I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ

Transkriptio

1 I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ 1.1 Tilastollisen fysiikan ja termodynamiikan tutkimuskohde Mikroskooppiset ja makroskooppiset teoriat Terminen tasapaino ja lämpötila Termodynamiikan nollas pääsääntö Lämpötilan mittaamisesta Empiirinen lämpötila Lämpölaajenemiseen perustuva lämpömittari Sähkövastukseen perustuva lämpömittari Ideaalikaasun lämpötila Kansainväliset lämpötilastandardit Termodynaaminen tasapaino Tilanmuutokset eli prosessit II IDEAALIKAASUN KINEETTINEN TEORIA 2.1 Johdanto Ideaalikaasun tilanyhtälön johtaminen Molekyylivuo Vuon laskeminen Kaasusäiliön tyhjenemisnopeus Adiabaattinen tilanmuutos kineettisessä kaasuteoriassa Mäntään kohdistuva hetkellinen paine Molekyylien kineettisen energian muutos Adiabaattisen tilanmuutoksen yhtälö Kaasuseokset Moniatomisten kaasujen sisäenergia Pyörimisliikkeen osuus lämpöenergiasta Värähtelyliikkeen osuus lämpöenergiasta Ekvipartitioperiaate Kolmi- tai useampiatomiset molekyylit... 43

2 III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA 3.1 Johdanto Tilastollisen mekaniikan käsitteitä Maxwell - Boltzmann jakauman johtaminen Energiatilan sisäinen vapausaste Tasapainotilaa vastaavan partition laskeminen Partitiofunktio ja tasapainojakauma Tasapainojakauma ja lämpötila Ideaalikaasun partitiofunktio Maxwell-Boltzmann-jakauman ominaisuuksia Energiajakauma Nopeusjakauma Todennäköisin energia Todennäköisin nopeus Keskimääräinen nopeus Nopeuden neliöllinen keskiarvo Molekyylien nopeusjakauman vektorikomponentit Maxwell - Boltzmann-jakauma ja entropia Maxwell-Bolzmann entropia Tilatiheyden verrannollisuus kaasun tilavuuteen Työ ja lämpö tilastollisessa mekaniikassa Ideaalikaasun tilanyhtälö Ideaalikaasu gravitaatiokentässä Partitiofunktio ja ominaislämpö Paineen riippuvuus korkeudesta Reaalikaasut tilastollisessa mekaniikassa Suuri partitiofunktio ja vaiheavaruus IV KVANTTISTATISTIIKAN PERUSTEET 4.1 Monihiukkastilan symmetriaominaisuudet ja statistiikka Bose-Einstein jakauma Mikrotilojen lukumäärän laskeminen... 95

3 4.2.2 Tasapainotilaa vastaava partitio Fermi-Dirac jakauma Mikrotilojen lukumäärän laskeminen Tasapainotilaa vastaava partitio Partitiofunktio, sisäenergia ja entropia kvanttistatistiikassa Hiukkasten lukumäärä systeemissä Sisäenergia Entropia Klassinen raja Maxwell-Boltzmann jakauma V KVANTTISTATISTIIKAN SOVELLUTUKSIA 5.1 Hiukkastilojen tiheys potentiaalilaatikossa Elektronitilojen miehittyminen johtovyössä Johtavuuselektronien lämpökapasiteetti Mustan kappaleen säteily Fotonien energiatiheys Wienin siirtymälaki Stefan-Boltzmanin laki Molekyylien pyörimis- ja värähtelyliike tilastollisessa mekaniikassa Kokonaispartitiofunktio Molekyylien pyörimisliikkeen partitiofunktio Molekyylien värähtelyliikkeen partitiofunktio Kaksiatomisen ideaalikaasun sisäenergia korkeissa lämpötiloissa Kaksiatomisista molekyyleistä koostuvan kaasun kokonaisentropia Fononit ja hilalämpö Riippumattomien oskillaattorien malli (Dulong-Petit laki) Debyen teoria Paramagneettinen kide äärellisessä lämpötilassa Magneettisen momentin ja ulkoisen kentän vuorovaikutus Partitiofunktio ja tilojen miehitysluvut Sisäenergia ja ominaislämpö Entropia Magnetoituma Negatiiviset lämpötilat

4 5.9 Kvanttiefekti yksiatomisessa ideaalikaasussa VI TILANYHTÄLÖ 6.1 Ideaalikaasun tilanyhtälö Van der Waalsin tilanyhtälö Semiempiirinen lähestymistapa Van der Waalsin kaasun ominaisuuksia: Van der Waalsin kaasun kriittiset parametrit Van der Waalsin kaasu ja faasimuutokset Tilanyhtälön viriaalikehitelmä Kaasun ja kiinteän aineen tilavuudenmuutokset Kaasut Kiinteä aine FLT-systeemi FLT-systeemin tilanyhtälö Tilavuuden lämpötilakerroin Jännityksen muutokseen liittyvä työ VII LÄMPÖOPIN ENSIMMÄINEN PÄÄSÄÄNTÖ 7.1 Lämpö ja työ Kaasun tekemä laajenemistyö Laajenemistyön erityistapauksia Työ isobaarisessa tilanmuutoksessa Työ isotermisessä tilanmuutoksessa Lämpöopin ensimmäinen pääsääntö Määritelmä Ensimmäinen pääsääntö ja pvt -systeemin tilanmuutokset Adiabaattinen prosessi Isokoorinen prosessi Ideaalikaasun isoterminen prosessi Kiertoprosessi Muita konfiguraatiotöitä pvt-systeemin (kaasu, neste) ominaislämpö ja lämpökapasiteetti Ominaislämmön määritelmä

5 7.7.2 pvt-systeemin ominaislämpö ja ensimmäinen pääsääntö Ideaalikaasun ominaislämmöt cp Ominaislämpöjen ja cv erotus reaalikaasuille Ideaalikaasun adiabaattinen prosessi Paineen ja tilavuuden yhteys adiabaattisessa prosessissa Makroskooppinen tilanmuutos Työ ja sisäenergia adiabaattisessa muutoksessa Ideaalikaasun polytrooppinen prosessi Polytrooppisen prosessin ominaislämpö Työ polytrooppisessa prosessissa Polytrooppivakion ja vastaavan ominaislämmön suhde VIII KIERTOPROSESSIT JA TERMODYNAAMI- SET KONEET 8.1 Kiertoprosessin ja termodynaamisen koneen määritelmä Termodynaamisten koneiden hyötysuhde Lämpövoimakone Lämpöpumpun tehokerroin Jäähdytyskoneen tehokerroin Ideaalikaasun Carnotin prosessi Carnotin prosessin hyötysuhde Käänteinen Carnotin prosessi Carnotin prosessin ja muiden kiertoprosessien vertailua IX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA 9.1 Termodynaamisen systeemin pyrkimys tasapainoon Termodynamiikan toinen pääsääntö Entropia termodynamiikassa Entropian määritelmä Entropian ominaisuuksia Toinen pääsääntö ja entropia Reversiibelit ja irreversiibelit prosessit Entropiamuutosten laskeminen

6 9.4 Entropiamuutosten laskeminen Adiabaattinen prosessi Isoterminen prosessi Isokoorinen prosessi Isobaarinen prosessi Carnotin kiertoprosessi ja entropia Kiertoprosessi ST-tasossa Ideaalikaasun entropia tilavuuden ja lämpötilan funktiona Suljettu systeemi Avoimen systeemin entropia Entropian muutos ideaalikaasun vapaassa laajentumisessa Maksimityö ja entropia X JOULEN JA THOMSONIN ILMIÖ 10.1 Ideaalikaasun tilanyhtälö ja sisäenergia van der Waals in kaasun sisäenergia Reaalikaasun energiayhtälö van der Waalsin kaasun entropia van der Waalsin kaasun sisäenergia Joulen ilmiö Joulen ja Thomsonin ilmiö Koejärjestely Ideaalikaasu Reaalikaasu Entropian ja entalpian differentiaalit muuttujien p ja T avulla Joulen ja Thomsonin ilmiö van der Waalsin kaasulle XI HEMHOLZIN JA GIBBSIN VAPAAT ENERGIAT 11.1 Hemholzin vapaa energia Gibbsin vapaa energia Maxwellin yhtälöt Avoimen systeemin tilanfunktiot

7 XII NESTE-KAASU FAASIMUUTOS 12.1 Johdanto Kahden homogeenisen systeemin välinen tasapainon Tasapainoehto faasien rajapinnalla Kolmoispiste Latenttilämpö Clapeyron-Clausius yhtälö LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta... 2 Liite B Lagrangen kertoimet... 3 Liite C Kokonaisdifferentiaaleista... 7 C.1 Ristiderivaattojen riippumattomuus derivointijärjestyksestä... 7 C.2 Osittaisderivaattoja koskevia aputuloksia... 9 Liite D Carnotin prosessi ja termodynaaminen lämpötila D.1 Carnotin kone ja termodynaaminen (absoluuttinen) lämpötila Liite E Fermijakauma puolijohteissa E.1 Itseispuolijohteet E.2. Seostetut puolijohteet E.3. Varaustasapainoyhtälö E.4. Varauksenkuljettajainjektio ja kvasifermitasot E.5. Elektronien ja aukkojen tilatiheys ei parabolisella alueella Liite F Lämmön siirtyminen F.1. Lämpötilajakauma ja lämpövirran tiheys F.2. Gaussin lause lämpövirralle F.3 Esimerkkejä stationäärisistä lämpötilajakaumista F.3. Lämpösäteily... 38