Numeerinen integrointi ja derivointi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Numeerinen integrointi ja derivointi"

Transkriptio

1 Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics

2 Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion f(x) interpolaatiopolynomi P n (x) = f(x 0 )+f[x 0,x 1 ](x x 0 ) f[x 0,...,x n ](x x 0 ) (x x n 1 ). Integraalin I approksimaatio I n = b a P n(x)dx. Approksimaation virhe I I n = 1 b f (n+1) (ξ x )Π n (n+1)! j=0(x x j )dx. a Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 2 / 33

3 Keskipistekaava Interpolaatiopolynomi: P 0 (x) = f( a+b 2 ) = f(x 0). Integroimiskaava on tällöin Lause 5.1 I 0 = b a P 0 (x)dx = (b a)f( a+b 2 ). Olkoon funktio f(x) kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio välillä [a, b]. Tällöin keskipistekaavan I 0 (f) = (b a)f(x 0 ) virhe on missä ζ [a, b]. E 0 (f) = 1 24 (b a)3 f (2) (ζ), Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 3 / 33

4 Väliarvolause Lauseen todistuksessa tarvitaan seuraavaa lausetta Lause 5.2 Olkoon f(x) jatkuva funktio, ja g(x) funktio, joka ei vaihda merkkiä integroimisvälillä [a, b]. Tällöin on olemassa piste ζ [a, b] siten, että b a b f(x)g(x)dx = f(ζ) g(x)dx. a Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 4 / 33

5 Virhekaavan todistus Vakiointerpolaation virhelauseke: x 1 [a, b] f(x) f(x 0 ) = f[x 0,x 1 ](x x 0 )+ 1 2 f (2) (ξ x )(x x 0 )(x x 1 ) b a f[x 0,x 1 ](x x 0 )dx = 0, sillä x 0 on välin keskipiste: Keskipistekaavan virhe: E 0 (f) = 1 2 b x 1 = x 0 E 0 (f) = 1 2 a f (2) (ξ x )(x x 0 )(x x 1 )dx. b a f (2) (ξ x )(x x 0 ) 2 dx. Funktio f (2) (ξ x ) on jatkuva ja g(x) = (x x 0 ) 2 0, joten väliarvolauseen nojalla on ζ [a, b] siten, että E 0 (f) = 1 2 f (2) (ζ) b a (x x 0 ) 2 dx = 1 24 (b a)3 f (2) (ζ). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 5 / 33

6 Puolisuunnikassääntö Interpolaatiopisteet x 0 = a ja x 1 = b. Funktion esitys f(x) = f(x 0 ) f[x 0,x 1 ](x x 0 )+ 1 2 f (2) (ξ x )(x x 0 )(x x 1 ). Integroimiskaava I 1 = b a 2 [f(a)+f(b)] Puolisuunnikassäännön virhe on E 1 (f) = 1 2 b a f (2) (ξ x )(x a)(x b)dx. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 6 / 33

7 Puolisuunnikassäännön virhe Väliarvolauseen nojalla (g(x) = (x a)(x b) 0) on ζ [a, b] s.e. Lause 5.3 E 1 (f) = 1 2 f (2) (ζ) b a (x a)(x b)dx. Olkoon funktio f(x) kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio välillä [a, b]. Tällöin puolisuunnikassäännön I 1 (f) = b a 2 [f(a)+f(b)] virhe on E 1 (f) = 1 12 (b a)3 f (2) (ζ), missä ζ [a, b]. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 7 / 33

8 Simpsonin sääntö Interpolaatiopisteet x 0 = a, x 1 = a+b 2, x 2 = b Interpolaatiopolynomi P 2 (x) = f(x 0 )+f[x 0,x 1 ](x x 0 )+f[x 0,x 1,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ). Integroimalla saadaan Simpsonin sääntö: I 2 (f) = b a 6 [f(a)+4f(a+b 2 )+f(b)]. Polynomi-interpolaation virhelauseke (x 3 = x 1 ) f(x) P 2 (x) = f[x 0,x 1,x 2 ](x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )+ f (4) (ξ x ) Π 3 j=0 4! (x x j), Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 8 / 33

9 Simpsonin säännön virhe Oikean puolen kolmannen asteen polynomi on pariton välin [x 0, x 2 ] keskipisteen suhteen. Joten sen integraali on nolla. Jäljelle jäävään virhetermiin voidaan soveltaa väliarvolausetta olettaen, että integroitava funktio on neljä kertaa jatkuvasti derivoituva. virhetermi E 2 (f) = f (4) (ζ) 4! b missä ζ on joku piste integroimisväliltä. a Π 3 j=0 (x x j)dx = (b a) f (4) (ζ), Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 9 / 33

10 Summattu keskipistekaava Integroimisväli [a, b] n on osavälien lukumäärä. Osavälit [t i,t i+1 ], i = 0,...,n 1, missä Integraali I I = b a t i = a+ ih, h = b a n n 1 f(x)dx = i=0 ti+1 t i f(x)dx. Jokaisella osavälillä sovelletaan keskipistekaavaa b a n 1 f(x)dx = h f(t i + h h3 n 1 )+ f (2) (ξ i ), 2 24 missä ξ i [t i t i+1 ]. i=0 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 10 / 33 i=0

11 Summatun keskipistekaavan virhe Oletus: f(x) on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva, Kaikilla i = 0,...,n 1 Näin ollen min f (2) (x) f (2) (ξ i ) max f (2) (x). x [a, b] x [a, b] n min f n 1 (2) (x) f (2) (ξ i ) n max f (2) (x). x [a, b] x [a, b] i=0 Jatkuva funktio saa kaikki arvot suurimman ja pienimmä arvonsa väliltä, niin on olemassa ξ [a, b] siten, että 1 n 1 f (2) (ξ i ) = f (2) (ξ). n i=0 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 11 / 33

12 Summattu keskipistekaava lause Kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvan funktion integraali voidaan laskea summatulla keskipistekaavalla jonka virhelauseke on n 1 I 0,n = h f(t i + h 2 ), i=0 E 0,n = h2 (b a) f (2) (ξ). 24 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 12 / 33

13 Summattu puolisuunnikassääntö Integroimisväli [a,b] jaetaan n:ään osaväliin [t i,t i+1 ], i = 0,...,n 1, t i = a+ih, h = b a n Sovelletaan jokaisella osavälillä puolisuunnikassääntöä. Summattu puolisuunnikassääntö Virhelauseke on I 1,n = h n 1 2 [f(a)+ f(b)+2 f(t i )] i=1 E 1,n = h2 (b a) f (2) (ξ), 12 missä ξ [a, b] on väliarvolauseen nojalla määritelty piste. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 13 / 33

14 Puolisuunnikassäännön koodi function int=puolis(a,b,n,fun) h=(b-a)/n; x=a:h:b; dim=length(x); y=fun(x); if size(y)==1 y=diag(ones(dim))*y; end int=h/2*(y(1)+y(n+1)+2*sum(y(2:n))); return Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 14 / 33

15 Summattu Simpson Parillinen määrä osavälejä, ts. n=2m. Sovelletaan Simpsonin sääntöä osaväleillä [t 2i, t 2i+2 ], i = 0,..., m 1. Summattu Simpsonin sääntö Neljästi jatkuvasti derivoituvalle funktiolle on voimassa summattu Simpsonin sääntö: (n=2m) I 2,n = h 3 [f(a)+f(b)+4 m jolle on voimassa virhelauseke i=1 m 1 f(t 2i 1 )+2 f(t 2i )], i=1 E 2,n = h4 (b a) f (4) (ζ), ζ [a, b] 180 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 15 / 33

16 Simpson-koodi function int=simpson(a,b,m,fun) h=(b-a)/m; x=[a:h/2:b]; dim=length(x); y=fun(x); if size(y)==1 y=diag(ones(dim))*y; end int=h/6*(y(1)+2*sum(y(3:2:2*m- 1))+4*sum(y(2:2:2*m))+y(2*m+1)); return Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 16 / 33

17 Automaattinen integrointi Tavoite: Integraalin b a f(x)dx likiarvo annetulla toleranssilla ǫ Laskenta-algoritmi tuottaa jonon {I k (f),e k } k=1,...,n, missä Ik on integraalin likiarvo Ek on a posteriori arvio virheelle. Yhdistetään Interpolaatiokaavat In,m(k), missä m(k) = 2 k on käytettävien osavälien lukumäärä Ekstrapolaatioidea Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 17 / 33

18 A posteriori virheen arviointi Kaksinkertaistetaan joka askeleella osavälien lukumäärä: I = I n,m + c(ξ)h n+p I = I n,2m + c( ξ)( h 2 )n+p = I n,2m + c( ξ) 2 n+p hn+p, missä p = 2, kun n on parillinen, ja p = 1, kun n on pariton. I I n,2m = c( ξ) 2 n+p hn+p = c( ξ) c(ξ) Ratkaistaan yhtälöstä I 2n+p I n,2m I n,m 2 n+p 1 I I n,2m 2n+p I n,2m I n,m 2 n+p 1 A posteriori virhe-arvio: E k = I n,m(k+1) I n,m(k) 2 n+p. 1 I I n,m 2 n+p I I n,m 2 n+p. I n,2, = I n,2m I n,m 2 n+p 1. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 18 / 33

19 Esimerkki: Automaattinen Simpsonin sääntö Esimerkki Laske integraalin I = 1 0 ln(1+x)dx likiarvo 4:n desimaalin tarkkuudella käyttäen automaattista Simpsonin sääntöä. Ratkaisu: k = 0 : I 2,1 = 1 6 [ln(1)+4ln(1.5)+ ln(2)] = k = 1 : I 2,2 = 1 12 [ln(1)+ln(2)+4(ln(1.25)+ln(1.75))+ 2ln(1.5)] = Virhe-arvio : E 1 = I 2,2 I 2,1 15 = Tarkka arvo I = 2ln(2) 1 = Todellinen virhe I I 2,2 = Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 19 / 33

20 Euler-Maclaurinin summakaava Formaalisen differentiaalioperaattorin e hd (hd) k =, D = d k! dx avulla k=0 Funktion f(x) Taylorin kehitelmä: (h d dx f(x + h) f(x) = )k f(x) = [e hd 1]f(x). k! Taylorin kehitelmä Bernoullin lukuja: k=1 x e x 1 = B k k=0 k! xk. Luvut B k ovat B 0 = 1, B 1 = 1 2, B 2 = 1 6, B 3 = B 5 = B 7 = = 0, B 4 = 1 30, B 6 = 1 42, B 8 = 1 30,... Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 20 / 33

21 Euler-Maclaurinin summakaava Sileän funktion Taylorin kehitelmä f(x) = [e hd 1] 1 (f(x + h) f(x)) = 1 h D 1 [f(x + h) f(x)] 1 [f(x + h) f(x)] 2 B + 2k (2k)! h2k 1 [f (2k 1) (x + h) f (2k 1) (x)] k=1 Derivoinnin käänteisoperaatio on integrointi, joten = D 1 [f(x + h) f(x)] = D 1 [ x+h x D 1 f (t)dt = x+h x x+h x f(t)dt f (t)dt] Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 21 / 33

22 Euler-Maclaurinin summakaava Näin saadaan + x+h h [f(x + h)+f(x)] = f(t)dt 2 x B 2k (2k)! h2k [f (2k 1) (x + h) f (2k 1) (x)]. k=1 Soveltamalla kehitelmää summatun puolisuunnikassäännön jokaisella osavälillä saadaan Euler-Maclaurinin summakaava: I 1,n (f) = b a f(x)dx + c k h 2k. k=1 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 22 / 33

23 Ekstrapolaatio Koska Euler-Maclaurinin summakaava on voimassa kaikille n N, niin kaksinkertaistetaan osavälien lukumäärä. Tällöin I 1,2n = b a = I + c 1 h 2 f(x)dx + c k ( h 2 )2k k=1 h 4 h c c Näin ollen saadaan integraalin approksimaatio 4I 1,2n I 1,n 3 = I + c 2 h4 + c 3 h6 + c 4 h8 +..., jonka virheen asymptoottisen kehitelmän johtava termi on h:n neljäs potenssi. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 23 / 33

24 Rombergin menetelmä Summattu puolisuunnikassääntö parillisella määrällä osavälejä R k,1 = I 1,2 k 1, k = 1,2,3,4,... Kun k 1 k, niin osavälin pituus h h 2. Integraalin I = b a f(x)dx asymptoottiset kehitelmät (k 2): I = R k 1,1 + c 1 h 2 + c 2 h 4 + c 3 h 6 + c 4 h 8 + I = R k,1 + c 1 h 2 Ekstrapolaatioaskel: I = 4I I 3 h 4 h 6 h c c c = 4R k,1 R k 1,1 3 + c 2 h 4 + c 3 h 6 + c 4 h 8 + Asymptoottisessa kehitelmässä geneeriset vakiot c 2m pienenevät Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 24 / 33

25 Romberg Merkitään (k 2): R k,2 = 4R k,1 R k 1,1 3, Edellisen nojalla on kehitelmä I = R k,2 + c 2 h 4 + c 3 h 6 + c 4 h 8 +. Puolittamalla osavälien pituus saadaan kehitelmät jokaiselle k 3. Ekstrapolaatio: I = R k 1,2 + c 2 h 4 + c 3 h 6 + c 4 h 8 + I = R k,2 + c 2 h 4 h 6 h c c R k,3 = 42 R k,2 R k 1,2 4 2, 1 jolle on voimassa virhekehitelmä I = R k,3 + c 3 h 6 + c 4 h 8 + c 5 h Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 25 / 33

26 Rombergin menetelmä Rombergin menetelmä R k,1 R k,j = I 1,2 k 1 = 4j 1 R k,j 1 R k 1,j 1 4 j 1, k j 2. 1 Virhekehitelmän johtava termi on O(( 1 2 )2n 2 ). Käytännön laskennassa virhettä kontrolloidaan seuraavalla säännöllä: Sääntö Olkoon integroitava funktio on sileä. Tällöin approksimaatiossa R n,n on d oikeata desimaalia, jos R n,n R n 1,n 1 < d, niin Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 26 / 33

27 Rombergin matlab-koodi function int=romberg(a,b,n,fun) for i = 1 : n+ 1 R(i,1) = puolis(a,b,2 (i 1),fun); end for j = 2 : n+ 1 for i = j : n+1 R(i,j) = (4 (j 1) R(i,j 1) R(i 1,j 1))/(4 (j 1) 1); end end int=r; return Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 27 / 33

28 Esimerkki Laske integraalin 2 1 ln(x)dx likiarvo Rombergin menetelmällä. Ratkaisu Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 28 / 33

29 1. kertaluvun derivaatan approksimaatio Derivaatan määritelmästä saadaan yksinkertaisin derivointikaava ns. eteenpäin differenssikaava: f (x) = f(x + h) f(x) h + O(h). Derivaatan approksimaatio on funktion arvojen lineaarikombinaatio pisteen x ympäristössä, kun diskretisointiparametri h oletetaan riittävän pieneksi. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 29 / 33

30 Keskeisdifferenssikaava Funktion arvojen f(x + h) ja f(x h) Taylorin kehitelmät pisteen x ympäristössä: 1 : f(x + h) = f(x)+hf (x)+ h2 2 f (x)+ h3 6 f (3) (ξ + ) 0 : f(x) = f(x) 1 : f(x h) = f(x) hf (x)+ h2 2 f (x) h3 6 f (3) (ξ ) Ratkaistaan yhtälöryhmästä 1. kertaluvun derivaatta. keskeisdifferenssikaava f (x) = f(x + h) f(x h) 2h h2 6 f (3) (ξ + )+f (3) (ξ ). 2 Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 30 / 33

31 Keskeisdifferenssikaava Oletus: Funktion kolmas derivaatta on jatkuva, niin differentiaalilaskennan väliarvolauseen nojalla on olemassa ξ [x h,x + h] siten, että Keskeisdifferenssikaavan virhe f (3) (ξ) = f (3) (ξ + )+f (3) (ξ ). 2 f (x) f(x + h) f(x h) 2h = h2 6 f (3) (ξ). Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 31 / 33

32 Päätepistekaavat Funktion f(x) Taylorin kehitelmät pisteissä x + h ja x + 2h: 3 : f(x) = f(x) +4 : f(x + h) = f(x)+hf (x)+ h2 2 f (x)+ h3 6 f (3) (ξ 1 ) 1 : f(x + 2h) = f(x)+2hf (x)+ 2h 2 f (x)+ 8h3 6 f (3) (ξ 2 ) f(x + 2h)+4f(x + h) 3f(x) = 2hf (x)+ 2h3 3 f (ξ 1 ) 4h3 3 f (ξ Päätepistekaava f (x) = 3f(x)+4f(x + h) f(x + 2h) 2h Piste ξ on valittu väliarvolauseen nojalla siten, että f (3) (ξ) = 2f (ξ 2 ) f (ξ 1 ). + h2 3 f (3) (ξ), Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 32 / 33

33 Toisen kertaluvun derivaatta Ratkaistaan Taylorin kehitelmistä 1 : f(x + h) = f(x)+hf (x)+ h2 2 f (x)+ h3 6 f (3) (x)+ h4 24 f (4) (ξ + ) 2 : f(x) = f(x) 1 : f(x h) = f(x) hf (x)+ h2 2 f (x) h3 6 f (3) (x)+ h4 24 f (4) (ξ ) toisen derivaatan lauseke yhtälöryhmän oikealta puolelta. Tällöin saadaan f (x) = f(x + h) 2f(x)+f(x h) h 2 h2 12 f (4) (ξ), missä ξ [x h,x + h]. Sen olemassaolo riippuu neljännen derivaatan jatkuvuudesta. Tällöin kuten 1. kertaluvun derivaattojen virhearvioiden johtamisessa sovelletaan differentiaalilaskennan väliarvolausetta. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 33 / 33

34 Numeerisen derivoinnin stabiilisuus Numeeriset derivointikaavat herkkiä pyöristysvirheille. Olkoon f 1 ja f 1 funktion f(x) pyöristetyt arvot pisteissä x 1 ja x 1 : f i f(x i ) k, i = 1,1. Keskeisdifferenssikaavan todellinen virhe f (x 0 ) f 1 f 1 2h = f(x 1) f 1 2h = E R 1 6 h2 f (3) (ξ) + f 1 f(x 1 ) 2h 1 6 h2 f (3) (ξ) 1 2h 10 k h2 max f (3) (ξ) E(h). Kiinteällä desimaalitarkkuudella k kokonaisvirheen E(h) maksimi kasvaa, kun hilapisteiden välinen erotus h lähestyy nollaa. Toisin sanoen pyöristysvirheet alkavat dominoimaan laskentaa. Keijo Ruotsalainen Matematiikan jaos 34 / 33

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 10 To 6.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 10 To 6.10.2011 p. 1/35 p. 1/35 Numeerinen integrointi Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 11 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 11 () Numeeriset menetelmät 24.4.2013 1 / 37 Luennon 11 sisältö Numeerisesta integroinnista ja derivoinnista Adaptiiviset

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

f[x i ] = f i, f[x i,..., x j ] = f[x i+1,..., x j ] f[x i,..., x j 1 ] x j x i T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x.

f[x i ] = f i, f[x i,..., x j ] = f[x i+1,..., x j ] f[x i,..., x j 1 ] x j x i T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x. Kaavakokoelma f[x i ] = f i, f[x i,..., x j ] = f[x i+,..., x j ] f[x i,..., x j ] x j x i T n+ (x) = 2xT n (x) T n (x), T (x) =, T (x) = x. n I,n = h f(t i + h 2 ), E,n = h2 (b a) f (2) (ξ). 24 i= I,n

Lisätiedot

Potenssisummia numeerisella integroinnilla

Potenssisummia numeerisella integroinnilla Solmu /9 Potenssisummia numeerisella integroinnilla Jorma Merikoski Matematiikan tilastotieteen laitos Tampereen yliopisto Johdanto Olkoon f välillä [a, b] tkuva reaalifunktio. Lukion pitkän matematiikan

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali

integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n

Lisätiedot

BM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO

BM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO 6. marraskuuta 2014 Opetusjärjestelyt Luennot + Harjoitukset pe 7.11.2014 10-14 2310, 14-17 7337 la 8.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337 pe 14.11.2014 10-14 2310, 14-17 6216 la 15.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337

Lisätiedot

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

Numeeriset Menetelmät

Numeeriset Menetelmät Numeeriset Menetelmät Kurssilla käydään läpi laskennallisen matematiikan perusteet. Opitaan kuinka matematiikkaa oikeasti käytetään sekä millaisia perustehtäviä ratkaistaan numeerisesti. (Monimutkaisemmat

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.

Harjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio. Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017

Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 17.3. Tehtävä 1: Tarkastellaan funktion f(x) = x evaluoimista välillä x [2.0, 2.3]. Muodosta interpoloiva polynomi p 3 (x),

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Este- ja sakkofunktiomenetelmät

Este- ja sakkofunktiomenetelmät Este- ja sakkofunktiomenetelmät Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Luennon kulku Este- ja sisäpistemenetelmät LP-ongelmat ja logaritminen estefunktio Polun seuranta Newtonin menetelmällä Sakkofunktiomenetelmistä

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017

Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Numeerinen analyysi Harjoitus 1 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 3.3. Tehtävä 1: Oheinen MATLAB-funktio toteuttaa eksponenttifunktion evaluoinnin. 1 function y = seriesexp ( x ) 2 oldsum =

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut

Harjoitustehtävien ratkaisut Johdatus numeerisiin menetelmiin Harjoitustehtäviä. Esitä luvun 7 8 a) tarkka arvo desimaalilukuna b) kolmidesimaalinen likiarvo c) nolladesimaalinen likiarvo d) Likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 14 To 20.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 14 To 20.10.2011 p. 1/39 p. 1/39 Nopeat Fourier-muunnokset Diskreetti Fourier-muunnos ˆf k = 1 N 1 N

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Konjugaattigradienttimenetelmä

Konjugaattigradienttimenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Konjugaattigradienttimenetelmä Oletukset Matriisi A on symmetrinen: A T = A Positiivisesti definiitti: x T Ax > 0 kaikille x 0

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA Timo Mäkelä Tässä tekstissä esitellään yhden muuttujan reaaliarvoisten funktioiden differentiaalilaskentaa sekä sarjoja. Raja-arvot Raja-arvoja voidaan laskea käyttämällä

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Yhden muuttujan funktion minimointi

Yhden muuttujan funktion minimointi Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...

Lisätiedot

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöryhmä

Differentiaaliyhtälöryhmä Differentiaaliyhtälöryhmä Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti täsmälleen samanlaisilla kaavoilla

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot