jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "jakokulmassa x 4 x 8 x 3x"

Transkriptio

1 Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± ± 4 4 ± 4 4 ± ± ± 6 Vastaus: Vastaus jakoytälönä on = ( )

2 74. Jaetaan polynomi 5 binomilla ± ± ± Vastaus: Jakojäännös on Jaetaan polynomi 4 binomilla ± ± 4 4 ± ± Vastaus: Jakojäännös on

3 76. Polynomin 4 f( ) = + jako tekijöiin [ ] f( ) = + = ( ) = ( )( + ) = ( ) ( + ) 4 Polynomin nollakodat f( ) = 0 ( ) ( + ) = 0 = 0 tai + = 0 = = Vastaus: Polynomin nollakodat ovat = ja =. Polynomin jako tekijöiin on f( ) = ( ) ( + ). 77. Polynomi f Nollakodat f( ) = = 0 ( ) = Määritetään madolliset rationaalijuuret Luvun a 0 = 6 kaikki tekijät: ±, ±, ±, ± 6 Luvun a n = kaikki tekijät: ±, ± b0 Madolliset rationaalijuuret sievennettynä ±, ±, ±, ± 6, ±, ± bn Kokeillaan = : + 4 6= + 4 6= = : = + + = 4 4 Koska = toteuttaa ytälön, niin se on ytälön juuri ja polynomi + on jaollinen binomilla +, joka voidaan saattaa muotoon +. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± ± Ytälön ratkaisu eli polynomin nollakodat 55

4 + 4 6= 0 (+ )( ) = 0 + = 0 tai = 0 = = =± Vastaus: Polynomin jako tekijöiin on f( ) = (+ )( + )( ).. Jatkuvuuslauseita 78. Funktio f() = + on jatkuva välillä ja derivoituva välillä < <. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. Välin päätepisteet Funktion f() = + arvot välin päätepisteissä. f( ) = ( ) ( ) + = f() = + = Derivaatan nollakodat Funktio f() = + Derivaatta f () = 6 6 Derivaatan nollakodat f () = = 0 6( ) = 0 6 = 0 tai = 0 = 0 = Välin päätepiste Funktion f() = + arvot derivaatan nollakodissa f(0) = = Vastaus: Funktion suurin arvo välillä on ja pienin Funktio f( ) =,, on jatkuva välillä [0, 5] ja derivoituva välillä ] [ + 0,5. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. 56

5 Välin päätepisteet + Funktion f( ) = arvot välin päätepisteissä f (0) = = f (5) = = 4 5+ Derivaatan nollakodat + Funktio f( ) = + ( + ) ( + ) + Derivaatta f () = = ( + ) ( + ) Derivaatan nollakodat f () = = ( + ) + = 0 ± 4 ( ) = 6 = = Ei Käy + 6 = = + + Funktion f() = f( ) = arvo derivaatan nollakodassa f () = = + + Vastaus: Funktion suurin arvo välillä [0,5] on 4 ja pienin. 80. Funktio f( ) = + + ( + ) ( + ) Derivaatta f () = = ( + ) ( + ) Tutkitaan funktiota g ( ) =.Funktio g ( ) = on jatkuva välillä [0, 9] ja ( + ) ( + ) derivoituva välillä ] [ 0,9. Nimittäjän nollakota on =. Suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Koska funktio f on derivoituva, suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakodissa. 57

6 Välin päätepisteet Funktion g ( ) = arvot välin päätepisteissä ( + ) g(0) = = (0 + ) g(9) = = (9 + ) 50 Derivaatan nollakodat Funktio g ( ) = = ( + ) ( + ) 4 Derivaatta g () = ( )( + ) = ( + ) Derivaatan nollakodat f () = 0 4 = 0 ( + ) 4= 0 Ei nollakotia Vastaus: Funktion derivaatan suurin arvo välillä [0,9] on ja pienin a)ytälö tan = + tan = 0 π π π Tutkitaan funktiota f() = tan, + n π eli + n 6 π Funktiolla on välillä [0,] kota = 0, , jossa sitä ei ole määritelty. 6 Derivaatta f () = 0, joten funktio f() on kasvava. cos f(0) = tan 0 0 = < 0 f(0,5) = tan ( 0,5) 0,5 =,6 > 0 Koska funktio on jatkuva ja funktion arvot välin [0; 0,5] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on nollakota välillä ]0; 0,5[. Tämä väli sisältyy väliin [0,], joten ytälöllä on ratkaisu välillä [0,]. b) Ytälö ln = e 00 ln e + 00 = 0 Tutkitaan funktiota f() = ln e + 00 Funktio on jatkuva ja derivoituva, kun > 0. Derivaatta f () = e = e 58

7 Derivaatan nollakodat f () = 0 e = 0 = e e = e = 0 Nollakotien ratkaisu ei onnistu analyyttisesti. 0,00 0,00 Koska f (0,00) = e = 000 e > 0 ja f () = e = e < 0, 0,00 derivaatalla on välillä ] 0, [ ainakin yksi nollakota. Tutkitaan derivaattafunktion f () = e = e kulkua. Derivaatan derivaatta f () = e = 9e < 0, sillä > 0 ja e > 0, kun > 0. Täten derivaatta f () on aidosti väenevä, joten sillä on korkeintaan yksi nollakota välillä 0,. ] [ Kotien ja perusteella derivaatalla on täsmälleen yksi nollakota välillä ] 0, [. Koska derivaatta saa aluksi positiivisia arvoja ja sitten negatiivisia arvoja, on itse funktio aluksi kasvava ja sitten väenevä. Lasketaan funktion arvoja f 0 = ln 0 e + 00 = ln0 e = 000 ln0 e < 0 f() = ln e > Koska funktio on jatkuva ja funktion arvot välin 0, päätepisteissä ovat 000 erimerkkiset, funktiolla on nollakota välillä 0,. Tämä väli sisältyy väliin [0,], joten ytälöllä on ratkaisu välillä [0,]. Vastaus: Ytälöllä a) on juuri b) on juuri välillä [0,]. 8. Osoitetaan, että funktiolla f() = ln on ainakin yksi nollakota. Funktio f() = ln on jatkuva, kun > 0. f() = ln = < 0 f(0) = 0 ln 0 5,69 > 0 Koska funktion arvot välin [;5,69] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ] ; 5, 69 [ ainakin yksi nollakota. 59

8 8. Osoitetaan, että funktiolla f() = on täsmälleen yksi nollakota. Funktio f() = on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f(0) = = 8 > 0 f( ) = 5 ( ) + ( ) + 8 = 8 < 0 Koska funktion arvot välin [,0] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon,0 ainakin yksi nollakota. lauseen perusteella välillä ] [ Funktio f() = on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () = > 0 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() = on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f() = on täsmälleen yksi nollakota.. Absoluuttinen ja suteellinen vire 84. Lukujen a ja b likiarvojen a, ja b,789 summan ja erotuksen osamäärä a+ b, +, 789 = = 4, , a b,,789 Vastaus: Lukujen summan ja erotuksen osamäärä on 4,. 85. Luvun 7 = asemasta käytetään likiarvoa 0, ,0 a) Luvun suteellinen vire = 0,4... 4% ,0 7 0, 0 b) Lausekkeen suteellinen vire Vastaus: Suteellinen vire on a) 4 % b) 5 %. = 0, % 60

9 86. Määritä tulon ab suteellinen vire, kun Luvut a =,4 ± 0, ja b = 0,7 ± 0, Δ( ab) Δa Δb 0, 0, Tulon ab suteellinen vire + + 0,57... < 6% ab a b, 4 0, 7 Vastaus: Tulon ab suteellinen vire 6 %. 4. Funktion nollakotien ratkaiseminen numeerisesti 87. Funktion f() = ln nollakota puolitusmenetelmällä f() Nollakota välillä, ,00000, ,695 ], [,50000,0945 ], 5; [, ,6908 ], 75; [, ,006 ], 75;,875 [,850 0,479 ], 85;,875 [,8475 0,6945 ],8475;,875[,8598 0,0888 ],8598;,875[,8679 0,096 ],8679;,875[ Nollakota on välillä ],8679;,875 [, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on =,87. Vastaus: Nollakota on, Ytälö = = 0 Tutkitaan funktiota f() = Funktion yksi nollakota on = 0. Funktion f() = nollakota sekanttimenetelmää käyttäen. b a Uusi välin päätepiste c = a f( a) f( b) f( a) a b c f(a) f(b), , ,0854, ,4456, ,0854,576 0,4456 0,70060,0854,576,077 0, , ,576,077, , , ,077,46666, , , ,46666,47804, , ,000000,47804,47796, , ,

10 Nollakota on välillä ], 47804;, 47796[, joten viiden desimaalin tarkkuudella se on =,47. Vastaus: Ytälön ratkaisu on, a) Funktio f() = 5 Kiintopisteet f() = 5 = 6 = 0 ( 6) = 0 = 0 tai = 6 b) Funktio g() = Kiintopisteet g() = = = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = = ± Vastaus: Funktion kiintopisteet ovat a) 0 ja 6 b), 0 ja. 90. Funktio f() = e Kiintopisteet f() = 0 e = 0 = e Iterointifunktio g() = e Alkuarvo 0 = 4 Nollakota kiintopistemenetelmällä n n f( n ) 0 4, ,986846,986846,949965,949965,94766,94766, , , ,94756, ,947509, , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua, , joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on =,9475. Vastaus: Nollakota on,

11 9. Funktio f() = ln = ( ) ln Derivaatta f () = ( ) = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n ) n ln n+ = n = n f '( ) n Alkuarvo 0 = Nollakota Newtonin menetelmällä n n n n n n + 0, ,59677,59677,758986,758986,799559,799559, ,799556, Likiarvojen jono suppenee koti lukua,799556, joten viiden desimaalin tarkkuudella se on =,7996. Vastaus: Nollakota on, Ytälö 7 = + 7 = 0 Tutkitaan funktiota f() = 7 Derivaatta f () = 7 6 Newtonin menetelmän iteroimiskaava 7 f( n) n n n+ = n = n 6 f '( n ) 7n n Alkuarvo 0 = Nollakota Newtonin menetelmällä n n n + 0, , , ,68705,68705, , ,9578 4,9578, ,90905, ,908988,

12 Likiarvojen jono suppenee koti lukua,908988, joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on =,9090. Vastaus: Ytälön juuri on, Luku = 4 on ytälön = 4 eli 4 = 0 ratkaisu. Funktio f() = 4 Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) n 4 n+ = n = n f '( n ) n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = n n n + 0, , , , , ,59,59, , , , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua, , joten seitsemän desimaalin tarkkuudella se on =, Vastaus: Luvun 4 likiarvo seitsemän desimaalin tarkkuudella on, Numeerinen derivointi 94. Funktio f() = Kota 0 = 4 e ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e Etenevää erotusosamäärä f '( 0 ) E+ ( ) = = f( 0) f( 0 ) e e Takeneva erotusosamäärä f '( 0 ) E ( ) = = Taulukoidaan arvot E + () E () 0, 6, , ,0, , ,00 0,9886 0,8576 0,000 0, , ,0000 0, , Vastaus: Taulukossa 64 ( )

13 95. Funktio f() = ln (sin ) Kota 0 = Etenevää erotusosamäärä Takeneva erotusosamäärä Taulukoidaan arvot ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e f '( 0 ) E+ ( ) = = f '( ) E ( ) 0 f( ) f( ) e e 0 0 = = ( ) E + () Vire E () Vire 0, 0, , , , ,00 0, , , , ,0000 0, , , , , , , , , Vastaus: Taulukossa 96. Funktio f() = Kota 0 = Keskeisdifferenssi Taulukoidaan arvot f '( ) K( ) = = + f( + ) f( ) ( + ) ( ) Vastaus: Taulukossa e 97. Funktio f() = ln Kota 0 = K() 0, 0, ,0 0, ,00 0, ,000 0, ,0000 0, ( + ) f( 0 + ) f( 0) e e Etenevää erotusosamäärä f '( 0 ) E+ ( ) = = f( 0) f( 0 ) e e Takeneva erotusosamäärä f '( 0 ) E ( ) = = f ( 0 + ) f( 0 ) Keskeisdifferenssi f '( 0 ) K( ) = 65 ( )

14 Taulukoidaan arvot E + () E () K(), , , ,,76659,0886, ,0, , , ,00,746589,79505, ,000, ,74804, ,0000,75549, , Vastaus: Taulukossa a) Lauseke f( ) = Taulukoidaan likiarvot. n = + 0 n f(),,6,00, ,0000, ,000000, , b) Olkoon funktio f() = Tällöin f() = = 8 Funktio f() = on derivoituvaa Raja arvo 8 f( ) f() lim f( ) = lim = lim = f '() Funktion derivaatta f () = Derivaatan arvo f () = = Vastaus: a) Taulukossa b) Raja-arvo on lim f ( ) =. 6. Pinta-alan numeerinen määrittäminen 99. Funktion f() = kuvaajan ja -akselin rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo välillä [0,] käyttäen keskipistesääntöä, kun n = = = [ ( ) ]+ [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] 0,

15 Suteellinen vire 0, % 0,78% Vastaus: 0,67875 ja 0,78 % 00. Sekä puolisuunnikassäännön että Simpsonin säännön avulla viiden desimaalin tarkkuudella avulla käyrän y = ja -akselin rajoittaman alueen pinta-alan likiarvo välillä [0,], ja a) n = 4 b) n = 0. a) Puolisuunnikassäännöllä f() = n = 4 0 = = 4 4 f() = 0 4 0,975 0,75 4 0,475 0 A = [ f( 0) + f( ) f( n ) + f( n)] = ( + 0, , , ) 4 =0,6565 Simpsonin säännöllä f() = n = 4 0 = =

16 f() = 0 4 0,975 0,75 4 0,475 0 A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = 4 ( + 4 0, , , ) = 0, b) f() = n = 0 0 = = 0 0 f() = Puolisuunnikassääntö Simpsonin sääntö 0, , 0, , ,99 0, 0, , ,96 0, 0,9000 0, ,9 0,4 0, , ,84 0,5 0, , ,75 0,6 0, , ,64 0,7 0,5000 0, ,5 0,8 0,6000 0,6000 0,6 0,9 0,9000 0, ,9,0 0, yt. 6, ,0000 Puolisuunnikassäännöllä A = 6,65000=0,

17 Simpsonin säännöllä A = 0 0,0 = 0,66667 Huomataan, että Simpsonin säännöllä saadaan tarkka arvo. Vastaus: a) Puolisuunnikassäännöllä 0,6565 ja Simpsonin säännöllä 0,66667 b) Puolisuunnikassäännöllä 0,66500 ja Simpsonin säännöllä 0, Funktion f() = 0, (,5 )( e 8( ) ) kuvaajan ja -akselin rajoittaman alueen pintaalan likiarvo välillä [0,] käyttäen puolisuunnikassääntöä. n = 5 0 = = 5 5 f() = 0, (,5 )( e 8( ) ) 0 0 5, , , , A= [ f( 0) + f( ) f( n ) + f( n)] = ( 0 +, , ,80+ 0, ) 5 0,6999 Vastaus: 0, Käyrän y = + e ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-alan likiarvo, kun ja n = 4. Puolisuunnikassäännöllä f() = + e n = 4 69

18 ( ) = = 0,75 4 f() = + e -,788-0,5,684 0,5 0,75,5,96 8,55 A= [ f( 0) + f( ) f( n ) + f( n)] = 0, 75 (, 788 +, , 75+, ,55) 6, Likiarvon suteellinen vire verrattuna tietokoneella saatuun arvoon 6,. 6, , 8, 6% 6, Simpsonin säännöllä A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] 0,75 = (, , ,75 + 4,96 + 8,55) 6,700 Likiarvon suteellinen vire verrattuna tietokoneella saatuun arvoon 6,. 6, 700 6, 0,066% 6, Vastaus: 6, (vire 8,6 %) ja 6,700 (vire 0,066 %) 7. Approksimointi 0. Funktion f() = f() = f () = 6 f () = 4, kodassa = Taylorin polynomi asteluvulla ja n. 70

19 4! f () = 5 f (n) ( )! () = ( ) n n + n + f ''( ) f '''( ) P ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) + ( + )!! 6 4! = ( + ) + ( + ) ( + ) 4 5 ( )!( )!( ) = + ( + ) + ( + ) + 4( + ) Funktion f() n. asteen Taylorin polynomi kodassa = f ''( ) f ( ) n Pn ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) ( + )! n! 6 4! ( n + )! = ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) 4 5 n+ ( )!( )!( ) n!( ) = + ( + ) + ( + ) + 4( + ) ( n+ )( + ) Vastaus: + (+) + (+) + 4 (+) ja + (+) + (+) + 4 (+) (n + ) (+) n n ( n) n 04. Funktion f() = +, kodassa = 0 Taylorin polynomi asteluvulla. f() = + f () = + f () = (+ ) f () = 5 (+ ) f ''(0) f '''(0) P ( ) = f(0) + f '(0) + +!! = !! = + + Vastaus: + + 7

20 05. Funktion f() = f() = f () = ( ) f () = 4 ( ) f () = ( ) 7 f ''(0) f '''(0) P ( ) = f(0) + f '(0) + +!! 5 = + + +! 4! 8 5 = Vastaus: , kodassa = 0 Taylorin polynomi asteluvulla. 06. Funktion f() = e Taylorin polynomi kodassa = 0 asteluvulla n. f() = e f () = e e f () = e (e e ) = e + e f () = e + e e = e e f (4) () = e (e e ) = 4e + e f (n) () = n + n ( ) ne + ( ) e Funktion f() n. asteen Taylorin polynomi kodassa = 0 ( n) f ''(0) f (0) n Pn ( ) = f(0) + f '(0) ! n! n+ n ( ) n + ( ) 0 = 0 + ( 0) !! n! n+ n = ( )! ( n )! 4 n+ n Vastaus: ( )!! ( n )! n 7

21 07. a) Funktion f() = ( + ) k Taylorin polynomi kodassa = 0 asteluvulla n. f() = ( + ) k f '() = k( + ) k f ''() = k(k )( + ) k... f (n) () = k(k )(k )...(k n+)( + ) k n ( n) f ''(0) f (0) Pn ( ) = f(0) + f '(0) ! n! k k k n k k kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n = + k !! n! kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n = + k !! n! b) Taylorin polynomin asteluku, kun k = 6 ja vire kodassa = 0, on pienempi kuin 0 4. Funktion f() = ( + ) 6 (n + ):nnen derivaatan lauseke f (n) 6 () = (6 n+ )!( + ) n f (n + ) 5 () = (6 n)!( + ) n Taylorin polynomin vire arvolla = 0, n ( n+ ) f () t n+ Rn+ ( ) = ( a) = 0, ; a = 0;0 < t < ( n + )! ( n+ ) f () t = (0, 0) f ( t ) = (6 n )!( + t ) ( n + )! 5 n (6 n)!( + t) = 0, ( n + )! n+ ( n+ ) 5 n n+ R n+ 5 n (6 n)!( + t) n+ = 0, 0 < t < 0, ( n + )! 5 n (6 n)!( + 0) < 0, ( n + )! (6 n)! = 0, ( n + )! n+ n+ Edon mukaan R n+ < 0 (6 n)! 0, < 0 ( n + )! 4 n+ 4 Taulukoidaan lausekkeen (6 n)! 0, ( n + )! n+ arvoja, kun n kasvaa. 7

22 n n n+ (6 )! 0, ( n + )! 0, , , , Huomataan, että kun asteluku n on, on vire pienempi kuin 0 4. kk ( ) kk ( )( k ) kk ( )( k )...( k n+ ) n Vastaus: a) + k b)!! n! asteluku n on väintään. Harjoituskoe 4. a) Suoritetaan jakolasku ( + ):( + ) jakokulmassa ± ± 4 4 Vastaus jakoytälönä ( + ) = ( )( + ) + 4 b) Funktio f( ) = lauseke ensimmäisen asteen tekijöiin. Nollakodat f( ) = = 0 Määritetään madolliset rationaalijuuret Luvun a 0 = 5 kaikki tekijät: ±, ± 5 Luvun a n = kaikki tekijät: ±, ± b0 Madolliset rationaalijuuret b sievennettynä 5 ±, ± 5, ±, ± n Kokeillaan = : 5 + 5= 5 + 5= 0 Koska = toteuttaa ytälön, niin se on ytälön juuri ja polynomi jaollinen binomilla. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa on 74

23 ± ± ± Ytälön ratkaisu eli polynomin nollakodat 5 + 5= 0 ( )( 5) = 0 = 0 tai 5 = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 5) = = 64 = = = = 6 Funktion jako tekijöiin on f( ) = ( + )( )( 5). Vastaus: a) 4 ( ) ( )( ) 4 + = + + b) f( ) = ( + )( )( 5). a) Ytälö = ln + ln = 0 Tutkitaan funktiota f( ) = + ln, > 0 Funktio f( ) = + ln on jatkuva, kun > 0. f () = + ln = > 0 f (9) = 9 + ln 9 = + ln 9 > 0 Koska funktion arvot välin [,9] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ], 9 [ ainakin yksi nollakota. Funktio Derivaatta f () = f( ) = + ln = + ln on derivoituva, kun > 0. ) + + = + = > 0, kun > 0. 75

24 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f( ) = + ln on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f( ) = + ln on täsmälleen yksi nollakota, joten ytälöllä = ln on täsmälleen yksi juuri. b) Ratkaistaan ytälö + ln = 0 Tutkitaan funktiota f( ) = + ln + Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) n + ln n n+ = n = n f '( n ) n + n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = n n n + 0, ,874907,874907,87796,87796,87767,87767,87767 Likiarvojen jono suppenee koti lukua,87767, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on =,88. Newtonin menetelmässä määrätään funktion kuvaajalle tangentti alkuarvon osoittamaan kotaan. Tämän jälkeen lasketaan tangentin ja akselin leikkauspiste, jota käytetään uutena alkuarvona. Tätä toistetaan kunnes nollakota on saatu määrättyä vaadittavalla tarkkuudella. Vastaus: Ytälön juuri on,88.. Funktio f( ) = Muuttujan arvo =,45 Pyöristetty arvo,5 Absoluuttinen vire,45,5 = 0,04875 < 0,0, 45,5 Suteellinen vire = 0,009...,%, 45 Vastaus: Absoluuttinen vire on 0,0 ja suteellinen vire, %. 76

25 4. Kappaleen putoamista tutkittaessa saatiin seuraavanlaiset tulokset: Aika (s) Matka (m) 0 0 0, 0,6 0, 0, 0, 0,40 0,4 0,80 0,5, a) Piirretään koordinaatistoon kuvaaja matka ajan funktiona.,4, matka (m) 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,6 aika (s) Määritetään taulukon avulla. asteen malli riippuvuuden välille. Toisen asteen polynomifunktio y = a + b + c Kuvaaja kulkee pisteiden (0,0), (0,; 0,) ja (0,4; 0,80) kautta. 0= a 0 + b 0+ c 0, = a 0, + b 0, + c 0,8 = a 0, 4 + b 0, 4 + c 0 = c 0, = 0,04a+ 0, b+ c 0,8 = 0,6a+ 0, 4b+ c Sijoitetaan ylimmän ytälön c = 0 muiin ytälöiin. 0,04a+ 0, b = 0, 0,6a+ 0, 4b = 0,8 Ylemmästä ytälöstä saadaan a = 5,5 5b. Sijoitetaan alempaan ytälöön. 0,6(5,5 5b) + 0,4b = 0,8 0,4b = 0,04 :( 0,4) b = 0, Lasketaan a: a = 5,5 5b = 5,5 5 0, = 4,75 Toisen asteen malli riippuvuuden välille on y = 4,75 + 0, b) Hetkellinen nopeus y () = 9,5 + 0, Hetkellinen nopeus, kun aikaa on kulunut alusta 0,0 s: y (0,0) = 9,5 0, + 0, =,05 Nopeus graafisesti 77

26 y,, y = 4,75 + 0, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, y =,05 0,0475 0, 0,05 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,5 0,4 0,45 0,5 0,55 Tangentti kulkee pisteiden (0,05; 0) ja (0,5; 0,48) kautta. 0, 48 0 Nopeus on tangentin kulmakerroin k t =, 0,5 0, 45 Vastaus: a) Toisen asteen malli on y = 4,75 + 0,. b) Nopeus on, m/s. 5. Lasketaan Taylorin polynomia käyttäen luvun e kaksidesimaalinen likiarvo. Funktio f() = e Taylorin polynomi kodassa = a f() = f(a) + f (a)( a) +! f (a) ( a) +! f (a) ( a) + Derivaatat ja termit kodassa = 0 n Derivaatta Arvo f() = e f (0) = e 0 = f () = e f (0) = f () = e f (0) = 4 f () = e f (0) = 5 f (4) () = e f (4) (0) = Taylorin polynomi, kun a = 0 f() = f(0) + f (0)( 0) +! f (0) ( 0) +! f (0) ( 0) + 4! f (4) ( 0)( 0) 4 + = f(0) + f (0) +! f (0) +! f (0) + 4! f (4) ( 0) 4 + = + +! +! + 4!

27 Funktion arvo, kun = e = f() = + +! +! + 4! 4 + Taulukoidaan arvoja Termi Arvo 0, 4 0, , , , , , , Termien summa 7, Vastaus: Kaksidesimaalinen likiarvo on 7,9. 6. a) Jodetaan Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( ) = 0 0 f '( 0 ). Oletetaan, että funktio f on jatkuva ja derivoituva nollakodan läeisyydessä. Määritettäessä funktion f nollakotaa Newtonin menetelmällä aloitetaan läellä nollakotaa olevasta alkuarvosta = 0. Määritetään tään kotaan käyrälle y = f() tangentti ja lasketaan tangentin ja -akselin leikkauspiste =. Valitaan tämä uudeksi alkukodaksi ja määritetään käyrälle y = f() tään kotaan tangentti, jonka leikkauspiste -akselin kanssa lasketaan. Näin jatkamalla saadaan funktion nollakodan likiarvo yvin nopeasti laskettua. Newtonin menetelmässä on tärkeää, että iteroinnin alkuarvo on riittävän läellä nollakotaa. Varsinkin jaksollisten funktioiden tapauksessa voi käydä niin, että aluttua nollakotaa ei löydetä vaan päädytään joonkin muuun nollakotaan. 79

28 y y = f() 0 Määritetään funktion f() nollakota. Valitaan kota = 0. Käyrän y = f() kotaan = 0 piirretyn tangentin ytälö y y 0 = k t ( 0 ) y 0 = f( 0 ), k t = f ( 0 ) y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) y = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) Tangentin ja -akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y = 0 tangentin ytälöön. y = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) y = 0 f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) = 0 f ( 0 )( 0 ) = f( 0 ) : f ( 0 ) 0 f( 0 ) 0 = f '( 0 ) f ( 0 ) = 0 f '( 0 ) Valitaan saatu kota uudeksi alkukodaksi 0 ja toistetaan edellä olevat toimenpiteet. f( 0 ) Tällä tavalla saadaan aina seuraava nollakodan likiarvo kaavalla = 0 f '( ). b) Määritä Newtonin menetelmää käyttäen funktion f( ) = ln+ e nollakota neljän desimaalin tarkkuudella. Funktio f( ) = ln+ e Derivaatta f () = e + + e = Newtonin menetelmän iteroimiskaava n f( n) lnn + e n+ = n = n f '( ) n n e n + n Nollakota Newtonin menetelmällä Alkuarvo 0 = 0 80

29 n n n + 0, , , , , , , , , , , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua 0,698744, joten kaden desimaalin tarkkuudella se on = 0,699. Vastaus: Nollakota on 0, Funktio f ( ) = + e Derivaatta keskeisdifferenssiä käyttäen kolmen desimaalin tarkkuudella Funktio f() = + Kota 0 = Keskeisdifferenssi f( 0 + ) f( 0 ) ( + ) + e ( ) + e f '( 0 ) K( ) = = Taulukoidaan arvot K() 0,, ,0, ,00, ,000,89687 Vastaus: Taulukosta nädään, että likiarvo on,896. ( + ) ( ) 8. Pinta-ala Simpsonin säännöllä käyttäen neljää jakoväliä. Simpsonin säännöllä Funktio f( ) = Nollakodat f() = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 tai = 0 = ± Kuvaaja 8

30 y 4 f() = Jakovälit n = 4 0 Jakovälin pituus = = 4 4 Pinta-ala välillä [,0] f() = 0 4 0,85 0,75 4 0, A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = 4 ( ,85 + 0, , ) = 0, 5 Symmetrian perusteella ala on 0,5 = 0,5 Vastaus: Ala on 0,5. 8

31 Harjoituskoe. Funktio f() = ln( + ) Taylorin polynomi f() = f(a) + f (a)( a) +! f (a) ( a) +! f (a) ( a) + 4! f (4) (a)( a) 4 + Derivaatat ja termit kodassa = 0 n Derivaatta Arvo Termi f() = ln( + ) f (0) = ln(0 + ) = 0 0 f () = = ( + ) f (0) = + 0+ = f () = ( + ) = f (0) = ( + ) (0 + ) = 4 f () = ( + ) = f (0) = = ( + ) (0 + ) 5 f (4) 4 6 () = 6( + ) = f (4) 6 (0) = = ( + ) (0 + ) 4 Vastaus: Taylorin polynomin viisi ensimmäistä termiä kodassa = 0 ovat 0,,, ja a) Luvut a =,6 ± 0,00 ja b =, ± 0,. Lausekkeen a + b arvo a + b =,6 +, = 4,6 Lausekkeen a + b pienin arvo a + b =,59 +,8 =,959 Vire 4,6,959 = 0,0 Lausekkeen a + b suurin arvo a + b =,6 +,4 = 4,56 Vire 4,56 4,6 = 0,0 Lausekkeen a + b arvo virerajoineen a + b = 4, ± 0, Lausekkeen ab arvo ab =,6, = 4,58 Lausekkeen ab pienin arvo ab =,59,8 =,886 Vire 4,58,886 = 0,659 Lausekkeen ab suurin arvo ab =,6,4 = 5,9 Vire 5,9 4,58 = 0,65 Lausekkeen ab arvo virerajoineen ab = 4,5 ± 0,7 b) Funktio + f( ) = 8

32 Suteellinen vire 5 +,+ f ( 5) f (,) 5, = = 0, ,% f ( 5) Vastaus: a) a + b = 4, ± 0, ja ab = 4,5 ± 0,7 b), %. Jaetaan polynomi jaetaan trinomilla + jakokulmassa ± ± Vastaus: Jakojäännös on ± ± ± 6 6± Ytälö = 0 Vakiotermin 6 tekijät ±, ±, ±, ±6 Korkeimman asteen termin tekijät ± Madolliset rationaalilukunollakodat ±, ±, ±, ±6 Sijoittamalla =, saadaan = 0, joten on polynomin f() tekijä. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa ± 5 5 ± ± 6 0 Ratkaistaan nollakodat = 0 ( )( ) = 0 = 0 tai = 0 = + 84

33 ± = 5 = = 5+ = = Vastaus: Juuret ovat, ja. ln 5. Funktio f() = Kota 0 = f( 0 + ) f( 0 ) ( + ) ( ) Keskeisdifferenssi f '( 0 ) K( ) = = Taulukoidaan arvot K(), ,0000, , , , Vastaus: Taulukossa ln( + ) ln( ) 6. Käyrä y = + 4 Käyrän ja ja -akselin leikkauspisteet y = = 0 ( + 4) = 0 = 0 tai = 4 Käyrän ja ja -akselin väliin jäävän alueen alan likiarvo Simpsonin säännön avulla jakamalla väli kadeksaan osaan. Pinta-ala A = [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] n Välin leveys = = = 0,5 n 8 Taulukoidaan arvot. f() Summan termit 0,0 0,00 0,00 0,5,75 7,00,0,00 6,00,5,75 5,00,0 4,00 8,00,5,75 5,00,0,00 6,00,5,75 7,00 4,0 0,00 0,00 Yteensä 64 85

34 Pinta-ala 0,5 A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = 64 0,7 Vastaus: Pinta-ala on 0,7. 7. Osoitetaan, että ytälöllä + = on täsmälleen yksi juuri. Ytälö + = + = 0 Tutkitaan funktiota f() = + on täsmälleen yksi nollakota. Funktio f() = + on polynomifunktiona jatkuva kaikkialla. f(0) = = < 0 f() = + = > 0 Koska funktion arvot välin [0,] päätepisteissä ovat erimerkkiset, funktiolla on Bolzanon lauseen perusteella välillä ]0,[ ainakin yksi nollakota. Funktio f() = + on polynomifunktiona derivoituva kaikkialla Derivaatta f () = > 0 Funktio on aidosti kasvava, joten funktiolla f() = + on korkeintaan yksi nollakota. Kodista ja seuraa, että funktiolla f() = + on täsmälleen yksi nollakota. Funktion f() = + nollakota sekanttimenetelmää käyttäen. b a Uusi välin päätepiste c = a f( a) f( b) f( a) a b c f(a) f(b) 0, , , , , , , ,66664, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Nollakota on välillä ] 0,68578; 0,68780 [, joten neljän desimaalin tarkkuudella se on = 0,68. Vastaus: Ytälön juuri on 0,68. 86

35 8. Ytälö = 0 Tutkitaan funktiota f() = f() = y Derivaatta f () = Newtonin menetelmän iteroimiskaava f( n) 0n 0n + 0n n+ = n = n f '( n ) 0n 40n + 0 Alkuarvo 0 = 0,5 Nollakota Newtonin menetelmällä n n n + 0 0, , , , , , , , , , Likiarvojen jono suppenee koti lukua 0, , joten kuuden desimaalin tarkkuudella se on = 0, Vastaus: Ytälön keskimmäinen juuri on 0,

36 Harjoituskoe ± ± ± Vastaus: = 0 Rymitellään ( ) ( ) = 0 ( )( ) = 0 = 0 tai = 0 = ± = Vastaus: ± tai. aika (t) matka (m),8,87,4 5,66 7,99 9,,44,8 5,9 7 4,6 9 88

37 5 0 5 y =,609 0,49 0,555 R = 0, asteen malli mopon kulkeman ajan (s) ja matkan (m) riippuvuuden välillä f() =,609 0,49 0,555 Mopon kulkema matka sekunnin kuluttua lädöstä. f() =,609 0,49 0,555,6 (m) Vastaus: f() =,609 0,49 0,555 ja,6 m 4. f() = 4 f '() = 4 f ''() = f '''() = 4 f (4) () = 4 f (5) () = 0 f( ) = ( ) 4 = f '( ) = 4 ( ) = 4 f ''( ) = ( ) = f '''( ) = 4 ( )= 4 f (4) ( ) = 4 f (5) ( ) = 0 Monomi 4 Taylorin polynomin avulla binomin + kasvavien potenssien lausekkeena. Koska 5. ja sitä suuremmat derivaatat saavat arvon nolla, riittää muodostaa 4. asteen Taylorin polynomi kodassa =. (4) f ''( ) f '''( ) f ( ) 4 P4 ( ) = f( ) + f '( )( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )!! 4! = 4( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )!! 4! 4 = 4( + ) + 6( + ) 4( + ) + ( + ) Vastaus: 4( + ) + 6( + ) 4( + ) + ( + ) 4 89

38 5. Luvun likiarvo viiden desimaalin tarkkuudella Newtonin menetelmää käyttäen. n+ = n n n Vastaus:,599 f ( ) n f '( ), ,,, ,68889,5995 5,5995,599 6,599,5990 7,5990,5990 n 6. Funktion f() = ( + ) derivaatan likiarvo keskeisdifferenssiä käyttäen kodassa = muutoksen arvoilla ; 0,000 0; 0, ja 0, f ( 0 + ) f( 0 ) Derivaatan likiarvo f '( 0 ) = Taulukoidaan derivaatan likiarvoja. d f () 0, , , , , , , , Käyrän y = + ja -akselin väliin välillä [0,4] jäävän alueen alan likiarvo Simpsonin säännön avulla, kun n = 8. f() = + n = = = 8 f() = + 0 0,5,06066,444,5,0965,5 4, ,950,5 6,68 4 8,

39 A= [ f( 0) + 4 f( ) + f( ) + 4 f( ) f( n ) + f( n)] = ( + 4, , , , , , , 0658),9887 Likiarvon suteellinen vire, kun tietokoneella saatu tulos on,989., 989,9887 0, 0 %, 989 Vastaus:,9887 ja 0,0 % 8. ) f() = f (0) = f () = f () = 9 Koska funktio on jatkuva ja se vaitaa välillä [0,] merkkinsä kertaa, on tällä välillä väintään nollakotaa. ) f '() = 5 ln5 9 5 ln5 9 = = ln 5 9 ln = ln 5 =, ln 5 Kulkukaavio f () f (),454 min f '(0)< 0 f '() > 0 Kulkukaaviosta nädään, että funktio on aidosti väenevä, kun <,454..., joten tällä välillä on korkeintaan nollakota. Kulkukaaviosta nädään, että funktio on aidosti kasvava, kun >,454..., joten tällä välillä on korkeintaan nollakota. Kodista ) ja ) seuraa, että funktiolla f() = on tasan nollakotaa. Määritetään pienemmän nollakodan likiarvo sekanttimenetelmää käyttäen kaden desimaalin tarkkuudella. 9

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

Schildtin lukio

Schildtin lukio MAA1.9.15 Scildtin lukio LIKIARVO MUISTA: tavallisesti matematiikassa pyritään aina tarkkoiin arvoiin! Kuitenkin esim. mittaustulokset ovat aina likiarvoja. o Luvun katkaiseminen: näin tekevät mm. jotkut

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdoituksia Rami Luisto Sivuja: 5

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdoituksia Rami Luisto Sivuja: 5 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 9 3.11.009 alkavalle viikolle Ratkaisuedoituksia Rami Luisto Sivuja: 5 Näissä arjoituksissa saa käyttää kaikkia koulusta tuttuja koulusta tuttujen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 4 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 4 Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 4 Maanantai 3..05. Halutaan määritellä funktio f siten, että f() =. Missä pisteissä + funktio voidaan määritellä tällä lausekkeella? Missä pisteissä funktio on näin määriteltynä

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut

Harjoitustehtävien ratkaisut Johdatus numeerisiin menetelmiin Harjoitustehtäviä. Esitä luvun 7 8 a) tarkka arvo desimaalilukuna b) kolmidesimaalinen likiarvo c) nolladesimaalinen likiarvo d) Likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

1.7. Trigonometristen funktioiden derivaatat

1.7. Trigonometristen funktioiden derivaatat Yleensä jodetaan aina ensin funktion y sin derivaatta. Erotusosamäärän sin( + ) sin käsittely vaatii ainakin sinin yteenlaskukaavan allintaa: sin( + ) sin sin + sin sin sin 1 sin, missä viimeksi saadussa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2. MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!

LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN! Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

MAA7 Harjoitustehtävien ratkaisuja

MAA7 Harjoitustehtävien ratkaisuja Harjoitustetävien ratkaisuja MAA7 Harjoitustetävien ratkaisuja. a) < < < < < + < < b) U(, ) tarkoittaa lukuja, jotka ovat alla puolikkaan etäisyydellä luvusta eli kyseessä väli <

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p) Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot