Matematiikka B1 - TUDI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikka B1 - TUDI"

Transkriptio

1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1

2 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan tangenttitaso ja normaali Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat Ketjusääntö Lineaarinen approksimaatio Gradientti ja suunnattu derivaatta Taylor-polynomi ja approksimointi Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 2

3 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin sisältö 2/2 Osittaisderivaatan sovellukset Ääriarvot Lagrangen menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Newtonin menetelmä Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 3

4 Sisältö Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset 1 Osittaisderivointi 2 Osittaisderivaatan sovellukset Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 4

5 Sisältö Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset 1 Osittaisderivointi 2 Osittaisderivaatan sovellukset Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 5

6 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Usean muuttujan funktioista 1/2 Lieriön tilavuus on V on V = πr 2 h, r > 0, h > 0. V on KAHDEN toisistaan riippumattoman muuttujan r ja h funktio. V(r,h) = πr 2 h, D(V) = {(r,h) R 2 r > 0,h > 0} Määritelmä n:n muuttujan reaaliarvoinen funktio f liittää jokaiseen pisteeseen (x 1,...,x n ) D(f) R n täsmälleen yhden arvon f(x 1,...,x n ) = y Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 6

7 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Usean muuttujan funktioista 2/2 Kahden muuttujan funktion f kuvaaja z = f(x,y) on R 3 :n pistejoukko (x,y,f(x,y)), missä (x,y) D(f) R 2. Kuvaaja on R 3 :n pinta Esimerkki Määritä se funktio f, jonka kuvaaja on pisteiden (2,0,0), (0,4,0), (0, 0, 3) rajoittama kolmionpinta Esimerkki Funktion f(x,y) = 9 x 2 y 2 Määrittelyjoukko ja graafi Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 7

8 Määritä se funktio f, jonka kuvaaja on pisteiden (2,0,0), (0,4,0) ja (0, 0, 3) rajoittama kolmiopinta. n = u v = u = 2i +3k, v = 2i +4j i j k = 12i 6j 8k = 2(6i +3j +4k) 6x +3y +4z = C = C C = 12 6x +3y +4z = 12 z = 3 2 x 3 4 y +3 f(x,y) = 3 2 x 3 4 y +3, D(f) = { (x,y) 0 x 2, 0 y 2x +4 }.

9 Mikä on funktion f(x,y) = 9 x 2 y 2 määrittelyjoukko ja graafi? Määrittelyjoukko D(f): Ja graafi: 9 x 2 y 2 0 x 2 +y (kiekko). z = 9 x 2 y 2 z 2 = 9 x 2 y 2 x 2 +y 2 +z 2 = 3 2, z 0 (puolipallo).

10 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Tasa-arvokäyrät Tasa-arvokäyrät ovat funktion f(x,y) kuvaajan ja tason z = c xy-tasoon piirrettyjä leikkauskäyriä f(x,y) = c, missä c on vakio kullakin käyrällä (korkeuskäyriä) Esimerkki Funktion f(x,y) = 9 x 2 y 2 tasa-arvokäyrät Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 10

11 Funktion f(x,y) = 9 x 2 y 2 tasa-arvokäyrät 9 x 2 y 2 = C x 2 +y 2 = 9 C 2

12 Raja-arvo Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Määritelmä lim f(x,y) = L jokaiselle ǫ > 0 on olemassa δ(ǫ) > 0 (x,y) (a,b) siten, että f(x,y) L < ǫ aina kun 0 < (x a) 2 +(y b) 2 < δ L ei saa riippua lähestymisen valinnasta Esimerkki Määritä lim (x,y) (0,0) xy x 2 +y 2 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 12

13 Määritä lim (x,y) (0,0) xy x 2 +y 2. 1 o Lähestytään origoa pitkin x-akselia lim (x,0) (0,0) x 0 x = 0 2 Lähestytään origoa pitkin suoraa y = x lim x 0 1 ja 2 raja-arvoa ei ole. x x x 2 +x 2 = 1 2

14 Jatkuvuus Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Määritelmä Funktio f(x,y) on jatkuva pisteessä (a,b) f(x,y) = f(a,b) Esimerkki lim (x,y) (a,b) Miten funktio f(x,y) = x4 y 4 x y tulisi määritellä suoralla y = x, jotta siitä tulisi jatkuva koko R 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 14

15 Miten funktio f(x,y) = x4 y 4 tulisi määritellä suoralla y = x, x y jotta siitä tulisi jatkuva koko R 2 :ssa? f(x,y) = x4 y 4 x y = (x y)(x +y)(x2 +y 2 ) x y (x y) (x +x)(x 2 +x 2 ) = 4x 3 (x = y) Määritellään f(x,y) = x 4 y 4 x y 4x 3, kun x y, kun x = y. Silloin lim f(x,y) = f(x,x). x y

16 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Osittaisderivaatta Määritelmä Osittaisderivaatta f 1 (a,b) ilmoittaa funktion f(x,y) muutosnopeuden tasossa y = b pisteessä (a,b,f(a,b)) ja f 2 (a,b) vastaavasti x = a pisteessä (a,b,f(a,b)) Funktion f(x, y, z) 1. kertaluvun osittaisderivaatta muuttujan y suhteen merkitään mm. f y, f 2, f y, D 2 f, D y f Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 16

17 Laske funktion f(x,y,z) = xy 2 +3x 2 z +xyz kaikki osittaisderivaatat f x = 1 y xz +1 yz = y 2 +6xz +yz f y = x 2y +0+x 1 z = 2xy +xz f z = 0+3x 2 1+xy 1 = 3x 2 +xy Laske f 1 (0,π), kun f(x,y) = e xy cos(x +y). f 1 (x,y) = ye xy cos(x +y) e xy sin(x +y) = e xy( y cos(x +y) sin(x +y) ) f 1 (0,π) = e 0 π (πcosπ sinπ) = π.

18 f x, f y ja f z, kun f(x,y,z) = ln(1+exyz ) f x = 1 1+e xyz x (1+exyz ) = yzexyz 1+e xyz f y = xzexyz 1+e xyz f z = xyexyz 1+e xyz

19 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Pinnan tangenttitaso ja normaali Funktion f(x,y) kuvaajan z = f(x,y) normaalivektori pisteessä (a,b,f(a,b)) on n = f 1 (a,b)ī +f 2 (a,b) j k eli Normaalivektori n = (f 1 (a,b),f 2 (a,b), 1) Tangenttitason yhtälö z = f(a,b)+f 1 (a,b)(x a)+f 2 (a,b)(y b) Normaalin yhtälö x a f 1 (a,b) = y b f 2 (a,b) = z f(a,b) 1 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 19

20 Mikä on kuvaajan z = sin(xy) normaalivektorin, tangenttitason ja normaalin yhtälöt pisteessä, missä x = π ja y = 1? 3 ( π ) ( z 3, 1 = sin π ) 3 = 3 2 Normaalivektori: z x = y cos(xy), z y = x cosxy ( π ) ( z 1 3, 1 = cos π ) = ( π ) z 2 3,1 = π ( 3 cos π ) = π = π 6 n = 1 2 i + π 6 j k = ( 1 2, π 6, 1 ). Tangenttitaso: 3 z = 2 1 ( x π ) + π (y +1) 3x πy +6z = 2π 3 3.

21 Normaali: x π = y +1 π 6 = z x 2π 3 = 6y +6 π = 6z Mikä on pinnan z = x 2 4xy 2y 2 +12x 12y 1 vaakasuora tangenttitaso? Vaakasuoran tason yhtälö on muotoa z = k, joten pitää z x = z = 0 tangenttitason sivuamispisteissä. y z = 2x 4y +12 = 0 x z y = 4x 4y 12 = 0 { x = 4 y = 1 z( 4,1) = ( 4) 2 4( 4) ( 4) = 31 Eli tangenttitaso on z = 31 ja sivuamispiste on ( 4,1, 31).

22 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Korkeamman kertaluvun osittaisderivaatat Jos funktion f(x,y) 1. kertaluvun osittaisderivaattoja f 1 (x,y) ja f 2 (x,y) osittaisderivoidaan edelleen x:n ja y:n suhteen, saadaan neljä 2. kertaluvun osittaisderivaattaa: f 11 (x,y), f 22 (x,y), f 12 (x,y), f 21 (x,y) Jos z = f(x,y), niin 2 z x 2 = z x x = f 11(x,y) 2 z y 2 = z y y = f 22(x,y) 2 z x y = ( ) z = f 21 (x,y) x y 2 z y x = ( ) z = f 12 (x,y) y x Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 22

23 Määritä funktion f(x,y) = x 3 y 4 2. kertaluvun osittaisderivaatat. f x = 3x 2 y 4 f y = 4x 3 y 3 f xx = 6xy 4 f yy = 12x 3 y 2 f xy = 12x 2 y 3 f yx = 12x 2 y 3 HUOM f xy = f yx jatkuville funktioille

24 Ketjusääntö Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Ketjusääntö yhden muuttujan yhdistetylle funktiolle on: d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x) Usean muuttujan yhdistetty funktiota koskeva derivoimissääntö: Jos z = f(x,y) ja f(x,y):llä on jatkuvat osittaiderivaatat ja jos x ja y ovat derivoituvia t:n funktioita, niin dz dt = z dx x dt + z dy y dt Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 24

25 Olkoon z = x 2 lny, missä x = t 3 2 ja y = t 2. Laske dz dt, kun t = 2, Suoralla sijoituksella: z = (t 3 2 ) 2 lnt 2 = t 3 2lnt dz dt = 3t2 2 t, dz dt (2) = = 11. Ketjusäännöllä: dz dt = z dx x dt + z dy y dt = 2x 3 2 t y 2t = 3t2 2 t dz (2) = 11. dt

26 Laske w s, kun w = 4x +y 2 +z 3, x = e rs2, y = ln r +s t w s = w x x s +w y y s +w z z s ja z = rst 2 = 4 e rs2 2rs +2y 1 r+s t 1 t +3z2 rt 2 = 8rse rs2 +2ln r +s t 1 r +s +3(rst2 ) 2 rt 2 = 8rse rs s lnr +3r 3 s 2 t 6 r +s t

27 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Lineaarinen approksimaatio Kahden muuttujan funktion likiarvon määrittäminen tangenttitason avulla: Pisteen (a, b) ympäristössä jatkuvan funktion f kuvaajan pisteeseen (a, b, f(a, b)) piirretyn tangenttitason yhtälö on z(x,y) = f(a,b)+f 1 (a,b)(x a)+f 2 (a,b)(y b) jos (x,y) on lähellä (a,b):tä niin f(x,y) z(x,y) eli f(x,y) f(a,b)+f 1 (a,b)(x a)+f 2 (a,b)(y b) Esimerkki Arvioi likimääräisesti funktion f(x,y) = x 3 +e 3y arvoa pisteessä (1.1, 2.01) pisteeseen (1, 2) kautta kulkevan tangenttitason avulla Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 27

28 Arvioi likimääräisesti funktion f(x,y) = x 3 +e 3y arvoa pisteessä (1.1, 2.01) pisteeseen (1, 2) kautta kulkevan tangenttitason avulla val. (a,b) = (1,2) (x,y) = (1.1,2.01) f(a,b) = f(1,2) = 1 3 +e 3 2 = 1+e 6 f x = 3x 2 f x (1,2) = 3 f y = e 3y 3 f y (1,2) = 3e 6 f(1.1,2.01) f(1,2)+f x (1,2)(1.1 1)+f y (1,2)(2.01 2) = 1+e 6 +3(0.1)+3e 6 (0.01) (oikea arvo 417.0)

29 Differentiaali Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Olkoon f n:n muuttujan funktio f(x 1,x 2,...,x n ), jolla on kaikki osittaisderivaatat f x 1, f x 2,..., f x n. Tällöin f:n kokonaisdifferentiaali df on df = f x 1 dx 1 + f x 2 dx f x n dx n Jos muuttujien x 1,x 2,...,x n mittaus- tai arviointivirhe on x 1, x 2,..., x n :n suuruinen, niin kokonaisvirhe [ ] [ ] [ ] f f f [ f] = x 1 + x x n x 1 x 2 x n Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 29

30 Olkoon f(x,y,z) = xyz +xy +2y 2 z 3. Jos x:n mittausvirhe on 2%, y:n 3% ja z:n 1%, niin mikä on kokonaisvirhe, kun x = 1, y = 2, z = 3? x = = 0.02, y = = 0.06, z = = 0.03 f x = yz +y, f y = xz +x +4yz 3, f z = xy +6y 2 z 2 f x (1,2,3) = = 8, f y (1,2,3) = = = 220 f z (1,2,3) = = = 218 f = = 19.9 absoluuttinen virhe Toisaalta f(1,2,3) = 224 f f(1,2,3) = 19.9 = 8.88% Suhteellinen virhe 224

31 Gradientti Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Määritelmä Funktion f(x,y) osittaisderivaattojen f 1 (x,y) ja f 2 (x,y) muodostamaa vektoria sanotaan GRADIENTIKSI ja merkitään f(x,y) = f 1 (x,y)ī +f 2 (x,y) j Gradientti f(a, b) on normaalivektori pisteen (a, b) kautta kulkevalle funktion f tasa-arvokäyrälle. Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 31

32 Piirrä funktion f(x,y) = x 2 +y 2 korkeuskäyrä ja gradientti pisteessä (1, 2) Tasa-arvokäyrä: x 2 +y 2 = 5. f(x,y) = x 2 +y 2 f(x,y) = 2xi +2yj f(1,2) = 2i +4j z = = 5

33 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Gradientin ominaisuuksia pisteessä (a, b) 1 Pisteessä (a,b) funktio f kasvaa nopeiten f(a, b):n suuntaan ja suurin kasvunopeus on f(a,b) 2 Pisteessä (a,b) funktio f vähenee nopeiten f(a, b):n suuntaan ja suurin vähenemisnopeus on f(a, b) 3 Funktion f muutosnopeus pisteessä (a, b) on nolla pisteen (a, b) kautta kulkevan f:n tasa-arvokäyrän tangenttisuoran suuntaan Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 33

34 Ilmoittakoon funktio h(x,y) = x 2 y maaston korkeuden merenpinnasta (xy-taso). Jos ollaan paikassa ( 1, 1, 1), niin mihin suuntaan maasto on jyrkin ylöspäin? h(x,y) = x 2 y Eli suuntaan 2i +j. h(x,y) = 2xyi +x 2 j h( 1,1) = 2 ( 1)1i +( 1) 2 j = 2i +j Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta (1, 3, 3)? Eli suuntaan 6i j. h(1,3) = 6i j

35 Mihin suuntaan pisteessä (2, 1, 4) on lähdettävä, jotta pysytään samalla korkeudella? h(2,1) = 4i +4j v h(2,1) v h(2,1) = 0 (xi +yj)(4i +4j) = 0 4x +4y = 0 y = x Olkoon x = 1 y = 1. Eli suuntaan i j tai i +j.

36 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Suunnattu derivaatta Suunnattu derivaatta D v f(a,b) ilmoittaa, mikä on funktion v f(x, y) muutosnopeus pisteessä (a, b) annetun xy-tason vektorin v suuntaan Määritelmä Esimerkki Dˆv f(a,b) = ˆv f(a,b) Laske funktion f(x,y) = y 4 +2xy 3 +x 2 y 2 muutosnopeus pisteessä (0,1) vektorin v = ī + j suuntaan Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 36

37 Laske funktion f(x,y) = y 4 +2xy 3 +x 2 y 2 muutosnopeus pisteessä (0,1) vektorin v = i +j suuntaan. v = 1+1 = 2 ˆv = v v = 1 2 (i +j) f(x,y) = (2y 3 +2xy 2 )i +(4y 3 +6xy 2 +2x 2 y)j f(0,1) = 2i +4j D v 0f(0,1) = 1 2 (i +j) (2i +4j) = 1 2 (2+4) = 6 2 = 3 2.

38 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Taylor-polynomi ja approksimointi Mitä korkeampi on pisteen (a, b) ympäristössä jatkuvan funktion f(x, y) taylor-polynomin P n (x,y) = n j=0 ( 1 h j! x +k ) j f(a,b), y { h = x a k = y b asteluku n, sitä tarkemmin polynomi approksimoi funktiota f(x, y) pisteen (a,b) läheisyydessä f(x,y) P n (x,y) Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 38

39 Määritä funktion f(x,y) = e x 2y 3. asteen Taylor-polynomi pisteessä (2, 1) ja arvioi polynomilla lukua f(2.1, 0.9). (a,b) = (2,1), h = x 2 ja k = y 1. P 3 (x,y) = f(2,1)+f 1 (2,1)h +f 2 (2,1)k + 1 ( f11 (2,1)h 2 +2f 12 (2,1)hk +f 22 (2,1)k 2) ( f111 (2,1)h 3 +3f 112 (2,1)h 2 k +3f 122 (2,1)hk 2 +f 222 (2,1)k 3) 6 f(x,y) = e x 2y,f(2,1) = 1 f 2 (x,y) = 2e x 2y,f 2 (2,1) = 2 f 1 (x,y) = e x 2y,f 1 (2,1) = 1 f 22 = 4e x 2y,f22(2,1) = 4 f 11 (x,y) = e x 2y,f 11 (2,1) = 1 f 222 = 8e x 2y,f 222 (2,1) = 8 f 111 = e x 2y,f 111 (2,1) = 1 f 112 = 2e x 2y,f 112 (2,1) = 2 f 12 (x,y) = 2e x 2y,f 12 (2,1) = 2 f 122 = 4e x 2y,f 122 (2,1) = 4

40 P 3 (x,y) = 1+(x 2) 2(y 1)+ 1 [ (x 2) 2 4(x 2)(y 1)+4(y 1) [ (x 2) 3 6(x 2) 2 (y 1)+12(x 2)(y 1) 2 8(y 1) 3] 6 f(2.1,0.9) (tarkka: )

41 Sisältö Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset 1 Osittaisderivointi 2 Osittaisderivaatan sovellukset Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 41

42 Ääriarvot Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Jatkuvasti derivoituvalla funktiolla f(x, y) voi olla lokaali tai absoluuttinen ääriarvo pisteessä (a,b) D(f) vain jos (a,b) on Kriittinen piste eli f(a,b) = 0 D(f):n reunapiste f(a, b) on funktion lokaali maksimiarvo (minimiarvo), jos pisteen (a,b) jossakin ympäristössä f(x,y) f(a,b) (f(x,y) f(a,b)) ja f(a, b) on funktion f absoluuttinen maksimiarvo (minimiarvo), jos jokaiselle (x,y) D(f) pätee f(x,y) f(a,b) (f(x,y) f(a,b)) Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 42

43 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Ääriarvot sisäpisteissä ja niiden luokittelu 1 { Etsitään kriittiset pisteet yhtälöryhmästä fx = 0 f y = 0 f = 0 2 Lasketaan kussakin kriittisessäpisteessä (a,b) : D = f xx f yy (f xy ) 2 (a) D > 0 ja f xx < 0, niin (a,b) on lokaali maksimipiste (b) D > 0 ja f xx > 0, niin (a,b) on lokaali minimipiste (c) D < 0, niin (a,b) on satulapiste (d) D = 0, niin on käytettävä muita keinoja (ei informaatiota) Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 43

44 Etsi funktion f(x,y) = x 3 +x 2 y +y 2 4y +3 paikalliset ääriarvopisteet. { fx (x,y) = 3x 2 +2xy = 0 x(3x +2y) = 0 f y = x 2 +2y 4 = 0 Ratkaistaan nollakohdat ja sijoitetaan. x = 0 : 2y 4 = 0, y = 2 y = 3x 2 : x2 3x 4 = 0 x = 1 tai x = 4 Kriittiset pisteet:(0, 2), ( 1, 3 ), (4, 6). 2

45 Kullekin kriittiselle pisteelle tehdään nyt diskriminanttianalyysi: ja havaitaan: D(x,y) = f xx f yy (f xy ) 2 D(0,2) = ( ) 2 (2 0) 2 = 8 > 0 Koska f xx (0,2) = 4 > 0, kyseessä on lokaali minimipiste. ja D( 1, 3 2 ) = ( 6+3) 2 ( 2)2 = 10 < 0 D(4, 6) = ( ) 2 (2 4) 2 = 40 < 0 ovat nämä molemmat pisteet satulapisteitä. Näin ollen piste (0,2) on funktion f(x,y) = x 3 +x 2 y +y 2 4y +3 ainoa ääriarvopiste.

46 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Määrittelyjoukko on suljettu ja rajoitettu R 2 :n osajoukko Tutkitaan erikseen funktion sisäpisteet ja määrittelyalueen reuna Esimerkki Etsi funktion f(x,y) = 2xy pienin ja suurin arvo joukossa A = {(x,y) x 2 +y 2 4} Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 46

47 Etsi funktion f(x,y) = 2xy pienin ja suurin arvo joukossa A = { (x,y) x 2 +y 2 4 }. Sisäpisteissä: { fx = 2y = 0 KRP = (0,0) f y = 2x = 0 Reunalla: f(0,0) = = 0. f xx = 0, f yy = 0, f xy = 2 D = = 4 < 0 (0,0) satulapiste Ei ääriarvoja x 2 +y 2 = 4 y = ± 4 x 2, x [ 2,2], sij. funktioon f h(x) = f(x, 4 x 2 ) = 2x 4 x 2 h (x) = 2 4 x 2 + 2x( 2x) 2 4 x = x 2 x 2 = 0 x = ± 2

48 h( 2) = 0, h ( 2 ) = 2 ( 2 ) 2 = 4, h ( 2 ) = 4, h(2) = 0 g(x) = f(x, 4 x 2 ) = 2x 4 x 2 g (x) = 2 4 x 2 + 2x2 = 0 4 x 2 4+x 2 +x 2 = 0 x = ± 2 g( 2) = 0, g ( 2 ) = 2 ( 2 ) 2 = 4, g( 2) = 4, g(2) = 0 Maksimiarvo: f ( 2, 2 ) = f ( 2, 2 ) = 4 Minimiarvo: f ( 2, 2 ) = f ( 2, 2 ) = 4

49 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Sidotut ääriarvot Kahden muuttujan funktioiden sidotuilla ääriarvoilla tarkoitetaan sellaisia ääriarvoja, jotka funktio saa määrittelyjoukkoonsa sisältyvällä käyrällä Määritelmä Lagrangen menetelmä etsii ääriarvoja funktiolle f(x, y) rajoitteella g(x,y) = 0 seuraavasti Mikäli rajoitteita on useampia: L(x,y,λ) = f(x,y)+λg(x,y) L(x,y,λ,µ) = f(x,y)+λg(x,y)+µh(x,y) Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 49

50 Määritä origon ja käyrän x 2 y = 16 lyhin etäisyys Lagrangen kertoimien menetelmällä. Minimoidaan f(x,y) = x 2 +y 2 ehdolla g(x,y) = x 2 y 16 = 0 L(x,y,λ) = f(x,y)+λg(x,y) = x 2 +y 2 +λ(x 2 y 16) L = 2x +2λxy = 0 x L y = 2y +λx2 = 0 L λ = x2 y 16 = 0 välttämättä x 0 ja y 0. 2y +λx 2 = 0 2y 2 = λx 2 y 2y 2 = 16λ 2x +2λxy = 0 1+λy = 0 λ = 1 y 2y 2 = 16 y 2y 3 = 16 y = 2

51 x 2 2 = 16 x = ±2 2 Pisteet (±2 2,2) ovat kuvion perusteella todella ne käyrän pisteet, jotka ovat lähinpänä origoa. Minimietäisyys = f(±2 2,2) = 8+4 = 2 3.

52 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Pienimmän neliösumman menetelmä Määritelmä Määrätään funktion f(x) parametrit siten, että summa S = n (y i f(x i )) 2 i=1 on pienin Esimerkki Etsi vakioiden a ja b arvot siten, että suora y = ax +b parhaiten liittyy data-pisteisiin (0, 2.10),(1, 1.92),(2, 1.84),(3, 1.71) ja (4, 1.64) Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 52

53 Etsi vakioiden a ja b arvot siten, että suora y = ax +b parhaiten liittyy data-pisteisiin (0, 2.1), (1, 1.92), (2, 1.84), (3, 1.71) ja (4,1.64). S = 5 (y i ax i b) 2 i=1 S on pienin kriittisessä pisteessä. 0 = S 5 a = 2 x i (y i ax i b) i=1 0 = S 5 b = 2 y i ax i b i=1 0 = 2 [ 0 (2.1 a 0 b)+1 (1.92 a 1 b) +2(1.84 a 2 b)+3(1.71 a 3 b)+4(1.64 a 4 b) ] 0 = 2 [ 2.1 a 0 b a b a b a b a b ]

54 { 60a+20b = a+10b = { a = b = 2.068

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R, Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A = Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3 2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +

Lisätiedot

Jouni Sampo. 5. helmikuuta 2014

Jouni Sampo. 5. helmikuuta 2014 B1 Jouni Sampo 5. helmikuuta 2014 Sisältö 1 Usean muuttujan funktioista 2 1.1 Raja arvot ja jatkuvuus............................... 2 1.2 Osittaisderivaatat................................... 4 1.3 Normaalivektori,

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 2011

MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 2011 MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Sisältö 1. Matriisin definiittisyys 1. Konkaavit ja konveksit funktiot 3 3. Ääriarvotehtävien toisen kertaluvun riittävät ehdot 7 3.1. Rajoittamaton ääriarvotehtävä

Lisätiedot

Demonstraatioharjoitus 1, pe 17.1

Demonstraatioharjoitus 1, pe 17.1 Mat-.4 Matematiikan peruskurssi S, kevät 00 Demonstraatioharjoitukset, erä Högnäs Tässä ensimmäinen erä ratkaisuja demonstraatiotehtäviin. (Kuvat ovat melko heikkolaatuisia ja ainoastaan "kvalitatiivisia".)

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE

YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE YLE11, MATEMATIIKKAA TALOUSTIETEILIJÖILLE Tämä luentomoniste on koottu useista lähteistä, joista tärkeimmät lienevät Sydsæter & Hammond (008). Essential Mathematics for Economic Analysis, Sydsæter, Hammond,

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012 763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä

Lisätiedot

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 30 VEKTORIANALYYSI Lento 4 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f= f( r) = f( xyz,, ) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:

Lisätiedot

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0. HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (

Lisätiedot

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 6 VEKTORIANALYYSI Lento 3 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f f ( r) f ( x, y, z) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi C2

Mat Matematiikan peruskurssi C2 Mat-1.110 Matematiikan peruskurssi C Petri Latvala 18. helmikuuta 007 Sisältö 1 Useamman muuttujan funktiot ja niiden differentiaalilasku 1.1 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus ja derivoituvuus... 1.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Toinen välikoe

Matematiikan tukikurssi. Toinen välikoe Matematiikan tukikurssi Toinen välikoe 1 Sisältö 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo 1 2 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus 7 3 Osittaisderivaatat ja gradientti 8 4 Vektoriarvoiset funktiot 9 5

Lisätiedot

Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2

Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Korte / Lindfors MS-A0207 Dierentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM), kevät 2017 Laskuharjoitus 2A (9.10.1.) Aihepiiri:

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3

4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3 . Taylorin polynomi; funktion ääriarvot.1. Taylorin polynomi 94. Kehitä funktio f (x,y) = x 2 y Taylorin polynomiksi kehityskeskuksena piste ( 1,2) a) laskemalla osittaisderivaatat, b) kirjoittamalla muuttujat

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016

BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016 BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016 1. (a) Anna likiarvo lineaarisen approksimaation avulla sille mitä on T (100.5), kun T (100) = 45 ja T (100) = 10. (b) Käyttäen lineaarista

Lisätiedot

3. Useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa Olkoon A R n. Kuvaus f : A R on n:n muuttujan reaalifunktio. Se kuvaa

3. Useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa Olkoon A R n. Kuvaus f : A R on n:n muuttujan reaalifunktio. Se kuvaa 3 Useamman muuttujan funktioiden differentiaalilaskentaa Olkoon A R n Kuvaus f : A R on n:n muuttujan reaalifunktio Se kuvaa A:n pisteet x = (x,, x n ) A (x,, x n R) reaaliluvuiksi f(x) ja koko A:n R:n

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

x = (1 t)x 1 + tx 2 x 1 x 2

x = (1 t)x 1 + tx 2 x 1 x 2 4 Konveksisuus ja ääriarvot Palautan mieliin, että R:n välillä I derivoituvaa funktiota sanottiin konveksiksi (alaspäin kuperaksi), jos käyrä y = f(x) on välillä I jokaisen tangenttisuoransa yläpuolella

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d) BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot 2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:

Lisätiedot

Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma

Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma ilman rajoitusehtoja Optimointiongelmassa tehtävänä on löytää annetun reaaliarvoisen jatkuvan funktion f(x 1,x,,x n ) maksimi tai minimi jossain

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa II

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa II MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 9. helmikuuta 216 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

5 Usean muuttujan differentiaalilaskentaa

5 Usean muuttujan differentiaalilaskentaa 5 Usean muuttujan differentiaalilaskentaa Edellä on jo käsitelty monia funktioita, joissa lähtö- (ja/tai) maalijoukko on useampi- kuin 1-ulotteinen: Esim. A-, B- ja C-raaka-ainemäärien yhdistelmien x =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 2. luento 10.11.2017 Keinotekoiset neuroverkot Neuroverkko koostuu syöte- ja ulostulokerroksesta

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot