Äärettömistä tuloista ja gammafunktiosta kompleksitasossa

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jemia Laukkae Äärettömistä tuloista ja gammafuktiosta kompleksitasossa Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Elokuu 202

2 Tamperee yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö LAUKKANEN, JEMINA: Äärettömistä tuloista ja gammafuktiosta kompleksitasossa Pro gradu -tutkielma, 27 s. Matematiikka Elokuu 202 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa käsitellää äärettömiä tuloja ja gammafuktiota kompleksitasossa. Tarkastelu aloitetaa kokoaise fuktio määritelmästä ja se käyttäytymise tutkimisesta. Sitte esitetää esitysmuoto kokoaiselle fuktiolle, jolla o äärellise mota ollakohtaa. Tämä jälkee siirrytää tarkastelemaa kompleksilukuje ja kompleksiarvoiste fuktioide äärettömä tulo suppeemisee liittyviä lauseita. Sitte esitetää Weierstrassi tekijähajotelma, joka ataa esitysmuodo fuktiolle, jolla o äärettömä mota ollakohtaa. Lopuksi esitetää gammafuktio lähtie liikkeelle Weierstrassi muodosta. Myös muita esitysmuotoja sekä omiaisuuksia gammafuktiolle käydää läpi. Päälähdeteoksea tutkielmassa o I-Hsiug Lii teos Classical Complex Aalysis, A Geometric Approach Vol.2.

3 Sisältö Johdato 2 Valmistelevia tarkasteluja 2. Perusmääritelmiä Fuktioista Äärettömistä tuloista 3 3. Äärettömä tulo suppeemisesta Weierstrassi tekijähajotelma Gammafuktiosta 5 Viitteet 27

4 Johdato Tässä pro gradu -tutkielmassa tarkastellaa äärettömiä tuloja ja gammafuktiota kompleksitasossa. Lukija odotetaa hallitseva kompleksiaalyysi perusteet ks. [6] sekä reaaliste sarjoje suppeemise ks. [7, luku ]. Päälähteeä käytetää teosta Li I-H.: Classical Complex Aalysis, A Geometric Approach Vol.2, joka lukuja 5.5 ja 5.6 tutkielma väljästi seuraa. Muia lähteiä toimivat pääasiassa teokset Alfors L.V.: Complex Aalysis ja Li I-H.: Classical Complex Aalysis, A Geometric Approach Vol.. Esimmäisessä luvussa o valmistelevia tarkasteluja tutkielma varsiaisia aiheita varte. Esi määritellää muutama peruskäsite, joka jälkee esitetää kokoaie fuktio ja tutkitaa se käyttäytymistä. Luvu lopuksi esitetää esitysmuoto kokoaiselle fuktiolle, jolla o äärellise mota ollakohtaa. Toisessa luvussa tarkastellaa äärettömiä tuloja ja iide suppeemisee liittyviä lauseita. Käsittely aloitetaa kompleksilukuje äärettömä tulo suppeemise tarkastelemisesta. Sitte siirrytää tutkimaa kompleksiarvoiste fuktioide äärettömä tulo suppeemista. Kompleksilukuje äärettömä tulo suppeemisee liittyviä tuloksia voidaa hyödytää vastaavie tuloste todistamisessa kompleksiarvoisille fuktioille. Kolmaessa luvussa esitetää Weierstrassi tekijähajotelma, joka ataa esitysmuodo fuktiolle, jolla o äärettömä mota ollakohtaa. Kolmas luku toimii valmistelevaa tarkastelua tutkielma toiselle osalle eli kompleksiselle gammafuktiolle. Neljäessä luvussa esitetää gammafuktio lähtie liikkeelle Weierstrassi muodosta. Luvussa esitetää ja todistetaa myös muita esitysmuotoja sekä omiaisuuksia gammafuktiolle. 2 Valmistelevia tarkasteluja Tässä luvussa käydää läpi käsitteitä, määritelmiä ja lauseita, joita tarvitaa seuraavissa luvuissa. Todistuksista esitetää e, jotka ovat oleellisia ja joide katsotaa tuova lisäymmärrystä seuraavii osioihi. 2. Perusmääritelmiä Tässä luvussa määritellää käsitteitä, joita tarvitaa tutkielmassa. Luoolliste lukuje muodostamaa joukkoa merkitää N = {0,, 2,... } ja kokoaislukuje Z = {..., 2,, 0,, 2,... }. Kompleksilukuje muodostamaa joukkoa merkitää C = {z z = x + iy, x, y R, i = }. Seuraavaksi määritellää kompleksiluvu logaritmi reaalise logaritmi avulla. Määritelmä 2.. Kompleksiluvu z 0 logaritmi lz = l z + i argz,

5 missä argz = Argz + 2kπ, π < Argz π ja k Z. Logaritmi päähaara Lz saadaa, ku k = 0. Tällöi 2.2 Fuktioista Lz = l z + i Argz. Tässä luvussa määritellää kokoaie fuktio ja tarkastellaa se muutamia omiaisuuksia. Esi esitetää kokoaise fuktio Taylori sarjakehitelmä, joka jälkee etsitää esitysmuoto kokoaiselle fuktiolle, jolla ei ole ollakohtia tai jolla o äärellise mota ollakohtaa. Kompleksise sarja itseie ja tasaie suppeemie oletetaa tuetuiksi ks. [3, s. 83, 24-25]. Määritelmä 2.2. Ks. [3, s. 345, 348]. Fuktio fz o aalyyttie avoimessa joukossa O C, jos sillä o derivaatta jokaisessa O: pisteessä. Fuktio fz o aalyyttie pisteessä z 0, jos se o aalyyttie jossaki pistee z 0 ympäristössä. Fuktio fz o kokoaie, jos se o aalyyttie koko kompleksitasossa. Lause 2.. Kokoaisella fuktiolla fz o origossa Taylori sarjakehitelmä fz = a z =0 a C, z <, joka suppeee itseisesti ja paikallisesti tasaisesti kompleksitasossa. Lisäksi pätee lim a = 0. Todistus. Ks. [3, s ]. Esimerkki 2.. Vrt. [3, s ] Logaritmilla L + z o Taylori sarjakehitelmä ku z <. L + z = z 2 z2 + 3 z3 +, Määritelmä 2.3. Ks. [4, s ]. Kokoaie fuktio fz = a z z < =0 voi käyttäytyä äärettömyydessä seuraavalla kolmella tavalla:. Fuktiolla fz o poistuva erikoispiste äärettömyydessä, jos a = 0, ku. Tästä seuraa, että fz = a 0 = vakio. 2. Olkoo k. Fuktiolla fz o k-kertaie apa äärettömyydessä, jos a = 0, ku k +. Tällöi fz = a 0 + a z + + a k z k, missä a k 0. 2

6 3. Fuktiolla fz o oleellie erikoispiste äärettömyydessä, jos äärettömä moi kertoimista a 0. Tällaista fuktiota kutsutaa traskedettiseksi kokoaiseksi fuktioksi. Määritelmä 2.4. Ks. [3, s ]. Fuktiota fz, joka o määritelty avoimessa joukossa O C, saotaa meromorfiseksi fuktioksi, jos se o aalyyttie määrittelyjoukossaa lukuu ottamatta apoja. Lause 2.2. Polyomifuktio fz voidaa esittää ollakohtiesa z,..., z k avulla muodossa fz = a k z z z z k = a k k z z, missä kokoaisluku a k o polyomi korkeita astetta oleva termi kerroi. Todistus. Väite seuraa algebra peruslauseesta. Ks. [3, s. 42]. Lause 2.3. Fuktio fz o kokoaie fuktio, jolla ei ole ollakohtia, täsmällee silloi, ku fz = e gz, missä gz o kokoaie fuktio. Todistus. Ks. [4, s. 48]. Lause 2.4. Kokoaisella fuktiolla fz o äärellise mota ollakohtaa 0, a,..., a k a 0, ku k, jotka ovat järjestyksessä astetta m, m,..., m k, täsmällee silloi, ku fz = e gz z m z a m z a k mk = e gz z m k missä gz o kokoaie fuktio. Todistus. Ks. [4, s ]. z a m, 3 Äärettömistä tuloista Tässä luvussa käsitellää äärettömie tuloje suppeemista sekä Weierstrassi tekijähajotelmaa. 3

7 3. Äärettömä tulo suppeemisesta Määritellää esi ääretö tulo, joka jälkee tarkastellaa se suppeemisee liittyviä ehtoja. Määritelmä 3.. Ks. [4, s. 50]. Lukujoo {a } C,, termeistä muodostettua ääretötä tuloa merkitää a = a a 2 a. Jatkossa o järkevää tarkastella äärettömä tulo a sijasta tuloa + a. Tarkastellaa esi kompleksilukuje äärettömä tulo suppeemista. Tämä jälkee siirrytää tarkastelemaa kompleksiarvoiste fuktioide äärettäömä tulo suppeemista, jossa voidaa käyttää hyväksi vastaavia tuloksia kompleksiluvuilla. Määritelmä 3.2. Vrt. [, s. 9] Tulo + a suppeee, jos o olemassa positiivie kokoaisluku N site, että ku N, ja osatulolla o olemassa äärellie raja-arvo missä P 0. + a 0, + a m m=n lim + a m = P, m=n Määritelmä 3.2 perusteella siis äärellise moi tulo + a tekijöistä saa olla olla. Tulo suppeee, jos ollasta poikkeavista tekijöistä muo- dostettu tulo suppeee. Tarkastelu yksikertaistamiseksi oletetaa jatkossa, että a kaikilla. 4

8 Apulause 3.. Olkoo tulo + a suppeeva. Tällöi a 0, ku. Todistus. Vrt. [4, s. 50]. Olkoo kokoaisluku N kute määritelmässä 3.2. Ku N, ii + a = + a N + a + a + a N + a P P =, ku. Täte o oltava, että a 0, ku. Todistetaa sitte lause, jossa esitetää kompleksilukuje äärettömä tulo suppeemise ja vastaavista luvuista otettuje luoolliste logaritmie päähaaroje äärettömä sarja suppeemise yhtäpitävyys. Lause 3.2. Tulo + a suppeee luvuksi P, jos ja vai jos sarja L + a suppeee luvuksi L P + 2hπi jollaki h Z. Todistus. Vrt. [4, s. 50-5]. Olkoo P = + a + a ja S = L + a k, k= missä. Tällöi P = e S. Oletetaa esi, että sarja L + a suppeee. Tällöi, jos S S, ku, ii P e S ja tulo + a suppeee tuloksi e S. Oletetaa sitte, että tulo + a suppeee luvuksi P 0. O olemassa h Z site, että S = L + a k = l P + 2h πi. k= 5

9 Nyt L + a + = S + S = l P + + 2h + πi l P + 2h πi Määritelmä 2. ojalla saadaa l + a + + i Arg + a + = l P + l P + 2h + h πi. = l P + + i argp + l P i argp + 2h + h πi = l P + + i argp + i argp + 2h + h πi P = l + a + + i argp + i argp + 2h + h πi. Edellee sievetämällä saadaa Arg + a + = argp + argp + 2h + h π. Jos o tarpeeksi suuri, ii argp voidaa valita site, että 3. ArgP π < argp < ArgP + π ks. [3, s ]. Koska L + a + L = 0 ja l P +, l P L P, ku, ii epäyhtälö 3. ojalla o olemassa kokoaisluku 0 site, että Arg + a + < 2π 3, argp + ArgP < 2π 3 ja argp ArgP < 2π 3, ku 0. Täte kolmioepäyhtälö ojalla josta seuraa, että 2 h + h π < 3 2π 3 = 2π, ku 0, h + h <, ku 0. Koska h, h + Z, ii h + = h = h, ku 0. Tällöi ja sarja L + a suppeee. lim S = L P + 2hπi 6

10 Määritelmä 3.3. Tulo suppeee itseisesti, jos tulo suppeee. + a + a Seuraavassa lauseessa todistetaa kompleksilukuje äärettömä tulo itseie suppeemie. Lause 3.3. Seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä tulo + a suppeemise kassa.. Sarja a suppeee. 2. Sarja L + a suppeee. Todistus. Ks. [4, s. 52]. Tarkastellaa raja-arvoa L + z lim. z 0 z L Hôpitali sääö ks. [6, luku 2, s. 4] perusteella saadaa L + z lim = lim z 0 z z 0 + z =. Tästä seuraa, että jokaiselle ɛ > 0 o olemassa δ > 0 site, että 3.2 ɛ z < L + z < + ɛ z, ku 0 < z < δ. Soveltamalla epäyhtälöä 3.2 jokaisee termii L + a,, havaitaa, että majoratti- ja miorattiperiaatteide mukaisesti sarjat a ja L+a suppeevat tai hajaatuvat samaaikaisesti. Tiedetää, että e x = + x + x2 2! + x3 3! +, ku x R ks. [7, s. 670], jolloi + x e x, ku x R. Täte saadaa a + + a + a + a e a + + a, ku. Vastaavasti kui edellä, myös sarja a ja tulo + a suppeevat tai hajaatuvat samaaikaisesti. 7

11 Lause 3.4. Itseisesti suppeeva ääretö tulo suppeee. Todistus. Vrt.[4, s. 53]. Oletetaa, että tulo + a o itseisesti suppeeva. Olkoo P = + a k ja P = + a k. k= k= Oletetaa lisäksi, että P 0 = P 0 = 0. Havaitaa, että sillä P P P P, P P = + a k + a k = a + a k k= k= k= ja P P = + a k + a k = a + a k, k= k= k= ja lisäksi kolmioepäyhtälö ojalla pätee + a k = + a k + a k. k= k= k= Koska oletukse ojalla teleskooppie sarja suppeee, ii sarja P P = lim P k P k = lim P k= P P = lim P k P k = lim P = P k= suppeee itseisesti majorattiperiaattee ojalla. Tarkistetaa vielä, että P 0. Apulausee 3. perusteella tiedetää, että lim + a = ja lausee 3.3 ojalla sarja a suppeee. Tällöi myös sarja a + a = lim a k + a k suppeee. Siis lausee 3.3 perusteella tulo a = lim + a suppeee. Täte P 0. k= k= a k = lim + a k= k + a k = P 8

12 Esimerkki 3.. Osoitetaa, että tulo = + z 2 suppeee, ku z <. Lausee 3.3 perusteella tiedetää, että jos sarja z = 2 suppeee, ii alkuperäie tulo suppeee itseisesti. Tutkitaa sarja suppeemista suhdetesti avulla eli etsitää se suppeemissäde R ks. [3, s. 84]. Siis R = lim 2 = lim + =, 2+ jolloi sarja suppeee, ku z <. Lausee 3.4 ojalla tulo suppeee, ku z <. Määritelmä 3.4. Ks. [4, s. 55]. Olkoo f z : Ω C,. Jos z 0 Ω o sellaie, että tulo + f z 0 suppeee, ii saotaa, että ääretö tulo + f z suppeee pisteessä z 0. Joukkoa Ω kutsutaa tulo suppeemisjoukoksi. Jos osatulo P z = + f k z suppeee tasaisesti fuktioksi fz jouko Ω k= osajoukossa, ii tulo + f z saotaa suppeeva tasaisesti fuktioksi fz kyseisessä osajoukossa. Tulo suppeee paikallisesti tasaisesti jou- kossa Ω, jos se suppeee tasaisesti jokaisessa jouko Ω kompaktissa osajoukossa. Lause 3.5. Olkoo jokaie joo {f z} termi aalyyttie määrittelyjoukossa G ja oletetaa, että ääretö sarja L[ + f z] suppeee tasaisesti jokaisessa jouko G kompaktissa osajoukossa. Tällöi ääretö tulo + f z suppeee tasaisesti aalyyttiseksi fuktioksi fz jokaisessa jouko G kompaktissa osajoukossa. Todistus. Ks. [5, s ]. 9

13 3.2 Weierstrassi tekijähajotelma Tässä luvussa esitetää Weierstrassi tekijähajotelma, joka ataa esitysmuodo kokoaiselle fuktiolle, jolla o äärettömä mota ollakohtaa. Lausee 2.4 perusteella kokoaie fuktio, jolla o äärellise mota ollakohtaa 0, a, a 2,..., a voidaa kirjoittaa muodossa 3.3 e gz z m k z a m, missä gz o kokoaie fuktio. Nyt etsitää esitysmuoto fuktiolle, jolla o äärettömä mota ollakohtaa 0, a, a 2,..., a,... Tällaista fuktiota ei kuitekaa voida suoraa esittää ollakohtiesa avulla esitykse 3.3 tapaa muodossa 3.4 e gz z m z, a missä m 0 ja fuktio gz o kokoaie, sillä ääretö tulo ei välttämättä suppee. Seuraavassa apulauseessa äytetää, mite äärettömästä tulosta esityksessä 3.4 saadaa suppeeva. Apulause 3.6. Olkoo {a } 0 mielivaltaie joo kompleksilukuja site, että lim a =. Tällöi o olemassa polyomit p z,, site, että tulo z e pz a suppeee itseisesti ja paikallisesti tasaisesti kokoaiseksi fuktioksi. Todistus. Vrt. [, s. 95], [4, s. 6-62]. Tarkastellaa sarja 3.5 missä r z, r z = L z + p z a ja π < Im[ r z] π, suppeemista. Lausee 3.5 ojalla pätee, että jos sarja 3.5 suppeee tasaisesti koko kompleksitasossa, ii ääretö tulo z a e pz suppeee tasaisesti kokoaiseksi fuktioksi. 0

14 Olkoo R > 0 kiiitetty. Tarkastellaa termejä, joilla a > R. Ku z R, ii logaritmi L z a voidaa kehittää Taylori sarjaksi sijoittamalla esimerki 2. muuttuja z paikalle z a, jolloi saadaa L z = z z 2 z 3. a a 2 a 3 a Valitaa, että z a z a m, p z = z a + 2 m missä m Z +. Tällöi r z = z m+ z m+2 m + a m + 2 a z k =. k a k=m + Arvioidaa jääökse r z itseisarvoa. Siis k= r z k=m + k R k a m+ R k R. m + a k= a Nyt, jos o tarpeeksi suuri, ii a > 2R ja tällöi geometrise sarja summa o. k R R a a Siis m+ R k R = m + a k= a R m + a 2 m + R a m+ R a m+. Osoitetaa vielä, että luku m voidaa valita site, että sarja R m+ m + a suppeee millä tahasa kiiitetyllä R > 0. Olkoo m =, ku. Koska oletukse ojalla lim a =, ii jokaiselle kiiitetylle R > 0 pätee a > 2R, ku o riittävä suuri. Olkoo k > 0 tämä rajaluku ja k. Tällöi sarja =k + R + a =k 2 +

15 suppeee. Tästä seuraa, että jos z R. Täte lim r z = 0, π < Im[ r z] π, kuha o tarpeeksi suuri. Siis sarja r z suppeee itseisesti ja Weierstrassi M-testi ojalla ks. [, s. 37] tasaisesti, ku z R ja täte tulo z a e pz suppeee itseisesti lausee 3.3 ojalla ja lausee 3.5 perusteella tasaisesti aalyyttiseksi fuktioksi, ku z < R. Nyt saadaa esitysmuoto fuktiolle, jolla o äärettömä mota ollakohtaa. Esitystä kutsutaa Weierstrassi tekijähajotelmaksi. Lause 3.7 Weierstrassi tekijähajotelma. Olkoo fz kokoaie fuktio, joka ollakohdat ovat a, a 2,, a,... site, että 0 < a a 2 a ja lim a =. Tällöi jokaie kokoaie fuktio, jolla o ämä ja vai ämä ollakohdat sekä origossa mahdollie astetta m 0 oleva ollakohta, o muotoa fz = e gz z m missä m Z ja gz o kokoaie fuktio. z a e z a + 2 z a m z a m, Todistus. Vrt. [8, s. 250]. Apulausee 3.6 todistukse ojalla fuktio hz = z m z a e z a + 2 z a m z a m o kokoaie fuktio, jolla o samat ollakohdat kui fuktiolla fz. Täte fz/hz o kokoaie fuktio, jolla ei ole ollakohtia, jote se voidaa kirjoittaa muodossa e gz, missä gz o kokoaie fuktio. Väite seuraa tästä. Lause 3.8. Jos o olemassa kokoaisluku h 0 site, että sarja a h+ 2

16 suppeee, ii myös sarja R h+ h + a suppeee kaikilla kiiitetyillä R > 0. Tällöi tulo z e z a + 2 z a h z a h, a missä h > 0, tai tulo z a, missä h = 0, suppeee kompleksitasossa itseisesti ja paikallisesti tasaisesti kokoaiseksi fuktioksi. Todistus. Väite seuraa apulausee 3.6 todistuksesta. Ks. [, s. 96]. Määritelmä 3.5. Ks. [4, s. 63]. Olkoo h 0 piei kokoaisluku site, että sarja a h+ suppeee. Tällöi tuloa z a e z a + 2 z a h z a h saotaa kaoiseksi tuloksi liittye jooo {a } ja kokoaislukua h se geukseksi. Huomautus. Määritelmästä 3.5 seuraa, että kaoie tulo liittye aettuu jooo {a } o yksikäsitteie, ku. Määritelmä 3.6. Ks. [4, s. 63]. Jos ääretö tulo fuktio fz Weierstrassi tekijähajotelmassa o kaoie tulo, jolla o geus h, ja fuktio gz o polyomi, ii fuktiolla fz saotaa oleva äärellie geus ja geus fz = max{h, deggz}, missä deggz o polyomi gz asteluku. Esimerkki 3.2. Vrt. [, s ]. Osoitetaa, että si πz = πz = z e z 0. 3

17 Olkoo 0. Tiedetää, että si πz = 0, ku z = ja Z. Koska sarja hajaatuu harmoisea sarjaa ja sarja suppeee yliharmoisea sarjaa ks. [6, luku 4, s. ], ii määritelmä 3.5 perusteella o oltava 2 h =. Tällöi Weierstrassi tekijähajotelma o oltava muotoa si πz = ze gz = z e z 0. Määritetää fuktio gz, jota varte otetaa yhtälöstä puolittai luoollie logaritmi, jolloi se tulee muotoo [ lsi πz = l ze gz z ] 3.6 e z = [ = l z + gz + l z z + 0. ] Koska sarja = = [ l z z + ] 0 termit ovat aalyyttisiä ja se suppeee tasaisesti koko kompleksitasossa apulausee 3.6 ojalla, ii sarja voidaa derivoida termeittäi ks. [, s. 77]. Derivoimalla yhtälö 3.6 puolittai saadaa Koska ii voidaa kirjoittaa π cos πz si πz = z + g z + π cot πz = [ = z + ] π cos πz si πz, π cot πz = [ z + g z + = z + ] Siis g z = 0, sillä tiedetää [, s.88-89], että π cot πz = z + [ = z + ] 0. Tällöi fuktio gz o vakiofuktio. Ku z 0, ii ja e gz = si πz z z e z 4 π e gz 0.

18 Täte e gz = π ja si πz = πz = 4 Gammafuktiosta z e z 0. Gammafuktio teoria kehittely alkoi ogelmasta löytää esitys, joka saa arvo! positiivisella kokoaisluvulla, ja joka voidaa yleistää mielivaltaiselle reaaliluvulle x. Ratkaisuksi positiiviste kokoaislukuje kertomalle saatii tuettu epäoleellie itegraali 0 e t t dt =!. Korvaamatta kuitekaa suoraa termiä termillä x tarkasteltiiki fuktiota, joka ataa positiiviselle kokoaisluvulle arvo!. Saatii gammafuktio Γx = 0 t x e t dt. Vrt. [2, s. ]. Tässä tutkielmassa tarkastellaa gammafuktio yleistystä kompleksiluvuille. Aloitetaa todistamalla lause, jossa äytetää millaista muotoa kompleksise gammafuktio täytyy olla. Lause 4.. Olkoo fz meromorfie fuktio site, että seuraavat ehdot pätevät. f =, 2. fz + = zfz ja 3. fuktiolla f ei ole ollakohtia, mutta sillä o yksikertaiset avat pisteissä z = 0,, 2,... Tällöi fuktio fz o oltava muotoa fz = e gz z, + z e z missä gz o kokoaie fuktio site, että g = γ + 2kπi ja gz + gz = γ + 2lπi, missä k, l Z ja γ = lim k= l. k 5

19 Todistus. Vrt. [4, s ]. Tarkastellaa fuktiota fz, joka o edellee meromorfie fuktio, jolla ei ole apoja, mutta sillä o ollakohdat vai pisteissä z = 0,, 2,... Tiedetää ks. [4, s. 58], että tulo + z z e suppeee itseisesti ja paikallisesti tasaisesti koko kompleksitasossa. Lausee 3.7 perusteella tulo z + z z e o kokoaie fuktio, jolla o yksikertaiset ollakohdat vai pisteissä z = 0,, 2,... Tällöi osamäärä fz z + z e z o myös kokoaie fuktio, jolla ei ole ollakohtia kompleksitasossa. Täte lausee 2.3 ojalla se voidaa kirjoittaa muodossa e gz, missä gz o kokoaie fuktio. Siis e gz = fz z, + z e z josta saadaa, että fz = e gz z. + z e z Kirjoitetaa yt fz = lim f z, missä f z = = e gz z k= + z k e z k e gz z + z + z + z z 2 e k= k =!e gz+ z k= k zz + z +. Oletukse perusteella fz + = zfz, jote 4. = zfz fz + = lim zf z f z +. 6

20 Termi f z + saadaa termistä f z sijoittamalla muuttuja z paikalle z +. Siis f z + =!e gz++ z+ k= k z + z + + z + +. Sijoitetaa termit f z ja f z + alkuperäise yhtälöketju 4. oikeaa puolee ja sieveetää, jolloi saadaa Siis lim zf z f z + = lim z + + egz+ gz k= k = lim + z + = e gz+ gz γ. e gz+ gz γ =. egz+ gz [ k= l ] k Otetaa yhtälöstä vielä puolittai luoollie logaritmi, jolloi se tulee muotoo gz + gz γ = 2lπi, missä l Z, sillä l = l + i arg = i2πl. Täte gz + gz = γ + 2lπi. Vastaavasti oletukse perusteella f =, jote = lim f = lim = lim!e g +!e k= k e g+[ k= = lim + Vastaavasti kui edellä saadaa missä k Z. Yksikertaisi fuktio gz o e g e k k= + k l ] k = lim + = e g+γ. g = γ + 2kπi, gz = γz, jolloi vastaavaa fuktiota fz merkitää Γz. 7 e g e l e k= k

21 Määritelmä 4.. Ks. [4, s. 86]. Fuktiota Γz = e γz z + z, e z missä z C \ {0,, 2,... } ja γ = lim k= l, saotaa gammafuktioksi Weierstrassi k muodossa. Esimerkki 4.. [4, s. 96, teht. 5a] Lausutaa ääretö tulo gammafuktio avulla. Havaitaa, että josta saadaa Γ = 2 e γ 2 2 e 2 2 e 2, 2 e 2e γ 2 2 = 2 Γ. 2 Lause 4.2. Gammafuktio voidaa esittää muodossa missä z C \ {0,, 2,...}.! z Γz = lim zz + z +, Todistus. Ks. [4, s. 87]. Osoitetaa, että e γz z + z e z! z = lim zz + z +, ku z C \ {0,, 2,... }. Siis Koska e γz z + z e z lim = lim = lim = lim = lim e γz z + z + z + z z 2 e k= k k= z γz!e zz + z + 2 z +!e k=!e k= k= k γz zz + z + 2 z + l γz+z l k zz + z + 2 z +. k l = γ, 8

22 ii Γz = lim!e z l zz + z + 2 z +! z = lim zz + z + 2 z +. Lausee 4.2 esitystä gammafuktiolle kutsutaa Gaussi esitysmuodoksi. Seuraavissa lauseissa 4.3 ja 4.4 esitetää kaksi muuta gammafuktio esitysmuotoa iitä kuitekaa todistamatta. Lause 4.3. Euleri itegraaliesitys gammafuktiolle o missä t R ja Re[z] > 0. Todistus. Ks. [4, s ]. Γz = 0 e t t z dt, Lause 4.4. Jos z C \ {0,, 2,...}, ii Γz = =0!z + + e t t z dt, missä sarja suppeee itseisesti ja paikallisesti tasaisesti, ku z kuuluu määrittelyalueeseesa sekä itegraali o kokoaie fuktio. Todistus. Ks. [4, s ]. Lausee 4.4 muotoa gammafuktiolle kutsutaa osamurtoesitykseksi. Seuraavassa lauseessa todistetaa ehdot, jotka määrittävät gammafuktio. Lause 4.5. Jos o olemassa aalyyttie fuktio F z, joka o määritelty joukossa C \ {0,, 2,... } ja joka täyttää ehdot. F =, 2. F z + = zf z, 3. lim F z+ z F =, ii F z = Γz, ku z 0,, 2,... 9

23 Todistus. Ks. [4, s. 20]. Havaitaa, että F z + = z + F z + ku ja z 0,,...,. Täte = z + z + 2F z + 2 = z + z + zf z = zz + z + F z, F + =!, ku 0. Nyt oletukse ja lausee 4.2 ojalla F z + zz + z + = lim z F = lim F z = F z z! Γz, ku z 0,, 2,... Siis F z = Γz. Apulause 4.6 Euleri vakio. Olkoo z C \ {0,, 2,...}. Tällöi jos missä Gz = + z e z, ii Gz = ze γ Gz, γ = lim Todistus. Olkoo z =. Tällöi Koska G0 =, ii 4.2 e γ = k= k l. G0 = e γ G. Kirjoitetaa :s osatulo auki ja saadaa k= + e. + e k = e k 2 3 =! e ! = e ! = + e

24 Palataa sitte takaisi äärettömää tuloo 4.2 ja kirjoitetaa e γ = lim + e k= k. Ottamalla yhtälöstä puolittai luoollie logaritmi saadaa γ = l + e k= k lim k = lim l + e k= = lim l +. k k= Ku, ii l + l, jote γ = lim k l. k= Seuraavaksi todistetaa Euleri fuktioaaliyhtälö. Lause 4.7 Euleri fuktioaaliyhtälö. Olkoo z C \ {0,, 2,...}, tällöi 4.3 ΓzΓ z = π si πz. Erityisesti Γ 2 = π. Todistus. Vrt. [, s ]. Fuktio si πz yksikertaiset ollakohdat ovat pisteissä z = 0, ±, ±2,... Tarkastellaa fuktiota Gz = + z e z, jolla o yksikertaiset ollakohdat pisteissä z =, 2,... Tällöi o selvää, että fuktiolla G z o yksikertaiset ollakohdat pisteissä z =, 2,... Esimerki 3.2 avulla saadaa 4.4 zgzg z = z = z = z = = = si πz π. + z e z z e z z e z z e z z e z 0 2

25 Havaitaa, että fuktiolla Gz o samat ollakohdat kui fuktiolla Gz, sekä lisäksi ollakohta origossa. Täte voidaa kirjoittaa lausee 3.7 ojalla 4.5 Gz = ze γz Gz, missä γz o kokoaie fuktio. Seuraavaksi määritetää fuktio γz. Sijoitetaa Gz = jolloi yhtälö 4.5 tulee muotoo z + z e z+ = ze γz e z+, + z e z. Ottamalla yhtälöstä 4.6 puolittai luoollie logaritmi saadaa [ l + z ] [ e z+ = l ze γz + z ] e z. Käyttämällä logaritmi laskusäätöjä yhtälö tulee muotoo [ l + z ] [ e z+ = l z + l e γz + l + z ] e z ja edellee saadaa [ l + z ] e z+ = l z + γz + Derivoimalla yhtälö puolittai saadaa 4.7 [ l + z ] e z. z + = z + γ z + z +. Muutetaa yhtälö 4.7 vasemma puole summa alkamaa ollasta korvaamalla luku luvulla +, jolloi saadaa z + = =0 z = =0 z + + = z + z + + = z + z

26 Lisäksi sillä ku, ii =, + k= k = + k = + = 0 =. Nyt alkuperäie yhtälö 4.7 tulee muotoo z + z + + = z + γ z + z +, jote γ z = 0. Täte fuktio γz o vakiofuktio ja merkitää γz = γ. Siis yhtälö 4.5 tulee muotoo 4.8 Gz = ze γ Gz, jote vakio γ o apulausee 4.6 mukaie Euleri vakio. Tarkastellaa fuktiota Hz = Gze γz, joka toteuttaa fuktioaaliyhtälö Hz = zhz, sillä Gz e γz = zgze γz, joka sieveee fuktioaaliyhtälöksi 4.8. Tällöi fuktio totetuttaa yhtälö Γz = zhz 4.9 z Γz = Γz, sillä Γz = ku z 0,. Nyt z Hz = z zhz = Γz z, Γz = zhz = ze γz Gz, 23

27 jote Edellee sillä G z = Täte yhtälö 4.4 ojalla si πz π josta seuraa, että Gz = Γzze γz. Γ z ze = γz Γ ze, γz Γ z = Γ z. z = zgzg z = z Γzze γz Γ ze = γz ΓzΓ z, ΓzΓ z = π si πz. Osoitetaa vielä lopuksi, että Γ 2 = π. Nyt ja täte Γ Γ 2 2 = Γ = 2 2 Γ = 2 π. π si = π π 2 Lause 4.8. Jos z C \ {0,, 2,...}, ii Γz + = zγz Todistus. Lausee 4.7 todistuksessa saatii yhtälö 4.9 z Γz = Γz. Sijoittamalla muuttuja z paikalle z + saadaa zγz = Γz +. Todistetaa sitte eräs gammafuktio perusomiaisuus luoollisille luvuille. Lause 4.9. Oletetaa, että N. Tällöi Γ 2 + = 2! π. 4! 24

28 Todistus. Koska lausee 4.8 perusteella Γz + = zγz, ii kute lausee 4.5 todistuksessa saadaa Γ 2 + = 2 + Γ 2 + = 3 Γ = 3 3 Γ = Γ = Γ = Γ 2 2! 2 2! = 2 2! Γ 2 22! = 2 2 2! Γ 2 = 2! 4! Γ. 2 Lausee 4.7 perusteella Γ 2 = π, jote Γ 2 + = 2! π. 4! Esimerkki 4.2. Mitä o Γ 7 2? Koska Γ 7 2 = Γ + 2 3, ii lausee 4.9 perusteella Γ = 6! π 4 3 3! = π = 5 π 8 3, 323. Esimerkki 4.3. [4, s. 209, teht. b] Osoitetaa, että ΓzΓ z = 25 π z si πz,

29 ku z C \ Z, ja se avulla, että missä y = Im[z]. Lausee 4.8 perusteella Γiy 2 = π y sih πy, Γz + = zγz, joho sijoittamalla muuttuja z paikalle z saadaa Γ z = zγ z. Sijoittamalla tämä Euleri fuktioaaliyhtälöö 4.3 saadaa ja edellee Koska ku y = Im[ z], ii Γiy 2 = Γz zγ z = ΓzΓ z = π si πz, π z si πz. ΓiyΓ iy = ΓiyΓiy = ΓiyΓiy = Γiy 2, π iy si πiy = π iy ei2 πy e i2 πy 2i = π y eπy e πy 2 = π y sih πy. Lauseissa 4.0 ja 4. esitetää todistamatta kaksi tulokaavaa. Lause 4.0. Olkoo z C \ {0,, 2,...}. Tällöi pätee yhtälö πγ2z = 2 2z ΓzΓ z +, 2 jota kutsutaa Legedre tulokaavaksi. Todistus. Ks. [4, s ]. Lause 4.. Olkoo z C \ {0,, 2,...}. Tällöi pätee yhtälö 2π 2 Γz = z z 2 Γ Γ z + joka tuetaa imellä Gaussi tulokaava. Todistus. Ks. [4, s ]. Γ z +, 26

30 Viitteet [] Alfors, Lars V. Complex Aalysis, Third Editio. McGraw-Hill, Ic., 979. [2] Arti, Emil The Gamma Fuctio. Holt, Riehart ad Wisto, Ic., 964. [3] Li, I-Hsiug Classical Complex Aalysis, A Geometric approach Vol.. World Scietific Publishig Co. Pte. Ltd., 20. [4] Li, I-Hsiug Classical Complex Aalysis, A Geometric approach Vol.2. World Scietific Publishig Co. Pte. Ltd., 20 [5] Markushevich, Alekseï I. Theory of Fuctios of a Complex Variable, Secod Editio. Chelsea Publishig Compay, 977. [6] Pohjolaie, S. Kompleksimuuttuja fuktioita. Kurssimateriaali, Sisäie julkaisu, Tamperee tekillie yliopisto, 20. [7] Salas, S., Hille, E., Etge, G. Calculus, Oe ad several variables, Nith Editio. Joh Wiley & Sos, Ic [8] Ullrich, David C. Complex Made Simple. The America Mathematical Society,