4. Integraalilaskenta

Transkriptio

1 4. Integraalilaskenta Johda3eleva esimerkki: kun hiukkasen paikka s(t) derivoidaan ajan suhteen, saadaan hiukkasen nopeus: v(t) = s'(t) Kun nopeus derivoidaan ajan suhteen saadaan kiihtyvyys a(t) = v'(t) Käänteinen ongelma: hiukkasen kiihtyvyys on a(t). Mikä on hiukkasen nopeus v(t) ja paikka s(t)? Tarvitaan derivoinnille vastakkainen laskutoimitus: integroine

2 s(t) derivoine v(t) derivoine a(t) integroine integroine

3 Integroinnin kaksi tulkintaa 1. Määräämätön integraali eli integraalifunk3o IntegroinE on derivoinnille käänteinen prosessi d (F(x)) = f(x) dx f(x)dx = F(x) + C

4 Integroinnin kaksi tulkintaa 1. Määräämätön integraali eli integraalifunk3o IntegroinE on derivoinnille käänteinen prosessi d (F(x)) = f(x) dx kertoo minkä suhteen integroidaan f(x)dx = F(x) + C f(x):n integraalifunkeo integroimisvakio Integroinnin merkki funkeo mikä pitäisi integroida

5 Integroinnin kaksi tulkintaa 1. Määräämätön integraali eli integraalifunk3o IntegroinE on derivoinnille käänteinen prosessi d (F(x)) = f(x) dx kertoo minkä suhteen integroidaan f(x)dx = F(x) + C f(x):n integraalifunkeo integroimisvakio Integroinnin merkki funkeo mikä pitäisi integroida d dx (F(x) + C) = d dx (F(x)) + d dx (C) = d dx F(x) + 0 = d dx F(x)

6 Sama graafisese Peruskoulutapa ratkaista edellä ollut esimerkki: muisesääntöjen avulla (esim x(t) = 0.5at 2 + v 0 t + s 0 jos a vakio) tai graafisese. Jos hiukkasen nopeus v(t) = v = vakio, niin hiukkasen aikana t kulkema matka s(t) on v t. v(t) v s(t) = v t t t

7 Entä jos v ei ole vakio? v(t) s(t) = t 0 v(t)dt t Graafinen integroine t

8 Integroinnin kaksi tulkintaa 2. Määrä6y integraali eli integroin3 sijoitusrajoilla FunkEon f(x) integraali välillä [a,b] on käyrän f(x) ja xakselin väliin jäävän alueen pinta ala välillä [a,b]. f(x) a b x Merkitään: b a f(x)dx = a b F(x) = F(b) F(a) integroimisrajat

9 Yhteys integraalifunkeon ja määrätyn integraalin välillä x a f(x)dx = F(x) + C x f(x)dx = a F(x) = F(x) F(a)

10 Yhteys integraalifunkeon ja määrätyn integraalin välillä f(x)dx = F(x) + C x a f(x)dx = a x F(x) = F(x) F(a) x Määrä3y integraali on se integraalifunkeo jolla f(x)dx C = F(a). a

11 Integraalin laskeminen Kaikilla funkeoilla ei ole integraalifunkeota tai sellaista ei osaa laskea. IntegroinE ei muutenkaan ole yhtä suoraviivaista kuin derivoine. Integroinnissa joutuu usein käy3ämään ja solveltamaan erilaisia strategioita (ja/tai "kikkoja"). Suoraviivaisia lähestymistapoja ovat esim: DerivoinEsääntöjen soveltaminen "väärinpäin" Taulukkokirjat => taulukkointegraalit Matemaa]set ohjelmat, esim MathemaEca Numeerinen integroine (joskus ainoa keino)

12 IntegroinEkeinoja Monimutkaisempia integroinekeinoja ovat esim: Osi3aisintegroinE Sijoitusmene3ely eli muu3ujan vaihto Trigonometriset palautuskaavat RaEonaalifunkEon integroine Kompleksilaskennan residymenetelmät (ei käsitellä tällä kurssilla)

13 IntegroinE derivoinesääntöjen ja kaavojen avulla (kts esim MAOL) Potenssifunk3on integroin3 kun n 1 d dx xn = nx n 1 d dx ( 1 n +1 xn+1 ) = x n nx n 1 dx = x n + C x n dx = 1 n +1 xn+1 + C Todistus: x n dx = 1 koska n +1 xn+1 + C d dx ( 1 n +1 xn+1 + C) = x n

14 Esimerkkejä x 2 dx = x2+1 + C = 1 3 x3 + C d koska dx (1 3 x3 + C) = x 2 5x -3 dx = 5 x -3 koska dx = 5 d dx (-5 2 x-2 + C) = 5x x C = -5 2 x-2 + C

15 Summa ja vakiolla kertominen (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx + C Esim: (x 2 + 3x) dx = x 2 dx + 3xdx + C koska = 1 3 x x2 + C d dx (1 3 x x2 + C) = x 2 + 3x a f(x) dx = a f(x) dx Esim: 3xdx = 3 xdx = 3 2 x2 + C

16 Funk3on potenssin integroin3, erikoistapaus Tarkistus: d 1 dx n +1 f(x)n+1 + C = 1 n +1 (n +1)f(x)n f'(x) f'(x) Esim: Tarkistus: d dx f(x) n f'(x) dx = 1 n +1 f(x)n+1 + C = f(x) n f'(x) f(x) 2x(x 2-1) 3 dx = (x2-1) C = 1 4 (x2 1) 4 + C 1 4 (x2 1) 4 = (x2 1) 3 d dx (x2-1) = 1 (x 2 1) 3 2x = 2x(x 2 1) 3

17 Esim: f'(x) f(x) (3x + 2) 5 = 1 3 3(3x + 2) 5 = (3x + 2)6 + C = 1 18 (3x + 2)6 + C Tarkistus: d dx ( 1 18 (3x + 2)6 + C) = (3x + 2)5 d dx (3x + 2) = (3x + 2)5 3 = (3x + 2) 5

18 Funk3on 1/x integroin3 koska d dx ln(x) = 1 x 1 dx = ln x + C x Sovellus: funk3on f'(x)/f(x) integroin3 f'(x) dx = ln f(x) + C f(x) koska d dx (ln(f(x)) = f'(x) 1 f(x) Esim: 1 2x +1 dx = x +1 dx = 1 2 ln 2x +1 + C

19 Trigonometristen funk3oiden integroin3 sin(x)dx = -cos(x) + C D x ( cos(x)) = sin(x) cos(x)dx = sin(x) + C D x (sin(x)) = cos(x) f'(x)sin f(x) [ ]dx f'(x)cos f(x) [ ]dx = cos f(x) [ ] + C = sin f(x) [ ] + C esim sin(5x)dx = 1 5 5sin(5x)dx = 1 5 cos(5x) + C x sin(x 2 )dx = 1 2 2x sin(x2 )dx = 1 2 cos(x2 ) + C

20 EksponenIfunk3on integroin3 e x dx = e x + C D x e x = e x f'(x)e f(x) dx = e f(x) + C D x e f(x) = f'(x)e f(x) Esim Logaritmifunk3on integroin3 koska (2x + 3)e x2 +3x dx = e x2 +3x + C 5e 3x dx = e 3x = 5 3 e3x + C ln x dx = xln x - x + C d [ dx xln x - x + C ] = d dx (x) ln x + x d (ln x) 1 dx =1 ln x + x 1 1 = ln x +1 1 = ln x x

21 Määrätyn integraalin laskeminen Esim. 1 Esim 2 Määrä3y integraali lasketaan kahdessa vaiheessa: π 2 0 cos(x)dx = Ensin integroidaan Si3en sijoitetaan π / 2 sin(x) 0 = sin(π/2) sin(0) =1 0 = xdx = x2 = = 7.5

22 Erikoiset integroimisrajat Tapaus 1: x f(x)dx = F(x) F(0) 0 Joskus integroinerajana käytetään integroinemuu3ujaa. Tämä voi olla hämäävää, usein on selkeämpää käy3ää eri muu3ujaa integroinerajan ja itse integraalin x merkinnässä, esim näin: f (u)du Esim: hiukkasen paikka ja nopeus v(t) = ds(t) dt s(t) = t 0 v(t)dt 0

23 Tapaus 2: ääretön ja miinus ääretön integroimisrajoina Esim: e -r dr = 0 - e -r = lim a - e -a 0 a 0 = lim a e a e 0 [ ] = lim a [ 1 ] e a =1 0 =1 Hyödyllisiä limes tuloksia: lim lim a e a = 0, a ae a = 0 Joskus integraalin arvo voi myös olla ääretön. Tällöin sanotaan e3ä integraali divergoi. dx lim a = ln(x) = ln(x) Esim: x 1 a 1 1 = lim a [ ln(a) ln(1) ] = lim a ln(a) [ ] =

24 Integraalilaskuja kemiassa, esim 1 Aineen lämpökapasitee] vakiopaineessa C p toteu3aa differeneaaliyhtälön C p = H T p missä H on entalpia ja T absoluu]nen lämpöela. Tästä saadaan dh = C p dt Lämpökapasitee] (yksikkö J K 1 mol 1 ) voidaan usein esi3ää lämpöelan kolmen parametrin funkeona: C p a + bt + ct 2 Typelle (N 2 ) parametrien arvot ovat: a = J K 1 mol 1, b = J K 2 mol 1 ja c = J K mol 1 Laske ΔH = H(T 2 ) H(T 1 ), kun kaasua lämmitetään lämpöelasta T 1 = 25 C lämpöelaan T 2 = 100 C.

25 Ratkaisu: ΔH = H(T 2 ) dh = C p dt H(T 1 ) T 2 T 1 T 2 = (a + bt + c T 2 )dt = T 1 T2 1 (at + 2 bt2 - c T ) T 1 = (at bt 22 - c T 2 ) - (at bt 12 - c T 1 ) Sijoitetaan annetut arvot, ja saadaan ΔH = 2200 J mol 1 = 2.20 kj mol 1 Vinkki: tarkista aina derivoimalla e1ä olet integroinut oikein: antaako integraalifunk6on derivaa1a alkup. funk6on?

26 Integraalilaskuja kemiassa, esim 2 Kun kaasu laajenee (ulkoista) paine3a p ex vastaan, se suori3aa laajenemistyön dw = p ex dv. Johdetaan lauseke laajenemistyölle W kaasun laajetessa Elavuudesta V 1 Elavuuteen V 2 eri tapauksissa. A. Kun paine on vakio, p = p ex dw = -p ex dv V 2 W = -p ex dv = p ex dv = p ex V 1 V 1 = -p ex (V 2 V 1 ) V 2 V 1 V 2 (V)

27 B. Kun kaasu on ideaalikaasu vakiolämpöelassa (T ja n vakioita), jolloin pv = nrt p = nrt/v dw = -pdv = - nrt V dv V 2 V 2 W = -pdv = nrt V dv = V 2 - nrt dv V V 1 V 1 = -nrt(ln(v 2 ) ln(v 1 )) = nrtln( V 2 V 1 ) V 1 V2 = -nrt V1 ln(v)

28 Integraalilaskuja kemiassa, esim 3 HCl molekyylin sidoksen voimavakio on k = 518 N m 1 ja tasapainosidospituus r e = nm. Hooken lain mukaan sidospituuden muutosta vastustava voima on F(Δr) = kδr, missä Δr = (r r e ) on poikkeama tasapainosidospituudesta. Laske Hooken lain mukainen sidospituuden muu3amiseen tarvi3ava työ W(Δr) kun HCl:n sidos venytetään tasapainosta nm:aan. W(Δr) = Δr F(Δr)d(Δr) = k Δr d(δr) = 0 Δr = 1 2 kδr2 1 2 k02 = 1 2 kδr2 0 Nyt voidaan sijoi3aa arvot: Δr = nm = 0.1 nm, ja W = J. Δr kδr2

29 Integraalilaskuja kemiassa, esim 3 Huom: äsken olisi voitu käy3ää muu3ujana Δr:n sijaan myös r:aa, jolloin olisi integroitu F(r) = k(r r e ) sijoitusrajoilla r e ja r e + Δr. Lasku olisi ollut hieman pidempi, mu3a merkintä ehkä helmpompi ymmärtää: W(r) = r e +Δr r e +Δr F(r)dr = k(r - r e )dr r e r e +Δr = k( rdr r e dr) = k( r e r e +Δr r e r e r e +Δr re r re r e +Δr r r e ) = k( (r e + Δr) 2 (r e ) 2 (r e + Δr) r e r e r e ) 2 2 = k( r 2 e 2 + 2Δr r e + Δr2 2 r e r 2 e + Δr r e + r 2 e ) = k Δr2 2

30 Integraalilaskuja kemiassa, esim 4 AlkuElanteessa 5.0 m 3 kaasua on normaaliilmanpaineessa. Kaasua puristetaan adiabaa]sese kymmenesosaan alkuperäisestä Elavuudestaan. Adiabaa]selle prosessille PV γ = k, missä γ = C p /C v = ilmalle ja k on vakio. Laske tehty työ. W = pdv Ratkaisu: AlkuElavuus V 1 = 5.0 m 3, loppuelavuus V 2 = 0.5 m 3 p = V -γ k V 2 W = pdv = V -γ kdv = k V -γ dv = k V 1 V2 1 V 1 V 2 V 1 γ +1 V γ+1 = k 1 γ (V γ+1 2 V γ+1 1 ) V 2 V 1

31 Äsken johde]in W = k 1 γ (V γ+1 2 V γ+1 1 ) Ennenkuin voidaan sijoi3aa arvot, pitää ratkaista k. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi alkuelavuuden V 1 = 5.0 m 3 ja alkupaineen p 1 = 1 atm = Pa avulla. Saadaan k = p 1 V 1γ. Sijoitetaan kaavaan: W = p 1 V γ 1 1 γ (V γ+1 2 V γ+1 1 ) = Pa (5.0m 3 ) = J = J Huom: Pa = N m 2 ; Pa m 3 = N m = J ((0.5m 3 ) (5.0m 3 ) )

32 Integraalilaskuja kemiassa, esim 5 Arrheniuksen yhtälö on k = Ae E a RT a) Osoita e3ä Ratkaisu: d(ln k) dt = E a RT 2 ln k = ln(ae E a RT ) = ln A + ln(e E a RT ) = ln A E a RT d(ln k) dt = d dt (ln A E a RT ) = 0 E a R 1 T 2 = E a RT 2

33 Arrheniuksen yhtälö on k = Ae E a RT b) Jos k 1 on reakeon nopeusvakio lämpöelassa T 1 ja k 2 on nopeusvakio lämpöelassa T 2, osoita e3ä ln( k 1 ) = E a k 2 R (T 2 T 1 ) T 2 T 1 d(ln k) Ratkaisu: Äsken johde]in. Tästä saadaan dt = E a RT 2 d(ln k) = E a RT 2 dt Nyt voidaan integroida molemmat puolet. k:n integroinerajat ovat k 1 ja k 2, T:lle vastaavase T 1 ja T 2. k 2 d(ln k) = k 1 T 2 T 1 E a RT 2 dt

34 k 2 d(ln k) = k 1 k 2 ln k = E a T 2 T 1 E a RT 2 dt T 2-1 k 1 R T 1 T ln k 2 ln k 1 = E a R ( 1 T 2 1 T 1 ) ln ( k 2 k 1 ) = E a R ( 1 T 1 1 T 2 ) = E a R ( T 2 T 2 T 1 T 1 T 1 T 2 ) ln ( k 2 k 1 ) = E a R (T 2 - T 1 T 1 T 2 )

35 Integraalilaskuja kemiassa, esim 6 Osoita e3ä ideaalikaasulle kv 1 V 1 pdv = nrt ln k kun T on vakio (isoterminen prosessi) Ratkaisu: pv = nrt p = nrt/v kv 1 pdv = V 1 nrtdv V = kv 1 nrt dv V kv 1 V 1 V 1 kv 1 = nrt ln V = nrt (ln kv1 ln V 1 ) V1 = nrt ln( kv 1 V 1 ) = nrt ln k

36 Integraalilaskuja kemiassa, esim 7 SiO 2 :lle C kvartsimuodossa pätee aiemmin esitelty lämpökapasitee]yhtälö C p a + bt + ct 2 missä a = 46.0 J K 1 mol 1, b = J K 2 mol 1 ja c = J K mol 1 Laske entalpian ja entropian muutokset kun kvartsi lämmitetään lämpöelasta 298 K lämpöelaan 350 K. Entalpian ja entropian differeneaaleille dh ja ds pätee: dh/dt = C p dh = C p dt ds/dt = C p /T ds = (C p /T)dT Ratkaisu: integroidaan yhtälöiden molemmat puolet.

37 ΔH = = H 2 H 1 T 2 T 1 T 2 1 dh = C p dt = T 2 1 (at + 2 bt2 - c T ) T1 T 1 (a + bt + ct -2 )dt = a(t 2 - T 1 ) b(t 22 - T 1 2 ) - c( 1 T 2-1 T 1 ) Sijoitetaan T 1 = 298 K, T 2 = 350 K ja annetut a:n, b:n ja c:n arvot, saadaan ΔH = kj mol 1.

38 ΔS = S 2 S 1 T 2 T 1 T 2 1 ds = C p T dt = T 1 a + bt + ct-2 ( )dt T T 2 = (at -1 + b + ct -3 )dt = T 1 T 2 1 (a ln T + bt - 2 c T 2 ) T1 = a ln( T 2 T 1 ) + b(t 2 - T 1 ) - c 2 ( 1 T T 1 2 ) Sijoitetaan T 1 = 298 K, T 2 = 350 K ja annetut a:n, b:n ja c:n arvot, saadaan ΔS = 7.6 J mol 1 K 1.