Kompleksiluvut. Johdanto

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kompleksiluvut. Johdanto"

Transkriptio

1 Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet riittäviä yhteäise teoria raketamiseksi. Näi kävi mm. pythagoralaiselle koulukualle. 600-luvulla ekr.[1] Pythagoralaiset olivat Krotoissa (alue ykyise Italia eteläraikolla, jossa tuolloi oli kreikkalaisia siirtokutia) vaikuttava puoliuskoollie yhteisö, joka uskoi, että umerot kuvaavat maailmakaikkeude todellise merkitykse. He olivat vakuutueita, että maailma voitii täsmällisesti esittää lukuje avulla. Tämä lisäksi he uskoivat, että maailmassa o olemassa vai ratioaalilukuja (lukuja, jotka voidaa esittää kahde kokoaisluvu osamäärää). Niipä veljeskualle oliki kohtuullie järkytys, ku havaittii, että o olemassa myös sellaisia lukuja, jotka eivät kuulu ratioaalilukuje joukkoo. Tällaie luku sytyy esimerkiksi muodostamalla lävistäjä eliölle, joka sivu pituus o yksi. Lävistäjä pituusha o Pythagoraa imeä katava teoreema mukaisesti, joka tuetusti o irratioaaliluku. Tarkastellaa käytettävä lukujouko vaikutusta yhtälö ratkaisuje lukumäärää. Yhtälöllä x + 5 = ei ole ratkaisuja, mikäli x N. Jos x Z, ii yhtälöllä o ratkaisu x = 3. Reaaliluvuista kompleksilukuihi Lukujoukkoje riittämättömyyde ogelma kohdattii myös eliöjuurifuktio kohdalla. Positiiviste reaalilukuje eliöjuuri osattii laskea, mutta egatiiviste lukuje osalta tilae oli tutemato. Ogelma olisi helppo kiertää toteamalla, ettei egatiivisilla luvuilla ole eliöjuurta, ja site lauseke x ei olisi määritelty, ku x < 0. Tämäkaltaie ogelma kiertämie muodostaisi varsi suure epäkohda eikä äyttäisi kovikaa kauiilta osaa matemaattista teoriaa. Tutkitaa tilaetta lähemmi yhtälö x = a avulla. 1. Mikäli a 0, o ratkaisu selvä, x = ± a.. Jos a < 0, ei yhtälöllä ole ratkaisua joukossa R. Tapaus. herättää kysymykse siitä, voisiko yhtälöllä olla ratkaisu jossai joukkoa R laajemmassa lukujoukossa. 1

2 Olkoo s 0 ja s R. Tällöi s < 0 ja eliöjuure laskusäätöje mukaisesti 1 s = 1 s Tämä osoittaa, että kaikkie egatiiviste lukuje s eliöjuuret voidaa ilmoittaa tuloa, joka tekijöiä ovat s: vastaluvu eliöjuuri s sekä 1, joista 1 o toistaiseksi määrittelemätö. Mikäli 1 voidaa määritellä hyvi, saadaa samalla määriteltyä kaikkie egatiiviste reaalilukuje eliöjuuret. Tällaie hyvä määritelmä o olemassa. Määritellää imagiaariyksikkö: i = 1 i = 1 (1) Imagiaariyksiko avulla voidaa muodostaa puhtaasti imagiaarisia lukuja kertomalla imagiaariyksikköä reaaliluvulla. Imagiaariyksikköä merkitää myös kirjaimella j. Tämä o yleie käytätö esimerkiksi sähköopissa. i3, i 3 4 ja i 5 ovat puhtaita imagiaarilukuja. Edellä maiittu reaalilukuje jouko laajetamie tapahtuu yhdistämällä siihe imagiaarilukuje joukko I. Imagiaariluvut (huomaa, että yt emme käsittele pelkästää puhtaita imagiaarilukuja) ovat muotoa z = x + iy olevia lukuja, missä i = 1 (siis imagiaariyksikkö), x R sekä y R y 0. i lg 5, 6 i 3 ja 5 + i cos 3 ovat imagiaarilukuja. 1 ja 8 7 e3 eivät ole imagiaarilukuja, vaa reaalilukuja. 1 Ku oletetaa, että egatiiviste lukuje eliöjuurille pätevät samat laskusääöt kui positiiviste lukuje eliöjuurille. Määritelmä o hyvä, mikäli se o yhteesopiva muu teoria kassa ja tuottaa laskeallisesti järkeviä ja käyttökelpoisia tuloksia.

3 Yhdistämällä reaalilukuje ja imagiaarilukuje joukot sytyy kompleksilukuje joukko Kompleksiluvut ovat muotoa C = R I z = x + iy olevia lukuja, missä x R sekä y R. Huomaa, että joukoissa R ja C sallitaa tilae y = 0, mutta y 0 aia joukossa I. Täsmällisesti määriteltyä edellä maiitut lukujoukot ovat: I = {z z = x + iy, x R y R y 0} C = {z z = x + iy, x R y R} Toisiaa kompleksiluku saatetaa ilmoittaa järjestettyä paria (x, y): z = (x, y) = x + iy, 1 + i5 ja i si π ovat kompleksilukuja. Mikäli luvut ilmoitetaa 3 7 järjestettyiä pareia, e ovat (, 0), ( 1, 5) ja (0, si π) 3 7 Reaali- ja imagiaariosa Kompleksiluvussa z = x + iy luku x o z: reaaliosa Re (z) ja y o z: imagiaariosa Im (z). Siis Re (z) = x ja Im (z) = y Reaali- ja imagiaariosa ovat reaalilukuja. Kompleksiluvut muodostavat site reaalilukuparie jouko, jolle o omat laskusäätösä. Kompleksiluvu z = 3 i reaaliosa Re (z) = 3 ja imagiaariosa Im (z) =. 3

4 Kompleksilukuje yhtäsuuruus Olkoo kompleksiluvut z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy. Kompleksiluvut ovat yhtäsuuret, jos iide reaaliosat ovat keskeää yhtäsuuret ja imagiaariosat ovat keskeää yhtäsuuret, siis: z 1 = z Re (z 1 ) = Re (z ) Im (z 1 ) = Im (z ) x 1 = x y 1 = y Kompleksilukuje esittämie graafisesti Kompleksilukuje graafie esittämie saattaa tutua moimutkaiselta, koska reaalilukuje joukko voidaa esittää yksiulotteisella lukusuoralla Kuva 1: Lukusuora Tarkastellaa kompleksilukua järjestettyä paria z = (x, y). Tästä parista voimme esittää reaaliosa x lukusuoralla samalla tavoi kui tavallise reaaliluvuki. Imagiaariosa y o myös reaalie, jote seki esittämie lukusuoralla o mahdollista. Yksikäsitteise graafise esitykse muodostamiseksi riittää, ku pystymme esittämää reaalilukupari (x, y) graafisesti. Tämä oistuu tavallise karteesise koordiaatisto avulla. Kompleksiluvut esitetää koordiaatistossa asettamalla reaaliosa x-akselille ja imagiaariosa y-akselille. Tällaisessa esityksessä x-akseli o reaaliakseli ja y-akseli o imagiaariakseli. Käytettyä koordiaatistoa kutsutaa kompleksitasoksi. Toisiaa termiä kompleksitaso käytetää ku tarkoitetaa kompleksilukuje joukkoa C. Itseisarvo ja vaihekulma Kompleksiluvu z = x + iy itseisarvo z (moduli) lasketaa kute kaksikompoettise vektori pituus. Se ilmoittaa kompleksitasoo asetetu pis- 4

5 Im(z) y x z = x + iy Im(z) y z = x + iy x Re(z) x Re(z) Kuva : Kompleksitaso Im(z) -1 + i x - + i x x 1 + i x + i - - i x -1 - i x - i x x 1 - i Re(z) Kuva 3: Muutamia kompleksitaso pisteitä tee etäisyyde origosta. z = Re (z) + Im (z) = x + y Olkoo kompleksiluku z = x + iy 0 ja v tämä kompleksiluvu paikkavektori kompleksitasossa. Kompleksiluvu vaihekulma θ = arg (z) (argumetti) o kompleksitaso reaaliakseli positiivise osa ja paikkavektori v välie kulma. Suorakulmaise kolmio geometria perusteella vaihekulma toteuttaa yhtälö Im (z) ta θ = Re (z) = y () x Arkustageti avulla voidaa selvittää joki kulma θ 0, joka toteuttaa yhtälö (). Tämä jälkee tarkastellaa reaali- ja imagiaariosie merki perusteella missä kompleksitaso eljäeksessä luku z sijaitsee. Mikäli saatu kulma θ 0 o samassa eljäeksessä kui luku z, voidaa se valita argumetiksi. Kulma θ 0 lisäksi kaikki se π-moikerrat toteuttavat 5

6 yhtälö ja ovat samassa koordiaatisto eljäeksessä kui z. Site vaihekulma arg (z) = θ 0 + π, missä Z. Jos eljäekset eivät täsmää, tulee saatuu arvoo θ 0 lisätä tai vähetää π tilateesta riippue. Tämä jälkee voidaa korjattu kulma valita vaihekulmaksi π-moikerroi. Siis arg (z) = θ 0 ± π + kπ, missä kaksoismerkistä ± valitaa vai toie operaatio. Im(z) y z q x z = x + iy Re(z) Kuva 4: Itseisarvo ja argumetti kompleksitasossa Lasketaa luvu z = i 1 itseisarvo ja vaihekulma z = + ( 1) = = 16 = ta(arg (z)) = = 3 = 3 Saadu tagettiarvo perusteella voidaa etsiä kulma θ θ = arcta ( 3) = π 3 Reaali- ja imagiaariosa etumerkeistä havaitaa, että z o kompleksitaso eljäessä eljäeksessä, siis saatu kulma θ kelpaa ratkaisuksi sellaiseaa. Vaihekulmaa ei ole määritelty luvulle z = 0. Useimmite tämä ei tuota ogelmia. Luvulla z = 0 voidaa ajatella oleva kaikki mahdolliset vaihekulma arvot (äärettömä mota) tai ei vaihekulmaa laikaa. 6

7 Mikäli z o puhtaasti imagiaarie, x = 0 ja osamäärä y ei ole määritelty. x Tällöi vaihekulma θ määrittämie arkustageti avulla ei oistu. O kuiteki ilmeistä, että puhtaasti imagiaarise luvu ic (c R) vaihekulma o joko π tai π, π-moikerrat huomioide. Täsmällisemmi: arg (ic) = sg (c) π + kπ, k Z (3) missä sg (c) o sigum-fuktio, joka määritellää 1 (c > 0) sg (c) = 0 (c = 0) 1 (c < 0) Toisi saoe yhtälössä (3) π : etumerkki o sama kui c: etumerkki. Huomaa, että yhtälö (3) mukaa argumetti o moikäsitteie π-moikerroi. Sama pätee laskettaessa muideki kui puhtaasti imagiaariste lukuje argumetteja arkustageti avulla. Suorakulmaise esitykse perusteella ei siis voida yksikäsitteisesti määrittää kompleksiluvu vaihekulmaa, vaa πmoikerrat ovat läsä. Site suorakulmaie esitys z = x + iy vastaaki äärettämä motaa eri kompleksilukua, joide vaihekulmat ovat toistesa π-moikertoja. Mikäli vaihekulma θ arvo valitaa site, että π < θ π ii kulmaa θ kutsutaa pääargumetiksi jota merkitää Arg (z) Yleisesti kompleksiluvu z = x + iy vaihekulma o siis θ = Arg (z) + kπ, k Z Saattaa vaikuttaa yhdetekevältä, valitaako luvu z = x+iy vaihekulmaksi se pääargumetti, vai joki π-moikerta. Näi ei kuitekaa ole, sillä o olemassa fuktioita (esimerkiksi kompleksie logaritmifuktio), joide arvo riippuu käytety vaihekulma moikerrasta k. 7

8 Polaariesitys Käytettyä kompleksiluvu esitystä z = x + iy = (x, y) kutsutaa karteesiseksi tai suorakulmaiseksi esitykseksi (reaalilukupari esitys karteesisessa koordiaatistossa). Itseisarvo ja vaihekulma avulla voidaa kompleksiluku z esittää apakoordiaatteia (polaariesitys). Napakoordiaattiesitystä käyttäe voidaa kaikki kompleksiluvut esittää ja sijoittaa kompleksitasoo yksikäsitteisesti. z = re iθ (4) missä r = z ja θ = arg (z). Toisiaa, esimerkiksi sähköopissa, käytetää esitystapaa z = r θ missä r ja θ o määritelty kute edellä. Merkitä luetaa r kulmassa θ. Merkitä θ vastaa ekspoettifuktiota e iθ ja site r θ = re iθ Tällä kurssilla käytämme, kute matemaattisissa asiayhteyksissä yleesäki, apakoordiaattiesityksestä vai ekspoettimuotoa. Kompleksiluvu esitysmuodo muutamie Koska kompleksiluvulle z o käytettävissä kaksi ekvivalettia (vaihekulma moikäsitteisyyttä lukuuottamatta) esitysmuotoa z = x + iy ja z = re iθ o ilmeistä, että toisiaa joudutaa siirtymää esitysmuodosta toisee. Esimerkiksi kompleksilukuje laskusäätöje yhteydessä havaitaa, että tietyt laskutoimitukset (kute yhteelasku) o helpoita suorittaa karteesise esitykse z = x + iy avulla. Vastaavasti o laskutoimituksia (mm. kertolasku), jotka ovat huomattavasti yksikertaisempia polaariesitykse z = re iθ kautta. Kompleksiluvu z muuos polaariesityksestä suorakulmaisee suoritetaa käyttäe apua Euleri kaavaa 3 e iθ = cos θ + i si θ 3 Euleri kaava todistamie edellyttää kompleksise ekspoettifuktio ja kompleksise sarjateoria käyttöä. Koska äitä ei käsitellä perusteellisesti tässä esityksessä, jätetää todistus suorittamatta. Todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [4]. 8

9 josta välittömästi seuraa, että z = re iθ = r (cos θ + i si θ) Suorakulmaise esitykse z = x + iy avulla voidaa kirjoittaa yhtälö x + iy = r (cos θ + i si θ) (5) Ku huomioidaa kompleksilukuje yhtäsuuruude määritelmä seuraa yhtälöstä (5), että z 1 = z Re (z 1 ) = Re (z ) Im (z 1 ) = Im (z ) { x = r cos θ y = r si θ Muuos suorakulmaisesta esityksestä apakoordiaatteihi tehdää itseisarvo ja vaihekulma avulla, kute luvuissa ja. Kompleksilukuje erilaiset esitysmuodot ovat vai sama koliko kaksi puolta. Esitysmuoto ei vaikuta itse luvu arvoo mitekää, pysyyhä marka kolikkoki samaa, vaikka sitä katsotaaki vuorotelle kruua- ja klaavapuolelta. Korostetaa vielä, että e iθ = 1, sillä e iθ = cos θ + i si θ,josta itseisarvot e iθ = cos θ + i si θ = cos θ + si θ = 1 = 1 Kompleksilukuje summa ja tulo Kompleksilukuje z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy yhteelasku määritellää seuraavasti: ( ) z 1 + z = Re (z 1 ) + Re (z ) + i Im (z 1 ) + Im (z ) = x 1 + x + i(y 1 + y ) Toisi saoe reaali- ja imagiaariosat lasketaa eriksee yhtee. Yhteelasku muistuttaa läheisesti vektorie yhteelaskua, jossa summa muodostetaa laskemalla vektorie kompoetit yhtee. Selvästi tämä yhteys äkyy ku esitämme yhteelasku graafisesti. 9

10 Im(z) Im(z) y 1 x 1 z = x + iy y x z = x + iy Re(z) y +y 1 z 1 z z +z 1 x +x 1 Re(z) Kuva 5: Kompleksilukuje yhteelasku Lukuje 5 ja + i7 summa: 5 + ( + i7) = (5 + ) + i7 = 7 + i7 Lukuje 4 i3 ja 8 + i summa: (4 i3) + (8 + i) = (4 + 8) + i( 3 + ) = 1 i Polaarimuodossa olevat kompleksiluvut muuetaa suorakulmaisee esityksee ee yhteelasku suorittamista. Tarvittaessa summa muuetaa takaisi polaarimuotoo. Lukuje e i 3 4 π ja 3e i π summa. Muuetaa luvut esi suorakulmaisee esityksee e i 3 4 π = (cos 3 4 π + i si 3 1 π) = ( + i 1 ) 4 = + i = + i 3e i π = 3(cos π + i si π ) = 3(0 i) = i3 10

11 Nyt yhteelasku o helppo suorittaa e i 3 4 π + 3e i π = + i i3 = + i( 3) Mikäli vaihekulma arvot ovat sellaiset, että suorakulmaise esitykse siija kosiifuktiot eivät sievee, voidaa yhteelasku suorittaa käyttäe apua trigoometrisia summa- ja tulokaavoja. Kompleksilukuje kertolasku suoritetaa kute kahde polyomi kertolasku: z 1 z = (x 1 + iy 1 )(x + iy ) = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x + i y 1 y ku muistetaa imagiaariyksikö määritelmä (1), joka mukaa i = 1, sieveee tulo muotoo z 1 z = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x y 1 y = x 1 x y 1 y + ix 1 y + iy 1 x = x 1 x y 1 y + i(x 1 y + y 1 x ) Käyttämällä polaariesitystä z 1 = r 1 e iθ 1 ja z = r e iθ, o kertolasku suorittamie huomattavasti yksikertaisempaa. Käyttämällä ekspoettifuktio laskusäätöjä 4, saadaa z 1 z = r 1 e iθ 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1+θ ) (6) Yhtälöstä (6) havaitaa, että kompleksilukuje tulo z 1 z itseisarvo o itseisarvoje tulo r 1 r ja vaihekulma o vaihekulmie summa θ 1 + θ. Yleisemmi: z 1 z = z 1 z arg (z 1 z ) = arg (z 1 ) + arg (z ) 4 Todistamatta oletamme, että kompleksiselle ekspoettifuktiolle pätevät samat omiaisuudet kui reaaliselleki: e iθ 1 e iθ = (e i ) θ 1 (e i ) θ = (e i ) (θ 1+θ ) = e i(θ 1+θ ) (e iθ1 ) = ((e i ) θ1 ) = ((e i ) θ1 = e iθ1 Nämä omiaisuudet seuraavat suoraa kompleksise ekspoettifuktio määrittelystä e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i si y) Omiaisuuksie todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [] 11

12 Yleesä (lukuuottamatta aiva yksikertaisimpia tapauksia) kertolaskut o helpoita tehdä polaarimuodo kautta. Mikäli toie tulo tekijöistä o reaalie, o kertolasku helppo. Olkoo z 1 R ja z = x + iy = re iθ C. Suorakulmaise esitykse avulla ja polaariesitykse kautta z 1 z = z 1 x + iz 1 y z }{{} 1 z = z 1 re i(θ+arg(z 1)) R z 1 re i(θ+(k+1)π) (z 1 < 0) = 0 (z 1 = 0) z 1 re i(θ+kπ) (z 1 > 0) missä k R. Mikäli käytetää vai z : pääargumettia, ii z 1 re i(θ+π) (z 1 < 0) z 1 z = 0 (z 1 = 0) z 1 re i(θ) (z 1 > 0) Liittoluvut Kompleksiluvu z liittoluku (kompleksikojugaatti) z määritellää seuraavasti: z = Re (z) i Im (z) (7) Jos z = x + iy = re iθ, ii määritelmästä (7) seuraa, että z = x iy = re i( θ) Liittoluvulle käytetää myös merkitää z. Tässä esityksessä pitäydymme ylleviivatussa merkiässä z. Liittoluvu omiaisuuksia z = (Re (z)) + ( Im (z)) = (Re (z)) + (Im (z)) = z z + z = Re (z) + i Im (z) + Re (z) i Im (z) = Re (z) zz = z e iarg(z) z e i( arg(z)) = z e (iarg(z) iarg(z)) = z e 0 = z z 1 + z = x 1 iy 1 + x iy = x 1 + x i(y 1 + y ) = z 1 + z 1

13 Kompleksilukuje erotus Väheyslasku määritellää yhteelasku ja reaaliluvulla kertomise avulla. Olkoo kompleksiluvut z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy. Tällöi iide erotus Luvu ja se liittoluvu erotus: z 1 z = z 1 + ( z ) = x 1 + iy 1 + ( x iy ) = x 1 x + i(y 1 y ) z z = Re (z) + Im (z) (Re (z) Im (z)) = Im (z) Kompleksiluvu kääteisluku Kompleksiluvu z = x + iy = re iθ kääteisluku z 1 määritellää: z z 1 = 1 (8) Voidaa osoittaa, että kääteisluku o yksikäsitteie. O helppo osoittaa, että luvu z = re iθ kääteisluku o 1 r e iθ, sillä kute määritelmä (8) edellyttää. Kompleksilukuje osamäärä re iθ 1 r e iθ = r 1 e iθ e iθ }{{} r =1 = e iθ iθ = e 0 = 1 Jakolasku määritellää kertolasku ja kääteisluvu avulla: z 1 z = z 1 z 1 (9) Jakolasku määrittelyä hyväksikäyttäe voidaa kääteisluku ataa muodossa z 1 = 1 z 13

14 joka o määritelmä (9), ku z 1 = 1 ja z = z. Jakolasku suorittamie o helpoita polaarimuodossa, olkoo z 1 = r 1 e iθ 1 ja z = r e iθ. z 1 = z 1 z 1 z = r 1 e iθ 1 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1 θ ) Havaitaa siis, että kompleksilukuja jaettaessa ovat osamäärä itseisarvo ja vaihekulma (tulo kassa yhteevästi): z 1 z = z 1 z ( ) z1 arg = arg (z 1 ) arg (z ) z Jakolasku voi tieteki suorittaa karteesise esitykse kautta. Tällöi kaattaa lavetaa lauseketta jakaja liittoluvulla, jotta jakaja imagiaariset osat saadaa poistettua, ja jakolasku muuttuu kertolaskuksi. Olkoo z 1 = x 1 + iy 1 ja z 1 = x + iy Luvu ja se liittoluvu osamäärä: Omiaisuuksia z ) z 1 = z 1z = z 1z z z z z = 1 z z }{{} 1 z R z z = reiθ re iθ = eiθ e iθ = e iθ Todistamatta kootaa muutamia omiaisuuksia, joista o hyötyä komplek- 14

15 silausekkeide käsittelyssä. i = 1 ja i = i i = 1 i = 1 i e ±iπ = 1 e i π = i ja e i π = i 1 ( e iθ + e iθ) = cos θ Kompleksiluvu kokoaislukupotessi Kompleksiluvu kokoaislukupotessi z, Z voidaa laskea tulo määritelmää ojautue sekä suorakulmaisessa että polaarisessa esityksessä. z = (x + iy) = ( re iθ) Suorakulmaise esitykse kautta laskemie o suoraviivaista kertolaskua, joka o työlästä ku o suuri. Polaarie esitys o yksikertaisempi: ( re iθ ) = r ( e iθ) = r ( e iθ) (10) Yhtälöstä 10 havaitaa, että korotettaessa kompleksilukua kokoaislukupotessii, z: itseisarvo korotetaa potesii ja vaihekulma -kertaistuu. Lasketaa ( 39 i 13 ) i = ( ) ( ) 39 = = 4 = 13 ja ( ) ( ( )) arg i = arg i1 = 3 π + kπ 15

16 jote ( ) ( ) 4 i = 13e i( 3 π+kπ) = 13 e i4( 3 π+kπ) = 169e i( 8 3 π+k8π) = 169e i( 3 π+k8π) Euleri kaava avulla saadaa (10) muotoo r ( e iθ) = r (cos θ + i si θ) Mikäli r = z = 1, päädytää De Moivre kaavaa (cos θ + i si θ) = (cos θ + i si θ) Edellie esimerkki uudestaa, yt karteesisessa muodossa De Moivre kaava avulla : ( ( i )4 = (cos( 3 )) 4 π + kπ) + i si(3 π + kπ) = ( ( 13) 4 cos( ) 4 3 π) + i si( 3 π) ( = 169 cos(4 ) π) + i si(4 3 3 π) = 169 (cos( 83 ) π) + i si(83 π) = 169 (cos( 3 ) π + π) + i si(3 π + π) ( = 169 (cos( 3 ) π) + i si(3 π) = i 3 ) 16

17 Kompleksiluvu juuret Kompleksiluvu : s juuri z 1 lasketaa seuraavasti w k = z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) missä θ = Arg(z), Z ja o vakio, k Z ja 0 k < eli k = 0, 1,,,, 1. Täte juurella z 1 o arvoa. Todistetaa aettu kaava. Etsittäessä kompleksiluvu z :ttä juurta z 1, Z pyritää ratkaisemaa yhtälö w = z 1 w = z (11) Olkoo z = re i(θ+mπ) ja w = ue iφ, missä θ = Arg(z) ja m Z. Tällöi yhtälö (11) saadaa muotoo w = z sijoitetaa lukuje määrittelyt u e iφ = re i(θ+mπ) De Moivre u cos φ + iu si φ = r cos (θ + mπ) + ir si (θ + mπ) Kompleksilukuje yhtäsuuruude määritelmä perusteella saadaa yhtälöpari: { u cos φ = r cos (θ + mπ) u si φ = r si (θ + mπ) Yhtälöpari tulee olla idettisesti tosi, jote päädytää yhtälöryhmää u = r cos φ = cos (θ + mπ) si φ = si (θ + mπ) Näi olle etsitty :s juuri o { u = r φ = θ + kπ, k Z { u = r φ = θ+kπ, k Z z 1 = w = ue iφ = re i θ+kπ, k Z (1) ja polaarimuodossa z 1 = r ( cos θ + kπ + i si θ + kπ ), k Z (13) Yhtälöissä (1) ja (13) o vakio (etsittävä juure kertaluku) ja k saa kaikki kokoaislukuarvot. Site juurella z 1 olisi äärettömä mota arvoa, mikä 17

18 vaikuttaa omituiselta. Tutkitaa tilaetta hiema lisää. Juure vaihekulma o yhtälöide (1) ja (13) mukaisesti θ + kπ (14) missä o kokoaislukuvakio ja k Z. Tulkitaa lauseke (14) kokoaisluvu k fuktioksi f(k) f(k) = θ + kπ = θ + kπ Olkoo p Z. Tutkitaa fuktio arvoa f(k + p) θ + (k + p)π f(k + p) = = θ + kπ + pπ = θ + kπ + pπ = f(k) + pπ (15) Tuloksesta (15) voidaa päätellä seuraavaa. Olkoo 0 u <. Mikäli 0 k <, f(k) = f(u) = θ + uπ (0 k < ) (16) Jos taas k o rajoittamato, ii se voidaa ataa muodossa u + p ja tulokse (15) mukaisesti: f(k) = f(u + p) = f(u) + pπ (k < 0 k ) (17) Palataa yt juurelle saatuu yhtälöö (13): z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) (18) Sijoittamalla juure lausekkeesee (18) vaihekulma k: fuktioa f(k) saadaa z 1 = r (cos f(k) + i si f(k)) (19) Sijoitetaa vielä f(k) muodossa (17) z 1 = r (cos(f(u) + π) + i si(f(u) + π)) (0 u < ) (0) Kosii ja sii ovat π-jaksollisia fuktioita, jote tulos (0) sieveee muotoo z 1 = r (cos f(u) + i si f(u)) (0 u < ) 18

19 Näi voidaa ataa lopullie tulos kompleksiluvu juurelle: w k = z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) (1) missä θ = Arg(z), Z ja o vakio, k Z ja 0 k < eli k = 0, 1,,,, 1. Saadu tulokse mukaa kompleksiluvu juurella z 1 o arvoa (k = 0, 1,, 1). Kaikkie juurte itseisarvo o sama r, mutta vaihekulma muuttuu k: mukaisesti. k: arvo rajoittamie välille [0, 1] tuottaa juurelle kpl erisuuria arvoja. Mikäli k:ta ei rajoiteta, toistuvat jo rajoitetulla k:lla saadut juure vaihekulmat. Lasketaa luvu (1 + i) eljäet juuret: (1 + i) i = ja Arg(z) = π 4, jote ( (1 + i) = cos = 8 ( cos ( π 16 + kπ π + kπ 4 4 ) π 4 + i si + kπ ) 4 ( π + i si 16 + kπ )) Lasketaa juure vaihekulma φ k = π + kπ 16 k = 0, 1,, 3. arvot. = 4, jote k = 0 k = 1 k = k = 3 φ 0 = π π φ 1 = π π φ = π 16 + π φ 3 = π π = π 16 = 9 16 π = π = 5 16 π jos k = 4, ii φ 4 = π + 4 π = 33π = π + π ja jo kerra esiityeet arvot alkavat toistua π-moikerroi k: kasvaessa. Vastaavasti käy, mikäli k o egatiivie. Siis erilliset juure arvot 19

20 w k : w 0 = 8 ( cos π 16 + i si π ) 16 w 1 = 8 ( cos 9 16 π + i si 9 ) 16 π w = 8 ( cos 17 ) 17 π + i si π w 3 = 8 ( cos 5 ) 5 π + i si π Toisiaa saatuja juuria w k o mahdollista sievetää edellee trigoometriste summa- ja tulokaavoje avulla. Viitteet [1] J. D. Barrow (suom. R. Vilkko), Lukuje taivas, s.-5, Art House Oy 1999 [] S. Pohjolaie, Kompleksimuuttuja fuktiot, luetomoiste s.1-6, TTKK 000, Luku.pdf ( ) [3] J. W. Nilsso, S. A. Riedel, Electric Circuits 5th ed., Appedix B s , Addiso-Wesley 1996 [4] S. I. Grossma, Multivariable Calculus, Liear Algebra, ad Differetial Equatios, 3rd ed. Appedix 3 s.a-14-a-0, Sauders College Publishig

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse

Lisätiedot

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI... Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b, Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista

Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT Sisältö Päivitetty 16. syyskuuta 2004 Johdanto ii 1. Kompleksiluvun määritelmä ja perusominaisuudet 1 1.1. Kompleksiluvun

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) . Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1 Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

Valintakoe

Valintakoe Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson 3 Esipuhe Matematiikka tieteiden kuningatar ja palvelija on lukioihin ja ammattikorkeakouluihin suunnattuun koulukohtaiseen valinnaiseen syventävään kurssiin perustuva kirja. Kirjan tarkoituksena on kerrata

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto

Lisätiedot

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n. POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot

Digitaalinen signaalinkäsittely Signaalit, jonot Digitaalie sigaalikäsittely Sigaalit, joot Teemu Saarelaie, teemu.saarelaie@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Sigal Processig: A Practical Approach H.Huttue, Sigaalikäsittely meetelmät, Opitomoiste,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Vektorit. Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen...

Vektorit. Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen... 12 Vektorit Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen... 196 TI -86 M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 F5 192 Luku 12: Vektorit

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUISTA. y. x 2 + y 2

KOMPLEKSILUVUISTA. y. x 2 + y 2 Matematiikan olympiavalmennus KOMPLEKSILUVUISTA 1 Perusteoriaa ja geometriaa 1.1 Kompleksilukujen määritelmä ja perusalgebraa 1. Joukossa R = {(x, y) x R, y R} määritellään yhteen- ja kertolasku kaavoilla

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot