Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mia Salmi Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta Luootieteide tiedekuta Matematiikka Kesäkuu 2017

2 Tamperee yliopisto Luootieteide tiedekuta SALMI, MINNA: Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta Pro gradu -tutkielma, 49 s. Matematiikka Kesäkuu 2017 Tiivistelmä Tämä tutkielma aiheea o pseudoalkuluvut ja alkulukutestaus. Aluksi käydää läpi joitaki yksikertaisia tuloksia kogruesseihi liittye sekä tarvittavia määritelmiä. Alussa osoitetaa myös joitaki isompia apulauseita, jotka ovat hyvi oleellisia tutkielmassa. Tärkeimmät läpikäytävät apulauseet ovat Fermat piei lause, jota käytetää läpi tutkielma, kiialaie jääöslause sekä resiprookkilause. Esimmäiseä isoa kokoaisuutea käydää läpi pseudoalkuluvut. Esi pseudoalkuluvut määritellää, joka jälkee osoitetaa muutamia lauseita pseudoalkulukuihi liittye ja lauseita havaiollistetaa esimerkei. Seuraavaksi käsitellää erilaisia pseudoalkulukutapauksia tärkeimpiä maiittakoo vahvat pseudoalkuluvut sekä Euleri pseudoalkuluvut. Toie kokoaisuus tutkielmassa o alkulukutestaus. Aluksi kerrataa Fermat piei lause, koska sitä käytetää lähes kaikissa käsiteltävissä alkulukutesteissä. Suuri osa läpikäytävistä testeistä o determiistisiä eli atavat varma vastaukse kysymyksee luvu jaottomuudesta. Käsiteltävät determiistiset alkulukutestit ovat Pepii, Lucas s ja Lehmeri, Pockligtoi sekä Milleri ja Rabii alkulukutestit. Viimeiseä esitellää Solovay ja Strassei probabilistie alkulukutesti. Solovay ja Strassei testi ataa todeäköise vastaukse kysymyksee, oko luku alkuluku. 2

3 Sisältö 1 Johdato 4 2 Aputuloksia Joitaki tarvittavia kogruesseja Fermat piei lause Tarvittavia määritelmiä kertaluvusta matriiseihi Kiialaie jääöslause ja muita isompia apulauseita Pseudoalkuluvuista Pseudoalkulukuje määritelmä Carmichaeli luvut Milleri testi Vahvat pseudoalkuluvut Euleri pseudoalkuluvut Lucas pseudoalkuluvut Alkulukutestauksesta Fermat alkulukutesti Pepii alkulukutesti Lucas ja Lehmeri alkulukutesti Pockligtoi alkulukutesti Milleri ja Rabii alkulukutesti Solovay ja Strassei alkulukutesti Euler-todistaja Solovay ja Strassei lause Lähteet 49 3

4 1 Johdato Alkulukuje tutkimie o kiiostaut matemaatikkoja läpi aikoje. Aluksi moilla oli tavoitteea löytää joki yleispätevä kaava, joka avulla saataisii kaikki mahdolliset alkuluvut. Tällaista kaavaa ei kuitekaa tähä päivää meessä ole löytyyt, mutta o kuiteki löydetty tiettyjä omiaisuuksia, jotka vai alkuluvuilla o. Esimerkiksi Fermat väitti kehittäeesä kaava, joka tuloksea saataisii pelkkiä alkulukuja. Fermat kaava ei pitäyt paikkaasa, mutta se pohjalta o kehitetty testi, jolla voidaa osoittaa, oko luku alkuluku. Koska matemaatikot luulivat aia välillä kehittäeesä kaavoja alkuluvuille, mutta aia kaavat todistettii vääriksi, kehitettii käsitä pseudoalkuluku. Pseudoalkuluvulla tarkoitetaa yhdistettyjä lukuja, joilla o omiaisuuksia, joide joskus luultii kuuluva vai alkuluvuille. Pseudoalkuluvuilla o tärkeä tehtävä julkise avaime salauksissa, joissa käytetää hyväksi vaikeutta jakaa isoja lukuja tekijöihi. Vaikka yleispätevää kaavaa alkuluvuille ei ole löytyyt, o kuiteki olemassa moia omiaisuuksia, joita o vai alkuluvuilla. Alkulukutestaus ei aa luvu tekijähajoitelmaa, mutta kertoo kuiteki testistä riippue joko että luku o alkuluku tai että luku o yhdistetty. Alkulukutestejä o kahdelaisia. Determiistiset testit kertovat varmasti oko käsiteltävä luku alkuluku. Probabilistiset testit atavat todeäköisyyde, jolla luku o alkuluku. Olisi helppoa ajatella, että aia kaattaisi käyttää determiistiä testejä, mutta todellisuus o kuiteki toie. Determiistiset testit ovat usei aikaavieviä ja sitä kautta kalliita käyttää. Probabilistiset testit ovat usei opeampia ja atavat yleesä tarpeeksi hyvä todeäköisyyde, jotta iitä kaattaa käyttää. Tässä tutkielmassa käydää esi läpi tarvittavia apulauseita, jotka auttavat ymmärtämää tutkielmasssa esitettyjä lauseita. Esimmäie isompi kokoaisuus, joka käydää läpi, o pseudoalkuluvut. Aluksi pseudoalkuluvut määritellää, joka jälkee esitetää tärkeitä lauseita ja esimerkkejä iistä. Toie kokoaisuus o alkulukutestaus. Kokoaisuudessa käydää läpi erilaisia alkulukutestejä ja iitä avataa esimerkkie avulla. Alkulukutesteistä esitellää sekä determiistisiä että probabilistisia testejä. Tässä tutkielmassa odotetaa lukijalta joki verra ymmärrystä lukuteoriasta ja erityisemmi kogruesseista. Päälähdeteoksea o käytetty Rosei kirjaa Elemetary Number Theory ad Its Applicatios, 6th ed. Lisälähteiä o käytetty useita lukuteoriaa tai kryptografiaa liittyviä kirjoja, ja lopussa lähteeä o käytetty Kevi Coradi esseetä Solovay Strassei alkulukutestiä käsiteltävässä luvussa. 4

5 2 Aputuloksia Tässä luvussa käydää läpi joitaki tarvittavia määritelmiä ja lauseita. Esimmäise aliluvu tarkoitus o palauttaa lukijalle mielee muutamia kogruesseihi sekä yleisemmi myös jaollisuutee liittyviä omiaisuuksia. Toisessa aliluvussa käydää läpi Fermat piei lause, jota käytetää useasti myös seuraavissa luvuissa. Kolmaessa kohdassa käydää läpi tarvittavia määritelmiä esimerkiksi kertaluvusta, Jacobi symbolista sekä matriiseista. Viimeie aliluku koostuu isommista tärkeistä lauseista, joita käytetää seuraavissa luvuissa. 2.1 Joitaki tarvittavia kogruesseja Määritelmä 2.1. Oletetaa, että a Z ja N site, että syt(a, = 1. Kokoaisluvu a kääteisluku modulo o kokoaisluku x, mikäli ax 1 (mod. Merkitää luvu a kääteislukua symbolilla a. Lause 2.1. Olkoo p alkuluku. Positiivie kokoaisluku a o itsesä kääteisluku modulo p, jos ja vai jos a 1 (mod p tai a 1 (mod p. Todistus. (Ks. [8, s. 160]. Jos a 1 (mod p tai a 1 (mod p, ii a 2 1 (mod p, jote a o itsesä kääteisluku modulo p. Toisaalta, jos a o itsesä kääteisluku modulo p, ii a 2 = a a 1 (mod p. Tällöi p (a 2 1. Koska a 2 1 = (a 1(a + 1, joko p (a 1 tai p (a + 1. Nyt siis pätee a 1 (mod p tai a 1 (mod p. Lause 2.2 (Wilsoi lause. Jos p o alkuluku, ii (p 1! 1 (mod p. Todistus. (Vrt. [8, s. 218]. Ku p = 2, saadaa (p 1! 1 1 (mod 2. Siis Wilsoi teoreema pätee, ku p = 2. Oletetaa yt, että alkuluku p o suurempi kui 2. Määritelmä 2.1 perusteella jokaiselle kokoaisluvulle a, ku 1 a p 1, o olemassa kääteisluku a site, että aa 1 (mod p. Lausee 2.1 ojalla a = a, jos ja vai jos a = 1 tai a = p 1, eli kaikilla a {2, 3,..., p 2} pätee, että a ā. Koska jokaiselle luvulle a o olemassa kokoaisluku ā {2, 3,..., p 2} site, että aā 1 (mod p, kokoaisluvut luvusta 2 lukuu p 2 voidaa jakaa (p 3/2 kokoaislukuparii site, että jokaise pari tulo o kogruetti luvu 1 kassa modulo p. Siis 2 3 (p 3 (p 2 1 (mod p. Nyt kogruessi molemmat puolet kerrotaa luvuilla 1 ja p 1, ja äi saadaa (p 1! = (p 3(p 2(p 1 1 (p 1 1 (mod p. Lause 2.3 (Kääteie Wilsoi lause. Jos o positiivie kokoaisluku site, että ( 1! 1 (mod, ii o alkuluku. 5

6 Todistus. (Vrt. [7, s. 199]. Tehdää aluksi vastaoletus, että o yhdistetty luku ja ( 1! 1 (mod. Koska o yhdistetty luku, ii se voidaa kirjoittaa muodossa = ab, missä 1 < a < ja 1 < b <. Koska a <, ii tiedetää, että a ( 1!. Näi o, koska a o yksi iistä luvuista, jotka kerrotaa, jotta saadaa ( 1!. Nyt koska ( 1! 1 (mod ja a, ii ( ( 1! 1 (mod a. Siis a ( 1! + 1 ja a ( 1!. Tästä seuraa, että a ( 1! + 1 ( 1! = 1, mikä o ristiriita. Lause 2.4. Jos a, b, c ja m ovat kokoaislukuja site, että m > 0, d = syt(c, m ja ac bc (mod m, ii a b (mod m d. Todistus. (Ks. [8, s. 149]. Jos ac bc (mod m, ii tiedetää, että m (ac bc = c(a b. Siis o olemassa kokoaisluku k site, että c(a b = km. Jakamalla molemmat puolet luvulla d saadaa Koska c d (a b = k m d. syt( m d, c d = 1, ii tästä seuraa, että m d (a b. Siis a b (mod m d. Seuraus 2.1. Jos a, b, c ja m ovat kokoaislukuja ii, että m > 0, syt(c, m = 1 ja ac bc (mod m, ii a b (mod m. Todistus. Kyseie seuraus o lausee 2.4 erityistapaus. Lause 2.5. (Ks. [8, s. 151]. Olkoo a b (mod m 1, a b (mod m 2,..., a b (mod m k, missä a, b, m 1, m 2,..., m k ovat kokoaislukuja ja luvut m 1, m 2,..., m k ovat positiivisia. Silloi pätee a b (mod pyj(m 1, m 2,..., m k, missä pyj(m 1, m 2,..., m k o lukuje m 1, m 2,..., m k piei yhteie jaettava. Todistus. Koska a b (mod m 1, a b (mod m 2,..., a b (mod m k, tiedetää, että m 1 (a b, m 2 (a b,..., m k (a b. Nyt pyj(m 1, m 2,..., m k (a b. Näi olle a b (mod pyj(m 1, m 2,..., m k. Lause 2.6. Jos a b (mod m 1, a b (mod m 2,...,a b (mod m k, missä a ja b ovat kokoaislukuja ja luvut m 1, m 2,..., m k ovat pareittai keskeää jaottomia, ii a b (mod m 1 m 2 m k. 6

7 Todistus. (Ks. [8, s. 151]. Lause 2.7. Olkoot a ja b kokoaislukuja site, että syt(a, b = d. Yhtälöllä ax + by = c ei ole kokoaislukuratkaisuja, jos d c. Jos taas d c, o kokoaislukuratkaisuja olemassa ääretö määrä. Erityisesti jos x = x 0, y = y 0 o yhtälö ratkaisu, ii silloi kaikki ratkaisut ovat muotoa x = x 0 + (b/d, y = y 0 (a/d, missä o kokoaisluku. Todistus. (Ks. [8, s ]. Lause 2.8. Olkoot a, b ja m kokoaislukuja site, että m > 0 ja syt(a, m = d. Jos d b, kogruessilla ax b (mod m ei ole ratkaisuja. Jos d b, lausekkeella ax b (mod m o täsmällee d kappaletta epäkogruetteja ratkaisuja modulo m. Todistus. (Ks. [8, s. 158]. Lieaarie kogruessi ax b (mod m o ekvivaletti Diofatokse yhtälö ax my = b kassa. Kokoaisluku x o kogruessi ax b (mod m ratkaisu, jos ja vai jos o olemassa kokoaisluku y site, että ax my = b. Lausee 2.7 perusteella tiedetää, että jos d b, ei ole olemassa yhtää ratkaisuja ja toisaalta, jos d b, yhtälöllä ax my = b o olemassa ääretö määrä ratkaisuja, jotka ovat muotoa x = x 0 + (m/dt, y = y 0 + (a/dt, missä x = x 0, y = y 0 o eräs yhtälö ratkaisu. Luvu x = x 0 + (m/dt ylläaetut arvot ovat lieaarise kogruessi ratkaisuja ja äitä lukuja x o olemassa ääretö määrä. Jotta voidaa määrittää kuika mota epäkogruettia ratkaisua o olemassa, täytyy löytää se ehto, joka kertoo milloi kaksi ratkaisua x 1 = x 0 + (m/dt 1 ja x 2 = x 0 + (m/dt 2 ovat kogruetteja modulo m. Jos ämä ratkaisut ovat kogruetteja, ii pätee x 0 + (m/dt 1 x 0 + (m/dt 2 (mod m. Vähetämällä x 0 pois molemmilta puolilta saadaa (m/dt 1 (m/dt 2 (mod m. Nyt syt(m, m/d = m/d, koska (m/d m, jote t 1 t 2 (mod d. Tästä ähdää, että täydellie epäkogruettie ratkaisuje joukko koostuu ratkaisuista, jotka ovat muotoa x = x 0 + (m/dt, missä luku t käy läpi kaikki jakojääökset modulo d. Yksi äistä joukoista saadaa, ku x = x 0 + (m/dt, missä t = 0, 1, 2,..., d 1. 7

8 2.2 Fermat piei lause Lause 2.9 (Fermat piei lause. Jos p o alkuluku ja a o positiivie kokoaisluku site, että p a, silloi a p 1 1 (mod p. Todistus. (Vrt. [8, s. 219]. Huomataa esimmäiseksi, että mikää kokoaisluvuista a, 2a,..., (p 1a ei ole jaollie luvulla p. Nimittäi jos p ja olisi voimassa, ii p j, koska p a. Nyt p j ei voi pitää paikkaasa, koska 1 j p 1. Edellee mitkää kaksi erisuurta kokoaislukua joukosta a, 2a,..., (p 1a eivät ole kogruetteja modulo p. Oletetaa, että ja ka (mod p, missä 1 j < k p 1. Nyt seuraukse 2.1 mukaa, koska syt(a, p = 1, saadaa j k (mod p. Tämä ei voi pitää paikkaasa, koska j ja k ovat lukua p 1 pieempiä erisuuria positiivisia kokoaislukuja. Koska kokoaisluvut a, 2a,..., (p 1a ovat joukko, joka koostuu p 1 kappaleesta kokoaislukuja, jotka kaikki ovat epäkogruetteja luvu 0 kassa ja mitkää kaksi eivät ole kogruetteja modulo p, tiedetää, että pieimmät positiiviset jääökset ovat 1, 2,..., p 1. Tästä seuraa, että kokoaislukuje a, 2a,..., (p 1a tulo o kogruetti lukuje 1, 2,..., p 1 tulo kassa modulo p. Siis Eli siis a 2a (p 1a 1 2 (p 1 (mod p. a p 1 (p 1! (p 1! (mod p. Koska syt((p 1!, p = 1, ii seuraukse 2.1 perusteella luku (p 1! voidaa jakaa pois molemmilta puolilta, jolloi saadaa a p 1 1 (mod p. Lause Jos p o alkuluku ja a o positiivie kokoaisluku, ii a p a (mod p. Todistus. (Ks. [8, s. 220]. Jos p a, Fermat piee lausee perusteella tiedetää, että a p 1 1 (mod p. Kertomalla kogruessi molemmat puolet luvulla a, saadaa a p a (mod p. Jos p a, silloi myös p a p, jote a p a 0 (mod p. Täte a p a (mod p. Lause Jos a ja m ovat keskeää jaottomia alkulukuja site, että m > 0 ja b o kokoaisluku, silloi lieaarisella kogruessilla ax b (mod m o yksikäsitteie ratkaisu modulo m. Todistus. (Ks. [8, s. 158]. Koska syt(a, m = 1, tiedetää, että syt(a, m b. Lauseesta 2.8 seuraa, että kogruessilla ax b (mod m o täsmällee syt(a, m = 1 epäkogruettia ratkaisua modulo m. 8

9 2.3 Tarvittavia määritelmiä kertaluvusta matriiseihi Määritelmä 2.2. Olkoo positiivie kokoaisluku. Euleri φ-fuktio arvo φ( määritellää tarkoittava iide positiiviste kokoaislukuje m määrää, jotka ovat pieempiä kui site, että ja m ovat keskeää jaottomia, eli φ( = {m 0 m < 1, syt(m, = 1}. Lause 2.12 (Euleri lause. Jos m o positiivie kokoaisluku ja a o kokoaisluku ii, että syt(a, m = 1, silloi a φ(m 1 (mod m. Todistus. (Ks. [8, s ]. Määritelmä 2.3. Olkoot a ja keskeää jaottomia alkulukuja site, että a 0 ja o positiivie. Silloi pieitä sellaista positiivista kokoaislukua x, että a x 1 (mod, kutsutaa luvu a kertaluvuksi modulo ja kertalukua merkitää symbolilla ord a. Lause Jos luvut a ja ovat keskeää jaottomia alkulukuja site, että a 0 ja > 0, positiivie kokoaisluku x o kogruessi a x 1 (mod ratkaisu, jos ja vai jos ord a x. Todistus. (Ks. [8, s. 348]. Jos ord a x, ii x = k ord a, missä k o positiivie kokoaisluku. Siis a x = a k ord a = (a ord a k 1 (mod. Päivastoi, jos a x 1 (mod, saadaa x = q ord a + r, missä 0 r < ord a. Ylläolevasta yhtälöstä saadaa a x = a q ord a+r = (a ord a q a r a r (mod. Koska a x 1 (mod, tiedetää, että a r 1 (mod. Epäyhtälöstä 0 r < ord a seuraa, että r = 0, koska määritelmä mukaa y = ord a o piei positiivie kokoaisluku site, että a y 1 (mod. Koska r = 0, saadaa x = q ord a. Siis ord a x. Määritelmä 2.4. Jos luvut r ja ovat keskeää jaottomia lukuja site, että > 0, ja jos ord r = φ(, ii lukua r kutsutaa primitiiviseksi juureksi modulo tai luvu primitiiviseksi juureksi, ja tällöi voidaa saoa, että luvulla o primitiivie juuri. Määritelmä 2.5. Jos m o positiivie kokoaisluku, saotaa, että kokoaisluku a o luvu m eliöjääös, jos syt(a, m = 1 ja kogruessilla x 2 a (mod m o ratkaisu. Jos kogruessilla x 2 a (mod m ei ole ratkaisua, saotaa, että luku a o luvu m eliöepäjääös. 9

10 Määritelmä 2.6 (Legedre symboli. Olkoo p parito ( alkuluku ja a kokoaisluku site, että alkuluku p ei jaa sitä. Legedre symboli a p määritellää seuraavasti ( { a 1, jos a o luvu p eliöjääös = p 1, jos a o luvu p eliöepäjääös. Määritelmä 2.7 (Jacobi symboli. Olkoo parito ja positiivie kokoaisluku site, että se alkulukutekijöihijako o = p t 1 1 p t 2 2 p t m, ja olkoo a kokoaisluku site, että luvut a ja ovat keskeää jaottomia. Silloi Jacobi symboli ( a määritellää kaavalla ( ( a ( t1 ( t2 ( tm a a a a = p t 1 1 p t 2 2 p t =, m p 1 p 2 p m missä oikeapuoleiset symbolit ovat Legedre symboleja. Seuraavat matriiseihi liittyvät määritelmät löytyvät Rosei kirjasta Elemetary Number Theory ad Its Applicatios sivuilta Määritelmä 2.8. Kaksi kokoaislukualkioista matriisia ovat kogruetteja modulo m, jos iide vastaavat alkiot ovat kogruetteja modulo m. Määritelmä 2.9. (Ks. [8, s. 182]. Jos A ja A ovat ( -kokoaislukumatriiseja ja kogruessi AA AA I (mod m, missä I = o idetiteettimatriisi kertalukua, pätee, ii matriisia A kutsutaa matriisi A kääteismatriisiksi modulo m. Määritelmä matriisi A adjugaatti o se -kokoie matriisi, missä (i, j:s alkio o C ji. C ji muodostetaa ii, että se o ( 1 i+j kertaa se matriisi determiatti, joka saadaa poistamalla i:s rivi ja j:s sarake. Adjugaattia merkitää merkiällä adja. Lause 2.14 (Euleri kriteeri. Olkoo p parito alkuluku ja a kokoaisluku, joka ei ole jaollie alkuluvulla p. Silloi ( a a (p 1/2 (mod p. p ( Todistus. (Vrt. [8, s. 418]. Oletetaa esi, että a p = 1. Silloi kogruessilla x 2 a (mod p o ratkaisu x = x 0. Käyttämällä Fermat pietä lausetta ähdää, että a (p 1/2 (x 2 0 (p 1/2 x p (mod p. 10

11 ( ( Siis ku a p = 1, tiedetää, että a p a (p 1/2 (mod p. ( Oletetaa seuraavaksi, että a p = 1. Nyt kogruessilla x 2 a (mod p ei ole ratkaisuja. Lausee 2.11 perusteella jokaiselle kokoaisluvulle i, ku syt(i, p = 1, o olemassa kokoaisluku j site, että i j a (mod p. Edellee koska kogruessilla x 2 a (mod p ei ole ratkaisuja, tiedetää, että i j. Siis kokoaisluvut 1, 2,..., p 1 voidaa jakaa (p 1/2 kappaleesee pareja, joide tulo o aia a. Kertomalla ämä parit keskeää huomataa, että (p 1! a (p 1/2 (mod p. Koska Wilsoi lauseesta saadaa (p 1! 1 (mod p, pätee 1 a (p 1/2 (mod p. ( Siis myös tässä tapauksessa a p a (p 1/2 (mod p. 2.4 Kiialaie jääöslause ja muita isompia apulauseita Lause [Kiialaie jääöslause] Olkoot luvut m 1, m 2,..., m r pareittai keskeää jaottomia positiivisia kokoaislukuja. Tällöi kogruessiryhmällä x a 1 (mod m 1, x a 2 (mod m 2, x a r (mod m r, o yksikäsitteie ratkaisu modulo M = m 1 m 2 m r. Todistus. (Ks. [8, s ]. Aloitetaa todistus muodostamalla yksi ratkaisu kogruessijoukolle. Olkoo M k = M/m k = m 1 m 2 m k 1 m k+1 m r. Tiedetää, että syt(m k, m k = 1, koska syt(m j, m k = 1 aia ku j k. Lausee 2.8 perusteella löydetää luvu M k kääteisluku y k modulo m k site, että M k y k 1 (mod m k. Muodostetaa seuraavaksi summa x = a 1 M 1 y 1 + a 2 M 2 y a r M r y r. Kokoaisluku x o yksi ratkaisu kogruessijoukolle. Tämä todistamiseksi äytetää esi, että x a k (mod m k kaikilla k = 1, 2,..., r. Koska m k M j aia, ku j k, pätee yt M j 0 (mod m k. Nyt siis luvu x summassa kaikki termit, lukuuottamatta k. termiä, ovat kogruetteja luvu 0 kassa modulo m k. Näi olle x a k M k y k a k (mod m k, koska M k y k 1 (mod m k. 11

12 Näytetää seuraavaksi, että mitkä tahasa kaksi ratkaisua ovat kogruetteja modulo M. Olkoot luvut x 0 ja x 1 vaihtoehtoisia ratkaisuja kogruessijoukolle. Tällöi jokaisella luvulla k pätee x 0 x 1 a k (mod m k, jote m k (x 0 x 1. Lausee 2.5 perusteella saadaa M (x 0 x 1. Siis x 0 x 1 (mod M. Tämä perusteella huomataa, että vaihtoehtoiset ratkaisut kogruessijoukolle ovat yksikäsitteisiä modulo M. Lause [Gaussi lemma] Olkoo p parito alkuluku ja sellaie kokoaisluku, että syt(p, = 1. Merkitää luvulla r jouko {, 2,..., 1 2 (p 1} sellaiste alkioide lukumäärää, joide jakojääös modulo p o suurempi kui p/2. Silloi ( = ( 1 r. p Todistus. (Vrt. [6, s ]. Määritellää luku s site, että r + s = (p 1/2. Käsitellää joukkoa a 1, a 2,..., a s, b 1, b 2,..., b r, missä a i < p/2 kaikilla arvoilla i ja b j > p/2 kaikilla arvoilla j. Koska kyseise jouko alkiot ovat jouko {, 2,..., 1 2 (p 1 } pieimpiä jakojääöksiä, saadaa s r ( p 1 (2.1 a i b j! (p 1/2 (mod p. 2 i=1 j=1 Koska p/2 < b j < p, pätee 0 < p b j < p/2 kaikilla arvoilla j. Siis a i p b j kaikilla arvoilla i ja j. Osoitetaa seuraavaksi väittee a i p b j paikkasapitävyys. Tehdää vastaoletus, että a i = p b j joillaki arvoilla i ja j. Silloi joillaki kokoaisluvuilla h, k, missä h k, 1 h (p 1/2, 1 k (p 1/2, pätee (h + k h + k a i + b j p 0 (mod p. Tästä seuraa, että p (h + k ja koska syt(p, = 1, ii p (h + k. Kuitekaa tämä ei voi pitää paikkaasa, koska 0 < h + k < p. Edellisistä ehdoista seuraa, että kaikki (p 1/2 kokoaislukua a 1, a 2,..., a s, p b 1,..., p b r, ovat erisuuria ja toteuttavat epäyhtälö 1 x (p 1/2. Siis e ovat kokoaisluvut 1, 2,..., (p 1/2 jossai järjestyksessä. Nyt siis ( p 1 s r! a i (p b j (mod p. 2 i=1 j=1 Nyt p voidaa hävittää kogruessista, koska käsitellää kogruessia modulo p. Siis ( p 1 s r! ( 1 r a i b j (mod p. 2 i=1 j=1 Käyttämällä yhtälöä (2.1 saadaa ( p 1 (2.2 2! ( 1 r ( p 1 2! (p 1/2 (mod p. 12

13 Koska ( p 1 2! ja p ovat selvästi keskeää jaottomia, voidaa kogruessi (2.2!. ( p 1 2 molemmat puolet jakaa luvulla Edeltävistä ehdoista seuraa, että (2.3 1 ( 1 r (p 1/2 (mod p. Kertomalla yhtälö (2.3 molemmat puolet luvulla ( 1 r ja käyttämällä Euleri kriteeriä saadaa ( (2.4 ( 1 r (p 1/2 (mod p. p ( Siis ( 1 r p = tp jollai luvulla t. Mutta koska yhtälö vasemma puole tulee ( ( olla ±2 tai 0 Legedre symboli p määritelmä p = ±1 mukaa seuraa, että ( t = 0, josta edellee seuraa p = ( 1 r. Lause [Resiprookkilause] Jos luvut p ja q ovat erisuuria parittomia alkulukuja, ii ( ( p q = ( (p 1 12 (q 1. q p Todistus. (Vrt. [6, s ]. Todistus perustuu ylläesitettyy Gaussi lemmaa. Käsitellää kokoaislukuja q, 2q,..., 1 2 (p 1q. Olkoo 1 k (p 1/2. Jakoalgoritmi perusteella kq = pq k + t k, ku q k ja t k ovat kokoaislukuja site, että 1 t k p 1. Siis t k o piei luvu kq jakojääös mod p. Koska kq = pq k + t k, missä 0 t k < p, pätee kq p = q k + t k p, jote 0 t k /p < 1. Nyt siis q k = kq/p. Merkitää symboleilla a 1, a 2,..., a s luvu t k iitä arvoja, jotka ovat pieempiä kui p/2, ja merkitää symboleilla b 1, b 2,..., b s luvu ( t k iitä arvoja, jotka ovat suurempia kui p/2. Siis Gaussi lemma perusteella q p = ( 1 r. Olkoo a = s i=1 a i ja b = r j=1 b j jote (2.5 a + b = s a i + i=1 r b j = j=1 (p 1/2 Kute Gaussi lemma todistuksessa luvut a 1,..., a s, p b 1,..., p b r ovat luvut 1, 2,..., (p 1/2 jossai järjestyksessä. Siis s r a + rp b = a i + (p b j (2.6 = i=1 (p 1/2 k=1 k. j=1 k=1 t k. 13

14 Käytetää seuraavaksi kaavaa k=0 k = 1 2( + 1, mihi sijoitetaa = (p 1/2 ja saadaa (2.7 a + rp b = (p 1/2 k=1 Yhdistämällä yhtälöt kq = pq k + t k ja (2.5 saadaa (2.8 (2.9 (p 1/2 p k=1 q k + a + b = Käytetää vielä yhtälöä (2.6, jolloi saadaa (2.10 (p 1/2 p k=1 = k = p (p 1/2 k=1 (p 1/2 k=1 (pq k + t k kq. q k + a + b = p2 1 8 q. Vähetämällä yhtälö (2.6 yhtälöstä (2.10 puolittai saadaa (p 1/2 (2.11 p q k + 2b rp = p2 1 8 k=1 (q 1. Käytetää seuraavaksi hyväksi sitä tietoa, että luku q o parito. Tavoitteea o selvittää, mikä lausekkee ( 1 r arvo o, ja siksi halutaa tietää, kumpi seuraavista kogruesseista pitää paikkasa r 0 vai r 1 (mod 2. Koska (p 2 1/8 o kokoaisluku, ja p q 1 (mod 2, yhtälöstä (2.11 saadaa seuraava kogruessi (2.12 Merkitää seuraavaksi (p 1/2 k=1 q k r (mod 2. u = (p 1/2 k=1 q k = (p 1/2 k=1 kq/p. Nyt kogruessi (2.12 ja Gaussi lemma perusteella saadaa ( q = ( 1 r = ( 1 u. p Jos toistetaa sama käsittely, mutta vaihdetaa lukuje p ja q paikkoja ja merkitää v = (q 1/2 k=1 jp/q, 14

15 ( saadaa p q = ( 1 v. Siis ( ( p q = ( 1 u+v. q p Seuraavaksi täytyy vielä osoittaa, että seuraava väite pätee: u + v = (p 1 (q 1. 2 Olkoo T sellaie joukko, joka koostuu muotoa j p kq olevista alkioista, ku k = 1, 2,.., 1 2 (p 1 ja j = 1, 2,..., 1 2 (q 1. Todistetaa, että mikää jouko T alkioista ei ole olla. Nimittäi jos olisi jp kq = 0, ii jp = kq ja p kq. Mutta tämä ei voi pitää paikkaasa, koska syt(p, q = 1 ja 1 k (p 1/2. Sama perustelu pätee väitteelle, että kaikki jouko T alkiot ovat erisuuria ja T sisältää (p 1 2 (q 1 alkiota. Seuraavaksi tutkitaa, kuika mota positiivista ja egatiivista alkiota joukossa T o. Jokaiselle alkiolle j, jp kq > 0 kaikilla arvoilla k = 1, 2,..., x, missä x o suuri kokoaisluku site, että j p > xq. Siis jokaista luvu j arvoa kohti o olemassa x = j p/q arvoa luvulle k, jotka tuottavat positiivisia jouko T alkioita. Siis jouko T positiiviste alkioide kokoaismäärä o Samoi, v = u = (q 1/2 k=1 (p 1/2 k=1 jp/q. kq/q o jouko T egatiiviste arvoje lukumäärä. Näi käydää läpi jouko T alkiot ja saadaa u + v = 1 1 (p (q 1. 15

16 3 Pseudoalkuluvuista 3.1 Pseudoalkulukuje määritelmä Fermat piei lause kertoo, että jos o alkuluku ja b o mikä tahasa kokoaisluku, ii b b (mod. Toisaalta siis, jos löydetää kokoaisluku b site, että b b (mod, ii tiedetää, että o yhdistetty luku. Esimerkki 3.1. Voidaa äyttää, että luku 15 ei ole alkuluku käyttämällä Fermat pietä lausetta: 2 15 = = ( = (mod 15. Fermat piee lausee avulla voidaa siis äyttää, että luku o yhdistetty luku. Olisi vielä hieompaa, jos se avulla voitaisii äyttää, että kokoaisluku o alkuluku. Aiemmi luultii, että jos 2 2 (mod, ii luvu tulee olla alkuluku. Tämä väite pätee luvuilla Valitettavasti kääteie Fermat piei lause ei päde, kute seuraava esimerkki todistaa. Esimerki = 341 keksi Sarrus vuoa Esimerkki 3.2. Olkoo = 561 = Fermat piee lausee perusteella ähdää, että = ( (mod 3, = ( (mod 11, = ( (mod 17. Siis lausee 2.6 ojalla saadaa, että (mod 561. Kertomalla kogruessi molemmat puolet luvulla 2 saadaa vaikka luku 561 ei ole alkuluku (mod 561, Tämäkaltaiset esimerkit johtivat seuraavaa määritelmää. Määritelmä 3.1. Olkoo b positiivie kokoaisluku. Jos o yhdistetty ja positiivie kokoaisluku sekä b b (mod, ii lukua kutsutaa pseudoalkuluvuksi kaa b suhtee. Huomataa, että jos syt(b, = 1, ii kogruessi b b (mod o ekvivaletti kogruessi b 1 1 (mod kassa. Esimmäisestä kogruessista saadaa toie jakamalla molemmat puolet luvulla b ja esimmäie kogruessi saadaa toisesta kertomalla molemmat puolet luvulla b. Jos o olemassa suhteellise vähä pseudoalkulukuja kaa b suhtee, kogruessi b b (mod tarkastelu o hyödyllie testi. Aioastaa piei määrä jaollisia 16

17 lukuja läpäisee testi. Itse asiassa o olemassa paljo vähemmä pseudoalkuluja kaa b suhtee tiettyy lukuu asti kui alkulukuja. Esimerkiksi o olemassa alkulukua ja pseudoalkulukua kaa b suhtee, mitkä ovat lukua pieempiä. Vaikka pseudoalkuluvut ovatki harviaisia, o iitä silti olemassa ääretö määrä jokaise kaa suhtee. Apulause 3.1. Jos d ja ovat positiivisia kokoaislukuja site, että d, ii (2 d 1 (2 1. Todistus. (Ks. [8, s. 226]. Koska d, o olemassa positiivie kokoaisluku t site, että dt =. Merkitää x = 2 d yhtälössä x t 1 = (x 1(x t 1 + x t , eli 2 1 = (2 d 1(2 d(t d(t d + 1. Nyt siis (2 d 1 (2 1. Lause 3.2. O olemassa ääretö määrä pseudoalkulukuja kaa 2 suhtee. Todistus. (Ks. [8, s ]. Osoitetaa, että jos o parito pseudoalkuluku kaa 2 suhtee, ii myös m = 2 1 o parito pseudoalkuluku kaa 2 suhtee. Koska o olemassa aiaki yksi parito pseudoalkuluku kaa 2 suhtee, imittäi 0 = 341, voidaa muodostaa ääretö määrä parittomia pseudoalkulukuja kaa 2 suhtee merkitsemällä 0 = 341 ja k+1 = 2 k 1, ku k = 0, 1, 2, 3,... Kaikki äi muodostetut kokoaisluvut ovat eri lukuja, sillä 0 < 1 < 2 < < k < k+1 <. Oletetaa seuraavaksi, että o parito pseudoalkuluku kaa 2 suhtee, eli o yhdistetty luku ja (mod. Koska o yhdistetty luku, voidaa merkitä = dt, missä 1 < d < ja 1 < t <. Osoitetaa yt, että m = 2 1 o myös pseudoalkuluku äyttämällä esi, että se o yhdistetty luku ja sitte että kogruessi 2 m 1 1 (mod m pätee. Luvu m jaollisuude todistamiseksi käytetää lausetta 3.1 osoittamaa, että (2 d 1 (2 1 = m. Koska 2 2 (mod, huomataa, että o olemassa kokoaisluku k site, että 2 2 = k. Siis 2 m 1 = = 2 k. Apulausee 3.1 avulla ähdää, että m = (2 1 (2 k 1 = 2 m 1 1. Nyt siis 2 m (mod m, jote 2 m 1 1 (mod m. Tästä ähdää, että m o pseudoalkuluku kaa 2 suhtee. Jos halutaa tietää, oko kokoaisluku alkuluku ja huomataa, että kogruessi (mod pätee, ii o joko alkuluku tai pseudoalkuluku kaa 2 suhtee. Asia selvittämise jatkamiseksi voidaa testata kogruessia b 1 1 (mod moilla positiivisilla kokoaisluvuilla b. Jos löydetää luvu b arvoja site, että syt(b, = 1 ja b 1 1 (mod, tiedetää, että o yhdistetty luku. 17

18 Esimerkki 3.3. (Ks. [8, s. 227]. Näytetää esi, että 341 o pseudoalkuluku kaa 2 suhtee: = = ( = (mod 341. Koska 7 3 = (mod 341 ja 2 10 = (mod 341, saadaa =( = ( (mod 341. Käyttämällä Fermat pietä lausetta kääettyä ähdää, että 341 o yhdistetty luku, koska (mod Carmichaeli luvut Valitettavasti o olemassa jaollisia kokoaislukuja site, että iitä ei pystytä osoittamaa jaollisiksi käyttämällä yllä olevaa tapaa. Näi o, koska o olemassa kokoaislukuja, jotka ovat pseudoalkulukuja jokaise kaa suhtee, eli o olemassa jaollisia kokoaislukuja site, että b 1 1 (mod kaikilla luvuilla b ku syt(b, = 1. Tämä johtaa seuraavaa määritelmää, joka o imetty Robert Carmichaeli mukaa. Carmichael tutki asiaa 1900-luvu alkupuolella. Määritelmä 3.2. Yhditettyä kokoaislukua, joka toteuttaa kogruessi b 1 1 (mod kaikilla sellaisilla positiivisilla kokoaisluvuilla b, että syt(b, = 1, kutsutaa Carmichaeli luvuksi tai absoluuttiseksi pseudoalkuluvuksi. Esimerkki 3.4. Kokoaisluku 1105 = o Carmichaeli luku. Todetaa aluksi, että jos syt(b, 1105 = 1, ii myös syt(b, 5 = syt(b, 13 = syt(b, 17 = 1. Fermat piee lausee perusteella voidaa muodostaa kogruessit b 4 1 (mod 5, b 12 1 (mod 13 ja b 16 1 (mod 17. Siis b 1104 = (b (mod 5, b 1104 = (b (mod 13, b 1104 = (b (mod 17. Nyt siis lausee 2.6 perusteella b (mod 1105 kaikilla b, ku syt(b, = 1. Siis 1105 o Carmichaeli luku. 18

19 Lause 3.3. Olkoo o yhdistetty kokoaisluku. Jos o jaollie jollai täydellisellä eliöllä, ei ole Carmichaeli luku. Todistus. (Vrt. [2, s. 1]. Oletetaa, että o Carmichaeli luku. Todistetaa, että luku ei ole jaollie millää eliöllä. Jos alkuluvu p potessi > 1 jakaa luvu, merkitää = p k, missä k 1 ja syt(p, = 1. Tavoitteea o yt osoittaa, että k = 1. Tehdää vastaoletus, että k 2, jote p 2. Kiialaise jääöslausee mukaa o olemassa kokoaisluku a site, että a 1 + p (mod p k ja a 1 (mod. Nyt siis syt(a, = 1, jote Carmichaeli lukuje määritelmä mukaa a 1 1 (mod. Nyt koska p 2 ja a 1 + p (mod p k, ii edellä olevasta kogruessista seuraa, että (1 + p 1 1 (mod p 2. Biomilausee mukaa pätee (1 + p 1 = Nyt koska p, saadaa 1 i=0 ( 1 i p i 1 + ( 1p (mod p ( 1p 1 + p p 1 p (mod p 2. Siis 1 p 1 (mod p 2. Tämä ei voi päteä, jote tulos o ristiriita ja k = 1. Vuoa 1912 Carmichael väitti, että o olemassa äärettömä mota Carmichaeli lukua. Kesti 80 vuotta, että väite pystyttii todistamaa. Vuoa 1992 Alford, Graville ja Pomerace todistivat, että Carmichael oli oikeassa. Seuraavaksi esitetää osa kyseisestä todistuksesta; teoreema, jolla voidaa löytää Carmichaeli lukuja. Lause 3.4. Olkoo parito yhdistetty kokoaisluku. Jos mikää eliö ei jaa lukua, o Carmichaeli luku, jos ja vai jos p 1 1 jokaisella luvulla p, joka jakaa luvu. Todistus. (Ks. [4, s. 128]. Esimerkki 3.5. Lausee 3.4 ojalla 8911 = o Carmichaeli luku, koska kaikki luvut 7, 19, 67 ovat alkulukuja ja 6 = ( , 18 = ( sekä 66 = (

20 3.3 Milleri testi Ku kogruessi b 1 1 (mod, missä o parito kokoaisluku, o testattu, toie mahdollie lähestymistapa o tutkia luvu b ( 1/2 pieitä jääöstä modulo. Nythä jos x = b ( 1/2, ii x 2 = b 1 1 (mod. Jos o alkuluku, ii lausee 2.1 perusteella tiedetää, että joko x 1 tai x 1 (mod. Ku esi todetaa, että b 1 1 (mod, voidaa kokeilla kogruessia b ( 1/2 ±1 (mod. Jos edellä oleva kogruessi ei päde, tiedetää, että o yhdistetty luku. Esimerkki 3.6. Olkoo b = 5 ja = Huomataa, että 5 (1105 1/2 = (mod 1105 eli luku 1105 o yhdistetty luku. Määritelmä 3.3. Olkoo positiivie kokoaisluku. Merkitää 1 = 2 s t, missä s o ei-egatiivie kokoaisluku ja t o parito positiivie kokoaisluku. Saotaa, että luku toteuttaa Milleri testi kaalle b, jos joko b t 1 (mod tai b 2j t 1 (mod jollaki luvulla j, ku 0 j s 1. Esimerkki 3.7. Olkoo = 121 = Nyt = ( = (mod 121, jote 121 o pseudoalkuluku kaa 3 suhtee. Nyt merkitää, että = 120 = ja Milleri testi määritelmä mukaa 3 15 = (3 5 3 = (mod 121, eli 121 toteuttaa Milleri testi kaalle 3. Lause 3.5. Jos o alkuluku ja b o positiivie kokoaisluku site, että b, ii luku toteuttaa Milleri testi kaalle b. Todistus. (Ks. [8, s. 229]. Olkoo 1 = 2 s t, missä s o ei-egatiivie kokoaisluku ja t o parito ja positiivie kokoaisluku. Olkoo x k = b ( 1/2k = b 2s kt, ku k = 0, 1, 2,..., s. Koska o alkuluku, Fermat piee lausee perusteella tiedetää, että x 0 = b 1 1 (mod. Lausee 2.1 perusteella koska x 2 1 = (b( 1/2 2 = x 0 1 (mod, ii x 1 1 (mod tai x 1 1 (mod. Jos x 1 1 (mod, koska x 2 2 = x 1 1 (mod, ii x 2 1 (mod tai x 2 1 (mod. Jos x 0 x 1 x 2 x 3 x k 1 (mod, missä k < s, ii koska xk+1 2 = x k 1 (mod, tiedetää, että joko x k+1 1 (mod tai x k+1 1 (mod. Ku tätä jatketaa k = 1, 2, 3,..., s, huomataa, että joko x k 1 (mod tai x k 1 (mod jollaki kokoaisluvulla k, missä 0 < k s. Siis luku toteuttaa Milleri testi kaalle b. Olkoo 1 = 2 s t ja luku t parito. Jos positiivie kokoaisluku toteuttaa Milleri testi kaalle b, ii b t 1 (mod tai b 2jt 1 (mod jollaki luvulla j, missä 0 j s 1. Kummassaki tapauksessa saadaa b 1 1 (mod, koska b 1 = (b 2jt 2s 1 1 (mod, ku j = 0, 1, 2,..., s, eli siis yhdistetty luku joka toteuttaa Milleri testi kaalle b o automaattisesti pseudoalkuluku kaa b suhtee. 20

21 3.4 Vahvat pseudoalkuluvut Määritelmä 3.4. Jos o yhdistetty luku ja toteuttaa Milleri testi kaa b suhtee, ii saotaa, että b o vahva pseudoalkuluku kaa b suhtee. Esimerkki 3.8. Nyt huomataa, että esimerki 3.7 luku 121 o äskeise määritelmä perusteella myös vahva pseudoalkuluku kaa 3 suhtee. Vaikka vahvat pseudoalkuluvut ovat äärimmäise harviaisia, o iitä silti olemassa ääretö määrä. Aetaa seuraavaksi esimerkkiä äärettömyyde todistus kaalle 2. Lause 3.6. O olemassa ääretö määrä vahvoja pseudoalkulukuja kaa 2 suhtee. Todistus. (Ks. [8, s. 230]. Tavoitteea o osoittaa, että jos o pseudoalkuluku kaa 2 suhtee, ii N = 2 1 o vahva pseudoalkuluku kaa 2 suhtee. Olkoo parito kokoaisluku site, että se o pseudoalkuluku kaa 2 suhtee. Siis o yhdistetty luku ja (mod. Tämä kogruessi perusteella saadaa, että = k jollaki kokoaisluvulla k. Lisäksi luvu k tulee olla parito. Nyt N 1 = 2 2 = 2(2 1 1 = 2 1 k. Huomataa, että 2 (N 1/2 = 2 k = (2 k 1 (mod N, koska 2 = ( = N (mod N. Tämä perusteella tiedetää, että luku N toteuttaa Milleri testi kaalle 2. Lausee 3.1 todistuksessa osoitettii, että jos luku o yhdistetty, ii luku N = 2 1 o myös yhdistetty. Eli yt luku N toteuttaa Milleri testi ja o yhdistetty, jote N o vahva pseudoalkuluku kaa 2 suhtee. Koska jokaista pseudoalkulukua kaa 2 suhtee vastaa vahva pseudoalkuluku 2 1 kaa 2 suhtee, ja koska o olemassa ääretö määrä pseudoalkulukuja kaa 2 suhtee, o olemassa ääretö määrä vahvoja pseudoalkulukuja kaa 2 suhtee. 3.5 Euleri pseudoalkuluvut Olkoo p parito alkuluku ja b kokoaisluku, joka ei ole jaollie luvulla p. Euleri kriteeri perusteella tiedetää, että ( b b (p 1/2 (mod p. p Jos halutaa ottaa selvää, oko positiivie kokoaisluku alkuluku, voidaa ottaa käsittelyy luku b site, että syt(b, = 1, ja testata päteekö ( b b ( 1/2 (mod, missä kogruessi oikeapuoleie merkitä o Jacobi symboli. Jos kogruessi ei päde, o luku yhdistetty. 21

22 Määritelmä 3.5. Paritota, jaollista ja positiivista kokoaislukua, joka toteuttaa kogruessi ( b b ( 1/2 (mod, missä b o positiivie kokoaisluku, kutsutaa Euleri pseudoalkuluvuksi kaa b suhtee. Esimerkki 3.9. Olkoo = 561 ja b = 2. Nyt (mod 561. Nyt lasketaa Jacobi symboli ( ( ( ( ( = = = ( 1 ( 1 1 = ( Siis (mod 561. Koska luku 561 o yhdistetty ja parito, o se Euleri pseudoalkuluku kaa 2 suhtee. Seuraava lause osoittaa, että jokaie Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee o myös pseudoalkuluku kaa b suhtee. Lause 3.7. Jos luku o Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee, ii o pseudoalkuluku kaa b suhtee. Todistus. (Ks. [8, s. 454]. Jos o Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee, ii ( b b ( 1/2 (mod. Korotetaa kogruessi molemmat puolet toisee potessii ja saadaa ( Koska b = ±1, saadaa (b ( 1/2 2 ( 2 b (mod. b 1 1 (mod, mistä seuraa, että o pseudoalkuluku kaa b suhtee. Lause 3.8. Olkoot a, d ja r positiivisia kokoaislukuja. Nyt kogruessi pätee. (2 r+1 d + 1 a (1 + 2 r+1 ad (mod 2 2r+2 Todistus. Todistetaa kogruessi pätevyys iduktiolla luvu a suhtee. 1. Olkoo a = 1. Nyt (2 r+1 d r+1 1 d (mod 2 2r+2. 22

23 2. Oletetaa, että kogruessi pätee, ku a = : (2 r+1 d + 1 (1 + 2 r+1 d (mod 2 2r Osoitetaa seuraavaksi, että kogruessi pätee, ku a = + 1. Nyt (2 r+1 d (1 + 2 r+1 ( + 1d (mod 2 2r+2 (2 r+1 d + 1(2 r (1 + 2 r+1 ( + 1d (mod 2 2r+2 (2 r+1 d + 1(1 + 2 r+1 d (1 + 2 r+1 ( + 1d (mod 2 2r+2 2 r+1 d + 2 2r+2 2d r+1 d r+1 d + 2 r+1 d (mod 2 2r+2 2 r+1 d r+1 d r+1 d + 2 r+1 d (mod 2 2r (mod 2 2r+2. Lause 3.9. Jos o vahva pseudoalkuluku kaa b suhtee, ii o Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee. Todistus. (Vrt. [8, s ]. Olkoo vahva pseudoalkuluku kaa b suhtee. Nyt jos 1 = 2 s t, missä luku t o parito, silloi b t 1 (mod tai b 2rt 1 (mod, missä 0 r s 1. Olkoo = m i=1 p a i i luvu alkulukutekijöihijako. Käsitellää aluksi tapausta b t 1 (mod. Olkoo p luvu alkulukutekijä. Nyt lausee 2.13 mukaa koska b t 1 (mod p, ii ord p b t. Koska luku t o parito, ii luvu t tekijää myös ord p b o parito. Siis ord p b (p 1/2, koska ord p b o parillise luvu φ(p = p 1 parito jakaja. Tästä seuraa, että b (p 1/2 1 (mod p. ( Edellee Euleri kriteeri (lause 2.14 perusteella saadaa, että b p = 1. ( ( Lasketaa seuraavaksi Jacobi symboli b. Edellä o todistettu, että b p kaikilla alkuluvuilla p, jotka jakavat luvu. Siis ( ( b b m ( ai b = mi=1 p a = = 1. i p i i i=1 = 1 Koska b t 1 (mod, tiedetää, että b ( 1/2 = (b t 2s 1 1 (mod. Tästä seuraa, että ( b b ( 1/2 1 (mod. Siis o Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee. 23

24 Seuraavaksi otetaa käsittelyy tapaus b 2rt 1 (mod jollai luvulla r, ku 0 r s 1. Jos p o luvu alkulukujakaja, ii b 2rt 1 (mod p. Korottamalla molemmat puolet toisee potessii saadaa b 2r+1t 1 (mod p, mistä seuraa, että ord p b 2 r+1 t, mutta myös että ord p b 2 r t. Siis ord p b = 2 r+1 c, missä c o parito kokoaisluku. Koska ord p b (p 1 ja 2 r+1 ord p b, siitä seuraa, että 2 r+1 (p 1. Nyt siis p = 2 r+1 d + 1, missä d o kokoaisluku. Koska ord p b = 2 r+1 c, ii (b 2r c 2 1 (mod p, siis b 2r c 1 (mod p tai b 2r c 1 (mod p. Koska 2 r c = (ord p b/2, ii b 2r c 1 (mod p. Siis eli b 2r c 1 (mod p b (ord pb/2 1 (mod, jote saadaa Euleri kriteeri avulla ( b b (p 1/2 = b (ord pb/2((p 1/ord p b p ( 1 (p 1/ord pb = ( 1 (p 1/(2r+1 c (mod p. Koska luku c o parito, tiedetää, että ( 1 c = 1. Siis ( b (3.1 = ( 1 (p 1/2r+1 = ( 1 d, p koska d = (p 1/2 r+1. Koska jokaie alkuluku p i, joka jakaa luvu, o muotoa 24

25 p i = 2 r+1 d i + 1, seuraa siitä, että = = * m i=1 p a i i m (2 r+1 d i + 1 a i i=1 m (1 + 2 r+1 a i d i i=1 (1 + 2 r+1 a 1 d 1 (1 + 2 r+1 a 2 d 2 (1 + 2 r+1 a 3 d 3 (1 + 2 r+1 a 1 d r+1 a 2 d r+2 a 1 a 2 d 1 d r+1 a 3 d r+2 a 1 a 3 d 1 d r+2 a 2 a 3 d 2 d r+3 a 1 a 2 a 3 d 1 d 2 d 3 (1 + 2 r+1 a 1 d r+1 a 2 d r+1 a 3 d 3 m r+1 a i d i (mod 2 2r+2. (1 i=1 Kohdassa käytetää apua lausetta 3.8. Eli Kogruessista seuraa, että ja t2 s 1 = ( 1/2 2 r t2 s 1 r m a i d i (mod 2 2r+1. (2 i=1 m a i d i (mod 2 r+1. (3.2 b ( 1/2 = (b 2rt 2s 1 r ( 1 2s 1 r = ( 1 m i=1 a i d i (mod. i=1 Toisaalta yhtälö (3.1 perusteella tiedetää, että ( b = m ( ai b = i=1 p i m (( 1 d i a i = Yhdistämällä yhtälöt (3.1 ja (3.2, ähdää, että ( b b ( 1/2 (mod. i=1 m ( 1 a id i = ( 1 m i=1 a i d i. i=1 Nyt siis o Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee. Huomautus 3.1. Edellise lausee todistus o tehty Rosei kirja Elemetary Number Theory ad Its Applicatios pohjalta, mutta kirja todistus sisältää virheitä kohdissa (1 ja (2. 25

26 Vaikka jokaie vahva pseudoalkuluku kaa b suhtee o Euleri pseudoalkuluku sama kaa suhtee, pitää huomata, että jokaie Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee ei ole vahva pseudoalkuluku sama kaa suhtee. Seuraavaksi esitetää esimerkki tästä. Esimerkki Aiemmi esitettii, että 561 o Euleri pseudoalkuluku kaa 2 suhtee. Kuitekaa 561 ei ole vahva pseudoalkuluku kaa 2 suhtee, koska vaikka 2 (561 1/2 = (mod 561, 2 (561 1/22 = ±1 (mod 561. O kuiteki mahdollista lisätä ehtoja, jotta jokaisesta Euleri pseudoalkuluvusta, joka täyttää kyseiset kriteerit, kaa b suhtee, saadaa vahva pseudoalkuluku. Seuraavaksi esitetää kyseiset ehdot. Lause Jos 3 (mod 4 ja o Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee, ii o vahva pseudoalkuluku kaa b suhtee. Todistus. (Vrt. [8, s. 457]. Kogruessi 3 (mod 4 perusteella tiedetää, että 1 = 2 t, missä t = ( 1/2 o parito. Tämä pätee, koska 3 = 4k 1 = 4k + 2 = 2(2k + 1 = 2t, missä t o parito kokoaisluku. Koska o Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee, seuraa siitä, että ( b b t = b ( 1/2 (mod. ( Koska b = ±1, tiedetää, että b t 1 (mod tai b t 1 (mod. Siis yhde vahva pseudoalkuluvu määritelmässä olevista kogruesseista tulee pitää paikkasa, jote o vahva pseudoalkuluku kaa b suhtee. ( Lause Jos o Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee ja b = 1, ii o vahva pseudoalkuluku kaa b suhtee. Todistus. (Ks. [8, s. 457]. Merkitää 1 = 2 s t, missä t o parito. Koska o Euleri pseudoalkuluku kaa b suhtee, ii o parito ja site s 1, ja täte saadaa ( b b 2s 1t = b ( 1/2 (mod. ( Mutta koska b = 1, huomataa, että b t2s 1 1 (mod. Tämä o yksi vahva pseudoalkuluvu määritelmä kogruesseista. Koska o yhdistetty luku, o se vahva pseudoalkuluku kaa b suhtee. 26

27 3.6 Lucas pseudoalkuluvut Määritelmä 3.6. Lucas joot parametrei P ja Q ovat {u } ja {v }, jotka määritellää seuraavasti: u 0 = 0, u 1 = 1 ja u = Pu 1 Qu 2, v 0 = 2, v 1 = P ja v = Pv 1 Qv 2, ku 2. Joskus jooja merkitää myös u = u (P, Q ja v = v (P, Q, jos halutaa korostaa riippuvuutta parametreistä P ja Q. Olkoo x 2 Px + Q Lucas jooo liittyvä karakteristie polyomi, olkoo D = P 2 4Q se diskrimiatti ja olkoot α ja β kaksi karakteristise polyomi ollakohtaa. Fiboacci luvut saadaa jooa u, jos P = 1 ja Q = 1. Jos u määritellää Fiboacci luvuiksi, ii lukuja v = v (1, 1 kutsutaa Lucasi luvuiksi. Karakteristie polyomi o tässä tapauksessa x 2 x 1, joka diskrimiatti o D = 5 ja ollakohdat ovat α, β = (1 ± 5/2. Oletetaa, että parametrit P ja Q ovat kokoaislukuja, mikä seurauksea myös kaikki u :t ja v :t ovat kokoaislukuja. Yleesä oletetaa myös, että D = P 2 4Q ei ole eliö, jolloi pätee, että D 0, jote α β. Yhtälöstä (x α(x β = x 2 x(α + β + αβ = x 2 Px + Q ähdää, että α + β = P ja αβ = Q. Nyt jos α = (P + D/2 ja β = (P D/2, ii α β = D. Todistamme lauseessa 3.12, että u = α β α β = α β D ja v = α + β, ku 0. Näitä yhtälöitä kutsutaa Bieti yhtälöiksi. Huomautus 3.2. Seuraavaa todistusta ei löydy lähteeä käytetystä kirjasta. Lause Olkoo α = (1 + 5/2, β = (1 5/2 ja D = 5. Yhtälöt u = α β α β = α β D ja v = α + β, pätevät, ku 0. Todistus. Nyt koska Lucasi jooo liittyvä karakteristie polyomi o x 2 x 1 ja α ja β ovat se ollakohtia, ii seuraavat yhtälöt pätevät: koska α k+1 = α k + α k 1, β k+1 = β k + β k 1, 0 = (α 2 α 1α k 1 = α k+1 α k α k 1 α k+1 = α k α k 1 27

28 sekä ku k 2. Todistetaa lause iduktiolla. 1. Olkoo = 1. Nyt siis 0 = (β 2 β 1β k 1 = β k+1 β k β k 1 β k+1 = β k β k 1, ja α 1 β 1 5 = = 1 = u 1 α 1 + β 1 = = 1 = v Oletetaa, että yhtälöt pätevät, ku = k Olkoo = k + 1. Nyt siis u k+1 = u k 1 + u k = αk 1 β k 1 5 αk β k 5 = αk 1 α k (β k 1 β k 5 = αk+1 β k+1 5 sekä v k+1 = v k 1 + v k = α k 1 + β k 1 + α k + β k = α k 1 + α k + β k 1 + β k = α k+1 + β k+1. O olemassa luoollie tapa laskea Lucasi lukuja käyttämällä 2x2-matriiseja. Merkitää [ ] [ ] P Q u+1 v L = ja ku 0, A 1 0 = +1. Silloi A 0 = [ ] 1 P. 0 2 Osoitetaa seuraavaksi yksikertaisella iduktiolla, että A = L A 0, ku 0, missä L 0 tarkoittaa idetiteettimatriisia. u v 28

29 Lause Olkoo Ku 0, pätee L = [ ] P Q 1 0 [ ] u+1 v ja ku 0, A = +1. A = L A 0. Todistus. Todistetaa väite iduktiolla. [ ] [ ] 1 P Olkoo = 0. Nyt A 0 = ja L =, jote siis A = L 0 A 0 = A Oletetaa, että seuraava yhtälö pätee; A = L A Nyt [ ] u+2 v A +1 = +2. u +1 v +1 Tavoitteea o osoittaa, että A +1 = L +1 A 0. Yhtälö voidaa muokata seuraavaa muotoo; A +1 = LL A 0. Tiedetää, että A = L A 0, jote A +1 = L A. Siis [ ] [ ] P Q u+1 v A +1 = L A = u v [ ] Pu+1 Qu = Pv +1 Qv u +1 v +1 [ ] u+2 v = +2 = A u +1 v Huomautus 3.3. Yllä esitettyä iduktiotodistusta ei ole lähteeä käytetyssä kirjassa. Lause Olkoo 0. Silloi pätee 2 1 u = 2 1 v = i=0 i parito i=0 i parillie u ( P i D (i 1/2, i ( P i D i/2. i Todistus. (Vrt. [9, s. 162].Aloitetaa joo u kaavasta ja käsitellää karakteristise polyomi kahta ollakohtaa. u = α β α β = (P + D (P D 2. D Käytetää biomikaavaa ja saadaa i=0 ( i P i ( D i ( u = i=0 i P i ( D i 2 D 2 u = 1 ( P i (( D i ( D i. D i i=0 v 29

30 Ku i o parillie, erotukse ( D i ( D i jälkimmäise termi miiusmerkki häviää. Jos taas i o parito, miiukset kumoavat toisesa. Siis ( P i ( D i. i 2 u = 2 D i=0 i parito Lausee esimmäie yhtälö saadaa jakamalla ylläoleva yhtälö luvulla 2 ja supistamalla yhdet D:t. Seuraavaksi otetaa käsittelyy kaava Käyttämällä biomikaavaa saadaa v = α + β = (P + D + (P D 2. v = 2 v = i=0 ( i P i ( D i + ( i=0 i P i ( D i i=0 2 ( P i (( D i + ( D i. i Nyt erotukse ( D i + ( D i jälkimmäise termi miiusmerkki häviää, jote ( 2 v = 2 P i ( D i. i Siis 2 1 v = i=0 i parillie i=0 i parillie ( P i ( D i. i Lause Jos o alkuluku, u i o i:s Fiboacci luku ja ( 5 o vastaava Legedre symboli, ii jakaa luvu u ( 5. Seuraava lause yleistää ylläoleva lausee ja todistaa myös se. Lause Jos p o parito alkuluku, joka ei jaa lukua PQ, ii u ( p Dp 0 (mod p, ( D u p (mod p ja p v p v 1 = P (mod p. Jos myös syt(p, D = 1, ii v p ( Dp 2Q (1 ( Dp /2 (mod p. 30

31 Todistus. (Vrt. [9, s ].Olkoo = p luvu u kaavassa 2 1 u = i=0 i parito ( P i D (i 1/2 i lauseessa Huomataa, että koska p o alkuluku, se jakaa kaikki biomikertoimet ( p i = p! i!(p i!, ku 1 i 1. Aioa termi summassa o se, jossa i = p, muut termit ovat 0 (mod p. Myöski pätee 2 p 1 1 (mod p Fermat piee lausee mukaa. Huomataa, että koska ii 2 p 1 u p = p i=0 u p D (p 1/2 ( p P p i D (i 1/2, i ( D p (mod p Euleri kriteeri mukaa. Tämä todistaa toise kaava. Esimmäise yhtälö todistamiseksi oletetaa, että = p + 1 luvu u kaavassa 2 1 u = i=0 i parito ( P i D (i 1/2 i lauseessa Koska p o alkuluku, se jakaa kaikki biomikertoimet ( p+1 i, ku 2 i p 1. Aioat parittomat ideksit i, jotka eivät ole tässä itervallissa, ovat i = 1 ja i = p, jote summa kutistuu kahtee termii. Saadaa 2 p 2 (mod p Fermat piee lausee mukaa. Huomataa yt, että ( D 2u p+1 (p + 1P p D 0 + (p + 1P 1 D (p 1/2 P(1 + (mod p, p missä käytetää kogruesssia p 0 (mod p, kogruessia ( P p P (mod p Fermat piee lausee mukaa sekä Euleri kriteeriä. Jos D p = 1, ähdää heti, että ( p jakaa luvu u p+1 = u ( p Dp. Jos taas D p = 1, saadaa 2u p+1 2P (mod p, jote u p+1 P (mod p. Toise kaava mukaa u p = 1 (mod p. Sijoittamalla ämä rekursiokaavaa u p+1 = Pu p Qu p 1, saadaa P P(1 Qu p 1 (mod p. Tästä seuraa, että Qu p 1 0 (mod p. Koska syt(p, Q = 1, voidaa kogruessi jakaa luvulla Q. Silloi huomataa, että p jakaa luvu u p 1 = u p ( Dp. Olkoo = p luvu v kaavassa 2 1 v = i=0 i parillie ( D p ( P i D i/2 i 31

32 lauseessa Nyt taas koska p o alkuluku, se jakaa kaikki biomikertoimet ( p i, ku 1 i 1. Samoi pätee taas kogruessi 2 p 1 1 (mod p. Summaa jää aioastaa termi, jossa i = 0. Siis v p P = v 1 (mod p. Siis kolmas yhtälö pätee. Oletetaa seuraavaksi, että = p + 1 luvu v kaavassa ( 2 1 v = P i D i/2 i i=0 i parillie lauseessa Luku p jakaa taas kaikki biomikertoimet ( p+1 i, ku 2 i p 1. Muut parilliset ideksit ovat i = 0 ja i = p + 1, jote summaa jää kaksi termiä. Fermat piee lausee mukaa 2 p 2 (mod p. Nyt siis 2 1 v 2v p+1 1 P p+1 D 0/2 + 1 P 0 D (p+1/2 P p+1 + D (p+1/2 (mod p. Käytetää Fermat lausetta ja Euleri kriteeriä kogruessii ja saadaa 2v p+1 P 2 + (D p 1 D 2 1/2 (mod p P 2 + D (p 1/2 D (mod p ( D P 2 + D (mod p. p Oletetaa seuraavaksi, että = 1. Nyt siis ( D p 2v p+1 P 2 + D (mod p. Koska P 2 = D + 4Q o karakteristise polyomi diskrimiatti, ii 2v p+1 D + 4Q + D = 2D + 4Q (mod p. Koska Lucasi joo alkiot määritellää kaavalla v p+1 = Pv p Qv p 1, sijoitetaa se kogruessii, jolloi saadaa 2(Pv p Qv p 1 D + 4Q + D = 2D + 4Q (mod p 2Pv p 2Qv p 1 2D + 4Q (mod p. Käytetää seuraavaksi äske osoitettua kogruessia v p v 1 = P (mod p, ja saadaa 2P 2 2Qv p 1 2D + 4Q (mod p 2(D + 4Q 2Qv p 1 2D + 4Q (mod p. 32

33 Nyt molemmilta puolilta voidaa vähetää 2D ja 4Q, jolloi saadaa 4Q 2Qv p 1 0 (mod p. Koska syt(2q, p = 1, voidaa kogruessi jakaa luvulla 2Q, jote Oletetaa sitte, että ( D p 2 v p 1 0 (mod p v p 1 2 (mod p. = 1. Siis 2v p+1 P 2 D (mod p. Karakteristise polyomi diskrimiatti o D = P 2 4Q, ja hiema yhtälöä muokkaamalla saadaa 4Q = P 2 D. Sijoitetaa saatu yhtälö kogruessii, jote 2v p+1 4Q (mod p. Nyt jakamalla kogruessi luvulla 2 saadaa haluttu kogruessi v p+1 2Q (mod p. Olkoo I 2 2-idetiteettimatriisi. Lause Jos A o x-kokoie kokoaislukumatriisi ja m o positiivie kokoaisluku site, että syt(det A, m = 1, matriisi A = det A(adj A o matriisi A kääteismatriisi modulo m, missä det A o determiati det A kääteisluku modulo m. Todistus. (Ks. [8, s. 183]. Olkoo syt(det A, m = 1, jote tiedetää suoraa, että det A 0. Siis koska det A 0, saadaa, että A(adj A = (det AI. Koska syt(det A, m = 1, o olemassa determiati kääteisluku det A modulo m. Siis A det A(adj A A (adj Adet A det A det A I I (mod m, ja det A(adj AA det A((adj AA det A(det AI I (mod m. Siis A = det A(adj A o matriisi A kääteismatriisi modulo m. [ ] P Q Lause Olkoo L = matriisi, jota käytetää Lucasi lukuje laskemisee parametreia P ja Q. Olkoo D = P 2 4Q. Olkoo p alkuluku, joka ei jaa 1 0 lukua 2PQD. Jos = 1, ii L p 1 I (mod p. Joka tapauksessa L p2 1 I (mod p. ( D p 33

34 ( Todistus. (Ks. [9, s ]. Olkoo D p = 1. Lausee 3.16 mukaa [ ] up v A p 1 = p u p 1 v p 1 [ ] 1 P = A (mod p. Mutta myöski pätee A p 1 = L p 1 A 0 lausee 3.13 mukaa. Koska matriisi A 0 determiatti o 2, se o käätyvä modulo p. Siis L p 1 I (mod p, koska A 0 L p 1 A 0 (mod p. Nyt saadaa L p2 1 = (L p 1 p+1 I p+1 = I (mod p. Oletetaa seuraavaksi, että = 1. Lausee 3.16 mukaa ( D p [ ] [ ] A p = L p up+1 v A 0 = p+1 0 2Q 1 P u p v p (mod p. Koska A[ 0 o käätyvä ] modulo p, ja lausee 3.17 [ mukaa ] [ se kääteismatriisi ] [ ] A P 0 2Q 1 P/2 0 Q 2 (mod p. Siis L 0 1 p A p A 0 1 P 0 1/2 1 P [ ] Q 0 (mod p ja L p+1 = LL p = QI (mod p. Nyt 0 Q L p2 1 = (L p+1 p 1 Q p 1 I I (mod p Fermat piee lausee mukaa. Määritelmä 3.7. Lucasi todeäköie alkuluku parametrei P ja Q o kokoaisluku (> 1, joka toteuttaa ehdot syt(, 2PQD = 1 ja u ( D 0 (mod, missä D = P 2 4Q. Lucasi pseudoalkuluku parametrei P ja Q o yhdistetty Lucasi todeäköie alkuluku samoilla parametreilla. 34

35 4 Alkulukutestauksesta O todella kallista ja aikaavievää todistaa, että aettu positiivie kokoaisluku o alkuluku. O kuiteki olemassa tehokkaita algoritmeja, jotka osoittavat luvu oleva alkuluku korkealla todeäköisyydellä. Tälläisiä algoritmeja kutsutaa alkulukutesteiksi. 4.1 Fermat alkulukutesti Esimmäie esimerkki alkulukutesteistä o Fermat alkulukutesti. Se pohjautuu Fermat pieee lauseesee seuraavassa muodossa: Lause 4.1. Jos o alkuluku, a 1 syt(a, = 1. Todistus. (Ks. Lause (mod kaikilla luvuilla a Z, ku Tätä lausetta voidaa käyttää määrittämää, oko positiivie kokoaisluku yhdistetty luku. Valitaa positiivie kokoaisluku a {1, 2,..., 1}. Lasketaa seuraavaksi y a 1 (mod. Jos y 1, ii o yhdistetty luku Fermat piee lausee perusteella. Jos taas y = 1, ei tiedetä, oko yhdistetty luku vai ei, kute seuraava esimerkki osoittaa. Esimerkki 4.1. (Ks. [1, s. 130]. Olkoo = 341 = Nyt saadaa (mod 341, vaikka o yhdistetty luku. Jote jos käytetää Fermat alkulukutestiä luvui = 341 ja a = 2, saadaa y = 1, mikä ei todista mitää. Toisaalta saadaa myös (mod 341. Siis jos käytetää Fermat alkulukutestiä luvui = 341 ja a = 3, ii o osoitettu yhditetyksi luvuksi. Vaikka Fermat alkulukutesti osoittaa, että o yhdistetty luku, se ei löydä silti luvu tekijöitä. Se osoittaa aioastaa, että luvulla ei ole sellaista omiaisuutta, joka kaikilla alkuluvuilla o. Siksi Fermat alkulukutestiä ei voi käyttää tekijäalgoritmia. 4.2 Pepii alkulukutesti Muotoa F = olevia kokoaislukuja kutsutaa Fermat luvuiksi. Fermat väitti, että kaikki äi saatavat kokoaisluvut olisivat alkulukuja. F 1, F 2, F 3, F 4 ovatki alkulukuja, mutta jo F 5 = o yhdistetty luku. 35