ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät

Transkriptio

1 ELEC-A700 Signaalit ja järjestelmät Professori Riku Jäntti

2 ELEC-A700 Signaalit ja järjestelmät Mitä kurssilla käsitellään? signaalien ja järjestelmien peruskäsitteitä signaali- ja järjestelmäanalyysin perusmenetelmiä signaalin siirron perusteita signaalin mittaamisen perusteita Missä tällaisia tietoja tarvitaan? kun jotain mitataan kun jotain signaalia siirretään kun signaaleja suodatetaan kun signaaleja generoidaan kun jotain järjestelmää säädetään

3 Signaali s(t) Signaali on ajan funktio Aika on voi olla joko jatkuva t tai diskreetti t ζt 0,t 1,t } Signaali voi olla reaalinen tai kompleksinen Luonnolliset signaalit ovat aina reaalisia, mutta kompleksisignaali on usein kätevä tapa esittää moduloituja signaaleita s(t)=x(t)cos(ϖt,ε( = Re{x(t)e -iε e iϖt s l (t)=x(t)e -iε Ekvivalentti alipäästösignaali

4 Signaalit ja järjestelmät Fysikaalinen järjestelmä Sähköpiiri Mekaaninen järjestelmä Virtausjärjestelmä Biologinen prosessi Jatkuvaaikainen signaali Jännite Virta Paine Terminen kohina 1/f kohina Pyyhkäisevä spekrianalysaattori Signaali taajuusalueessa Mittauskohina Alipäästösuodatin Näytteenotto Analogia- Digitaalimuunnos Diskreettiaikainen signaali FFT

5 Signaalit ja järjestelmät Fysikaalinen järjestelmä Sähköpiiri Mekaaninen järjestelmä Virtausjärjestelmä Biologinen prosessi Jatkuvaaikainen signaali Jännite Virta Paine Terminen kohina 1/f kohina Pyyhkäisevä spekrianalysaattori Signaali taajuusalueessa Mittauskohina Alipäästösuodatin Näytteenotto Analogia- Digitaalimuunnos Diskreettiaikainen signaali FFT

6 Johdanto luento Sisältö Kurssijärjestelyt Johdatus signaaleihin ja järjestelmiin Signaalin teho- ja energia Signaalit aika-alueessa Järjestelmät aika-alueeessa Signaalit taajuusalueessa Järjestelmät taajuusalueesa Modulaatio Satunnaissignaalit ja kohina Näytteenotto

7 Signaalien teho ja energia

8 Signaalin teho ja energia Sähköpiiri jossa resistiivinen 1 Ohmin kuorma (R=1 ς) Hetkellinen näennäisteho ut () 1 it () < ut () R R * 1 Pt () < uti () () t < ut () < ut () R Vastuksessa kuluva energia aikavälillä [t 0,t 1 ] t 1 1 E < P() t dt < u() t dt, t, t 0 0 t Vastuksessa kuluva keskimääräinen teho aikavälillä [t 0,t 1 ] t P < P() t dt < u() t dt t, t t, t 1 0 t 1 0 t 0 0 t 8

9 Signaalien luokittelu Energiasignaalit T E < lim T s( t) dt, T Signaali on energiasignaali, jos 0<E< Tehosignaalit T 1 P < lim T s() t dt T T, Signaali on tehosignaali, jos 0<P< 9

10 Jaksolliset signaalit ovat tehosignaaleja Jaksollinen signaali xt ( ) < xt ( T), t 0 T 0 on jaksonaika, 1/T 0 on ominaistaajuus Keskimääräisen tehon laskemiseksi riittää, että tarkastellaan yhtä jakson mittaista aikaväliä. Jakson paikka voidaan valita mielivaltaisesti T 0 t0 T0 1 1 P < x() t dt x() t dt t0 T <! T 0 T t -T 0 / T 0 / t 10

11 Energiasignaalit Pulssit ovat energia signaaleita. Esim. Yksikköpulssi rect(t) Vaimenevat signaalit ovat (tyypillisesti) energiasignaaleja Vaimeneva värähtely ϖ (, at Ce cos t, a=

12 Erikoissignaalit voidaan lausua Diracin delta-funktion avulla Diracin delta-funktio χ(t) on äärettömän kapea pulssi, jonka pinta-ala on 1. χ(t) on tehosignaali, 0 χ() t dt < χ() t dt < 1 0, χ 1 t < rect δ δ ( t limδ 0 1 δ x( 1 1 1, x rect < 0 muutoin, 1 δ 1 δ 1

13 Erikoissignaalit Signum ja askel ovat tehosignaaleja, 1 t ; 0 sign( t) < 0 t < 0 1 t = 0 1 sign( t) 0 t 0 step( t) < < 1 t = 0 Erikoissignaalit riippuvat χ(t):stä! d dt sign( t) < χ ( t 13

14 Signaalit aikaalueessa Signaali-avaruus

15 Vektoriavaruus Vektori x voidaan esittää vektoriavaruuden ortonormaalin kannan {v k, k=1,, n} avulla n x< k < 1 H k ( v x v Sisätulo = Pistetulo n H * v x( x v < k i ki, i< 1 Ortonormaalisuus H vk vl ( 1 < 0 k k k < l l * xv * ( v x v v v 1 * vx 1 * ( v x v 1 1 x v v x 1 x 1 < x 1 < 0 0 < 1 v v 1 H * * < v1 v v v < 15

16 Signaaliavaruus Signaali x(t) voidaan esittää vektoriavaruuden ortonormaalin kannan {v k (t), k=1,, n} avulla n < k< 1 x() t x(), t v () t v () t Sisätulo t1 * (), k() < () k() t x t v t v(), t v () t l k k 0 k x t v t dt 1 l < < 0 l k k x( t) < x rect( t) x rect( t, 1) 1 < xv () t x v () t 1 1 v1() t < rect() t ( v( t) < rect t, 1 16

17 Signaaliavaruus Sini ja kosini ovat ortogonaalisia Moduloitu signaali x( t) < Acos ϖ t π < Asin π cos ϖ t, Acos π sin ϖ t 8-PSK ( ( ( ( ( c c c Konstellaatio diagrammi

18 Sisätulo Sisätulo mittaa signaalien samankaltaisuutta Esim. 100 ms pituinen pulssi x(t) halutaan havaita kohinasta. Millä ajanhetkellä pulssi alkoi? Pulssi x(t-00) Pulssi + kohina yt () xt (,σ ), yt () Aika ms Aika ms Viive σ ms 18

19 Järjestelmät aikaalueessa Konvoluutio-integraali

20 Järjestelmät Järjestelmä / Systeemi / Prosessi on objekti, joka määrittää relaatiot signaalijoukon välillä. Järjestelmän signaalit jaetaan usein tulosuureisiin ja lähtösuureisiin Tulosignaalit ovat järjestelmästä riippumattomia Lähtösignaalit sisältävät järjestelmän tuottamaa informaatiota. Tyypillisesti järjestelmä reagoi lähtösignaaleihin ja tuottaa niiden perusteella lähtösignaalit. Tällöin tulo- ja lähtösignaalien välillä vallitsee kausaliteettisuhde. Häiriöt Manipuloitavat tulosuureet Järjestelmä Lähtösuureet SISO MISO SIMO MIMO Single Input-Single Output Multiple Input Single Output Single Input Multiple Output Multiple Input Multiple Output 0

21 Lineaariset aikainvariantit järjestelmät Linear Time Invariant (LTI) Systems Jatkuva-aikaisen LTI-järjestelmän toimintaa kuvaa lineaarinen differentiaaliyhtälö x(t) h(t) y(t) n n, 1 m m, 1 d d d d yt () <, a1 yt (), Κ, ayt () 1 n b0 xt () b1 xt () Κ bxt () n n, m m, 1 m dt dt dt dt R i(t) L i(t) C i(t) k B m v(t) vt () < Rit () v(t) dit () v() t < L dt v(t) dvt () i() t < C dt x 1 (t) x (t) F () t < k( x() t, x ()) t k < kχxt () 1 x 1 (t) x (t) () dχxt () Fb t < B dt x(t) () d xt () Fm t < m dt 1

22 LTI-järjestelmän impulssivaste Impulssivaste h(t) χ(t) h(t) h(t) Esim. RC suodatin R x(t) C y(t)

23 LTI-järjestelmän vaste LTI-järjestelmän vaste mielivaltaiselle herätteelle x(t) y( t) < x( σ) h( t, σ) dσ, Konvoluutiointegraali voidaan tulkita usean impulssivasteen summaksi y( t) < x( σ) h( t, σ) dσ x( kt ) h( t, kt ), k <, R x(t) C y(t) 3

24 Impulssivaste Esim. Konserttisalin akustiikan mallinnus h t hχ t σ ( () < k, k k 4

25 Signaalit 0,8 1 0,6 0,4 0, 0 0,8 1 0,6 0,4 0, 0 0,8 1 0,6 0,4 0, 0 Normaali sydämen lyönti 4 Hz 8 Hz 1 Hz 16 Hz 0 Hz Kammiotakykardia 4 Hz 8 Hz 1 Hz 16 Hz 0 Hz Kammiovärinä 4 Hz 8 Hz 1 Hz 16 Hz 0 Hz taajuusalueessa Fourier-sarja ja Fourier-muunnos

26 Jaksolliset signaalit ovat tehosignaaleja Aika-alueessa xt ( ) < xt ( T0), t Taajuusalueessa sk k Fourier-sarja esitys Fourier-sarjan kertoimet οk x( t) < xk exp j k<, T 0 ( k 1 οk x < x t exp j dt T, 0 T T 0 0 Keskimääräinen teho Jaksonaika T 0 T 0 x() t -T 0 / T 0 / V 1 P< x() t dt< xk T t 0 T 0 k<, Viivaspektri Tehospektri Ominaistaajuus 1/T 0 Harmoninen taajuus /T 0, 3/T 0, 4/T 0, x k W Hz k T 0 Hz 6

27 Pulssit ovat energiasignaaleja Aika-alueessa xt ( ), t Taajuusalueessa X ( f ), f Fourier-käänteismuunnos Fourier muunnos < ο ( ( ) < ( )exp, ο ( x( t) X( f )exp j ft df, X f x t j ft dt, Pulssin energia E < x( t) dt < X( f ) df,, Energiaspektri xt () s(t) V X( f) S(f) J Hz t x( t) < rect( t) X( f) < sinc( f) f 7

28 Jaksolliset signaalit ovat Fourier muunnettavissa erikoissignaalien avulla Aika-alueessa xt ( ) < xt ( T0 ), t Taajuusalueessa sk k Fourier-sarja esitys Fourier-muunnos οk οk x( t) < xk exp j X( f) < xk f k<, T χ, 0 k<, T0 Keskimääräinen teho T 0 1 P< x() t dt< xk T x() t 0 T 0 V k<, Tehospektri x k W Hz -T 0 / T 0 / t k T 0 Hz Jaksonaika T 0 Ominaistaajuus 1/T 0 Harmoninen taajuus /T 0, 3/T 0, 4/T 0, 8

29 Aika- ja taajuusalueen analyysi Volttia Wattia/Hz 9

30 Aika- ja taajuusalueen signaalit Signaali generaattori Oskilloskooppi (Aika-alueen signali) Spektri-analysaattori (Taajuusalueen signaali) 30

31 Aika- ja taajuusalueen signaalit Signaaligeneraattorin tuottama kanttiaalto Kanttiaaltoja esiintyy mm. Digitaalinen kello signaali Hakkuriteholähteen tuottama vaihtojännite Testisignaali 31

32 Aika- ja taajuusalueen signaalit Spektrianalysaattorin tuottama tulos db Fourier-sarjaesityksen perusteella laskettu viivaspektri Teorian ennustamat arvot ovat erittäin lähellä mitattuja arvoja! db db -0.8 db -3.0 dḇ 4.7 db-6. db -7.4 db -8.5 db Teoriaa voi käyttää varmistaakseen siitä, että mittalaitteet on oikein kalibroitu!

33 Järjestelmät taajuusalueessa Signaalien suodattaminen

34 Lineaariset aikainvariantit järjestelmät

35 LTI-järjestelmä aika- ja taajuusalueissa LTI-järjestelmä aika-alueessa x(t) h(t) ( ( y() t < h σ x t, σ dσ, LTI-järjestelmä taajuusalueessa Konvoluutio aika-alueessa Kertolasku taajuusalueessa X(f) H(f) Y( f) < H( f) X( f) 35

36 LTI-järjestelmän taajuusvaste x() t < cos οft( H(f) ζ ( ( ο ( y( t) < H f cos ft arg H f 0 Bode Diagram 0log 10 ( H(f) ) Magnitude (db) Teho vaimennus arg{h(f)} Phase (deg) -45 Vaihesiirto Frequency (rad/sec) 36

37 Signaalin suodattaminen Y( f) < H( f) X( f) Mihin suodattimia tarvitaan? Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden vaimentaminen Sovitettu suodatin signaalikohinasuhteen maksimoimiseksi näytteenottohetkellä Signaalien erottaminen muista signaaleista esim. radiovastaanottimessa Halutun pulssimuodon tai -spektrin generoiminen Siirtokanavan aiheuttamien lineaaristen vääristymien korjaus Alkuperäisen signaalin rekonstruktio näytteistä Dupleksisuodattimet (ylä- ja alasuunnan liikenteen erottaminen omille kaistoilleen) Esikorostus/jälkikorjausmenetelmät Peilitaajuussignaalin vaimentaminen superhetero- dyneperiaatteella toimivassa radiovastaanottimessa jne 37

38 Ideaaliset alipäästö-, ylipäästö- ja kaistanpäästösuodattimet Alipäästösuodatin H( f) A Kaistanpäästösuodatin H( f) A Päästökaista Ylipäästösuodatin H( f) A f Päästökaista Kaistanestosuodatin H( f) A f Estokaista f Estokaista f 38

39 Käytännön suodattimet KÄYTÄNNÖN SUODATIN 0log A(f) ΧA p Suodatinperheitä -10 db -0 db -30 db -40 db ΧA e Selektiivisyys päästökaista ylimenokaista estokaista 39

40 Käytännön suodattimet Esimerkki kaupallisesta Butterworth suodattimesta 40

41 503_arch1_%81%9.jpg Epälineaariset järjestelmät

42 Muistiton epälineaarisuus Epälineaarinen funktio f x(t) f( ) y(t) Taylor-sarja y < f( x0) f '( x0) x, x0( f ''( x0) x, x0( f ''( x0) x, x0(...! 3! 4! < x x x Kertolasku aika-alueessa => Konvoluutio taajuusalueessa ( Y( f) < χ f X( f) X( f) X( f) X( f) X( f) X( f)

43 Särö Muistiton epälineaarisuus synnyttää harmoonisia yliaaltoja x(t) οft( xt () < cos x f( ) y(t) 0 k< 1 ο ( yt ( ) < u u cos kft k x Särökerroin Kokonaissärökerroin (THD) u a n, 1 dn < A, A;; 1 u n n n, 1 1 a1 Särövaimennus An <, 0log dn ( tot u u3 u4 u u1 d < d d d d <... Kuuntele säröä: 43

44 Keskinäismodulaatio Kaksi eritaajuista signaalia sekoittuu epälineaarisessa järjestelmässä f, f x(t) x x 1 f( ) y(t) f < lf mf x x x keskeis l m < n 1 l <...,,,, 1,0,1,,... m<..,,,, 1,0,1,,... 44

45 Epälineaarisuuden karakterisointi Epälineaarisia komponentteja kuten tehovahvistimia mallinnetaan usein matala-asteisilla polynomeilla ( ()) () ( 3 f x t a1x t a3x t Mallin parametrit selvitetään usien käyttäen ns. two-tone testisignaalia x( t) < Acos ϖt Acos ϖ t ( ( 1 Teho spektri (db) f 1 f f 1 -f f 1 f f +f 1 45

46 () () ( 3 y t a1x t a3x t a a 1 3 < 10 G 0 IP3 G, <, 10 3 IP3 3 Output power (dbm) IM < P P t t IP 3 Input power IP 3 IM 3 46

47 Modulaatio &ved=0ahukewi9i9kopc_nahxgo5okhbapc5cq_auiccgb&biw=180& bih=953#imgrc=rmlld5lfdjpjam%3a

48 Modulaatio Modulaatiossa siirretään moduloivan signaalin spektri kantoaallon taajuusalueelle, joko siten että spektrin muoto säilyy lineaarisessa modulaatiossa, tai niin että spektrin muoto muuttuu epälineaarisessa modulaatiossa Moduloiva signaali v(t) Modulaattori c(t) Kantoaalto generaattori x(t) Kantoaalto Moduloitu signaali 48

49 Modulaatio ja demodulaatio (DSB) cos ο ft( c Vaihelukittu luuppi cos ο ft( c vt () xt () Kanava yt () ~ rt () Modulointi Demodulointi Alipäästösuodatus V( f) Y( f), f c f c X( f) R( f), f c f c 49

50 Satunnaissignaalit Kohina

51 Satunnaissignaalit Satunnaisen signaalin käyttäytymistä tulevaisuudessa ei voida tarkasti ennustaa. Voidaan vain esittää todennäköisyys sille, että amplitudi on jollakin amplitudivälillä ( Pr xt () x < F(;) xt Satunnaissigaali on stationäärinen mikäli sen tilastolliset ominaisuudet eivät riipu ajasta x Amplitude Time Keskihajonta ρ= Oletusarvo λ= PDF

52 Satunnaissignaali Stationääriset ergodiset stokastiset prosessit Aika-alueessa Autokorrelaatiofunktio * r( σ) < E ζ s( t) s ( t σ) Fourier-käänteismuunnos ο σ( r( σ) < S( f )exp j f df, Taajuusalueessa Fourier-muunnos = tehospektri ο σ( S( f ) < r( σ)exp, j f dt, Keskimääräinen teho ζ P < r(0) < E s() t < S( f ) df, 5

53 Valkoinen kohina Johtuu varautuneiden partikkelien (elektronien) satunnaisesta liikkeestä johtavassa aineessa. Kohinan amplitudi noudattaa Gaussin jakaumaa r x ζ xt < ζ xt < ρ E () 0, var () Autokorrelaatio ( < E ζ xtxt ( ) ( ) < ( σ σ χ σ ρ ( ρ χ σ σ Nollakeskiarvoista Varianssi = keskimääräinen teho Tehospektri S ( ) x f < ρ Kohinan teho on jakaantunut tasan kaikille taajuuksille Tehotiheys huoneen lämpötilassa -174 dbm/hz 53

54 Värillinen kohina LTI järjestelmä taajuusalueessa Deterministinen heräte X(f) X(f) H(f) Y( f) < H( f) X( f) Stokastinen heräte S x (f) H(f) S ( f) < H( f) S ( f) y x Sx( f) H( f) Sy ( f ) 54

55 Näytteenotto

56 Näytteenotto Otetaan jatkuvasta signaalista näytteitä tasavälein T xt () ζ x( kt), k T s näytteenottoväli f s =1/T s näytteenottotaajuus Nyquistin teoreema: Jos signaalin x(t) kaistanleveys on B, niin signaali voidaan palauttaa näytepisteistä mikäli fs B?f N Nyquistin rajataajuus. X( f) X s( f ) < fs X f, kfs( k<, fs B Xs ( f) B B 56

57 Näytteenotto Aliasointi ilmiö: Yli Nyquistin taajuuden oleva signaali, näyttää näytteistyksen jälkeen alemman taajuuden signaalilta f s =4 Hz, f N = Hz f=1 Hz f=3 Hz -0. f f N, f f N t X( f) X s( f ) < fs X f, kfs( k<, fs ; B Gs ( f) B B 57

58 Kvantisointi Analogia digitaalimuunnoksessa analogia signaali kvantisoidaan Esim. Tasavälinen kvantisoija: kvantisointitasojen lukumäärä M Signaalin amplitudin dynaaminen alue [-A.A] x A QM Ζx < A M, 1 x < floor( x) M, 1, 1 Pyöristys alaspäin A A Χ x < < Kvantisointitasojen väli M M, 1 Χ x x 58

59 Kvantisointi Kvantisointia voidaan mallittaa tasajakautuneena additiivisena kohinana x A -A e y x Ρ y M bittinen A/D muunnos, tasojen määrä on M Signaali kohina-suhde A/D muuntimen ulostulossa sinimuotoiselle signaalille, jonka amplitudi on A=1. 1 P A 3 SNR < < < ρ 1 x e M ~ 1.76 db db/bitti Χx( 59

60 Analogia-digitaalimuunnos (ADC) x T s =1/f s A y näytteenotto -A kvantisointi Kvantisointikohina on tasajakautunut taajuuksille [0,f N ] missä f N =f s / on Nyquistin rajataajuus ja f s on näytteenottotaajuus. Tarkastellaan kaistarajoitetun signaalin x(t) näytteistämistä. Kaistanleveys on B. Ylinäytteistämällä f s >B saadaan kvantisointikohinan vaikutusta tarkasteltavalle kaistalle pienennettyä 60

61 Diskreetti F-muunnos (DFT) ja nopea F-muunnos (FFT) Diskreetti Fourier muunnos (DFT) sekvenssille {x 0,x 1, x N-1 } N, 1 X ( k) xe D < n< 0 n n, iο k N FFT on DFT:n numeerisesti tehokas implementaatio Fourier muunnoksen numeerinen laskeminen T x pituiselle pulssille x(t) N, 1, iο ft ( ) s ( s) < s D( ), n< 0 X f T x nt e T X k k k T f < < fs, N < NT N T s x s 61

62 Signaalit ja järjestelmät

63 Mitä pitäisi oppia? Signaalien ja järjestelmien aika-alueen analyysi Sisätulo Impulssivaste Konvoluutio-integraali Signaalien taajuusalueen analyysi Viivaspektri, tehospektri, energiaspektri Signaalin kaistanleveys Jaksollisen signaalin spektrin leviäminen kun signaali katkaistaan Järjestelmien taajuusalueen analyysi Stabiilisuus, amplitudi ja vaihevääristymät, ryhmäkulkuaikaviive Alipäästösuodattimen mitoitus Epälineaariset järjestemät Särö ja keskinäismodulaatio Modulaatio ja demodulaatio Lineaarinen modulaatio (DSB, AM) Epälineaarinen modulatio (FM) Näytteenotto Nyquistin rajataajuus Aliasointi Kvantisointi Signaalien taajuusalueen analyysi käyttäen FFT:tä Satunnaiset signaalit Stationääriset ergodiset stokastiset prosessit Autokorrelaatio ja tehospektri Kohinan suodattaminen / värillinen kohina 63

64 Miksi? Jotta ymmärtää mitä pitää huomioida signaaleja Mitattaessa Siirrettäessä Generoitaessa 64