Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: , ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko).

Transkriptio

1 1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2017 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 63 35, ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko) Harjoitusassistentit: Petri Kuusela ja Tapani Stylman Laskuharjoitukset: 7 harjoituskertaa (ke), max 18 p Ex tempore harjoitukset: 14 kertaa (ma + ke luennon toinen tunti), max 18 p Tentti: pe 55 klo (tentti 1) tai pe 26 klo (tentti 2), max 36 p Oletetut esitiedot: FYSP111 ja FYSP112 Matematiikan perusopintokurssit eivät ole suureksi haitaksi Kirja: Adams & Essex, Calculus a complete course (8 th edition) Luennot seuraavat tätä kirjaa, mutta eivät orjallisesti Koppa: Luentomuistiinpanot ja tehtävät ilmestyvät Koppaan

2 2 Kurssin tavoitteet Kurssilla käsitellään paikka-avaruudessa määriteltyjen funktioiden eli kenttien differentiaali- ja integraalilaskentaan, keskittyen vektoriarvoisiin kenttiin Esimerkkejä fysiikassa käytetyistä vektorikentistä ovat sähkökenttä, gravitaatiokenttä ja virtaavan nesteen nopeuskenttä Opittavilla menetelmillä selvitään fysiikan aineopintokursseilla ja useimmilla syventävillä kursseilla Asioita ei käsitellä matemaatikon pedanttisuudella (vrt matematiikan aineopintokurssit) vaan fyysikon hennompaa otetta käyttäen Jotkut kurssilla käsiteltävistä asioista käydään perusteellisemmin läpi elektrodynamiikan kurssilla Oppikirjana on Adams&Essex, Calculus a complete course Kirjaa ei seurata orjallisesti, eikä esitysjärjestys ole sama, eivätkä ihan kaikki merkinnätkään Luennoilla kerrotaan, mistä kohtaa kirjasta kulloinkin käsitetävä asia löytyy Kirjaa pitää lukea! Kurssilla on tarkoitus oppia laskemaan kolmiulotteiseen avaruuteen liittyviä, fysiikan kannalta tähdellisiä laskuja Siksi harjoituksia on kohtalaisen runsaasti Kun laskee ahkerasti kurssin aikana, tentistä suoriutuu kevyesti

3 3

4 4 1 Kertausta vektoreista A 102 & 103 Jos vektorin A alkupää on origossa, sen loppupään koordinaatit A, A, A kertovat vektorista kaiken Vektori voidaan siis samaistaa lukukolmikon kanssa: A ( A, A, A ) Lukuja A1, A2, A 3 sanotaan vektorin komponenteiksi Tutussa kotiavaruudessa eli x,y,zavaruudessa vektori A voidaan esittää koordinaatti-akseleiden suuntaisten yksikkövektoreiden iˆ, ˆj, k ˆ avulla muodossa A A iˆ A ˆ j A kˆ Vektorin komponentit labeloidaan silloin koordinaattiakselien nimien mukaisesti eli A ( A, A, A ) x,y,z-koordinaatisto tai i,j,k-koordinaatisto on suorakulmainen eli karteesinen koordinaatisto Kantavektoreille käytetään usein myös merkintöjä iˆ eˆ uˆ, ˆj eˆ uˆ, kˆ eˆ uˆ x x y y z z

5 5 Kahden vektorin summa on A B ( A B, A B, A B ) x x y y z z ( A B ) iˆ ( A B ) ˆj ( A B ) kˆ x x y y z z Vektoreiden pistetulo eli skalaaritulo määritellään A B A xbx AyBy Az Bz Vektorin pituus on Jos vektoreiden A A A A A A 2 A ja B välinen kulma on θ, on niiden pistetulo A B A B cos Jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli 2 niiden pistetulo häviää eli AB 0 Vektoreiden ristitulo A B on vektori, jolle pätee i) ( A B) A 0 ja ( A B) B 0 eli se on kohtisuorassa molempia osiaan vastaan, ii) A B A B sin iii) Vektorit A, B ja A B muodostavat oikeakätisen systeemin,

6 6 Ristitulo voidaan esittää determinanttina: iˆ ˆj kˆ A B A A A B B B Ay Az A x y ˆ z A A A x i ˆj kˆ B B B B B B y z z x x y ( A B A B ) iˆ ( A B A B ) ˆj ( A B A B ) kˆ y z z y z x x z x y y x Tästä näkee, että A B B A Kantavektoreille iˆ, ˆj, k ˆ pätee iˆ ˆj kˆ, ˆj kˆ iˆ, kˆ iˆ ˆj Paikkavektori r Origosta pisteeseen P ( x, y, z) piirrettyä vektoria sanotaan paikkavektoriksi r Komponenttimuodossa se on r xiˆ yj ˆ zkˆ Paikkavektorin pituus on r x y z 2

7 7 Käyräviivaiset koordinaatistot Avaruuden piste voidaan esittää myös muiden kuin suorakulmaisten koordinaattien x, y, z avulla Sylinterikoordinaatistossa koordinaatteina ovat r (sylinterin säde, merkitään joskus ρ), ϕ (napakulma) ja z: r x y, 0 2 x rcos, y rsin, z z Pallokoordinaatistossa koordinaatteina ovat r (pisteen etäisyys origosta), ϕ (atsimuuttikulma) ja θ (polaarikulma): x rsin cos, y rsin sin, z rcos 2 r x y z, 0 2, 0

8 2 Vektorin derivaatta A 111 Vektorin derivoiminen ajan suhteen on mekaniikasta tuttu asia Vektori voi olla esimerkiksi nopeusvektori vt, () 8 v( t) v ( t) iˆ v ( t) ˆj v ( t) kˆ Nopeus on yhden muuttujan ajan - vektoriarvoinen funktio eli se kuvataan kolmen toisistaan riippumattoman komponentin avulla Huomaa, että karteesisen koordinaatiston kantavektorit iˆ, ˆj, k ˆ eivät riipu ajasta, ne ovat aina ja jokaisessa avaruuden pisteessä samaan suuntaan osoittavia vakiovektoreita Ainoastaan vektorin komponentit ovat ajasta riippuvia (On olemassa myös ajasta riippuvia kantavektoreita, mutta ei puhuta niistä nyt) Vektorin vtderivaatta () ajan suhteen on dv() t dv () () x t dv ˆ y t ˆ dvz () t i j kˆ dt dt dt dt = v' ( t) iˆ v ' ( t) ˆj v' ( t) kˆ Tämä on hiukkasen kiihtyvyys, a( t) v '( t) Koska yleensä dvi vi, kiihtyvyys at () ei tavallisesti ole nopeuden vt () dt suuntainen eikä pituinen

9 9 Nopeus vtpuolestaan () saadaan derivoimalla liikkuvan kappaleen ajasta riippuva paikkavektori rt (): dr ( t) dx( t) ˆ dy( t) ˆ dz( t) v() t i j k ˆ dt dt dt dt x'( t) iˆ y'( t) ˆj z '( t) kˆ Esimerkki Sähköstatiikassa sähkökenttä E( r) E( x, y, z) on vektorimuuttujasta (paikasta r ) riippuva vektoriarvoinen funktio (vektorikenttä, kolme lukua Ex( x, y, z), Ey ( x, y, z), Ez ( x, y, z ) ) Siihen liittyvä sähköinen potentiaali V( r) V( x, y, z) on puolestaan vektorimuuttujasta riippuva skalaarifunktio (skalaarikenttä, yksi luku) Sähköopista tiedämme, että sähkökenttä saadaan potentiaalista seuraavalla tavalla derivoimalla: (,, ) ˆ (,, ) ˆ (,, ) (,, ) V V E i j V k ˆ x y z Tässä derivaatat ovat osittaisderivaattoja (d:n sijasta käytetään :ta eli doota, kuten jotkut sanovat), joissa derivointi kohdistuu vain yhteen funktion useasta muuttujasta Dynaamisessa tapauksessa sähkökenttä riippuu paikan lisäksi ajasta eli se on neljän muuttujan funktio, E( x, y, z, t ) Yhden pistevarauksen tapauksessa potentiaali riippuu symmetrian takia vain yhdestä muuttujasta, paikkavektorin pituudesta r r

10 10 Tavalliset summan ja tulon derivoimissäännöt pätevät vektoreille: d du dv ( u v), dt dt dt d dc du ( cu) u c, dt dt dt d du dv ( u v) v u, dt dt dt d du dv ( u v) v u dt dt dt Ristitulon derivoinnissa pitää kuitenkin vektoreiden u keskinäinen järjestys säilyttää, koska ristitulo vaihtaa merkkiään kertomisjärjestyksen vaihtuessa ja v 3 Parametrisoitu käyrä ja käyräintegraali A 82 & Käyrän parametrisointi Olkoon c kolmiavaruuden vektori, jonka komponentit riippuvat parametrista t, c( t) c ( t) iˆ c ( t) ˆj c ( t) kˆ Parametri t ei ole välttämättä aika tai mikään muukaan fysikaalinen suure vaan jokin reaaliarvoinen muuttuva luku Oletetaan, että komponentit ci () t ovat jatkuvia, kun t saa arvoja R 1 :n jollakin välillä [a,b] Kun t:n annetaan vaihdella tällä välillä, vektorin ct () kärki piirtää R 3 -avaruuteen käyrän Käyrän pisteiden koordinaatit ovat ( x, y, z) ( c ( t), c ( t), c ( t)), a t b

11 11 Tätä sanotaan kyseisen käyrän parametriesitykseksi Sama käyrä voidaan esittää muutenkin, esimerkiksi antamalla koordinaatteja toisiinsa sitovat yhtälöt tai se voi olla vaikka kahden annetun pinnan leikkaus Parametriesityksessä käyrään liitetään suunta Voidaan sanoa, että käyrän alkupiste on ca ( ) ja loppupiste cb () Käyrän sanotaan olevan suunnistettu Käyrä on umpinainen, jos sen alkupiste ja loppupiste ovat samat: c( a) c( b) Voi olla, että tällöin sama lenkki on voitu kiertää moneen kertaan ympäri parametrin käydessä läpi arvoalueensa Esimerkki Tutki (x,y)-tason käyrää c( t) c ( t) iˆ c ( t) ˆj 2cost iˆ 2sin t ˆj, 0 t 3 / 2 x y Alkupiste on c(0) 2cos0 iˆ 2sin 0 ˆj 2 iˆ eli piste (2,0) Loppupiste on c(3 / 2) 2cos(3 / 2) iˆ 2sin(3 / 2) ˆj 2 ˆj eli piste (0,-2) Koska x y c ( t) c ( t) 4cos t 4sin t 4, x käyrän pisteet ovat ympyrän kaarella, jonka säde on 4 Käyrä muodostaa kolme neljäsosaa ympyrän kehästä Parametrilla t on tässä geometrinen merkitys: se on kulma, jonka verran vektori ct () on kääntynyt alkuasemastaan c (0) y

12 12 Ratkaisemalla y saadaan yhdistämällä kahden funktion y 2 4 x (-2 x 0) kuvaajat y 2 4 x Käyrä saadaan siis myös 2 y 4 x (-2 x 2) ja Esimerkki Yksikköympyrän yhtälö on x y 1 On lukemattomia eri tapoja esittää tämä käyrä parametrimuodossa Tässä muutamia: x cos t, y sin t (0 t 2 ), x sin( ), y cos( ) (0 2 ), x t y t t t 1, 2 ( ) Esimerkiksi viimeisessä tapauksessa x y (1 t ) ( t 2 t ) 1 2t t 2t t 1 Piste (x,y) liikkuu arvosta ( 1,0) pisteeseen (0, 1) ja siitä edelleen pisteeseen (1,0), kun t muuttuu arvosta 2 arvon 1 kautta arvoon 0 Kun t muuttuu arvosta 0 arvon 1 kautta arvoon 2, piste (x,y) liikkuu (0,1):n kautta takaisin arvoon ( 1,0) Kun käyrän parametriesityksestä eliminoidaan parametri, saadaan käyrän karteesinen yhtälö Edellisissä esimerkeissä parametri t eliminoitui, kun laskettiin komponenttien neliöt yhteen Yleisesti eliminointi voidaan tehdä niin, että esimerkiksi x:n parametriesityksestä ratkaistaan t x:n funktiona ja sijoitetaan se y:n parametriesitykseen Tuloksena on yhtälö, joka sitoo x:n ja y:n toisiinsa eli karteesinen yhtälö

13 13 Esimerkki Käyrän parametriesitys on x t y t t t 2 3, 2 (- ) Mistä käyrästä on kyse? Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan t x 3 Sijoitetaan tämä jälkimmäiseen yhtälöön: y ( x 3) ( x 3) 2 x 7x 14 Tämä on käyrän karteesinen yhtälö, ylös aukeavan paraabelin yhtälö (pohja pisteessä (7/2,7/4)) Suoran esittäminen parametrimuodossa Oletetaan, että suora kulkee pisteen P0 ( x0, y0, z0) (paikkavektori r 0 ) kautta ja on yhdensuuntainen vektorin v v iˆ v ˆj v kˆ kanssa Silloin suoran mielivaltaisen pisteen P ( x, y, z) paikkavektori r saadaan lisäämällä vektoriin r 0 vektori v sopivalla reaaliluvulla t kerrottuna (ks kuva) Näin saadaan suoralle parametriesitys r r0 tv ( t ) eli komponenttimuodossa x x tv, y y tv, z z tv 0 x 0 y 0 z Ratkaisemalla kustakin yhtälöstä t, saadaan suoralle karteesinen esitys x x y y z z v v v 0 0 0

14 14 32 Käyrän pituus Jos siirrymme tasossa pisteestä (x,y) pisteeseen (x+dx, y+dy), kuljemme Pythagoraan lauseen mukaan matkan ds ( dx) ( dy) Jos kuljemme funktion y(x) kuvaajaa pitkin, on dy=(dy/dx)dx = y (x)dx Jos lähdemme pisteestä ( x1, y( x 1)) ja päädymme pisteeseen ( x2, y( x 2)), on kulkemamme kokonaismatka x dy x 2 s ds dx dy dx y x dx dx ( ) ( ) 1 1 '( ) x 1 x1 Tämän mallin mukaan on helppo kirjoittaa parametrisoidun käyrän pituus (a t b ): 2 b s ds ( dx) ( dy) ( dz) x'( t) y'( t) z'( t) dt b dr = dt, a dt sillä parametrin t avulla esitetylle käyrälle on esimerkiksi dx( t) dx dt x'( t) dt dt a

15 15 Esimerkki Lasketaan ruuviviivan x acos t, y asin t, z bt käyränpituus yhtä kierrosta (0 t 2 ) kohti Yllä olevaa kaavaa soveltaen saadaan x'( t) y'( t) z '( t) dt ( asin t) ( acos t) b dt a b dt 2 a b 33 Viivaintegraali A 153 Käyrän pituuden laskeminen on yksi esimerkki viivaintegraalista Sitä yleisempi tilanne on funktion viivaintegraali Jos funktiona on skalaarikenttä f(x,y,z), tehtävänä on laskea b dr f ( x, y, z) ds f ( r( t)) dt, a dt jossa on jokin parametrisoitu käyrä eli käyrän pisteiden paikkavektori on annettu parametrin t avulla, r r( t) Integraalin arvo ei riipu siitä, miten käyrä on parametrisoitu

16 16 Esimerkki (A, s 876) Lasketaan viivaintegraali I ( x y ) ds, kun käyrä on suora viiva origosta pisteeseen (2,1) Parametrisoidaan seuraavasti: x 2 t, y t, 0 t 1, toisin sanoen r( t) 2 t iˆ t ˆj, 0 t 1 Silloin dr ds dt i j dt dt dt dt 1 5 Integraalista saadaan I (4 t t ) 5 dt 5 5 t dt 5 5 t Jos r *( u) ( u ) on jokin toinen :n parametrisaatio, on b a dr dr * f ( r( t)) dt f ( r *( u)) du dt du