5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
|
|
- Maarit Saaristo
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion f jatkuvuudesta tällöin väitetään? Kirjoita väite myös käyttäen tavanomaisia kirjainsymboleja ε, δ jne. 2. Olkoot c > 0 ja d > 0 vakioita, a R ja f sellainen funktio, että jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f() f(a) < c ε aina, kun a < d δ. Osoita, että f on jatkuva pisteessä a. 3. Olkoon f sellainen funktio, että f() f(y) 15 y, y R. Osoita, että f on jatkuva kaikilla R. 4. Olkoon f sellainen funktio, että f( + y) = f() + f(y), y R. Osoita, että jos f on jatkuva pisteessä = 0, niin f on jatkuva kaikilla R. 5. Tutki funktion (a) f() =, (b) f() = jatkuvuutta pisteissä = 0 ja = Tutki funktion f() = jatkuvuutta pisteessä = Tutki funktion sin( 2 ) cos( 2 ), kun 0, f() = 0, kun = 0, jatkuvuutta pisteessä = 0.
2 8. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio 1 1+a, kun < 0, f() = b, kun = 0, 1 a 2, kun > 0, tulee jatkuvaksi pisteessä = Määritä vakio b R siten, että funktio 1, kun π, f() = b sin( π), π kun > π, tulee jatkuvaksi pisteessä = π. 10. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a cos + b + 2b sin, kun 0, f() = 4, kun = 0, tulee jatkuvaksi pisteessä = Olkoon n Z + ja n n, kun 1, f n () = 1 3, kun = 1. Millä indeksin n arvoilla f n () on jatkuva pisteessä = 1? 12. Osoita, että funktio on jatkuva pisteessä = 0. f() = { 2, kun Q, 2, kun R \ Q, 13. Osoita, että funktio ei ole jatkuva, kun 0. f() = {, kun Q, 0, kun R \ Q, 14. Anna esimerkki funktiosta f : R R, joka on epäjatkuva pisteissä 1, 1 2, 1 3, 1 4,... ja jatkuva muualla. Tässä tehtävässä funktion jatkuvuutta tai epäjatkuvuutta ei tarvitse perustella täsmällisesti. Esimerkiksi funktion kuvaajaan tukeutuva perustelu on riittävä.
3 15. Anna esimerkki pisteessä = 0 jatkuvasta funktiosta f : R R, joka on bijektio, mutta ei ole monotoninen millään välillä ] a, a[ (a > 0). Tässä tehtävässä funktion jatkuvuutta tai epäjatkuvuutta ei tarvitse perustella täsmällisesti. Esimerkiksi funktion kuvaajaan tukeutuva perustelu on riittävä. 16. Olkoon a jokin välin ]0, 1[ rationaaliluku ja b jokin välin ]0, 1[ irrationaaliluku. Osoita, että funktio 0, kun R \ Q, 1, kun = 0, f() = 1 q, kun Q ja = p (p 0, q > 0) on supistetussa muodossa, q (a) ei ole jatkuva pisteessä = a, (b) on jatkuva pisteessä = b. 17. Voidaanko funktio sin 5 sin 3 f() = ( 0) määritellä pisteessä = 0 siten, että funktiosta f tulee pisteessä = 0 jatkuva? 18. Tutki, onko funktiolla f : R \ {1} R, (a) f() = 2 1 1, (b) f() = sin 1 1 pisteessä = 1 oleellinen vai epäoleellinen epäjatkuvuuskohta. 19. Tutki, onko funktiolla + h f() = lim h 0 h pisteessä = 0 oleellinen vai epäoleellinen epäjatkuvuuskohta. 20. Funktio f on jaksollinen, jaksona ω > 0, jos f( + ω) = f() R. Anna sekä esimerkki epäjatkuvasta jaksollisesta funktiosta, joka saadan jatkuvaksi korjaamalla funktion määrittelyä yksittäisissä pisteissä, että esimerkki epäjatkuvasta jaksollisesta funktiosta, jota ei saada jatkuvaksi korjaamalla funktion määrittelyä yksittäisissä pisteissä. 5.2 Jatkuvia funktioita koskevia tuloksia 1. Osoita, että jos funktiot f ja g ovat jatkuvia pisteessä a, myös funktio (a) h() = ma{f(), g()}, on jatkuva pisteessä a. (b) h() = min{f(), g()} Vihje: Esitä h funktioiden f ja g avulla summaa, erotusta ja itseisarvoa käyttäen.
4 2. Määritä funktion (a) f() = epäjatkuvuuskohdat välillä [ π, π]. 1 sin cos, (b) f() = sin + cos 3. Anna esimerkki (a) kahdesta pisteessä = 0 epäjatkuvasta funktiosta, joiden tulofunktio on jatkuva pisteessä = 0, (b) kahdesta funktiosta, jotka eivät ole jatkuvia missään joukon R pisteessä, mutta joiden tulofunktio on jatkuva kaikilla R. 4. Tutki, missä pisteissä R funktio (a) f() = ( 2 + 1) sin 1, (b) f() = sin 1 2 on epäjatkuva. Ovatko epäjatkuvuuskohdat oleellisia vai epäoleellisia? 5. Olkoon f sellainen funktio, että f on oikealta jatkuva pisteessä a ja on olemassa sellainen h > 0, että f() f(a) kaikilla [a, a + h[. Osoita täsmällisesti perustellen, että jos funktio g on vasemmalta jatkuva pisteessä f(a), niin funktio g f on oikealta jatkuva pisteessä a. 6. Perustele täsmällisesti monisteen esimerkkejä, lauseita ja huomautuksia käyttäen, miksi funktio (a) f() = sin 2 + 1, (b) f() = sin on jatkuva kaikilla R. 7. Määritä funktion sin + 1 f() = 1 epäjatkuvuuskohdat. Millä väleistä [0, 1[, ]0, 1[, ]0, 1], [1, [ ja ]1, [ funktio f on jatkuva? 8. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jatkuvan ja epäjatkuvan funktion yhdistetty funktio on aina epäjatkuva. 9. Tutki, voiko kahden epäjatkuvan funktion yhdistetty funktio olla jatkuva. 10. Olkoot f ja g sellaisia funktioita, että g on aidosti kasvava ja g f on jatkuva koko reaalilukujen joukossa. Osoita, että f on jatkuva kaikilla R. 11. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lim n n = a, niin lim f( n) = f(a). n
5 12. Olkoon ( n ) lukujono ja f jokin pisteessä = 3 jatkuva funktio. Todista täsmällisesti perustellen, että jos lim n n = 3, niin joukko {f( n ) n Z + } on rajoitettu. 13. Olkoon f sellainen pisteessä = 0 jatkuva funktio, että Osoita, että f on rajoitettu joukossa R. f() Olkoon f sellainen pisteessä = 1 jatkuva funktio, että f(1) = 2 ja f() 1 kaikilla R. Osoita, että funktio on rajoitettu joukossa R. g() = 1 f() 15. Olkoon f : [0, π] R sellainen funktio, että f on oikealta jatkuva pisteessä = 0 ja f() > sin kaikilla [0, π]. Osoita, että funktio on rajoitettu välillä [0, π 2 ]. g() = 1 f() 16. Olkoon f sellainen pisteessä = 3 vasemmalta jatkuva funktio, että f() Osoita, että f on alhaalta rajoitettu joukossa ], 3]. 17. Olkoon f sellainen pisteen a jossakin ympäristössä U δ (a) määritelty funktio, että f on jatkuva pisteessä a. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että (a) jos f() > 0 kaikilla U δ(a), niin f(a) > 0, (b) jos f() 0 kaikilla U δ(a), niin f(a) Olkoon a R ja f sellainen funktio, että f on jatkuva ja f() > 0 kaikilla R. Osoita, että on olemassa sellainen δ > 0, että funktio on rajoitettu välillä ]a δ, a + δ[. g() = 1 f()
6 19. Todista, että jos funktio f on vasemmalta jatkuva pisteessä a ja f(a) < 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f() < 0 ]a δ, a]. 20. Osoita, että jos funktio f on oikealta jatkuva pisteessä = 2 ja f(2) = 5, niin on olemassa sellainen h > 0, että f() > 6 [2, 2 + h]. 5.3 Suljetulla välillä jatkuvan funktion ominaisuuksia 1. Määritä luvut a ja b siten, että b a = 1 2 ja funktiolla f() = on nollakohta välillä ]a, b[. 2. Määritä luvut a ja b siten, että b a = 1 ja yhtälöllä 4 on ainakin yksi ratkaisu välillä ]a, b[. 3. Osoita, että funktiolla 2 = (a) f() = , (b) f() = on ainakin kolme nollakohtaa. 4. Olkoon f sellainen välillä [0, 2] jatkuva funktio, että 0 < f() < 2 [0, 2]. Osoita, että on olemassa sellainen c ]0, 2[, että f(c) = c. Vihje: Tarkastele sopivaa apufunktiota. 5. Oletetaan, että funktio f on jatkuva välillä [a, b] ja f([a, b]) [a, b]. Osoita, että on olemassa sellainen c ]a, b[, että f(c) = c. Vihje: Tarkastele sopivaa apufunktiota. 6. Olkoot f : [0, 1] R ja g : [0, 1] R sellaisia jatkuvia funktioita, että f(0) < g(0) ja f(1) > g(1). Osoita, että on olemassa sellainen c ]0, 1[, että f(c) = g(c). Vihje: Tarkastele sopivaa apufunktiota.
7 7. Olkoon ω > 0. Olkoon lisäksi f sellainen jatkuva funktio, että Osoita, että f on rajoitettu joukossa R. f( + ω) = f() R. 8. Olkoot f ja g koko reaalilukujoukossa jatkuvia funktiota. Osoita luennoilla ja kurssimonisteessa esitettyjä tuloksia hyödyntäen, että jos 0 n 5 n Z +, niin lukujonolla ((g f)( n )) on suppeneva osajono. Esitä selkeästi ja täsmällisesti, mitä tuloksia hyödynnät. 9. Olkoon f sellainen välillä ]2, 8[ jatkuva funktio, että lim f() = 4 ja lim f() = Todista täsmällisesti perustellen, että f on rajoitettu välillä ]2, 8[. 10. Osoita, että funktio on rajoitettu joukossa R. f() = Olkoon f sellainen kaikilla R jatkuva funktio, että raja-arvot lim f() ja lim f() ovat äärelliset. Osoita, että f on rajoitettu joukossa R. 12. Olkoon f sellainen kaikilla R jatkuva funktio, että lim f() = 2. Osoita, että f on rajoitettu välillä [ 3, [. 13. Osoita (vastaesimerkeillä), että kurssimonisteen lauseet 5.25 ja 5.26 eivät ole kääntäen voimassa. 14. Osoita, että funktiolla on joukossa R suurin ja pienin arvo. f() = Olkoon f sellainen välillä [a, b] jatkuva funktio, että f(a) = f(b). Osoita, että f saa välillä [a, b] kaikki suurimman ja pienimmän arvonsa väliset arvot vähintään kahdesti.
8 16. Olkoon f välillä [a, b[ jatkuva funktio ja g() = ma {f(t) a t } kaikilla [a, b[. Osoita, että funktio g on jatkuva välillä [a, b[. 17. Olkoon A = {f() R}, missä f on sellainen kaikilla R jatkuva funktio, että f(0) = 5, lim f() = 1 ja lim f() = 3. Osoita täsmällisesti perustellen, että on olemassa sellainen alkio s A, että a s kaikilla a A. 18. Olkoon f sellainen välillä [3, 7[ jatkuva funktio, että f(4) = 4 ja lim f() = 7. 7 Todista täsmällisesti perustellen, että on olemassa sellainen c [3, 7[, että inf { f() [3, 7[ } = f(c). 19. Olkooon f sellainen koko reaalilukujoukossa jatkuva ja rajoitettu funktio, että f saa positiivisen arvon ainakin yhdessä pisteessä, ja g sellainen koko reaalilukujoukossa jatkuva funktio, että g() + 1 R. Todista täsmällisesti perustellen, että jos A = { f() g() } R, niin on olemassa sellainen alkio s A, että a s kaikilla a A. 20. Olkoon f välillä I jatkuva funktio, ja olkoot 1, 2,..., n välin I pisteitä. Osoita, että on olemassa sellainen c I, että f(c) = f( 1) + f( 2 ) + + f( n ). n 5.4 Käänteisfunktion jatkuvuudesta 1. Olkoon f välillä [a, b] jatkuva ja aidosti kasvava funktio ja g välillä [f(a), f(b)] jatkuva ja aidosti vähenevä funktio. Osoita, että funktiolla g f on käänteisfunktio välillä [a, b]. Mikä on käänteisfunktion on määrittelyväli? 2. Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio. Osoita, että jos f on bijektio, niin f on aidosti monotoninen välillä [a, b].
9 3. Anna esimerkki välillä [0, 1] aidosti kasvavasta funktiosta f, jolla ei ole käänteisfunktiota f 1 : [f(0), f(1)] [0, 1]. 4. Olkoon f : [a, b] [A, B] jokin välillä [a, b] epäjatkuva funktio. (a) Onko mahdollista, että funktiolla f on välillä [A, B] määritelty käänteisfunktio? (b) Onko mahdollista, että funktion f käänteisfunktio on jatkuva välillä [A, B] (jos käänteisfunktio on olemassa)? Vihje: Voit olettaa tehtävän 2 tuloksen tunnetuksi. 5. Määritä käyttämättä laskinta tai taulukkokirjaa (a) arc sin, kun = 1 2 ja = 3 2, (b) tan(arc sin ), kun = 1 4 ja = Määritä suorakulmaisen kolmion kateetit, kun hypotenuusa on 5 ja yksi kulma on (radiaaneina) (a) arc sin 3, (b) arc sin 1 5 2, (c) arc cos Anna geometrinen perustelu (suorakulmaista kolmiota käyttäen) sille, että 8. Määritä (perustellen) inf A ja sup A, kun 9. Olkoon arc sin + arc cos = π 2 ]0, 1[. (a) A = { y R y = arc cos + arc sin 1 2, [ 1, 1] }, (b) A = { y R y = π arc cos, [ 1, 1] }. f() = { arc cos, kun [ 1, 0], arc sin, kun ]0, 1]. Anna laajin sellainen väli I [ 1, 1], että sup A = 0, kun A = {f() I} (a) ilman täsmällistä perustelua (eli riittää määrittää kysytty väli), (b) täsmällisesti perustellen. 10. Tutki, onko funktio jatkuva pisteessä = π. f() = { π, kun π, arc cos π, kun > π, 11. Määritä raja-arvo lim ( 1 arc cos 1 + sin( arc cos ) 1 ).
10 12. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktiolla f() = arc sin on määrittelyalueellaan ainakin yksi nollakohta. 13. Määritä käyttämättä laskinta tai taulukkokirjaa (a) arc tan, kun = 3, (b) cos(arc tan ) ja sin(arc cot ), kun = Määritä suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja toinen kateetti, kun toinen kateetti on 5 ja hypotenuusan ja tuntemattoman kateetin välinen kulma on (radiaaneina) (a) arc tan 5, (b) arc tan 5, (c) arc cot Kotangentin käänteisfunktio arc cot määritellään joskus arkustangentin avulla siten, että arc tan 1, kun 0, arc cot = π, kun = 0. 2 Miten tämä määrittely eroaa kurssimonisteen määrittelystä? Piirrä kurssimonisteessa määritellyn arkuskotangentin ja yllä määritellyn arkuskotangentin kuvaajat samaan koordinaatistoon. 16. Määritä (perustellen) inf A ja sup A, kun A = { y R y = π arc tan( 2), R }. 17. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio 1 a + arc cos, kun < 0, 2 +1 f() = π, kun = 0, b arc tan 1, kun > 0, tulee jatkuvaksi pisteessä = Määritä vakio b R siten, että funktio { arc tan 1, kun 1, 1 f() = b, kun = 1, tulee jatkuvaksi pisteessä = 1, tai osoita, että f on epäjatkuva pisteessä = 1 kaikilla vakion b arvoilla.
11 19. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktiolla f() = arc cos + 2 arc tan 2 2 on ainakin kaksi nollakohtaa välillä ] 1, 1[. 20. Osoita täsmällisesti perustellen, että funktiolla f() = arc cos + arc tan( 2 ) 1 on ainakin kaksi nollakohtaa välillä ] 1, 1[. 5.5 Tasainen jatkuvuus 1. Voidaan helposti osoittaa, että funktio f() = 1 on tasaisesti jatkuva välillä [ 1 2, 2 ]. Määritä jokin sellainen δ > 0, että f( 1 ) f( 2 ) < 0,01 aina, kun 1, 2 [ 1 2, 2 ] ja 1 2 < δ. 2. Osoita suoraan tasaisen jatkuvuuden määritelmään nojautuen, että funktio on tasaisesti jatkuva välillä [0, 3]. 3. Olkoon a > 0. Osoita, että funktio f() = (a) f() = 3 + 2, (b) f() = on tasaisesti jatkuva välillä [a, [. 4. Osoita, että funktio f() = on tasaisesti jatkuva välillä ]2, [. 5. Osoita, että funktio f() = 2 ei ole tasaisesti jatkuva välillä [1, [.
12 6. Todista, että jos funktiot f ja g ovat tasaisesti jatkuvia välillä I, myös funktio f + g on tasaisesti jatkuva välillä I. 7. Osoita (vastaesimerkillä), että vaikka funktiot f ja g ovat tasaisesti jatkuvia välillä I, niin funktio fg ei välttämättä ole tasaisesti jatkuva välillä I. 8. Tutki, onko funktio f() = tasaisesti jatkuva välillä ] [ 0, π Tutki, onko funktio f() = tasaisesti jatkuva välillä ]0, π[. sin 2 sin ( π 2 ) (π ) sin 5 sin(π ) 10. Anna esimerkki välillä ]5, 7[ jatkuvasta funktiosta, joka ei ole tällä välillä tasaisesti jatkuva.
5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Äärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
Täydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
Raja arvokäsitteen laajennuksia
Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta.
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 1 Pekka Salmi 18. syyskuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta 2015 1 / 65 Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, M229 (kahden viikon
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
Derivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX
Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX 16.11. 2018 II välikoe 19.11. klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa 12.11. mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Sini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
Konvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 4 Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 4 Maanantai 3..05. Halutaan määritellä funktio f siten, että f() =. Missä pisteissä + funktio voidaan määritellä tällä lausekkeella? Missä pisteissä funktio on näin määriteltynä
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?
Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.
Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon
Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,
Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,
LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
Funktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet.
1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. Differentiaalilaskennassa on aika tavallinen tilanne päästä tutkimaan SULJETUL- LA VÄLILLÄ JATKUVAA FUNKTIOTA. Oletuksena on tällöin funktion
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
Yleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
Fourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
HARJOITUKSIA, SYKSY x
Matematiikan perusmetodit I/Mat HARJOITUKSIA, SYKSY 006. Johda yhtälön ax + bx + c =0(a 0) ratkaisukaava. Tarkastele ensin esimerkkinä yhtälöä x +5x +6=0.. Mitä alkioita kuuluu joukkoon A = {x R x = }?
Raja-arvo ja jatkuvuus, L5
ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,