7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta"

Transkriptio

1 7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun 4lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu 4lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö4lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk4o kolmiulo/eisessa avaruudessa ψ = ψ(x,y,z) = ψ(r,θ,ϕ) Kaikki hiukasen paikasta riippuvat funk4ot ovat (ainakin) kolmen muu/ujan funk4oita Usean muu/ujen funk4on piirtäminen Z = f(x,y) kuvaaja on pinta Tässä kuvassa Z = sin(x) + y f(x,y) Käsin piirtäminen vaikeaa, ja > 3 ulo/uvuudessa mahdotonta y x 1

2 Usean muu/ujen funk4on piirtäminen Voidaan lukita yhden muu/ujan arvo ja piirtää Z = f(x,y 0 ) Tässä esim sin(x) + y, y:n arvoilla 1,0,1,2 f(x,y) y x Useamman muu/ujan funk4on differen4aalilaskennan käsi/eitä Skalaariarvoisten (= ei vektori) funk4oiden f(x,y,z...) osi/aisderivaatat x, y, 2 x y, jne Skalaari- ja vektoriarvoisten funk4oiden erilaiset "vektoriderivaatat" (ei käsitellä tällä kurssilla): grad( f ) = f = f i + f f j + k x y z div( v) = v = v x x + v y y + v z z curl( v) = v = ( v z y v y z ) i + ( v x z v z x ) j + ( v y x v x y ) k 2

3 Useamman muu/ujan funk4on integraalilaskennan käsi/eitä Funk4on f viivaintegraali käyrää C pitkin C f (x, y) ds Sulje/u viivaintegraali (C:n alku ja loppupiste samat) C f (x, y) ds Moninkertaiset integraalit (integroidaan useamman koordinaa4n yli), tärkeimpänä 4lavuusintegraali: z 2 y 2 x 2 z 2 " y 2 " x 2 % % f (x, y, z)dx dy dz = $ $ f (x, y, z)dx' z 1 y 1 x 1 # $ x 1 &' dy ' dz z 1 # $ y 1 &' Osi/aisderivaa/a Esim. f(x,y)=2x 3 y 2 2x 2 y + 7 f (x, y) ( ) y = 6x 2 4xy x f (x, y) ( ) x = 2y 2x 2 y Vakiona pide/ävä muu/uja(t) merkitään alaindeksillä. Tämä on tärkeää etenkin termodynamiikan laskuissa! Esim. sisäenergian U derivaa/a lämpö4lan T suhteen riippuu siitä, pidetäänkö 4lavuus V vai paine p vakiona. ( U T ) V ( U T ) p 3

4 Huomautus merkinnöistä Puhtaassa matema4ikassa ei yleensä ilmoiteta vakiona pysyviä muu/ujia erikseen, esim merkinnän U T oletetaan jo itsessään sisältävän määritelmän, e/ä mikään muu kuin T ei muutu. Todellisissa fysikaalis- kemiallisissa järjestelmissä mikään muu ei muutu ehto ei juuri koskaan toteudu. Jos esimerkiksi kaasun lämpö4laa muutetaan, muu/uu väistämä/ä joko 4lavuus, paine tai ainemäärä (tai useampi näistä). Tästä syystä on luonnon4eteissä tarpeen erikseen merkitä mitkä muu/ujat pidetään vakiona! Muita osi/aisderivaatan merkintätapoja ovat esim: ( f x ) y = f x (x, y) = D x f (x, y) Esimerkki: ideaalikaasulain paineen osi/aisderivaa/a kolmen muun muu/ujan suhteen: p = nrt V ( p n ) V,T = RT V ( p T ) V,n = nr V ( p V ) = nrt n,t V 2 4

5 Korkeammat osi/aisderivaatat Funk4olle f(x,y): x ( f x ) = f ( 2 x ) = f 2 xx y ( f x ) = ( 2 f y x ) = f yx x ( f y ) = ( 2 f x y ) = f xy y ( f y ) = ( 2 f y 2 ) = f yy Jos funk4o f(x,y) on "siis4s4 käy/äytyvä", osi/aisderivaatat f yx ja f xy ovat samoja. ( 2 f y x ) = ( 2 f x y ) Testataan esimerkkisysteemillä ovatko ris4derivaatat samat. p = nrt V Lasketaan p TV = T ( p V ), p VT = V ( p T ) 2 p T V = T ( p V ) = nrt ( T V ) = nr 2 V 2 2 p V T = V ( p T ) = V (nr V ) = nr V 2 Kyllä, ris4derivaatat ovat samat. 5

6 Maksimi: 10/23/13 Sta4onääriset (kriiaset) pisteet = pisteet, joissa derivaatat ovat nollia. Kertausta: 1- ulo/eisen funk4on f(x) mahdolliset minimit ja maksimit löytyvät kohdista, joissa df(x)/dx = 0. minimi: f'(x) + maksimi: f'(x) + Toinen tapa olisi: minimi: maksimi: d 2 f (x) dx 2 > 0 d 2 f (x) dx 2 < 0 Otetaan seuraavaksi 2- ulo/einen funk4o f(x,y). Mahdolliset minimit ja maksimit löytyvät tässäkin tapauksessa derivaatan nollakohdista f (x, y) x Minimin ja maksimin paljastavat toiset derivaatat. Maksimi, kun Minimi, kun = 0 ja f xx < 0 ja f yy < 0 ja f xx f yy ( f xy ) 2 > 0 f xx > 0 ja f yy > 0 ja f (x, y) y f xx f yy ( f xy ) 2 > 0 = 0 yhtälöpari Jos f xx f yy (f xy ) 2 < 0, kyseessä on satulapiste: minimi yhden muu/ujan suhteen ja maksimi toisen suhteen. 6

7 f(x) = (x 2 +y 2 ); maksimi f(x) = x 2 +y 2 ; minimi 7

8 f(x) = x 2 y 2 ; satulapiste Esim. f(x,y) = x 3 + 6xy 2 2y 3 12x. Etsi funk4on maksimit ja minimit. Ratkaisu: etsitään derivaa/ojen nollakohdat f (x, y) = 3x 2 + 6y 2 12 x f (x, y) = 12xy 6y 2 y Saadaan yhtälöpari: 3x 2 + 6y 2 12 = 0 (1) 12xy 6y 2 = 0 (2) Yhtälöstä 2: 12xy 6y 2 = 6y(2x y) = 0 y = 0 tai y = 2x 8

9 Maksimi: 10/23/13 Tapaus y=0: sijoitetaan yhtälöön 1: 3x 2 + 6y 2 12 = 3x 2 12 = 0 3x 2 =12 x 2 = 4 x = ±2 Tapaus y=2x, sijoitetaan yhtälöön 1: 3x 2 + 6y 2 12 = 3x (2x) 2 12 = 0 27x 2 12 = 0 27x 2 =12 x 2 = = 4 9 x = ± 2 3 Mahdollisia minimejä tai maksimeja ovat siis (2,0) ja ( 2,0) Mahdollisia minimejä tai maksimeja ovat siis (2/3, 4/3) ja ( 2/3, 4/3) Sta4onääristen pisteiden luonne selviää laskemalla toisten derivaa/ojen arvot. Annetulle funk4olle f xx = 6x f yy =12x 12y f xy = f yx =12y x y f xx f yy f xy f xx f yy f xy 2 luonne >0 minimi >0 maksimi 2/3 4/ <0 satulapiste 2/3 4/ <0 satulapiste 9

10 Kokonaisdifferen4aali = muu/ujan hyvin pieni muutos kun yhtä tai useampaa toista muu/ujaa muutetaan 1 ulo5einen tapaus: y = f(x) y:n hyvin pientä muutosta kun x muu/uu hyvin vähän kuvaa kokonaisdifferen4aali df (x) dy = dx = f '(x)dx dx 2 ulo5einen tapaus: z = f(x,y) z:n hyvin pientä muutosta kun x ja y muu/uvat hyvin vähän kuvaa kokonaisdifferen4aali: dz = ( f (x, y) f (x, y) ) y dx + ( ) x dy x y Kokonaisdifferen4aali 3 ulo5einen tapaus: u = f(x,y,z) du = ( f (x, y, z) ) y,z dx + ( x f (x, y, z) ) x,z dy + ( y f (x, y, z) ) x,y dz z Ja vastaavas4 myös enemmän kuin 3 muu/ujan funk4oille... 10

11 Kokonaisdifferen4aali & integroin4 1 ulo5einen tapaus: y = f(x) dy = f '(x)dx 2 ulo5einen tapaus: z = f(x,y) dz = ( f (x, y) f (x, y) ) y dx + ( ) x dy x y z 2 $ Δz = dz = &( % z 1 y 2 Δy = dy = f '(x)dx y 1 C x 2 x 1 f (x, y) ) y dx + ( x f (x, y) y ' ) x dy) ( reia viivaintegraali (tästä lisää myöhemmin) Kokonaisdifferen4aali: esimerkkejä Laske funk>oiden kokonaisdifferen>aalit a) b) 1 r(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 2 ) dr = ( r x ) y,z dx + ( r y ) x,z dy + ( r z ) dz x,y = 1 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1 2 [ 2xdx + 2ydy + 2zdz] x(r,θ,ϕ) = rsinθ cosϕ dx = ( x r ) x θ,ϕ dr + ( θ ) x r,ϕ dθ + ( ϕ ) dϕ r,θ = sinθ cosϕdr + r cosθ cosϕdθ rsinθ sinϕdϕ 11

12 Kokonaisdifferen4aali: esimerkkejä Laske funk>oiden kokonaisdifferen>aalit c) T(p,V, n) = pv nr dt = ( T p ) V,n dp + ( T V ) p,n dv + ( T n ) p,v dn = V nr dp + p pv dv nr n 2 R dn Kokonaisdifferen4aali: esimerkkejä Termodynamiikan perusyhtälö sanoo: du = TdS - pdv (1) U = sisäenergia, S = entropia, V = 4lavuus, T = lämpö4la U:n riippuma/omat muu/ujat ovat S ja V, siis U = U(S,V) joten U:n kokonaisdifferen4aali on: du = ( U S ) V ds + ( U V ) S dv (2) Vertaamalla yhtälöitä 1 ja 2 saadaan seuraavat 4edot: ( U S ) V = T ( U V ) S = p 12

13 Kokonaisdifferen4aali: esimerkkejä Esim: V= V(p,T,n) α = 1 V ( V T ) p,n κ = 1 V ( V p ) T,n V m = ( V n ) p,t terminen laajenemiskerroin isoterminen puristuvuuskerroin moolinen tilavuus Esitä V:n kokonaisdifferen4aali näiden (mita/avien) parametrien avulla. dv = ( V p ) T,n dp + ( V T ) p,n dt + ( V n ) T, p dn = κvdp +αvdt +V m dn Funk4on virheen arvioiminen kokonaisdifferen4aalin avulla 1 ulo/einen tapaus: on vain yksi virhelähde. y = f (x) dy = f '(x)dx Δy = f '(x 0 ) Δx 1)Mitataan x = x 0 x:n mi/auksen tarkkuus on Δx 2)Määritetään y sekä y:n esitystarkkuus Δy x 0 on x:n mi/austulos. 13

14 Esim: liuoksen ph:n mi/aus ph = log[h 3 O + ] ph:n mi/auksen virhe on tyypillises4 ±0,001. Arvioi sen vaikutusta [H 3 O + ]:n arvoon, kun ph = 1,000. Ratkaisu:!H " 3 O + # $ =10 ph = (e ln10 ) ph = e ln10 ph Δ! " H 3 O + # $ = d! " H 3O + # $ dph = de ln10 ph dph ph=1,000 ΔpH ph=1,000 = ln10 e ln10 ph ph=1,000 ΔpH ΔpH ln10 e ln10 ph ΔpH ph=1,000 = ln10 e ln10 1,000 0,001 =0, ,023M [H 3 O + ] = (0,100 ± 0,023)M Laske/u arvo ph = 1,000 Lasketun arvon virhe [H 3 O + ]:ta ei siis voi ilmoi/aa kuin 2 desimaalin tarkuudella, koska virhe on yli 0,01. [H 3 O + ] = (0,10 ± 0,02) M 14

15 Funk4on virheen arvioiminen kokonaisdifferen4aalin avulla Useampiulo/einen tapaus: monta virhelähde/ä. Olkoon halu/u suure u, joka riippuu mitatuista muu/ujista x 1, x 2, x 3,...,x n. u = u(x 1, x 2, x 3,..., x n ) Olkoon kutakin muu/ujaa i vastaava mi/austulos x i,0 ja ko. muu/ujan mi/ausvirhe Δx i. Nyt saadaan suureen u maksimivirheeksi: Δu = n i=1 ( U x i x i =x i,0 Δx i ) Esim: ideaalikaasun 4lavuus on V = (2,0 ± 0,1)dm 3 ja paine on p = (754,7 ± 0,2) torr. Mikä on kaasun lämpö4la kun n = 0,1 mol (tarkka)? Ratkaisu: pv = nrt T = pv nr Sijoitetaan arvot, saadaan T = 242,0309 K. T:n maksimivirhe (MP = mi/auspiste): ΔT = T V MP ΔV + T p MP Δp = 754,7 torr = 0,1 mol R 0,1 2,0 dm3 dm3 + 0, 2 torr 0,1 mol R =12,1657 K T = (242 ± 12 )K p nr MP ΔV + V nr MP Δp 15

16 Eksak4t ja epäeksak4t differen4aalit f = f(x,y) f:n kokonaisdifferen4aali on: df = ( f (x, y) f (x, y) ) y dx + ( ) x dy x y f yx = 2 f (x, y) y x = 2 f (x, y) ) = f xy Koska ris4derivaatat ovat samat x y Tästä saadaan tes4 sille, onko differen4aalimuotoinen lauseke kokonaisdifferen4aali. Kokonaisdifferen4aali = eksak4 differen4aali Eksak4t ja epäeksak4t differen4aalit Differen4aalilauseke df = G(x, y)dx + H(x, y)dy on eksak4 jos G(x, y) y = H(x, y) x Esim: onko Ratkaisu: df = (x 2 + y 2 )dx + 2xydy G(x, y) = (x 2 + y 2 ) ja H(x, y) = 2xy G(x, y) y = 2y, H(x, y) x = 2y eksak4 differen4aali? on eksak>. 16

17 Esim: onko dv = RT p 2 dp + R p dt eksak4 differen4aali? Ratkaisu (muu/ujat ovat nyt x:n ja y:n sijaan p ja T): dv = G(p,T )dp + H(p,T )dt G(p,T ) = RT p 2 G(p,T ) T Esim: onko Ratkaisu:, H(p,T ) = R p = R H(p,T ) = R p 2 p p 2 dw = pdv = RT p G(p,T ) = RT p, H(p,T ) = R G(p,T ) T = R p H(p,T ) p = 0 dp + RdT dv on eksak>. eksak4 differen4aali? dw ei ole eksak>. Esim: 4edetään e/ä entalpian differen4aali dh = TdS + Vdp on eksak4 ( = kokonaisdifferen4aali). Kuten aiemmin du:n tapauksessa, tästä voidaan suoraan päätellä: dh = TdS +Vdp ( H S ) p ds + ( H p ) dp S T = ( H S ) p, V = ( H p ) S Toisekseen, dh:n eksak4uden takia täytyy päteä: ( T p ) S = ( V S ) p Tämä on yksi ns. Maxwellin relaa>oista (muut voidaan johtaa vastaavalla tavalla muista eksakteista differen4aaleista, esim du, dg, da). Nämä ovat termodynamiikassa varsin keskeisiä. 17

18 Yhdistetyn funk4on derivoin4 1 ulo5uvuudessa F = f(x) ja x = x(u) Tällöin f=f(u) df (x) du df (x) = dx dx du 2 ulo/uvuudessa f = f(x,y) ja x = x(u,v), y = y(u,v) Tällöin f = f(u,v) ( f u ) v = ( f x ) y( x u ) v + ( f y ) x( y u ) v Havainnollistava vertaus: kemian tehdas tuo/aa reaktorissa jotakin tuote/a määrän f. Tuote muodostetaan ainesosista x ja y. Ainesosien vuo reaktoriin taas riippuu kahdesta parametrista u ja v (esim. lämpö4la ja paine, tai raaka- aineiden vuo). Jos halutaan 4etää miten tuote/u määrä f riippuu u:sta, täytyy ensin 4etää, miten f:n muu/uu x:n ja y:n muu/uessa. Si/en pitää 4etää, miten x ja y vaihtelevat u:n muu/uessa ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v u v u v x y reaktori Tuote f 18

19 Havainnollistava vertaus: kemian tehdas tuo/aa reaktorissa jotakin tuote/a määrän f. Tuote muodostetaan ainesosista x ja y. Ainesosien vuo reaktoriin taas riippuu kahdesta parametrista u ja v (esim. lämpö4la ja paine, tai raaka- aineiden vuo). Jos halutaan 4etää miten tuote/u määrä f riippuu u:sta, täytyy ensin 4etää, miten f:n muu/uu x:n ja y:n muu/uessa. Si/en pitää 4etää, miten x ja y vaihtelevat u:n muu/uessa ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v u v u v x y reaktori Tuote f Havainnollistava vertaus: kemian tehdas tuo/aa reaktorissa jotakin tuote/a määrän f. Tuote muodostetaan ainesosista x ja y. Ainesosien vuo reaktoriin taas riippuu kahdesta parametrista u ja v (esim. lämpö4la ja paine, tai raaka- aineiden vuo). Jos halutaan 4etää miten tuote/u määrä f riippuu u:sta, täytyy ensin 4etää, miten f:n muu/uu x:n ja y:n muu/uessa. Si/en pitää 4etää, miten x ja y vaihtelevat u:n muu/uessa ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v u v u v x y reaktori Tuote f 19

20 Havainnollistava vertaus: kemian tehdas tuo/aa reaktorissa jotakin tuote/a määrän f. Tuote muodostetaan ainesosista x ja y. Ainesosien vuo reaktoriin taas riippuu kahdesta parametrista u ja v (esim. lämpö4la ja paine, tai raaka- aineiden vuo). Jos halutaan 4etää miten tuote/u määrä f riippuu u:sta, täytyy ensin 4etää, miten f:n muu/uu x:n ja y:n muu/uessa. Si/en pitää 4etää, miten x ja y vaihtelevat u:n muu/uessa ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v u v u v x y reaktori Tuote f Havainnollistava vertaus: kemian tehdas tuo/aa reaktorissa jotakin tuote/a määrän f. Tuote muodostetaan ainesosista x ja y. Ainesosien vuo reaktoriin taas riippuu kahdesta parametrista u ja v (esim. lämpö4la ja paine, tai raaka- aineiden vuo). Jos halutaan 4etää miten tuote/u määrä f riippuu u:sta, täytyy ensin 4etää, miten f:n muu/uu x:n ja y:n muu/uessa. Si/en pitää 4etää, miten x ja y vaihtelevat u:n muu/uessa ( f u ) v = ( f x ) y ( x u ) v + ( f y ) x ( y u ) v u v u v x y reaktori Tuote f 20

21 Esimerkki liuoskemian kurssilta: Liuoksen puskurikapasiteea on P = dc B dph Puskuriliuokselle joka on tehty hapon HA vesiliuoksesta lisäämällä emästä NaOH: K c B = HA c K HA + H 3 O + [ ] K HA = hapon HA happovakio, c = [HA] + [A ] c B = lisätyn emäksen määrä = [Na + ] P = dc B dph = = d d H 3 O + d dph ( K HA c K HA + H 3 O + [ ] ) [ ] ( K c HA K HA + [ H 3 O + ] ) d H + [ 3O ] dph!h " 3 O + # $ = e ln10 ph d K P = ( HA c ) d! H # " 3 O+ $ d! " H 3 O + # $ K HA +! " H 3 O + # $ dph d 1 d(e ln10 ph ) = K HA c ( d! " H 3 O + # $ (K HA +! " H 3 O + # $ )) dph -1 = K HA c ln10 (K HA +! " H 3 O + e-ln10 ph # $ ) K HAc! " H 3 O + # $ (K HA +! " H 3 O + # $ )2 21

22 Z = Z(x, y) dz = ( Z x ) y dx + ( Z y ) dy x Tapaus 1 x = vakio, dx=0 dz = ( Z y ) x dy Tarpeellisia kaavoja "Jaetaan dz:lla ja muistetaan e/ä x on vakio" ( Z Z ) x =1= ( Z y ) ( y x Z ) x ( Z y ) x = 1 ( y Z ) x : ( y Z ) x Huom: molemmissa osi/aisderivaa4ossa x vakio Z = Z(x, y) dz = ( Z x ) y dx + ( Z y ) dy x Tapaus 2 Z = vakio, dz=0 ( Z x ) y dx + ( Z y ) dy = 0 x Tarpeellisia kaavoja "Jaetaan dy:lla ja muistetaan e/ä Z on vakio" ( Z x ) y( x y ) z + ( Z y ) x( y y ) z = ( Z x ) y( x y ) z + ( Z y ) x 1= 0 ( Z x ) y( x y ) z = ( Z y ) x Huom: kaikissa kolmessa osi/aisderivaatassa on eri muu/uja vakiona (epäintui4ivinen miinusmerkki tulee tästä) 22

23 Tarpeellisia kaavoja Yhdistetään edelliset 2 tulosta. ( Z y ) = 1 x ( y, toisaalta ( Z Z ) x ) ( x y y ) = ( Z z y ) x x ( Z x ) y( x y ) z = 1 ( y Z ) x ( Z x ) y( x y ) z( y Z ) x = 1 Huom: kaikissa kolmessa osi/aisderivaatassa on eri muu/uja vakiona (epäintui4ivinen miinusmerkki tulee tästä) Esimerkki 1: pv = nrt, n vakio lasketaan ( P V ) T ( V T ) p ( T p ) V p = nrt V, V = nrt p, T = pv nr ( P V ) T ( V T ) p ( T p ) V ( nrt = ( V ) V ) T ( = nrt V 2 = nrt nrt = 1 ( nrt p ) T nr p V nr = nrt pv ( pv ) p ( nr ) p ) V pv = nrt 23

24 Esimerkki 2 : ilmaise ( p T ) V α = 1 V ( V T ) p, κ = 1 V ( V p ) T Ratkaisu : ( p T ) V ( T V ) p( V p ) T = 1 ( p T ) ( V V p ) = 1 T ( T V ) p ( p V ( T ) = 1 T ) p V ( V p ) T = seuraavien vakioiden avulla: = 1( V T ) p 1 V ( V T ) p 1 V ( V p ) T = α κ 24

8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta

8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta 8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa

Lisätiedot

8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta

8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta 8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa

Lisätiedot

Esim 1 Esim 2 ei käsitellä tällä kurssilla

Esim 1 Esim 2 ei käsitellä tällä kurssilla 8. Monen m-jan fnk2on differen2aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasn 2lanhtälö p = nrt V Paine riipp 2ladesta, ainemäärästä ja lämpö2lasta: p = p(n, T, V) Usean m-jen fnk2on piirtäminen Z = f(,) kaaja on pinta

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta Otetaan funk6o f(x,y), joka riippuu muu@ujista x ja y. Jokaiselle x,y tason pisteellä funk6olla on siis joku arvo. Tyypillisiä fysikaalis- kemiallisia esimerkkejä

Lisätiedot

Thermodynamics is Two Laws and a Li2le Calculus

Thermodynamics is Two Laws and a Li2le Calculus Thermodynamics is Two Laws and a Li2le Calculus Termodynamiikka on joukko työkaluja, joiden avulla voidaan tarkastella energiaan ja entropiaan lii2yviä ilmiötä kaikissa luonnonilmiöissä ja lai2eissa Voidaan

Lisätiedot

3. Differen*aalilaskenta

3. Differen*aalilaskenta 3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A > B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

3. Differen*aalilaskenta

3. Differen*aalilaskenta 3. Differen*aalilaskenta Differen*aali "hyvin pieni muutos" Derivaa9a kuvaa funk*on muutosnopeu9a Esim. 1 kertaluvun kemiallinen reak*o A B Reak*on nopeus on A:n tai B:n konsentraa*on muutosnopeus. Reak*on

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

Matematiikka B1 - TUDI

Matematiikka B1 - TUDI Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin

Lisätiedot

Luku Pääsääntö (The Second Law)

Luku Pääsääntö (The Second Law) Luku 3 2. Pääsääntö (he Second Law) Some things happen naturally, some things don t Spontaneous must be interpreted as a natural tendency that may or may not be realized in prac=ce. hermodynamics is silent

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

11. Virheen arvioin-

11. Virheen arvioin- 11. Virhee arvioi- = mi%austarkkude ja määritystarkkuude arvioi4. Erilaisia virheitä: 1. Karkeat virheet Huolima5omuudesta tai työvirheestä johtuva moka Usei huomaa äly5ömää tuloksea 2. Systemaa?set virheet

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =

Lisätiedot

( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V

( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V Kenttäteorian matemaattisia apuneuvoja 4..7. Gaussin ja Stokesin lauseet V S ds A = dl A = V S A dv, =, tai ) ds ) A ). Greenin kaavat I : II : 3. Diracin deltafunktio 4. Vektorilaskentaa V V ψ ξ dv +

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli

Lisätiedot

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

4. Integraalilaskenta

4. Integraalilaskenta 4. Integraalilaskenta Johda3eleva esimerkki: kun hiukkasen paikka s(t) derivoidaan ajan suhteen, saadaan hiukkasen nopeus: v(t) = s'(t) Kun nopeus derivoidaan ajan suhteen saadaan kiihtyvyys a(t) = v'(t)

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy

Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d

Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2

Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Korte / Lindfors MS-A0207 Dierentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM), kevät 2017 Laskuharjoitus 2A (9.10.1.) Aihepiiri:

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Spontaanissa prosessissa Energian jakautuminen eri vapausasteiden kesken lisääntyy Energia ja materia tulevat epäjärjestyneemmäksi

Spontaanissa prosessissa Energian jakautuminen eri vapausasteiden kesken lisääntyy Energia ja materia tulevat epäjärjestyneemmäksi KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 2. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 3 1 1. TERMODYNAMIIKAN TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ Lord Kelvin: Lämpöenergian täydellinen muuttaminen työksi ei ole mahdollista 2. pääsääntö kertoo systeemissä

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d

Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)

Lisätiedot

Osi+aisintegroin3. Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö:

Osi+aisintegroin3. Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: 9//3 Osi+aisintegroin3 Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) = df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x)

Lisätiedot

Tilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3 3/19/13. f(x, y, z)dxdydz. ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: ρ(x,y,z)dxdydz

Tilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3 3/19/13. f(x, y, z)dxdydz. ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: ρ(x,y,z)dxdydz /9/ z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegoin f(x, y, z)dxdydz z 2 # y 2 # x 2 & & = % % f(x, y, z)dx( dy( dz $ $ ' ' z y x Tyypillises kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massaheys, jolloin integaalin avo on massa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +

Lisätiedot

Osi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)

Osi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) /9/ Osi*aisintegroin Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x)

Lisätiedot

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f, 7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten .4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell

Lisätiedot

Vektorilaskenta, tentti

Vektorilaskenta, tentti Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle

Lisätiedot

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7, HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

9. Tilasto+eteen eri/äin alkeelliset alkeet ja virheen arvioin+

9. Tilasto+eteen eri/äin alkeelliset alkeet ja virheen arvioin+ 9. Tilasto+eteen eri/äin alkeelliset alkeet ja virheen arvioin+ Kemiassa ja muissa luonnon+eteissä käsitellään usein suuria määriä mi/ausdataa. Mi/ausdatan käsi/elyä ja jatkojalostusta varten (esim: selostusten

Lisätiedot

4. Integraalilaskenta

4. Integraalilaskenta 4. Integraalilaskenta Johda3eleva esimerkki: kun hiukkasen paikka s(t) derivoidaan ajan suhteen, saadaan hiukkasen nopeus: v(t) = s'(t) Kun nopeus derivoidaan ajan suhteen saadaan kiihtyvyys a(t) = v'(t)

Lisätiedot

edition). Luennot seuraavat tätä kirjaa, mutta eivät orjallisesti.

edition). Luennot seuraavat tätä kirjaa, mutta eivät orjallisesti. 1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2014 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 53-55, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 16 ja 17 eli 14 274 Harjoitusassistentti: Ville Kotimäki Laskuharjoitukset:

Lisätiedot

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G: 7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: , ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko).

Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: , ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko). 1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2017 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 63 35, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko) Harjoitusassistentit: Petri Kuusela ja Tapani

Lisätiedot

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012 763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 / M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 / 2. 24.3. Harjoitustehtäviä 1 6 lasketaan alkuviikon harjoituksessa. Harjoituksessa laskematta

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot