Fourier n sarjan suppeneminen

Transkriptio

1 Fourier sarja suppeemie Leevi Aala Matematiika pro gradu -tutkielma Jyväskylä yliopisto Matematiika ja tilastotietee laitos 7

2

3 Tiivistelmä: Leevi Aala, Fourier sarja suppeemie, matematiika pro gradu -tutkielma, 7s., Jyväskylä yliopisto, Matematiika ja tilastotietee laitos, kesäkuu 7. Fuktio f Fourier sarja o ääretö fuktiosarja, jossa summataa fuktiosta f ja summausideksistä riippuvia Fourier kertoimia fuktiolla e ix kerrottua. Fourier sarjoja käytetää esimerkiksi osittaisdifferetiaaliyhtälöide ratkaisemisee. Tässä tutkielmassa käsitellää Fourier sarja suppeemista. Ku Fourier sarja keksittii, pitkää luultii, että jatkuva fuktio Fourier sarja suppeee aia. Tässä työssä osoitetaa, että äi ei ole. Esi työssä osoitetaa, että jatkuva fuktio Fourier sarja melkei suppeee, eli o Abel- ja Cesàro-summautuva. Abel-summautuvuudessa sarja summattavat kerrotaa luvulla r, missä luku r o itseisarvoltaa pieempi kui ja kertoo moesko summattava o kyseessä, ja tutkitaa suppeeeko äi saatu sarja a r. Cesàro-summautuvuudessa puolestaa lasketaa osasummie keskiarvoja, ja tutkitaa suppeeeko osasummie keskiarvoje joo. Lisäksi todistetaa, että ku fuktio o rajoitetusti heilahteleva, ii se Fourier sarja suppeee iissä pisteissä, missä fuktio o jatkuva. Tämä tarkoittaa samalla sitä, että ku fuktio o paloittai C -fuktio, Lipschitz-jatkuva tai absoluuttisesti jatkuva, ii fuktio Fourier sarja suppeee. Viimeiseä työssä esitellää jatkuva fuktio, joka Fourier sarja hajaatuu. Fuktio kostruoiissa käytetää meetelmää, jossa kasaomaisesti saottua pieet ogelmat kasaatuvat ja tuottavat massiivisia ogelmia.

4

5 Sisältö Johdato Itegroitiytimiä ja muita tarpeellisia esitietoja. Sekalaisia työkaluja Itegroitiytimiä Fuktioide omiaisuuksia Fourier sarja 5 4 Fourier sarja suppeemie 3 4. Abel-summautuvuus Cesàro-summautuvuus Fourier sarja pisteittäie suppeemie Fourier sarja suppeemie Esimerkki jatkuvasta fuktiosta, joka Fourier sarja ei suppee.. 6 i

6 ii

7 Johdato Fourier sarja f ()e ix, missä f () π f (x)e ix dx, kute moi muuki matemaattie idea, o aluperi fysiika tarpeisii sytyyt. Raskalaie matemaatikko ja fyysikko Jea-Babtiste Joseph Fourier tutki 8- luvu alussa lämmö johtumista kiiteissä materiaaleissa ja esitteli tutkimuksesa ohessa äärettömä sarja, joka ykyisi tuetaa Fourier sarjaa. Saksalaie Peter Dirichlet puolestaa formalisoi asia tarkemmi ja osoitti muu muassa, että aia ku fuktio o piirrettävissä, eli paloittai sileä, ii se Fourier sarja suppeee. Aluksi kaikille oli täysi selvää, että kaikkie jatkuvie fuktioide Fourier sarjat suppeevat. Tämä todistamie osoittautui kuiteki odotettua hakalammaksi, ja epäilykset heräsivät. Vuoa 876 Paul du Bois-Reymod esitteliki jatkuva fuktio, joka Fourier sarja ei suppee. Jäljelle jäi kysymys, millä ehdolla Fourier sarja sitte suppeee. Tässä työssä tutustutaa tarkemmi tähä 9-luvu alussa ratkaistuu kysymyksee. Fourier sarja suppeemista voidaa tarkastella aiaki kahdesta eri äkökulmasta. Voidaa määritellä erilaisia suppeemistapoja, jotka ovat erilaisia kui periteie pisteittäie tai tasaie suppeemie, ja käyttää iitä Fourier sarja tutkimisee. Esimerkiksi voidaa saoa, että sarja a k o Abel-summautuva k jos sarja k r k a k suppeee. Nyt voitaisii tutkia, oko fuktio f Fourier sarja esimerkiksi Abel-summautuva. Toie äkökulma o tutkia, mitä omiaisuuksia fuktiolla pitää olla, että fuktio Fourier sarja suppeee periteisessä mielessä. Ku tutkitaa fuktio f Fourier sarjaa esimmäisellä tavalla, huomataa, että ku fuktio f o jatkuva, ii se Fourier sarja o Abel-summautuva ja Cesàrosummautuva. Toisella tavalla tutkittuva huomataa, että jos fuktio f o rajoitetusti heilahteleva, ii se Fourier sarja suppeee kaikissa iissä pisteissä, missä fuktio f o jatkuva. Silloi myös absoluuttisesti jatkuva fuktio, C -fuktio ja Lipschitz-jatkuva fuktio Fourier sarja suppeee. Fourier sarjalla o moia mielekiitoisia sovelluksia, joihi tässä työssä ei syvällisesti tutustuta. Esimerkiksi peruakellari ihateellise syvyyde määrittämisee

8 voi käyttää Fourier sarjaa []. Aikaisemmi maiittu Fourier tutkima lämmö johtumie o luoteeltaa osittaisdifferetiaaliyhtälöogelma, ja Fourier sarjaa voi käyttää muihiki osittaisdifferetiaaliyhtälöogelmii, kute vaikkapa kitara kiele värähtely ymmärtämisee. Tässä työssä o käytetty päälähteeä Rajedra Bhatia kirjaa Fourier Series []. Määritelmie, tekstikappaleide ja lauseide lähteeä o tämä päälähde ellei toisi maiita. Jos lausee muotoilussa ja todistuksessa ei kummassakaa ole lähdeviitettä, ii todistus o kirjoittaja omaa tuotosta. Lisää hyvää luettavaa aiheesta löytyy muu muassa Dymi ja McKeai kirjasta Fourier Series ad Itegrals [] ja Mikko Salo luetomoisteesta Fourier aalysis ad distributio theory [7]. Itegroitiytimiä ja muita tarpeellisia esitietoja Tässä kappaleessa esitellää tarpeellisia esitietoja, jotka eivät aiakaa kirjoittaja mielestä ole triviaaleja. Kappale koostuu kolmesta osasta. Esimmäisessä osassa o sekalaisia esitietoja, toisessa käsitellää itegroitiytimiä, ja kolmaessa fuktioide omiaisuuksia.. Sekalaisia työkaluja Weierstrassi M-testi o eräs fuktiosarja suppeemistesti. Lause. (Weierstrassi M-testi). Olkoo f reaali- tai kompleksiarvoie fuktiojoo f : A C. Jos o olemassa sellaie lukujoo M, jolle pätee f (x) M kaikilla x A ja Z ja M <, ii fuktiosarja f (x) suppeee tasaisesti joukossa A.

9 Todistus. [8] Tarkastellaa fuktiosarja osasummia S (x) f k (x). k Tiedetää, että M suppeee ja M kaikilla. Tällöi Cauchy kriteeri mukaa kaikille ɛ > o olemassa N N site, että kaikilla luoollisilla luvuilla ja m joille > m > N pätee (m+) k M + M < ɛ. k(m+) Nyt osasummille S (x) ja S m (x) pätee (m+) S (x) S m (x) f + k < ɛ (m+) f + k f k(m+) f k(m+) (m+) k (m+) k f + M + k(m+) f M k(m+) kaikilla x A. Tämä tarkoittaa sitä, että f (x) suppeee tasaisesti. Kovoluutiota käytetää tässä työssä Fourier sarja laskemise helpottamiseksi. Kovoluutio ja itegroitiytimie avulla voidaa ääretö sarja muuttaa suhteellise yksikertaiseksi itegraaliksi. Määritelmä. (Kovoluutio). Kahde π-jaksollise itegroituva fuktio f ja g kovoluutio ( f g)(x) määritellää seuraavasti: ( f g)(x) f (x t)g(t)dt. Kovoluutio o määritelty iissä pisteissä x, joissa f (x t)g(t) dt <. a suppeee jos, ja vai jos kaikille ɛ > o olemassa N N s.e. a + + a a +p < ɛ pätee kaikille > N ja p. 3

10 Lemma.3 ( ). Jos f ja g ovat itegroituvia π-jaksollisia fuktioita, ii ( f g)(x) (g f )(x). Todistus. π-jaksolliste fuktioide f ja g kovoluutioille pätee ( f g)(x) x+π x (g f )(x). f (x t)g(t)dt f (t)g(x t)dt f (t)g(x t)dt Diraci joo o melko keskeie tässä työssä. Diraci joo ja jatkuva fuktio f kovoluutio suppeee tasaisesti fuktioo f, ku. Ku tutkitaa itegroitiytimiä, huomataa, että osa iistä o Diraci jooja. Tällöi Fourier sarja suppeemiseksi riittää, että Fourier sarja voi saoa fuktio f ja joki Diraci joo kovoluutioa. Valitettavasti tämä osoittautuu mahdottomaksi, mutta oeksi tästä tulee olemaa jotai muuta hyötyä. Määritelmä.4. Fuktiojooa Q : [,π] R saotaa Diraci jooksi, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: kaikilla N: (i) Q (t) (ii) Q ( t) Q (t) (iii) Q (t)dt ja (iv) Jokaiselle ɛ > ja δ > o olemassa sellaie N, jolle δ Q (t)dt + δ Q (t)dt < ɛ kaikilla > N. Fuktiojoukkoa Q r : [,π] R, r saotaa Diraci perheeksi, jos vastaavat ehdot ovat voimassa. Aputulokse ja lemma ero o tässä työssä hiuksehieo. Lemma o yleismaailmallisempi tulos kui aputulos, jota käytetää oikeastaa vai seuraava lemma tai lausee todistamisee. 4

11 Lause.5. Jos fuktio f o jatkuva ja π-jaksollie ja Q o Diraci joo, ii Q f suppeee tasaisesti fuktioo f, ku. Todistus. [] Olkoo h Q f, jolloi pätee h (x) f (x) f (x t)q (t)dt f (x) f (x t)q (t)dt f (x) f (x t)q (t)dt ( f (x t) f (x))q (t)dt. Q (t)dt f (x)q (t)dt Olkoo ɛ > mikä tahasa. Fuktio f o tasaisesti jatkuva välillä [,π], jote o olemassa δ > site, että f (x t) f (x) < ɛ kaikilla t [ δ,δ]. Olkoo M sup x π f (x). Käyttämällä Diraci joo eljättä omiaisuutta, voidaa valita N, jolle pätee δ Q (t)dt + δ Q (t)dt < ɛ 4M aia, ku N. Fuktiolle h (x) f (x) pätee h (x) f (x) ( f (x t) f (x))q (t)dt δ δ ( f (x t) f (x))q (t)dt + ( f (x t) f (x))q (t)dt δ + ( f (x t) f (x))q (t)dt δ δ δ ( f (x t) f (x))q (t)dt + ( f (x t) f (x))q (t)dt δ + ( f (x t) f (x))q (t)dt. δ 5

12 Tutkitaa tätä paloittai. Ku > N, esimmäiselle ja viimeiselle itegraalille pätee δ δ ( f (x t) f (x))q (t)dt + ( f (x t) f (x))q (t)dt δ f (x t) f (x) Q (t)dt + MQ (t)dt + δ M( Q (t)dt + δ δ δ δ MQ (t)dt f (x t) f (x) Q (t)dt Q (t)dt) < M ɛ 4M ɛ. Keskimmäiselle itegraalille pätee δ δ δ ( f (x t) f (x))q (t)dt f (x t) f (x)) Q (t) dt Nyt fuktiolle h (x) f (x) pätee < δ δ ɛ. δ ɛ Q (t)dt h (x) f (x) < ɛ kaikilla > N, jolloi fuktiojoo h suppeee tasaisesti fuktioo f.. Itegroitiytimiä Itegraalimuuos T määritellää seuraavasti: (T f )(x) t t K x (t) f (t)dt. Tässä f o muuettava fuktio, ja fuktiota K x (t) saotaa itegraalimuuokse ytimeksi tai itegroitiytimeksi. Tätä voidaa myös merkitä K(x,t) tai K(t,x). Tässä työssä käytetää seuraavia itegroitiytimiä:. Dirichlet ydi D (t) π e ikt, missä N, k 6

13 . Fejéri ydi: F (t) D k (t), missä N \ {}, k 3. Poissoi ydi: P r (x) π r k e ikx, missä r <. k Lause.6 (Dirichlet ytime omiaisuuksia). Dirichlet ytimellä o seuraavia omiaisuuksia: (i) D ( t) D (t), (ii) D (t)dt, (iii) D (t) π si((+ )t). si t Todistus. (i) Esimmäie kohta seuraa siitä, että Dirichlet ydi o summa kokoaisluvusta kokoaislukuu : D ( t) π e ik( t) π k e i( k)t π k e ikt D (t). k (ii) Huomioidaa esi, että Dirichlet ytime itegraali o ytime summattavie itegraalie summa: D (t)dt π e ikt dt. k Ku äitä itegraaleja lasketaa, ii huomataa, että itegraalilla o kaksi mahdollista arvoa: e ikt dt ki π/ e ikt, ku k, eikt dt dt π, ku k. Nyt Dirichlet ytime itegraali saadaa muotoo D (t)dt ( π ). π 7

14 (iii) Dirichlet ydi voidaa ilmoittaa muodossa D (t) π D (t) π k e ikt π π cos (kt) + i π k ( ) π + cos (kt) + i π k ( ) π + cos (kt) π k (cos (kt) + i si (kt)) k si (kt) k k ( + Re ( (si (kt) si (kt)) ( + Re ( )) e ikt. k k e ikt )): Ku tälle käytetää geometrise sarja summa kaavaa, ii Dirichlet ydi saadaa muuettua seuraavaa muotoo: ( ( )) D (t) π + Re e it e it(+) e it ( )) (e π + Re it eit e it ( ) i π + Re e t e i t e i t eit ( ) e i t e i t e i t t ( π + Re e it ei i si( t ) e i t ( i si t ) ( ( )) π π π ( + Re + Re ( + si t si t e i t(+) ( si t si t ( si t + si t π si t si t si t ( cos cos t(+) cos t(+) ( ) t(+) ) ). ) )) + i si t(+) Tämä saadaa trigoometriste fuktioide summakaavoja ja kaksikertaise 8

15 kulma kaavoja [5] käyttämällä lopullisee muotoosa: D (t) si t + si t t(+) cos π si t ( si t π si t + si t cos ( t + )) t ( si t π si t + si t ( cos t cos t si t si )) t ( si t π si t + si t cos t cos t si t si t si ) t ( cos t si t π si t + si t cos t cos ) t ( cos t si t + si (t) cos ) t π si t π si t si π (( ) ) si + t (( + si t ) ) t. Dirichlet ytimie joo ei kuitekaa ole Diraci joo, sillä Dirichlet ytimet eivät ole kaikkialla positiivisia. Esimerkiksi ku t 3 pätee D (3) si(( + )3) π si(3/) Tämä äkyy myös esimerkiksi kuvasta. < π si(3/). Fejeri ytimie joo F se sijaa o Diraci joo. Diraci joo esimmäise ehdo mukaa Fejeri ytime o oltava positiivie. Se todistamista varte täytyy laskea Fejeri ydi auki ja katsoa, mitä siitä tulee: F (t) D k (t) k k k si((k + ) t ) π si(t/) si((k + )t) π si(t/) 9

16 π si(t/) si((k + ) t ) π si(t/) π si(t/) k k si((k ) t ) Im(e i(k ) t ) k π si(t/) Im( e i(k ) t ). k Tehdää tässä vaiheessa laskemise helpottamiseksi muuttujavaihto t x. F (x) π si(x) Im( e i(k )x ) k π si(x) Im( e ix e ikx ) k π si(x) Im(e ix eix e ix(+) e ix ) e ix+ix π si(x) Im(eix e ix ) e ix(+ ) π si(x) Im(eix e ix ) Im(eix( ) e ix(+) π si(x) e ix e ix ) (e ix e ix ) π si(x) Im(eix e ix (e ix e ix ) eix ) si(x)) Im((i e ix ) π si(x) i si(x) (si(x)) si(x) π si(x) si(x) (si (x)) π si (x).

17 Toise ehdo mukaa Fejeri ytime o oltava symmetrie. Se seuraa suoraa Dirchleti ytime symmetrisyydestä: F ( t) D k ( t) D k (t) F (t). k k Kolmae ehdo mukaa Fejeri ytime itegraali väli [,π] yli o oltava. Tämä seuraa siitä, että äärellise summa ja äärellise itegraali järjestystä voidaa vaihtaa, kuha itegroitava fuktio o itegroituva: F (t)dt k D k (t)dt D k (t)dt k. k Neljäe ehdo mukaa kaikilla ɛ > ja δ > o olemassa sellaie N N jolle pätee δ F (t)dt + δ F (t)dt < ɛ aia, ku N. Tämä todistamiseksi arvioidaa fuktiota F (t) seuraavalla tavalla: F (t) si (t/) π si (t/) cos(t) π cos(t) < π cos(δ), ku < δ t π. Seuraavaksi voidaa arvioida itegraalia. Ku valitaa N > π δ πɛ si ( δ ), ii itegraalille pätee aia, ku > N δ F (t)dt + δ F (t)dt δ δ δ F (t)dt δ π Nπ π δ Nπ si ( δ ) si ( δ)dt si ( δ )dt π cos(δ) dt

18 Nyt seuraava lause o todistettu: π δ < π δ πɛ si ( δ )π si ( δ) ɛ. Lause.7. Fejeri ytimie joo F o Diraci joo. Lisäksi Fejeri ytimelle pätee F (t) si ( t ) π si ( t ) cos(t) π cos(t). Lause.8 (Poissoi ytime omiaisuuksia). Poissoi ytimellä o seuraavia omiaisuuksia. (i) P r (x) π r e ix π (ii) Poissoi ydi P r (x) o Diraci perhe. r r cos x + r Re( π + re ix ), reix Todistus. Todistetaa esi, että omiaisuude (i) molemmat yhtäsuuruudet ovat tosia. Muistetaa, että r < : π r e ix π ( r e ix + π ( (re ix ) + re ix r e ix ) (re ix ) ) π ( re ix + re ix ) π ( (re ix )( re ix ) ( re ix )( re ix ) + re ix ( re ix )( re ix ) ) (re ix )( re ix ) + re ix π ( re ix )( re ix ) re ix r + re ix π ( re ix re ix + r r π + r r(cos x + i si x) r(cos( x) + i si( x)) π π r + r r cos x ir si x r cos x + ir si x r + r r cos x,

19 jolloi esimmäie yhtäsuuruus o tosi. Toisaalta pätee jolloi o + re ix π re ix + r(cos x + i si x) π r(cos x + i si x) ( + r cos x) + ir si x π ( r cos x) ir si x (( + r cos x) + ir si x)(( r cos x) + ir si x) π (( r cos x) ir si x)(( r cos x) + ir si x) r (cos x + si x) + ir si x π + r (cos x + si x) r cos x π ( r + r (cos x + si x) r cos x + ir si x + r (cos x + si x) r cos x ), Re( + re ix π re ix ) r π r cos x + r, ja toie yhtäsuuruus o tosi. Seuraavaksi todistetaa, että kaikki Diraci perhee ehdot toteutuvat. (i) Esimmäise ehdo mukaa Poissoi ytime o oltava positiivie: Yhtälöstä P r (x) r π r cos x + r huomataa, että r > ja r cos x + r r + r ( r) >, jolloi iide osamääräki o oltava positiivie, eli o P r (x). (ii) Toise ehdo mukaa se o oltava symmetrie olla suhtee: P r ( x) π r r cos ( x) + r π r r cos x + r P r(x). (iii) Kolmae ehdo mukaa se itegraali yli väli [,π] o oltava : Kiiteälle r < geometrie sarja π r suppeee, ja tiedetää, että P r (x) π r e ix 3 π r.

20 Nyt lausee. mukaa ähdää, että tarkasteltava fuktiosarja suppeee tasaisesti. Tasaise suppeemise perusteella itegroii ja summaamise järjestykse voi vaihtaa seuraavassa yhtälössä. Lisäksi pätee P r (x)dx π r e ix dx π π r e ix dx. {, ku, e ix dx π, ku, jolloi o P r (x) π π r e ix dx π. π (iv) Neljäs ehto kertoo, että olla välittömä läheisyyde ulkopuolella oleva ytime itegraali osa saadaa mielivaltaise pieeksi: Pitää todistaa, että jokaiselle ɛ > ja δ > o olemassa sellaie r, jolle δ P r (x)dx + δ Olkoo ɛ > ja δ >. Nyt o P r (x)dx < ɛ kaikilla r > r. δ P r (x)dx + Lisäksi tiedetää, että P r (x) π ja lim P r (δ) lim r r π δ P r (x)dx P r (x)dx. δ r r cos x + r π r r cos δ + r π r r cos δ + r kaikilla δ x π, cos δ +. Nyt siis o olemassa sellaie r <, jolle P r (δ) < ɛ π kaikilla r r <. Siispä P r (x)dx P r (δ)dx < δ δ δ 4 ɛ π dx π δ π ɛ < ɛ, ku r r.

21 (a) Dirichlet ydi : arvolla. (b) Dirichlet ydi : arvolla 5. (c) Dirichlet ydi : arvolla 75. Kuva. Dirichlet ytimiä eri : arvoilla. (a) Fejeri ydi : arvolla. (b) Fejeri ydi : arvolla. (c) Fejeri ydi : arvolla 5. Kuva. Fejeri ytimiä eri : arvoilla. (a) Poissoi ydi r: arvolla,5. (b) Poissoi ydi r: arvolla,75. Kuva 3. Poissoi ytimiä eri r: arvoilla (c) Poissoi ydi r: arvolla,95. 5

22 .3 Fuktioide omiaisuuksia Määritellää seuraavaksi C -fuktio, fuktio Lipschitz-jatkuvuus, absoluuttie ja tasaie jatkuvuus sekä fuktio rajoitettu heilahtelemie ja selvitetää iide suhteet toisiisa. Näitä tarvitaa kappaleessa 4, ku tutkitaa Fourier sarja suppeemista. Määritelmä.9. Jos fuktio f : [a,b] R o jatkuva ja se derivaatta o olemassa ja jatkuva kaikissa pisteissä x [a,b], ii saotaa, että fuktio f o C -fuktio. Jos fuktio o rajoitettu ja sillä o äärellie määrä epäjatkuvuuspisteitä ja se derivaatta o olemassa ja jatkuva aia peräkkäiste epäjatkuvuuspisteide muodostamalla suljetulla välillä, ii saotaa, että fuktio f o paloittai C -fuktio. Määritelmä. (Lipschitz-jatkuvuus pisteessä x ). Olkoo f : [a,b] R fuktio, ja x väli ]a,b[ piste. Jos o olemassa sellaiset vakiot M ja δ, että o f (x ) f (t) M x t, ku x t < δ, ii saotaa, että fuktio f o Lipschitz-jatkuva pisteessä x. Piei mahdollie vakio M o fuktio f lokaali Lipschitz-vakio pisteessä x. Määritelmä. (Lipschitz-jatkuvuus). Fuktio f : A B o Lipschitz-jatkuva, jos o olemassa sellaie vakio K, jolle pätee f (x) f (t) K x t kaikilla x ja t A. Piei mahdollie vakio K o fuktio f Lipschitz-vakio. Määritelmä. (Rajoitetusti heilahteleva fuktio). Olkoo fuktio f : [a,b] R mikä tahasa. Olkoo P väli [a,b] jako, eli pisteet p i [a,b] ii, että a p < p <... < p b. Jos kaikilla mahdollisilla väli jaoilla heilahtelulle pätee v( f,p) : f (p i ) f (p i ) < K <, i ii saotaa, että fuktio f o rajoitetusti heilahteleva. Lukua V( f ) sup v( f,p) 6

23 saotaa fuktio f (kokoais)heilahteluksi. Lause.3. Fuktio f : [a,b] R o rajoitetusti heilahteleva fuktio jos ja vai jos o olemassa sellaiset kasvavat fuktiot h : [a,b] R ja g : [a,b] R joille pätee f g h. Todistus. [4] Todistetaa esi se, että rajoitetusti heilahtelevalle fuktiolle f o olemassa lausee mukaiset fuktiot g ja h. Valitaa fuktio g seuraavasti: g(x) V f (a,x) { k : sup f (xj ) f (x j ) } : k N,a x < x < < x k x j Tämä fuktio o selvästi kasvava, sillä ku x > x pätee. V f (a,x ) V f (a,x ) V f (x,x ). Nyt fuktio h täytyy valita seuraavasti: h(x) g(x) f (x). Myös fuktio h o kasvava, sillä heilahtelulle V f (x,x ) pätee V f (x,x ) f (x ) f (x ): Ku x > x, ii pätee h(x ) h(x ) g(x ) f (x ) g(x ) + f (x ) V f (x,x ) ( f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) ( f (x ) f (x )). Nyt g ja h ovat kasvavia fuktioita, ja f o iide erotus. Todistetaa seuraavaksi toie suuta; jos fuktiot g : [a,b] R ja h : [a,b] R ovat kasvavia ii iide erotus f g h o rajoitetusti heilahteleva fuktio. Fuktiot g ja h ovat selvästi rajoitettuja, sillä e ovat kasvavia ja määriteltyjä suljetulla välillä. Olkoo P mikä tahasa väli [a,b] jako. Nyt fuktio f heilahtelulle jaolla P pätee V( f,p) g(x i ) h(x i ) (g(x i ) h(x i )) x i P 7

24 g(x i ) g(x i ) + h(x i ) h(x i ) x i P x i P V(g,P) + V(h,P). Koska edellie pätee kaikilla jaoilla, ii o oltava V( f ) V(g) + V(h). Koska fuktiot g ja h ovat kasvavia ja rajotettuja, ii iide heilahtelut välillä [a,b] ovat V(g) g(b) g(a) ja V(h) h(b) h(a), eli erityisesti iide heilahtelut ovat rajoitettuja, jolloi o V( f ) <. Lause.4. Rajoitetusti heilahtelevalla fuktiolla f o seuraavia omiaisuuksia: (i) Fuktiolla f o (korkeitaa) umeroituva määrä epäjatkuvuuspisteitä, (ii) fuktiolla f o kaikissa määrittelyjoukkosa pisteissä olemassa vasemma- ja oikeapuoleiset raja-arvot, (iii) fuktio f o itegroituva, (iv) fuktio o differetioituva melkei kaikkialla, (v) jos fuktio f o jatkuva, ii fuktio heilahtelu saadaa itegroimalla fuktio derivaatta itseisarvoa yli määrittelyväli: b a f (x) dx V( f ). Tämä lausee todistus sivuutetaa tässä työssä. Todistuksia voi etsiä halutessaa esimerkiksi lähteestä [9] kappaleesta kolme, tai rajoitetusta heilahtelusta (egl. bouded variatio) kertovasta kirjallisuudesta. Iteretistä löytyy myös Noella Grady kirjoittama erittäi yleistajuie Fuctios of Bouded Variatio [3]. Määritelmä.5. Fuktio f : [a,b] R o absoluuttisesti jatkuva, jos kaikille ɛ > o olemassa δ > ii, että aia ku {(a i,b i ) : i I N} o äärellie joukko 8

25 väli [a,b] pistevieraita avoimia välejä joille ii (b i a i ) < δ, i I f (b i ) f (a i ) < ɛ. i I Määritelmä.6. Fuktio f : A B o tasaisesti jatkuva, jos kaikille ɛ > o olemassa sellaie δ >, että aia ku pätee x,y A ja x y < δ, ii pätee myös f (x) f (y) < ɛ. Lause.7. Jos fuktio f : [a,b] R o C -fuktio, ii se o Lipschitz-jatkuva. Todistus. Fuktio f derivaatta o jatkuva välillä [a,b], ja kyseie väli o suljettu ja rajoitettu, jote derivaattafuktio o rajoitettu. Olkoo M sup f (x). Nyt aalyysi peruslausee mukaa, ku x < y pätee f (x) f (y) y Fuktio f o siis Lipschitz-jatkuva. x f y (t)dt f (t) dt M x y. x Lipschitz-jatkuvuus ei kuitekaa tarkoita, että fuktio olisi C -fuktio kute seuraava esimerkki osoittaa: Esimerkki.8. Fuktio f : [,] R, f (x) x o Lipschitz-jatkuva, koska kolmioepäyhtälö ojalla pätee f (x) f (y) x y x y, mutta se ei ole derivoituva, ku x, sillä erotusosamäärät suppeevat eri arvoihi eri puolilta lähestyttäessä: lim h + f ( + h) f () h h lim h h 9

26 ja lim h f ( + h) f () h h lim h h. Lause.9. Jos fuktio f : [a,b] R o Lipschitz-jatkuva, ii se o absoluuttisesti jatkuva. Todistus. Koska fuktio o Lipschitz-jatkuva, ii kaikille pisteille x,y [a,b] pätee f (x) f (y) < M x y jollai M R. Olkoo ɛ > mikä tahasa, ja δ M ɛ. Olkoo joukko väli [a,b] pistevieraita avoimia osavälejä (a i,b i ) ii, että iide yhteelaskettu pituus o pieempi kui δ : a i b i < δ. i Nyt fuktio arvoje erotuksie itseisarvoille pätee f (a i ) f (b i ) M a i b i < Mδ ɛ, i i eli fuktio f o absoluuttisesti jatkuva. Seuraava esimerkki osoittaa, että absoluuttisesti jatkuva fuktio ei välttämättä ole Lipschitz-jatkuva: Esimerkki.. Olkoo fuktio f : [,] R, f (x) x. Esimerkiksi lähteessä [4] o esitelty seuraavalaie lause: Fuktio f : [a,b] R o absoluuttisesti jatkuva, jos ja vai jos f o derivoituva melkei kaikilla x ]a,b[, derivaattafuktio o Lebesgue-itegroituva ja f (x) f (a) + x a f (y)dy kaikilla x [a,b]. Nämä ehdot pätevät fuktiolle f : (i) f (t) t o määritelty välillä ],].

27 (ii) f (t) t o Lebesgue-itegroituva, sillä (iii) f (x) x + f () + jote fuktio f o absoluuttisesti jatkuva. x Fuktio f ei kuitekaa ole Lipschitz jatkuva, sillä t dt. f (y)dy, lim x f (x) f () x, jolloi ei ole olemassa sellaista lukua M jolle pätisi aia f (x) f (y) < M x y. Lause.. Absoluuttisesti jatkuva fuktio f : [a,b] R o rajoitetusti heilahteleva. Todistus. Koska fuktio f o absoluuttisesti jatkuva, ii kaikilla ɛ > o olemassa δ > ii, että ku otetaa joukko pistevieraita väli [a,b] avoimia välejä (a i,b i ), joille ii o b i a i < δ, i I f (a i ) f (b i ) < ɛ. i I Olkoo P mikä tahasa väli [a,b] jako. Peräkkäisille jakopisteille p i ja p i+ pätee p i p i+ p i c + c p i+ ja f (p i ) f (p i+ ) f (p i ) f (c) + f (c) f (p i+ ), kaikilla luvuilla c, jotka ovat jakopisteide välissä, jolloi jao tihetämie kasvattaa summaa f (p i ) f (p i+ ). p i P,p i+ P Jakoa voidaa siis tihetää ii, että kuki jakoväli o lyhyempi kui δ. Nyt kullaki

28 uude jao P u jakovälillä fuktio o rajoitetusti vaihteleva, sillä p i p i < δ, jolloi o Nyt pätee f (p i ) f (p i ) < ɛ. f (p i ) f (p i ) f (p i ) f (p i ) < ɛ i P u i jollai N. Fuktio f o siis rajoitetusti heilahteleva. Lause.. Absoluuttisesti jatkuva fuktio f : [a,b] R o tasaisesti jatkuva. Todistus. Olkoo I {}, ɛ > mikä tahasa. Nyt absoluuttise jatkuvuude ojalla o olemassa sellaie δ >, jolle pätee eli i I (b i a i ) < δ f (b i ) f (a i ) < ɛ, i I b i a i < δ f (b i ) f (a i ) < ɛ, jolloi fuktio f o siis tasaisesti jatkuva. Tässä vaiheessa o hyvä huomioda, että rajoitetusti heilahteleva fuktio ei välttämättä ole jatkuva. Esimerkiksi fuktio {, ku x, f : [,] R, f (x), muutoi ei ole jatkuva, mutta se heilahtelu o yksi, jolloi se heilahtelu o rajoitettu. Absoluuttisesti tai tasaisesti jatkuvat fuktiot puolestaa ovat jatkuvia, jolloi rajoitetusta heilahtelusta ei seuraa tasaista tai absoluuttista jatkuvuutta. Osoitetaa vielä esimerkkie avulla, että tasaisesta jatkuvuudesta ei seuraa heilahtelu rajoittueisuutta eikä absoluuttista jatkuvuutta.

29 Esimerkki.3. Fuktio { t cos π f : [,] R, f (x) t, ku t (,],, ku t o tasaisesti jatkuva sillä väli o suljettu ja rajoitettu, ja fuktio o jatkuva: lim t t cos π t f (). Se ei kuitekaa ole rajoitetusti heilahteleva, sillä ku valitaa jakopisteiksi, ku j, p j j+, ku < j <,, ku j, ii saadaa lim j f (p j+ ) f (p j ) lim j lim j j + 3 cos π j+3 j + 3 lim j j + j lim j + 3, j jolloi fuktio f kokoaisheilahtelu o ääretö. j + cos π j+ cos(j + 3)π cos(j + )π j + Esimerkki.4. Catori fuktio [4] o jatkuva fuktio, joka määrittelyjoukko o suljettu ja rajoitettu, jolloi se o myös tasaisesti jatkuva. Catori fuktio kasvaa vai ollamittaisessa Catori joukossa. Koska joukko o ollamittaie ja kompakti, se voidaa peittää äärellisellä määrällä ii pieiä välejä kui halutaa. Silloi voidaa siis kaikilla δ > valita äärelllie määrä väli [,] pistevieraita avoimia välejä (a i,b i ) joilla koko Catori joukko o peitetty ja (b i a i ) < δ. i 3

30 Koska koko Catori joukko o peitetty, ii o f (b i ) f (a i ). i Silloi esimerkiksi ku ɛ,5, ii ei löydy absoluuttise jatkuvuude määritelmä täyttävää δ >. Lause.5. Jos fuktio f : [a,b] R o paloittai C -fuktio, ii se o rajoitetusti heilahteleva. Todistus. Olkoo M sup x,y [a,b] f (x) f (y). Olkoo x,...,x k fuktio epäjakuvuuspisteide joukko ja x a ja x k b. Nyt ku tutkitaa fuktio rajoittumaa kullekki välille [x l,x l ], l {,..k}, ii kuki rajoittuma o rajoitetusti heilahteleva. Lisäksi lim t f (x l t) lim t f (x l + t) M, jote fuktio vaihtelulle o V f k l (V f [xl + M) <.,x l ] Nyt o osoitettu, että ku fuktiot jaotellaa omiaisuuksie mukaa, ii äi saatavie fuktiojoukkoje väliset suhteet ovat seuraavat: C Lipschitz absoluuttisesti jatkuva tasaisesti jatkuva, ja C Lipschitz absoluuttisesti jatkuva rajoitettu heilahtelu paloittai C rajoitettu heilahtelu. 4

31 3 Fourier sarja Fourier sarja [] avulla voidaa esittää jaksollie fuktio sii- ja kosiifuktioide äärettömää sarjaa. Fourier kerroi määritellää seuraavasti: Määritelmä 3.. Olkoo fuktio f itegroituva jaksollie fuktio, joka jakso pituus o π, ja f () f (π). Tällöi fuktio Fourier kertoimet ovat: f () π missä o kokoaisluku. f (x)e ix dx, Fourier sarja samalle fuktiolle f puolestaa määritellää seuraavasti: Määritelmä 3.. Fuktio f Fourier sarja o summa f ()e ix. Huomautetaa tässä vaiheessa, että tässä työssä o valittu π-jaksollisuus ja jakso keskikohdaksi olla käytäö syistä. Kuiteki eri jaksopituuksilla Fourier sarja voidaa tieteki laskea, ja aioa merkittävä muutos tulee Fourier kertoimessa oleva itegraali edellä oleva kertoime imittäjää. Toisaalta, jos fuktio jakso keskikohta o joki muu piste kui olla, ii tilae o ekvivaletti joki sellaise tilatee kassa, missä fuktio o olla ympärillä. Myöskää jaksollisuus ei ole täysi ehdoto ehto. Fuktiosta voidaa valita joki tutkittava väli, ja jatkaa fuktio jaksolliseksi kyseise väli ulkopuolella. Fourier sarjalle pätee sopivie ehtoje ollessa voimassa f ()e ix f (x). Näitä ehtoja tutkitaa kappaleessa 4. Fourier kertoimet ovat järkevästi määriteltyjä, sillä fuktio f o itegroituva ja fuktio e ix o rajoitettu. Niipä äide tulo o myös itegroituva, ja itegroituva fuktio määräty itegraali tuloksea saadaa joki luku. Fourier sarjassa puolestaa summataa sii- ja kosiifuktioita kerrottua joillaki luvuilla, jote seki o hyvi määritelty. Todistetaa seuraavaksi muutamia perustuloksia Fourier sarjasta. 5

32 Lause 3.3. Jos jatkuvie π-jaksolliste fuktiode f ja g Fourier kertoimet f () ja ĝ() ovat samat kaikilla kokoaisluvuilla, ii fuktiot f ja g ovat samat. Todistus. Lauseide.8 ja.5 mukaa Poissoi ytime ja fuktio f kovoluutio suppeee tasaisesti fuktioo f : (P r f )(x) r f (x). Kyseiselle kovoluutiolle pätee (P r f )(x) π r e i(x t) f (t)dt. Edellise yhtälö summa suppeee tasaisesti, jote itegroii ja summa järjestystä voi vaihtaa: Nyt pätee (P r f )(x) π π r e ix e it f (t)dt r e ix f () r e ix ĝ() (P r g)(x) (P r f )(x) r f (x) ja (P r f )(x) r g(x), eli o oltava f (x) g(x). Lause 3.4. Jos jatkuvalle π-jaksolliselle fuktiolle f pätee f (x) a k e ix, ja sarja suppeemie summaa f (x) o tasaista, ii f () a kaikilla Z. 6

33 Todistus. Summa a e ix Fourier-kerroi o f (k) π π ( ( a e ix )e ikx dx a e i( k)x )dx. Seuraavaksi käytetää tietoa, että sarja a e ix suppeee tasaisesti fuktioo f (x), jolloi itegroii ja summaamise järjestystä voidaa vaihtaa: f (k) ( π π a π a e i( k)x )dx (a e i( k)x )dx e i( k)x dx. Nyt itegroitavaksi jäi eää e i( k)x, jolle pätee b a e i( k)x b/ i k ei( k)x i k (ei( k)a e i( k)b ), a ku k. Ku k, pätee b a e i( k)x b a (a b). Ku sijoitetaa a ja b π, ii saadaa e i( k)x k i (ei( k)π e i( k)π ), ku k π () π, ku k. Nyt siis saadaa fuktio f Fourier-kertoimiksi f (k) a π e i( k)x dx π 7

34 a kπ π a k, jolloi f () a kaikilla kokoaisluvuilla. Lause 3.5. Jos jatkuva π-jaksollise fuktio f Fourier sarja suppeee tasaisesti johoki fuktioo, suppeee se fuktioo f. Todistus. Lausee 3.4 mukaa summafuktio g(x) f ()e ix Fourier-kertoimet ovat samat kui fuktio f Fourier-kertoimet. Lisäksi fuktio g o jatkuva, sillä fuktio f Fourier sarja o jatkuvie fuktioide sarja, joka suppeee tasaisesti fuktioo g. Tästä seuraa lausee 3.3 mukaa se, että fuktiot f ja g ovat samat. Lause 3.6. Olkoo f jatkuva π-jaksollie fuktio. Jos f () suppeee, ii fuktio f Fourier sarja suppeee tasaisesti fuktioo f välillä [,π]. Todistus. Huomataa esi, että f () f ()e ix, sillä e ix kaikilla Z ja x R. Käytetää seuraavaksi Weierstrassi M-testiä (lause.): ja f ()e ix f () M M <. Nyt Weierstrassi M-testi mukaa f ()e ix suppeee tasaisesti välillä [,π]. Lauseessa 3.5 todistettii, että jos fuktio f Fourier-sarja suppeee tasaisesti, se suppeee tasaisesti fuktioo f. Seuraavaa kaksi esimerkkiä Fourier sarja laskemisesta. Esimerkki 3.7. Esimerkiksi fuktio si(x) Fourier sarja o helppo laskea. Se laskemisesta ei välttämättä ole muuta hyötyä kui se, että se auttaa ymmärtä- 8

35 mää vähä, mite tämä toimii. Lasketaa esi fuktio f (x) si(x) Fourier kertoimet: f () π π si(x)e ix dx π i (e ix ix e ix ix )dx π i (e ix e ix )e ix dx i π (e ix(+) e ix( ) )dx. Tämä itegraali osataa laskea ja itegraalilla o kolme mahdollista arvoa: (i) Ku, ii f () i, (ii) ku, ii f () i, (iii) ku o jotai muuta, ii f (). Tällöi o f ()e ix i e ix i eix si(x) Esimerkki 3.8. Fuktio f : R R, f (x) { x, ku x [,π] f (x) f (x + kπ) kaikilla k Z. Fourier sarja voidaa laskea, sillä fuktio f o jaksollie, itegroituva, ja f () π f (π). Lasketaa fuktiolle f Fourier kertoimet: f () π f (x)e ix dx π ( xe ix dx + Todetaa esi, että ku, ii f () o helppo laskea: f () π ( xdx + xdx) π ( / x + π / xe ix dx) x ) π. Lasketaa seuraavaksi itegraali xe ix dx osittaisitegroimalla: xe ix dx x i e ix + i e ix dx + C ix e ix (i) e ix + C 9

36 ix e ix + e ix + C e ix (ix + ) + C. Tällöi Fourier kertoimiksi saadaa: f () π ( π ( / xe ix dx + e ix (ix + ) + xe ix dx) π/ e ix (ix + ) ) π ( e i (i + ) + eiπ ( iπ + ) ) + e iπ (iπ + ) e i (i + ) ) (eiπ ( iπ + ) + e iπ (iπ + ) π ) π ( iπ+ +iπ+ ), ku o parillie, π ( ( iπ+) + (iπ+) ) π, ku o parito. Fuktio f Fourier sarjaksi saadaa siis f ()e ix π π ( + ) eix(+). 4 Fourier sarja suppeemie Fourier sarja suppeemista voidaa tarkastella aiaki kahdesta eri äkökulmasta. Voidaa määritellä erilaisia suppeemistapoja, jotka poikkeavat periteistä sarja suppeemisesta jollai tavalla. Toie äkökulma o tutkia, millaie fuktio f o oltava, että fuktio Fourier sarja suppeee. Esimmäisellä tavalla huomataa, että ku heikeetää suppeemisehtoja riittävästi, saadaa kaikkie jatkuvie jaksolliste fuktioide Fourier sarjat suppeemaa. Jälkimmäisellä tavalla tarkasteltua huomataa, että ku f o rajoitetusti heilahteleva fuktio, ii se Fourier sarja suppeee. Lisäksi huomataa, että ku Fourier sarjaa tutkitaa pisteessä x, ii suppeemisee vaikuttavat vai fuktio arvot pistee ympäristössä, ja koko väliä [,π] 3

37 ei tarvitse huomioida. Kappalee lopussa esitellää myös jatkuva fuktio, joka Fourier sarja ei suppee. Käsitellää esi erilaisia suppeemise käsitteitä. 4. Abel-summautuvuus Abel-summaututuvuus o heikompi ehto kui suppeemie. Abel-summautuvuudessa lisätää sarja jokaisee summattavaa kerroi r, missä r <. Määritelmä 4.. Olkoo x k k () sarja, joka termit ovat reaali- tai kompleksilukuja. Jos sarja r k x k k suppeee kaikilla reaaliluvuilla r < ja sarja summa lähestyy raja-arvoa L, ku r ii saotaa, että sarja o L. k x k o Abel-summautuva ja se Abel-raja-arvo Lause 4.. Jos sarja () suppeee ja se summa o L, se o Abel-summautuva Abel-rajaarvolla L. Todistus. [6] Sarja k x k suppeee, jote lim k x k. Tällöi o olemassa sellaie N N, jolle x k < ku k > N. Käytetää yt juuritestiä [8] lukujooo y k r k x k : lim sup k jolloi sarja k y k lim sup k r k x k suppeee. k k r k x k lim sup k 3 r x k k lim sup r k r <, k

38 Osoitetaa vielä, että raja-arvot ovat samat. Olkoo f (r) r x. k Ku sovitaa, että edellise sarja ollas osasumma o s, summalle pätee Nyt o m r x k m k (s k s k )r k s m r m m + ( r) m f (r) ( r) ( r) k s k r k. k k s k r k. s k r k Olkoo ɛ > mikä vaa. Nyt tiedetää, että m r k x k k (i) o olemassa luoollie luku N, jolle pätee L s < ɛ aia, ku > N, (ii) ku r o riittävä lähellä lukua, ii ( r ) N k s k L < ɛ. Nyt, ku r < r < ja N o luku jolla kohta (i) o voimassa, pätee f (r) L ( r) s k r k L k ( r) s k r k L( r) k ( r) k L)r k(s k ( r) ( r) k N k s k L r k k s k L r k + ( r) 3 r k kn+ s k L r k

39 < ( r ) N k < ɛ + ɛ ( r) r ɛ. s k L + ɛ ( r) r k k Nyt o oltava lim f (r) L. r Seuraava esimerkki osoittaa, että Abel-summautuva sarja ei välttämättä suppee. Esimerkki 4.3. Olkoo x ( ). Nyt sarja x ei suppee, mutta r x suppeee: ja r x lim r r ( ) r (r ) r + ( r) r r + r (r ) r r r r ( r)( + r) ( + r) ( + r). Seuraavassa lauseessa osoitetaa, että jatkuva fuktio f Fourier sarja o Abelsummautuva. Lause 4.4. Jos fuktio f o jatkuva π-jaksollie fuktio, ii se Fourier sarja o Abel-summautuva ja se Abel-raja-arvo o f (x) kaikissa pisteissä x. Todistus. [] Lausee.8 perusteella tiedetää, että Poissoi ydite joukko o Diraci perhe, jolloi lausee.5 mukaa (P r f )(x) r f (x) 33

40 tasaisesti. Riittää siis osoittaa, että seuraava yhtäsuuruus pätee: r f ()e ix (P r f )(x). Kovoluutio määritelmä ojalla o (P r f )(x) f (t)p r (x t)dt f (t) π r e i(x t) dt π r e i(x t) f (t)dt. Itegraali sisällä oleva sarja suppeee tasaisesti (sillä f (t) o rajoitettu, ja suppeee), jolloi itegroii ja summaukse järjestystä voidaa vaihtaa: (P r f )(x) π r e i(x t) f (t)dt r e ix π r e ix f (). e it f (t)dt r e i(x t) 4. Cesàro-summautuvuus Cesàro-summautuvuus o Abel-summautuvuude ja tavallise suppeemise välissä oleva ehto. Kaikki Abel-summautuvat sarjat eivät ole Cesàro-summautuvia, mutta kaikki suppeevat sarjat ovat Cesàro-summautuvia. Cesàro-summautuvuudessa tutkitaa sarja osasummie keskiarvoje muodostamaa jooa. Tässä kappaleessa päästää vähä lähemmäksi tavallista suppeemista osoittamalla, että jatkuva fuktio Fourier sarja o Cesàro-summautuva. 34

41 Määritelmä 4.5. Cesàro-summautuvuus: Olkoo x sarja ja s N N x se osasummie joo. Olkoo σ k s + s s k k esimmäiste osasummie keskiarvo. Jos joo σ k suppeee johoki raja-arvoo L, saotaa, että sarja o Cesàro-summautuva, ja se Cesàro-raja-arvo o L. Otetaa esi käyttöö muutamia aputuloksia ja todistetaa, että Cesàro-summautuvuus todella o suppeemise ja Abel-summautuvuude välissä. Lemma 4.6. Jos sarja x suppeee raja-arvoo L, ii se o Cesàro-summautuva, ja se Cesàro-raja-arvo o L. Todistus. Tiedetää, että kaikilla δ > o olemassa sellaie luoollie luku N δ, jolle s L < δ kaikilla N δ. Halutaa löytää jokaiselle ɛ > sellaie N ɛ, jolle kaikilla k N ɛ pätee σ k L < ɛ. Olkoo ɛ > mikä vaa. Valitaa sellaie δ, jolle δ < ɛ. Valitaa N δ A s L jos N δ > jos N δ. Valitaa K ɛ ii suureksi, että A K ɛ + δ < ɛ ja K ɛ > N δ. Ku k K ɛ, pätee σ k L s + + s k L k s + + s k kl k (s L) + + (s k L) k (s L) k + + (s k L) k < (s L) k + + (s Nδ L) k k + δ k N δ A k k + δ k < A k + δ < ɛ. N δ 35

42 Siitä, että sarja o Cesàro-summautuva ei kuitekaa seuraa tavallista suppeemista kute seuraava esimerkki osoittaa: Esimerkki 4.7. Sarja ( )+ ei suppee tavallisessa mielessä, mutta se o Cesàro-summautuva: Osasummille s pätee, ku o parito, s, ku o parillie, jolloi o σ k Silloi o selvästi k k+ k, ku k o parito, k, ku k o parillie. lim σ k k. Seuraavaksi todistetaa aputulokset , joide avulla todistetaa, että Cesàrosummautuvat sarjat ovat Abel-summautuvia. Aputulos 4.8 ([9]). Jos sarja x o Cesàro-summautuva, ii pätee x lim lim s. Todistus. Osasummalle s pätee s ( + )σ σ Summattaville x pätee x s s s s.. Aputulos 4.9 ([9]). Jos sarjoilla a r ja b r o suppeemissäteet R ja R, ja jos 36

43 c a k b k, ku, ii k ( ) ( ) c r a r b r, ku r < mi {R,R }. Aputulokse todistus löytyy lähteestä [9] sivulta 93 ideatasolla. Aputulos 4.. Todistus. ( + )r ( + )r ( r). d dr r+ d dr r + d dr r r ( r). Aputulos 4.. Jos lukujoo x suppeee ollaa, ii sarja r < : x x r <. x r suppeee, ku Todistus. Ku lukujoo x suppeee ollaa, ii jostai luoollisesta luvusta lähtie x o pieempää kui : x <, ku >. Tällöi sarjalle x r pätee x r < x r + r. + 37

44 Tämä suppeee, ku r <. Tällöi myös summa x r suppeee, jolloi suppeee myös summa x r. Lause 4. ([9]). Jos sarja x o Cesàro-summautuva, se o Abel-summautuva. Lisäksi raja-arvot ovat samat. Todistus. Ku sarja x o Cesàro-summautuva raja-arvoo s, ii s σ. Olkoo ɛ > mikä vaa. Valitaa N ii, että s σ < ɛ, ku >. Valitaa r [,[ site, että ( r ) ( + ) s σ < ɛ. Aputulokse 4.8 mukaa x suppeee, ja aputulokse 4. mukaa tämä tarkoittaa sitä, että Abeli summa suppeee, ja sarja o Abel-summautuva. Todistetaa vielä se, että Cesàro ja Abeli summat ovat tässä tapauksessa samat. Abeli summalle pätee A r x r ( r) sillä aputulokse 4.9 ojalla o ( ) ( ) s r r x r s r ( r) 38 ( + )σ r,

45 ( ) ( r) x r ja ( + )σ r ( ) ( ) r s r ( ) ( r) s r. Aputulokse 4. ojalla raja-arvo s voidaa ilmoittaa muodossa s ( r) ( + )sr. Nyt Abeli summa ja raja-arvo s voidaa vähetää toisistaa. Tällöi saadaa s A r ( r) ( + )(s σ )r, jolloi seuraava epäyhtälö o selvä: s A r ( r) ( + ) s σ r. Lisäksi pätee, ku r r < : ( r) ( + ) s σ r ( r) ( r ) ( + ) s σ r + ( r) + ( + ) s σ + ( r) < ɛ + ( r) ( + ) ɛ r ɛ. + Nyt täytyy olla + ( + ) s σ r ( + ) s σ r lim A r s. r 39

46 Kääteie tulos ei kuitekaa ole totta, kute seuraava esimerkki osoittaa: Esimerkki 4.3. Sarja ( ) + o Abel-summautuva, mutta ei Cesàro-summautuva. Todistetaa esi Abel-summautuvuus: r ( ) + r d dr r d dr r 4. r ( ) + r + ( + ) r d dr r+ ( r(r ) r r d dr r r r r ( + r) (r ) ) Sarja ( )+ osasummille pätee: s ( ) s + ( ) 3 s 3 + ( ) 4 3 s 4. s s. 4

47 Tällöi osasummie keskiarvolle pätee: σ , ku o parillie, (+) +, ku o parito. Joolla σ ei siis ole raja-arvoa, sillä parilliste ideksie raja-arvo o ja parittomie. Sarja o siis Abel-summautuva, muttei Cesàro-summautuva. Todistetaa vielä eräs yhteys suppeemise ja Cesàro-summautumise välille. Lemma 4.4. Jos x kaikilla luvuilla N, ii sarja x o Cesàro-summautuva jos, ja vai jos se suppeee tavallisessa mielessä. Todistetaa esi piei aputulos: Aputulos 4.5. Jos lukujoo x o kasvava, positiivie ja hajaatuu äärettömää, lukujoo keskiarvojoo hajaatuu. Todistus. Todistetaa tämä atiteesi Lukujoo keskiarvo suppeee raja-arvoo L avulla. Aloitetaa kuiteki todistamalla, että keskiarvoje joo o kasvava: osoitetaa, että σ k+ k+ k + x σ k : σ k+ k+ k + x k (k + )k k x + x k+ k + k k + σ k + x k+ k + k k + σ k + σ k k + σ k. Edellie epäyhtälö seuraa siitä, että lukujoo x o kasvava, jolloi lukujoo esimmäistä ovat pieempiä tai yhtäsuuria kui lukujoo seuraava, ( + ).:s arvo, jolloi iide keskiarvo o myös pieempi tai yhtä suuri kui x +. 4

48 Nyt atiteesi ojalla jokaista ɛ > kohti o olemassa luoollie luku N ɛ, jota suuremmille luoollisille luvuille N ɛ pätee σ L < ɛ. Kuiteki, ku tehdää seuraavat valiat, ii o σ N > L: (i) ɛ < L. (ii) x > L ja > N ɛ. Muistetaa, että x hajaatuu äärettömää ja o kasvava, jolloi tällaie valita voidaa tehdä. (iii) N > +. Nyt pätee ja σ N N σ + N N (L ɛ) + N N x k > N (L ɛ) + N N L k+ k+ N L > N k+ N L k+ N L > N N N L L. Seuraavat keskiarvot ovat vielä kauempaa raja-arvosta, jote atiteesi johtaa ristiriitaa ja keskiarvoje joo ei voi supeta. Lemma 4.4 todistus. Lemma 4.6 mukaa suppeemisesta seuraa Cesàro-summautuvuus, jolloi riittää todistaa, että positiivisilla summattavilla Cesàro-summautuvuudesta seuraa suppeemie. Todistetaa tämäki atiteesillä: O olemassa Cesàro-summautuva sarja, joka kaikki summattavat ovat epäegatiivisia, mutta joka ei suppee. Luvut x ovat kaikki epäegatiivisia, jolloi osasummie joo s o kasvava. Summa ei suppee, jolloi osasummie joo täytyy hajaatua, ja koska se o kasvava, o se hajaauttava äärettömää. Nyt aputulokse oletukset ovat voimassa, jote osasummie keskiarvo o myös hajaauttava. Osasummie keskiarvo kuiteki suppeee, sillä sarja o Cesàro-summautuva. Atiteesi o siis oltava väärä, ja väite o todistettu. Jatkuva π-jaksollise fuktio Fourier sarja Cesàro-summautuvuude todistamiseksi täytyy miettiä sitä, että oko fuktio f Fourier sarja Cesàro joo ilmoitettavissa joki Diraci perhee tai joo ja fuktio f kovoluutio avulla. 4

49 Jos tällaie Diraci perhe tai joo löytyy, suppeee fuktio f Fourier sarja Cesàro joo lausee.5 mukaa fuktioo f. Aiemmi itegraaliytimistä kertovassa kappaleessa esiteltii kolme itegroitiyditä: Poissoi ydi, Dirichlet ydi ja Fejéri ydi. Poissoi yditä käytettii aiemmi Abel-summautuvuude yhteydessä, ja Dirichlet ytimie joukko ei ole Diraci perhe, jolloi jäljelle jää Fejéri ydi. Katsotaa, mitä se ja fuktio f kovoluutiosta tulee: (F f )(x) k ( D k (x t)) f (t)dt k ( π k k l k k k l k k l k e ilx π e ilx f (l). e il(x t) ) f (t)dt e ilt f (t)dt Viimeiseltä riviltä tuistaa viimeise summa oleva Fourier sarja osasumma, jolloi viimeie rivi o : esimmäise Fourier sarja osasumma keskiarvo, eli Cesàro joo :s alkio: (F f )(x) k k l k e ilx f (l) σ ( f,x). Tätä voidaa käyttää seuraava lausee todistuksee. Lause 4.6. Olkoo f itegroituva π-jaksollie fuktio. Tällöi fuktio f Fourier sarja o Cesàro-summautuva raja-arvoo f iissä pisteissä, missä fuktio f o jatkuva. Lisäksi jos fuktio o jatkuva koko määrittelyvälillää, ii Cesàro joo suppeemie tähä raja-arvoo o tasaista. Todistus. Jos fuktio f o jatkuva, ii äskeise lasku perusteella väite o selvä. Olkoo ɛ > mikä vaa. Oletetaa, että fuktio f o jatkuva pisteessä x. Tällöi o olemassa δ > ii, että f (x + t) f (x) < ɛ aia, ku t < δ. 43

50 Fuktio f o itegroituva, jote se itegraali o rajoitettu: f (x) dx < M jollai M >. Lisäksi, ku π > x > δ, Fejeri yditä voidaa arvioida seuraavalla tavalla: F (x) π cos(x) cos(x) < A, missä A π cos δ jolloi o lim F (x), ku x > δ. Tällöi voidaa valita luoollie luku N ii, että o F (x) < ɛ, ku > N. 4M Nyt, ku > N, ii fuktio f Fourier sarja osasumma ja fuktio f erotukselle pätee σ (x) f (x) (F f )(x) f (x) ( f (x + t) f (x))f (t)dt jolloi o oltava δ δ + + < ɛ 4M δ f (x + t) f (x) F (t)dt f (x + t) f (x) F (t)dt δ f (x + t) f (x) F (t)dt f (x + t) f (x) F (t)dt ɛ 4M M + ɛ ɛ, f (x + t) f (x) dt + ɛ F (t)dt lim σ (x) f (x). 44

51 Tässä vaiheessa o tärkeä tehdä eräs huomio. Tarkastellaa Dirichlet ytimiä D(N,t) N π e it. N Itegroituva fuktio f ja Dirichlet N:e ytime kovoluutiolle pätee (D N f )(x) D N (x t) f (t)dt π N e ix N N e ix f (). N N e i(x t) f (t)dt N π e it f (t)dt Fuktio f ja Dirichlet N:e ytime kovoluutio o siis sama asia kui fuktio f Fourier sarja N :s osasumma. Nyt jos Dirichlet ytimie joukko olisi Diraci joo, ii fuktio f Fourier sarja suppeisi tasaisesti fuktioo f. Silloi tämä kappale olisi oi sivu mittaie, ja asia olisi käsitelty. Se, että Dirichlet ytimet ovat joissai pisteissä egatiivisia aiheuttaa kuiteki ogelmia Fourier sarja suppeemise kaalta. Eräs mielekiitoie seikka o se, että siiä missä P r(t) dt F (t) dt kaikilla r ja joilla ytimet o määritelty, Dirichlet ytimelle pätee lim D (t) dt, ja hajaatumie tapahtuu samaa tahtia kui fuktio log hajaatumie []. Tätä tietoa tutkitaa tarkemmi ja käytetää kappaleessa 4.5, ku kostruktoidaa jatkuvaa fuktiota, joka Fourier sarja ei suppee. 4.3 Fourier sarja pisteittäie suppeemie Tässä kappaleessa todistetaa, että fuktio Fourier sarja suppeemisee aetussa pisteessä vaikuttaa vai Fourier sarja arvot pistee ympäristössä. Esi tarvitaa kuiteki muutamia aputuloksia. Lause 4.7 (Weierstrassi approksimaatiolause). Jokaista jatkuvaa π-jaksollista fuktiota f voidaa arvioida epsiloi tarkkuudella äärelliste trigoometriste polyomie 45

52 N p N a e it N () avulla. Siis joillaki luvuilla a ja N pätee sup p N f < ɛ. (3) t π Todistus. Lauseessa 4.4 o todistettu, että fuktio f Fourier sarja o tasaisesti Abel-summautuva fuktioo f, eli lim lim r N N N r f ()e it f. Tällöi o olemassa joki r, jolle pätee sup t π r f ()e it f (t) < ɛ. Tällöi o oltava joki luoollie luku N, jolle o sup t π Merkitää N N a r f (), ii lause o todistettu. r f ()e it f (t) < ɛ. Lause 4.8 (Riemai ja Lebesque lemma). Olkoo f jatkuva π-jaksollie fuktio. Silloi pätee lim f (). Todistus. [] Halutaa osoittaa, että kaikille ɛ > löytyy sellaie N N, että f () < ɛ kaikilla > N. Valitaa p N site, että se toteuttaa edellise lausee yhtälöt () ja (3). Lasketaa tälle 46

53 Fourier kertoimet: p N () p N (t)e it dt π π π N k N a k e it(k ) dt { π a dt a, ku N, muutoi. N a k e ikt e it dt k N Erityisesti siis p N (), ku > N. Nyt saadaa fuktio f Fourier kertoimelle seuraava muoto, ku > N : f () f () p N () f pn (). Lisäksi tiedetää, että f pn () π ( f (t) p N (t))e it dt < ɛ π ɛ, π ku > N. Nyt siis jokaiselle ɛ > löydetää sellaie N N jota suuremmilla luoollisilla luvuilla fuktio f Fourier kerroi o pieempi kui ɛ. Todistetaa sama vielä itegroituvalle fuktiolle: Lause 4.9 (Riemai-Lebesque lemma itegroituvalle fuktiolle). Olkoo f itegroituva π-jaksollie fuktio. Silloi pätee lim f (). Todistus. Olkoo ɛ > mikä tahasa. Olkoo fuktio g sellaie jatkuva πjaksollie fuktio, jolle pätee π f (t) g(t) dt < ɛ π. Nyt koska g o jatkuva, voidaa valita joki luku N N, jolle ĝ() < ɛ aia, ku N. Arvioidaa seuraavaksi fuktioide f ja g Fourier kertoimie 47

54 itseisarvoje väheyslaskua: f () ĝ() f () ĝ() ( f (t) g(t))e it dt π f (t) g(t) e it dt f (t) g(t) dt π π < ɛ. Nyt fuktio fuktio f Fourier kertoimelle pätee f () < ɛ + ĝ() < ɛ + ɛ ɛ, ku N. Seuraus 4.. Riemai-Lebesque lemmasta seuraa se, että sekä Fourier kertoime reaaliosa, että imagiääriosa tulee supeta ollaa, ku luvu itseisarvo kasvaa rajatta. Silloi siis pätee lim Re f () ja lim Im f (), jolloi o siis lim f (t) cos(t)dt ja lim f (t) si(t)dt. Aputulos 4.. Olkoo f itegroituva π-jaksollie fuktio. Fuktiolle f pätee lim f (t) si(( + )t)dt. Todistus. Edellise seuraukse perusteella tiedetää, että ja lim lim f (t) si( t ) cos(t)dt f (t) cos( t ) si(t)dt. 48

55 Edelliste lausekkeide summa täytyy siis myös supeta ollaa: lim f (t)(si( t ) cos(t) + cos( t ) si(t))dt. Ku itegraali sisällä olevaa lauseketta sieveetää saadaa trigoometriste fuktioide summakaavoja käyttämällä: f (t)(si( t ) cos(t) + cos( t ) si(t)) f (t) si(t + t ) jolloi pätee lim f (t) si(( + )tdt. f (t) si(( + )t), Nyt voidaa todistaa kappalee alussa luvattu asia. Lause 4.. Olkoo f itegroituva π-jaksollie fuktio. Olkoo < δ < π. Tällöi kaikille x [,π] pätee δ lim ( f (x t)d (t)dt + δ f (x t)d (t)dt). Todistus. [] Olkoo x joki piste tarkasteluväliltä. Olkoo g π-jaksollie fuktio jos t < δ g(t) f (x t) si( t jos δ t π. ) Fuktio g o jaksollie sillä f o jaksollie ja si( t ) o jaksollie. Fuktio g o itegroituva, sillä fuktio f o itegroituva ja si( t o jatkuva ja rajoitettu, ku ) t > δ. Nyt pätee δ δ f (x t)d (t)dt + f (x t) si(( + )t) si( t ) dt + δ f (x t)d (t)dt δ 49 f (x t) si(( + )t) si( t ) dt

56 δ f (x t) π si( t ) si(( + )t)dt + δ g(t) si(( + )t)dt. Nyt aputulokse 4. mukaa pätee lim g(t) si(( + )t)dt, f (x t) si( t ) si(( + )t)dt eli ( δ lim f (x t)d (t)dt + δ ) f (x t)d (t)dt. Ku muistetaa, että S f (x t)d (t)dt, ii havaitaa, että fuktio f Fourier sarja summa o, ku ollaa riittävä kaukaa tutkittavasta pisteestä. Tällöi pisteittäistä suppeemista miettiessä ei tarvitse huomioida kui joki mielivaltaie δ-ympäristö tutkittava pistee x ympärillä. 4.4 Fourier sarja suppeemie Kappaleessa.3 määriteltii fuktio omiaisuuksia. Katsotaa seuraavaksi, mite Fourier sarja käyttäytyy, ku fuktiolla o joitaki äistä omiaisuuksista. Lause 4.3. Olkoo fuktio f itegroituva π-jaksollie fuktio. Jos fuktio f o Lipschitzjatkuva pisteessä x, ii fuktio Fourier sarja suppeee pisteessä x pisteesee f (x). Todistus. [] Halutaa osoittaa yhtälö lim f (x t)d (t)dt f (x). Yhtälölle yhtäpitävä muoto o lim ( f (x t)d (t)dt f (x)). 5

57 Ku käytetää Dirichlet ytime omiaisuutta D (t)dt, saadaa lim lim ( ( lim f (x t)d (t)dt f (x)) f (x t)d (t)dt ( f (x t) f (x))d (t)dt. D (t) f (x)dt) Ku tiedetää, että fuktio f o Lipschitz-jatkuva pisteessä x, voidaa valita δ ja M site, että f (x + t) f (x) M x + t x M t aia, ku t < δ. Ku vielä muistetaa Dirichlet ytime omiaisuuksista, että D (t) π saadaa ( f (x t) f (x))d (t) < Mt π si(t( + )) si t M π t/ si t/, si(t(+ )) si t, ii ku t < δ. Olkoo < ɛ < δ. Tällöi ylärajafuktio M π t/ si o rajoitettu välillä t/ [ ɛ, ɛ], sillä lim t t/ si lim t/ t / / cos t/, jote fuktio o jatkuva ja site rajoitettu. Nyt ɛ ( f (x t) f (x))d (t)dt Cɛ ɛ jollaki C kaikilla. Nyt siis kaikilla ɛ > pätee ja ɛ lim ( ( f (x t) f (x))d (t)dt + ɛ Cɛ < lim ( f (x t) f (x))d (t)dt < Cɛ. ɛ Siispä o oltava Cɛ < lim ( f (x t) f (x))d (t)dt < Cɛ, 5 ɛ ( f (x t) f (x))d (t)dt)

58 jolloi o lim ( f (x t) f (x))d (t)dt. Määritelmä 4.4. Fuktio f vasemmapuoleie raja-arvo pisteessä x, merkitää f (x ), o raja-arvo f (x ) lim f (t). t x,t<x Vastaavasti oikeapuoleie raja-arvo o f (x+) lim f (t). t x,t>x Lause 4.5. Olkoo fuktio f π-jaksollie paloittai C -fuktio. Tällöi fuktio f Fourier sarja pisteessä x suppeee arvoo f (x+) + f (x ). Jos fuktio f o jatkuva pisteessä x, ii f (x+) + f (x ) f (x). Todistus. Fuktio f Fourier sarja osasummat pisteessä x ovat S ( f,x) f (x + t)d (t)dt f (x + t)d (t)dt + f (x t)d ( t)dt + f (x t)d (t)dt + f (x + t)d (t)dt f (x + t)d (t)dt f (x + t)d (t)dt. Todistetaa lausee väite todistamalla, että Fourier sarja osasumma ja väitety raja-arvo erotukse raja-arvo o olla: S ( f,x) f (x+) + f (x ) 5

59 f (x t)d (t)dt + f (x t)d (t)dt + f (x t)d (t)dt + f (x )D (t)dt f (x t)d (t)dt + f (x )D (t)dt ( f (x t) f (x ))D (t)dt + f (x+) + f (x ) f (x + t)d (t)dt f (x + t)d (t)dt f (x+) f (x ) f (x + t)d (t)dt f (x + t)d (t)dt f (x+)d (t)dt f (x+)d (t)dt ( f (x + t) f (x+))d (t)dt. Nyt, koska fuktio f o paloittai C -fuktio, ii voidaa valita sellaie r >, jolle fuktio f o jatkuva ja jatkuvasti derivoituva väleillä [x r,x] ja [x,x + r ]. Fuktio o yt myös Lipschitz-jatkuva kyseisillä väleillä. Huomiodaa vielä, että fuktiolla voi olla epäjatkuvuuspiste pisteessä x, jolloi fuktio ei välttämättä ole jatkuva välillä [x r,x + r ] Nyt lausee 4. mukaa ei tarvitse tutkia muuta kui suppeemista δ, δ < r kokoisella välillä: lim S f (x+) + f (x ) ( f,x) lim ( f (x t) f (x ))D (t)dt + ( f (x + t) f (x+))d (t)dt δ δ lim ( f (x t) f (x ))D (t)dt + ( f (x + t) f (x+))d (t)dt δ δ lim M td (t)dt + M td (t)dt δ t lim M δ t si t dt + M si t dt. Itseisarvoje sisälle jääyt fuktio o aiemmi osoitettu rajoitetuksi, jote kaikilla luoollisilla luvuilla o olemassa vakio C ii, että δ M t si t dt < Cδ 53