Kompleksiluvut. Johdanto
|
|
- Irma Mikkonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet riittäviä yhteäise teoria raketamiseksi. Näi kävi mm. pythagoralaiselle koulukualle. 600-luvulla ekr.[1] Pythagoralaiset olivat Krotoissa (alue ykyise Italia eteläraikolla, jossa tuolloi oli kreikkalaisia siirtokutia) vaikuttava puoliuskoollie yhteisö, joka uskoi, että umerot kuvaavat maailmakaikkeude todellise merkitykse. He olivat vakuutueita, että maailma voitii täsmällisesti esittää lukuje avulla. Tämä lisäksi he uskoivat, että maailmassa o olemassa vai ratioaalilukuja (lukuja, jotka voidaa esittää kahde kokoaisluvu osamäärää). Niipä veljeskualle oliki kohtuullie järkytys, ku havaittii, että o olemassa myös sellaisia lukuja, jotka eivät kuulu ratioaalilukuje joukkoo. Tällaie luku sytyy esimerkiksi muodostamalla lävistäjä eliölle, joka sivu pituus o yksi. Lävistäjä pituusha o Pythagoraa imeä katava teoreema mukaisesti, joka tuetusti o irratioaaliluku. Tarkastellaa käytettävä lukujouko vaikutusta yhtälö ratkaisuje lukumäärää. Yhtälöllä x + 5 = ei ole ratkaisuja, mikäli x N. Jos x Z, ii yhtälöllä o ratkaisu x = 3. Reaaliluvuista kompleksilukuihi Lukujoukkoje riittämättömyyde ogelma kohdattii myös eliöjuurifuktio kohdalla. Positiiviste reaalilukuje eliöjuuri osattii laskea, mutta egatiiviste lukuje osalta tilae oli tutemato. Ogelma olisi helppo kiertää toteamalla, ettei egatiivisilla luvuilla ole eliöjuurta, ja site lauseke x ei olisi määritelty, ku x < 0. Tämäkaltaie ogelma kiertämie muodostaisi varsi suure epäkohda eikä äyttäisi kovikaa kauiilta osaa matemaattista teoriaa. Tutkitaa tilaetta lähemmi yhtälö x = a avulla. 1. Mikäli a 0, o ratkaisu selvä, x = ± a.. Jos a < 0, ei yhtälöllä ole ratkaisua joukossa R. Tapaus. herättää kysymykse siitä, voisiko yhtälöllä olla ratkaisu jossai joukkoa R laajemmassa lukujoukossa. 1
2 Olkoo s 0 ja s R. Tällöi s < 0 ja eliöjuure laskusäätöje mukaisesti 1 s = 1 s Tämä osoittaa, että kaikkie egatiiviste lukuje s eliöjuuret voidaa ilmoittaa tuloa, joka tekijöiä ovat s: vastaluvu eliöjuuri s sekä 1, joista 1 o toistaiseksi määrittelemätö. Mikäli 1 voidaa määritellä hyvi, saadaa samalla määriteltyä kaikkie egatiiviste reaalilukuje eliöjuuret. Tällaie hyvä määritelmä o olemassa. Määritellää imagiaariyksikkö: i = 1 i = 1 (1) Imagiaariyksiko avulla voidaa muodostaa puhtaasti imagiaarisia lukuja kertomalla imagiaariyksikköä reaaliluvulla. Imagiaariyksikköä merkitää myös kirjaimella j. Tämä o yleie käytätö esimerkiksi sähköopissa. i3, i 3 4 ja i 5 ovat puhtaita imagiaarilukuja. Edellä maiittu reaalilukuje jouko laajetamie tapahtuu yhdistämällä siihe imagiaarilukuje joukko I. Imagiaariluvut (huomaa, että yt emme käsittele pelkästää puhtaita imagiaarilukuja) ovat muotoa z = x + iy olevia lukuja, missä i = 1 (siis imagiaariyksikkö), x R sekä y R y 0. i lg 5, 6 i 3 ja 5 + i cos 3 ovat imagiaarilukuja. 1 ja 8 7 e3 eivät ole imagiaarilukuja, vaa reaalilukuja. 1 Ku oletetaa, että egatiiviste lukuje eliöjuurille pätevät samat laskusääöt kui positiiviste lukuje eliöjuurille. Määritelmä o hyvä, mikäli se o yhteesopiva muu teoria kassa ja tuottaa laskeallisesti järkeviä ja käyttökelpoisia tuloksia.
3 Yhdistämällä reaalilukuje ja imagiaarilukuje joukot sytyy kompleksilukuje joukko Kompleksiluvut ovat muotoa C = R I z = x + iy olevia lukuja, missä x R sekä y R. Huomaa, että joukoissa R ja C sallitaa tilae y = 0, mutta y 0 aia joukossa I. Täsmällisesti määriteltyä edellä maiitut lukujoukot ovat: I = {z z = x + iy, x R y R y 0} C = {z z = x + iy, x R y R} Toisiaa kompleksiluku saatetaa ilmoittaa järjestettyä paria (x, y): z = (x, y) = x + iy, 1 + i5 ja i si π ovat kompleksilukuja. Mikäli luvut ilmoitetaa 3 7 järjestettyiä pareia, e ovat (, 0), ( 1, 5) ja (0, si π) 3 7 Reaali- ja imagiaariosa Kompleksiluvussa z = x + iy luku x o z: reaaliosa Re (z) ja y o z: imagiaariosa Im (z). Siis Re (z) = x ja Im (z) = y Reaali- ja imagiaariosa ovat reaalilukuja. Kompleksiluvut muodostavat site reaalilukuparie jouko, jolle o omat laskusäätösä. Kompleksiluvu z = 3 i reaaliosa Re (z) = 3 ja imagiaariosa Im (z) =. 3
4 Kompleksilukuje yhtäsuuruus Olkoo kompleksiluvut z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy. Kompleksiluvut ovat yhtäsuuret, jos iide reaaliosat ovat keskeää yhtäsuuret ja imagiaariosat ovat keskeää yhtäsuuret, siis: z 1 = z Re (z 1 ) = Re (z ) Im (z 1 ) = Im (z ) x 1 = x y 1 = y Kompleksilukuje esittämie graafisesti Kompleksilukuje graafie esittämie saattaa tutua moimutkaiselta, koska reaalilukuje joukko voidaa esittää yksiulotteisella lukusuoralla Kuva 1: Lukusuora Tarkastellaa kompleksilukua järjestettyä paria z = (x, y). Tästä parista voimme esittää reaaliosa x lukusuoralla samalla tavoi kui tavallise reaaliluvuki. Imagiaariosa y o myös reaalie, jote seki esittämie lukusuoralla o mahdollista. Yksikäsitteise graafise esitykse muodostamiseksi riittää, ku pystymme esittämää reaalilukupari (x, y) graafisesti. Tämä oistuu tavallise karteesise koordiaatisto avulla. Kompleksiluvut esitetää koordiaatistossa asettamalla reaaliosa x-akselille ja imagiaariosa y-akselille. Tällaisessa esityksessä x-akseli o reaaliakseli ja y-akseli o imagiaariakseli. Käytettyä koordiaatistoa kutsutaa kompleksitasoksi. Toisiaa termiä kompleksitaso käytetää ku tarkoitetaa kompleksilukuje joukkoa C. Itseisarvo ja vaihekulma Kompleksiluvu z = x + iy itseisarvo z (moduli) lasketaa kute kaksikompoettise vektori pituus. Se ilmoittaa kompleksitasoo asetetu pis- 4
5 Im(z) y x z = x + iy Im(z) y z = x + iy x Re(z) x Re(z) Kuva : Kompleksitaso Im(z) -1 + i x - + i x x 1 + i x + i - - i x -1 - i x - i x x 1 - i Re(z) Kuva 3: Muutamia kompleksitaso pisteitä tee etäisyyde origosta. z = Re (z) + Im (z) = x + y Olkoo kompleksiluku z = x + iy 0 ja v tämä kompleksiluvu paikkavektori kompleksitasossa. Kompleksiluvu vaihekulma θ = arg (z) (argumetti) o kompleksitaso reaaliakseli positiivise osa ja paikkavektori v välie kulma. Suorakulmaise kolmio geometria perusteella vaihekulma toteuttaa yhtälö Im (z) ta θ = Re (z) = y () x Arkustageti avulla voidaa selvittää joki kulma θ 0, joka toteuttaa yhtälö (). Tämä jälkee tarkastellaa reaali- ja imagiaariosie merki perusteella missä kompleksitaso eljäeksessä luku z sijaitsee. Mikäli saatu kulma θ 0 o samassa eljäeksessä kui luku z, voidaa se valita argumetiksi. Kulma θ 0 lisäksi kaikki se π-moikerrat toteuttavat 5
6 yhtälö ja ovat samassa koordiaatisto eljäeksessä kui z. Site vaihekulma arg (z) = θ 0 + π, missä Z. Jos eljäekset eivät täsmää, tulee saatuu arvoo θ 0 lisätä tai vähetää π tilateesta riippue. Tämä jälkee voidaa korjattu kulma valita vaihekulmaksi π-moikerroi. Siis arg (z) = θ 0 ± π + kπ, missä kaksoismerkistä ± valitaa vai toie operaatio. Im(z) y z q x z = x + iy Re(z) Kuva 4: Itseisarvo ja argumetti kompleksitasossa Lasketaa luvu z = i 1 itseisarvo ja vaihekulma z = + ( 1) = = 16 = ta(arg (z)) = = 3 = 3 Saadu tagettiarvo perusteella voidaa etsiä kulma θ θ = arcta ( 3) = π 3 Reaali- ja imagiaariosa etumerkeistä havaitaa, että z o kompleksitaso eljäessä eljäeksessä, siis saatu kulma θ kelpaa ratkaisuksi sellaiseaa. Vaihekulmaa ei ole määritelty luvulle z = 0. Useimmite tämä ei tuota ogelmia. Luvulla z = 0 voidaa ajatella oleva kaikki mahdolliset vaihekulma arvot (äärettömä mota) tai ei vaihekulmaa laikaa. 6
7 Mikäli z o puhtaasti imagiaarie, x = 0 ja osamäärä y ei ole määritelty. x Tällöi vaihekulma θ määrittämie arkustageti avulla ei oistu. O kuiteki ilmeistä, että puhtaasti imagiaarise luvu ic (c R) vaihekulma o joko π tai π, π-moikerrat huomioide. Täsmällisemmi: arg (ic) = sg (c) π + kπ, k Z (3) missä sg (c) o sigum-fuktio, joka määritellää 1 (c > 0) sg (c) = 0 (c = 0) 1 (c < 0) Toisi saoe yhtälössä (3) π : etumerkki o sama kui c: etumerkki. Huomaa, että yhtälö (3) mukaa argumetti o moikäsitteie π-moikerroi. Sama pätee laskettaessa muideki kui puhtaasti imagiaariste lukuje argumetteja arkustageti avulla. Suorakulmaise esitykse perusteella ei siis voida yksikäsitteisesti määrittää kompleksiluvu vaihekulmaa, vaa πmoikerrat ovat läsä. Site suorakulmaie esitys z = x + iy vastaaki äärettämä motaa eri kompleksilukua, joide vaihekulmat ovat toistesa π-moikertoja. Mikäli vaihekulma θ arvo valitaa site, että π < θ π ii kulmaa θ kutsutaa pääargumetiksi jota merkitää Arg (z) Yleisesti kompleksiluvu z = x + iy vaihekulma o siis θ = Arg (z) + kπ, k Z Saattaa vaikuttaa yhdetekevältä, valitaako luvu z = x+iy vaihekulmaksi se pääargumetti, vai joki π-moikerta. Näi ei kuitekaa ole, sillä o olemassa fuktioita (esimerkiksi kompleksie logaritmifuktio), joide arvo riippuu käytety vaihekulma moikerrasta k. 7
8 Polaariesitys Käytettyä kompleksiluvu esitystä z = x + iy = (x, y) kutsutaa karteesiseksi tai suorakulmaiseksi esitykseksi (reaalilukupari esitys karteesisessa koordiaatistossa). Itseisarvo ja vaihekulma avulla voidaa kompleksiluku z esittää apakoordiaatteia (polaariesitys). Napakoordiaattiesitystä käyttäe voidaa kaikki kompleksiluvut esittää ja sijoittaa kompleksitasoo yksikäsitteisesti. z = re iθ (4) missä r = z ja θ = arg (z). Toisiaa, esimerkiksi sähköopissa, käytetää esitystapaa z = r θ missä r ja θ o määritelty kute edellä. Merkitä luetaa r kulmassa θ. Merkitä θ vastaa ekspoettifuktiota e iθ ja site r θ = re iθ Tällä kurssilla käytämme, kute matemaattisissa asiayhteyksissä yleesäki, apakoordiaattiesityksestä vai ekspoettimuotoa. Kompleksiluvu esitysmuodo muutamie Koska kompleksiluvulle z o käytettävissä kaksi ekvivalettia (vaihekulma moikäsitteisyyttä lukuuottamatta) esitysmuotoa z = x + iy ja z = re iθ o ilmeistä, että toisiaa joudutaa siirtymää esitysmuodosta toisee. Esimerkiksi kompleksilukuje laskusäätöje yhteydessä havaitaa, että tietyt laskutoimitukset (kute yhteelasku) o helpoita suorittaa karteesise esitykse z = x + iy avulla. Vastaavasti o laskutoimituksia (mm. kertolasku), jotka ovat huomattavasti yksikertaisempia polaariesitykse z = re iθ kautta. Kompleksiluvu z muuos polaariesityksestä suorakulmaisee suoritetaa käyttäe apua Euleri kaavaa 3 e iθ = cos θ + i si θ 3 Euleri kaava todistamie edellyttää kompleksise ekspoettifuktio ja kompleksise sarjateoria käyttöä. Koska äitä ei käsitellä perusteellisesti tässä esityksessä, jätetää todistus suorittamatta. Todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [4]. 8
9 josta välittömästi seuraa, että z = re iθ = r (cos θ + i si θ) Suorakulmaise esitykse z = x + iy avulla voidaa kirjoittaa yhtälö x + iy = r (cos θ + i si θ) (5) Ku huomioidaa kompleksilukuje yhtäsuuruude määritelmä seuraa yhtälöstä (5), että z 1 = z Re (z 1 ) = Re (z ) Im (z 1 ) = Im (z ) { x = r cos θ y = r si θ Muuos suorakulmaisesta esityksestä apakoordiaatteihi tehdää itseisarvo ja vaihekulma avulla, kute luvuissa ja. Kompleksilukuje erilaiset esitysmuodot ovat vai sama koliko kaksi puolta. Esitysmuoto ei vaikuta itse luvu arvoo mitekää, pysyyhä marka kolikkoki samaa, vaikka sitä katsotaaki vuorotelle kruua- ja klaavapuolelta. Korostetaa vielä, että e iθ = 1, sillä e iθ = cos θ + i si θ,josta itseisarvot e iθ = cos θ + i si θ = cos θ + si θ = 1 = 1 Kompleksilukuje summa ja tulo Kompleksilukuje z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy yhteelasku määritellää seuraavasti: ( ) z 1 + z = Re (z 1 ) + Re (z ) + i Im (z 1 ) + Im (z ) = x 1 + x + i(y 1 + y ) Toisi saoe reaali- ja imagiaariosat lasketaa eriksee yhtee. Yhteelasku muistuttaa läheisesti vektorie yhteelaskua, jossa summa muodostetaa laskemalla vektorie kompoetit yhtee. Selvästi tämä yhteys äkyy ku esitämme yhteelasku graafisesti. 9
10 Im(z) Im(z) y 1 x 1 z = x + iy y x z = x + iy Re(z) y +y 1 z 1 z z +z 1 x +x 1 Re(z) Kuva 5: Kompleksilukuje yhteelasku Lukuje 5 ja + i7 summa: 5 + ( + i7) = (5 + ) + i7 = 7 + i7 Lukuje 4 i3 ja 8 + i summa: (4 i3) + (8 + i) = (4 + 8) + i( 3 + ) = 1 i Polaarimuodossa olevat kompleksiluvut muuetaa suorakulmaisee esityksee ee yhteelasku suorittamista. Tarvittaessa summa muuetaa takaisi polaarimuotoo. Lukuje e i 3 4 π ja 3e i π summa. Muuetaa luvut esi suorakulmaisee esityksee e i 3 4 π = (cos 3 4 π + i si 3 1 π) = ( + i 1 ) 4 = + i = + i 3e i π = 3(cos π + i si π ) = 3(0 i) = i3 10
11 Nyt yhteelasku o helppo suorittaa e i 3 4 π + 3e i π = + i i3 = + i( 3) Mikäli vaihekulma arvot ovat sellaiset, että suorakulmaise esitykse siija kosiifuktiot eivät sievee, voidaa yhteelasku suorittaa käyttäe apua trigoometrisia summa- ja tulokaavoja. Kompleksilukuje kertolasku suoritetaa kute kahde polyomi kertolasku: z 1 z = (x 1 + iy 1 )(x + iy ) = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x + i y 1 y ku muistetaa imagiaariyksikö määritelmä (1), joka mukaa i = 1, sieveee tulo muotoo z 1 z = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x y 1 y = x 1 x y 1 y + ix 1 y + iy 1 x = x 1 x y 1 y + i(x 1 y + y 1 x ) Käyttämällä polaariesitystä z 1 = r 1 e iθ 1 ja z = r e iθ, o kertolasku suorittamie huomattavasti yksikertaisempaa. Käyttämällä ekspoettifuktio laskusäätöjä 4, saadaa z 1 z = r 1 e iθ 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1+θ ) (6) Yhtälöstä (6) havaitaa, että kompleksilukuje tulo z 1 z itseisarvo o itseisarvoje tulo r 1 r ja vaihekulma o vaihekulmie summa θ 1 + θ. Yleisemmi: z 1 z = z 1 z arg (z 1 z ) = arg (z 1 ) + arg (z ) 4 Todistamatta oletamme, että kompleksiselle ekspoettifuktiolle pätevät samat omiaisuudet kui reaaliselleki: e iθ 1 e iθ = (e i ) θ 1 (e i ) θ = (e i ) (θ 1+θ ) = e i(θ 1+θ ) (e iθ1 ) = ((e i ) θ1 ) = ((e i ) θ1 = e iθ1 Nämä omiaisuudet seuraavat suoraa kompleksise ekspoettifuktio määrittelystä e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i si y) Omiaisuuksie todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [] 11
12 Yleesä (lukuuottamatta aiva yksikertaisimpia tapauksia) kertolaskut o helpoita tehdä polaarimuodo kautta. Mikäli toie tulo tekijöistä o reaalie, o kertolasku helppo. Olkoo z 1 R ja z = x + iy = re iθ C. Suorakulmaise esitykse avulla ja polaariesitykse kautta z 1 z = z 1 x + iz 1 y z }{{} 1 z = z 1 re i(θ+arg(z 1)) R z 1 re i(θ+(k+1)π) (z 1 < 0) = 0 (z 1 = 0) z 1 re i(θ+kπ) (z 1 > 0) missä k R. Mikäli käytetää vai z : pääargumettia, ii z 1 re i(θ+π) (z 1 < 0) z 1 z = 0 (z 1 = 0) z 1 re i(θ) (z 1 > 0) Liittoluvut Kompleksiluvu z liittoluku (kompleksikojugaatti) z määritellää seuraavasti: z = Re (z) i Im (z) (7) Jos z = x + iy = re iθ, ii määritelmästä (7) seuraa, että z = x iy = re i( θ) Liittoluvulle käytetää myös merkitää z. Tässä esityksessä pitäydymme ylleviivatussa merkiässä z. Liittoluvu omiaisuuksia z = (Re (z)) + ( Im (z)) = (Re (z)) + (Im (z)) = z z + z = Re (z) + i Im (z) + Re (z) i Im (z) = Re (z) zz = z e iarg(z) z e i( arg(z)) = z e (iarg(z) iarg(z)) = z e 0 = z z 1 + z = x 1 iy 1 + x iy = x 1 + x i(y 1 + y ) = z 1 + z 1
13 Kompleksilukuje erotus Väheyslasku määritellää yhteelasku ja reaaliluvulla kertomise avulla. Olkoo kompleksiluvut z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy. Tällöi iide erotus Luvu ja se liittoluvu erotus: z 1 z = z 1 + ( z ) = x 1 + iy 1 + ( x iy ) = x 1 x + i(y 1 y ) z z = Re (z) + Im (z) (Re (z) Im (z)) = Im (z) Kompleksiluvu kääteisluku Kompleksiluvu z = x + iy = re iθ kääteisluku z 1 määritellää: z z 1 = 1 (8) Voidaa osoittaa, että kääteisluku o yksikäsitteie. O helppo osoittaa, että luvu z = re iθ kääteisluku o 1 r e iθ, sillä kute määritelmä (8) edellyttää. Kompleksilukuje osamäärä re iθ 1 r e iθ = r 1 e iθ e iθ }{{} r =1 = e iθ iθ = e 0 = 1 Jakolasku määritellää kertolasku ja kääteisluvu avulla: z 1 z = z 1 z 1 (9) Jakolasku määrittelyä hyväksikäyttäe voidaa kääteisluku ataa muodossa z 1 = 1 z 13
14 joka o määritelmä (9), ku z 1 = 1 ja z = z. Jakolasku suorittamie o helpoita polaarimuodossa, olkoo z 1 = r 1 e iθ 1 ja z = r e iθ. z 1 = z 1 z 1 z = r 1 e iθ 1 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1 θ ) Havaitaa siis, että kompleksilukuja jaettaessa ovat osamäärä itseisarvo ja vaihekulma (tulo kassa yhteevästi): z 1 z = z 1 z ( ) z1 arg = arg (z 1 ) arg (z ) z Jakolasku voi tieteki suorittaa karteesise esitykse kautta. Tällöi kaattaa lavetaa lauseketta jakaja liittoluvulla, jotta jakaja imagiaariset osat saadaa poistettua, ja jakolasku muuttuu kertolaskuksi. Olkoo z 1 = x 1 + iy 1 ja z 1 = x + iy Luvu ja se liittoluvu osamäärä: Omiaisuuksia z ) z 1 = z 1z = z 1z z z z z = 1 z z }{{} 1 z R z z = reiθ re iθ = eiθ e iθ = e iθ Todistamatta kootaa muutamia omiaisuuksia, joista o hyötyä komplek- 14
15 silausekkeide käsittelyssä. i = 1 ja i = i i = 1 i = 1 i e ±iπ = 1 e i π = i ja e i π = i 1 ( e iθ + e iθ) = cos θ Kompleksiluvu kokoaislukupotessi Kompleksiluvu kokoaislukupotessi z, Z voidaa laskea tulo määritelmää ojautue sekä suorakulmaisessa että polaarisessa esityksessä. z = (x + iy) = ( re iθ) Suorakulmaise esitykse kautta laskemie o suoraviivaista kertolaskua, joka o työlästä ku o suuri. Polaarie esitys o yksikertaisempi: ( re iθ ) = r ( e iθ) = r ( e iθ) (10) Yhtälöstä 10 havaitaa, että korotettaessa kompleksilukua kokoaislukupotessii, z: itseisarvo korotetaa potesii ja vaihekulma -kertaistuu. Lasketaa ( 39 i 13 ) i = ( ) ( ) 39 = = 4 = 13 ja ( ) ( ( )) arg i = arg i1 = 3 π + kπ 15
16 jote ( ) ( ) 4 i = 13e i( 3 π+kπ) = 13 e i4( 3 π+kπ) = 169e i( 8 3 π+k8π) = 169e i( 3 π+k8π) Euleri kaava avulla saadaa (10) muotoo r ( e iθ) = r (cos θ + i si θ) Mikäli r = z = 1, päädytää De Moivre kaavaa (cos θ + i si θ) = (cos θ + i si θ) Edellie esimerkki uudestaa, yt karteesisessa muodossa De Moivre kaava avulla : ( ( i )4 = (cos( 3 )) 4 π + kπ) + i si(3 π + kπ) = ( ( 13) 4 cos( ) 4 3 π) + i si( 3 π) ( = 169 cos(4 ) π) + i si(4 3 3 π) = 169 (cos( 83 ) π) + i si(83 π) = 169 (cos( 3 ) π + π) + i si(3 π + π) ( = 169 (cos( 3 ) π) + i si(3 π) = i 3 ) 16
17 Kompleksiluvu juuret Kompleksiluvu : s juuri z 1 lasketaa seuraavasti w k = z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) missä θ = Arg(z), Z ja o vakio, k Z ja 0 k < eli k = 0, 1,,,, 1. Täte juurella z 1 o arvoa. Todistetaa aettu kaava. Etsittäessä kompleksiluvu z :ttä juurta z 1, Z pyritää ratkaisemaa yhtälö w = z 1 w = z (11) Olkoo z = re i(θ+mπ) ja w = ue iφ, missä θ = Arg(z) ja m Z. Tällöi yhtälö (11) saadaa muotoo w = z sijoitetaa lukuje määrittelyt u e iφ = re i(θ+mπ) De Moivre u cos φ + iu si φ = r cos (θ + mπ) + ir si (θ + mπ) Kompleksilukuje yhtäsuuruude määritelmä perusteella saadaa yhtälöpari: { u cos φ = r cos (θ + mπ) u si φ = r si (θ + mπ) Yhtälöpari tulee olla idettisesti tosi, jote päädytää yhtälöryhmää u = r cos φ = cos (θ + mπ) si φ = si (θ + mπ) Näi olle etsitty :s juuri o { u = r φ = θ + kπ, k Z { u = r φ = θ+kπ, k Z z 1 = w = ue iφ = re i θ+kπ, k Z (1) ja polaarimuodossa z 1 = r ( cos θ + kπ + i si θ + kπ ), k Z (13) Yhtälöissä (1) ja (13) o vakio (etsittävä juure kertaluku) ja k saa kaikki kokoaislukuarvot. Site juurella z 1 olisi äärettömä mota arvoa, mikä 17
18 vaikuttaa omituiselta. Tutkitaa tilaetta hiema lisää. Juure vaihekulma o yhtälöide (1) ja (13) mukaisesti θ + kπ (14) missä o kokoaislukuvakio ja k Z. Tulkitaa lauseke (14) kokoaisluvu k fuktioksi f(k) f(k) = θ + kπ = θ + kπ Olkoo p Z. Tutkitaa fuktio arvoa f(k + p) θ + (k + p)π f(k + p) = = θ + kπ + pπ = θ + kπ + pπ = f(k) + pπ (15) Tuloksesta (15) voidaa päätellä seuraavaa. Olkoo 0 u <. Mikäli 0 k <, f(k) = f(u) = θ + uπ (0 k < ) (16) Jos taas k o rajoittamato, ii se voidaa ataa muodossa u + p ja tulokse (15) mukaisesti: f(k) = f(u + p) = f(u) + pπ (k < 0 k ) (17) Palataa yt juurelle saatuu yhtälöö (13): z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) (18) Sijoittamalla juure lausekkeesee (18) vaihekulma k: fuktioa f(k) saadaa z 1 = r (cos f(k) + i si f(k)) (19) Sijoitetaa vielä f(k) muodossa (17) z 1 = r (cos(f(u) + π) + i si(f(u) + π)) (0 u < ) (0) Kosii ja sii ovat π-jaksollisia fuktioita, jote tulos (0) sieveee muotoo z 1 = r (cos f(u) + i si f(u)) (0 u < ) 18
19 Näi voidaa ataa lopullie tulos kompleksiluvu juurelle: w k = z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) (1) missä θ = Arg(z), Z ja o vakio, k Z ja 0 k < eli k = 0, 1,,,, 1. Saadu tulokse mukaa kompleksiluvu juurella z 1 o arvoa (k = 0, 1,, 1). Kaikkie juurte itseisarvo o sama r, mutta vaihekulma muuttuu k: mukaisesti. k: arvo rajoittamie välille [0, 1] tuottaa juurelle kpl erisuuria arvoja. Mikäli k:ta ei rajoiteta, toistuvat jo rajoitetulla k:lla saadut juure vaihekulmat. Lasketaa luvu (1 + i) eljäet juuret: (1 + i) i = ja Arg(z) = π 4, jote ( (1 + i) = cos = 8 ( cos ( π 16 + kπ π + kπ 4 4 ) π 4 + i si + kπ ) 4 ( π + i si 16 + kπ )) Lasketaa juure vaihekulma φ k = π + kπ 16 k = 0, 1,, 3. arvot. = 4, jote k = 0 k = 1 k = k = 3 φ 0 = π π φ 1 = π π φ = π 16 + π φ 3 = π π = π 16 = 9 16 π = π = 5 16 π jos k = 4, ii φ 4 = π + 4 π = 33π = π + π ja jo kerra esiityeet arvot alkavat toistua π-moikerroi k: kasvaessa. Vastaavasti käy, mikäli k o egatiivie. Siis erilliset juure arvot 19
20 w k : w 0 = 8 ( cos π 16 + i si π ) 16 w 1 = 8 ( cos 9 16 π + i si 9 ) 16 π w = 8 ( cos 17 ) 17 π + i si π w 3 = 8 ( cos 5 ) 5 π + i si π Toisiaa saatuja juuria w k o mahdollista sievetää edellee trigoometriste summa- ja tulokaavoje avulla. Viitteet [1] J. D. Barrow (suom. R. Vilkko), Lukuje taivas, s.-5, Art House Oy 1999 [] S. Pohjolaie, Kompleksimuuttuja fuktiot, luetomoiste s.1-6, TTKK 000, Luku.pdf ( ) [3] J. W. Nilsso, S. A. Riedel, Electric Circuits 5th ed., Appedix B s , Addiso-Wesley 1996 [4] S. I. Grossma, Multivariable Calculus, Liear Algebra, ad Differetial Equatios, 3rd ed. Appedix 3 s.a-14-a-0, Sauders College Publishig
Kompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotLaajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut
91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa
Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
Lisätiedot1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.
BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i
Lisätiedot1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotKompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
LisätiedotTämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotAnalyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotKolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen
LisätiedotKompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotKompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
Lisätiedot6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:
6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedotz Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)
. Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.
LisätiedotVII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset
VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotKompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division
Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43 Kompleksiluvut
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
Lisätiedot2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt
Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
LisätiedotSisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...
Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotYksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,
Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
Lisätiedot2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien
SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
LisätiedotAloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
LisätiedotKompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
LisätiedotKaikki tarpeellinen kompleksiluvuista
Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotNELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotÄärettömistä tuloista ja gammafunktiosta kompleksitasossa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jemia Laukkae Äärettömistä tuloista ja gammafuktiosta kompleksitasossa Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Elokuu 202 Tamperee yliopisto Iformaatiotieteide
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
Lisätiedot2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2
.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön
LisätiedotSimo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012
Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotC = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
Lisätiedot