S Fysiikka III (Est), 2 VK Malliratkaisut (Arvosteluperusteita täydennetään vielä)

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "S Fysiikka III (Est), 2 VK Malliratkaisut (Arvosteluperusteita täydennetään vielä)"

Anne Niemelä
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 S-.7 Fysiikka III (st), VK Malliratkaisut (Arvosteluperusteita täydennetään vielä). Näytä, että sekä symmetrinen aaltofunktio ψn( x ) ψn ( x) + ψn( x) ψn, että antisymmetrinen aaltofunktioψn( x) ψn ( x) ψn( x) ψn ovat ratkaisuja -hiukkasen Schrödingerin yhtälölle Ψ ( x, x) + U( x, x) Ψ ( x, x) = Ψ ( x, x ) x x ominaisarvolla olettaen, että ψn( x ) ψ n ( x ), jolla ei ole määrättyä vaihtosymmetriaa, on yo. Schrödingerin yhtälön ratkaisu samalla ominaisarvolla. Ratkaisu (Laskuharjoitustehtävä) Ratkaistaan sijoittamalla annetut symmetrinen ja antisymmetrinen ratkaisu Schrödingerin yhtälöön. Symmetrisen ratkaisun sijoittaminen Schrödingerin yhtälöön antaa [ ψn ψn ( x) + ψn( x) ψn ] + U( x, x) [ ψn ψn ( x) + ψn( x) ψn ] = x x [ ψn ψn ( x) ] + U( x, x) [ ψn ψn ( x) ] + x x ψ ( [ n x ) ψn ( x) ] + U( x, x) [ ψn ψn ( x) ] x x Tehtävän mukaan symmetrisoimaton aaltofunktio ψn ψ n ( x) on saman Schrödingerin yhtälön ratkaisu ominaisarvolla ts. ( ) ( ) (, ) ( ψn x ψn x + U x x ψn x) ψn ( x) = ψn ψn ( x). () x x nsimmäinen aaltosulkulauseke yhtälössä () antaa siis ψn ψ n ( x). Seuraavaksi pohditaan alempaa aaltosulkulauseketta yhtälössä (). Sen selvittämiseksi katsotaan toteutuuko yhtälö, jos siinä vaihdetaan koordinaatit x ja x. Schrödingerin yhtälössä kineettisen energian ja potentiaalienergian operaattorit ovat symmetriset muuttujien x ja x vaihdon suhteen (Huom! U ( x, x) = U( x, x) sillä identtiset hiukkaset näkevät identtisen potentiaalienergian, kineettisen energian termit voi aina vaihtaa keskenään), joten yhtälöstä () seuraa ψ ( ) ( ) (, ) ( n x ψn x + U x x ψn x) ψn = ψn( x) ψn x x Tästä seuraa, että alempi aaltosulku yhtälössä () antaa ψn( x) ψ n. Yhdistämällä aaltosulkujen antamat ψ ( x ) ψ ( x ) + ψ ( x ) ψ ( x ) ts. tulokset huomataan, että aaltosulkulausekkeiden summa antaa yhteensä [ ] [ ψn ψn ( x) + ψn( x) ψn ] + U( x, x) [ ψn ψn ( x) + ψn( x) ψn ] = x x = x x + x x [ ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ) ψ ( )] n n n n n n n n Toisin sanoen symmetrinen aaltofunktio toteutti annetun Schrödingerin yhtälön. Antisymmetrinen tila osoitetaan samaan tapaan yo yhtälöissä korvataan + merkit miinus merkeillä. () () ()

2 . a) Laske kaliumin Fermienergia olettamalla, että jokainen atomi luovuttaa yhden elektronin johtovyöhön. Johtavuuselektronit muodostavat vapaan vuorovaikuttamattoman elektronikaasun. Kaliumin tiheys on 8,5 g/cm ja yhden kalium atomin paino on 6,9 0 6 kg. b) Mikä on kaliumin johtovyön elektronin keskimääräinen energia hyvin alhaisissa lämpötiloissa? c) Toteuttaako kaliumin johtovyön elektronit ekvipartitioperiaatteen huonelämpötilassa? (perustele vastauksesi). Ratkaisu Arvostelu: Kustakin kohdasta pistettä. a) Fermienergia on / / ( π ) N F = V kaliumin tiheys yhden atomin painolla ρ kg 9 n = = 850 =, 0 m m 6,9 0 kg m Katomi, 6 Sijoittamalla tämä yo. yhtälöön saadaan F = 9, ev. (ks. kaavakokoelma). Atomien tiheys N/V saadaan jakamalla b) Keskimääräinen energia hyvin alhaisissa lämpötiloissa on (Fermifunktio on likimain yksi Fermienergiaan saakka ja nolla sen yläpuolella) / / / / F dn Vm / Vm 5/ ave = d d F N = d N = N 5 0 π 0 π sijoittamalla / / ( π ) N F = V saadaan ave = 5 c) kvipartitioperiaate edellyttäisi keskimääräiseksi energiaksi huonelämpötilassa ( /) kt eli noin 0 mev. kvipartitioperiaate ei toteudu koska kvanttiefektit dominoivat metallin elektronikaasussa. F. Oletetaan, että saunan kiukaan tulipesää voidaan pitää likimain mustana kappaleena, jonka lämpötila on 00 0 C. (a) Miten tulipesän lämpösäteilyn fotonien tiheys riippuu fotonien taajuudesta anna yhtälö? (b) Miten lämpösäteilyn kokonaisenergiatiheys riippuu lämpötilasta - anna yhtälö? (c) Kiukaan tulipesän luukku avataan (oletetaan, että avaaminen ei häiritse lämpösäteilyä tulipesässä) Mikä on aukosta ulos virtaavan lämpösäteilyn energiavuo (yksikköpinnan läpäisevä energia sekunnissa)- laske lukuarvo? (d) Laitat kätesi avatun luukun eteen. Oletetaan, että kaikki emittoituva lämpösäteily absorboituu ihollesi yhden kymmenysosamillimetrin paksuiseen pintakerrokseen, jonka tiheys on,86kj/ kgk. Missä ajassa, 0kg/dm ja ominaislämpö sama kuin veden eli ( ) ihon pintakerroksen lämpötila on 00 0 C - laske lukuarvo? Ratkaisu Arvostelu Kohdat a ja b p kukin kohdat c ja d p kukin. a) Fotonien lukumäärä energian yksikköä kohden on dn = g ( ) d kt e, missä 8πV g( ) = on fotonien tilatiheysfunktio ja fotonin tilojen kt h c e miehitystodennäköisyys. Vastaavasti fotonien tiheys voidaan ilmoittaa myös taajuuden yksikköä kohden jolloin dn 8π f V = df hf / kbt c e. (b) Lämpösäteilyn kokonaisenergiatiheyden riippuvuutta lämpötilasta kutsutaan Stefan-Boltzman -laiksi

3 tot = at, missä vakio 5 8π k a =. li lämpösäteilyn energiatiheyden riippuvuus lämpötilasta on tot T. 5c h (c) Lämpösäteilyn aikayksikössä tuoma energia pinta-alayksikköä kohden on karkeasti energiatiheys kertaa valon nopeus, ts. Φ = at c Tämä tulos on kuitenkin vain suuruusluokka-arvio, tarkka tulos edellyttää vielä geometrista tekijää /, joka aiheutuu siitä että kaikki fotonit eivät liiku uunin luukkua kohden. Huom! Geometrista tekijää ei vaadittu täysin oikeaan vastaukseen!!,67 0 Jm s Φ = at c =. (d) Ihokerroksen paksuus ( ) l =, 0 0 m, tiheys ρ =, 0 0 kg m ja ominaislämpökapasiteetti C =,86kJ kgk. Lisäksi kiukaan lämpötila T = 00 C ja Stefan-Boltzmanin vakio ( ) a J m K 6 = 7,56 0. Oletetaan, että kaikki emittoituva lämpösäteily absorboituu iholle. Kiukaan 8 emittoima lämpöenergia on ( c =, m ) s Q At at cat =Φ =. Ihon absorboima lämpöenergia on Q = mcδt = ρ AlCΔT, missä massa m ρ V = ρal yhtä suuriksi ja ratkaisemalla t saadaan ρalcδt ρlcδt t = = 0,s. at c at ca = ja lämpötilan muutos ( ) Δ T = 00 7 C = 6 C. Asettamalla nämä lämpöenergiat. Oheinen kuva esittää kloorivedyn HCL absorptiospektriä. a) Laske sidospituus b) sidoksen jousivakio sekä c) arvioi tilastollisen mekaniikan menetelmiä hyödyntäen, mikä on kaasunäytteen, josta mittaus on tehty, lämpötila. Vedyn atomipainona voit pitää amu ja kloorin 5,5 amu. Ratkaisu Arvostelu: Kukin kohta p

4 Kuvassa näkyy kloorin kahdesta eri isotoopista aiheutuvat spektrit erillisinä. H molekyylin suhteellinen massa mh + m μ = on 0,97 amu m m H a) Rotaatiossa transitioenergiat ovat Δl = [( l+ )( l+ ) l( l+ ) ] = ( l+ ), joten rotaatiosiirtymien I μr0 viivojen ero (peräkkäisten transitioenergioiden ero) on sähködipolitransitioille Δrot = /( μr 0 ). Kuvasta arvioidaan välimatkaksi Δ rot =,6meV. Tästä saadaan tasapainoetäisyydeksi r 0 = = 0, nm. μδ rot b). R- ja P-spektrien puoliväli vastaa värähtelyn perustaajuutta. Kuvasta saadaan MH M k = μω ( ) r = ω = 8 N/m. M + M H ω = 60meV. Jousivakio on c) Absorption voimakkuus on verrannollinen rotaatiosiirtymän alkutilan miehitystodennäköisyyteen. Kuvasta huomataan, että kolmas ja neljäs absorptiopiikki ovat voimakkaimmat. Näitä vastaavat alkutilat l = ja. Toisaalta miehitysluvun maksimiksi saadaan derivoimalla (tässä sijoitetaan rotaatioenergian lauseke 7 miehitystodennäköisyyteen, hitausmomentti on I = μr =,0 0 kgm ) 0 ( l + ) dp l d ( ) / ( )/ ll IkT B ll IkT B (l ) e + e + = + = = 0 dl dl IkBT IkBT lm = = tai, kuvan perusteella. Tästä voimme ratkaista lämpötilan ( l + ) m T = =87 K, jos l = ja 758 K, jos l =. HUOM! Tarkan lämpötilan määrääminen spektristä on kbi vaikeaa - oikea idea MB-jakauman soveltamisesta ja vastauksen oikea suuruusluokka riittää oikeaan vastaukseen. 5. Selvitä - virkkeellä seuraavia asioita: a) ionisidos, b) kovalenttinen sidos, c) elektronivyö ja energiaaukko d) seostamattoman puolijohteen ylimpien elektronivöiden ominaisuudet, e) hybridisaatio metaanimolekyylissä f) efektiivinen massa. Ratkaisu Arvostelu: Kukin kohta p a) Ionisidoksessa toinen atomeista pääsee jalokaasukonfiguraatioon luovuttamalla elektronin ja toinen vastaanottamalla elektronin. simerkiksi Na kiteessä natriumluovuttaa s elektronin kloorille joka saa argonin elektronikonfiguraation. Kide pysyy koossa Coulombin voimien avulla. b) Kovalentinen sidos muodostuu tyypillisesti saman alkuaineen atomeista, jotka jakavat uloimmat elektroninsa atomien väliseen tilaan. Ydinten välissä oleva negatiivinen varaus liimaa ytimet kiinni toisiinsa. simerkki typpi molekyyli ja timanttikide. c) Kiteen muodostuessa yksittäisten atomien diskreetit energiatilat muodostavat energiatilaryhmiä, joissa tilat ovat lähellä toisiaan. Vastaavasti muodostuu alueita joissa energiatiloja ei ole. Kun kiteen atomien määrä on hyvin suuri nämä alueet muodostavat energiajatkumoita, joissa on tiloja (elektronivyö) ja ja joissa ei ole tiloja (energia-aukko).

5 d) Seostamattomalle puolijohteelle on ominaista että alhaisissa lämpötiloissa sen valenssivyö on täysi ja johtovyö tyhjä. Korkeammissa lämpötiloissa elektroneita virittyy johtovyöhön, jolloin puolijohde johtaa jonkin verran sähköä. e) Metaanimolekyylissä hiilen s p x, p y ja p z orbitaalit muodostavat atomiorbitaaalien lineaarikombinaatioina neljä molekyyliorbitaalia, jotka suuntautuvat kohden tetraedrin kärjissä olevia vetyatomeja. f) nergiavöiden reunalla energia voidaan esittää elektronin aaltovektorin avulla muodossa k * d = tästä seuraa m = * dk * missä m on elektronin efektiivinen massa. Puolijohteen valenssivyössä elektronin efektiivinen massa voi olla myös negatiivinen (tällöin aukon efektiivinen massa on positiivinen). Vakioita me = 9, 09 0 kg mp =,675 0 kg mn =,678 0 kg amu =, kg 9 8 e =,60 0 C c =, m / s =,055 0 Js μ B = 9,7 0 JT ε0 = 8,85 0 C N m Ke = / πε0 μ0 =,566 0 mkgc Km = μ0 / π γ = 6,670 0 Nm kg N A = 6,05 0 mol R = 8, JK mol k =,805 0 JK

Samankaltaiset tiedostot

S Fysiikka III (Est) 2 VK

S Fysiikka III (Est) 2 VK S-37 Fysiikka III (Est) VK 500 Tarkastellaan vedyn p energiatasoa a) Mikä on tämän tason energia Bohrin mallissa? b) Oletetaan että spinratavuorovaikutus voidaan jättää huomiotta Kirjoita kaikki tähän