Luento 7. Järjestelmien kokoaminen osista

Transkriptio

1 Luento 7 Lineaaristen järjestelmien analyysi Järjestelmä yhdistelmät, takaisinkytkentä Taajuusvaste Stabiilisuus analyysi taajuustasossa 8..6 Järjestelmien kokoaminen osista Lineaaristen järjestelmien tapauksessa yksittäisinten osasysteemien malleista päästään laajojen järjestelmien malleihin lohkokaavioalgebran avulla. Lohkokaavioalgebrassa peruselementtejä ovat osajärjestelmiä kuvaavat siirtofunktiot Siirtofunktiot voivat perustua impulssivasteen Laplace-muunnokseen H(s) Fourier-muunnokseen H(f) [s=iπf] 8..6

2 Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Lohkokaaviomuunnokset: Signaalit Lohkokaavioissa yksittäinen signaali voidaan viedä useaan eri lohkoon (signaalin haaraantuminen). Lohkokaavio on informaatiokaavio ja informaatiota jaettaessa se ei vähene vaan monistuu. Jokaisessa haarassa kulkee sama informaatio. Y() s = Y() s = Y() s = U() s 3 U(s) Y (s) Y (s) Y 3(s) Eri signaalit voidaan yhdistää summaelimen avulla. Summaelimessä voidaan signaalit laskea yhteen tai vähentää toisistaan. Etumerkit summaelimessä signaalin kohdalla kertovat signaalin etumerkin summalausekkeessa. Ys () = U() s U() s U () s U (s) U (s) U 3(s) _ Y(s) Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Signaalin kulkeminen lohkon läpi Lohkon lähtösignaali (vaste) saadaan kertomalla tulosignaali (heräte) lohkon siirtofunktiolla U(s) Tämän peruskaavan avulla voidaan johtaa muunnoskaava lohkojen sarjakytkennälle. Otetaan käyttöön apumuuttuja ε (s), joka myöhemmin eliminoidaan U(s) G(s) G (s) Ys () = G ()() sε s Ys () = G() sg() sus () = GTOT () sus () ε () s = G su() s G () s = G() s G () s TOT Y(s) = G(s)U(s) ε (s) G (s) Y(s) U(s) G (s)g (s) Y(s)

3 Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Signaalin kulkeminen lohkon läpi Johdetaan nyt muunnoskaava rinnankytkennälle U(s) ε(s) G (s) U(s) Y(s) U(s) ε(s) G (s) Ys () = ε() s ε() s ε() s = G() su() s Y() s = G() su() s G() su() s ε () s = G() su() s Ys () = G() s G() s Us () = G () sus () G () s= G() s G() s ( ) TOT TOT U(s) Y(s) G (s) G (s) Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Signaalin kulkeminen lohkon läpi Silmukkakytkennän (takaisinkytkennän) muunnoskaavaksi saadaan U(s) ε(s) Y(s) G (s) _ ε(s) Y(s) G (s) RYs () = G() sε() s S ε() s = U() s ε() s Ys () = G() sbus () G() sys () g T ε () s = G() s Y() s Y() s = G() su() s G() s G() s Y() s b G() s G() sgy() s = G() su() s G () s Ys () = G s G s U () s = G su s G s G () s TOT () () TOT () = () () G() s G () s U(s) G (s) G (s)g (s) Y(s) 3

4 Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Lohkokaaviomuunnokset: Peruskytkennät Peruskytkentöjen lohkokaaviomuunnokset koottuna: Sarjaan U(s) G (s) G (s) Y(s) U(s) G (s)g (s) Y(s) Rinnan U(s) Silmukkaan U(s) _ G (s) G (s) G (s) Y(s) Y(s) U(s) U(s) G (s) G (s) G (s) G (s)g (s) Y(s) Y(s) G (s) Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Limittäiset rakenteet Jos järjestelmässä on limittäisiä rakenteita, niin lohkokaaviomuunnokset voidaan ratkaista algebrallisesti - kuten perusmuunnoskaavoja johtaessa tai eliminoimalla limittäiset rakenteet (siirtämällä summa-ja haaraantumispisteitä lohkojen yli) ja sitten käyttämällä perusmuunnoskaavoja. Ei limittäisiä rakenteita Limittäisiä rakenteita

5 Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Summa- ja haaraantumispisteiden siirrot Summapisteen siirto vastavirtaan ja myötävirtaan - ratkaistaan G X U G U G X U G Y U b g b g Y= GU GU = G GU U = GG U GU x x GG = G G = G G x x G Y U G U G X U G Y U Y G b g b g Y= G GU U = GG U GU = GU GU x Gx = GG Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Summa- ja haaraantumispisteiden siirrot Haaraantumispisteen siirto vastavirtaan ja myötävirtaan G Y G X Y U Y G G Y R S T Y = GGU = G U Y = GU U Y X G G = GG X Y G X U Y G G R S T Y = GU = G GU U Y X G= GXG GX = G G 8..6 Y = GU 5

6 Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Summa- ja haaraantumispisteiden siirrot G G/G G G G GG G G G G/G G G G GG G G 8..6 Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Summa- ja haaraantumispisteiden siirrot Summapisteiden järjestystä voidaan vaihtaa toisten summapisteiden välillä U U U _ Y U _ Y Y = U U U3 U 3 U 3 Haaraantumispisteiden järjestystä voidaan vaihtaa toisten haaraantumispisteiden välillä Y Y U Y U Y Y = Y = Y3 = U Y 3 Y 3 Summapisteiden ja haaraantumispisteiden välistä järjestystä ei voida vaihtaa

7 Nolla- ja ykköslohkot Mikäli lohkon siirtofunktio on nolla, niin kaikilla tulosuureen arvoilla lähtösuure on aina nolla. Tämä lohko kuvaa informaatiokatkosta - lohko, siihen tulevat ja siitä lähtevät signaalit voidaan jättää pois lohkokaaviosta. U G Y U G Y Nolla- ja ykköslohkot Mikäli lohkon siirtofunktio on yksi, niin kaikilla tulosuureen arvoilla lähtösuure on aina sama kuin tulosuure ja kyseinen lohko voidaan jättää kaaviosta pois. Järjestelmien lohkokaaviossa on usein merkitty lohkot mittaukselle tai toimilaitteelle ja mikäli oletetaan ideaalinen mittaus tai toimilaite, niin näiden lohkojen siirtofunktiot voidaan korvata ykkösellä - ja jättää kokonaan pois lohkokaaviosta. U G Y U G Y U G Y

8 Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Esimerkki: limittäiset rakenteet Ratkaistaan oheisen järjestelmän kokonaissiirtofunktio tulosignaalista R lähtösignaaliin Y algebrallisesti G (s) R(s) E(s) U(s) Y(s) G (s) G 3(s) _ R S T Y= GU G E U = GE 3 E= R GU 4 R S T Y GG G 3 = GG R = G R TOT 4 G 4(s) Y= GG E G E 3 E= R GG E Y= GG G E GG E= R R S T b b 3 4 g g Perustuu kurssin AS-74. Analoginen säätö luentomateriaaliin Esimerkki: limittäiset rakenteet Ratkaistaan oheisen järjestelmän kokonaissiirtofunktio tulosignaalista R lähtösignaaliin Y lohkokaaviomuunnoksilla Siirretään E:n haaraantumispiste U:n haaraantumispisteen luo (haaraantumispisteiden järjestys voidaan vaihtaa keskenään), jolloin päästään eroon limittäisistä rakenteista ja voidaan käyttää aikaisemmin johdettuja peruskytkentöjen kaavoja. G (s) R(s) E(s) U(s) Y(s) G (s) G 3(s) _ G 4(s) G (s)/g (s) R(s) E(s) U(s) Y(s) G (s) G 3(s) _ G 4(s)

9 Esimerkki: limittäiset rakenteet Saadaan sama tulos kuin lohkokaavioalgebralla R(s) G (s) G (s)g 4(s) U(s) G (s)/g (s) G 3(s) Y(s) R(s) G (s) G (s)g 3 (s) G (s)g 4 (s) Y(s) LTI-järjestelmät u(t) h(t) y(t) Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää n n m m d d d d yt () = an yt () ayt () bm ut () bm ut () but (), n m n n m m dt dt dt dt Käytetään pyörivää osoitinta herätteenä i ft ut () = e π ja arvataan, että vaste on muotoa yt () = H( f) e i π ft

10 LTI-järjestelmät Sijoittamalla heräte sekä arvattu vaste differentiaaliyhtälöön saadaan ( iπ f ) al( i π f ) H( f) e π = bk ( iπ f ) e H( f) = n m n l i ft k iπ ft l= k= m k bk ( iπ f ) k = n n l ( iπ f ) al ( iπ f ) k = Siirtofunktio Joten taajuudella f pyörivää osoitin generoi vasteeksi samalla taajuudella pyörivän osoittimen, jonka amplitudi ja vaihe ovat muuttuneet iπ ft iπ ft iarg H( f ) yt ( ) = H( f) e = H( f) e Taajuusvaste Järjestelmän taajuusvaste saadaan syöttämällä sisään eri taajuisia sini-muotoisia signaaleja ja katsomalla kuinka niiden amplitudi ja vaihe muuttuvat kulkiessaan järjestelmän läpi. iπ ft iπ ft ut () = cos( π ft) = ( e e ) i π ft * iπ ft yt () = H( f) e H ( f) e iπ ft iarg( H( f )) iπ ft iarg( H( f )) yt () = H( f) e H( f) e y( t) = H( f) cos π ft arg H( f) ( ) Lineaarinen järjestelmä ei aiheuta taajuuden muuntumista. 8..6

11 Taajuusvaste Taajuusvaste on järjestelmän vaste sini-muotoiseen herätteeseen. Siirtofunktio jarg ( H( f )) jφ ( f ) H( f ) = H( f) e = A( f )e Amplitudivaste (amplitudi funktio) A( f) = H( f) Vaihevaste (vaihefunktio) φ ( f ) = arg ( H( f) ) Vaiheviive (kantoaallon viive) [phase/carrier delay] Vaihesiirto vastaa aikatasossa signaalin viivästymistä t d (f)=φ(f)/πf iπ ft F{ δ ( t t )} d d = e 8..6 Taajuusvaste Vasteen y(t) Fourier-muunnos: Y(f)=H(f)U(f) Vasteen y(t) spektritiheys saadaan impulssivasteen ja herätteen spektritiheyksien tulona: Y( f) = H( f) U( f) U( f) Y( f) H ( f ) H ( f ) Tehonsiirtofunktio Järjestelmä suodattaa signaalia u(t) 8..6

12 Boden käyrät Vahvistuskäyrä Tehonsiirtofunktio logaritmi kulmataajuuden ω=π f (rad/s) funktiona log ( H(ω/(π)) ) Vaihekäyrä Vaihevaste asteina φ(f) 8 /(π) kulmataajuuden ω=π f (rad/s) funktiona φ(ω/(π)) Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram Frequency (rad/sec) Amplitudi ja vaihevääristymät Halutaan siirtää signaali u(t) järjestelmän läpi, ilman että signaalin muoto vääristyy. Ideaalitapauksessa y(t)=a u(t-τ d ), missä a> on vakio Tätä vastaa taajuusvaste Y(f)=a U(f) e -iπfτ d Tällöin järjestelmän siirtofunktion pitää olla vakio H(f)=a e -iπfτ koko signaalin u(t) kaistalla Käytännössä näin ei tapahdu, vaan signaali vääristyy Amplitudi vääristymä: A(f) A Vaihevääristymä: φ(f) πfτ

13 Amplitudi ja vaihevääristymät Ryhmäkulkuaika d tg ( f) = ( f) π df φ kuvaa vaiheen muutosta taajuuden funktiona. Ideaalisessa tapauksessa t g on taajuudesta riippumaton vakio. Vaihevääristymä kaistanpäästösignaalille u(t) kaistalla (f c -B/, f c B/), f c kantoaallon taajuus Δ tg = max tg( f ) tg( fc) f ( f B, f B ) c c f Δf Δ φ = dφ πδtg Δf f Vaiheen muutos taajuuden muutoksen suhteen Vaihevääristymät Tarkastellaan lineaarisesti moduloitua signaalia, jonka kaistanleveys on B ut () = xt ()cos( π ft c ) U( f) = X( f fc) X( f fc) Signaali kulkee kanavan (järjestelmän) läpi. Kanavan siirtofunktio on i( π fτg φ sgn f ) H( f) = ae A( f) = a Amplitudivaste φ( f) = π fτg φ, f > Vaihevaste Vaiheviive φ t ( ) d f = τ g π f Ryhmäviive dφ( f ) t ( f ) = = τ π df 8..6 g g 6 3

14 Vaihevääristymät Ulostulosignaali taajuustasossa i f d i d i f d i d Y( f) H( f) U( f) X( f fc) ae π τ φ X( f fc) e π τ = = φ i i ja aikatasossa F cos π ft φ = δ f f e φ δ f f e ( ( ) ) yt () = xt ( τ )cos π f t τ φ { ( c )} ( c) ( c) g c d d ( π ( ( ))) yt () = xt ( τg)cos fc t td f φ c τ d = τg π φ Ryhmäviive Vaiheviive / kantoaallon viive Vaihevääristymät Pelkkä vakio vaiheensiirto φ voi aiheuttaa signaalin vakavaa vääristymistä 4 4 x(t) u(t) t -4 5 t 4 4 x(t-τ g ) y(t) t 8..6 yt () = xt ( τ g)cos π fc( t τd) 8 ( ) 4

15 Esimerkki. Tarkastellaan T:n mittaista jännitepulssia u in (t), jonka amplitudi on A. T t u () in t = AΠ T RC-suodattimen impulssivaste h(t)=/τe -t/τ, τ=rc Ratkaistaan suodattimen ulostulo u out (t) Esimerkki. Viivästetyn pulssin Fourier-muunnos T t π i { } π e Uin( f) = F uin( t) = F AΠ = ATsinc( ft) e = A T iπ f i F x( t τ ) = X( f) e T i ft { } π fτ Impulssivasteen Fourier-muunnos τ t H( f) = F{ h( t) } = F{ τ e } = iπ fτ Suodatettu signaali iπ ft e Uout ( f) = H( f) Uin( f) = A H( f) iπ f t F AΠ = ATsinc( ft) T

16 Esimerkki Ulostulojänniteen Fourier-muunnos i Uout ( f) = H( f) Uin( f) = A H( f) e iπ f π ft ( ) iπ ft = X( f) X( f) e, X( f) = A H( f) X ( f ) iπ f F x() t dt Ratkaistaan X(f):n käänteismuunnos iπ f t t t τ τ A e dt A e t = xt () = F { X( f) } = F A H( f) = τ iπ f t < Ulostulojänniteen lausekkeeksi saadaan i { } { π ft out } u t F U f F X f X f e x t x t T out ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) i { ( τ )} = X( f) e F x t π fτ Suodatettu pulssi t < t τ uout () t = A e t T ( t T) t τ τ A e e t > T Esimerkki

17 in () ~ Esimerkki. Tarkastellaan RC-suodinta d R it () = C uout () t it () dt u t C u () t Impulssivaste d ht () = ( δ () t ht ()) dt RC i π fh( f) = H( f) RC H( f) = RC iπ f RC ( ) out u () t = Ri() t u () t in out d u out () t = u in() t u out () t dt RC = = iπ f RC RC ( ) t RC ht () F RC e Jos RC=, niin h(t) Esimerkki. A( f ) = Magnitude (db) Bode Diagram { } φ( f ) = arg H( f) = arctan( π f) Phase (deg) Frequency (rad/sec) ω=π f

18 Ryhmäviive Esimerkki. d d tg ( f) = φ( f) = arctan( π f) = π df π df ( π f ) Taajuusvääristymä kaistalla B=/π Hz taajuuden ympäristössä f c =/π Hz kaistanleveydellä Δ τ g = max = 3 f, π π 4 = = = 5 Δφ πδtg Δ f = π Δf 5 ( π f ) 3 π π π π π π Tarkastellaan signaalia uin ( t) = Acos( π ft) Acos( π ft) Siirtofunktio H( f) = iπ f Esimerkki. π i 4 i.5π H = = e = e π i 3 iarctan(3) i.3976π H = = e e π i3 5 Vaiheen muutos B=/(π) kaistalla Ulostulo signaali 3 f =, f = π π 4 Δφ=atan(3)-atan().4636 Δφ πδtg Δ f = π = =.8 5π 5 uout ( t) = A cos( t.5π ) A cos( 3( t.35π ))

19 Taajuusvasteen tekijät Taajuustasossa osoittajan tekijöiden itseisarvot kerrotaan keskenään ja ne jaetaan nimittäjän tekijöiden itseisarvoilla. Osoittajan tekijöiden napakulmat lasketaan yhteen ja niistä vähennetään nimittäjän tekijöiden napakulmat. s-tason siirtofunktio f-tason siirtofunktio s a iπ f a Gs () = Gi ( π f) G( f) = ( s b)( s c) ( i π f b)( i π f c) iπ f a ( iπ f ) a ( ) = = π π ( π ) ( π ) { G( f) } { iπ f a} { iπ f b} { iπ f c} Gf i f b i f c i f b i f c = kompleksi luvun kulma (arg) Taajuusvasteen tekijät Tehonsiirtofunktio esitetään usein desibeleinä pp = ( p ) ( p ) ( p ) log log log log 3 p3 ( Gf ) = ( Gf ) log ( ) log ( ) iπ f a = log ( Gf ( ) ) = log iπ f b iπ f c ( i π f a i π f b i π f c) = log log log

20 Taajuusvasteen tekijät Desibelin yksikkö db on suhteellinen yksikkö Tehonsiirron tapauksessa yksikkö on dbw (db verrattuna W.iin) dbm (db verrattuna mw:iin) dbp (db verrattuna pw:iin) dbf (db verrattuna fw:iin) 3 mw = W 3 W = log 3log dbw W = 3dBW mw =.W.W mw log log 3 = W mw = log dbm 3 dbm ( ).W log = log ( ) dbw 7 dbw W Taajuusvasteen tekijät Jännitesignaalin tapauksessa amplitudivasteen G(f) :n yksikkö on volttia V dbv (db verrattuna V:iin) dbmv(db verrattuna mv:iin) log ( G(f) ) dbv mutta log ( G(f) ) dbw

21 Vakiokerroin Siirtofunktio on reaalinen ja vakio G( f) = G( f) = K = = { G( f) }, { G( f) } π rad =-8 Im Im K Re -K Re lgk Boden vahvistuskäyrä ω deg Boden vaihekäyrä ω ω=π f Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä ω lgk ω Integraattori ja derivaattori Im G ( f) = iπ f Derivaattorin siirtofunktio jω Re G ( f) = = i Integraattorin siirtofunktio iπ f π f G( f) = π f, G( f) = Im π f π π { G( jω) }, { G( jω) } rad = -9 -jω Re Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä db/dek ω 9 ω Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä ω ω db/dek -9

22 Viive Viive aikatasossa vastaa vaihesiirtoa taajuustasossa Gf ( ) = e iπ fτ = cos( π fτ) j sin( π fτ) Gf π fτ π fτ ( ) = cos ( ) sin ( ) = = Im sin( π fτ) { Gf ( )} = arctan = arctan ( tan( π fτ) ) = π fτ cos( π fτ) Re Boden vahvistuskäyrä ω deg Boden vaihekäyrä ω Ensimmäisen kertaluvun termit. kertaluvun siirtofunktiot G ( f) = iπ ft, T > G ( f) = iπ ft Approksimaatio Boden diagrammille Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä db/dek 9 ω ω /T./T /T Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä /T ω -db/dek./t /T ω

23 Ensimmäisen kertaluvun termit. kertaluvun järjestelmän Boden kuvaaja G ( f) = iπ f Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Toisen kertaluvun termit Toisenkertaluvun siirtofunktio ωn ωn Gs () = G( f) = s ζω s ω ω π f i π f ζω ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) n n n n = Resonanssitaajuus: ωr = ωn ζ ( π f ω ) ζ( π f ω ) j n n Boden vahvistuskäyrä (ζ=) ω n -4 db/dec Boden vaihekäyrä (ζ=).ω n -8 ω n

24 w=; w=logspace(-,,); zeta=.:.:; Toisen kertaluvun termit for k=:length(zeta) sys{k}=tf([ w^],[ *zeta(k)*w w^]); [mag(k,:),pha(k,:)]=bode(sys{k},w); end; subplot(,,) semilogx(w/w,*log(mag)) xlabel('\omega/\omega_') ylabel('db') subplot(,,) semilogx(w/w,pha,w/w,- 8*ones(size(w)),'k--') xlabel('\omega/\omega_') ylabel('deg') db deg ω/ω ζ= ζ= ζ=. ζ=. - - ω/ω Stabiilisuus Tarkastellaan stabiilin järjestelmää H( f) = A( f) e φ i ( f ) U( f ) Y( f) H(f) Tarkastellaan sini-muotoista herätettä H( f) = A( f) e ut () = cos iφ ( f) ( π f) ( π φ ) yt ( ) = A( f)cos f ( f)

25 Stabiilisuus Myötäkytkentä U( f ) H(f) E( f) - E( f) = U( f) H( f) U( f) ( π ) ( π φ ) et ( ) = cos f A( f)cos f ( f) Jos vaihesiirtoa on 8 erosignaali e(t) interferoi konstruktiivisesti (merkki vaihtuu) ( ) ( π ) et () = A( f) cos f et () > ut () Stabiilisuus Tehdään negatiivinen takaisinkytkentä E ( f ) - H(f) U ( f ) Y ( f ) E( f) = U( f) Y( f) Y( f) = H( f) E( f) H( f) Y( f) = U( f) H( f) Jos järjestelmän H vaihesiirto on -8, niin signaaliin u(t) summautuu se itse A(f):llä skaalattuna rekursiivisesti e () t = u() t et () = Afe ( ) () t ut () = ( Af ( ) ) ut () e() t = A( f) e() t ut () = ( A( f) A( f) ) ut () k k e () t = ( A ( f) A ( f)... A( f) ) u() t k Summa A(f)A(f).. konvergoi arvoon /(A(f)), jos A(f)<, jolloin y(t)=a(f)e(t) pysyy rajoitettuna

26 Stabiilisuus kriteeri Sillä taajuudella, jolla vaihe leikkaa -8 vahvistuksen pitää olla log(a(f))< db Vahvistusvara: Kuinkapaljon vahvistusta voidaan kasvattaa ennen kuin takaisinkytketystä db järjestelmästä tulee epästabiili Vaihevara: Kuinkapaljon vaihetta voidaan jätättää ennen kuin järjestelmästä tulee epästabiili Boden vahvistuskäyrä Vahvistusvara -8 Vaihevara Esimerkki 3. Ensimmäisenkertaluvun systeemi voidaan tulkita takaisinkytketyksi integraaliksi K K iπ f H( f) Gf ( ) = = = iπ f K K H( f) iπ f Avoimen silmukan siirtofunktio H( f) = K i π f

27 Esimerkki 3. Jos K< se vastaa -8 vaihesiirtoa ja log( K ) vahvistusta Jos K> se vastaa vaihesiirtoa ja log( K ) vahvistusta K > K < -8 K> K< Jos K< vaihe on -7 kaikilla f, koska H(f) f, ei takaisinkytketty järjestelmä ole stabiili Jos K> vaihe on -9 kaikilla f, joten takaisinkytketty järjestelmä on stabiili Esimerkki 4. Tarkastellaan 3. kertaluvun suodatinta H( f) = K i f Uf ( ) E( f ) Y( f) ( π ) H(f) - Ratkaistaan suurin mahdollinen K:n arvo, jolla takaisinkytketty järjestelmä on stabiili

28 Esimerkki 4 Boden diagrammi - Bode Diagram Vahvistusvara 6 db Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 6 log( K) K = 6.3 8