Kompleksiluvut. Johdanto

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kompleksiluvut. Johdanto"

Transkriptio

1 Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet riittäviä yhteäise teoria raketamiseksi. Näi kävi mm. pythagoralaiselle koulukualle. 600-luvulla ekr.[1] Pythagoralaiset olivat Krotoissa (alue ykyise Italia eteläraikolla, jossa tuolloi oli kreikkalaisia siirtokutia) vaikuttava puoliuskoollie yhteisö, joka uskoi, että umerot kuvaavat maailmakaikkeude todellise merkitykse. He olivat vakuutueita, että maailma voitii täsmällisesti esittää lukuje avulla. Tämä lisäksi he uskoivat, että maailmassa o olemassa vai ratioaalilukuja (lukuja, jotka voidaa esittää kahde kokoaisluvu osamäärää). Niipä veljeskualle oliki kohtuullie järkytys, ku havaittii, että o olemassa myös sellaisia lukuja, jotka eivät kuulu ratioaalilukuje joukkoo. Tällaie luku sytyy esimerkiksi muodostamalla lävistäjä eliölle, joka sivu pituus o yksi. Lävistäjä pituusha o Pythagoraa imeä katava teoreema mukaisesti, joka tuetusti o irratioaaliluku. Tarkastellaa käytettävä lukujouko vaikutusta yhtälö ratkaisuje lukumäärää. Yhtälöllä x + 5 = ei ole ratkaisuja, mikäli x N. Jos x Z, ii yhtälöllä o ratkaisu x = 3. Reaaliluvuista kompleksilukuihi Lukujoukkoje riittämättömyyde ogelma kohdattii myös eliöjuurifuktio kohdalla. Positiiviste reaalilukuje eliöjuuri osattii laskea, mutta egatiiviste lukuje osalta tilae oli tutemato. Ogelma olisi helppo kiertää toteamalla, ettei egatiivisilla luvuilla ole eliöjuurta, ja site lauseke x ei olisi määritelty, ku x < 0. Tämäkaltaie ogelma kiertämie muodostaisi varsi suure epäkohda eikä äyttäisi kovikaa kauiilta osaa matemaattista teoriaa. Tutkitaa tilaetta lähemmi yhtälö x = a avulla. 1. Mikäli a 0, o ratkaisu selvä, x = ± a.. Jos a < 0, ei yhtälöllä ole ratkaisua joukossa R. Tapaus. herättää kysymykse siitä, voisiko yhtälöllä olla ratkaisu jossai joukkoa R laajemmassa lukujoukossa. 1

2 Olkoo s 0 ja s R. Tällöi s < 0 ja eliöjuure laskusäätöje mukaisesti 1 s = 1 s Tämä osoittaa, että kaikkie egatiiviste lukuje s eliöjuuret voidaa ilmoittaa tuloa, joka tekijöiä ovat s: vastaluvu eliöjuuri s sekä 1, joista 1 o toistaiseksi määrittelemätö. Mikäli 1 voidaa määritellä hyvi, saadaa samalla määriteltyä kaikkie egatiiviste reaalilukuje eliöjuuret. Tällaie hyvä määritelmä o olemassa. Määritellää imagiaariyksikkö: i = 1 i = 1 (1) Imagiaariyksiko avulla voidaa muodostaa puhtaasti imagiaarisia lukuja kertomalla imagiaariyksikköä reaaliluvulla. Imagiaariyksikköä merkitää myös kirjaimella j. Tämä o yleie käytätö esimerkiksi sähköopissa. i3, i 3 4 ja i 5 ovat puhtaita imagiaarilukuja. Edellä maiittu reaalilukuje jouko laajetamie tapahtuu yhdistämällä siihe imagiaarilukuje joukko I. Imagiaariluvut (huomaa, että yt emme käsittele pelkästää puhtaita imagiaarilukuja) ovat muotoa z = x + iy olevia lukuja, missä i = 1 (siis imagiaariyksikkö), x R sekä y R y 0. i lg 5, 6 i 3 ja 5 + i cos 3 ovat imagiaarilukuja. 1 ja 8 7 e3 eivät ole imagiaarilukuja, vaa reaalilukuja. 1 Ku oletetaa, että egatiiviste lukuje eliöjuurille pätevät samat laskusääöt kui positiiviste lukuje eliöjuurille. Määritelmä o hyvä, mikäli se o yhteesopiva muu teoria kassa ja tuottaa laskeallisesti järkeviä ja käyttökelpoisia tuloksia.

3 Yhdistämällä reaalilukuje ja imagiaarilukuje joukot sytyy kompleksilukuje joukko Kompleksiluvut ovat muotoa C = R I z = x + iy olevia lukuja, missä x R sekä y R. Huomaa, että joukoissa R ja C sallitaa tilae y = 0, mutta y 0 aia joukossa I. Täsmällisesti määriteltyä edellä maiitut lukujoukot ovat: I = {z z = x + iy, x R y R y 0} C = {z z = x + iy, x R y R} Toisiaa kompleksiluku saatetaa ilmoittaa järjestettyä paria (x, y): z = (x, y) = x + iy, 1 + i5 ja i si π ovat kompleksilukuja. Mikäli luvut ilmoitetaa 3 7 järjestettyiä pareia, e ovat (, 0), ( 1, 5) ja (0, si π) 3 7 Reaali- ja imagiaariosa Kompleksiluvussa z = x + iy luku x o z: reaaliosa Re (z) ja y o z: imagiaariosa Im (z). Siis Re (z) = x ja Im (z) = y Reaali- ja imagiaariosa ovat reaalilukuja. Kompleksiluvut muodostavat site reaalilukuparie jouko, jolle o omat laskusäätösä. Kompleksiluvu z = 3 i reaaliosa Re (z) = 3 ja imagiaariosa Im (z) =. 3

4 Kompleksilukuje yhtäsuuruus Olkoo kompleksiluvut z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy. Kompleksiluvut ovat yhtäsuuret, jos iide reaaliosat ovat keskeää yhtäsuuret ja imagiaariosat ovat keskeää yhtäsuuret, siis: z 1 = z Re (z 1 ) = Re (z ) Im (z 1 ) = Im (z ) x 1 = x y 1 = y Kompleksilukuje esittämie graafisesti Kompleksilukuje graafie esittämie saattaa tutua moimutkaiselta, koska reaalilukuje joukko voidaa esittää yksiulotteisella lukusuoralla Kuva 1: Lukusuora Tarkastellaa kompleksilukua järjestettyä paria z = (x, y). Tästä parista voimme esittää reaaliosa x lukusuoralla samalla tavoi kui tavallise reaaliluvuki. Imagiaariosa y o myös reaalie, jote seki esittämie lukusuoralla o mahdollista. Yksikäsitteise graafise esitykse muodostamiseksi riittää, ku pystymme esittämää reaalilukupari (x, y) graafisesti. Tämä oistuu tavallise karteesise koordiaatisto avulla. Kompleksiluvut esitetää koordiaatistossa asettamalla reaaliosa x-akselille ja imagiaariosa y-akselille. Tällaisessa esityksessä x-akseli o reaaliakseli ja y-akseli o imagiaariakseli. Käytettyä koordiaatistoa kutsutaa kompleksitasoksi. Toisiaa termiä kompleksitaso käytetää ku tarkoitetaa kompleksilukuje joukkoa C. Itseisarvo ja vaihekulma Kompleksiluvu z = x + iy itseisarvo z (moduli) lasketaa kute kaksikompoettise vektori pituus. Se ilmoittaa kompleksitasoo asetetu pis- 4

5 Im(z) y x z = x + iy Im(z) y z = x + iy x Re(z) x Re(z) Kuva : Kompleksitaso Im(z) -1 + i x - + i x x 1 + i x + i - - i x -1 - i x - i x x 1 - i Re(z) Kuva 3: Muutamia kompleksitaso pisteitä tee etäisyyde origosta. z = Re (z) + Im (z) = x + y Olkoo kompleksiluku z = x + iy 0 ja v tämä kompleksiluvu paikkavektori kompleksitasossa. Kompleksiluvu vaihekulma θ = arg (z) (argumetti) o kompleksitaso reaaliakseli positiivise osa ja paikkavektori v välie kulma. Suorakulmaise kolmio geometria perusteella vaihekulma toteuttaa yhtälö Im (z) ta θ = Re (z) = y () x Arkustageti avulla voidaa selvittää joki kulma θ 0, joka toteuttaa yhtälö (). Tämä jälkee tarkastellaa reaali- ja imagiaariosie merki perusteella missä kompleksitaso eljäeksessä luku z sijaitsee. Mikäli saatu kulma θ 0 o samassa eljäeksessä kui luku z, voidaa se valita argumetiksi. Kulma θ 0 lisäksi kaikki se π-moikerrat toteuttavat 5

6 yhtälö ja ovat samassa koordiaatisto eljäeksessä kui z. Site vaihekulma arg (z) = θ 0 + π, missä Z. Jos eljäekset eivät täsmää, tulee saatuu arvoo θ 0 lisätä tai vähetää π tilateesta riippue. Tämä jälkee voidaa korjattu kulma valita vaihekulmaksi π-moikerroi. Siis arg (z) = θ 0 ± π + kπ, missä kaksoismerkistä ± valitaa vai toie operaatio. Im(z) y z q x z = x + iy Re(z) Kuva 4: Itseisarvo ja argumetti kompleksitasossa Lasketaa luvu z = i 1 itseisarvo ja vaihekulma z = + ( 1) = = 16 = ta(arg (z)) = = 3 = 3 Saadu tagettiarvo perusteella voidaa etsiä kulma θ θ = arcta ( 3) = π 3 Reaali- ja imagiaariosa etumerkeistä havaitaa, että z o kompleksitaso eljäessä eljäeksessä, siis saatu kulma θ kelpaa ratkaisuksi sellaiseaa. Vaihekulmaa ei ole määritelty luvulle z = 0. Useimmite tämä ei tuota ogelmia. Luvulla z = 0 voidaa ajatella oleva kaikki mahdolliset vaihekulma arvot (äärettömä mota) tai ei vaihekulmaa laikaa. 6

7 Mikäli z o puhtaasti imagiaarie, x = 0 ja osamäärä y ei ole määritelty. x Tällöi vaihekulma θ määrittämie arkustageti avulla ei oistu. O kuiteki ilmeistä, että puhtaasti imagiaarise luvu ic (c R) vaihekulma o joko π tai π, π-moikerrat huomioide. Täsmällisemmi: arg (ic) = sg (c) π + kπ, k Z (3) missä sg (c) o sigum-fuktio, joka määritellää 1 (c > 0) sg (c) = 0 (c = 0) 1 (c < 0) Toisi saoe yhtälössä (3) π : etumerkki o sama kui c: etumerkki. Huomaa, että yhtälö (3) mukaa argumetti o moikäsitteie π-moikerroi. Sama pätee laskettaessa muideki kui puhtaasti imagiaariste lukuje argumetteja arkustageti avulla. Suorakulmaise esitykse perusteella ei siis voida yksikäsitteisesti määrittää kompleksiluvu vaihekulmaa, vaa πmoikerrat ovat läsä. Site suorakulmaie esitys z = x + iy vastaaki äärettämä motaa eri kompleksilukua, joide vaihekulmat ovat toistesa π-moikertoja. Mikäli vaihekulma θ arvo valitaa site, että π < θ π ii kulmaa θ kutsutaa pääargumetiksi jota merkitää Arg (z) Yleisesti kompleksiluvu z = x + iy vaihekulma o siis θ = Arg (z) + kπ, k Z Saattaa vaikuttaa yhdetekevältä, valitaako luvu z = x+iy vaihekulmaksi se pääargumetti, vai joki π-moikerta. Näi ei kuitekaa ole, sillä o olemassa fuktioita (esimerkiksi kompleksie logaritmifuktio), joide arvo riippuu käytety vaihekulma moikerrasta k. 7

8 Polaariesitys Käytettyä kompleksiluvu esitystä z = x + iy = (x, y) kutsutaa karteesiseksi tai suorakulmaiseksi esitykseksi (reaalilukupari esitys karteesisessa koordiaatistossa). Itseisarvo ja vaihekulma avulla voidaa kompleksiluku z esittää apakoordiaatteia (polaariesitys). Napakoordiaattiesitystä käyttäe voidaa kaikki kompleksiluvut esittää ja sijoittaa kompleksitasoo yksikäsitteisesti. z = re iθ (4) missä r = z ja θ = arg (z). Toisiaa, esimerkiksi sähköopissa, käytetää esitystapaa z = r θ missä r ja θ o määritelty kute edellä. Merkitä luetaa r kulmassa θ. Merkitä θ vastaa ekspoettifuktiota e iθ ja site r θ = re iθ Tällä kurssilla käytämme, kute matemaattisissa asiayhteyksissä yleesäki, apakoordiaattiesityksestä vai ekspoettimuotoa. Kompleksiluvu esitysmuodo muutamie Koska kompleksiluvulle z o käytettävissä kaksi ekvivalettia (vaihekulma moikäsitteisyyttä lukuuottamatta) esitysmuotoa z = x + iy ja z = re iθ o ilmeistä, että toisiaa joudutaa siirtymää esitysmuodosta toisee. Esimerkiksi kompleksilukuje laskusäätöje yhteydessä havaitaa, että tietyt laskutoimitukset (kute yhteelasku) o helpoita suorittaa karteesise esitykse z = x + iy avulla. Vastaavasti o laskutoimituksia (mm. kertolasku), jotka ovat huomattavasti yksikertaisempia polaariesitykse z = re iθ kautta. Kompleksiluvu z muuos polaariesityksestä suorakulmaisee suoritetaa käyttäe apua Euleri kaavaa 3 e iθ = cos θ + i si θ 3 Euleri kaava todistamie edellyttää kompleksise ekspoettifuktio ja kompleksise sarjateoria käyttöä. Koska äitä ei käsitellä perusteellisesti tässä esityksessä, jätetää todistus suorittamatta. Todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [4]. 8

9 josta välittömästi seuraa, että z = re iθ = r (cos θ + i si θ) Suorakulmaise esitykse z = x + iy avulla voidaa kirjoittaa yhtälö x + iy = r (cos θ + i si θ) (5) Ku huomioidaa kompleksilukuje yhtäsuuruude määritelmä seuraa yhtälöstä (5), että z 1 = z Re (z 1 ) = Re (z ) Im (z 1 ) = Im (z ) { x = r cos θ y = r si θ Muuos suorakulmaisesta esityksestä apakoordiaatteihi tehdää itseisarvo ja vaihekulma avulla, kute luvuissa ja. Kompleksilukuje erilaiset esitysmuodot ovat vai sama koliko kaksi puolta. Esitysmuoto ei vaikuta itse luvu arvoo mitekää, pysyyhä marka kolikkoki samaa, vaikka sitä katsotaaki vuorotelle kruua- ja klaavapuolelta. Korostetaa vielä, että e iθ = 1, sillä e iθ = cos θ + i si θ,josta itseisarvot e iθ = cos θ + i si θ = cos θ + si θ = 1 = 1 Kompleksilukuje summa ja tulo Kompleksilukuje z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy yhteelasku määritellää seuraavasti: ( ) z 1 + z = Re (z 1 ) + Re (z ) + i Im (z 1 ) + Im (z ) = x 1 + x + i(y 1 + y ) Toisi saoe reaali- ja imagiaariosat lasketaa eriksee yhtee. Yhteelasku muistuttaa läheisesti vektorie yhteelaskua, jossa summa muodostetaa laskemalla vektorie kompoetit yhtee. Selvästi tämä yhteys äkyy ku esitämme yhteelasku graafisesti. 9

10 Im(z) Im(z) y 1 x 1 z = x + iy y x z = x + iy Re(z) y +y 1 z 1 z z +z 1 x +x 1 Re(z) Kuva 5: Kompleksilukuje yhteelasku Lukuje 5 ja + i7 summa: 5 + ( + i7) = (5 + ) + i7 = 7 + i7 Lukuje 4 i3 ja 8 + i summa: (4 i3) + (8 + i) = (4 + 8) + i( 3 + ) = 1 i Polaarimuodossa olevat kompleksiluvut muuetaa suorakulmaisee esityksee ee yhteelasku suorittamista. Tarvittaessa summa muuetaa takaisi polaarimuotoo. Lukuje e i 3 4 π ja 3e i π summa. Muuetaa luvut esi suorakulmaisee esityksee e i 3 4 π = (cos 3 4 π + i si 3 1 π) = ( + i 1 ) 4 = + i = + i 3e i π = 3(cos π + i si π ) = 3(0 i) = i3 10

11 Nyt yhteelasku o helppo suorittaa e i 3 4 π + 3e i π = + i i3 = + i( 3) Mikäli vaihekulma arvot ovat sellaiset, että suorakulmaise esitykse siija kosiifuktiot eivät sievee, voidaa yhteelasku suorittaa käyttäe apua trigoometrisia summa- ja tulokaavoja. Kompleksilukuje kertolasku suoritetaa kute kahde polyomi kertolasku: z 1 z = (x 1 + iy 1 )(x + iy ) = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x + i y 1 y ku muistetaa imagiaariyksikö määritelmä (1), joka mukaa i = 1, sieveee tulo muotoo z 1 z = x 1 x + ix 1 y + iy 1 x y 1 y = x 1 x y 1 y + ix 1 y + iy 1 x = x 1 x y 1 y + i(x 1 y + y 1 x ) Käyttämällä polaariesitystä z 1 = r 1 e iθ 1 ja z = r e iθ, o kertolasku suorittamie huomattavasti yksikertaisempaa. Käyttämällä ekspoettifuktio laskusäätöjä 4, saadaa z 1 z = r 1 e iθ 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1+θ ) (6) Yhtälöstä (6) havaitaa, että kompleksilukuje tulo z 1 z itseisarvo o itseisarvoje tulo r 1 r ja vaihekulma o vaihekulmie summa θ 1 + θ. Yleisemmi: z 1 z = z 1 z arg (z 1 z ) = arg (z 1 ) + arg (z ) 4 Todistamatta oletamme, että kompleksiselle ekspoettifuktiolle pätevät samat omiaisuudet kui reaaliselleki: e iθ 1 e iθ = (e i ) θ 1 (e i ) θ = (e i ) (θ 1+θ ) = e i(θ 1+θ ) (e iθ1 ) = ((e i ) θ1 ) = ((e i ) θ1 = e iθ1 Nämä omiaisuudet seuraavat suoraa kompleksise ekspoettifuktio määrittelystä e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i si y) Omiaisuuksie todistus löytyy esimerkiksi lähteestä [] 11

12 Yleesä (lukuuottamatta aiva yksikertaisimpia tapauksia) kertolaskut o helpoita tehdä polaarimuodo kautta. Mikäli toie tulo tekijöistä o reaalie, o kertolasku helppo. Olkoo z 1 R ja z = x + iy = re iθ C. Suorakulmaise esitykse avulla ja polaariesitykse kautta z 1 z = z 1 x + iz 1 y z }{{} 1 z = z 1 re i(θ+arg(z 1)) R z 1 re i(θ+(k+1)π) (z 1 < 0) = 0 (z 1 = 0) z 1 re i(θ+kπ) (z 1 > 0) missä k R. Mikäli käytetää vai z : pääargumettia, ii z 1 re i(θ+π) (z 1 < 0) z 1 z = 0 (z 1 = 0) z 1 re i(θ) (z 1 > 0) Liittoluvut Kompleksiluvu z liittoluku (kompleksikojugaatti) z määritellää seuraavasti: z = Re (z) i Im (z) (7) Jos z = x + iy = re iθ, ii määritelmästä (7) seuraa, että z = x iy = re i( θ) Liittoluvulle käytetää myös merkitää z. Tässä esityksessä pitäydymme ylleviivatussa merkiässä z. Liittoluvu omiaisuuksia z = (Re (z)) + ( Im (z)) = (Re (z)) + (Im (z)) = z z + z = Re (z) + i Im (z) + Re (z) i Im (z) = Re (z) zz = z e iarg(z) z e i( arg(z)) = z e (iarg(z) iarg(z)) = z e 0 = z z 1 + z = x 1 iy 1 + x iy = x 1 + x i(y 1 + y ) = z 1 + z 1

13 Kompleksilukuje erotus Väheyslasku määritellää yhteelasku ja reaaliluvulla kertomise avulla. Olkoo kompleksiluvut z 1 = x 1 + iy 1 ja z = x + iy. Tällöi iide erotus Luvu ja se liittoluvu erotus: z 1 z = z 1 + ( z ) = x 1 + iy 1 + ( x iy ) = x 1 x + i(y 1 y ) z z = Re (z) + Im (z) (Re (z) Im (z)) = Im (z) Kompleksiluvu kääteisluku Kompleksiluvu z = x + iy = re iθ kääteisluku z 1 määritellää: z z 1 = 1 (8) Voidaa osoittaa, että kääteisluku o yksikäsitteie. O helppo osoittaa, että luvu z = re iθ kääteisluku o 1 r e iθ, sillä kute määritelmä (8) edellyttää. Kompleksilukuje osamäärä re iθ 1 r e iθ = r 1 e iθ e iθ }{{} r =1 = e iθ iθ = e 0 = 1 Jakolasku määritellää kertolasku ja kääteisluvu avulla: z 1 z = z 1 z 1 (9) Jakolasku määrittelyä hyväksikäyttäe voidaa kääteisluku ataa muodossa z 1 = 1 z 13

14 joka o määritelmä (9), ku z 1 = 1 ja z = z. Jakolasku suorittamie o helpoita polaarimuodossa, olkoo z 1 = r 1 e iθ 1 ja z = r e iθ. z 1 = z 1 z 1 z = r 1 e iθ 1 1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1 θ ) Havaitaa siis, että kompleksilukuja jaettaessa ovat osamäärä itseisarvo ja vaihekulma (tulo kassa yhteevästi): z 1 z = z 1 z ( ) z1 arg = arg (z 1 ) arg (z ) z Jakolasku voi tieteki suorittaa karteesise esitykse kautta. Tällöi kaattaa lavetaa lauseketta jakaja liittoluvulla, jotta jakaja imagiaariset osat saadaa poistettua, ja jakolasku muuttuu kertolaskuksi. Olkoo z 1 = x 1 + iy 1 ja z 1 = x + iy Luvu ja se liittoluvu osamäärä: Omiaisuuksia z ) z 1 = z 1z = z 1z z z z z = 1 z z }{{} 1 z R z z = reiθ re iθ = eiθ e iθ = e iθ Todistamatta kootaa muutamia omiaisuuksia, joista o hyötyä komplek- 14

15 silausekkeide käsittelyssä. i = 1 ja i = i i = 1 i = 1 i e ±iπ = 1 e i π = i ja e i π = i 1 ( e iθ + e iθ) = cos θ Kompleksiluvu kokoaislukupotessi Kompleksiluvu kokoaislukupotessi z, Z voidaa laskea tulo määritelmää ojautue sekä suorakulmaisessa että polaarisessa esityksessä. z = (x + iy) = ( re iθ) Suorakulmaise esitykse kautta laskemie o suoraviivaista kertolaskua, joka o työlästä ku o suuri. Polaarie esitys o yksikertaisempi: ( re iθ ) = r ( e iθ) = r ( e iθ) (10) Yhtälöstä 10 havaitaa, että korotettaessa kompleksilukua kokoaislukupotessii, z: itseisarvo korotetaa potesii ja vaihekulma -kertaistuu. Lasketaa ( 39 i 13 ) i = ( ) ( ) 39 = = 4 = 13 ja ( ) ( ( )) arg i = arg i1 = 3 π + kπ 15

16 jote ( ) ( ) 4 i = 13e i( 3 π+kπ) = 13 e i4( 3 π+kπ) = 169e i( 8 3 π+k8π) = 169e i( 3 π+k8π) Euleri kaava avulla saadaa (10) muotoo r ( e iθ) = r (cos θ + i si θ) Mikäli r = z = 1, päädytää De Moivre kaavaa (cos θ + i si θ) = (cos θ + i si θ) Edellie esimerkki uudestaa, yt karteesisessa muodossa De Moivre kaava avulla : ( ( i )4 = (cos( 3 )) 4 π + kπ) + i si(3 π + kπ) = ( ( 13) 4 cos( ) 4 3 π) + i si( 3 π) ( = 169 cos(4 ) π) + i si(4 3 3 π) = 169 (cos( 83 ) π) + i si(83 π) = 169 (cos( 3 ) π + π) + i si(3 π + π) ( = 169 (cos( 3 ) π) + i si(3 π) = i 3 ) 16

17 Kompleksiluvu juuret Kompleksiluvu : s juuri z 1 lasketaa seuraavasti w k = z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) missä θ = Arg(z), Z ja o vakio, k Z ja 0 k < eli k = 0, 1,,,, 1. Täte juurella z 1 o arvoa. Todistetaa aettu kaava. Etsittäessä kompleksiluvu z :ttä juurta z 1, Z pyritää ratkaisemaa yhtälö w = z 1 w = z (11) Olkoo z = re i(θ+mπ) ja w = ue iφ, missä θ = Arg(z) ja m Z. Tällöi yhtälö (11) saadaa muotoo w = z sijoitetaa lukuje määrittelyt u e iφ = re i(θ+mπ) De Moivre u cos φ + iu si φ = r cos (θ + mπ) + ir si (θ + mπ) Kompleksilukuje yhtäsuuruude määritelmä perusteella saadaa yhtälöpari: { u cos φ = r cos (θ + mπ) u si φ = r si (θ + mπ) Yhtälöpari tulee olla idettisesti tosi, jote päädytää yhtälöryhmää u = r cos φ = cos (θ + mπ) si φ = si (θ + mπ) Näi olle etsitty :s juuri o { u = r φ = θ + kπ, k Z { u = r φ = θ+kπ, k Z z 1 = w = ue iφ = re i θ+kπ, k Z (1) ja polaarimuodossa z 1 = r ( cos θ + kπ + i si θ + kπ ), k Z (13) Yhtälöissä (1) ja (13) o vakio (etsittävä juure kertaluku) ja k saa kaikki kokoaislukuarvot. Site juurella z 1 olisi äärettömä mota arvoa, mikä 17

18 vaikuttaa omituiselta. Tutkitaa tilaetta hiema lisää. Juure vaihekulma o yhtälöide (1) ja (13) mukaisesti θ + kπ (14) missä o kokoaislukuvakio ja k Z. Tulkitaa lauseke (14) kokoaisluvu k fuktioksi f(k) f(k) = θ + kπ = θ + kπ Olkoo p Z. Tutkitaa fuktio arvoa f(k + p) θ + (k + p)π f(k + p) = = θ + kπ + pπ = θ + kπ + pπ = f(k) + pπ (15) Tuloksesta (15) voidaa päätellä seuraavaa. Olkoo 0 u <. Mikäli 0 k <, f(k) = f(u) = θ + uπ (0 k < ) (16) Jos taas k o rajoittamato, ii se voidaa ataa muodossa u + p ja tulokse (15) mukaisesti: f(k) = f(u + p) = f(u) + pπ (k < 0 k ) (17) Palataa yt juurelle saatuu yhtälöö (13): z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) (18) Sijoittamalla juure lausekkeesee (18) vaihekulma k: fuktioa f(k) saadaa z 1 = r (cos f(k) + i si f(k)) (19) Sijoitetaa vielä f(k) muodossa (17) z 1 = r (cos(f(u) + π) + i si(f(u) + π)) (0 u < ) (0) Kosii ja sii ovat π-jaksollisia fuktioita, jote tulos (0) sieveee muotoo z 1 = r (cos f(u) + i si f(u)) (0 u < ) 18

19 Näi voidaa ataa lopullie tulos kompleksiluvu juurelle: w k = z ( 1 = r cos θ + kπ + i si θ + kπ ) (1) missä θ = Arg(z), Z ja o vakio, k Z ja 0 k < eli k = 0, 1,,,, 1. Saadu tulokse mukaa kompleksiluvu juurella z 1 o arvoa (k = 0, 1,, 1). Kaikkie juurte itseisarvo o sama r, mutta vaihekulma muuttuu k: mukaisesti. k: arvo rajoittamie välille [0, 1] tuottaa juurelle kpl erisuuria arvoja. Mikäli k:ta ei rajoiteta, toistuvat jo rajoitetulla k:lla saadut juure vaihekulmat. Lasketaa luvu (1 + i) eljäet juuret: (1 + i) i = ja Arg(z) = π 4, jote ( (1 + i) = cos = 8 ( cos ( π 16 + kπ π + kπ 4 4 ) π 4 + i si + kπ ) 4 ( π + i si 16 + kπ )) Lasketaa juure vaihekulma φ k = π + kπ 16 k = 0, 1,, 3. arvot. = 4, jote k = 0 k = 1 k = k = 3 φ 0 = π π φ 1 = π π φ = π 16 + π φ 3 = π π = π 16 = 9 16 π = π = 5 16 π jos k = 4, ii φ 4 = π + 4 π = 33π = π + π ja jo kerra esiityeet arvot alkavat toistua π-moikerroi k: kasvaessa. Vastaavasti käy, mikäli k o egatiivie. Siis erilliset juure arvot 19

20 w k : w 0 = 8 ( cos π 16 + i si π ) 16 w 1 = 8 ( cos 9 16 π + i si 9 ) 16 π w = 8 ( cos 17 ) 17 π + i si π w 3 = 8 ( cos 5 ) 5 π + i si π Toisiaa saatuja juuria w k o mahdollista sievetää edellee trigoometriste summa- ja tulokaavoje avulla. Viitteet [1] J. D. Barrow (suom. R. Vilkko), Lukuje taivas, s.-5, Art House Oy 1999 [] S. Pohjolaie, Kompleksimuuttuja fuktiot, luetomoiste s.1-6, TTKK 000, Luku.pdf ( ) [3] J. W. Nilsso, S. A. Riedel, Electric Circuits 5th ed., Appedix B s , Addiso-Wesley 1996 [4] S. I. Grossma, Multivariable Calculus, Liear Algebra, ad Differetial Equatios, 3rd ed. Appedix 3 s.a-14-a-0, Sauders College Publishig

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: 6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43 Kompleksiluvut

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt

2.5. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälöt Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI... Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2. Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b, Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista

Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan

Lisätiedot

3 10 ei ole rationaaliluku.

3 10 ei ole rationaaliluku. Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista

Lisätiedot

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Äärettömistä tuloista ja gammafunktiosta kompleksitasossa

Äärettömistä tuloista ja gammafunktiosta kompleksitasossa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jemia Laukkae Äärettömistä tuloista ja gammafuktiosta kompleksitasossa Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Elokuu 202 Tamperee yliopisto Iformaatiotieteide

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT Sisältö Päivitetty 16. syyskuuta 2004 Johdanto ii 1. Kompleksiluvun määritelmä ja perusominaisuudet 1 1.1. Kompleksiluvun

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio 2 Kompleksiluvut 2A Kompleksilukujen konstruktio Kompleksiluvut ovat syntyneet reaaliluvuista luonnollisen tarpeen myötä: kaikilla epätriviaaleilla polynomiyhtälöillä, kuten yhtälöllä z 2 +1 = 0, ei ole

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise

Lisätiedot

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla: 10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Calculus Lukio 8 MAA Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) . Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

5. lukujonot ja sarjat.

5. lukujonot ja sarjat. 5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan sarja: N x i = x 1 + x 2 + x 3 +...+ x N i=1 Yhteenlaskun tulosta sanotaan

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot