MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

Transkriptio

1 MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen vuodelta 215. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

2 Moninkertaisten integraalien sovelluksia 1/3 Tähän mennessä moninkertaisten integraalien sovelluksina on esiintynyt: Alueen R 2 pinta-ala A() = 1 da. Kappaleen R 3 tilavuus V() = 1 dv. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

3 Moninkertaisten integraalien sovelluksia 2/3 Mekaniikassa tulevat vastaan nämä: Kappaleen massa m() = ρ(x, y, z) dv. Hitausmomentti kappaleen pyöriessä z-akselin ympäri: I z () = ρ(x, y, z)(x 2 + y 2 ) dv. Tässä ρ(x, y, z) on materiaalin tiheys pisteessä (x, y, z). Millä tavalla kappaleen massa ja hitausmomentti ovat mekaniikassa analogisia? Vastaus hetken kuluttua. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

4 Moninkertaisten integraalien sovelluksia 3/3 Kaksiulotteisen tasolevyn painopisteen eli massakeskipisteen ( x, ȳ) laskeminen x = 1 x da, ȳ = 1 y da, A() A() jossa pinta-ala A() on laskettu tasointegraalilla jo aiemmin. Jos levyn massa ei ole tasaisesti jakautunut, integraalia korjataan paikasta riippuvalla tiheydellä ρ(x, y) x = 1 xρ(x, y) da, ȳ = 1 yρ(x, y) da. m() m() jossa massa m() = ρ(x, y) da lasketaan tasointegraalilla. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

5 Massakeskipiste 1/2 Kolmiulotteisen kappaleen massakeskipiste ( x, ȳ, z) x = 1 xρ(x, y, z) dv, m() ȳ = 1 yρ(x, y, z) dv, m() z = 1 zρ(x, y, z) dv, m() missä ρ = ρ(x, y, z) on kappaleen tiheys pisteessä (x, y, z) ja m() on kappaleen massa (tilavuusintegraalilla). Piirrä momenttiehtoa vastaava kuva, joka johtaa ensimmäiseen kaavaan. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

6 Massakeskipiste 2/2 Kaava voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa rρ dv xi + ȳj + zk = ρ dv, missä r = xi + yj + zk. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

7 Esimerkki Lasketaan epäyhtälöiden x 1, y 1 ja z 1 määräämän yksikkökuution massakeskipiste, kun tiheys ρ(x, y, z) = z. Huom. Yksikkökuutio voidaan myös määritellä käyttäen nk. karteesista tuloa: = [, 1] [, 1] [, 1] = [, 1] 3. Tämä merkintätapa tarkoittaa samaa kuin ylläoleva määritelmä epäyhtälöiden avulla. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

8 Ratkaisu 1/2 Lasketaan ensin massa Saadaan x = 1 1 = ρ dv = ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 z dz = 1 xz dx dy dz 1/2 1 z= = z dx dy dz 1 2 z2 = 1 2. ( 1 x= = (1/2)2 1/2 = 1 2. )( x2 1/2 ) 1 z= 2 z2 Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

9 Ratkaisu 2/2 Vastaavasti ȳ = yz dx dy dz 1/2 = (1/2)2 1/2 = 1 2. Edelleen voidaan laskea z = 1 Massakeskipisteeksi saadaan 1 1 z2 dx dy dz 1/2 = (1/3) (1/2) = 2 3. = ( x, ȳ, z) = (1/2, 1/2, 2/3). 1 1 z= 3 z3 1/2 Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

10 Hitausmomentti 1/3 Tarkastellaan tilannetta, jossa pistemäiset kappaleet kiertävät origoa xy-tasossa ympyrän muotoista rataa pitkin samalla kulmanopeudella. Nyt tulee liitutaululla kertaava ekskursio massapisteen Newtonin mekaniikkaan! Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

11 Hitausmomentti 2/3 Voidaan laskea kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia saadaan laskemalla summa E = N i=1 1 2 m iv 2 i = 1 2 [ N i=1 ] m i ri 2 ω 2 = 1 2 [ N i=1 ] m i (xi 2 + yi 2 ) ω 2, missä ω on kulmanopeus ja m i, x i sekä y i ovat i:nnen kappaleen massa ja paikka. Summaa N i=1 kutsutaan hitausmomentiksi. m i (x 2 i + y 2 i ) = N i=1 m i r 2 i Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

12 Hitausmomentti 3/3 Ajattelemalla z-akselin ympäri pyörivä kappale joukoksi infinitesimaalisen pieniä pisteitä, voidaan edelläolevasta summasta päätellä kappaleen liike-energia: E = 1 [ ] (x 2 + y 2 )ρ(x, y, z) dv ω 2 2 missä I z = = 1 2 I zω 2, (x 2 + y 2 )ρ(x, y, z) dv = dm r 2 z on kappaleen hitausmomentti z-akselin suhteen (r 2 z = x 2 + y 2 ja dm = ρ(x, y, z) dv ). Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

13 Esimerkki z y ω z=1 a x Lasketaan sylinterin = {(x, y, z) : x 2 + y 2 a 2 ja z 1}, a > hitausmomentti z-akselin suhteen, kun tiheys on vakio ρ = ρ. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

14 Ratkaisu 1/2 Lasketaan I z = (x 2 + y 2 )ρ dv = ρ ˆ 1 ˆ 2π ˆ a r 2 r dr dθ dz ˆ a = 2πρ r 3 dr = 1 2 πρ a 4. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15

15 Ratkaisu 2/2 Toisaalta sylinterin massa on m = ρ dv = ρ V() = ρ πa 2. Siten hitausmomentti voidaan kirjoittaa I z = 1 2 (πρ a 2 )a 2 = 1 2 ma2. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät / 15