k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

Transkriptio

1 k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio f aidosti vähenevä, kun 0 < k < 1 Asymptootit positiivinen -akseli (k > 1) negatiivinen -akseli (0 < k < 1) Laskusäännöt 1) k m k n = k m+n k k m m n 2) k 3) (k m ) n = k mn 4) k 0 - = 1 5) k n 1 k

2 Eksponenttiyhtälöt ja -epäyhtälöt Yhtälö, jossa kaksi termiä ja sama kantaluku Siirrä termit eri puolelle yhtälöä k = k y = y E.4. a) 3 = 9 3 = 3 2 = 2 b) 7-3 = = (7 2 ) 7-3 = = 2 = -3

3 Epäyhtälöt Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä suurempi kantaluku Siirrä termit eri puolille epäyhtälöä. k < k y < y (kun k > 1) Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä pienempi kantaluku Muuten samoin kuin yllä, mutta Käytä sääntöä k < k y > y (kun 0 < k < 1) E.5. a) 3 > 81 3 > 3 4 > 4 c) (½) < 8 (½) < 2 3 (½) < (½) -3 > -3 b ) 4-1 < 8 (2 2 ) -1 < ( - 1) < 2 3 2( - 1) < < 3 2 < 5 < 2,5

4 Neperin luku e ja funktio y = e

5 Neperin luku e ja sen määritelmä Eksponenttifunktio f() = k e on se eksponenttifunktio, jonka derivaatta nollassa on 1 eli f (0) = 1 e 2, (laskimella) y = e Eksponenttifunktion f() = e ominaisuuksia M f = R A f = ]0, [ Funktio on jatkuva kaikkialla Funktio on aidosti kasvava Asymptoottina negatiivinen akseli Potenssien laskusäännöt säilyy e u = e v u = v (ks. kirja s )

6 E.1. Sievennä a) e 2 e - = e 2 = e b) e 3 (e +1 ) 2 = e 3 e 2+2 = e = e E.2. Ratkaise yhtälö a) e +2 = e = - 2 = -2 = -1 b) e 3 6 = 1 e 3-6 = e = 0 3 = 6 = 2

7 Funktion y = e derivaatta D(e ) = e

8 E.3. Derivoi a) f() = 2e + 3 b) f() = (e + 1) 2 a) f () = 2e + 3 b) f () = 2e (e + 1)

9 Olkoon f derivoituva funktio. D(e f() ) = e f() f () E.4. Derivoi a) f() = e 2 d) f() = e 2 3 a) f () = 2e 2 b) f () = 2e 2 3 +e = 2 e 2 (2 + 3)

10 Derivaatan arvon laskeminen Derivoi ja sijoita sen lausekkeeseen haluttu kohta E.5. Laske f (1), kun f() = e 2-3 f () = 2e f (1) = 2e 2-3 Tangentin kulmakertoimen laskeminen, k T = f ( 0 ) E.6. Mikä on käyrän y = e 1- kohtaan = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin? f () = e 1- f (1) = -e 1-1 = -e 0 = -1

11 E.8. Määritä funktion derivaatan nollakohdat, f() = e 4 + e -4 f () = 4e 4 4e -4 f () =0: 4e 4 4e -4 = 0 4e 4 = 4e -4 e 4 = e -4 4 = -4 8 = 0 = 0

12 Kymmenkantainen logaritmi Olkoon a > 0, tällöin on olemassa yksikäsitteinen siten, että a = 10 luku on luvun a kymmenkantainen logaritmi Merkintä: = lga tai = log 10 a

13 Siis Eksponenttiyhtälön 10 = a ratkaisua sanotaan luvun a logaritmiksi eli luvun a logaritmi on se eksponentti, johon luku 10 pitää korottaa, jotta potenssin arvoksi tulisi logaritmoitava a E.1. a) lg1000 = 3, koska 10 3 = 1000 b) lg6 0,78 koska 10 0,78 6 c) Minkä luvun logaritmi on = 100

14 Huom logaritmoitavan on oltava positiivinen Jokainen positiivinen luku a voidaan esittää luvun 10 potenssina a = 10 lga lg10 b = b E.2. Montako numero luvussa = (10 lg2 ) 1000 = 10 lg =

15 Logaritmifunktio eksponenttifunktion käänteisfunktiona

16 k-kantainen logaritmifunktio log k a tarkoittaa sitä eksponenttia, mihin kantaluku k pitää korottaa, jotta saataisiin logaritmoitava a. Eli olkoon k > 0, k 1 Positiivisen luvun a k-kantainen logaritmi log k a = b a = k b E.3.Laske a ) log 3 9 = 2, koska 3 2 = 9 I: 3 = 9 II: log = 2 3 = 3 2 = 2 b) log 2 8 = 3, koska 2 3 = 8 I: 2 = 8 log = 3 2 = 2 3 = 3

17 Luonnollinen logaritmi

18 LUONNOLLINEN LOGARITMI Luonnollisen logaritmijärjestelmän kantaluku eli Neperin järjestelmän kantaluku on e. Luonnollinen logaritmi log e a = lna (a > 0): se eksponentti, johon kantaluku e on korotettava, jotta tulokseksi saadaan logaritmoitava a. Luonnollinen logaritmifunktio y = ln ja eksponenttifunktio y=e ovat toistensa käänteisfunktioita: lna = b a = e b e lna = a ( a > 0) lne a = a (a R)

19 E.5. a) e ln5 = b) lne 2 = a) 5 b) 2

20 E.6. Laskimella 1,61 ln5 E.7. Mikä on funktion f() = ln (5 - ) määrittelyjoukko? 5 > 0 < 5 E.8. (t. 181a) ln = 1 = e 1 = e

21 Logaritmifunktion ominaisuuksia

22 Luonnollisen logaritmifunktion f() = ln ominaisuuksia 1) M f = ]0, [ A f = R 2) Funktio f on jatkuva 3) Funktio f on aidosti kasvava 4) Käyrällä y = ln on asymptoottina negatiivinen y-akseli ks. kirja s. 68 logaritmifunktion ominaisuuksia

23 Logaritmien laskusäännöt

24 Logaritmin laskusääntöjä Olkoon a, b > 0 ja k > 0, k 1 log k ab= log k a + log k b log k (a/b)= log k a - log k b log k a n = n log k a E.9. a) lg2 + lg5 = lg (2 5) = lg10 = 1 b) lga 2 + lg(1/a) (a>0) = 2lga + lg1 - lga =2lga lga = lga c) Esitä lg3:n avulla lg3000 = lg(3 1000) = lg3 + lg 1000 = lg3 + 3

25 E.10. Esitä yhtenä logaritmina a) lna + ln6 b) ½ln c) 2ln4 3ln2 a) lna + ln6 = ln6a b) ½ln = ln16 ½ + lne = ln4 + lne = ln4e c) 2ln4 3ln2 = ln4 2 ln2 3 = ln16 ln8 = ln (16/8) = ln2

26 E.11. (t. 203a,c) Olkoon a = log k 2 ja b=log k 3. Esitä a:n ja b:n avulla a) log k (3/2) = log k 3 log k 2 = b a b) log k 12 = log k (4 3) = log k 4 + log k 3 = log k log k 3 = 2log k 2 + log k 3 = 2a + b

27 Eksponenttiyhtälöitä E = 7 lg2 = lg7 lg2 = lg7 = lg7 /lg2 2,807 tai log 2 7 lg 7 lg 2 2,807 ks. kantaluvun vaihto edellä

28 E.13. (t. 210a) 3 +1 = 20 lg3 +1 = lg20 (+1)lg3 = lg20 1 lg 20 lg 3 lg 20 lg 3 1 1,72

29 E.14. Kuinka monessa vuodessa talletuksen arvo viisinkertaistuu, jos vuotuinen korko on 8%? a = talletuksen arvo alussa 1,08 a = 5a :a 1,08 = 5 lg 1,08 = lg 5 lg 1,08 = lg 5 = lg 5/ lg1,08 =20,9 V: 21 vuodessa

30 E.15. (t. 221b) 5 = 17 4 n a n a ( ) ( b 0) n b b ( ) lg( ) 4 lg17 5 lg( ) lg17 4 c lg17 12,7 lg(5/ 4)

31 Logaritmiyhtälöitä E.16. (t. 212a) a) Ratkaise yhtälö log 2 (3 1) = 1 log k u = log k v u = v (u, v > 0) Määrittelyehto: 3 1 > 0 eli > 1/3 2 1 = = 3 = 1

32 b) lg + lg( - 3) = 1 ( > 3) lg(-3) = lg 10 ( - 3) = = 0, ratkaisukaavalla ( = -2), = 5

33 E.17. 2ln = 1 Mj: >0 ln = ½ = e ½ = e E.18. ln3 = -ln(1 ) Mj: < 1 ln3 = ln(1 ) -1 3 = (1 ) (1- ) = = 1/3 = 2/3

34 E.19. (t. 223a) lg 3 3 lg lg Määritelty, kun > 0 4 lg 3 lg = 4

35 Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta

36 1 1) D(ln ) = ( >0) Todistus: e ln = De ln = D Dln e ln = 1 Dln = 1 2) Dlnf() = f '( ) f ( ) Dln = 1 (f derivoituva ja f() > 0)

37 E.1. Derivoi a) f() = 6ln b) f() = ln 5 a) f () = 6 ( > 0) 1 6 b) f () = ( > 0) TAPA 2 b) f() = ln 5 = 5ln 1 f () = 5 5

38 E.2. Derivoi a) f() = 3 ln 3 b) f() = ln 3 a) f () = 3 2 ln3 + 3 = 2 (3ln3 + 1) ( > 0) 3 3 f '( ) ln 3 6 ln (1 3ln 6 ) 1 3ln 4 ( > 0)

39 E.3. (t. 238a, c) Laske funktion f derivaatan nollakohdat a) Dln( 2 1) c) D(ln) 3 = 3(ln) 2 1 3(ln 2 1 ) 0 ln 0 1

40 Funktion monotonisuus (kasvava /vähenevä) tutkitaan derivaatan merkeillä Ääriarvojen laskeminen Laske mahdolliset ääriarvokohdat, f :n merkit, hahmottele kulku ja päättele ääriarvo Funktion suurin ja pienin arvo Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä, niin sillä on varmasti suurin ja pienin arvo Lasketaan mahdolliset ääriarvokohdat, funktion arvot näissä ja valitaan niistä suurin / pienin Epäyhtälön oikeaksi osoittaminen Käytetään periaatetta: Jos pienin arvo on positiivinen, niin kaikki arvot ovat positiivisia

41 E.4. Milloin funktio f() = ln ( 2 + 3) - ½ln on vähenevä? Määritelty, kun > 0, jolloin jatkuva ja derivoituva f () = ( 3) 2 ( 3) ( ) 2 f () f () ( 1) 2 ( 3) 2 V: Vähenevä, kun 0 < < 1

42 Derivaatan sovelluksia

43 E.5. Määritä funktion f() = - ln suurin ja pienin arvo välillä [½,e] Määritelty, jatkuva ja derivoituva välillä [½,e] f () = f () = 0: = f(½) = ½ - ln½ 1,193 f(1) = 1 ln1 = 1 f(e) = e lne = e 1 Suljetulla välillä jatkuvan funktion ääriarvolauseen mukaan suurin ja pienin arvo saavutetaan joko päätepisteissä tai derivaatan nollakohdassa V: Suurin arvo e 1 Pienin arvo 1

44 E.6. Osoita, että ln ( + 1) kaikilla > -1. ln( + 1) - 0 tutkitaan funktiota f() = ln( + 1) - MJ: > f () f () + - f 1 '( ) 1 1 f '( ) = Suurin arvo, kun = 0 f(0) = ln(0 + 1) 0 = 0 => Kaikki arvot 0

45 E.7. Määritä vakio a siten, että funktion f() = ln a maksimiarvo on 5. MJ: > 0 f '( 1 ) 4 Osoittaja määrää merkin 0 1/4 1 f '( ) 4 0 0: f () f () + - ma f(¼) = ln ¼ - 4 ¼ + a ln ¼ - 4 ¼ + a = 5 ln a = 5 -ln4 + a = 6 a = 6 + lna