7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta
|
|
- Sakari Lehtilä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun 4lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu 4lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö4lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk4o kolmiulo/eisessa avaruudessa ψ = ψ(x,y,z) = ψ(r,θ,ϕ) Kaikki hiukasen paikasta riippuvat funk4ot ovat (ainakin) kolmen muu/ujan funk4oita Usean muu/ujen funk4on piirtäminen Z = f(x,y) kuvaaja on pinta Tässä kuvassa Z = sin(x) + y f(x,y) Käsin piirtäminen vaikeaa, ja > 3 ulo/uvuudessa mahdotonta y x 1
2 Usean muu/ujen funk4on piirtäminen Voidaan lukita yhden muu/ujan arvo ja piirtää Z = f(x,y 0 ) Tässä esim sin(x) + y, y:n arvoilla 1,0,1,2 f(x,y) y x Useamman muu/ujan funk4on differen4aalilaskennan käsi/eitä Skalaariarvoisten (= ei vektori) funk4oiden f(x,y,z...) osi/aisderivaatat x, y, 2 x y, jne Skalaari- ja vektoriarvoisten funk4oiden erilaiset "vektoriderivaatat" (ei käsitellä tällä kurssilla): grad( f ) = f = f i + f f j + k x y z div( v) = v = v x x + v y y + v z z curl( v) = v = ( v z y v y z ) i + ( v x z v z x ) j + ( v y x v x y ) k 2
3 Useamman muu/ujan funk4on integraalilaskennan käsi/eitä Funk4on f viivaintegraali käyrää C pitkin C f (x, y) ds Sulje/u viivaintegraali (C:n alku ja loppupiste samat) C f (x, y) ds Moninkertaiset integraalit (integroidaan useamman koordinaa4n yli), tärkeimpänä 4lavuusintegraali: z 2 y 2 x 2 z 2 " y 2 " x 2 % % f (x, y, z)dx dy dz = $ $ f (x, y, z)dx' z 1 y 1 x 1 # $ x 1 &' dy ' dz z 1 # $ y 1 &' Osi/aisderivaa/a Esim. f(x,y)=2x 3 y 2 2x 2 y + 7 f (x, y) ( ) y = 6x 2 4xy x f (x, y) ( ) x = 2y 2x 2 y Vakiona pide/ävä muu/uja(t) merkitään alaindeksillä. Tämä on tärkeää etenkin termodynamiikan laskuissa! Esim. sisäenergian U derivaa/a lämpö4lan T suhteen riippuu siitä, pidetäänkö 4lavuus V vai paine p vakiona. ( U T ) V ( U T ) p 3
4 Huomautus merkinnöistä Puhtaassa matema4ikassa ei yleensä ilmoiteta vakiona pysyviä muu/ujia erikseen, esim merkinnän U T oletetaan jo itsessään sisältävän määritelmän, e/ä mikään muu kuin T ei muutu. Todellisissa fysikaalis- kemiallisissa järjestelmissä mikään muu ei muutu ehto ei juuri koskaan toteudu. Jos esimerkiksi kaasun lämpö4laa muutetaan, muu/uu väistämä/ä joko 4lavuus, paine tai ainemäärä (tai useampi näistä). Tästä syystä on luonnon4eteissä tarpeen erikseen merkitä mitkä muu/ujat pidetään vakiona! Muita osi/aisderivaatan merkintätapoja ovat esim: ( f x ) y = f x (x, y) = D x f (x, y) Esimerkki: ideaalikaasulain paineen osi/aisderivaa/a kolmen muun muu/ujan suhteen: p = nrt V ( p n ) V,T = RT V ( p T ) V,n = nr V ( p V ) = nrt n,t V 2 4
5 Korkeammat osi/aisderivaatat Funk4olle f(x,y): x ( f x ) = f ( 2 x ) = f 2 xx y ( f x ) = ( 2 f y x ) = f yx x ( f y ) = ( 2 f x y ) = f xy y ( f y ) = ( 2 f y 2 ) = f yy Jos funk4o f(x,y) on "siis4s4 käy/äytyvä", osi/aisderivaatat f yx ja f xy ovat samoja. ( 2 f y x ) = ( 2 f x y ) Testataan esimerkkisysteemillä ovatko ris4derivaatat samat. p = nrt V Lasketaan p TV = T ( p V ), p VT = V ( p T ) 2 p T V = T ( p V ) = nrt ( T V ) = nr 2 V 2 2 p V T = V ( p T ) = V (nr V ) = nr V 2 Kyllä, ris4derivaatat ovat samat. 5
6 Maksimi: 10/23/13 Sta4onääriset (kriiaset) pisteet = pisteet, joissa derivaatat ovat nollia. Kertausta: 1- ulo/eisen funk4on f(x) mahdolliset minimit ja maksimit löytyvät kohdista, joissa df(x)/dx = 0. minimi: f'(x) + maksimi: f'(x) + Toinen tapa olisi: minimi: maksimi: d 2 f (x) dx 2 > 0 d 2 f (x) dx 2 < 0 Otetaan seuraavaksi 2- ulo/einen funk4o f(x,y). Mahdolliset minimit ja maksimit löytyvät tässäkin tapauksessa derivaatan nollakohdista f (x, y) x Minimin ja maksimin paljastavat toiset derivaatat. Maksimi, kun Minimi, kun = 0 ja f xx < 0 ja f yy < 0 ja f xx f yy ( f xy ) 2 > 0 f xx > 0 ja f yy > 0 ja f (x, y) y f xx f yy ( f xy ) 2 > 0 = 0 yhtälöpari Jos f xx f yy (f xy ) 2 < 0, kyseessä on satulapiste: minimi yhden muu/ujan suhteen ja maksimi toisen suhteen. 6
7 f(x) = (x 2 +y 2 ); maksimi f(x) = x 2 +y 2 ; minimi 7
8 f(x) = x 2 y 2 ; satulapiste Esim. f(x,y) = x 3 + 6xy 2 2y 3 12x. Etsi funk4on maksimit ja minimit. Ratkaisu: etsitään derivaa/ojen nollakohdat f (x, y) = 3x 2 + 6y 2 12 x f (x, y) = 12xy 6y 2 y Saadaan yhtälöpari: 3x 2 + 6y 2 12 = 0 (1) 12xy 6y 2 = 0 (2) Yhtälöstä 2: 12xy 6y 2 = 6y(2x y) = 0 y = 0 tai y = 2x 8
9 Maksimi: 10/23/13 Tapaus y=0: sijoitetaan yhtälöön 1: 3x 2 + 6y 2 12 = 3x 2 12 = 0 3x 2 =12 x 2 = 4 x = ±2 Tapaus y=2x, sijoitetaan yhtälöön 1: 3x 2 + 6y 2 12 = 3x (2x) 2 12 = 0 27x 2 12 = 0 27x 2 =12 x 2 = = 4 9 x = ± 2 3 Mahdollisia minimejä tai maksimeja ovat siis (2,0) ja ( 2,0) Mahdollisia minimejä tai maksimeja ovat siis (2/3, 4/3) ja ( 2/3, 4/3) Sta4onääristen pisteiden luonne selviää laskemalla toisten derivaa/ojen arvot. Annetulle funk4olle f xx = 6x f yy =12x 12y f xy = f yx =12y x y f xx f yy f xy f xx f yy f xy 2 luonne >0 minimi >0 maksimi 2/3 4/ <0 satulapiste 2/3 4/ <0 satulapiste 9
10 Kokonaisdifferen4aali = muu/ujan hyvin pieni muutos kun yhtä tai useampaa toista muu/ujaa muutetaan 1 ulo5einen tapaus: y = f(x) y:n hyvin pientä muutosta kun x muu/uu hyvin vähän kuvaa kokonaisdifferen4aali df (x) dy = dx = f '(x)dx dx 2 ulo5einen tapaus: z = f(x,y) z:n hyvin pientä muutosta kun x ja y muu/uvat hyvin vähän kuvaa kokonaisdifferen4aali: dz = ( f (x, y) f (x, y) ) y dx + ( ) x dy x y Kokonaisdifferen4aali 3 ulo5einen tapaus: u = f(x,y,z) du = ( f (x, y, z) ) y,z dx + ( x f (x, y, z) ) x,z dy + ( y f (x, y, z) ) x,y dz z Ja vastaavas4 myös enemmän kuin 3 muu/ujan funk4oille... 10
11 Kokonaisdifferen4aali & integroin4 1 ulo5einen tapaus: y = f(x) dy = f '(x)dx 2 ulo5einen tapaus: z = f(x,y) dz = ( f (x, y) f (x, y) ) y dx + ( ) x dy x y z 2 $ Δz = dz = &( % z 1 y 2 Δy = dy = f '(x)dx y 1 C x 2 x 1 f (x, y) ) y dx + ( x f (x, y) y ' ) x dy) ( reia viivaintegraali (tästä lisää myöhemmin) Kokonaisdifferen4aali: esimerkkejä Laske funk>oiden kokonaisdifferen>aalit a) b) 1 r(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 2 ) dr = ( r x ) y,z dx + ( r y ) x,z dy + ( r z ) dz x,y = 1 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1 2 [ 2xdx + 2ydy + 2zdz] x(r,θ,ϕ) = rsinθ cosϕ dx = ( x r ) x θ,ϕ dr + ( θ ) x r,ϕ dθ + ( ϕ ) dϕ r,θ = sinθ cosϕdr + r cosθ cosϕdθ rsinθ sinϕdϕ 11
12 Kokonaisdifferen4aali: esimerkkejä Laske funk>oiden kokonaisdifferen>aalit c) T(p,V, n) = pv nr dt = ( T p ) V,n dp + ( T V ) p,n dv + ( T n ) p,v dn = V nr dp + p pv dv nr n 2 R dn Kokonaisdifferen4aali: esimerkkejä Termodynamiikan perusyhtälö sanoo: du = TdS - pdv (1) U = sisäenergia, S = entropia, V = 4lavuus, T = lämpö4la U:n riippuma/omat muu/ujat ovat S ja V, siis U = U(S,V) joten U:n kokonaisdifferen4aali on: du = ( U S ) V ds + ( U V ) S dv (2) Vertaamalla yhtälöitä 1 ja 2 saadaan seuraavat 4edot: ( U S ) V = T ( U V ) S = p 12
13 Kokonaisdifferen4aali: esimerkkejä Esim: V= V(p,T,n) α = 1 V ( V T ) p,n κ = 1 V ( V p ) T,n V m = ( V n ) p,t terminen laajenemiskerroin isoterminen puristuvuuskerroin moolinen tilavuus Esitä V:n kokonaisdifferen4aali näiden (mita/avien) parametrien avulla. dv = ( V p ) T,n dp + ( V T ) p,n dt + ( V n ) T, p dn = κvdp +αvdt +V m dn Funk4on virheen arvioiminen kokonaisdifferen4aalin avulla 1 ulo/einen tapaus: on vain yksi virhelähde. y = f (x) dy = f '(x)dx Δy = f '(x 0 ) Δx 1)Mitataan x = x 0 x:n mi/auksen tarkkuus on Δx 2)Määritetään y sekä y:n esitystarkkuus Δy x 0 on x:n mi/austulos. 13
14 Esim: liuoksen ph:n mi/aus ph = log[h 3 O + ] ph:n mi/auksen virhe on tyypillises4 ±0,001. Arvioi sen vaikutusta [H 3 O + ]:n arvoon, kun ph = 1,000. Ratkaisu:!H " 3 O + # $ =10 ph = (e ln10 ) ph = e ln10 ph Δ! " H 3 O + # $ = d! " H 3O + # $ dph = de ln10 ph dph ph=1,000 ΔpH ph=1,000 = ln10 e ln10 ph ph=1,000 ΔpH ΔpH ln10 e ln10 ph ΔpH ph=1,000 = ln10 e ln10 1,000 0,001 =0, ,023M [H 3 O + ] = (0,100 ± 0,023)M Laske/u arvo ph = 1,000 Lasketun arvon virhe [H 3 O + ]:ta ei siis voi ilmoi/aa kuin 2 desimaalin tarkuudella, koska virhe on yli 0,01. [H 3 O + ] = (0,10 ± 0,02) M 14
15 Funk4on virheen arvioiminen kokonaisdifferen4aalin avulla Useampiulo/einen tapaus: monta virhelähde/ä. Olkoon halu/u suure u, joka riippuu mitatuista muu/ujista x 1, x 2, x 3,...,x n. u = u(x 1, x 2, x 3,..., x n ) Olkoon kutakin muu/ujaa i vastaava mi/austulos x i,0 ja ko. muu/ujan mi/ausvirhe Δx i. Nyt saadaan suureen u maksimivirheeksi: Δu = n i=1 ( U x i x i =x i,0 Δx i ) Esim: ideaalikaasun 4lavuus on V = (2,0 ± 0,1)dm 3 ja paine on p = (754,7 ± 0,2) torr. Mikä on kaasun lämpö4la kun n = 0,1 mol (tarkka)? Ratkaisu: pv = nrt T = pv nr Sijoitetaan arvot, saadaan T = 242,0309 K. T:n maksimivirhe (MP = mi/auspiste): ΔT = T V MP ΔV + T p MP Δp = 754,7 torr = 0,1 mol R 0,1 2,0 dm3 dm3 + 0, 2 torr 0,1 mol R =12,1657 K T = (242 ± 12 )K p nr MP ΔV + V nr MP Δp 15
16 Eksak4t ja epäeksak4t differen4aalit f = f(x,y) f:n kokonaisdifferen4aali on: df = ( f (x, y) f (x, y) ) y dx + ( ) x dy x y f yx = 2 f (x, y) y x = 2 f (x, y) ) = f xy Koska ris4derivaatat ovat samat x y Tästä saadaan tes4 sille, onko differen4aalimuotoinen lauseke kokonaisdifferen4aali. Kokonaisdifferen4aali = eksak4 differen4aali Eksak4t ja epäeksak4t differen4aalit Differen4aalilauseke df = G(x, y)dx + H(x, y)dy on eksak4 jos G(x, y) y = H(x, y) x Esim: onko Ratkaisu: df = (x 2 + y 2 )dx + 2xydy G(x, y) = (x 2 + y 2 ) ja H(x, y) = 2xy G(x, y) y = 2y, H(x, y) x = 2y eksak4 differen4aali? on eksak>. 16
17 Esim: onko dv = RT p 2 dp + R p dt eksak4 differen4aali? Ratkaisu (muu/ujat ovat nyt x:n ja y:n sijaan p ja T): dv = G(p,T )dp + H(p,T )dt G(p,T ) = RT p 2 G(p,T ) T Esim: onko Ratkaisu:, H(p,T ) = R p = R H(p,T ) = R p 2 p p 2 dw = pdv = RT p G(p,T ) = RT p, H(p,T ) = R G(p,T ) T = R p H(p,T ) p = 0 dp + RdT dv on eksak>. eksak4 differen4aali? dw ei ole eksak>. Esim: 4edetään e/ä entalpian differen4aali dh = TdS + Vdp on eksak4 ( = kokonaisdifferen4aali). Kuten aiemmin du:n tapauksessa, tästä voidaan suoraan päätellä: dh = TdS +Vdp ( H S ) p ds + ( H p ) dp S T = ( H S ) p, V = ( H p ) S Toisekseen, dh:n eksak4uden takia täytyy päteä: ( T p ) S = ( V S ) p Tämä on yksi ns. Maxwellin relaa>oista (muut voidaan johtaa vastaavalla tavalla muista eksakteista differen4aaleista, esim du, dg, da). Nämä ovat termodynamiikassa varsin keskeisiä. 17
18 Yhdistetyn funk4on derivoin4 1 ulo5uvuudessa F = f(x) ja x = x(u) Tällöin f=f(u) df (x) du df (x) = dx dx du 2 ulo/uvuudessa f = f(x,y) ja x = x(u,v), y = y(u,v) Tällöin f = f(u,v) ( f u ) v = ( f x ) y( x u ) v + ( f y ) x( y u ) v Havainnollistava vertaus: kemian tehdas tuo/aa reaktorissa jotakin tuote/a määrän f. Tuote muodostetaan ainesosista x ja y. Ainesosien vuo reaktoriin taas riippuu kahdesta parametrista u ja v (esim. lämpö4la ja paine, tai raaka- aineiden vuo). Jos halutaan 4etää miten tuote/u määrä f riippuu u:sta, täytyy ensin 4etää, miten f:n muu/uu x:n ja y:n muu/uessa. Si/en pitää 4etää, miten x ja y vaihtelevat u:n muu/uessa ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v u v u v x y reaktori Tuote f 18
19 Havainnollistava vertaus: kemian tehdas tuo/aa reaktorissa jotakin tuote/a määrän f. Tuote muodostetaan ainesosista x ja y. Ainesosien vuo reaktoriin taas riippuu kahdesta parametrista u ja v (esim. lämpö4la ja paine, tai raaka- aineiden vuo). Jos halutaan 4etää miten tuote/u määrä f riippuu u:sta, täytyy ensin 4etää, miten f:n muu/uu x:n ja y:n muu/uessa. Si/en pitää 4etää, miten x ja y vaihtelevat u:n muu/uessa ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v u v u v x y reaktori Tuote f Havainnollistava vertaus: kemian tehdas tuo/aa reaktorissa jotakin tuote/a määrän f. Tuote muodostetaan ainesosista x ja y. Ainesosien vuo reaktoriin taas riippuu kahdesta parametrista u ja v (esim. lämpö4la ja paine, tai raaka- aineiden vuo). Jos halutaan 4etää miten tuote/u määrä f riippuu u:sta, täytyy ensin 4etää, miten f:n muu/uu x:n ja y:n muu/uessa. Si/en pitää 4etää, miten x ja y vaihtelevat u:n muu/uessa ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v u v u v x y reaktori Tuote f 19
20 Havainnollistava vertaus: kemian tehdas tuo/aa reaktorissa jotakin tuote/a määrän f. Tuote muodostetaan ainesosista x ja y. Ainesosien vuo reaktoriin taas riippuu kahdesta parametrista u ja v (esim. lämpö4la ja paine, tai raaka- aineiden vuo). Jos halutaan 4etää miten tuote/u määrä f riippuu u:sta, täytyy ensin 4etää, miten f:n muu/uu x:n ja y:n muu/uessa. Si/en pitää 4etää, miten x ja y vaihtelevat u:n muu/uessa ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v u v u v x y reaktori Tuote f Havainnollistava vertaus: kemian tehdas tuo/aa reaktorissa jotakin tuote/a määrän f. Tuote muodostetaan ainesosista x ja y. Ainesosien vuo reaktoriin taas riippuu kahdesta parametrista u ja v (esim. lämpö4la ja paine, tai raaka- aineiden vuo). Jos halutaan 4etää miten tuote/u määrä f riippuu u:sta, täytyy ensin 4etää, miten f:n muu/uu x:n ja y:n muu/uessa. Si/en pitää 4etää, miten x ja y vaihtelevat u:n muu/uessa ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v u v u v x y reaktori Tuote f 20
21 Esimerkki liuoskemian kurssilta: Liuoksen puskurikapasiteea on P = dc B dph Puskuriliuokselle joka on tehty hapon HA vesiliuoksesta lisäämällä emästä NaOH: K c B = HA c K HA + H 3 O + [ ] K HA = hapon HA happovakio, c = [HA] + [A ] c B = lisätyn emäksen määrä = [Na + ] P = dc B dph = = d d H 3 O + d dph ( K HA c K HA + H 3 O + [ ] ) [ ] ( K c HA K HA + [ H 3 O + ] ) d H + [ 3O ] dph!h " 3 O + # $ = e ln10 ph d K P = ( HA c ) d! H # " 3 O+ $ d! " H 3 O + # $ K HA +! " H 3 O + # $ dph d 1 d(e ln10 ph ) = K HA c ( d! " H 3 O + # $ (K HA +! " H 3 O + # $ )) dph -1 = K HA c ln10 (K HA +! " H 3 O + e-ln10 ph # $ ) K HAc! " H 3 O + # $ (K HA +! " H 3 O + # $ )2 21
22 Z = Z(x, y) dz = ( Z x ) y dx + ( Z y ) dy x Tapaus 1 x = vakio, dx=0 dz = ( Z y ) x dy Tarpeellisia kaavoja "Jaetaan dz:lla ja muistetaan e/ä x on vakio" ( Z Z ) x =1= ( Z y ) ( y x Z ) x ( Z y ) x = 1 ( y Z ) x : ( y Z ) x Huom: molemmissa osi/aisderivaa4ossa x vakio Z = Z(x, y) dz = ( Z x ) y dx + ( Z y ) dy x Tapaus 2 Z = vakio, dz=0 ( Z x ) y dx + ( Z y ) dy = 0 x Tarpeellisia kaavoja "Jaetaan dy:lla ja muistetaan e/ä Z on vakio" ( Z x ) y( x y ) z + ( Z y ) x( y y ) z = ( Z x ) y( x y ) z + ( Z y ) x 1= 0 ( Z x ) y( x y ) z = ( Z y ) x Huom: kaikissa kolmessa osi/aisderivaatassa on eri muu/uja vakiona (epäintui4ivinen miinusmerkki tulee tästä) 22
23 Tarpeellisia kaavoja Yhdistetään edelliset 2 tulosta. ( Z y ) = 1 x ( y, toisaalta ( Z Z ) x ) ( x y y ) = ( Z z y ) x x ( Z x ) y( x y ) z = 1 ( y Z ) x ( Z x ) y( x y ) z( y Z ) x = 1 Huom: kaikissa kolmessa osi/aisderivaatassa on eri muu/uja vakiona (epäintui4ivinen miinusmerkki tulee tästä) Esimerkki 1: pv = nrt, n vakio lasketaan ( P V ) T ( V T ) p ( T p ) V p = nrt V, V = nrt p, T = pv nr ( P V ) T ( V T ) p ( T p ) V ( nrt = ( V ) V ) T ( = nrt V 2 = nrt nrt = 1 ( nrt p ) T nr p V nr = nrt pv ( pv ) p ( nr ) p ) V pv = nrt 23
24 Esimerkki 2 : ilmaise ( p T ) V α = 1 V ( V T ) p, κ = 1 V ( V p ) T Ratkaisu : ( p T ) V ( T V ) p( V p ) T = 1 ( p T ) ( V V p ) = 1 T ( T V ) p ( p V ( T ) = 1 T ) p V ( V p ) T = seuraavien vakioiden avulla: = 1( V T ) p 1 V ( V T ) p 1 V ( V p ) T = α κ 24
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa
Lisätiedot8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa
LisätiedotEsim 1 Esim 2 ei käsitellä tällä kurssilla
8. Monen m-jan fnk2on differen2aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasn 2lanhtälö p = nrt V Paine riipp 2ladesta, ainemäärästä ja lämpö2lasta: p = p(n, T, V) Usean m-jen fnk2on piirtäminen Z = f(,) kaaja on pinta
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta
Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta Otetaan funk6o f(x,y), joka riippuu muu@ujista x ja y. Jokaiselle x,y tason pisteellä funk6olla on siis joku arvo. Tyypillisiä fysikaalis- kemiallisia esimerkkejä
LisätiedotThermodynamics is Two Laws and a Li2le Calculus
Thermodynamics is Two Laws and a Li2le Calculus Termodynamiikka on joukko työkaluja, joiden avulla voidaan tarkastella energiaan ja entropiaan lii2yviä ilmiötä kaikissa luonnonilmiöissä ja lai2eissa Voidaan
Lisätiedot3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A > B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
Lisätiedot3. Differen*aalilaskenta
3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /
M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotLuku Pääsääntö (The Second Law)
Luku 3 2. Pääsääntö (he Second Law) Some things happen naturally, some things don t Spontaneous must be interpreted as a natural tendency that may or may not be realized in prac=ce. hermodynamics is silent
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
Lisätiedot11. Virheen arvioin-
11. Virhee arvioi- = mi%austarkkude ja määritystarkkuude arvioi4. Erilaisia virheitä: 1. Karkeat virheet Huolima5omuudesta tai työvirheestä johtuva moka Usei huomaa äly5ömää tuloksea 2. Systemaa?set virheet
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
Lisätiedot( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V
Kenttäteorian matemaattisia apuneuvoja 4..7. Gaussin ja Stokesin lauseet V S ds A = dl A = V S A dv, =, tai ) ds ) A ). Greenin kaavat I : II : 3. Diracin deltafunktio 4. Vektorilaskentaa V V ψ ξ dv +
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Lisätiedot4. Integraalilaskenta
4. Integraalilaskenta Johda3eleva esimerkki: kun hiukkasen paikka s(t) derivoidaan ajan suhteen, saadaan hiukkasen nopeus: v(t) = s'(t) Kun nopeus derivoidaan ajan suhteen saadaan kiihtyvyys a(t) = v'(t)
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
LisätiedotTilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy
z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
LisätiedotOsi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotLaskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Korte / Lindfors MS-A0207 Dierentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM), kevät 2017 Laskuharjoitus 2A (9.10.1.) Aihepiiri:
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotSpontaanissa prosessissa Energian jakautuminen eri vapausasteiden kesken lisääntyy Energia ja materia tulevat epäjärjestyneemmäksi
KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 2. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 3 1 1. TERMODYNAMIIKAN TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ Lord Kelvin: Lämpöenergian täydellinen muuttaminen työksi ei ole mahdollista 2. pääsääntö kertoo systeemissä
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotOsi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
LisätiedotOsi+aisintegroin3. Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö:
9//3 Osi+aisintegroin3 Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) = df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x)
LisätiedotTilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3 3/19/13. f(x, y, z)dxdydz. ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: ρ(x,y,z)dxdydz
/9/ z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegoin f(x, y, z)dxdydz z 2 # y 2 # x 2 & & = % % f(x, y, z)dx( dy( dz $ $ ' ' z y x Tyypillises kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massaheys, jolloin integaalin avo on massa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +
LisätiedotOsi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)
/9/ Osi*aisintegroin Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x)
LisätiedotTodista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,
7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotPintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
LisätiedotVektorilaskenta, tentti
Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot9. Tilasto+eteen eri/äin alkeelliset alkeet ja virheen arvioin+
9. Tilasto+eteen eri/äin alkeelliset alkeet ja virheen arvioin+ Kemiassa ja muissa luonnon+eteissä käsitellään usein suuria määriä mi/ausdataa. Mi/ausdatan käsi/elyä ja jatkojalostusta varten (esim: selostusten
Lisätiedot4. Integraalilaskenta
4. Integraalilaskenta Johda3eleva esimerkki: kun hiukkasen paikka s(t) derivoidaan ajan suhteen, saadaan hiukkasen nopeus: v(t) = s'(t) Kun nopeus derivoidaan ajan suhteen saadaan kiihtyvyys a(t) = v'(t)
Lisätiedotedition). Luennot seuraavat tätä kirjaa, mutta eivät orjallisesti.
1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2014 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 53-55, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 16 ja 17 eli 14 274 Harjoitusassistentti: Ville Kotimäki Laskuharjoitukset:
Lisätiedot(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:
7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
LisätiedotLuennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: , ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko).
1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2017 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 63 35, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko) Harjoitusassistentit: Petri Kuusela ja Tapani
Lisätiedot763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012
763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 /
M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 / 2. 24.3. Harjoitustehtäviä 1 6 lasketaan alkuviikon harjoituksessa. Harjoituksessa laskematta
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot