Ytälö 7 = + 7 = 0 Tutkitaan funktiota f() = 7 Derivaatta f () = 7 6 Newtonin menetelmän iteroimiskaava 7 f( n) n n n+ = n = n 6 f '( n ) 7n n Alkuarvo 0 = Nollakota Newtonin menetelmällä n n n + 0, , , ,68705,68705, , ,9578 4,9578, ,90905, ,908988,

12 Likiarvojen jono suppenee koti lukua,908988, joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on =,9090. Vastaus: Ytälön juuri on, Luku = 4 on ytälön = 4 eli 4 = 0 ratkaisu. Funktio f() = 4 Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) n 4 n+ = n = n f '( n ) n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = n n n + 0, , , , , ,59,59, , , , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua, , joten seitsemän desimaalin tarkkuudella se on =, Vastaus: Luvun 4 likiarvo seitsemän desimaalin tarkkuudella on, Numeerinen derivointi 94. Funktio f() = Kota 0 = 4 e ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e Etenevää erotusosamäärä f '( 0 ) E+ ( ) = = f( 0) f( 0 ) e e Takeneva erotusosamäärä f '( 0 ) E ( ) = = Taulukoidaan arvot E + () E () 0, 6, , ,0, , ,00 0,9886 0,8576 0,000 0, , ,0000 0, , Vastaus: Taulukossa 64 ( )

13 95. Funktio f() = ln (sin ) Kota 0 = Etenevää erotusosamäärä Takeneva erotusosamäärä Taulukoidaan arvot ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e f '( 0 ) E+ ( ) = = f '( ) E ( ) 0 f( ) f( ) e e 0 0 = = ( ) E + () Vire E () Vire 0, 0, , , , ,00 0, , , , ,0000 0, , , , , , , , , Vastaus: Taulukossa 96. Funktio f() = Kota 0 = Keskeisdifferenssi Taulukoidaan arvot f '( ) K( ) = = + f( + ) f( ) ( + ) ( ) Vastaus: Taulukossa e 97. Funktio f() = ln Kota 0 = K() 0, 0, ,0 0, ,00 0, ,000 0, ,0000 0, ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e Etenevää erotusosamäärä f '( 0 ) E+ ( ) = = f( 0) f( 0 ) e e Takeneva erotusosamäärä f '( 0 ) E ( ) = = f ( 0 + ) f( 0 ) Keskeisdifferenssi f '( 0 ) K( ) = 65 ( )

14 Taulukoidaan arvot E + () E () K(), , , ,,76659,0886, ,0, , , ,00,746589,79505, ,000, ,74804, ,0000,75549, , Vastaus: Taulukossa a) Lauseke f( ) = Taulukoidaan likiarvot. n = + 0 n f(),,6,00, ,0000, ,000000, , b) Olkoon funktio f() = Tällöin f() = = 8 Funktio f() = on derivoituvaa Raja arvo 8 f( ) f() lim f( ) = lim = lim = f '() Funktion derivaatta f () = Derivaatan arvo f () = = Vastaus: a) Taulukossa b) Raja-arvo on lim f ( ) =. 6. Pinta-alan numeerinen määrittäminen 99. Funktion f() = kuvaajan ja -akselin rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo välillä [0,] käyttäen keskipistesääntöä, kun n = = = [ ( ) ]+ [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] 0,

15 Suteellinen vire 0, % 0,78% Vastaus: 0,67875 ja 0,78 % 00. Sekä puolisuunnikassäännön että Simpsonin säännön avulla viiden desimaalin tarkkuudella avulla käyrän y = ja -akselin rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo välillä [0,], ja a) n = 4 b) n = 0. a) Puolisuunnikassäännöllä f() = n = 4 0 = = 4 4 f() = 0 4 0,975 0,75 4 0,475 0 A = [ f( 0) + f( ) f( n ) + f( n)] = ( + 0, , , ) 4 =0,6565 Simpsonin säännöllä f() = n = 4 0 = =

16 f() = 0 4 0,975 0,75 4 0,475 0 A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = 4 ( + 4 0, , , ) = 0, b) f() = n = 0 0 = = 0 0 f() = Puolisuunnikassääntö Simpsonin sääntö 0, , 0, , ,99 0, 0, , ,96 0, 0,9000 0, ,9 0,4 0, , ,84 0,5 0, , ,75 0,6 0, , ,64 0,7 0,5000 0, ,5 0,8 0,6000 0,6000 0,6 0,9 0,9000 0, ,9,0 0, yt. 6, ,0000 Puolisuunnikassäännöllä A = 6,65000=0,

17 Simpsonin säännöllä A = 0 0,0 = 0,66667 Huomataan, että Simpsonin säännöllä saadaan tarkka arvo. Vastaus: a) Puolisuunnikassäännöllä 0,6565 ja Simpsonin säännöllä 0,66667 b) Puolisuunnikassäännöllä 0,66500 ja Simpsonin säännöllä 0, Funktion f() = 0, (,5 )( e 8( ) ) kuvaajan ja -akselin rajoittaman alueen pintaalan likiarvo välillä [0,] käyttäen puolisuunnikassääntöä. n = 5 0 = = 5 5 f() = 0, (,5 )( e 8( ) ) 0 0 5, , , , A= [ f( 0) + f( ) f( n ) + f( n)] = ( 0 +, , ,80+ 0, ) 5 0,6999 Vastaus: 0, Käyrän y = + e ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-alan likiarvo, kun ja n = 4. Puolisuunnikassäännöllä f() = + e n = 4 69

18 ( ) = = 0,75 4 f() = + e -,788-0,5,684 0,5 0,75,5,96 8,55 A= [ f( 0) + f( ) f( n ) + f( n)] = 0, 75 (, 788 +, , 75+, ,55) 6, Likiarvon suteellinen vire verrattuna tietokoneella saatuun arvoon 6,. 6, , 8, 6% 6, Simpsonin säännöllä A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] 0,75 = (, , ,75 + 4,96 + 8,55) 6,700 Likiarvon suteellinen vire verrattuna tietokoneella saatuun arvoon 6,. 6, 700 6, 0,066% 6, Vastaus: 6, (vire 8,6 %) ja 6,700 (vire 0,066 %) 7. Approksimointi 0. Funktion f() = f() = f () = 6 f () = 4, kodassa = Taylorin polynomi asteluvulla ja n. 70

19 4! f () = 5 f (n) ( )! () = ( ) n n + n + f ''( ) f '''( ) P ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) + ( + )!! 6 4! = ( + ) + ( + ) ( + ) 4 5 ( )!( )!( ) = + ( + ) + ( + ) + 4( + ) Funktion f() n. asteen Taylorin polynomi kodassa = f ''( ) f ( ) n Pn ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) ( + )! n! 6 4! ( n + )! = ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) 4 5 n+ ( )!( )!( ) n!( ) = + ( + ) + ( + ) + 4( + ) ( n+ )( + ) Vastaus: + (+) + (+) + 4 (+) ja + (+) + (+) + 4 (+) (n + ) (+) n n ( n) n 04. Funktion f() = +, kodassa = 0 Taylorin polynomi asteluvulla. f() = + f () = + f () = (+ ) f () = 5 (+ ) f ''(0) f '''(0) P ( ) = f(0) + f '(0) + +!! = !! = + + Vastaus: + + 7

20 05. Funktion f() = f() = f () = ( ) f () = 4 ( ) f () = ( ) 7 f ''(0) f '''(0) P ( ) = f(0) + f '(0) + +!! 5 = + + +! 4! 8 5 = Vastaus: , kodassa = 0 Taylorin polynomi asteluvulla. 06. Funktion f() = e Taylorin polynomi kodassa = 0 asteluvulla n. f() = e f () = e e f () = e (e e ) = e + e f () = e + e e = e e f (4) () = e (e e ) = 4e + e f (n) () = n + n ( ) ne + ( ) e Funktion f() n. asteen Taylorin polynomi kodassa = 0 ( n) f ''(0) f (0) n Pn ( ) = f(0) + f '(0) ! n! n+ n ( ) n + ( ) 0 = 0 + ( 0) !! n! n+ n = ( )! ( n )! 4 n+ n Vastaus: ( )!! ( n )! n 7

21 07. a) Funktion f() = ( + ) k Taylorin polynomi kodassa = 0 asteluvulla n. f() = ( + ) k f '() = k( + ) k f ''() = k(k )( + ) k... f (n) () = k(k )(k )...(k n+)( + ) k n ( n) f ''(0) f (0) Pn ( ) = f(0) + f '(0) ! n! k k k n k k kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n = + k !! n! kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n = + k !! n! b) Taylorin polynomin asteluku, kun k = 6 ja vire kodassa = 0, on pienempi kuin 0 4. Funktion f() = ( + ) 6 (n + ):nnen derivaatan lauseke f (n) 6 () = (6 n+ )!( + ) n f (n + ) 5 () = (6 n)!( + ) n Taylorin polynomin vire arvolla = 0, n ( n+ ) f () t n+ Rn+ ( ) = ( a) = 0, ; a = 0;0 < t < ( n + )! ( n+ ) f () t = (0, 0) f ( t ) = (6 n )!( + t ) ( n + )! 5 n (6 n)!( + t) = 0, ( n + )! n+ ( n+ ) 5 n n+ R n+ 5 n (6 n)!( + t) n+ = 0, 0 < t < 0, ( n + )! 5 n (6 n)!( + 0) < 0, ( n + )! (6 n)! = 0, ( n + )! n+ n+ Edon mukaan R n+ < 0 (6 n)! 0, < 0 ( n + )! 4 n+ 4 Taulukoidaan lausekkeen (6 n)! 0, ( n + )! n+ arvoja, kun n kasvaa. 7

22 n n n+ (6 )! 0, ( n + )! 0, , , , Huomataan, että kun asteluku n on, on vire pienempi kuin 0 4. kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n Vastaus: a) + k b)!! n! asteluku n on väintään. Harjoituskoe 4. a) Suoritetaan jakolasku ( + ):( + ) jakokulmassa ± ± 4 4 Vastaus jakoytälönä ( + ) = ( )( + ) + 4 b) Funktio f( ) = lauseke ensimmäisen asteen tekijöiin. Nollakodat f( ) = = 0 Määritetään madolliset rationaalijuuret Luvun a 0 = 5 kaikki tekijät: ±, ± 5 Luvun a n = kaikki tekijät: ±, ± b0 Madolliset rationaalijuuret b sievennettynä 5 ±, ± 5, ±, ± n Kokeillaan = : 5 + 5= 5 + 5= 0 Koska = toteuttaa ytälön, niin se on ytälön juuri ja polynomi jaollinen binomilla. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa on 74

23 ± ± ± Ytälön ratkaisu eli polynomin nollakodat 5 + 5= 0 ( )( 5) = 0 = 0 tai 5 = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 5) = = 64 = = = = 6 Funktion jako tekijöiin on f( ) = ( + )( )( 5). Vastaus: a) 4 ( ) ( )( ) 4 + = + + b) f( ) = ( + )( )( 5). a) Ytälö = ln + ln = 0 Tutkitaan funktiota f( ) = + ln, > 0 Funktio f( ) = + ln on jatkuva, kun > 0. f () = + ln = > 0 f (9) = 9 + ln 9 = + ln 9 > 0 Koska funktion arvot välin [,9] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ], 9 [ ainakin yksi nollakota. Funktio Derivaatta f () = f( ) = + ln = + ln on derivoituva, kun > 0. ) + + = + = > 0, kun > 0. 75

24 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f( ) = + ln on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f( ) = + ln on täsmälleen yksi nollakota, joten ytälöllä = ln on täsmälleen yksi juuri. b) Ratkaistaan ytälö + ln = 0 Tutkitaan funktiota f( ) = + ln + Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) n + ln n n+ = n = n f '( n ) n + n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = n n n + 0, ,874907,874907,87796,87796,87767,87767,87767 Likiarvojen jono suppenee koti lukua,87767, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on =,88. Newtonin menetelmässä määrätään funktion kuvaajalle tangentti alkuarvon osoittamaan kotaan. Tämän jälkeen lasketaan tangentin ja akselin leikkauspiste, jota käytetään uutena alkuarvona. Tätä toistetaan kunnes nollakota on saatu määrättyä vaadittavalla tarkkuudella. Vastaus: Ytälön juuri on,88.. Funktio f( ) = Muuttujan arvo =,45 Pyöristetty arvo,5 Absoluuttinen vire,45,5 = 0,04875 < 0,0, 45,5 Suteellinen vire = 0,009...,%, 45 Vastaus: Absoluuttinen vire on 0,0 ja suteellinen vire, %. 76

25 4. Kappaleen putoamista tutkittaessa saatiin seuraavanlaiset tulokset: Aika (s) Matka (m) 0 0 0, 0,6 0, 0, 0, 0,40 0,4 0,80 0,5, a) Piirretään koordinaatistoon kuvaaja matka ajan funktiona.,4, matka (m) 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,6 aika (s) Määritetään taulukon avulla. asteen malli riippuvuuden välille. Toisen asteen polynomifunktio y = a + b + c Kuvaaja kulkee pisteiden (0,0), (0,; 0,) ja (0,4; 0,80) kautta. 0= a 0 + b 0+ c 0, = a 0, + b 0, + c 0,8 = a 0, 4 + b 0, 4 + c 0 = c 0, = 0,04a+ 0, b+ c 0,8 = 0,6a+ 0, 4b+ c Sijoitetaan ylimmän ytälön c = 0 muiin ytälöiin. 0,04a+ 0, b = 0, 0,6a+ 0, 4b = 0,8 Ylemmästä ytälöstä saadaan a = 5,5 5b. Sijoitetaan alempaan ytälöön. 0,6(5,5 5b) + 0,4b = 0,8 0,4b = 0,04 :( 0,4) b = 0, Lasketaan a: a = 5,5 5b = 5,5 5 0, = 4,75 Toisen asteen malli riippuvuuden välille on y = 4,75 + 0, b) Hetkellinen nopeus y () = 9,5 + 0, Hetkellinen nopeus, kun aikaa on kulunut alusta 0,0 s: y (0,0) = 9,5 0, + 0, =,05 Nopeus graafisesti 77

26 y,, y = 4,75 + 0, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, y =,05 0,0475 0, 0,05 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,5 0,4 0,45 0,5 0,55 Tangentti kulkee pisteiden (0,05; 0) ja (0,5; 0,48) kautta. 0, 48 0 Nopeus on tangentin kulmakerroin k t =, 0,5 0, 45 Vastaus: a) Toisen asteen malli on y = 4,75 + 0,. b) Nopeus on, m/s. 5. Lasketaan Taylorin polynomia käyttäen luvun e kaksidesimaalinen likiarvo. Funktio f() = e Taylorin polynomi kodassa = a f() = f(a) + f (a)( a) +! f (a) ( a) +! f (a) ( a) + Derivaatat ja termit kodassa = 0 n Derivaatta Arvo f() = e f (0) = e 0 = f () = e f (0) = f () = e f (0) = 4 f () = e f (0) = 5 f (4) () = e f (4) (0) = Taylorin polynomi, kun a = 0 f() = f(0) + f (0)( 0) +! f (0) ( 0) +! f (0) ( 0) + 4! f (4) ( 0)( 0) 4 + = f(0) + f (0) +! f (0) +! f (0) + 4! f (4) ( 0) 4 + = + +! +! + 4!

27 Funktion arvo, kun = e = f() = + +! +! + 4! 4 + Taulukoidaan arvoja Termi Arvo 0, 4 0, , , , , , , Termien summa 7, Vastaus: Kaksidesimaalinen likiarvo on 7,9. 6. a) Jodetaan Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( ) = 0 0 f '( 0 ). Oletetaan, että funktio f on jatkuva ja derivoituva nollakodan läeisyydessä. Määritettäessä funktion f nollakotaa Newtonin menetelmällä aloitetaan läellä nollakotaa olevasta alkuarvosta = 0. Määritetään tään kotaan käyrälle y = f() tangentti ja lasketaan tangentin ja -akselin leikkauspiste =. Valitaan tämä uudeksi alkukodaksi ja määritetään käyrälle y = f() tään kotaan tangentti, jonka leikkauspiste -akselin kanssa lasketaan. Näin jatkamalla saadaan funktion nollakodan likiarvo yvin nopeasti laskettua. Newtonin menetelmässä on tärkeää, että iteroinnin alkuarvo on riittävän läellä nollakotaa. Varsinkin jaksollisten funktioiden tapauksessa voi käydä niin, että aluttua nollakotaa ei löydetä vaan päädytään joonkin muuun nollakotaan. 79

28 y y = f() 0 Määritetään funktion f() nollakota. Valitaan kota = 0. Käyrän y = f() kotaan = 0 piirretyn tangentin ytälö y y 0 = k t ( 0 ) y 0 = f( 0 ), k t = f ( 0 ) y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) y = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y = 0 tangentin ytälöön. y = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) y = 0 f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) = 0 f ( 0 )( 0 ) = f( 0 ) : f ( 0 ) 0 f( 0 ) 0 = f '( 0 ) f ( 0 ) = 0 f '( 0 ) Valitaan saatu kota uudeksi alkukodaksi 0 ja toistetaan edellä olevat toimenpiteet. f( 0 ) Tällä tavalla saadaan aina seuraava nollakodan likiarvo kaavalla = 0 f '( ). b) Määritä Newtonin menetelmää käyttäen funktion f( ) = ln+ e nollakota neljän desimaalin tarkkuudella. Funktio f( ) = ln+ e Derivaatta f () = e + + e = Newtonin menetelmän iteroimiskaava n f( n) lnn + e n+ = n = n f '( ) n n e n + n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = 0 80

29 n n n + 0, , , , , , , , , , , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua 0,698744, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on = 0,699. Vastaus: Nollakota on 0, Funktio f ( ) = + e Derivaatta keskeisdifferenssiä käyttäen kolmen desimaalin tarkkuudella Funktio f() = + Kota 0 = Keskeisdifferenssi f( 0 + ) f( 0 ) ( + ) + e ( ) + e f '( 0 ) K( ) = = Taulukoidaan arvot K() 0,, ,0, ,00, ,000,89687 Vastaus: Taulukosta nädään, että likiarvo on,896. ( + ) ( ) 8. Pinta-ala Simpsonin säännöllä käyttäen neljää jakoväliä. Simpsonin säännöllä Funktio f( ) = Nollakodat f() = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = ± Kuvaaja 8

30 y 4 f() = Jakovälit n = 4 0 Jakovälin pituus = = 4 4 Pinta-ala välillä [,0] f() = 0 4 0,85 0,75 4 0, A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = 4 ( ,85 + 0, , ) = 0, 5 Symmetrian perusteella ala on 0,5 = 0,5 Vastaus: Ala on 0,5. 8

31 Harjoituskoe. Funktio f() = ln( + ) Taylorin polynomi f() = f(a) + f (a)( a) +! f (a) ( a) +! f (a) ( a) + 4! f (4) (a)( a) 4 + Derivaatat ja termit kodassa = 0 n Derivaatta Arvo Termi f() = ln( + ) f (0) = ln(0 + ) = 0 0 f () = = ( + ) f (0) = + 0+ = f () = ( + ) = f (0) = ( + ) (0 + ) = 4 f () = ( + ) = f (0) = = ( + ) (0 + ) 5 f (4) 4 6 () = 6( + ) = f (4) 6 (0) = = ( + ) (0 + ) 4 Vastaus: Taylorin polynomin viisi ensimmäistä termiä kodassa = 0 ovat 0,,, ja a) Luvut a =,6 ± 0,00 ja b =, ± 0,. Lausekkeen a + b arvo a + b =,6 +, = 4,6 Lausekkeen a + b pienin arvo a + b =,59 +,8 =,959 Vire 4,6,959 = 0,0 Lausekkeen a + b suurin arvo a + b =,6 +,4 = 4,56 Vire 4,56 4,6 = 0,0 Lausekkeen a + b arvo virerajoineen a + b = 4, ± 0, Lausekkeen ab arvo ab =,6, = 4,58 Lausekkeen ab pienin arvo ab =,59,8 =,886 Vire 4,58,886 = 0,659 Lausekkeen ab suurin arvo ab =,6,4 = 5,9 Vire 5,9 4,58 = 0,65 Lausekkeen ab arvo virerajoineen ab = 4,5 ± 0,7 b) Funktio + f( ) = 8

32 Suteellinen vire 5 +,+ f ( 5) f (,) 5, = = 0, ,% f ( 5) Vastaus: a) a + b = 4, ± 0, ja ab = 4,5 ± 0,7 b), %. Jaetaan polynomi jaetaan trinomilla + jakokulmassa ± ± Vastaus: Jakojäännös on ± ± ± 6 6± Ytälö = 0 Vakiotermin 6 tekijät ±, ±, ±, ±6 Korkeimman asteen termin tekijät ± Madolliset rationaalilukunollakodat ±, ±, ±, ±6 Sijoittamalla =, saadaan = 0, joten on polynomin f() tekijä. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± 5 5 ± ± 6 0 Ratkaistaan nollakodat = 0 ( )( ) = 0 = 0 tai = 0 = + 84

33 ± = 5 = = 5+ = = Vastaus: Juuret ovat, ja. ln 5. Funktio f() = Kota 0 = f( 0 + ) f( 0 ) ( + ) ( ) Keskeisdifferenssi f '( 0 ) K( ) = = Taulukoidaan arvot K(), ,0000, , , , Vastaus: Taulukossa ln( + ) ln( ) 6. Käyrä y = + 4 Käyrän ja ja -akselin leikkauspisteet y = = 0 ( + 4) = 0 = 0 tai = 4 Käyrän ja ja -akselin väliin jäävän alueen alan likiarvo Simpsonin säännön avulla jakamalla väli kadeksaan osaan. Pinta-ala A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] n Välin leveys = = = 0,5 n 8 Taulukoidaan arvot. f() Summan termit 0,0 0,00 0,00 0,5,75 7,00,0,00 6,00,5,75 5,00,0 4,00 8,00,5,75 5,00,0,00 6,00,5,75 7,00 4,0 0,00 0,00 Yteensä 64 85

34 Pinta-ala 0,5 A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = 64 0,7 Vastaus: Pinta-ala on 0,7. 7. Osoitetaan, että ytälöllä + = on täsmälleen yksi juuri. Ytälö + = + = 0 Tutkitaan funktiota f() = + on täsmälleen yksi nollakota. Funktio f() = + on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f(0) = = < 0 f() = + = > 0 Koska funktion arvot välin [0,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ]0,[ ainakin yksi nollakota. Funktio f() = + on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () = > 0 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() = + on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f() = + on täsmälleen yksi nollakota. Funktion f() = + nollakota sekanttimenetelmää käyttäen. b a Uusi välin päätepiste c = a f( a) f( b) f( a) a b c f(a) f(b) 0, , , , , , , ,66664, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Nollakota on välillä ] 0,68578; 0,68780 [, joten neljän desimaalin tarkkuudella se on = 0,68. Vastaus: Ytälön juuri on 0,68. 86

35 8. Ytälö = 0 Tutkitaan funktiota f() = f() = y Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) 0n 0n + 0n n+ = n = n f '( n ) 0n 40n + 0 Alkuarvo 0 = 0,5 Nollakota Newtonin menetelmällä n n n + 0 0, , , , , , , , , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua 0, , joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on = 0, Vastaus: Ytälön keskimmäinen juuri on 0,

36 Harjoituskoe ± ± ± Vastaus: = 0 Rymitellään ( ) ( ) = 0 ( )( ) = 0 = 0 tai = 0 = ± = Vastaus: ± tai. aika (t) matka (m),8,87,4 5,66 7,99 9,,44,8 5,9 7 4,6 9 88

37 5 0 5 y =,609 0,49 0,555 R = 0, asteen malli mopon kulkeman ajan (s) ja matkan (m) riippuvuuden välillä f() =,609 0,49 0,555 Mopon kulkema matka sekunnin kuluttua lädöstä. f() =,609 0,49 0,555,6 (m) Vastaus: f() =,609 0,49 0,555 ja,6 m 4. f() = 4 f '() = 4 f ''() = f '''() = 4 f (4) () = 4 f (5) () = 0 f( ) = ( ) 4 = f '( ) = 4 ( ) = 4 f ''( ) = ( ) = f '''( ) = 4 ( )= 4 f (4) ( ) = 4 f (5) ( ) = 0 Monomi 4 Taylorin polynomin avulla binomin + kasvavien potenssien lausekkeena. Koska 5. ja sitä suuremmat derivaatat saavat arvon nolla, riittää muodostaa 4. asteen Taylorin polynomi kodassa =. (4) f ''( ) f '''( ) f ( ) 4 P4 ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )!! 4! = 4( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )!! 4! 4 = 4( + ) + 6( + ) 4( + ) + ( + ) Vastaus: 4( + ) + 6( + ) 4( + ) + ( + ) 4 89

38 5. Luvun likiarvo viiden desimaalin tarkkuudella Newtonin menetelmää käyttäen. n+ = n n n Vastaus:,599 f ( ) n f '( ), ,,, ,68889,5995 5,5995,599 6,599,5990 7,5990,5990 n 6. Funktion f() = ( + ) derivaatan likiarvo keskeisdifferenssiä käyttäen kodassa = muutoksen arvoilla ; 0,000 0; 0, ja 0, f ( 0 + ) f( 0 ) Derivaatan likiarvo f '( 0 ) = Taulukoidaan derivaatan likiarvoja. d f () 0, , , , , , , , Käyrän y = + ja -akselin väliin välillä [0,4] jäävän alueen alan likiarvo Simpsonin säännön avulla, kun n = 8. f() = + n = = = 8 f() = + 0 0,5,06066,444,5,0965,5 4, ,950,5 6,68 4 8,

39 A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = ( + 4, , , , , , , 0658),9887 Likiarvon suteellinen vire, kun tietokoneella saatu tulos on,989., 989,9887 0, 0 %, 989 Vastaus:,9887 ja 0,0 % 8. ) f() = f (0) = f () = f () = 9 Koska funktio on jatkuva ja se vaitaa välillä [0,] merkkinsä kertaa, on tällä välillä väintään nollakotaa. ) f '() = 5 ln5 9 5 ln5 9 = = ln 5 9 ln = ln 5 =, ln 5 Kulkukaavio f () f (),454 min f '(0)< 0 f '() > 0 Kulkukaaviosta nädään, että funktio on aidosti väenevä, kun <,454..., joten tällä välillä on korkeintaan nollakota. Kulkukaaviosta nädään, että funktio on aidosti kasvava, kun >,454..., joten tällä välillä on korkeintaan nollakota. Kodista ) ja ) seuraa, että funktiolla f() = on tasan nollakotaa. Määritetään pienemmän nollakodan likiarvo sekanttimenetelmää käyttäen kaden desimaalin tarkkuudella. 9

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

Schildtin lukio

Schildtin lukio MAA1.9.15 Scildtin lukio LIKIARVO MUISTA: tavallisesti matematiikassa pyritään aina tarkkoiin arvoiin! Kuitenkin esim. mittaustulokset ovat aina likiarvoja. o Luvun katkaiseminen: näin tekevät mm. jotkut

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut

Harjoitustehtävien ratkaisut Johdatus numeerisiin menetelmiin Harjoitustehtäviä. Esitä luvun 7 8 a) tarkka arvo desimaalilukuna b) kolmidesimaalinen likiarvo c) nolladesimaalinen likiarvo d) Likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Numeerinen integrointi ja derivointi

Numeerinen integrointi ja derivointi Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion

Lisätiedot

Yhden muuttujan funktion minimointi

Yhden muuttujan funktion minimointi Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa:

Materiaalia, ohjeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tarjottavasta koulutuksesta osoitteessa: Kevään 06 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspie CAS -atkaisut Nämä atkaisut tety alusta loppuun TI-Nspie CX CAS -ojelmistolla ja tallennettu lopuksi PDF -muotoon. Takoituksena on avainnollistaa, miten

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot