Generoivista funktioista

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Maria Kyröläie Geeroivista fuktioista Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013

2 Tamperee yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö KYRÖLÄINEN, MARIA: Geeroivista fuktioista Pro gradu -tutkielma, 58 s. Matematiikka Maaliskuu 2013 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa perehdytää geeroivie fuktioide meetelmää, missä tarkoituksea o yleesä etsiä eksakti kaava aetulle lukujoolle (a ). Geeroivie fuktioide avulla voidaa myös todistaa kaavoje yhtäpitävyyksiä tai löytää esimerkiksi uusi rekursiivie tai approksimoitu kaava. Kahdesta lähestymistavasta, muodollisesta ja aalyyttisestä, tämä tutkielma lähtökohtaa o geeroivie fuktioide muodollie teoria, ja esitellyt geeroivat fuktiot ovatki muodollisia potessisarjoja lukuu ottamatta Dirichlet sarja geeroivaa fuktiota. Tutkielma tavoitteea o esitellä lukijalle geeroivie fuktioide meetelmä perusteet tästä lähtökohdasta, ja ataa välieitä meetelmä käyttöö teoria ja esimerkkie kautta. Aluksi tutkielmassa esitellää lyhyesti muodollise potessisarja määritelmä ja siihe liittyvää teoriaa. Lisäksi käydää läpi tutkielmassa käytettyjä yleisesti tuettuja kaavoja. Luvussa 3 esitellää geeroivie fuktioide metodi pääperiaatteet ja yleisimmät tavallise geeroiva fuktio muodot, eli tavallie potessisarjamuotoie geeroiva fuktio ja ekspoetiaalie geeroiva fuktio. Edelliste käyttöä demostroidaa esimerkkie kautta. Luvussa 4 keskitytää edellisessä luvussa esiteltyje geeroivie fuktioide laskuoppii ja luvussa 5 esitellää vielä yksi edellisistä eroava geeroiva fuktio muoto, eli Dirichlet sarja geeroiva fuktio, sekä tämä laskuoppia. Päälähteeä tutkielmassa o käytetty Herbert S. Wilfi kirjaa geeratigfuctioology. Aiasaat: muodollie potessisarja, geeroiva fuktio, algebrallie, Taylori sarja, Dirichlet sarja, suuri yhteie tekijä, aritmeettie fuktio, multiplikatiivie fuktio, Möbiukse fuktio. 2

3 Sisältö 1 Johdato 4 2 Valmistelevia tarkasteluja Muodollie potessisarja Tarvittavia kaavoja Tavallie ja ekspoetiaalie geeroiva fuktio Geeroivie fuktioide metodi ja tavallie yhde muuttuja geeroiva fuktio Helpottavia lauseita Kahde termi rekursioyhtälö Kolme termi rekursioyhtälö Kolme termi rekursio reua-arvoilla Tavallie kahde muuttuja geeroiva fuktio Biomikerroi Stirligi toiset luvut Ekspoetiaalie geeroiva fuktio Belli toiset luvut x d log operaatio dx 29 4 Geeroivie fuktioide laskuoppia Tavalliste geeroivie fuktioide laskuoppia Ekspoetiaaliste geeroivie fuktioide laskuoppia Dirichlet sarja geeroiva fuktio Määritelmiä Dirichlet sarja geeroiva fuktio laskuoppia Viitteet 58 3

4 1 Johdato Lukujoo (a ) geeroivaksi fuktioksi kutsutaa potessisarjaa a x. Geeroiva fuktio o apuvälie, joka avulla pyritää yleesä selvittämää lukujoo (a ) alkioille eksakti kaava. Esimerkiksi lukujoo 2, 4, 6, 8,... voidaa esittää muodossa a 2, kaikille Z +, mikä o siis eksakti kaava kyseiselle lukujoolle. Tapauksissa, joissa täsmällistä ja yksikertaista ratkaisua joo alkioille ei ole olemassa, voidaa geeroivie fuktioide avulla löytää joolle uusi rekursiivie tai approksimoitu kaava. Geeroivie fuktioide avulla o myös mahdollista todistaa helposti kaavoje yhtäpitävyyksiä tai esimerkiksi joo (a ) käyttäytymistä ideksi eri arvoilla. Geeroivie fuktioide meetelmässä o olemassa kaksi lähestymistapaa, muodollie ja aalyyttie lähestymistapa. Tässä tutkielmassa keskitytää geeroivie fuktioide muodollisee teoriaa, ja aalyyttie teoria sivuutetaa, mutta äitä kahta lähestymistapaa voidaa käyttää osi myös riakkai. Muodollisessa lähestymistavassa muuttuja x, tai paremmiki se potessie, rooli geeroivassa fuktiossa f(x) o aioastaa muodollie, eikä se saamilla arvoilla tai sarja suppeemisella ole merkitystä. Aalyyttisessä lähestymistavassa puolestaa muuttuja x oletetaa kuuluva kompleksilukuje joukkoo, ja sarja f(x) suppeemie o keskeisessä roolissa. Tutkielma luvussa 2 kerrataa lyhyesti tuettuja summakaavoja, joihi tutkielmassa viitataa usei, sekä perehdytää lyhyesti muodolliste potessisarjoje teoriaa. Luvussa 3 kuvataa geeroivie fuktioide metodi ja tavallisimpie geeroivie fuktioide muodot, sekä käyttöesimerkkejä. Neljäs luku keskittyy geeroivie fuktioide laskuoppii eli laskusäätöihi, iide käyttöö ja oikea geeroiva fuktio valitaa. Lopuksi viideessä luvussa esitellää Dirichlet sarja geeroiva fuktio lyhyesti, sillä tämä ei ole, toisista läpikäydyistä geeroivista poikete, laisikaa potessisarja. Tämä geeroiva fuktio käyttömahdollisuudet ovat laajat erityisesti kombiatoriika ja lukuteoria saralla. Päälähteeä tässä tutkielmassa o käytetty Herbert S. Wilfi kirjaa geeratigfuctioology [6], ja tätä teosta tutkielmassa seurataaki pääpiirteittäi. Päälähtee tukea o käytetty edellise kirja toista paiosta [7], Sergei K. Lado teosta Lectures o Geeratig Fuctios [3] ja Marti Aigeri kirjaa A Course i Eumeratio [2]. Jos aiheesee haluaa tutustua syvemmi, voi edelliste lisäksi lisälukemistoksi suositella Aigeri teosta Combiatorial Theory [1] ja Staley teoksia Eumerative Combiatorics Vol. 1 [4] ja Vol. 2 [5]. Lukijalta vaaditaa tiettyä perehtyeisyyttä matematiika perusteisii, ja erityisesti algebra ja kombiatoriika tutemus o suotavaa. Tarkkuutta vaaditaa osi myös todistuste luvussa, sillä vaikka välivaiheet o merkitty tutkielmassa hyvi yksityiskohtaisesti, ei iitä aia ole selitetty, vaa tehtyje operaatioide o oletettu oleva lukijalle itsestää selviä. 4

5 2 Valmistelevia tarkasteluja 2.1 Muodollie potessisarja Tässä tutkielmassa käytettyä geeroiva fuktio muotoa kutsutaa muodolliseksi potessisarjaksi. Muodollie potessisarja o tapa esittää joo (a ) toisella tavalla, ja muodollisessa potessisarjassa A(x) a x termi x o vai paikamäärittäjä joo ( + 1). jäseelle a. Muodollisia potessisarjoja käsitellää puhtaasti algebrallisia objekteia, eikä tällöi tarvitse olla kiiostuut siitä, millä muuttuja x arvoilla kyseie sarja suppeee. Yleisesti riittääki, että tiedetää sarja suppeeva jollai muuttuja x arvolla, ja operaatiot tai laskutoimitukset voidaa suorittaa siltä pohjalta. Geeroivia fuktioita voidaa siis käsitellä muodolliste potessisarjoje rekaassa, ja tätä omiaisuutta käytetääki usei tässä tutkielmassa geeroivia fuktioita käsiteltäessä. Tämä vuoksi tässä alaluvussa käydää läpi joitai muodolliste sarjoje omiaisuuksia ja laskutoimituksia. Määritelmä 2.1. Lukujoo (a ) muodollie potessisarja A(x) o lauseke (2.1) a x. Kyseessä o toie tapa esittää joo (a ). Siiä termi x ilmaisee lukujoo ( + 1). jäsee a paika joossa. Lisäksi lukujooa (a ) kutsutaa potessisarja A(x) kerroijooksi ja termiä a 0 vakiotermiksi. Käytäöllisyyde vuoksi voidaa kerroijoo määritellä myös egatiivisille idekseille, ja tällöi tieteki a k 0 aia, ku k < 0. Lisäksi merkitää a 0 A(0). [2, s. 53] Muodollisille potessisarjoille A(x) ja B(x) ja iide kerroijooille (a ) ja (b ) pätee seuraava lause, joka o suora seuraus edellisestä määritelmästä: Lause 2.1. A(x) B(x), jos ja vai jos (a ) (b ). Muodolliste potessisarjoje yhtee- ja väheyslaskut sekä tulo määritellää seuraavasti: (2.2) a x ± b x (a ± b )x, (2.3) a x b x c x, missä c a k b k. k0 Viimeisitä kutsutaa myös Cauchy tuloksi. [6, s ] Muodollisella potessisarjalla A(x) saotaa oleva kääteissarja Cauchy tulo suhtee, jos o olemassa muodollie potessisarja B(x) site, että A(x)B(x) B(x)A(x) 1. 5

6 Lause 2.2. Muodollisella potessisarjalla A(x) a x o kääteissarja Cauchy tulo suhtee, jos ja vai jos a 0 0. Tällöi tämä kääteissarja o yksikäsitteie. Todistus. Olkoo muodollisella potessisarjalla A(x) kääteissarja 1/A(x) b x. Tällöi A(x) (1/A(x)) 1, ja siis kaava (2.3) mukaa o oltava A(x) (1/A(x)) c 0 1 a 0 b 0 eli a 0 0, sillä tuloksea saadu sarja muissa termeissä o tulokaava perusteella tekijää myös termi x tai se joki potessi. Lisäksi siis kaava (2.3) perusteella kaikille 1 pätee c 0 k0 a k b k. Irrottamalla edellisestä summasta esimmäie termi, vähetämällä puolittai loput summasta, ja vielä jakamalla yhtälö puolittai termillä a 0, saadaa (2.4) b ( 1/a 0 ) a k b k, ku 1. k1 Tämä määrittää kääteissarja 1/A(x) loput termit b 1, b 2,... yksikäsitteisesti. Olkoo sitte a 0 0. Tällöi voidaa määritellä termi b 0 yhtälöstä c 0 1 a 0 b 0 ja termit b 1, b 2,... yhtälöstä (2.4). Näi saatu sarja b x o muodollise potessisarja A(x) kääteissarja Cauchy tulo suhtee. [6, s. 28] Muodolliste potessisarjoje A(x) a x ja B(x) b x kompositio A(B(x)) määritellää seuraavasti: (2.5) A(B(x)) a (B(x)). Selvästi kompositio o hyvi määritelty, jos A(x) o polyomi, mutta jos A(x) o ääretö potessisarja ja b 0 0, o kompositio vakiokerroi ääretö summa a 0 + a 1 b 0 + a 2 b Toisaalta, jos o b 0 0, saadaa termi x kerroi, missä 0, kompositiossa lausekkeesta a k (b 1 x + b 2 x 2 ) k, k0 sillä ku k >, lausekkeessa termi x potessit ovat aia suurempia kui. [2, s. 55] Edellisestä saadaa suoraa seurauksea seuraava lause: Lause 2.3. Muodolliste potessisarjoje A(x) ja B(x) kompositio A(B(x)) o hyvi määritelty, jos A(x) o polyomi tai B(0) 0. [2, s. 55] Muodollisella potessisarjalla A(x) a x saotaa oleva kääteissarja kompositio suhtee, jos o olemassa muodollie potessisarja B(x) b x site, että A(B(x)) B(A(x)) x. [6, s. 28] 6

7 Lause 2.4. Olkoot A(x) ja B(x) muodollisia potessisarjoja site, että A(B(x)) B(A(x)) x. Tällöi A(x) a 1 x + a 2 x 2 + ja B(x) b 1 x + b 2 x 2 +, missä a 1, b 1 0. Todistus. (Vrt. [6, s. 29]) Olkoot A(x) ja B(x) muodollisia potessisarjoja site, että A(B(x)) B(A(x)) x. Nyt siis A(x) ja B(x) ovat muodollisia potessisarjoia muotoa a r x r + ja b s x s +, missä r, s 0. Tällöi o voimassa A(B(x)) x a r b r sx rs + a r b r s+1x r(s+1) +. Jos yt olisi r 0 tai s 0, ii saataisii A(B(x)) a r b r s +, ja siis tuloksea saadu sarja esimmäie termi olisi vakiotermi ja loput termit sisältäisivät aia x: joki potessi, eli tällöi olisi A(B(x)) x. Siis o oltava r, s 0. Jos taas olisi r 2 tai s 2, ii saataisii A(B(x)) a r b r sx rs + a r b r s+1x r(s+1) +, missä esimmäisessä termissä muuttuja x potessi o vähitää 2, ja siis jällee olisi A(B(x)) x. Siis o oltava r, s 1 eli A(x) a 1 x+a 2 x 2 + ja B(x) b 1 x + b 2 x 2 +, missä a 1, b 1 0. Muodollise potessisarja A(x) a x derivaatta o sarja A (x) a x 1. Derivoiissa pätevät yleiset laskukaavat, kute yhtee- ja väheyslasku sekä tulo ja osamäärä. [6, s. 29] 2.2 Tarvittavia kaavoja Seuraavia tuettuja laskukaavoja käytetää paljo tämä tutkielma laskutoimituksissa, ja iihi viitataa usei tekstissä. Koska kyseessä olevat kaavat ovat yleisesti tuettuja, kaavoje todistuksia ei käydä läpi tässä tutkielmassa. Kaavat ovat (2.6) i i1 ( + 1), 2 (2.7) (2.8) (2.9) (2.10) (2.11) ( ) α αk k k! aq k0 a, q < 1, 1 q x ex, ( ) x k y k (x + y), k α(α 1) (α k + 1), missä α R ja k N, k(k 1) 1 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( 1) (2 1). 7

8 3 Tavallie ja ekspoetiaalie geeroiva fuktio 3.1 Geeroivie fuktioide metodi ja tavallie yhde muuttuja geeroiva fuktio Tässä alaluvussa käydää läpi tavallie geeroiva fuktio muoto lukujoolle, joka alkiot ovat yksimuuttujaisia. Lisäksi esitellää geeroivie fuktioide metodi käytö pääperiaatteet ja joitai käyttöesimerkkejä. Määritelmä 3.1. Lukujoo (a ) geeroivaksi fuktioksi A(x) kutsutaa muodollista potessisarjaa (3.1) a x. Geeroiva fuktio A(x) termi x kerroi a o siis lukujoo (a ) ( 1). alkio. Usei käsittelyssä oleva lukujoo o ilmoitettu rekursioyhtälöä, ja tällöi geeroivie fuktioide meetelmässä esi muuetaa rekursioyhtälö valitu geeroiva fuktio muotoo ja se termei ilmaistua, mikä jälkee ratkaistaa yhtälö geeroivalle fuktiolle. Näi pyritää löytämää kerroi geeroiva fuktio termille x, eli lukujoo alkio a. Meetelmä käyttö tapahtuu seuraavasti: 1. Varmistetaa, että vapaa muuttuja (tässä ) arvot ovat tarkkaa määritellyt. 2. Nimetää käytetty geeroiva fuktio, ja esitetää se aetu lukujoo termei (esim. olkoo A(x) a x ). 3. Kerrotaa rekursioyhtälö puolittai termillä x ja summataa puolittai yli ideksi määrittelyaluee. 4. Esitetää saadu yhtälö molemmat puolet geeroiva fuktio (tässä A(x)) muodossa. 5. Ratkaistaa yhtälö tutemattomalle geeroivalle fuktiolle (A(x)). 6. Ku halutaa rekursio määräämälle lukujoolle eksakti kaava, o tämä mahdollista saavuttaa laajetamalla geeroiva fuktio (A(x)) potessisarjaksi esim. käyttämällä osamurtokehitelmää ja kasittelemällä sitte jokaie saatu termi eriksee. [6, s.8] 8

9 3.1.1 Helpottavia lauseita Eksakti kaava haetu lukujoo alkiolle a geeroivie fuktioide meetelmässä o termi x kerroi geeroiva fuktio A(x) a x sarjahajotelmassa. Tässä jakeessa esitellää muutamia lauseita, jotka opeuttavat työsketelyä geeroivie fuktioide parissa. Wilf o kirjassaa esittäyt ämä laskusääöt toteamalla e itsestääselvyyksiä, mutta selkeyde vuoksi tässä tutkielmassa sääöt o esitetty lauseia, ja lauseet todistettu kirjoittaja toimesta. Lause 3.1. Olkoo F (x) potessisarja. Tällöi termi x kerroi lausekkeessa x a F (x) o yhtä kui termi x a kerroi lausekkeessa F (x). [6, s. 8] Todistus. Olkoo b termi x kerroi lausekkeessa x a F (x), missä F (x) o potessisarja. Siis pätee x a F (x) b x. Jaetaa edellie yhtälö puolittai termillä x a, jolloi saadaa F (x) 1 b x a x ja siis F (x) b x a. Täte b o termi x a kerroi potessisarjassa F (x). Lause 3.2. Olkoo F (x) potessisarja. Tällöi termi βx kerroi potessisarjassa F (x) o yhtä kui 1/β kertaa termi x kerroi potessisarjassa F (x). [6, s. 8] Todistus. Olkoo b termi βx kerroi potessisarjassa F (x). Siis pätee F (x) b βx eli F (x) βb x. Nyt siis termi x kerroi potessisarjassa F (x) o βb, eli b o 1/β kertaa termi x kerroi potessisarjassa F (x) Kahde termi rekursioyhtälö Esimerkki 3.1. Olkoo (a ) lukujoo, joka toteuttaa ehdo (3.2) a +1 2a +, missä 0 ja a 0 1. Etsitää eksakti kaava joo alkioille a käyttäe geeroivie fuktioide meetelmää. Selvästi vapaa muuttuja arvot ovat tarkkaa määritellyt, jote valitaa geeroivaksi fuktioksi A(x) a x. Kerrotaa yhtälö (3.2) puolittai termillä x, ja summataa puolittai yli muuttuja määrittelyaluee, eli 0. Saadaa (3.3) a +1 x 2a x + x. 9

10 Koska tiedetää, että a 0 1, ja selvästi o voimassa x 0 1, yhtälö (3.3) vaseta puolta muokkaamalla saadaa (3.4) a +1 x a +1 x +1 x 1 a +1 x +1 x 1 x ( a x + 1 1) 1 x ( a x + a 0 x 0 1) 1 x ( a x 1) 1 A(x) 1 (A(x) 1). x x Geometrise sarja summa (2.7) ja derivaata määritelmä perusteella saadaa yhtälö (3.3) oikea puoli muokattua muotoo (3.5) 2a x + x 2( a x ) + x x 1 2( a x d ) + x dx x 2( a x ) + x d x dx 2( a x ) + x d 1 dx 1 x 2( a x 1 ) + x (1 x) 2 x 2A(x) + (1 x). 2 Tässä kohtaa o huomattavaa, että vaikka edellise yhtälö tulokse osaa o geometrise sarja summa derivaatta, ei kyseise sarja suppeemista muuttuja x eri arvoilla tarvitse huolehtia. Tämä johtuu siitä, että geeroivat fuktiot muodollisia potessisarjoia voidaa käsitellä iide rekaassa, kute o maiittu alaluvussa 2.1. Siis x voidaa valita sopimaa kyseisee yhtälöö, sillä se rooli o aioastaa algebrallie, eikä muuttuja x arvo äi olle vaikuta lopputulokse validiutee. Nyt yhdistämällä tulokset (3.4) ja (3.5), saadaa (3.6) A(x) 1 x 2A(x) + 10 x (1 x) 2.

11 Kertomalla yhtälö (3.6) puolittai termillä x, vähetämällä puolittai termi 2A(x)x ja lisäämällä puolittai luku 1, saadaa (3.7) A(x) 2A(x)x x 2 (1 x) Ku yhtälö (3.7) vasemmalta puolelta otetaa tekijäksi A(x) ja jaetaa yhtälö puolittai termillä 1 2x, saadaa ratkaistuksi geeroiva fuktio A(x) x 2 (1 x) 2 (1 2x) x, ja siis etsitty geeroiva fuktio A(x) o siistimmässä muodossa (3.8) A(x) 1 2x 2x2 (1 x) 2 (1 2x). Nyt haettu joo (a ) alkio a i o termi x i kerroi yhtälö (3.8) potessisarjahajotelmassa. Ratkaistaa eksplisiittie kaava osamurtokehitelmä avulla. Yhtälö (3.8) oikea puoli voidaa hajottaa tekijöihisä seuraavalla tavalla: (3.9) 1 2x + 2x 2 (1 x) 2 (1 2x) A (1 x) + B 2 (1 x) + C (1 2x). Yhtälöstä (3.9) o yt selvitettävä muuttujie A, B ja C arvot. Esi kerrotaa yhtälö (3.9) puolittai termillä (1 x) 2. Saadaa (1 x) 2 (1 2x + 2x 2 ) (1 x) 2 (1 2x) (1 x)2 A + (1 x)2 B + (1 x)2 C (1 x) 2 (1 x) (1 2x) eli 1 2x + 2x 2 (1 2x) Ku tästä ratkaistaa A, saadaa A + (1 x)b + (1 x)2 C (1 2x). A 1 2x + 2x2 (1 2x) (1 x)b (1 x)2 C (1 2x). Valitaa sitte x 1. Saadaa A (1 1)B (1 1)2 C 1 2 eli A 1. Seuraavaksi kerrotaa yhtälö (3.9) puolittai termillä (1 2x). Saadaa (1 2x)(1 2x + 2x 2 ) (1 x) 2 (1 2x) (1 2x)A (1 2x)B (1 2x)C + + (1 x) 2 (1 x) (1 2x) 11

12 eli 1 2x + 2x 2 (1 x) 2 Nyt ku valitaa x 1/2, saadaa /2 (1/2) 2 (1 2x)A (1 2x)B + + C. (1 x) 2 (1 x) (1 1)A (1 1)B + + C, (1/2) 2 1/2 eli C 2. Nyt tarvitsee eää ratkaista B. Koska tiedetää, että A 1 ja C 2, voidaa arvot sijoittaa yhtälöö (3.9). Lisäksi koska yhtälö pätee kaikilla muuttuja x arvoilla, voidaa valita x 0. Saadaa (1 0) 2 (1 0) 1 (1 0) 2 + B (1 0) + 2 (1 0), eli B + 2, ja siis B 0. Sijoittamalla ratkaistut A 1, B 0 ja C 2 yhtälöö (3.9), saadaa (3.10) A(x) 1 2x + 2x2 (1 x) 2 (1 2x) 1 (1 x) x. x, saa- (1 x) 2 Nyt koska tulokse (3.5) perusteella tiedetää, että x daa 1 (1 x) 1 2 x x (1 x) 1 x 2 x ( 1) x 1 ( + 1)x, ja siis termi x kerroi o ( + 1), ku 1. Kaava (2.7) perusteella puolestaa saadaa 2 1 2x 2(2x) 2 +1 x, eli termi x kerroi o 2 +1, ku 0. Ku ämä kaksi tulosta yhdistetää, saadaa a , ku 1. Koska ehdo (3.2) perusteella tiedetää, että a 0 1, ii edellie pätee myös, ku 0, eli saadaa (3.11) a , ku 0. [6, s. 5 7] 12

13 3.1.3 Kolme termi rekursioyhtälö Esimerkki 3.2. Ratkaistaa Fiboacci lukujoo käyttäe geeroivie fuktioide meetelmää. Olkoo siis (3.12) F +1 F + F 1, missä 1, ja F 0 0, F 1 1. Valitaa geeroivaksi fuktioksi F (x) F x, ja etsitää lauseke fuktiolle F (x). Kerrotaa yhtälö (3.12) puolittai termillä x ja summataa yli 1. Saadaa (3.13) F +1 x F x + F 1 x. Muokkaamalla yhtälö (3.13) vaseta puolta, saadaa (3.14) F +1 x F +1 x +1 1 F x x x 2 1 ( ) ( F x + x) x x 2 1 x ( F x x) 1 (F (x) x). x Yhtälö (3.13) oikeaa puolta muokkaamalla saadaa (3.15) F x + F 1 x F x + xf 1 x 1 F x + x F x F (x) + xf (x). Yhdistämällä tulokset (3.14) ja (3.15), saadaa (3.16) 1 (F (x) x) F (x) + xf (x). x Ku yhtälö (3.16) kerrotaa puolittai termillä x, väheetää puolittai termeillä xf (x) ja x 2 F (x), sekä lisätää yhtälöö puolittai termi x, saadaa x 2 F (x) xf (x) + F (x) x. Ku edellisestä otetaa vasemmalta puole tekijäksi F (x), ja jaetaa yhtälö puolittai termillä 1 x x 2, saadaa x (3.17) F (x) 1 x x. 2 13

14 Jotta etsityille Fiboacci luvuille saadaa eksplisiittie kaava, hajotetaa x/(1 x x 2 ) osamurtokehitelmä avulla. Esi haetaa imittäjä ollakohdat toise astee yhtälö ratkaisukaavalla, eli saadaa x 1 ± (1 ± 5)/ 2. Merkitää r ja r 2 1 5, jossa siis r 2 ja r + ovat lausekkee x/(1 x x 2 ) imittäjä ollakohdat. Nyt huomataa, että r + r 1. Saadaa 1 x x 2 (x ( r + ))(x ( r )) (r + +x)(r +x) ( r + x)(r +x). Otetaa äi saadu tulokse esimmäisistä sulkeista tekijäksi 1/r ja toisista 1/r +. Saadaa ( r + x)(r + x) 1 1 (r ( r + ) + x r ) (r + r + x r + ) r r + 1 (1 xr )( 1 + xr + ) r r + 1(1 xr )( 1 + xr + ) (1 xr )(1 xr + ). Nyt siis (3.18) x 1 x x x 2 (1 xr )(1 xr + ). Koska r + r , saadaa yhtälö (3.18) muotoo x 1 x x x 2 (1 xr + )(1 xr ) ( ) 1 x(r + r ) r + r (1 xr + )(1 xr ) ( ) 1 xr+ xr r + r (1 xr + )(1 xr ) ( ) 1 (1 xr ) (1 xr + ) r + r (1 xr + )(1 xr ) ( ) 1 1 xr r + r (1 xr + )(1 xr ) 1 xr + (1 xr + )(1 xr ) ( ) r + r 1 xr + 1 xr 1 ( ) xr + 1 xr 14

15 Geometrise summa kaava (2.7) perusteella saadaa ( ) r 5 1 xr + 1 xr +x j j r x j j 5 j0 j0 1 (r j + r )x j j. 5 Tästä ähdää helposti, että haettu eksakti kaava Fiboacci luvuille F, eli termi x kerroi geeroivassa fuktiossa F (x), o j0 (3.19) F 1 5 (r + r ), missä 0. Lisäksi ähdää, että koska r + 1, 618 ja r 0, 618, eli r + > 1 ja r < 1, saadaa että ku, ii r 0. Suurella ideksi arvolla hyvä likiarvo luvulle F o siis (3.20) F 1 5 ( Itse asiassa, ku 2, ii r < 0, 5, jote ku vastaus pyöristetää lähimpää kokoaislukuu, ataa (3.20) täsmällee oikea ratkaisu Fiboacci luvuille F. [7, s. 8 10] O myös hyvä huomata, että edellä käytetty geometrise sarja summa kaava (2.7) pätee vai, ku q < 1, eli tässä tapauksessa, ku r + x < 1 ja r x < 1. Koska muuttuja x rooli o muodollie ja operaatiot tehdää muodolliste potessisarjoje rekaassa, ii aiva kute edellisessä esimerkissä, riittää tieto, että o olemassa sopiva muuttuja x arvo, ja laskutoimitukset voidaa suorittaa loppuu tämä tiedo pohjalta. ) Kolme termi rekursio reua-arvoilla Kolme termi rekursio, jossa alkuarvoia o aettu rekursio reua-arvot, eroaa edellisestä esimerkistä siiä, että rekursio avulla ei voida suoraa laskea haetu lukujoo jäseie arvoja. Reua-arvot silti määrittelevät joo yksiselitteisesti. Geeroivie fuktioide meetelmä tarjoaa tähä ratkaisu. Esimerkki 3.3. Olkoo (3.21) ay +1 + by + cy 1 d, missä 1 N 1 ja y 0 y N 0. Lisäksi kokoaisluku N, vakiot a, b ja c, sekä joo (d ) N 1, ovat ealta aettuja. Määritellää geeroiva fuktio Y (x) N y x ja ealta tuettu D(x) N 1 d x. Kerrotaa yhtälö (3.21) puolittai termillä x ja summataa yli muuttuja määrittelyaluee, eli 1 N 1. Saadaa N 1 (3.22) a N 1 y +1 x + b N 1 y x + c 15 y 1 x N 1 d x.

16 Yhtälö (3.22) oikea puoli voidaa suoraa esittää geeroiva fuktio D(x) muodossa, jote muokataa yhtälö vaseta puolta. Koska pätee y 0 y N 0, saadaa Nyt siis N 1 a N 1 y +1 x + b N 1 y +1 x +1 a x a x N 1 N a x 2 ( N a x +cx a x eli saadaa (3.23) N + b N 1 y x + c N 1 y x + c N 1 y +1 x +1 + by (x) + cx N 2 y x + by (x) + cx y x + y 1 x y 1 x 2 ( N 2 ( N ) y x + by (x) y 1 x x y 1 x 1 y 1 x 1 y x + y N 1 x N 1 y N 1 x N 1 ) y x y 1 x ) ( N ) + by (x) + cx y x y N 1 x N 1 a x (Y (x) y 1x) + by (x) + cx ( Y (x) y N 1 x N 1). a x (Y (x) y 1x) + by (x) + cx ( Y (x) y N 1 x N 1) D(x), a x Y (x) ay 1 + by (x) + cxy (x) cy N 1 x N D(x). Ku lisätää yhtälöö (3.23) puolittai lauseke (ay 1 +cy N 1 x N ), ja kerrotaa yhtälö puolittai termillä x, saadaa (3.24) (a + bx + cx 2 )Y (x) x(d(x) + ay 1 + cy N 1 x N ). Nyt tutemattoma geeroiva fuktio Y (x) ratkaisemiseksi o vielä selvitettävä tutemattomat vakiot y 1 ja y N 1. Yhtälö (3.24) vasemma puole polyomilla o toise astee polyomia kaksi ollakohtaa, olkoot ämä r + ja r. Jos r + r, voidaa kumpiki arvo sijoittaa vuorollaa yhtälöö (3.24), jolloi yhtälö vase puoli o yhtä kui 0, ja oikealle puolelle saadaa puolittai jakamise jälkee sulkeide sisäpuolie osa. Saadaa siis yhtälöpari ay 1 + (cr+ N )y N 1 D(r + ) (3.25) ay 1 + (cr N )y N 1 D(r ). 16

17 Ku yhtälöistä ratkastaa esi ay 1, saadaa tulokset yhdistämällä eli (cr N + )y N 1 + D(r + ) (cr N )y N 1 + D(r ) (3.26) y N 1 D(r ) D(r + ). c(r+ N r N ) Ku taas yhtälöparista ratkaistaa cy N 1, saadaa eli ay 1 + D(r + ) r N + ay 1 + D(r ) r N (3.27) y 1 D(r )r N + D(r + )r N a(r N r N + ) Sijoittamalla tulokset (3.26) ja (3.27) yhtälöö (3.24), saadaa ratkaistua geeroiva fuktio Y (x). [6, s.10 12] Erityistapauksessa, missä yhtälö (3.24) polyomi a+bx+cx 2 ollakohdaksi saadaa kaksoisjuuri r r + r, ei lukujoo (y ) jäseille löydy yksikäsitteistä kaavaa, sillä tällöi geeroiva fuktio Y (x) yhtälö toteuttavat kaikki suoralla ay 1 + (cr N )y N 1 D(r) sijaitsevat pisteet (y 1, y N 1 ). Siis ei löydy yksikäsitteistä geeroivaa fuktiota Y (x), eikä äi olle saada ratkaistua yksikäsitteistä eksplisiittistä kaavaa lukujoo alkioille. 3.2 Tavallie kahde muuttuja geeroiva fuktio Tavallista kahde muuttuja geeroivaa fuktiota käytetää silloi, ku käsitellää lukujooa, joka alkiot ovat kaksimuuttujaisia. Tällöi lukujoo o muotoa (a m, ) m, ja fuktiomuodossa ilmaistua f(m, ), missä m, 0, ja m ja kuuluvat tieteki kokoaislukuihi. Tässä alaluvussa käydää läpi tavallise kahde muuttuja geeroiva fuktio muoto, käyttö ja esimerkkejä. Lisäksi tässä tutkielmassa käytetää kaksimuuttujaiste lukujooje fuktiomuotoista esitysmallia. Määritelmä 3.2. Lukujoo (x m, ) m, geeroiviksi fuktioiksi F (x, y), G (y) ja H m (x) kutsutaa muodollisia potessisarjoja (3.28) f(m, )x y m,,m. (3.29) (3.30) f(m, )y m, missä Z ja m f(m, )x, missä m Z. 17

18 Huomattavaa o, että määritelmässä (3.2) G (y) ja H m (x) ovat geeroivie fuktioide perheitä. Lisäksi, jos summattava muuttuja summausaluetta ei ole eriksee määritelty, oletetaa että summaus tapahtuu yli kokoaislukuje. [6, s.13 14] Biomikerroi Biomikerroi ( ) m o -alkioise jouko m-alkioiste osajoukkoje lukumäärä. Merkitää tässä yhteydessä joukkoa {1, 2,..., } symbolilla []. Nyt siis ( ) m o jouko [] m-kombiaatioide lukumäärä. Biomikertoimelle o olemassa kaava, joka yt esimerki vuoksi johdetaa geeroivie fuktioide meetelmä avulla. Esimerkki 3.4. Olkoo f(, m) biomikertoime ( ) m fuktio. Fuktio f(, m) o järkevä aioastaa silloi, ku, m 0. Selvästi f(0, 0) 1 o voimassa, sillä tyhjällä joukolla o vai yksi 0 alkiota sisältävä osajoukko, eli itsesä. Lisäksi jos m >, ii f(, m) 0, sillä joukosta ei voi ottaa itseää suurempaa osajoukkoa. Jotta fuktio olisi määritelty kaikille kokoaisluvuille, määritellää f(, m) 0, ku < 0 tai m < 0. Seuraavaksi etsitää rekursio, joka o voimassa fuktiolle f(, m). Valitaa mielivaltaiset positiiviset kokoaisluvut ja m site, että m. Muodostetaa kaikki jouko [] m-kombiaatiot. Näitä o f(, m) kappaletta. Jaetaa muodostetut m-kombiaatiot kahtee ryhmää. Toisee ryhmää laitetaa e m-kombiaatiot, jotka sisaltävät jouko [] suurimma luvu, ja toisee e -kombiaatiot, jotka eivät sisällä lukua. Esimmäisessä ryhmässä ovat yt kaikki e m-kombiaatiot, jotka sisältävät luvu. Nyt jos ryhmä joukoista poistetaa alkio, tulee ryhmä alkioista jouko [ 1] (m 1)-kombiaatioita. Lisäksi tässä ovat kaikki jouko [ 1] (m 1)-kombiaatiot, sillä jos olisi olemassa vielä joki tähä ryhmää kuulumato jouko [ 1] (m 1)-kombiaatio, ii lisäämällä kombiaatioo luku, saadaa jouko [] m-kombiaatio, mikä o ristiriita se kassa, että aluperi ryhmässä olivat kaikki jouko [] m-kombiaatiot. Siis esimmäise ryhmä m-kombiaatioide lukumäärä o f( 1, m 1). Toisessa ryhmässä puolestaa ovat kaikki e jouko [] m-kombiaatiot, jotka eivät sisällä lukua. Nämä ovat siis jouko [ 1] m-kombiaatioita. Jällee tässä ryhmässä o oltava kaikki jouko [ 1] m-kombiaatiot, sillä jos olisi olemassa tähä ryhmää kuulumato jouko [ 1] m-kombiaatio, olisi se selvästi myös yksi jouko [] m-kombiaatioista, joka ei sisällä lukua, mikä o ristiriita se kassa, että ryhmää kuuluvat kaikki tällaiset m- kombiaatiot. Toise ryhmä m-kombiaatioide lukumäärä o siis f( 1, m). Nyt koska kaikki jouko [] m-kombiaatiot ovat jommassakummassa ryhmässä, saadaa (3.31) f(, m) f( 1, m) + f( 1, m 1), missä 1 m <. 18

19 Katsotaa, päteekö rekursio myös muille : ja m: arvoille. Jos m, ii yhtälö (3.31) vase puoli o yhtä kui 1 ja oikea puoli o yhtä kui Eli yhtälö pätee, ku m. Ku taas m >, yhtälö molemmat puolet ovat yhtä kui 0, jote yhtälö pätee, ku m, 1. Jos m < 0 tai < 0, yhtälö molemmat puolet ovat yhtä kui 0, eli yhtälö (3.31) pätee myös egatiivisille kokoaisluvuille. Tapauksessa, jossa m 0 ja > 0, yhtälö molemmat puolet ovat yhtä kui 1. Jos taas m 0 ja < 0, molemmat puolet ovat yhtä kui 0. Päivastaisessa tilateessa, eli ku 0 ja m 0, yhtälö molemmat puolet ovat yhtä kui 0. Aioastaa, ku 0 ja m 0, yhtälö ei päde, sillä tällöi vase puoli o yhtä kui 1 ja oikea puoli yhtä kui 0. Yhteevetoa yhtälö (3.31) saadaa äi olle muotoo (3.32) f(, m) f( 1, m) + f( 1, m 1), missä (, m) (0, 0) ja f(0, 0) 1. Nyt o eää löydettävä yhtälö ratkaisu geeroivie fuktioide avulla. Tässä tapauksessa voidaa käyttää mitä tahasa määritelmä (3.2) geeroivista fuktioista, jote esimerki vuoksi ratkaistaa yhtälö käyttämällä äitä kaikkia vuorotelle. Ratkaistaa rekursioyhtälö (3.32) käyttäe geeroivaa fuktiota (3.28) eli F (x, y),m f(, m)x y m. Kerrotaa esi yhtälö (3.32) puolittai termillä x y m ja summataa yli lukupari (, m) (0, 0). Saadaa f(, m)x y m,m f( 1, m)x y m + f( 1, m 1)x y m, (, m) (0, 0),m,m eli (3.33) f(, m)x y m + 1 1,m f( 1, m)x y m f( 1, m 1)x y m + 0, (, m) (0, 0).,m,m Koska f(0, 0) x 0 y 0 1, f( 1, 0) x 0 y 0 0 ja f( 1, 1) x 0 y 0 0, yhtälö (3.33) saadaa muotoo (3.34) F (x, y) 1 f( 1, m)x y m + f( 1, m 1)x y m.,m,m Otetaa yhtälö (3.34) oikea puole esimmäisestä summasta x summa ulkopuolelle ja imetää uudellee r + 1. Samoi otetaa toisesta summasta xy summa ulkopuolelle ja imetää r+1 ja m s+1. Koska summat ovat yli kokoaislukuje, ei tarvitse huolehtia ylä- tai alarajoje muutoksista uudelleeimeämisissä. Saadaa F (x, y) 1 x f(r, m)x r y m + xy f(r, s)x r y s r+1,m 19 r+1,s+1

20 eli F (x, y) 1 x f(r, m)x r y m + xy f(r, s)x r y s r,m r,s ja siis (3.35) F (x, y) 1 xf (x, y) + xyf (x, y). Yhtälöstä (3.35) o helppoa ratkaista F (x, y), ja saadaa siis (3.36) F (x, y) 1 1 x xy. Nyt f(x, y) o termi x y m kerroi geeroiva fuktio F (x, y) sarjahajotelmassa. Ratkaistaa seuraavaksi rekursio (3.32) käyttäe geeroivie fuktioide muotoa (3.29), eli fuktioperhettä G (y) m f(, m)y m, missä Z. Valitaa siis kokoaisluku 0, lisätää yhtälöö (3.32) puolittai termi y m, ja summataa yhtälö puolittai yli muuttuja m määrittelyaluee, eli kokoaislukuje. Saadaa f(, m)y m f( 1, m)y m + f( 1, m 1)y m, missä 0. m m m Ku edellisessä otetaa oikea puole jälkimmäisestä summasta y summa ulkopuolelle, saadaa (3.37) G (y) G 1 (y) + yg 1 (y), missä 0. Yhtälöstä (3.37) ähdää, että jokaie G (y) o (1 + y) kertaa edeltävä G 1 (y). Nyt G 0 (y) 1, sillä f(0, 0)y 0 1, ja f(0, m) 0 o voimassa aia, ku m 0. Lisäksi selvästi G (y) 0, ku < 0. Saadaa äi olle (3.38) G (y) (1 + y), ku 0. Nyt siis f(, m) o termi y m kerroi lausekkee (1 + y) sarjahajotelmassa. Viimeiseä ratkaistaa vielä rekursioyhtälö (3.32) käyttäe geeroivie fuktioide muotoa (3.30), eli fuktioperhettä H m (x) f(, m)x, missä m Z. Jällee valitaa kokoaisluku m 0, lisätää yhtälöö (3.32) puolittai termi x, ja summataa puolittai yli muuttuja määrittelyaluee, eli kokoaislukuje. Saadaa f(, m)x f( 1, m)x + f( 1, m 1)x, missä m 0. Ku edellisessä otetaa molemmista oikea puole summista x summa ulkopuolelle ja huomataa, että koska summataa yli kokoaislukuje, summa ideksoitia voidaa muuttaa vapaasti, saadaa H m (x) xh m (x) + H m 1 (x), missä m 0. 20

21 Ku tästä väheetää puolittai termi xh m (x) ja jaetaa sitte puolittai termillä (1 x), saadaa (3.39) H m (x) x 1 x H m 1(x), missä m 1. Edellisessä ehto m 1 saadaa ehdosta m 0 ja siitä, että H m (x) 0, ku m < 0, sillä f(, m) 0 aia, ku m < 0. Ratkaistaa vielä H 0 (x). Kaava (2.7) perusteella, ja koska f(, 0) 1, ku 0, ja koska f(, 0) 0, ku < 0, saadaa (3.40) H 0 f(, 0)x x x. Nyt yhdistämällä tulokset (3.39) ja (3.40), saadaa (3.41) H m (x) x m, ku m 0, (1 x) m+1 ja siis f(, m) o termi x kerroi lausekkee x m (1 x) m+1 eli lausee 3.1 perusteella termi x m kerroi lausekkeessa ( 1 1 x [6, s. 15] sarjahajotelmassa, ) m+1. Edellise esimerki 3.4 tapauksessa saatii kolme erilaista geeroivaa fuktiota vastaukseksi. Täsmällie ratkaisu kerroijoo alkioille saadaa käyttämällä Taylori sarjaa (3.42) a 1 ( ) d f(0), missä 0, dx mitä kutsutaa myös Maclaurii sarjaksi. Kaava (3.42) ataa ratkaisu joolle (a ), ku halutaa esittää tuettu fuktio f(x) muodossa f(x) a x. Kaava käyttö vaatii tietysti se, että f(x) o jatkuvasti derivoituva, ja se, ettei toistuva derivoiti käy liia hakalaksi suorittaa. Esimerki 3.4 kohdalla Taylori sarja toimii täydellisesti, sillä tapauksessa (3.41) saadaa ja siis saadaa ( ) ( d 1 ) dx (1 x) m+1 (m + 1)(m + 2) (m + ) (1 x) m++1 (m + )!, missä 0, m!(1 x) m++1 a 1 (m + )! (m + )!, missä m, 0. m!1m++1 m! 21

22 sarjaha- Tämä tarkoittaa, että a o termi x 1 kerroi lausekkee jotelmassa, eli (3.43) 1 (1 x) m+1 (m + )! x, missä m 0. m! Siis haettu termi x m kerroi, eli f(, m), o a m Saadaa siis (3.44) (1 x) m+1 1 (m + m)! ( m)! m!1, missä, m 0. m+ m+1 m!( m)! ( ) m, missä, m 0. m!( m)! Vastaavasti löydetää kaava tapauksessa (3.38), missä geeroivasta fuktiosta G (y) (1 + y) saadaa ( ) m 1 d (1 + y) ( 1) ( m + 1)(1 + y) m m! dx m! ( 1) ( m + 1)( m)!(1 + y) m m!( m)! (1 + y) m, missä, m 0. m!( m)! Tällöi siis termi y m kerroi geeroiva fuktio G (y) sarjahajotelmassa o (1 + 0) m a m, missä, m 0. m!( m)! m!( m)! Tapauksessa (3.36) geeroiva fuktio F(x, y) saadaa esi geometrise sarja summa kaava (2.7) perusteella muokattua muotoo F (x, y) 1 1 x xy (x + xy) r r0 x r (1 + y) r. r0 Etsitty vastaus f(, m) o siis termi x y m kerroi lausekkeessa r0 x r (1 + y) r eli termi y m kerroi lausekkee (1 + y) sarjakehitelmässä, mistä palataa suoraa edellise tapaukse ratkaisuu. [6, s ] Stirligi toiset luvut Jouko S ositus tai ekvivalessirelaatio o kokoelma jouko S epätyhjiä, pareittai erillisiä osajoukkoja, joide yhdiste o joukko S. Ositukse sisältämiä joukkoja kutsutaa ositukse luokiksi. Esimerkiksi yksi jouko [5] ositus o {123}{4}{5}. Tässä osituksessa o kolme luokkaa, joista yhdessä ovat luvut 1, 2 ja 3, toisessa vai luku 4 ja viimeisessä luku 5. Luokkie tai iide sisältämie alkioide järjestyksellä ei ole väliä, vai se, mitkä alkiot kuuluvat mihiki luokkaa, merkitsee. [6, s. 17] 22

23 Esimerkki 3.5. Jouko [5] kaikki ositukset kahtee luokkaa ovat: {12}{345}; {13}{245}; {14}{235}; {123}{45}; {124}{35}; {134}{25}; {1}{2345}; {125}{34}; {135}{24}; {145}{23}; {1234}{5}; {1235}{4}; {1245}{3}; {1345}{2}; {15}{234}. Jouko [5] osituksia kahtee luokkaa o siis täsmällee 15 kappaletta. Jouko [] osituste lukumäärää k:ho luokkaa kutsutaa Stirligi toisiksi luvuiksi ja merkitää { { } k}. Edellisessä esimerkissä Esimerkki 3.6. Etsitää eksplisiittie kaava Stirligi toisille luvuille { } k käyttäe geeroivie fuktioide metodia. Muodostetaa esi rekursiokaava luvuille { } k. Valitaa mielivaltaiset positiiviset kokoaisluvut ja k. Kaikkia jouko [] osituksia k:ho luokkaa o { } k kappaletta. Jaetaa ämä ositukset kahtee osaa; esimmäisee ryhmää laitetaa kaikki e ositukset, missä luku o yksiää omassa luokassaa, ja toisee ryhmää kaikki loput ositukset, eli ositukset, missä luokassa o vähitää yksi luku luvu lisäksi. Nyt esimmäisessä ryhmässä luku o aia luokassa yksiää jokaisessa ryhmä osituksessa. Jos ryhmä kaikista osituksista poistetaa tämä luokka, selvästi ryhmää jäävät kaikki jouko [ 1] ositukset (k 1):ee luokkaa, eli tässä ryhmässä osituksia o { } 1 k 1 kappaletta. Lisäksi tässä todellaki ovat kaikki jouko [ 1] ositukset (k 1):ee luokkaa, sillä jos olisi vielä tällaie jouko [ 1] ositus, joka ei kuulu kyseisee ryhmää, ii jos tähä osituksee lisättäisii luokka, jossa luku o yksiää, tulisi siitä jouko [] ositus k:ho luokkaa, missä o omaa luokkaaa. Tämä o ristiriita se kassa, että aluperi tässä ryhmässä olivat kaikki tällaiset jouko [] ositukset. Toisessa ryhmässä puolestaa luku o luokassaa aia vähitää yhde muu luvu kassa. Näi olle, jos luku poistetaa osituksissa omasta luokastaa, ei osituksissa luokkie määrä muutu, vaa käsitellää yhä osituksia k:ho luokkaa, mutta ositettava joukko o yt [ 1]. Tällä kertaa kuiteki luku o voiut olla missä tahasa kuki ositukse k:sta luokasta, jote ku luku poistetaa osituksista, jää ryhmää idettisiä osituksia aia k kappaletta kutaki. Tässä ryhmässä o siis osituksia k { } 1 k kappaletta. Nyt alkuperäie ryhmä { } k kappaletta osituksia o jaettu kahtee ryhmää, joissa osituksia o { } { } 1 k 1 ja k 1 k kappaletta. Saadaa siis rekursioyhtälö { } { } { } k. k k 1 k Jotta yhtälö olisi hyvi määritelty, määritellää { } k kaikille kokoaisluvuille. Määritellää siis { } k 0, ku k > tai, ku < 0 tai k < 0. Lisäksi 23

24 määritellää { { } 0} 0, ku 0, ja Näi edellie rekursioyhtälö pätee aia, ku (, k) (0, 0). Saadaa (3.45) { } k { } 1 + k k 1 { } 1, ku (, k) (0, 0); k { } Seuraavaksi o löydettävä geeroivat fuktiot. Mahdolliset kadidaatit ovat A (y) { } y k, k k B k (x) { } (3.46) x ja k C(x, y) { } x y k.,k k Jos yt valittaisii geeroivaksi fuktioksi A (y), olisi yhtälö (3.45) puolittai kertomise ja summaamise jälkee käsittelyssä yksi lausekkee osa muotoa k k { } k y k rekursioyhtälö oikea puole kertoime k vuoksi. Geeroiva fuktio A (y) voisi kuiteki olla mahdollie, sillä lauseke muistuttaa tämä derivaattaa. Toisaalta, jos valittaisii geeroivaksi fuktioksi B k (x), kerroi k ei olisi mukaa summassa muuttujaa ja olisi äi olle otettavissa summa ulkopuolelle. { } Valitaa siis geeroivaksi fuktioksi B k (x). Selvästi yt B 0 (x) 1, sillä 0 0 aioastaa, ku 0. Valitaa siis mielivaltaie k > 0, kerrotaa rekursioyhtälö (3.45) puolittai termillä x ja summataa yli muuttuja määrittelyaluee, eli kokoaislukuje. Saadaa { } x k { } 1 x + k 1 { } 1 k x, missä k 1, B 0 (x) 1, k eli { } x x k { } 1 x 1 +kx k 1 { } 1 x 1, missä k 1, B 0 (x) 1. k Koska summaus tapahtuu yli kokoaislukuje, ei tarvitse huolehtia ylä- ja alarajoista ja saadaa siis B k (x) xb k 1 (x) + kxb k (x), missä k 1, B 0 (x) 1, eli B k (x) x 1 kx B k 1(x), missä k 1, B 0 (x) 1. 24

25 Nyt koska B 0 (x) 1, o jokaie B k (x) yhtä suuri kui x kertaa edellie 1 kx B k 1 (x). Saadaa (3.47) B k (x) x k, missä k 0. (1 x)(1 2x) (1 kx) Ehto k 0 o voimassa, sillä selvästi yhtälö pätee, ku k 0. Nyt o vielä löydettävä yhtälölle (3.47) ratkaisu potessisarja muodossa, ja tämä löytyy osamurtokehitelmää käyttäe. Kyseessä oleva osamurtokehitelmä o muotoa (3.48) 1 k (1 x)(1 2x) (1 kx) α j (1 jx). j1 Jotta osoittajat α j saadaa ratkaistua, valitaa mielivaltaie r site, että 1 r k. Kerrotaa yhtälö (3.48) esi puolittai lausekkeella 1 rx ja valitaa sitte x 1/r. Koska yhtälö oikelta puolelta summattavat supistuvat pois lukuuottamatta tapausta, missä j r, saadaa (3.49) 1 α r (1 1/r)(1 2/r) (1 (r 1)/r)(1 (r + 1)/r) (1 k/r) r k 1 r k 1 (1 1/r)(1 2/r) (1 (r 1)/r)(1 (r + 1)/r) (1 k/r) r k 1 (r r/r)(r 2r/r) (r r(r 1)/r)(r r(r + 1)/r) (r kr/r) r k 1 (r 1)(r 2) (r (r 1))(r (r + 1)) (r k) r k 1 (r 1)!( 1) (r k) r k 1 ( 1) k r (r 1)!(+1) (k r) ( 1) k r r k 1, missä 1 r k. (r 1)!(k r)! Haettu { } k o siis yhtälöide (3.47) ja (3.48) perusteella termi x kerroi lausekkee x k, missä k 1, (1 x)(1 2x) (1 kx) sarjahajotelmassa. Nyt siis { } k o kaava (3.1) perusteella sarjahajotelma 25

26 termi x k kerroi lausekkeessa 1 k (1 x)(1 2x) (1 kx) α r 1 rx r1 k α r 1 1 rx r1 k α r r1 k α r r1 k r1 Tästä ähdää helposti termi x k kerroi eli (3.50) { } k (rx) r x α r r x, missä k 1. k α r r k r1 k ( 1) k r r k 1 r1 (r 1)!(k r)! r k k ( 1) k r r 1 r1 (r 1)!(k r)!, mikä o täsmällee haettu lauseke Stirligi toisille luvuille. [6, s ] Jos edellisessä esimerkissä olisi valittu geeroivaksi fuktioksi fuktioperhe A (y), olisi laskutoimituste loppuuvieti ollut huomattavasti hakalampaa. Kuiteki tämä lähestymistapa tuottaa tietoa ratkaisufuktiosta eri tavalla. Valitaa siis mielivaltaie > 0, kerrotaa rekursioyhtälö (3.45) puolittai termillä y k ja summataa puolittai yli luvu k määrittelyaluee. Saadaa A (y) { } 1 y k + { } 1 k y k k k 1 k k { } { } 1 1 (3.51) k y k 1 k 1 k y k y k 1 + y k ya 1 (y) + (y d dy )A 1(y) (y(1 + D y ))A 1 (y), missä > 0 ja A 0 (y) 1. Koska selvästi A 0 (y) 1, saadaa jokaie A (y) kertomalla edellie A 1 (y) operaattorilla y(1 D y ). Näi saadaa ratkaisuksi joo alkioita 26

27 y, y + y 2, y + 3y 2 + y 3,..., mikä ei auta eksplisiittise kaava löytämisessä. Tällä lähestymistavalla saadaa siis selville vai, että (3.52) A (y) (y + yd y ) 1, missä 0. Vaikka tällä geeroiva fuktioperhee valialla ei edellisessä esimerkissä siis olisi päästy haettuu eksplisiittisee kaavaa, voidaa tämä versio avulla saada eri tavalla tietoa mm. joo ({ }) käyttäytymisestä, ku k k1 o vakio. Geeroiva fuktio avulla voidaa esim. todistaa tämä joo uimodaalisuus helposti (ks. esim. [6, s. 129]). Tähä ei kuitekaa syveytä tarkemmi tässä tutkielmassa, vaa tyydytää toteamaa, että eri lähestymistavoilla voidaa saada hyvi erilaista tietoa ogelmasta, ja geeroiva fuktio valita riippuu halutusta ratkaisusta. [6, s ] 3.3 Ekspoetiaalie geeroiva fuktio Tässä kappaleessa käydää lyhyesti läpi ekspoetiaalise geeroiva fuktio muoto ja se käsittelyy käytetty x d log operaatio. Tällä o lukuisia käyttökohteita lukujooja käsiteltäessä, ku tavallise geeroiva fuk- dx tio avulla ei päästä haluttuu lopputuloksee. Ekspoetiaalise geeroiva fuktio käyttöä havaiollistetaa myös tässä kappaleessa esimerkkie kautta. Määritelmä 3.3. Lukujoo (a ) ekspoetiaaliseksi geeroivaksi fuktioksi A(x) kutsutaa muodollista potessisarjaa (3.53) a x. Ekspoetiaalise geeroiva fuktio tapauksessa siis haettu lukujoo alkio a o termi x kerroi ekspoetiaalise geeroiva fuktio A(x) sarjahajotelmassa. [6, s. 20] Belli toiset luvut Stirligi toiset luvut { } k kertovat, kuika moella tavalla elemettiä voidaa jakaa k:ho osaa. Belli luvut puolestaa kertovat, kuika moella tapaa elemettiä voidaa ylipääsä osittaa. Belli lukuja merkitää otaatiolla b(), ja sovitaa erityisesti, että b(0) 1. Esimerkki 3.7. Etsitää kaava Belli luvuille. Koska Belli luku b() kertoo elemettiä sisältävä jouko kaikkie mahdolliste osituste lukumäärä ja Stirligi toie luku { } k lukumäärä elemettiä sisältävä jouko osituksille k:ho osaa, selvästi Belli luvut saadaa summaamalla Stirligi toiset luvut yli muuttuja k, missä 1 k. Kaava Stirligi toisille luvuille { } k o jo ratkaistu edellise luvu esimerkissä 3.6, jote suora kaava 27

28 muodostamie ei ole hakalaa. Lisäksi o huomattavaa, että kaava (3.50) pätee kaikille positiivisille kokoaisluvuille ja k, erityisesti siis kaava pitää paikkaasa, ku < k, jote tässä tapauksessa summa tuloseksi saadaa automaattisesti 0. Muodostettaessa kaavaa Belli luvuille, voidaa siis summata kaava (3.50) viimeie osa yli muuttuja k, missä 1 k M, ja M o mielivaltaie positiivie kokoaisluku site, että M. Saadaa M k b() ( 1) k r r 1 k1 r1 (r 1)!(k r)! M k r 1 k1 r1 (r 1)! ( 1)k r (k r)! M M r 1 r1 kr (r 1)! ( 1)k r (k r)! M r 1 M ( 1) k r r1 (r 1)! kr (k r)! M r 1 M r ( 1) k r r1 (r 1)! k rr r (k r)!. Ku tästä imetää uudellee viimeise lausekkee jälkimmäisessä summassa s k r, saadaa M r 1 ( M r ( 1) s ). (r 1)! s0 s! r1 Nyt koska M o mielivaltaie luku, jolle M, eli M voi kasvaa mielivaltaise suureksi, voidaa muuttujia ja r ajatella, kui e olisivat vakioita, ja ataa muuttuja M lähestyä ääretötä. Tällöi saadaa kaava (2.8) perusteella (3.54) b() 1 e r1 r 1, missä 1. (r 1)! Vaikka yt o löydetty suora kaava Belli luvuille, ei kaavaa (3.54) voi käyttää sellaiseaa se sisältämä äärettömä summa vuoksi. Otetaa siis käyttöö geeroivie fuktioide metodi, ja valitaa geeroivaksi fuktioksi ekspoetiaalie geeroiva fuktio (3.53). Merkitää tätä otaatiolla (3.55) B(x) b() x. Seuraavaksi kerrotaa yhtälö (3.54) puolittai termillä x ja summataa yli muuttuja määrittelyaluee, eli positiiviste kokoaislukuje. Saadaa b() x 1 e 28 x r1 r 1 (r 1)!.

29 Nyt koska b(0) 1 ja x0 0! 1, saadaa vielä kaava (2.8) perusteella (3.56) B(x) 1 1 e 1 e 1 e 1 e x r1 x r1 (rx) r1 ( r1 1 r! r 1 (r 1)! 1 1 e r1 r! (erx 1) { ( (e x ) r r r 1 r(r 1)! r! (rx) ) 1 )} 1 e r0 1 e (eex e) e ex 1 1. r! 1 r! Siis (3.57) B(x) e ex 1, eli ratkaisu Belli luvulle b() o termi x kerroi geeroiva fuktio (3.57) sarjahajotelmassa. [6, s ] Edellisestä esimerkistä saadaa seurauksea seuraava lause, mikä o osoitus geeroivie fuktioide metodi käytäöllisyydestä. Tässä tapauksessa itse Belli luvut ovat hyvi moimutkaisia muodostaa, mutta iide geeroiva fuktio o yksikertaie ja helppo muistaa. Lause 3.3. Belli lukuje ekspoetiaalie geeroiva fuktio o e ex 1, eli Belli luku b() o termi x kerroi lausekkee e ex 1 potessisarjahajotelmassa. [6, s. 23] x d log operaatio dx Tähä meessä tässä tutkielmassa o pyritty johtamaa rekursioyhtälöstä geeroiva fuktio kaava, ja site löytämää kaava aetulle lukujoolle. O kuiteki mahdollista johtaa geeroiva fuktio yhtälöstä rekursioyhtälö lukujoo alkioille käyttämällä x d log operaatiota. Operaatio käyttö dx tapahtuu seuraavasti: 1. Otetaa yhtälöstä puolittai (luoollie) logaritmi. 29

30 2. Derivoidaa yhtälö puolittai, ja kerrotaa yhtälö se jälkee puolittai termillä x. 3. Siistitää yhtälöstä pois osamäärät. 4. Etsitää yhtälö molemmilta puolilta termi x kertoimet kaikille ideksi arvoille, ja yhdistetää saadut kertoimet yhtälöksi. [6, s. 23] Operaatio toimivuus perustuu selkeästi Neperi luvu e olemassaoloo yhtälössä, mikä luoollisesti tekee tästä operaatiosta toimiva imeomaa käytettäessä ekspoetiaalista geeroivaa fuktiota. Esimerkki 3.8. Etsitää rekursioyhtälö Belli luvuille käyttämällä log operaatiota lausee 3.3 Belli lukuje geeroivaa fuktioo x d dx (3.58) b() x e ex 1. Operaatio esimmäie vaihe o siis ottaa luoollie logaritmi puolittai yhtälöstä (3.58). Saadaa { } b() log x e x 1. Seuraavaksi derivoidaa saatu yhtälö puolittai, jolloi saadaa b() x 1 e x. b() x Ku tämä vielä kerrotaa puolittai termillä x, saadaa b() x b() x xex. Seuraavaksi siistitää osamäärä kertomalla yhtälö vielä puolittai lausekkeella b() x, ja tällöi tulokseksi saadaa (3.59) b() x (xe x ) b() x. Viimeie vaihe o löytää termi x kertoimet ja yhdistää saadut kertoimet yhtälöksi. Tässä tapauksessa yhtälö (3.59) vasemmalta puole kerroi o helppo löytää, mutta oikealla puolella o muodostettava kahde potessisarja tulo ja se jälkee etsittävä kerroi. Seuraavassa kappaleessa käydää läpi yleie ja helppo tapa muodostaa tämä tulo, jote laskutoimitukset käydää läpi myöhemmi esimerkissä 4.7. Todetaa tässä kohde aioastaa, että ratkaisuksi saadaa ( ) 1 (3.60) b() b(k), missä 1 ja b(0) 1. k [6, s ] k0 30

31 4 Geeroivie fuktioide laskuoppia Tässä luvussa käydää läpi erilaiste geeroivie fuktioide laskutoimepiteitä, ja koska tässä tutkielmassa käsitellyt geeroivat fuktiot ovat muodollisia potessisarjoja, myös kaikki laskutoimepiteet suoritetaa muodolliste sarjoje rekaassa. Lisäksi, koska geeroivat fuktiot ovat potessisarjoja, aia ku geeroivalle fuktiolle tehdää operaatio, tarkoittaa se vastaava operaatio suorittamista kaikille se kertoimille. Jos käsiteltävä potessisarja suppeee ja käsitellääki fuktiota, jokaista tälle fuktiolle tehtävää laskutoimitusta vastaa aia joki operaatio fuktio potessisarjahajotelma kertoimille. Näillä vastaavuuksilla o suuri merkitys, ku mietitää sopiva geeroiva fuktio valitaa. [6, s. 30] 4.1 Tavalliste geeroivie fuktioide laskuoppia Tavallisella geeroivalla fuktiolla tarkoitetaa tässä alaluvussa tutkielmassa käytettyä tavallista potessisarjamuotoista yhde muuttuja geeroivaa fuktiota. Wilf o kirjassaa [6] sivuuttaut tässä alaluvussa esitettävie lauseide todistukset, ja selkeyde vuoksi todistukset oki lisätty tähä tutkielmaa kirjoittaja toimesta. Määritelmä 4.1. Merkiällä f ops (a ) tarkoitetaa, että f o joo (a ) tavallie muodollise potessisarja geeroiva fuktio (egl. ordiary power series geeratig fuctio), eli f(x) a x. [6, s. 30] Oletetaa, että f ops (a ). Tällöi joo (a +1 ) tavallie geeroiva fuktio o a +1 x a +1 x +1 x 1 x a x 1 ( x 1 x ) a x + a 0 x 0 a 0 x 0 ( f(x) a 0. x ) a x a 0 Siis jos f ops (a ), ii ((f a 0 )/x) ops (a +1 ). [6, s. 30] Eli yhde yksikö muutos joo alaideksissä muuttaa geeroivaa fuktiota erotusosamäärä f a 0 verra. Yleisesti, jos alaideksiä muutetaa h x yksikköä, missä h 1, saadaa tätä vastaava geeroiva fuktio seuraava lausee mukaisesti: 31

32 Lause 4.1. Jos f ops (a ) ja h Z +, ii [6, s. 31] (a +h ) ops f a 0 a h 1 x h 1. x h Todistus. Olkoo f ops (a ) ja h Z +. Nyt siis f(x) a x. Tällöi lukujoo (a +h ) geeroiva fuktio o a +h x a +h x +h x h 1 x a h x h 1 ( x h Siis 1 x h ) a x + a 0 x a h 1 x h 1 a 0 x 0 a h 1 x h 1 h ( ) a x a 0 x 0 a h 1 x h 1 f(x) a 0 a h 1 x h 1 x h. (a +h ) ops f a 0 a h 1 x h 1, missä h Z x h +. Edellise lausee avulla ähdää esimerkiksi Fiboacci lukuje rekursioyhtälöstä F +2 F +1 + F, missä 0 ja F 0 0, F 1 1, välittömästi, että yhtälö o muuettavissa geeroivie fuktioide yhtälöksi f(x) x x 2 f(x) x ops + f(x), missä f (F ). Tämä kappalee tarkoitus oki helpottaa siirtymistä jooje relaatioista potessisarjoje relaatioihi. [7, s. 34] Lause 4.2. Jos f ops (a ), ii [6, s. 31] xdf ops (a ). 32

33 Todistus. Olkoo f ops (a ), eli f(x) a x. Nyt joo (a ) tavallie geeroiva fuktio o muodollise potessisarja määritelmä perusteella a x x a x 1 xdf(x). Siis xdf ops (a ). Esimerkki 4.1. Olkoo ( + 1)a +1 3a + 1, missä 0 ja a 0 1, ja olkoo f ops (a ). Nyt lauseide 4.1 ja 4.2 sekä geometrise sarja summa (2.7) perusteella saadaa rekursio ( + 1)a +1 3a + 1 eli a +1 + a +1 3a + 1 muutettua geeroivie fuktioide yhtälöksi Siis xd ( f (x) x + x ja äi olle saadaa [6, s. 31] ( ) f(x) 1 x + f(x) 1 x ) 1(f(x) 1) + f(x) 1 x 2 x f (x) 3f(x) x. Lause 4.3. Jos f ops (a ) ja k Z +, ii [6, s. 31] (xd) k f ops ( k a ). 3f(x) + x. 3f(x) x, Todistus. Olkoo f ops (a ) ja k Z +. Tällöi siis f(x) a x. Väitetää, että (xd) k f ops ( k a ) eli että (xd) k f(x) k a x. Todistetaa väite iduktiolla luvu k suhtee. Lausee 4.2 perusteella väite o selvästi tosi, ku k 1. Oletetaa sitte, että väite pätee, ku k m, missä m Z +, ja väitetää, että väite o tosi myös, ku k m + 1. Todistetaa iduktioväite. Nyt siis iduktio-oletukse 33

34 ja muodollise potessisarja derivaata määritelmä perusteella saadaa (xd) m+1 f(x) (xd)(xd) m f(x) xd m a x x m a x 1 m+1 a x m+1 a x, eli iduktioväite pätee. Näi olle iduktioperiaattee perusteella väite o tosi, ja (xd) k f ops ( k a ). Lause 4.4. Jos f ops (a ) ja P o polyomi, ii [6, s. 32] P (xd)f ops (P ()a ). Todistus. Olkoo f ops (a ) ja P polyomi. Tällöi siis f(x) a x ja P (x) p 0 + p 1 x + + p m x m, missä m o positiivie kokoaisluku ja kertoimet p i R. Tällöi joo (P ()a ) geeroiva fuktio o lausee 4.3 perusteella P ()a x (p 0 + p p m m )a x p 0 a x + p 1 a x + + p m m a x p 0 a x + p 1 a x + + p m m a x p 0 a x + p 1 (xd) a x + + p m (xd) m a x (p 0 + p 1 (xd) + + p m (xd) m ) a x P (xd)f(x). Siis P (xd)f ops (P ()a ). Esimerkki 4.2. Etsitää suljettu kaava sarja summalle ( ). Kaava o selvästi joo (( )/) geeroiva fuktio f(x) arvo, 34

35 ku x 1. Valitaa siis a 1/, ja äi olle tämä geeroiva fuktio o kaava (2.8) perusteella f(x) x ex. Tästä saadaa lausee 4.4 perusteella joo (( )/) geeroivaksi fuktioksi ((xd) 2 + 4(xD) + 5)e x (xd)xe x + 4xe x + 5e x xe x + x 2 e x + 4xe x + 5e x (x 2 + 5x + 5)e x. Siis haettu ratkaisu o lausekkee (x 2 + 5x + 5)e x arvo, ku x 1, eli 11e. [6, s. 32] Edellisessä esimerkissä arvioitii geeroivaa fuktiota arvolla x 1. Tällaistä operaatiota ei kuitekaa ole olemassa muodolliste sarjoje rekaassa, mikä sisällä operaatiot suoritetaa, sillä tässä tapauksessa termi x rooli o aioastaa paikamäärittäjää. Potessisarjaa, joka suppeee tietyllä muuttuja x arvolla, voidaa arvioida kyseisellä muttuja x arvolla, mutta tämä o eemmiki aalyyttie kui muodollie lähestymistapa. Kuiteki, jos ratkaisuu ee arvioitia o päädytty muodolliste sarjoje rekaa laskutoimituksi ja tässä vaiheessa huomataa saadu sarja suppeeva aalyyttiseksi fuktioksi joki kompleksitaso kieko sisällä, ovat kaikki muodolliste sarjoje rekaassa suoritetut laskutoimepiteet aalyyttisesti valideja myös kaikilla kompleksiluvuilla x tämä kieko sisällä. Siis lähestymistapaa sarja suhtee voidaa vaihtaa muodollisesta aalyyttiseksi vaikuttamatta ratkaisu validiutee. [6, s. 32] Esimerkki 4.3. Etsitää suljettu kaava N: esimmäise kokoaisluvu eliöide summalle. Nyt (4.1) N x xn+1 1, missä N > 0, x 1 sillä kaava (2.7) perustella N x x x N x x +N x x N+1 x 35