Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy

Transkriptio

1 z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat kuvaavat. Muita vaihtoehtoja: f = konsentraa.o, integraali = ainemäärä f = lukumäärä.heys, integraali = lukumäärä f = todennäköisyysjakauma, integraali = todennäköisyys

2 Tilavuusintegroin. Huom: integroimisjärjestyksen määridely voi olla myös toinen: x 2 y 2 z 2 x y z f(x,y,z)dxdydz Varmista aina mitä merkintää käytetään...

3 Esim: laske kokonaismassa alueella x, y, z, kun massa.heys on ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: M = ρ(x,y,z)dxdydz = (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz = ( 3 x3 + xy 2 + xz 2 )dydz = ( 3 + y2 + z 2 )dydz

4 = ( 3 + y2 + z 2 )dydz ( 3 y + 3 y3 + yz 2 )dz = ( z2 )dz = ( 3 z + 3 z + 3 z3 ) = 3 = (kg) 3

5 Pallokoordinaa.t Eri tapoja merkitä 3 ulodeisen avaruuden piste Karteesiset koordinaa.t (x,y,z)

6 Pallokoordinaa.t Eri tapoja merkitä 3 ulodeisen avaruuden piste Y Pallokoordinaa.t (R,θ,φ) tai (r,θ,φ) X

7 Pallokoordinaa.t R (tai r) = pisteen P etäisyys origosta O θ = OP vektorin ja zakselin välinen kulma φ = OP vektorin projek.o xy tasoon ja x akselin välinen kulma Huom: määritelmät saadavat vaihdella kirjasta riippuen; tarkista aina mitä käytetään!

8 Muunnoskaavat Pallokoordinaateita karteesisiin: x = r sin(θ)cos(φ) y = r sin(θ)sin(φ) z = r cos(θ)

9 Muunnoskaavat x = r sin(θ)cos(φ) Karteesisista pallokoordinaadeihin y =r sin(θ)sin(φ) z = r cos(θ) x 2 + y 2 + z 2 = r 2 sin 2 (θ)cos 2 (φ) + r 2 sin 2 (θ)sin 2 (φ) + r 2 cos 2 (θ) = r 2 sin 2 (θ)(cos 2 (φ) + sin 2 (φ)) + r 2 cos 2 (θ) = r 2 sin 2 (θ) + r 2 cos 2 (θ) = r 2 (sin 2 (θ) + cos 2 (θ)) = r 2 r = (x 2 + y 2 + z 2 )

10 y x = r sin(θ)sin(φ) r sin(θ)cos(φ) = tan(φ) φ = arctan( y x ) jos x > φ = arctan( y x ) + π jos x < x = r sin(θ)cos(φ) y =r sin(θ)sin(φ) z = r cos(θ) z = rcos(θ) cos(θ) = z r θ = arccos( z r )

11 Integroin. pallokoordinaateissa PallokoordinaaXen määridelyalueet: r: θ: 8 φ: 36 Integroinnin.lavuuselemenX: dxdydz=r 2 sin(θ)drdθdφ HUOM!

12 Esim: muuta pallokoordinaadeihin: (x,y,z) = (,2, 3) Ratkaisu: r = x 2 + y 2 + z 2 = (-) 2 + (2) 2 + (-3) 2 = 4 θ = arccos( z r ) = arccos( -3 4 ) =43.3 φ = arctan( y x ) +8 = arctan( 2 - ) +8 =6.6 Muuta karteesisiin koordinaadeihin (r,θ,φ) = (3,π/3,π/2) Ratkaisu: x = rsin(θ)cos(φ) = y = rsin(θ)sin(φ) = z = rcos(θ) = 3 2

13 Esim: Esitä funk.o x 2 y 2 pallokoordinaateissa. Ratkaisu: x 2 - y 2 = (rsin(θ)cos(φ)) 2 - (rsin(θ)sin(φ)) 2 = r 2 (sin 2 (θ)cos 2 (φ) - sin 2 (θ)sin 2 (φ)) = r 2 sin 2 (θ)(cos 2 (φ) - sin 2 (φ)) = r 2 sin 2 (θ)cos(2φ)

14 Integroin. pallokoordinaateissa Halutaan integroida joku funk.o f(x,y,z) pallokoordinaateissa. Ennen integraalin laskemista pitää tehdä kolme asiaa: )Muunna funk,o pallokoordinaadeihin f(x,y,z) f(r,θ,φ) 2)Muunna,lavuuselemen2 pallokoordinaadeihin: dxdydz r 2 sin(θ) drdθdφ 3)Mikäli kyseessä on määrädy integraali, muunna integroin,rajat pallokoordinaadehin

15 Integroin. pallokoordinaateissa Myös integroin.alueen rajat muunnedava pallokoordinaadeihin! z 2 y 2 x 2 z y x f(x,y,z)dxdydz φ 2 θ 2 r 2 = f(r,θ,φ)r 2 sin(θ)drdθdφ φ θ r Tärkeää! Integroinnin.lavuuselemenX muuduu: dxdydz= r 2 sin(θ) drdθdφ

16 Integroin. yli koko avaruuden f(x,y,z)dxdydz 2π π = f(r,θ,φ)r 2 sin(θ)drdθdφ Integroin.a yli koko avaruuden merkitään usein.lavuuselemen.llä dτ, muda tämä ei vielä määridele mitä koordinaadeja käytetään...

17 Esim: laske kokonaismassa a säteiselle pallolle jonka keskipiste on origossa ja jonka massa.heys on ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: M = (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz alue Pallonmuotoisen alueen määridely x,y,z koordinaateissa vaikeaa käytetään pallokoordinaadeja! x 2 + y 2 + z 2 = r 2 ρ(r,θ,φ) = r 2 dxdydz = r 2 sin(θ)drdθdφ Integroimisrajat: r: a, θ: 8, φ: 36

18 M = (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz alue π = r 2 r 2 sin(θ)drdθdφ 2π a 2π π a = dφ sin(θ)dθ r 4 dr = 2π φ π ( cos(θ)) a 5 r5 = (2π ) ( cos(π ) + cos()) ( 5 a5 5 5 ) = 2π 2 5 a5 = 4πa5 5 (kg)

19 Vetyatomiin liidyviä laskuja pallokoordinaateissa Vetyatomin.la (aaltofunk.o) voidaan ratkaista differen.aaliyhtälöstä (Schrödingerin yhtälö) 2 2 ψ n e2 2m e 4πε r ψ n = E nψ n Ψ n on.lan n aaltofunk.o ja E n sen energia Koska vetyatomi on pallosymmetrinen (poten.aalitermissä esiintyy etäisyys y.mestä r), yhtälö on helpointa ratkaista pallokoordinaateissa. Tällöin myös aaltounk.o esitetään myös pallokoordinaateissa.

20 Vetyatomin atomiorbitaalit Yhtälön tarkkaa ratkaisumenetelmää ei tässä käydä läpi, muda ratkaisuna saatavat ns atomiorbitaalit ovat tämän näköisiä (tässä ensimmäiset 5): ψ s = ψ 2s = πa 3 e r a 4 2πa (2 - r )e 3 a r 2a ψ 2 px = ψ 2 py = ψ 2 pz = r 5 4 2πa re 2a sin(θ)cos(φ) r 5 4 2πa re 2a sin(θ)sin(φ) r 5 4 2πa re 2a cos(θ)

21 Tyypillisiä laskuja )Todennäköisyys löytää elektroni jostakin.lavuudesta V: ψ * n ψ n r 2 sin(θ)drdθdφ V φ 2 θ 2 r 2 = ψ * n ψ n r 2 sin(θ)drdθdφ φ θ r Ψ*on aaltofunk.on kompleksikonjugaax; edellä esitellyt atomiorbitaalit ovat kaikki reaaliarvoisia, eli Ψ* = Ψ 2)Normitusvakion etsiminen, eli lasku jossa vaaditaan edä elektroni on % todennäköisyydellä jossakin: 2π Nψ * n Nψ n r 2 sin(θ)drdθdφ = π laske N

22 Tyypillisiä laskuja 3)Elektronin etäisyyden y.mestä odotusarvo: r = 2π π ψ n * rψ n r 2 sin(θ)drdθdφ Yleises. minkä tahansa operaadorin odotusarvo (huom: operaadori operoi oikealla puolellaan olevaan aaltofunk.oon): A = 2π π ψ n * ˆ A ψ n r 2 sin(θ)drdθdφ

23 Vetyatomilaskuissa hyvin hyödyllinen taulukkointegraali e -ar r n dr = n! a n+ Tämä osataan sinänsä laskea n kertaa osidaisintegroimalla, muda menee työlääksi kun n on suuri... Huom! Integroin.rajojen oltava ja, muuten ei päde!

24 Toinen hyödyllinen taulukkointegraali e br r n dr = ebr b (rn nrn- b + n(n -)rn-2 b 2... ( )n n! b n ) n oltava posi.ivinen kokonaisluku, b mikä tahansa reaaliluku (yleensä b = /a tai jotain vastaavaa) Huom: tämä on määräämätön integraali, äskeinen oli määrädy Hyödyllinen esim silloin kun integroin.rajat ovat jotain muuta kuin ja

25 Esimerkki: vetyatomin s orbitaali Integroi s orbitaalin todennäköisyys.heys Ψ*Ψ yli koko avaruuden: Ratkaisu: s orbitaali on ψ s = Lasketaan integraali: ψ * s ψ s dτ = = πa 3 2π πa 3 e π 2π e r a π 2r πa 3 e r a a r 2 sin(θ)drdθdφ r 3 πa e a r 2 sin(θ)drdθdφ

26 πa 3 2π π = 3 πa e e 2r 2r a r 2 a r 2 sin(θ)drdθdφ π dφ dr sin(θ)dθ 2π Lasketaan integraalit. Integraali r:n suhteen edellydää 2 kertaa osidaisintegroin.a, tai ratkaisu voidaan katsoa taulukosta: e 2r a r 2 2! dr = ( 2 ) 3 a 2π 2π dφ = φ = 2π = 2π π π sin(θ)dθ = - cos(θ) = -cos(π) - -cos() = 2

27 Sijoitetaan saadut tulokset: ψ * s ψ s dτ = 3 πa 2! ( 2 2 2π ) 3 a = Eli todennäköisyys edä elektroni löytyy jostakin on %.

28 2π Esimerkki: normitusvakion lasku Laske vetyatomin 2p z orbitaalin normitusvakio N: ψ 2 pz = Nre 2a cos(θ) Normitusvakio lasketaan edellydämällä edä ψ 2 pz dτ = Nre r π 2a cos(θ) Nre r 2a cos(θ) r 2 sin(θ)drdθdφ = 2π π r = N 2 r 4 e a cos 2 (θ)sin(θ)drdθdφ = N 2 r 4 e r a r π dr cos 2 (θ)sin(θ)dθ 2π dφ * ψ 2 pz

29 Lasketaan taas integraalit erikseen. Integraali r:n suhteen otetaan taulukosta (tai osidaisintegroidaan 4 kertaa): e r a r 4 dr = 4! 2π 2π ( dφ = φ = 2π = 2π ) 5 a π cos 2 π (θ)sin(θ)dθ = - 3 cos3 (θ) = - 3 (cos3 (π ) - cos 3 ()) = - 3 (--) = 2 3 Sijoitetaan: N 2 4! π = N2 32πa 5 = a N = 32πa 5 = 4 2πa 5