Kompleksiluvut. Johdanto

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kompleksiluvut. Johdanto"

Transkriptio

1 Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet riittäviä yhteäise teoria raketamiseksi. Näi kävi mm. pythagoralaiselle koulukualle. 600-luvulla ekr.[1] Pythagoralaiset olivat Krotoissa (alue ykyise Italia eteläraikolla, jossa tuolloi oli kreikkalaisia siirtokutia) vaikuttava puoliuskoollie yhteisö, joka uskoi, että umerot kuvaavat maailmakaikkeude todellise merkitykse. He olivat vakuutueita, että maailma voitii täsmällisesti esittää lukuje avulla. Tämä lisäksi he uskoivat, että maailmassa o olemassa vai ratioaalilukuja (lukuja, jotka voidaa esittää kahde kokoaisluvu osamäärää). Niipä veljeskualle oliki kohtuullie järkytys, ku havaittii, että o olemassa myös sellaisia lukuja, jotka eivät kuulu ratioaalilukuje joukkoo. Tällaie luku sytyy esimerkiksi muodostamalla lävistäjä eliölle, joka sivu pituus o yksi. Lävistäjä pituusha o Pythagoraa imeä katava teoreema mukaisesti, joka tuetusti o irratioaaliluku. Tarkastellaa käytettävä lukujouko vaikutusta yhtälö ratkaisuje lukumäärää. Yhtälöllä x + 5 = ei ole ratkaisuja, mikäli x N. Jos x Z, ii yhtälöllä o ratkaisu x = 3. Reaaliluvuista kompleksilukuihi Lukujoukkoje riittämättömyyde ogelma kohdattii myös eliöjuurifuktio kohdalla. Positiiviste reaalilukuje eliöjuuri osattii laskea, mutta egatiiviste lukuje osalta tilae oli tutemato. Ogelma olisi helppo kiertää toteamalla, ettei egatiivisilla luvuilla ole eliöjuurta, ja site lauseke x ei olisi määritelty, ku x < 0. Tämäkaltaie ogelma kiertämie muodostaisi varsi suure epäkohda eikä äyttäisi kovikaa kauiilta osaa matemaattista teoriaa. Tutkitaa tilaetta lähemmi yhtälö x = a avulla. 1. Mikäli a 0, o ratkaisu selvä, x = ± a.. Jos a < 0, ei yhtälöllä ole ratkaisua joukossa R. Tapaus. herättää kysymykse siitä, voisiko yhtälöllä olla ratkaisu jossai joukkoa R laajemmassa lukujoukossa. 1

2 Olkoo s 0 ja s R. Tällöi s < 0 ja eliöjuure laskusäätöje mukaisesti 1 s = 1 s Tämä osoittaa, että kaikkie egatiiviste lukuje s eliöjuuret voidaa ilmoittaa tuloa, joka tekijöiä ovat s: vastaluvu eliöjuuri s sekä 1, joista 1 o toistaiseksi määrittelemätö. Mikäli 1 voidaa määritellä hyvi, saadaa samalla määriteltyä kaikkie egatiiviste reaalilukuje eliöjuuret. Tällaie hyvä määritelmä o olemassa. Määritellää imagiaariyksikkö: i = 1 i = 1 (1) Imagiaariyksiko avulla voidaa muodostaa puhtaasti imagiaarisia lukuja kertomalla imagiaariyksikköä reaaliluvulla. Imagiaariyksikköä merkitää myös kirjaimella j. Tämä o yleie käytätö esimerkiksi sähköopissa. i3, i 3 4 ja i 5 ovat puhtaita imagiaarilukuja. Edellä maiittu reaalilukuje jouko laajetamie tapahtuu yhdistämällä siihe imagiaarilukuje joukko I. Imagiaariluvut (huomaa, että yt emme käsittele pelkästää puhtaita imagiaarilukuja) ovat muotoa z = x + iy olevia lukuja, missä i = 1 (siis imagiaariyksikkö), x R sekä y R y 0. i lg 5, 6 i 3 ja 5 + i cos 3 ovat imagiaarilukuja. 1 ja 8 7 e3 eivät ole imagiaarilukuja, vaa reaalilukuja. 1 Ku oletetaa, että egatiiviste lukuje eliöjuurille pätevät samat laskusääöt kui positiiviste lukuje eliöjuurille. Määritelmä o hyvä, mikäli se o yhteesopiva muu teoria kassa ja tuottaa laskeallisesti järkeviä ja käyttökelpoisia tuloksia.

3 Yhdistämällä reaalilukuje ja imagiaarilukuje joukot sytyy kompleksilukuje joukko Kompleksiluvut ovat muotoa C = R I z = x + iy olevia lukuja, missä x R sekä y R. Huomaa, että joukoissa R ja C sallitaa tilae y = 0, mutta y 0 aia joukossa I. Täsmällisesti määriteltyä edellä maiitut lukujoukot ovat: I = {z z = x + iy, x R y R y 0} C = {z z = x + iy, x R y R} Toisiaa kompleksiluku saatetaa ilmoittaa järjestettyä paria (x, y): z = (x, y) = x + iy, 1 + i5 ja i si π ovat kompleksilukuja. Mikäli luvut ilmoitetaa 3 7 järjestettyiä pareia, e ovat (, 0), ( 1, 5) ja (0, si π) 3 7 Reaali- ja imagiaariosa Kompleksiluvussa z = x + iy luku x o z: reaaliosa Re (z) ja y o z: imagiaariosa Im (z). Siis Re (z) = x ja Im (z) = y Reaali- ja imagiaariosa ovat reaalilukuja. Kompleksiluvut muodostavat site reaalilukuparie jouko, jolle o omat laskusäätösä. Kompleksiluvu z = 3 i reaaliosa Re (z) = 3 ja imagiaariosa Im (z) =. 3

4 Kompleksilukuje yhtäsuuruus Olkoo kompleksiluvut z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy. Kompleksiluvut ovat yhtäsuuret, jos iide reaaliosat ovat keskeää yhtäsuuret ja imagiaariosat ovat keskeää yhtäsuuret, siis: z 1 = z Re (z 1 ) = Re (z ) Im (z 1 ) = Im (z ) x 1 = x y 1 = y Kompleksilukuje esittämie graafisesti Kompleksilukuje graafie esittämie saattaa tutua moimutkaiselta, koska reaalilukuje joukko voidaa esittää yksiulotteisella lukusuoralla Kuva 1: Lukusuora Tarkastellaa kompleksilukua järjestettyä paria z = (x, y). Tästä parista voimme esittää reaaliosa x lukusuoralla samalla tavoi kui tavallise reaaliluvuki. Imagiaariosa y o myös reaalie, jote seki esittämie lukusuoralla o mahdollista. Yksikäsitteise graafise esitykse muodostamiseksi riittää, ku pystymme esittämää reaalilukupari (x, y) graafisesti. Tämä oistuu tavallise karteesise koordiaatisto avulla. Kompleksiluvut esitetää koordiaatistossa asettamalla reaaliosa x-akselille ja imagiaariosa y-akselille. Tällaisessa esityksessä x-akseli o reaaliakseli ja y-akseli o imagiaariakseli. Käytettyä koordiaatistoa kutsutaa kompleksitasoksi. Toisiaa termiä kompleksitaso käytetää ku tarkoitetaa kompleksilukuje joukkoa C. Itseisarvo ja vaihekulma Kompleksiluvu z = x + iy itseisarvo z (moduli) lasketaa kute kaksikompoettise vektori pituus. Se ilmoittaa kompleksitasoo asetetu pis- 4

5 Im(z) y x z = x + iy Im(z) y z = x + iy x Re(z) x Re(z) Kuva : Kompleksitaso Im(z) -1 + i x - + i x x 1 + i x + i - - i x -1 - i x - i x x 1 - i Re(z) Kuva 3: Muutamia kompleksitaso pisteitä tee etäisyyde origosta. z = Re (z) + Im (z) = x + y Olkoo kompleksiluku z = x + iy 0 ja v tämä kompleksiluvu paikkavektori kompleksitasossa. Kompleksiluvu vaihekulma θ = arg (z) (argumetti) o kompleksitaso reaaliakseli positiivise osa ja paikkavektori v välie kulma. Suorakulmaise kolmio geometria perusteella vaihekulma toteuttaa yhtälö Im (z) ta θ = Re (z) = y () x Arkustageti avulla voidaa selvittää joki kulma θ 0, joka toteuttaa yhtälö (). Tämä jälkee tarkastellaa reaali- ja imagiaariosie merki perusteella missä kompleksitaso eljäeksessä luku z sijaitsee. Mikäli saatu kulma θ 0 o samassa eljäeksessä kui luku z, voidaa se valita argumetiksi. Kulma θ 0 lisäksi kaikki se π-moikerrat toteuttavat 5

6 yhtälö ja ovat samassa koordiaatisto eljäeksessä kui z. Site vaihekulma arg (z) = θ 0 + π, missä Z. Jos eljäekset eivät täsmää, tulee saatuu arvoo θ 0 lisätä tai vähetää π tilateesta riippue. Tämä jälkee voidaa korjattu kulma valita vaihekulmaksi π-moikerroi. Siis arg (z) = θ 0 ± π + kπ, missä kaksoismerkistä ± valitaa vai toie operaatio. Im(z) y z q x z = x + iy Re(z) Kuva 4: Itseisarvo ja argumetti kompleksitasossa Lasketaa luvu z = i 1 itseisarvo ja vaihekulma z = + ( 1) = = 16 = ta(arg (z)) = = 3 = 3 Saadu tagettiarvo perusteella voidaa etsiä kulma θ θ = arcta ( 3) = π 3 Reaali- ja imagiaariosa etumerkeistä havaitaa, että z o kompleksitaso eljäessä eljäeksessä, siis saatu kulma θ kelpaa ratkaisuksi sellaiseaa. Vaihekulmaa ei ole määritelty luvulle z = 0. Useimmite tämä ei tuota ogelmia. Luvulla z = 0 voidaa ajatella oleva kaikki mahdolliset vaihekulma arvot (äärettömä mota) tai ei vaihekulmaa laikaa. 6

7 Mikäli z o puhtaasti imagiaarie, x = 0 ja osamäärä y ei ole määritelty. x Tällöi vaihekulma θ määrittämie arkustageti avulla ei oistu. O kuiteki ilmeistä, että puhtaasti imagiaarise luvu ic (c R) vaihekulma o joko π tai π, π-moikerrat huomioide. Täsmällisemmi: arg (ic) = sg (c) π + kπ, k Z (3) missä sg (c) o sigum-fuktio, joka määritellää 1 (c > 0) sg (c) = 0 (c = 0) 1 (c < 0) Toisi saoe yhtälössä (3) π : etumerkki o sama kui c: etumerkki. Huomaa, että yhtälö (3) mukaa argumetti o moikäsitteie π-moikerroi. Sama pätee laskettaessa muideki kui puhtaasti imagiaariste lukuje argumetteja arkustageti avulla. Suorakulmaise esitykse perusteella ei siis voida yksikäsitteisesti määrittää kompleksiluvu vaihekulmaa, vaa πmoikerrat ovat läsä. Site suorakulmaie esitys z = x + iy vastaaki äärettämä motaa eri kompleksilukua, joide vaihekulmat ovat toistesa π-moikertoja. Mikäli vaihekulma θ arvo valitaa site, että π < θ π ii kulmaa θ kutsutaa pääargumetiksi jota merkitää Arg (z) Yleisesti kompleksiluvu z = x + iy vaihekulma o siis θ = Arg (z) + kπ, k Z Saattaa vaikuttaa yhdetekevältä, valitaako luvu z = x+iy vaihekulmaksi se pääargumetti, vai joki π-moikerta. Näi ei kuitekaa ole, sillä o olemassa fuktioita (esimerkiksi kompleksie logaritmifuktio), joide arvo riippuu käytety vaihekulma moikerrasta k. 7

8 Polaariesitys Käytettyä kompleksiluvu esitystä z = x + iy = (x, y) kutsutaa karteesiseksi tai suorakulmaiseksi esitykseksi (reaalilukupari esitys karteesisessa koordiaatistossa). Itseisarvo ja vaihekulma avulla voidaa kompleksiluku z esittää apakoordiaatteia (polaariesitys). Napakoordiaattiesitystä käyttäe voidaa kaikki kompleksiluvut esittää ja sijoittaa kompleksitasoo yksikäsitteisesti. z = re iθ (4) missä r = z ja θ = arg (z). Toisiaa, esimerkiksi sähköopissa, käytetää esitystapaa z = r θ missä r ja θ o määritelty kute edellä. Merkitä luetaa r kulmassa θ. Merkitä θ vastaa ekspoettifuktiota e iθ ja site r θ = re iθ Tällä kurssilla käytämme, kute matemaattisissa asiayhteyksissä yleesäki, apakoordiaattiesityksestä vai ekspoettimuotoa. Kompleksiluvu esitysmuodo muutamie Koska kompleksiluvulle z o käytettävissä kaksi ekvivalettia (vaihekulma moikäsitteisyyttä lukuuottamatta) esitysmuotoa z = x + iy ja z = re iθ o ilmeistä, että toisiaa joudutaa siirtymää esitysmuodosta toisee. Esimerkiksi kompleksilukuje laskusäätöje yhteydessä havaitaa, että tietyt laskutoimitukset (kute yhteelasku) o helpoita suorittaa karteesise esitykse z = x + iy avulla. Vastaavasti o laskutoimituksia (mm. kertolasku), jotka ovat huomattavasti yksikertaisempia polaariesitykse z = re iθ kautta. Kompleksiluvu z muuos polaariesityksestä suorakulmaisee suoritetaa käyttäe apua Euleri kaavaa 3 e iθ = cos θ + i si θ 3 Euleri kaava todistamie edellyttää kompleksise ekspoettifuktio ja kompleksise sarjateoria käyttöä. Koska äitä ei käsitellä perusteellisesti tässä esityksessä, jätetää todistus suorittamatta. Todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [4]. 8

9 josta välittömästi seuraa, että z = re iθ = r (cos θ + i si θ) Suorakulmaise esitykse z = x + iy avulla voidaa kirjoittaa yhtälö x + iy = r (cos θ + i si θ) (5) Ku huomioidaa kompleksilukuje yhtäsuuruude määritelmä seuraa yhtälöstä (5), että z 1 = z Re (z 1 ) = Re (z ) Im (z 1 ) = Im (z ) { x = r cos θ y = r si θ Muuos suorakulmaisesta esityksestä apakoordiaatteihi tehdää itseisarvo ja vaihekulma avulla, kute luvuissa ja. Kompleksilukuje erilaiset esitysmuodot ovat vai sama koliko kaksi puolta. Esitysmuoto ei vaikuta itse luvu arvoo mitekää, pysyyhä marka kolikkoki samaa, vaikka sitä katsotaaki vuorotelle kruua- ja klaavapuolelta. Korostetaa vielä, että e iθ = 1, sillä e iθ = cos θ + i si θ,josta itseisarvot e iθ = cos θ + i si θ = cos θ + si θ = 1 = 1 Kompleksilukuje summa ja tulo Kompleksilukuje z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy yhteelasku määritellää seuraavasti: ( ) z 1 + z = Re (z 1 ) + Re (z ) + i Im (z 1 ) + Im (z ) = x 1 + x + i(y 1 + y ) Toisi saoe reaali- ja imagiaariosat lasketaa eriksee yhtee. Yhteelasku muistuttaa läheisesti vektorie yhteelaskua, jossa summa muodostetaa laskemalla vektorie kompoetit yhtee. Selvästi tämä yhteys äkyy ku esitämme yhteelasku graafisesti. 9

10 Im(z) Im(z) y 1 x 1 z = x + iy y x z = x + iy Re(z) y +y 1 z 1 z z +z 1 x +x 1 Re(z) Kuva 5: Kompleksilukuje yhteelasku Lukuje 5 ja + i7 summa: 5 + ( + i7) = (5 + ) + i7 = 7 + i7 Lukuje 4 i3 ja 8 + i summa: (4 i3) + (8 + i) = (4 + 8) + i( 3 + ) = 1 i Polaarimuodossa olevat kompleksiluvut muuetaa suorakulmaisee esityksee ee yhteelasku suorittamista. Tarvittaessa summa muuetaa takaisi polaarimuotoo. Lukuje e i 3 4 π ja 3e i π summa. Muuetaa luvut esi suorakulmaisee esityksee e i 3 4 π = (cos 3 4 π + i si 3 1 π) = ( + i 1 ) 4 = + i = + i 3e i π = 3(cos π + i si π ) = 3(0 i) = i3 10

11 Nyt yhteelasku o helppo suorittaa e i 3 4 π + 3e i π = + i i3 = + i( 3) Mikäli vaihekulma arvot ovat sellaiset, että suorakulmaise esitykse siija kosiifuktiot eivät sievee, voidaa yhteelasku suorittaa käyttäe apua trigoometrisia summa- ja tulokaavoja. Kompleksilukuje kertolasku suoritetaa kute kahde polyomi kertolasku: z 1 z = (x 1 + iy 1 )(x + iy ) = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x + i y 1 y ku muistetaa imagiaariyksikö määritelmä (1), joka mukaa i = 1, sieveee tulo muotoo z 1 z = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x y 1 y = x 1 x y 1 y + ix 1 y + iy 1 x = x 1 x y 1 y + i(x 1 y + y 1 x ) Käyttämällä polaariesitystä z 1 = r 1 e iθ 1 ja z = r e iθ, o kertolasku suorittamie huomattavasti yksikertaisempaa. Käyttämällä ekspoettifuktio laskusäätöjä 4, saadaa z 1 z = r 1 e iθ 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1+θ ) (6) Yhtälöstä (6) havaitaa, että kompleksilukuje tulo z 1 z itseisarvo o itseisarvoje tulo r 1 r ja vaihekulma o vaihekulmie summa θ 1 + θ. Yleisemmi: z 1 z = z 1 z arg (z 1 z ) = arg (z 1 ) + arg (z ) 4 Todistamatta oletamme, että kompleksiselle ekspoettifuktiolle pätevät samat omiaisuudet kui reaaliselleki: e iθ 1 e iθ = (e i ) θ 1 (e i ) θ = (e i ) (θ 1+θ ) = e i(θ 1+θ ) (e iθ1 ) = ((e i ) θ1 ) = ((e i ) θ1 = e iθ1 Nämä omiaisuudet seuraavat suoraa kompleksise ekspoettifuktio määrittelystä e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i si y) Omiaisuuksie todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [] 11

12 Yleesä (lukuuottamatta aiva yksikertaisimpia tapauksia) kertolaskut o helpoita tehdä polaarimuodo kautta. Mikäli toie tulo tekijöistä o reaalie, o kertolasku helppo. Olkoo z 1 R ja z = x + iy = re iθ C. Suorakulmaise esitykse avulla ja polaariesitykse kautta z 1 z = z 1 x + iz 1 y z }{{} 1 z = z 1 re i(θ+arg(z 1)) R z 1 re i(θ+(k+1)π) (z 1 < 0) = 0 (z 1 = 0) z 1 re i(θ+kπ) (z 1 > 0) missä k R. Mikäli käytetää vai z : pääargumettia, ii z 1 re i(θ+π) (z 1 < 0) z 1 z = 0 (z 1 = 0) z 1 re i(θ) (z 1 > 0) Liittoluvut Kompleksiluvu z liittoluku (kompleksikojugaatti) z määritellää seuraavasti: z = Re (z) i Im (z) (7) Jos z = x + iy = re iθ, ii määritelmästä (7) seuraa, että z = x iy = re i( θ) Liittoluvulle käytetää myös merkitää z. Tässä esityksessä pitäydymme ylleviivatussa merkiässä z. Liittoluvu omiaisuuksia z = (Re (z)) + ( Im (z)) = (Re (z)) + (Im (z)) = z z + z = Re (z) + i Im (z) + Re (z) i Im (z) = Re (z) zz = z e iarg(z) z e i( arg(z)) = z e (iarg(z) iarg(z)) = z e 0 = z z 1 + z = x 1 iy 1 + x iy = x 1 + x i(y 1 + y ) = z 1 + z 1

13 Kompleksilukuje erotus Väheyslasku määritellää yhteelasku ja reaaliluvulla kertomise avulla. Olkoo kompleksiluvut z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy. Tällöi iide erotus Luvu ja se liittoluvu erotus: z 1 z = z 1 + ( z ) = x 1 + iy 1 + ( x iy ) = x 1 x + i(y 1 y ) z z = Re (z) + Im (z) (Re (z) Im (z)) = Im (z) Kompleksiluvu kääteisluku Kompleksiluvu z = x + iy = re iθ kääteisluku z 1 määritellää: z z 1 = 1 (8) Voidaa osoittaa, että kääteisluku o yksikäsitteie. O helppo osoittaa, että luvu z = re iθ kääteisluku o 1 r e iθ, sillä kute määritelmä (8) edellyttää. Kompleksilukuje osamäärä re iθ 1 r e iθ = r 1 e iθ e iθ }{{} r =1 = e iθ iθ = e 0 = 1 Jakolasku määritellää kertolasku ja kääteisluvu avulla: z 1 z = z 1 z 1 (9) Jakolasku määrittelyä hyväksikäyttäe voidaa kääteisluku ataa muodossa z 1 = 1 z 13

14 joka o määritelmä (9), ku z 1 = 1 ja z = z. Jakolasku suorittamie o helpoita polaarimuodossa, olkoo z 1 = r 1 e iθ 1 ja z = r e iθ. z 1 = z 1 z 1 z = r 1 e iθ 1 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1 θ ) Havaitaa siis, että kompleksilukuja jaettaessa ovat osamäärä itseisarvo ja vaihekulma (tulo kassa yhteevästi): z 1 z = z 1 z ( ) z1 arg = arg (z 1 ) arg (z ) z Jakolasku voi tieteki suorittaa karteesise esitykse kautta. Tällöi kaattaa lavetaa lauseketta jakaja liittoluvulla, jotta jakaja imagiaariset osat saadaa poistettua, ja jakolasku muuttuu kertolaskuksi. Olkoo z 1 = x 1 + iy 1 ja z 1 = x + iy Luvu ja se liittoluvu osamäärä: Omiaisuuksia z ) z 1 = z 1z = z 1z z z z z = 1 z z }{{} 1 z R z z = reiθ re iθ = eiθ e iθ = e iθ Todistamatta kootaa muutamia omiaisuuksia, joista o hyötyä komplek- 14

15 silausekkeide käsittelyssä. i = 1 ja i = i i = 1 i = 1 i e ±iπ = 1 e i π = i ja e i π = i 1 ( e iθ + e iθ) = cos θ Kompleksiluvu kokoaislukupotessi Kompleksiluvu kokoaislukupotessi z, Z voidaa laskea tulo määritelmää ojautue sekä suorakulmaisessa että polaarisessa esityksessä. z = (x + iy) = ( re iθ) Suorakulmaise esitykse kautta laskemie o suoraviivaista kertolaskua, joka o työlästä ku o suuri. Polaarie esitys o yksikertaisempi: ( re iθ ) = r ( e iθ) = r ( e iθ) (10) Yhtälöstä 10 havaitaa, että korotettaessa kompleksilukua kokoaislukupotessii, z: itseisarvo korotetaa potesii ja vaihekulma -kertaistuu. Lasketaa ( 39 i 13 ) i = ( ) ( ) 39 = = 4 = 13 ja ( ) ( ( )) arg i = arg i1 = 3 π + kπ 15

16 jote ( ) ( ) 4 i = 13e i( 3 π+kπ) = 13 e i4( 3 π+kπ) = 169e i( 8 3 π+k8π) = 169e i( 3 π+k8π) Euleri kaava avulla saadaa (10) muotoo r ( e iθ) = r (cos θ + i si θ) Mikäli r = z = 1, päädytää De Moivre kaavaa (cos θ + i si θ) = (cos θ + i si θ) Edellie esimerkki uudestaa, yt karteesisessa muodossa De Moivre kaava avulla : ( ( i )4 = (cos( 3 )) 4 π + kπ) + i si(3 π + kπ) = ( ( 13) 4 cos( ) 4 3 π) + i si( 3 π) ( = 169 cos(4 ) π) + i si(4 3 3 π) = 169 (cos( 83 ) π) + i si(83 π) = 169 (cos( 3 ) π + π) + i si(3 π + π) ( = 169 (cos( 3 ) π) + i si(3 π) = i 3 ) 16

17 Kompleksiluvu juuret Kompleksiluvu : s juuri z 1 lasketaa seuraavasti w k = z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) missä θ = Arg(z), Z ja o vakio, k Z ja 0 k < eli k = 0, 1,,,, 1. Täte juurella z 1 o arvoa. Todistetaa aettu kaava. Etsittäessä kompleksiluvu z :ttä juurta z 1, Z pyritää ratkaisemaa yhtälö w = z 1 w = z (11) Olkoo z = re i(θ+mπ) ja w = ue iφ, missä θ = Arg(z) ja m Z. Tällöi yhtälö (11) saadaa muotoo w = z sijoitetaa lukuje määrittelyt u e iφ = re i(θ+mπ) De Moivre u cos φ + iu si φ = r cos (θ + mπ) + ir si (θ + mπ) Kompleksilukuje yhtäsuuruude määritelmä perusteella saadaa yhtälöpari: { u cos φ = r cos (θ + mπ) u si φ = r si (θ + mπ) Yhtälöpari tulee olla idettisesti tosi, jote päädytää yhtälöryhmää u = r cos φ = cos (θ + mπ) si φ = si (θ + mπ) Näi olle etsitty :s juuri o { u = r φ = θ + kπ, k Z { u = r φ = θ+kπ, k Z z 1 = w = ue iφ = re i θ+kπ, k Z (1) ja polaarimuodossa z 1 = r ( cos θ + kπ + i si θ + kπ ), k Z (13) Yhtälöissä (1) ja (13) o vakio (etsittävä juure kertaluku) ja k saa kaikki kokoaislukuarvot. Site juurella z 1 olisi äärettömä mota arvoa, mikä 17

18 vaikuttaa omituiselta. Tutkitaa tilaetta hiema lisää. Juure vaihekulma o yhtälöide (1) ja (13) mukaisesti θ + kπ (14) missä o kokoaislukuvakio ja k Z. Tulkitaa lauseke (14) kokoaisluvu k fuktioksi f(k) f(k) = θ + kπ = θ + kπ Olkoo p Z. Tutkitaa fuktio arvoa f(k + p) θ + (k + p)π f(k + p) = = θ + kπ + pπ = θ + kπ + pπ = f(k) + pπ (15) Tuloksesta (15) voidaa päätellä seuraavaa. Olkoo 0 u <. Mikäli 0 k <, f(k) = f(u) = θ + uπ (0 k < ) (16) Jos taas k o rajoittamato, ii se voidaa ataa muodossa u + p ja tulokse (15) mukaisesti: f(k) = f(u + p) = f(u) + pπ (k < 0 k ) (17) Palataa yt juurelle saatuu yhtälöö (13): z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) (18) Sijoittamalla juure lausekkeesee (18) vaihekulma k: fuktioa f(k) saadaa z 1 = r (cos f(k) + i si f(k)) (19) Sijoitetaa vielä f(k) muodossa (17) z 1 = r (cos(f(u) + π) + i si(f(u) + π)) (0 u < ) (0) Kosii ja sii ovat π-jaksollisia fuktioita, jote tulos (0) sieveee muotoo z 1 = r (cos f(u) + i si f(u)) (0 u < ) 18

19 Näi voidaa ataa lopullie tulos kompleksiluvu juurelle: w k = z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) (1) missä θ = Arg(z), Z ja o vakio, k Z ja 0 k < eli k = 0, 1,,,, 1. Saadu tulokse mukaa kompleksiluvu juurella z 1 o arvoa (k = 0, 1,, 1). Kaikkie juurte itseisarvo o sama r, mutta vaihekulma muuttuu k: mukaisesti. k: arvo rajoittamie välille [0, 1] tuottaa juurelle kpl erisuuria arvoja. Mikäli k:ta ei rajoiteta, toistuvat jo rajoitetulla k:lla saadut juure vaihekulmat. Lasketaa luvu (1 + i) eljäet juuret: (1 + i) i = ja Arg(z) = π 4, jote ( (1 + i) = cos = 8 ( cos ( π 16 + kπ π + kπ 4 4 ) π 4 + i si + kπ ) 4 ( π + i si 16 + kπ )) Lasketaa juure vaihekulma φ k = π + kπ 16 k = 0, 1,, 3. arvot. = 4, jote k = 0 k = 1 k = k = 3 φ 0 = π π φ 1 = π π φ = π 16 + π φ 3 = π π = π 16 = 9 16 π = π = 5 16 π jos k = 4, ii φ 4 = π + 4 π = 33π = π + π ja jo kerra esiityeet arvot alkavat toistua π-moikerroi k: kasvaessa. Vastaavasti käy, mikäli k o egatiivie. Siis erilliset juure arvot 19

20 w k : w 0 = 8 ( cos π 16 + i si π ) 16 w 1 = 8 ( cos 9 16 π + i si 9 ) 16 π w = 8 ( cos 17 ) 17 π + i si π w 3 = 8 ( cos 5 ) 5 π + i si π Toisiaa saatuja juuria w k o mahdollista sievetää edellee trigoometriste summa- ja tulokaavoje avulla. Viitteet [1] J. D. Barrow (suom. R. Vilkko), Lukuje taivas, s.-5, Art House Oy 1999 [] S. Pohjolaie, Kompleksimuuttuja fuktiot, luetomoiste s.1-6, TTKK 000, Luku.pdf ( ) [3] J. W. Nilsso, S. A. Riedel, Electric Circuits 5th ed., Appedix B s , Addiso-Wesley 1996 [4] S. I. Grossma, Multivariable Calculus, Liear Algebra, ad Differetial Equatios, 3rd ed. Appedix 3 s.a-14-a-0, Sauders College Publishig

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b, Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT Sisältö Päivitetty 16. syyskuuta 2004 Johdanto ii 1. Kompleksiluvun määritelmä ja perusominaisuudet 1 1.1. Kompleksiluvun

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto

Liike-elämän matematiikka Opettajan aineisto Liike-elämä matematiikka Opettaja aieisto Pirjo Saarae, Eliisa Kolttola, Jarmo Pösö ISBN 978-951-37-5741-0 Päivitetty 13.8.2014 Tehtävie ratkaisut - Luku 1 Verotus - Luku 2 Katelaskut ja talousfuktiot

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja.

Tehtävä 1. Etsi Neperin luvulle e vaihtoehtoisia esitysmuotoja joko suppenevia lukujonoja tai päättymättömiä summia eli sarjamuotoja. POHDIN rojekti Jatkuva korko ja e Eksoettifuktioille voidaa johtaa omiaisuus f ( x) f (0) f( x). Riittää ku oletetaa, että f (0) o olemassa. Nyt eksoettifuktioide f( x) 2 x ja gx ( ) 3 x välistä yritää

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson 3 Esipuhe Matematiikka tieteiden kuningatar ja palvelija on lukioihin ja ammattikorkeakouluihin suunnattuun koulukohtaiseen valinnaiseen syventävään kurssiin perustuva kirja. Kirjan tarkoituksena on kerrata

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Vektorit. Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen...

Vektorit. Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen... 12 Vektorit Vektorin luominen... 192 Vektorin tuominen näyttöön... 195 Vektorin koon ja alkioiden muokkaaminen... 195 Vektorin poistaminen... 196 TI -86 M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 F5 192 Luku 12: Vektorit

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802 Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14).

Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Auiteettiperiaate Huom 4 Jaksolliste suorituste periaate soveltuu luoollisesti laia- ja luottolaskelmii. Lähtökohtaisea yhtälöä o yhtälö (14). Auiteetti Nimellisarvoltaa K 0 suuruise laia maksuerä k, joka

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen

Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen Kompleksianalyysi Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2005 26. huhtikuuta 2006 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja kompleksianalyysin laudatur-kurssille. Toivoakseni kirjoitus

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231

Talousmatematiikka (3 op) Sisältö. Tero Vedenjuoksu. Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedejuoksu Oulu yliopisto Matemaattiste tieteide laitos 2010 Sisältö Yhteystiedot: Tero Vedejuoksu tero.vedejuoksu@oulu.fi Työhuoe M231 Kurssi kotisivu http://cc.oulu.fi/~tvedeju/talousmatematiikka/

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.

λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa. S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) 2012/MAT814 ISSN 1797-3457 (vekkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2408-2 TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) Vaiheistettu heijastipita valemaalia Joha Ste, Päivi Koivisto, Ato Hujae, Tommi Dufva, VTT,

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Kaavoja: Aalto-yliopisto. Hyperboliset ja trigonometriset funktiot: coshz = ez +e z. , sinhz = ez e z. 1. (a) Esitä polaarimuodossa kompleksiluku

Kaavoja: Aalto-yliopisto. Hyperboliset ja trigonometriset funktiot: coshz = ez +e z. , sinhz = ez e z. 1. (a) Esitä polaarimuodossa kompleksiluku Aalto-yliopisto Rasila/Murtola Mat-1.130 peruskurssi S3 Syksy 011 1. välikoe Ti 11.10.011 klo 16.00-19.00 Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksessa sallittua laskinta mutta ei taulukkokirjaa. 1. (a)

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot