Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause"

Transkriptio

1 Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03

2 Sisältö Johdanto Kompleksiluvut ja niiden ominaisuudet 4. Kompleksilukujen määrittely Kompleksilukujen laskutoimitukset Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys Eulerin kaava Kompleksifunktio ja kompleksilukujono 7 3 Potenssisarja 3. Suppenemistestejä sarjoille Analyyttisen funktion potenssisarjakehitelmä Funktion Taylor-kehitelmä Funktion Laurent-kehitelmä Residylause 8 5 Sarjojen summaaminen residyjen avulla 0 6 Mittag-Leerin laajennuslause 7 Lähdeluettelo 33

3 Johdanto Tässä tutkielmassa käsitellään kompleksilukuja ja niihin liittyvää residylaskentaa, jota pystytään soveltamaan kompleksianalyysissä. Kompleksilukujen teoria eroaa merkittävästi reaalilukujen teoriasta, mutta kompleksiluvuilla on erittäin hyödyllisiä käyttötapoja, kuten tässä tutkielmassa esiteltävä menetelmä reaaliarvoisten sarjojen summien laskemiseen. Ennen tämän tutkielman pääaiheisiin siirtymistä, täytyy kuitenkin esittää hieman esitietoa kompleksiluvuista, -funktioista, -jonoista ja -sarjoista. Tutkielman ensimmäisessä kappaleessa esitellään kompleksiluvut ja eräitä hyvin keskeisiä kompleksilukujen ominaisuuksia. Ensimmäisenä määritellään kompleksiluvut, kompleksilukujen laskutoimitukset ja kompleksiluvun itseisarvo. Tämän jälkeen esitellään kompleksilukujen napakoordinaattiesitys, De Moivren lause ja Eulerin kaava. Eulerin kaavalla määritellään kappaleen lopussa kompleksilukujen trigonometriset funktiot. Toinen kappale esittelee kompleksilukujonon ja kompleksifunktion sekä siihen liittyviä määritelmiä ja tuloksia. Alussa käsitellään kompleksilukujonoa ja funktiojonoa sekä niiden suppenemista. Tämän jälkeen tarkastellaan kompleksifunktion analyyttisyyttä määrittelemällä ensin derivoituvuus, integroituvuus, kiekon määritelmä ja lopuksi analyyttisyyden määritelmä, josta huomataan, että kompleksifunktion analyyttisyydessä ja reaalifunktion derivoituvuudessa on yhteys. Tämän jälkeen esitellään pari tärkeää tulosta, joita tarvitaan osoittamaan Cauchyn integraalikaava, joka on kappaleen viimeinen tulos ja keskeinen asia tässä tutkielmassa. Kolmas kappale käsittelee potenssisarjaa, funktion Taylor-kehitelmää ja funktion Laurent-kehitelmää. Tätä ennen kappaleessa esitellään sarja ja sen suppenemiseen liittyviä tuloksia. Tämän jälkeen käydään läpi muutamia suppenemistestejä sarjoille, joilla voidaan tutkia erilaisten sarjojen suppenemista. Tämän jälkeen esitellään analyyttisen funktion potenssisarjakehitelmä, jonka avulla todistetaan funktion Taylor-kehitelmä ja lasketaan tämän avulla funktiolle e z jo reaalianalyysistäkin tuttu sarjakehitelmä. Kappaleen lopussa esitellään funktion Laurent-kehitelmä, jonka avulla päästään siirtymään tutkielman pääaiheeseen residylaskentaan. Neljännessä kappaleessa käsitellään residylaskentaa. Ensin esitellään residylause ja näppärä kaava, jolla voidaan laskea funktion residyt ilman, että muodostettaisiin funktiosta ensin Laurent-sarja. Kappaleen lopussa lasketaan pari esimerkkiä liittyen residylauseeseen.

4 Viidennessä kappaleessa esitellään tuloksia, joilla voidaan laskea reaaliarvoisille sarjoille tarkkoja arvoja residylaskennan avulla. Kappaleen alussa esitellään tuloksia, joiden avulla päästään osoittamaan kaava, jolla voidaan laskea tietynlaisten sarjojen summia. Kappaleen lopussa lasketaan esimerkkejä sarjoista, joiden summa on π ja π 4. Tutkielman viimeinen kappale käsittelee Mittag-Leerin laajennuslausetta, joka on hyvä apuväline silloin, kun halutaan sarjakehitelmä sellaisille sarjoille, joilla on vain yksinkertaisia singulaaripisteitä. Kappaleen alussa todistetaan kyseinen tulos ja tämän jälkeen lasketaan funktioille csc z ja tan z sarjakehitelmät Mittag-Leerin laajennuslauseen avulla. Tutkielmassa on pääosin käytetty teosta []. Äärettömien sarjojen summaamiseen liittyvissä tuloksissa on käytetty apuna teosta []. Lisäksi on suositeltavaa tutustua lähteeseen [3] tutustuessa tutkielmaan. 3

5 Kompleksiluvut ja niiden ominaisuudet. Kompleksilukujen määrittely Tässä luvussa esitellään kompleksiluvut ja niiden ominaisuuksia, jotka ovat pohjana tutkielman myöhemmille aiheille. Luvussa on esitelty kompleksilukujen laskutoimitukset, kompleksilukujen napakoordinaattiesitys, kompleksiluvun itseisarvo, De Moivren lause, Eulerin kaava ja trigonometrisiä funktioita kompleksiluvuille. Kompleksiluvut ovat muotoa z = a + bi, missä a, b R ja i on imaginaariyksikkö, jolle pätee i =. Kompleksiluvussa a on kompleksiluvun reaaliosa ja b on kompleksiluvun imaginääriosa. Kompleksiluvun z = a + bi kompleksikonjugaatti on z = a bi.. Kompleksilukujen laskutoimitukset Kompleksiluvuille z = x + iy ja z = x + iy ovat voimassa seuraavat laskutoimitukset:. z + z = (x + x ) + i(y + y ).. z z = (x x y y ) + i(x y + x y ). Nämä laskutoimitukset määrittelevät kompleksilukujen kunnan ja niistä voidaan johtaa kompleksilukujen jako- ja vähennyslasku. Kompleksiluvun itseisarvo on z = x + iy = x + y. Tätä lukua sanotaan myös kompleksiluvun moduuliksi. Tarkastellaan seuraavaksi eräitä itseisarvon ominaisuuksia. Olkoot z, z,..., z n kompleksilukuja. Tällöin. z z = z z ja yleisesti z z z n = z z z n.. z z = z z, z 0. Lisäksi kolmioepäyhtälö pätee myös kompleksiluvuille eli z z z ± z z + z. () 4

6

7 Lause. (De Moivren lause). Olkoon z, z,..., z n kompleksilukuja. Tällöin z z z n = r r r n {cos (θ + θ θ n ) + i sin (θ + θ θ n )}. Erityisesti z n = {r(cos θ + i sin θ)} n = r n (cos nθ + i sin nθ). Todistus. [, s.6]..4 Eulerin kaava Tarkastellaan seuraavaksi Eulerin kaavaa. Oletetaan, että reaalianalyysissä määritelty funktion e x laajennus äärettömäksi sarjaksi e x = + x + x! + x3 3! +... pätee, kun x = iθ. Tällöin saadaan Eulerin kaava e iθ = cos θ + i sin θ. Eulerin kaavasta voidaan johtaa seuraavat esitykset trigonometrisille funktiolle sin z = eiz e iz ja cos z = eiz + e iz i sec z = cos z = ja csc z = e iz + e iz sin z = tan z = sin z cos z = eiz e iz i(e iz + e iz ) i e iz e iz ja cot z = tan z = i(eiz + e iz ) e iz e iz, missä nimittäjässä oleva cos z 0 eli z π + kπ ja nimittäjässä oleva sin z 0 eli z kπ, k Z. Lisäksi trigonometristen funktioiden hyperboliset funktiot määritellään seuraavasti sinh z = ez e z ja cosh z = ez + e z sechz = cosh z = ja cschz = e z + e z sinh z =, (z 0) e z e z tanh z = sinh z cosh z = ez e z e z + e z cosh z ja coth z = sinh z = ez + e z, (z 0). e z e z 6

8 Kompleksifunktio ja kompleksilukujono Tässä kappaleessa tarkastellaan kompleksilukujonoa, funktiojonoa ja muutamia tärkeitä määritelmiä ja tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin lauseiden todistuksissa. Aluksi esitellään kompleksilukuarvoinen jono, perehdytään sen suppenemiseen ja esitellään käsite osajono. Sitten siirrytään tarkastelemaan kompleksifunktiojonoa ja sen suppenemista. Tämän jälkeen määritellään funktion analyyttisyys ja siitä seuraavia lauseita. Lopuksi määritellään funktion erikoispisteistö ja Cauchyn integraalikaava. Määritelmä. Funktiota f : N C sanotaan kompleksilukujonoksi ja sitä merkitään f(n) = (a n ), n N. Arvoja a n, n =,,..., sanotaan kompleksilukujonon termeiksi. Määritelmä. Kompleksilukujono (a n ) suppenee kohti pistettä a, jos jokaista ɛ > 0 kohti on olemassa vakio N N, N = N ɛ, jolle aina, kun n N. a n a < ɛ Määritelmä 3. Kompleksilukujono (u n ) on kompleksilukujonon (z n ) osajono, jos on olemassa luonnolliset luvut n < n <..., joille u k = z nk, k N. Esimerkki.. Olkoon kompleksilukujono a n kompleksilukujonon kolme ensimmäistä termiä ovat i, i, i3 3,.... = in n, n =,,.... Nyt Osoitetaan, että kompleksilukujono a n suppenee kohti pistettä 0. Nyt a n 0 = a n = i n n = i n n = n < ɛ aina, kun n >. Valitaan N >, jolloin saadaan ɛ ɛ i n n 0 < ɛ, kun n N. Kompleksifunktiot voivat supeta kompleksilukujonojen kaltaisesti kohti rajafunktiota. Määritellään seuraavaksi kompleksifunktiojono ja tarkastellaan sen suppenemista. 7

9 Määritelmä 4. Olkoon (f n ) funktiojono joukossa E C määriteltyjä kompleksifunktioita. Kaikilla z E määritellään kuvaus f : E C asettamalla f n(z) = f(z). n Tällöin sanotaan, että funktiojono (f n (z)) suppenee pisteittäin kohti funktiota f. Määritelmä 5. Olkoon funktiojono (f n ) joukossa E määriteltyjä kompleksifunktioita, jotka suppenevat pisteittäin kohti funktiota f eli Jos f n (z) f(z) pisteittäin kaikilla z E. sup f n (z) f(z) = 0, n z E niin sanotaan että funktiojono f n suppenee tasaisesti kohti funktiota f joukossa E. Tarkastellaan seuraavaksi kompleksifunktion analyyttisyyttä ja siitä seuraavia tuloksia. Ensin määritellään kuitenkin jo reaalianalyysistä tuttu derivaatta ja sen avulla integraali. Määritelmä 6. Olkoon alue E C, E. Funktiolla f : E C on derivaatta pisteessä x 0, jos raja-arvo on olemassa. f (x 0 ) = x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Määritelmä 7. Olkoon funktio z : [a, b] C kuvaus, jolle z(t) = x(t)+iy(t), missä x ja y ovat jatkuvia reaalifunktioita. Tällöin kuvauksen z arvojoukkoa = {z(t) = x(t) + iy(t) t [a, b]} kutsutaan käyräksi. Käyrä on säännöllinen, jos derivaattafunktiot x ja y (ja siten myös z ) ovat olemassa ja jatkuvia. Määritelmä 8. Funktion f integraalilla pitkin käyrää : [a, b] C tarkoitetaan b f(z)dz = f(z(t))z (t)dt. a 8

10 Määritelmä 9. Merkinnällä D r (a) tarkoitetaan a-keskistä ja r-säteistä avointa kiekkoa ja merkinnällä D r (a) suljettua a-keskistä r-säteistä kiekkoa. Siis D r (a) = {z C : z a < r} ja D r (a) = {z C : z a r}. Määritelmä 0. Joukkoa R = {z C r < z a < r }, missä r > 0, r > 0 ja piste a on kiekkojen D r (a) ja D r (a) keskipiste, sanotaan rengasalueeksi. Määritelmä. Funktio f(z) on analyyttinen alueessa C C, jos funktion derivaatta f (z) on olemassa kaikkialla alueessa C. Lisäksi funktio f(z) on analyyttinen pisteessä z 0, jos funktion derivaatta f (z) on olemassa kaikkialla kiekossa D r (z 0 ),jollakin r > 0. Huomataan siis, että kompleksifunktion analyyttisyys on sama asia kuin reaalifunktion derivoituvuus. Funktion analyyttisyydellä on kuitenkin kompleksianalyysissä niin suuri merkitys, että se on hyvä erottaa eri nimellä reaalifunktion derivoituvuudesta. Lause.. Olkoon funktio f analyyttinen alueessa C, jonka rajaavat kaksi suljettua sisäkkäistä käyrää ja. Tällöin f(z) dz = f(z) dz, Todistus. [, h.0, s.07]. Lause.3. Olkoon funktio f integroituva positiivisesti suunnistettua käyrää pitkin, jonka pituus on L. Jos on olemassa sellainen M > 0, että f(z) M käyrällä, niin f(z) dz ML. Todistus. Nyt f(z) dz f(z) dz. Oletuksen nojalla on olemassa vakio M > 0, jolle f(z) M, joten saadaan f(z) dz f(z) dz M dz. Nyt käyrän pituus on L, joten saadaan f(z) dz ML. 9

11 Määritelmä. Piste z 0 C on funktion f(z) singulaaripiste (erikoispiste), mikäli funktio f on analyyttinen pisteen z 0 avoimessa ympäristössä olevassa pisteessä z, mutta funktio f ei ole analyyttinen pisteessä z 0. Seuraavassa on määritelty erilaisia erikoispisteitä. Oletetaan, että z 0 on kaikissa tapauksissa funktion f(z) singulaaripiste.. Piste z 0 on eristetty erikoispiste, jos on olemassa avoin kiekko D r (z 0 ), joka ei sisällä muita erikoispisteitä kuin pisteen z 0.. Piste z 0 on funktion f n-kertainen napa (n N), jos on olemassa vakio M 0, jolle z z 0 (z z 0 ) n f(z) = M. Piste z 0 on funktion f poistuva erikoispiste, jos raja-arvo on olemassa. z z 0 f(z) 3. Piste z 0 on oleellinen erikoispiste, jos se ei ole funktion f napa tai poistuva erikoispiste. Lause.4 (Cauchyn integraalikaava). Jos funktio f on analyyttinen suljetussa alueessa C ja piste a on alueessa C, niin f(a) = f(z) πi z a dz, missä on alueen C reuna. Todistus. Nyt funktio f(z) on analyyttinen alueessa C lukuunottamatta singulaaripistettä z = a. Tällöin Lauseen. nojalla saadaan z a f(z) z a dz = f(z) z a dz, missä on r-säteinen ympyrä, jonka keskipiste on a. Nyt z a = re iθ, missä 0 θ < π. Sijoittamalla z = a + re iθ saadaan f(z) π z a dz = f(a + re iθ )ire iθ π dθ = i f(a + re iθ ) dθ. re iθ 0 0 Nyt f(z) π z a dz = i f(a + re iθ ) dθ. 0 0

12 Tälloin saadaan f(z) z a π dz = i r 0 = i 0 π 0 π f(a + re iθ ) dθ = i f(a + 0 r 0 reiθ ) dθ f(a) dθ = πif(a). Nyt funktio f on analyyttisenä funktiona jatkuva, joten raja-arvo on olemassa. Tästä seuraa lause eli f(a) = f(z) πi z a dz. Seuraus.4.. Olkoon funktio f analyyttinen suljetussa alueessa C, alueen C reuna ja piste a on alueessa C. Tällöin f (n) (a) = n! f(w) dw. πi (w a) n+ 3 Potenssisarja Potenssisarja on hyvin tärkeä kompleksilukuihin liittyvä sarja, koska sen käyttömahdollisuudet ja sovellukset ovat niin laajoja. Luvun alussa esitellään yleinen potenssisarja, jonka jälkeen esitellään erilaisia suppenemistestejä sarjoille. Tämän jälkeen esitellään analyyttisen funktion potenssisarjakehitelmä, Taylorin sarjakehitelmä ja Laurentin sarjakehitelmä. Määritelmä 3. Olkoon (f n ) funktiojono joukossa E määriteltyjä kompleksiarvoisia funktioita. Muodostetaan funktioista summat S (z) = f (z) S (z) = f (z) + f (z). S n (z) = f (z) + f (z) f n (z). Tällöin (S n ) on funktiojono joukossa E. Jos S n(z) = S(z) n on olemassa, kun z E, niin sanotaan, että sarja S(z) = f k (z) k=

13 suppenee. Lisäksi funktiota S n (z) sanotaan sarjan S(z) n:nneksi osasummaksi. Määritelmä 4. Sarja S(z) = n= f n(z) suppenee itseisesti pisteessä z, jos sarja T (z) = n= f n(z) suppenee. Määritelmä 5. Summafunktiota S(z) = a 0 + a (z a) + a (z a) +... = sanotaan potenssisarjaksi pisteessä z = a. a n (z a) n n=0 Määritelmä 6. Sarjan n=0 a nz n suppenemissäde on { } R = sup z : a n z n suppenee. n=0 Tällöin sarja n=0 a nz n suppenee itseisesti kaikilla arvoilla z säteen z = R määrittelemän avoimen kiekon sisällä. Tätä kiekkoa kutsutaan suppenemiskiekoksi. 3. Suppenemistestejä sarjoille Tässä luvussa esitellään kolme suppenemiseen liittyvää testiä, jotka ovat hyödyllisiä sarjan suppenemisen tutkimiseen ja suppenemissäteen määrittämiseen. Lause 3.. Olkoot (a n ) ja (b n ) kompleksilukujonoja. Jos sarja n= b n suppenee itseisesti ja a n b n, niin sarja n= a n suppenee itseisesti. Todistus. Olkoon S n = n k= a k ja T n = n k= b k. Koska n= b n suppenee itseisesti on raja-arvo n T n olemassa. Merkitään n T n = T. Koska b n 0 kaikilla n =,,..., niin T n T. Tällöin S n = a + a a n b + b +... b n T. eli 0 S n T. Nyt S n on rajoitettu ja monotonisesti kasvava jono, joten sillä täytyy olla raja-arvo. Täten n= a n suppenee itseisesti. Huomautus. Jos sarja n= a n hajaantuu ja b n a n, niin sarja n= b n hajaantuu, mutta sarja n= b n voi supeta tai hajaantua.

14 Lause 3.. Olkoon n= a n kompleksilukusarja. Jos raja-arvo a n+ n a n = L ja L <, niin sarja n= a n suppenee. Todistus. Valitaan vakio N > 0 niin suureksi, että kaikilla n N a n+ a n r, missä r on vakio ja L < r <. Tällöin a N+ r a N Summaamalla termit yhteen saadaan a N+ r a N+ r a N a N+3 r a N+ r 3 a N. a N+ + a N a N (r + r + r ). Nyt N= a N suppenee, sillä 0 < r < ja a N a n, joten n= a n suppenee Lauseen 3. nojalla. Huomautus. Sarja n= a n hajaantuu, kun L >. Jos L =, ei voida sanoa suppeneeko sarja vai hajaantuuko se. Lause 3.3. Olkoon n= a n kompleksilukusarja. Jos raja-arvo n an = L, n niin n= a n suppenee jos L <. Todistus. Valitaan vakio N > 0 niin suureksi, että kaikilla n N pätee a n r n, missä 0 < r < L. Tällöin n= rn suppenee geometrisenä sarjana, sillä r < L < ja Lauseen 3. nojalla n= a n suppenee. Huomautus 3. Sarja n= a n hajaantuu, kun L >. Jos L =, ei voida sanoa suppeneeko sarja vai hajaantuuko se. Esimerkki 3.4. Olkoon a n = n. Tällöin n a n+ n a n = (n + ) n n n n+ = n + n n = n( + ) n n n =. Siis kompleksilukusarja n= a n suppenee suhdetestin nojalla. 3

15 3. Analyyttisen funktion potenssisarjakehitelmä Seuraavaksi esitellään analyyttisen funktion potenssisarjakehitelmä, jonka avulla mille tahansa analyyttiselle funktiolle saadaan kiekossa D r (z 0 ) sarjakehitelmä. Seuraava lause on myös pohjana määriteltäessä Taylorin ja Laurentin sarjakehitelmiä. Lause 3.5. Olkoon funktio f analyyttinen alueessa C ja piste z 0 C, joka on kiekon D r (z 0 ) C keskipiste. Tällöin funktiolla f on kiekossa D r (z 0 ) kehitelmä f(z) = a k (z z 0 ), missä a k = πi k=0 f(w) dw, (w z 0 ) k+ jossa on positiiviseen suuntaan suunnistettu suljettu käyrä pitkin kiekon D r (z 0 ) reunaa. Todistus. Sivuutetaan. Esimerkki 3.6. Tarkastellaan sarjaa S(z) = k=0 a kz k. Derivoimalla sarjaa S(z) saadaan S (z) = ka k z k. Nyt sarjan S(z) suppenemissäde on k= R = ak k k ja sarjan S (z) suppenemissäde on R = k k kak = k k k ak = k k ak = R. k Siis sarjalla S(z) on sama suppenemissäde kuin sen derivaatalla S (z). Esimerkki 3.7. Olkoon S(z) = n n 4 n + = n n= z n 4 n +. Tällöin a n = 4 n + ja 4 = n + 4 n joten sarja S(z) suppenee, kun z < 4. Kun z = 4, niin n joten sarja S(z) hajaantuu, kun z 4. 4 n 4 n + = + 4 n =, 4 4 <,

16 3.3 Funktion Taylor-kehitelmä Tässä luvussa esitellään ja todistetaan Taylorin sarja, jonka jälkeen esitetään sarjakehitelmä jo aikaisemmin esille tulleelle eksponenttifunktiolle Taylorin sarjakehitelmän avulla. Lause 3.8. Olkoon funktio f analyyttinen alueessa C ja sen reunakäyrällä. Olkoot lisäksi pisteet a ja z alueessa C. Tällöin f(z) = f(a) + f (a)(z a) + f (a)! (z a) f (n) (a) (z a) n n! Tätä sanotaan funktion f Taylor-kehitelmäksi pisteessä a. Todistus. Olkoon z mikä tahansa piste alueessa C. Olkoon positiiviseen suuntaan suunnistettu käyrä, joka on kiekon D r (a) reuna alueessa C ja sisältää pisteen z. Tällöin käyttämällä Cauchyn integraalikaavaa saadaan f(z) = πi f(w) w z dw. () Tarkastelemalla geometrisen sarjan osasummaa saadaan w z = w a + a z = (w a) (z a) = ( ) w a z a w a = ( + z a ( ) ( ) n z a z a w a w a w a w a ( ) n ) z a + w a z a. w a Siten w z = w a + z a (z a) (z a)n (w a) (w a) 3 (w a) ( ) n n z a + w a w z. (3) Kertomalla yhtälö (3) puolittain luvulla f(w) ja käyttämällä yhtälöä () saadaan f(z) = f(w) πi w a dw + z a f(w) πi (w a) dw +... (4) (z a)n f(w) + πi (w a) dw + R n, n 5

17 missä funktio R n = ( ) n z a f(w) πi w a w z Käyttämällä yhtälöön (4) Seurausta.4. saadaan dw. (5) f(z) = f(a) + f (a)(z a) + f (a) (z a) f (n ) (a)! (n )! (z a)n + R n. Osoitetaan, että R n = 0. n Koska piste w on käyrällä saadaan z a w a < ɛ <, missä ɛ > 0 on vakio. Lisäksi on olemassa vakio M > 0, jolle Nyt f(w) M. w z = (w a) (z a) r z a, missä r on kiekon D r (a) säde. Lauseen.3 nojalla saadaan ( ) n R n = z a f(w) πi w a w z dw ɛ n M π r z a πr = ɛn Mr r z a. Kun tarkastellaan raja-arvoa saadaan R ɛ n Mr n = n n r z a = 0. Lause on todistettu ja saadaan siis f (n) (a) f(z) = (z a) n. n! n=0 Esimerkki 3.9. Olkoon f(z) = e z. Määritetään funktion f Taylorin sarja origossa. Nyt f (n) (z) = e z, jokaiselle luvulle n 0. Lauseen 3.8 nojalla saadaan e z = + z + z! + z3 3! +... = Huomataan siis, että kompleksianalyysissä sarjakehitelmä on eksponenttifunktiolle sama kuin reaalianalyysissä. Taylorin sarjakehitelmän avulla voidaan kehittää myös sarjat trigonometrisille funktioille samankaltaisesti tarkastelemalla tilannetta origokeskeisessä kiekossa. 6 n=0 z n n!.

18 3.4 Funktion Laurent-kehitelmä Tässä luvussa esitellään funktion Laurent-kehitelmä, joka on hyödyllinen työkalu silloin, jos halutaan sarjakehitelmä sellaiselle funktiolle, jolla on napoja. Määritelmä 7. Funktio f on meromornen alueessa D C, mikäli se on analyyttinen alueessa D lukuunottamatta joukkoa S, jonka pisteet ovat funktion f napoja. Esimerkki 3.0. Olkoon f(z) = z+. Määritetään funktion f(z) navat. z z Tutkimalla funktion f nimittäjän nollakohdat saadaan funktio muotoon: f(z) = z + z z = z + (z + )(z ) Nyt f on analyyttinen alueessa C \ {, }. Lisäksi ja (z + )( z + z (z + )(z ) ) = ( ) + (z )( z + z (z + )(z ) ) = + + = 3 = 5 3. Siis z = ja z = ovat funktion f ensimmäisen kertaluvun napoja. Lause 3. (Funktion Laurent-kehitelmä). Olkoon funktio f analyyttinen rengasalueessa R ja olkoot ja kiekkojen D r (a) ja D r (a) positiivisesti suunnistetut (paloittain)säännölliset reunakäyrät, missä 0 < r < r. Tällöin kaikille pisteille z rengasalueessa R saadaan missä ja Todistus. [, s.55]. f(z) = a n = πi a n (z a) n + n=0 a n = πi n= a n (z a) n, f(w) dw, n = 0,,,... (w a) n+ f(w) dw, n =,, 3... (w a) n+ Huomautus 4. Voidaan osoittaa, että funktion Laurent-kehitelmä on yksikäsitteinen. 7

19 Lasketaan seuraavaksi esimerkki Laurent-sarjan muodostamisesta. Esimerkki 3.. Määritetään funktion f(z) = ez z 3 Laurent-kehitelmä pisteessä z = 0. Nyt funktion e z z = 0 on muotoa e z = + z + z4! + z6 3! +..., joten Taylor-sarja pisteessä e z z 3 = z 3 ) ( + z + z4! + z6 3! +... = = z 3 + z + n=0 z n+ (n + )!. z 3 + z + z! + z3 3! + z5 4! +... Huomataan, että funktiolla f on kolmannen kertaluvun napa pisteessä z = 0. 4 Residylause Residylaskentaa voidaan käyttää esimerkiksi eräiden reaaliarvoisten integraalien laskemiseen, joiden laskeminen muuten saattaa olla hankalaa. Lisäksi residylaskennalla pystytään laskemaan eräiden reaaliarvoisten sarjojen summia. Tässä kappaleessa esitellään ensimmäiseksi residylause ja sen jälkeen laskukaava, jonka ansioista residyjen laskemiseen ei tarvitse aina ensin määrittää funktion Laurent-kehitelmää. Määritelmä 8. Olkoon f funktio, joka on analyyttinen joukossa D r (z 0 ) \ {z 0 }. Olkoon funktion f Laurent-sarja f(z) = a k (z z 0 ) k. k= Tällöin kerrointa a sanotaan funktion f residyksi pisteessä z = z 0 ja sitä merkitään (z 0 ). Lause 4. (Residylause). Olkoon f suljetun (paloittain)säännöllisen käyrän rajaamassa alueessa määritelty funktio, joka on analyyttinen edellä mainitussa alueessa lukuunottamatta singulaaripisteitä z, z,..., z n. Tällöin f(z)dz = πi ( ) (z ) (z n ), missä (z k ) on funktion f residy navassa z k, k =,,..., n. 8

20 Todistus. Olkoon polku i z i -keskinen ympyrä ja olkoon i j =, i j. Tällöin [, Lemma 3.0] f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz f(z)dz, (6) n missä n Z +. Toisaalta Laurentin kehitelmän mukaan f(z)dz = πi(z ), f(z)dz = πi(z ),..., f(z)dz = πi(z n ). n Yhdistämällä yhtälöt (6) ja (7) saadaan f(z)dz = πi((z ) + (z ) (z n ) ). (7) Seuraavaksi esitellään laskukaava, jonka avulla funktion residyt voidaan laskea sen navoissa helposti. Lause 4. (Residyjen laskeminen). Jos z = z 0 on n-kertainen napa, niin ( ) d n (z 0 ) = (z z z z0 (n )! dz n 0 ) n f(z). Todistus. Residyn määritelmästä saadaan f(z) = a n (z z 0 ) n + a n+ (z z 0 ) n a (z z 0 ) + a 0 + a (z z 0 ) +... Kertomalla puolittain termillä (z z 0 ) n saadaan (z z 0 ) n f(z) = a n +a n+ (z z 0 )+...+a (z z 0 ) n +a 0 (z z 0 ) n +a (z z 0 ) n Oikealla on siis Taylor-sarja pisteessä z = z 0. Derivoimalla molemmat puolet n kertaa saadaan d n dz n ( (z z0 ) n f(z) ) = a (n )! + C [(z z 0 )]. Tässä C(z z 0 ) on jäännöstermi, joka 0 kun z z 0 ja z z 0 (n )! d n dz n ( (z z0 ) n f(z) ) = a = (z 0 ). 9

21 Huomautus 5. Erityisesti, jos z = z 0 on yksinkertainen napa, niin (z 0 ) = z z0 (z z 0 )f(z). Esimerkki 4.3. Tarkastellaan funktiota f(z) = z + z z. Nyt esimerkin 3.0 nojalla funktiolla f on ensimmäisen kertaluvun navat pisteissä z = ja z =. Funktion f residyt näissä pisteissä ovat ja ( ) = z (z + ) z + (z + )(z ) = 3 z + () = (z ) z (z + )(z ) = 5 3. Esimerkki 4.4. Tarkastellaan funktiota f(z) = cos z z 3. Nyt funktiolle f(z) saadaan origossa sarjakehitelmä f(z) = cos z z 3 = z! + z4 4! z6 6! +... z 3 = z 3 z + z 4! z3 6! +... Funktiolla f on kolmannen kertaluvun napa pisteessä z = 0, sillä cos z (z 0)3 = cos 0 = 0. z 0 z 3 Funktion f residy pisteessä z = 0 on siis (0) = z 0! d dz ( (z 0) 3 cos z ) z 3 = z 0 ( cos z) =. = (cos z) dz z 0 5 Sarjojen summaaminen residyjen avulla Eräs hyödyllinen residylauseen sovellus on reaaliarvoisten äärettömien sarjojen summaaminen residyjen avulla, joka on samalla ensimmäinen tämän tutkielman pääaiheista. Tässä kappaleessa johdatellaan aluksi erilaisten apulauseiden avulla sarjan tarkan arvon laskemiseen ja sitten esitellään kaksi laskukaavaa, joilla pystytään määrittämään tarkkoja arvoja äärettömille sarjoille residyjen avulla. 0 d

22 Lemma 5.. Olkoon C N sellaisen neliön reuna, jonka kärkipisteinä ovat (N + )(± ± i). Tällöin on olemassa vakio A, jolle cot πz < A, z C N. Todistus. Tutkitaan kolme tapausta: y >, y < ja y.. Jos y > ja z = x + iy, niin cot πz = cos πz sin πz = e πiz + e πiz e πiz e πiz. Koska z = x + iy, voidaan edellä oleva yhtälö kirjoittaa edelleen e πiz + e πiz e πiz e πiz = e πix πy + e πix+πy e πix πy e πix+πy eπix πy + e πix+πy e πix+πy e πix πy. Itseisarvot laskemalla saadaan e πix πy + e πix+πy e πix+πy e πix πy = e πy + e πy e πy e πy. Kun otetaan e πy yhteiseksi tekijäksi saadaan e πy + e πy + e πy + e π = e πy e πy e πy e, π koska y >. Merkitään tätä arvoa vakiolla A.. Jos y <, niin vastaavasti kuten tapauksessa saadaan cot πz = cos πz sin πz = e πiz + e πiz e πiz e πiz = e πix πy + e πix+πy e πix πy e πix+πy. Koska y <, niin arvioitaessa kolmioepäyhtälöllä nimittäjän eksponentit vaihtavat merkkiä e πix πy + e πix+πy e πix πy e πix+πy eπix πy + e πix+πy e πix πy e πix+πy = e πy + e πy e πy e. πy Ottamalla e πy yhteiseksi tekijäksi saadaan e πy + e πy + eπy + e π = e πy eπy eπy e = A. π

23 3. Olkoon y. Olkoon z = N + + iy. Tällöin cot πz = cot π(n + + iy) = cot (π + πiy) = tanh πy. Koska y, niin tanh πy tanh π. Merkitään tätä arvoa vakiolla A. Jos z = N + iy, niin saadaan vastaavasti cot πz = cot π( N + iy) = cot ( π + πiy) = tanh πy. Koska y, niin tanh πy tanh π = A. Valitsemalla A = max {A, A } saadaan cot πz A, kun z C N. Lause 5.. Olkoon C N sellaisen neliön reuna, jonka kärkipisteet ovat (N + )(± ± i), missä N N. Olkoon funktio f meromornen neliön sisällä ja jatkuva reunalla C N, kun N on riittävän suuri sekä zf(z) = 0. Tällöin z N C N f(z) cot πzdz = 0. Todistus. Olkoon ε > 0. Jokaiselle neliölle C N pätee z N + > N. Siten on olemassa sellainen δ > 0, että zf(z) < ε kun < δ. Valitaan N >. z δ Tällöin on olemassa sellainen N, että f(z) < ε, kun z C N. Nyt neliön N+ C N piirin pituus C N = 8(N + ), joten Lemman 5. nojalla N < δ f(z) cot πzdz 8(N + )Aε N + = 8Aε. C N Raja-arvon määritelmän nojalla N C N f(z) cot πzdz = 0. Nyt voidaan muodostaa lause, jonka avulla äärettömien sarjojen summia voidaan laskea. Lause 5.3. Olkoon C N sellaisen neliön reuna, jonka kärkipisteet ovat (N + )(±±i), missä N N. Olkoon funktio f sellainen, että epäyhtälö funktiolle

24 f pätee, kun piste z kuuluu reunalle eli: f(z) k >, M > eivät riipu luvusta N. Tällöin M z k C N, missä vakiot n= f(n) = (funktion π cot πzf(z) residyjen summa kaikissa f(z) : n navoissa). Todistus. Oletetaan, että funktiolla f on äärellinen määrä napoja. Nyt voidaan valita vakio N niin suureksi, että polku C N sulkee sisäänsä kaikki funktion f(z) navat. Funktion f(z) navat ovat ensimmäistä kertalukua ja pisteessä z = n, n Z. Residy näissä pisteissä on Res(π cot πzf(z)) = (z n)π cot πzf(z) ( ) z n z n = π cos πzf(z). z n sin πz Nyt voidaan käyttää L'Hospitalin sääntöä, jolloin saadaan ( ) z n π cos πzf(z) = π cos πzf(z) = f(n). z n sin πz z n π cos πz Tässä oletetaan, että funktiolla f ei ole napoja kun z = n, koska muuten sarja divergoi (ei suppene kohti äärellistä raja-arvoa). Residylauseen nojalla ( N π cot πzf(z)dz = πi C N n= N ) f(n) + S, (8) missä S on π cot πzf(z):n residyjen summa f(z):n navoissa. Lemman 5. sekä oletuksiemme nojalla saadaan π cot πzf(z)dz πam (8N + 4). C N N k Tässä neliön C N piirin pituus on 8N +4. Antamalla N saadaan lauseen 5. nojalla yhtälön (8) integraali lähestymään nollaa, jolloin n= f(n) + S = 0 n= f(n) = S = Res zn (π cot πzf(z)). Tapauksen, jossa on ääretön määrä napoja todistus sivuutetaan. Lasketaan seuraavaksi kaksi esimerkkiä, joissa lasketaan tarkat arvot sarjoille. 3

25 Esimerkki 5.4. Osoitetaan, että n= Olkoon f(z) = (z +). Nyt (n + ) = π π coth π csch π. (z + ) = ((z i)(z + i)) = (z i) (z + i). Eli funktiolla f(z) on kertaluvun navat pisteissä z = i ja z = i. Nyt π cot πz funktion residy pisteessä z = i on (z +) ( ) ( ) d π cot πz d (i) = (z i) = (z i) π cot πz z i dz (z + ) z i dz (z + i) (z i) ( ) ( ) d π cot πz π csc πz(z + i) (z + i)π cot πz = = z i dz (z + i) z i (z + i) 4 = π csc πi(i) 4iπ cot πi 6 = π csc πi iπ cot πi. 4 Koska csc iπ = csch π ja i cot πi = coth π, saadaan edelleen π csc πi iπ cot πi 4 = π csch π π coth π. 4 π cot πz Vastaavasti funktion residy pisteessä z = i on (z +) ( ) ( ) d ( i) = (z + i) π cot πz d π cot πz = z i dz (z + i) (z i) z i dz (z i) ( ) π csc πz(z i) (z i)π cot πz = z i (z i) 4 Lauseen 5.3 nojalla n= = π csc π( i)( i) ( i)π cot π( i) 6 = π csch π π coth π. 4 (n + ) = n= (n + ) + + (n + ) n= = ( π csch π π coth π π csch π π coth π ). 4

26 Siis Eli (n + ) + = csch π π coth π ( π ). n= n= Esimerkki 5.5. Osoitetaan, että (n + ) = π csch π + π coth π 4. n= n 4 = π4 90. π cot πz Olkoon funktio f(z) =. Nyt funktiolla f on pisteessä z = 0 neljännen z 4 kertaluvun napa. Tätä voitaisiin alkaa derivoida kolmesti ja laskemaan residy pisteessä z = 0, mutta se on laskennallisesti työlästä. Tarkastellaan funktiota f(z) sarjamaisesti f(z) = = π cot πz z 4 = π cos πz z 4 sin πz = πz + π4 z 4...! 4! z 5( π z + π4 z 4 3! π ( π z + π4 z 4... )! 4! z 4( πz π3 z 3 + π5 z 5... ) 3! 5!... ) = πz z 5 π z 5! + π4 z 4...! 4! + π4 z ! 5! Jakamalla jakokulmassa kosinin sarjakehitelmä sinin sarjakehitelmällä saadaan laskettua muutama ensimmäinen termi πz z 5 π z! + π4 z 4 3! + π4 z 4 4!... 5!... = z 5 ( + π z 3 π4 z ). Joten residy pisteessä z = 0 on π4. Lauseiden 5.3 ja 4. nojalla 45 πi C N π cot πz z 4 dz = n= N n 4 π N n= n = N 4 n= n 4 π4 45. Antamalla N saadaan Lauseen 5. nojalla integraalin arvo lähestymään nollaa ja n = π Myös alternoiville sarjoille saadaan sarjakehitelmä seuraavan lauseen avulla. n= 5

27 Lause 5.6. Olkoon C N sellaisen neliön reuna, jonka kärkipisteet ovat (N + )(±±i), missä N N. Olkoon funktio f sellainen, että epäyhtälö funktiolle f pätee, kun piste z kuuluu reunalle eli: f(z) M C z k N, missä vakiot k >, M > eivät riipu luvusta N. Tällöin n= ( ) n f(n) = (funktion π csc πzf(z) residyjen summa kaikissa f(z) : n navoissa). Todistus. Oletetaan, että funktiolla f on äärellinen määrä napoja. Nyt voidaan valita vakio N niin suureksi, että neliö C N sulkee sisäänsä kaikki funktion f(z) navat. Funktion f(z) navat ovat ensimmäistä kertalukua ja pisteessä z = n, n Z, funktion πcscπzf(z) residy on Res(πcscπzf(z)) = (z n)πcscπzf(z) ( ) z n z n = f(z). z n sin πz Käyttämällä L'Hospitalin sääntöä saadaan edelleen ( ) z n f(z) = ( ) n f(n). z n sin πz Residylauseen nojalla ( N πcscπzf(z)dz = πi C N n= N ) ( ) n f(n) + S, (9) missä S on πcscπzf(z):n residyjen summa f(z):n navoissa. Kuten Lauseen 5.3 todistuksessa, saadaan [,Thm.5.3] πcscπzf(z)dz πam (8N + 4). C N N k Tässä neliön C N piirin pituus on 8N +4. Antamalla N saadaan yhtälön (9) integraali lähestymään nollaa, jolloin n= ( ) n f(n) + S = 0 n= ( ) n f(n) = S = Res zn (π csc πzf(z)). Esimerkiksi seuraavalle sarjalle saadaan laskettua tarkka arvo käyttämällä edellistä lausetta. 6

28 Esimerkki 5.7. Osoitetaan, että Olkoon = ( ) n+ n = π. f(z) = πcscπz z = π z sin πz = = z 3 π z 3! + π4 z 4 5! n= π z πz ( π z + π4 z ) 3! 5! Jakamalla sarjakehitelmä jakokulmassa saadaan pari ensimmäistä termiä z 3 π z + π4 z = ( πz +... ) = z 3 3! z π 3 6z ! 5! Joten funktion πcscπz z πi C N residy pisteessä z = 0 on π. Lauseen 5.6 nojalla 6 πcscπz z dz = = n= N N n= ( ) n+ N n π 6 + ( ) n+ n ( ) n+ n π 6. Kun annetaan N, niin lauseen 5. nojalla integraali lähestyy nollaa ja n= n= n= ( ) n+ n = π 6 ( ) n+ n = π. 6 Mittag-Leerin laajennuslause Tässä kappaleessa esitellään Mittag-Leerin laajennuslause, joka on toinen tämän tutkielman pääaiheista. Mittag-Leerin laajennuslauseen avulla voidaan määrittää sarjakehitelmä sellaisille sarjoille, jolla on vain yksinkertaisia singulaaripisteitä. Lasketaan lopuksi sarjakehitelmä funktiolle csc z. Lause 6. (Mittag-Leerin laajennuslause).. Oletetaan, että äärellisessä tasossa olevan funktion f navat a, a, a 3,... ovat yksinkertaisia.. Olkoon funktion f navoissa a, a, a 3,... olevat residyt b, b, b 3,... 7

29 3. Olkoon n, n =,,..., kiekon D rn (0) reuna, joka ei kulje minkään navan kautta ja oletetaan, että f(z) < M, missä vakio M ei riipu n:stä ja säde r n kun n. Tällöin f(z) = f(0) + n= ( b n + ). z a n a n Todistus. Olkoon funktiolla f(z) navat pisteissä z = a n, n =,,..., ja oletetaan, että piste z = w C ei ole funktion f(z) napa. Tällöin funktiolla f(z) on navat pisteissä z = a z w n, n =,,..., ja pisteessä w. Funktion f(z) z w residyt pisteissä z = a n, n =,,..., ovat (z a n ) f(z) z a n z w = b n a n w, sillä funktion f(z) residyt pisteissä a n ovat b n, n =,,.... Funktion f(z) z w residy pisteessä z = w on f(z) (z w) z w z w = f(w). Tälloin residyteorian nojalla f(z) πi n z w dz = f(w) + n b n a n w, (0) missä summa b n n on otettu kaikkien ympyrän D a n w r n (0) sisältämien napojen yli. Oletetaan, että funktio f(z) on analyyttinen pisteessä z = 0. Tällöin asettamalla kaavaan (0) w = 0 saadaan πi f(z) n z dz = f(0) + n b n a n. () Nyt yhtälöiden (0) ja () erotukseksi saadaan f(w) f(0) + ( b n a n n w ) = ( f(z) a n πi n z w ) dz z = w f(z) πi z(z w) dz. n () 8

30 Koska piste z on käyrän n reunalla pätee z w z w = r n w. Oletuksen mukaan f(z) M, joten f(z) z(z w) dz M πr n r n (r n w ). Kun n, niin tällöin r n, jolloin f(z) n z(z w) n n dz = 0. Tällöin yhtälöstä () saadaan f(w) = f(0) + n ( b n + ) w a n a n ja lause on todistettu. Esimerkki 6.. Osoitetaan, että csc z = ( ) z z z π z 4π + z 9π.... Olkoon f(z) = csc z z = sin z z = z sin z z sin z. Nyt funktiolla f on ensimmäisen kertaluvun navat pisteissä z = nπ, missä n = ±, ±... Residyiksi saadaan siis ( ) ( )( ) z sin z z nπ z sin z (z nπ) = z nπ z sin z z nπ sin z z ( ) ( ) z nπ z sin z =. z nπ sin z z nπ z Nyt ensimmäiseen raja-arvoon voidaan käyttää L'Hospitalin sääntöä, jolloin saadaan ( ) ( ) ( ) ( ) z nπ z sin z z sin z =. z nπ sin z z nπ z z nπ cos z z nπ z Jos. n = k, k = ±, ±,..., niin ( ) f(z) = z nπ z nπ cos z z nπ 9 ( ) z sin z z = nπ 0 nπ =

31 . n = k +, k = 0, ±, ±..., niin ( ) ( ) z sin z f(z) = z nπ z nπ cos z z nπ z = nπ 0 nπ =. Pisteessä z = 0 saadaan funktion f raja-arvoksi (csc z ( z 0 z ) = z 0 sin z ) z sin z = z z 0 z sin z. Nyt voidaan käyttää L'Hospitalin sääntöä, jolloin saadaan k= z sin z z 0 z sin z = 0. Siis f(0) = 0. Mittag-Leerin laajennuslauseesta saadaan csc z z = 0+ ( z kπ + ) ( + ( ) kπ k=0 z (k + )π + (k + )π Nyt summat voidaan yhdistää sillä ensimmäisessä sarjassa k =,,...ja toisessa sarjassa k = 0,,,... Saadaan trigonometriselle funktiolle csc z sarjakehitelmä csc z = z + ( ( ) n z nπ + ). nπ csc z = z + N n= Koska n = ±, ±,... sarja voidaan aukaista seuraavasti { ) N = z N n= N ( ) n { ( z + π + ( z + 3π + z 3π = z z z π + ) ( z nπ + nπ ) z π + n= ( z + π + z π ( ) n +... ( ) N ( z + Nπ + z Nπ z z 4π z z 9π +... = z z ( z π z 4π + z 9π... Esimerkki 6.3. Osoitetaan, että ( tan z = z z ( π + ) z ( 3π + ) z ( 5π +... ) 30 ) ) ). ( z nπ + ) } nπ ) } ).

32 Olkoon f(z) = tan z = sin z cos z. Nyt funktiolla f on ensimmäisen kertaluvun navat pisteissä z = (n+)π, missä n = 0, ±, ±,.... Tällöin z (n+)π ( z (n + )π ) (tan z) = ( z z (n+)π = z (n+)π (n + )π ) ( z (n+)π cos z )( ) sin z cos z (sin z). z (n+)π Nyt ensimmäiseen raja-arvoon voidaan käyttää L'Hospitalin sääntöä, jolloin saadaan ( z (n+)π ) ( ) (sin z) = (sin z). z (n+)π cos z z (n+)π z (n+)π sin z z (n+)π Funktion f residyksi saadaan siis ( ) (sin z) = z (n+)π sin z z (n+)π =. Siis ( (n+)π ) =. Pisteessä z = 0 saadaan funktion f raja-arvoksi sin z tan z = z 0 z 0 cos z = 0 = 0. Siis f(0) = 0. Mittag-Leerin laajennuslauseesta saadaan sarjakehitelmä funktiolle tan z ( tan z = 0+ ( ) + ) ( + ). n=0 z (n+)π (n+)π n=0 z (n+)π (n+)π 3

33 Koska n = 0, ±, ±,... sarja voidaan aukaista seuraavasti { ( tan z = + ) N ( N n= N z (n+)π (n+)π n=0 z (n+)π { ( = N z π + ) ( z + π + z 3π + ) z + 3π +... ( ) } + + z (N+)π z + (N+)π { } z = z ( π + z ) z ( 3π + z ) z ( 5π +... { ) } = z z ( π + ) z ( 3π + ) z ( 5π +... ) + ) } (n+)π Osoitetaan tämän avulla, että π = 8 puolittain luvulla z, jolloin saadaan tan z = z z ( π + ) k= z ( 3π ) +. Jaetaan edellä saatu tulos (k+) z ( 5π ) +... Ottamalla puolittain raja-arvo z 0 saadaan vasemmalle puolelle tan z sin z = z 0 z z 0 z cos z Nyt voidaan käyttää L'Hospitalin sääntöä, jolloin saadaan z 0 Oikealle puolelle saadaan ( z 0 z ( π + ) sin z z cos z = z 0 z ( 3π ) + cos z cos z z sin z = =. Saadaan siis = 8 π + 8 9π + 8 5π +... Kertomalla yhtälö puolittain luvulla π saadaan 8 ) z ( 5π +... = 8 ) π + 8 9π + 8 5π +... π 8 = = (k + ). Nähdään siis, että Mittag-Leerin laajennuslauseella voidaan helposti saada sarjakehitelmät vaikeammile trigonometrisille funktioille, jos niillä on vain ensimmäisen kertaluvun napoja. k=0 3

34 Lähdeluettelo [] Murray R. Spiegel: Schaum's Outline of theory and problems of complex variables, McGraw-Hill, 98. [] Anthony D. Osborne: Complex Variables and their Applications.Addison, Wesley, Longman Limited, England, 999. [3] Tero Knuutinen: Kompleksianalyysi I ja II, luentomonisteet,

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Kompleksitermiset jonot ja sarjat

Kompleksitermiset jonot ja sarjat Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

Residylause ja sen sovelluksia

Residylause ja sen sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Henry Joutsijoki Residylause ja sen sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 7 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Sirpa Patteri 2 RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Johdanto Georg Bernhard Riemann (826-866) esitti kuvauslauseen väitöskirjassaan vuonna 85. Hän käytti todistuksessaan Dirichlet n periaatetta,

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun. 17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division 2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

Kaavoja: Aalto-yliopisto. Hyperboliset ja trigonometriset funktiot: coshz = ez +e z. , sinhz = ez e z. 1. (a) Esitä polaarimuodossa kompleksiluku

Kaavoja: Aalto-yliopisto. Hyperboliset ja trigonometriset funktiot: coshz = ez +e z. , sinhz = ez e z. 1. (a) Esitä polaarimuodossa kompleksiluku Aalto-yliopisto Rasila/Murtola Mat-1.130 peruskurssi S3 Syksy 011 1. välikoe Ti 11.10.011 klo 16.00-19.00 Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksessa sallittua laskinta mutta ei taulukkokirjaa. 1. (a)

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset. Seppo Hassi

Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset. Seppo Hassi Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset Seppo Hassi Syksy 6 iii Esipuhe Tämä on Kompleksianalyysi ja integraalimuunnokset -kurssille laadittu opetusmoniste, jonka sisältö perustuu Vaasan yliopistossa

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

z-muunnos ja differenssiyhtälöt

z-muunnos ja differenssiyhtälöt TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Martti Helenius z-muunnos ja differenssiyhtälöt Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HELENIUS,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Määritelmä 1 Olkoon f(t) = u(t) + jv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin (1) b b b f(t)dt = u(t)dt + j v(t)dt. a a a Jatkossa oletetaan, että

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y 4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Eulerin summia. Kai Kaskela. Matematiikan pro gradu

Eulerin summia. Kai Kaskela. Matematiikan pro gradu Eulerin summia Kai Kaskela Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 4 Tiivistelmä: Kai Kaskela, Eulerin summia, matematiikan pro gradu -tutkielma, 37 s.,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot