Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi
|
|
- Mikael Hakala
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Harris luku 7 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016
2 Johdanto Yleistetään viidennen luvun sidottujen tilojen käsittely kolmeen ulottuvuuteen Ratkaistaan kolmiulotteisen kvanttikaivon ominaisfunktiot ja -energiat Huomataan, että jokaisen dimensio tuo uuden kvanttiluvun Uusi käsite: denegeraatio usealla aaltofunktiolla voi olla sama energia Ratkaistaan elektronin Schrödingerin yhtälö kun elektroni on vetyatomissa (protoni + elektroni) Ratkaisussa monia erityisfunktioita sinin ja kosinin vastineita pallokoordinaatistossa Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 7
3 Kvanttikaivo kolmessa ulottuvuudessa Vedyn spektriviivat Vetyatomin aaltofunktiot
4 Schrödingerin yhtälö kolmessa ulottuvuudessa Schrödingerin yhtälö yleistyy kolmeen ulottuvuuteen korvaamalla tähän asti käytetty 2 / x 2 -operaattori operaattorilla 2, sekä paikkakoordinaatti x paikkavektorilla r 2 Ψ( r, t) 2m 2 Ψ( r, t) + U( r)ψ( r, t) = i t Tästäkin yhtälöstä saadaan separoimalla ajasta riippumaton versio 2 2m 2 ψ( r) + U( r)ψ( r) = Eψ( r) Jatkossa ei käytetä kovinkaan paljoa karteesista koordinaatistoa 2 -operaattori erilainen eri koordinaatistoissa Katsotaan taulukkokirjoista, ei tarvitse opetella ulkoa
5 Kvanttikaivo revisited Hiukkasen suljettu tällä kertaa kolmesta suunnasta { 0, 0 < x < L x, 0 < y < L y, 0 < z < L z U( r) =, muuten Ratkaistaan separoimalla (cf. palautustehtävä 1 ja 3) yritteellä ψ( r) = F(x)G(y)H(z), josta saadaan ratkaisut ja F(x) = A x sin n xπx L x G(y) = A y sin n yπy L y H(z) = A z sin n zπz L z ( n 2 E nx,n y,n z = x L 2 x + n2 y L 2 y ) + n2 z π 2 2 L 2 z 2m
6 Kvanttikaivo revisited Degeneraatio Ratkaisussa kolme toisistaan riippumatonta kvanttilukua n x, n y ja n z Reunaehdoista seuraa energian kvantittuminen reunaehdot kolmessa dimensiossa, kolme kvanttilukua Jos kvanttikaivo symmetrinen, L x = L y = L z = L, löytyy useita kvanttiluku- ja aaltofunktioyhdistelmiä, joilla sama energia = Degeneraatio (engl. degeneracy) Esim (2,1,1), (1,1,2) ja (1,2,1) Degeneraatio siis seuraus symmetriasta jos symmetria rikkoutuu, aiemmin degeneroituneet tilat jakautuvat uudelleen Monen atomifysiikan löydöt seuraus degeneroituneiksi luultujen tilojen jakautumisesta (esim Starkin ilmiö: sähkökenttä jakaa tiloja, Zeemanin ilmiö: magneettikenttä jakaa tiloja ja elektronin spin)
7 Degeneroituneiden tilojen jakautuminen Esimerkki
8 Kvanttikaivo kolmessa ulottuvuudessa Vedyn spektriviivat Vetyatomin aaltofunktiot
9 Vetyatomin spektriviivat Vetyatomi = protoni(+) ja elektroni(-) -pari, joita pitää koossa Coulombin potentiaali U( r) = 1 e 2 4πɛ 0 r Protoni 2000 kertaa massiivisempi kuin elektroni Protoni olennaisesti paikallaan kun elektroni kiertää sitä (protonin läsnäolo otetaan huomioon redusoidulla massalla) Palataan vedyn Schrödingerin yhtälöön pian tarkemmin Ensin tutustutaan erääseen kvanttimekaniikan suurimmista voitoista eli vedyn spektriviivojen selittämiseen
10 Vetyatomin spektriviivat Katsaus historiaan Spektriviivojen mittaaminen oli aikanaan ainoa tapa määrittää kokeellisesti alkuaineiden ominaisuuksia Vedyn tapauksessa oli mitattu näkyvän valon alueella spektriviivat 656 nm, 486 nm, 434 nm ja 410 nm Vuonna 1885 sveitsiläinen koulunopettaja Johann Balmer määritti empiirisen kaavan joka selitti spektriviivat hämmästyttävän tarkasti 1 ( 1 λ = R H 4 1 ) n 2 R H = m (Rydbergin vakio vedylle) Empiirinen kaava: taustalla ei teoriaa se ei selitä miksi se toimii
11 Atomimallien historia Thomsonin rusinapullamalli v Elektronit rusinoina positiivisen varauksen muodostamassa pullassa Rutherfordin atomimalli v Elektronit kiertävät positiivista atomiydintä Bohrin malli v Elektronit kiertävät positiivista atomiydintä stationaarisilla radoilla Kvanttimekaaninen malli v Nyt käsiteltävä malli, jossa elektronin energia tilalla n me 4 1 E n = 2(4πɛ 0 ) 2 2 n = ev 1 n 2 n = 1, 2, 3,...
12 Vedyn energia ja Balmerin havainnot Stationaarisilla tiloilla vety voi luovuttaa tai ottaa vastaan energiaa, vain jos energia on suurudeltaan E: Jos E fotonista me 4 ( 1 E = E atom,i E atom,f = 2(4πɛ 0 ) 2 2 ni 2 1 n 2 f ) hf = hc λ = me 4 ( 1 2(4πɛ 0 ) 2 2 ni 2 1 ) nf 2 1 λ = me 4 ( 1 2(4πɛ 0 ) 2 2 hc nf 2 1 ) ni 2 Sopii täysin Balmerin havaintoihin, kun n f = 2 = R H ( 1 n 2 f 1 n 2 i )
13 Vedyn spektriviivasarjat 13.6 ev vedyn ionisaatioenergia Lymanin sarja n f = 1 Balmerin sarja n f = 2 Paschenin sarja n f = 3
14 Kvanttikaivo kolmessa ulottuvuudessa Vedyn spektriviivat Vetyatomin aaltofunktiot
15 Vetyatomi Vetyatomi = protoni ja elektroni -pari, joita pitää koossa Coulombin potentiaali Systeemin Hamiltonin funktio 2 2m p 2 p 2 2m e 2 e 1 4πɛ 0 e 2 r p r e Esitetään protoni ja elektroni systeemin massakeskipisteen koordinaatin (cm) ja vektorin r = r p r e avulla, jotta saadaan 2 2m 2 cm 2 2µ 2 e2 4πɛ 0 r (m = m p + m e, µ = m pm e m p + m e (redusoitu massa)) Elektronin suhteellista liikettä kuvaava Schrödingerin yhtälö on siten 2 2µ 2 φ( r) e2 φ( r) = Eφ( r) 4πɛ 0 r
16 Vetyatomi µ = m pm e m p + m e 2 2µ 2 φ( r) e2 φ( r) = Eφ( r) 4πɛ 0 r Koska protoni on 2000-kertaa massiivisempi kuin elektroni, redusoitu massa on käytännössä sama kuin elektronin massa Coulombin potentiaalissa paikkavektori r = x 2 + y 2 + z 2 nimittäjässä ikävä käsitellä Käytetään muita koordinaatistoja Normitusta varten tarvitaan integraali ψ( r) 2 dv = 1 Differentiaalielementin määritelmä dv vaihtelee koordinaatistosta toiseen
17 Karteesinen ja sylinterikoordinaatisto z dz (x, y, z) r dy dx y x Tilavuuselementti dv = dx dy dz (x, y, z) = (ρ, φ, z) φ ρ r dz dφ y ρ dφ Tilavuuselementti dv = ρ dρ dφ dz z x dρ
18 Pallokoordinaatisto (x, y, z) = (r, θ, φ) r sin θ z θ φ r dr x r dθ dθ y dφ r sin θ dφ Tilavuuselementti dv = r 2 sin θ dr dθ dφ
19 Schrödingerin yhtälön separointi 2 2µ 2 φ( r) e2 φ( r) = Eφ( r) 4πɛ 0 r Coulombin potentiaalin suuruus riippuu elektronin etäisyydestä protonista pallokoordinaatisto on paras valinta Tässä koordinaatistossa 1 [ 2µ r 2 r 2 ( r 2 ) + 1 r sin θ ( sin θ ) + 1 θ θ 2 ] sin 2 ψ(r, θ, φ) θ φ 2 + U(r)ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ) Separoidaan yhtälö yritteellä ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ) (luentoharjoitus)
20 Kolme yhtälöä Separoinnin tuloksena saadaan yhtälöt: Atsimuuttiyhtälö Polaariyhtälö Radiaaliyhtälö 2 Φ(φ) = φ 2 ml 2 Φ(φ) sin θ ( sin θ Θ(θ) ) C sin 2 θ Θ(θ) = ml 2 θ θ Θ(θ) d ( r 2 )R(r) 2µr 2 (E U) R(r) = C R(r) dr r 2 missä C ja m l ovat separointivakiot Samankaltaiset yhtälöt tulevat vastaan myös sähkömagneettisessa teoriassa, esim antennien säteilykuvioiden yhteydessä
21 Atsimuuttiyhtälö 2 Φ(φ) = m 2 φ 2 l Φ(φ) Hiukkanen kiekolla Kuvaa elektronin liikettä r-säteisellä kiekolla Ratkaisuna saadaan Φ(φ) = A e imlφ + B e im lφ Luentoharjoituksena reunaehdot, eli m l :n kvantittuminen Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 7
22 Atsimuuttiyhtälö 2 Φ(φ) = m 2 φ 2 l Φ(φ) Hiukkanen kiekolla Kuvaa elektronin liikettä r-säteisellä kiekolla Ratkaisuna saadaan Φ(φ) = A e imlφ + B e im lφ Luentoharjoituksena reunaehdot, eli m l :n kvantittuminen Vinkki 1: Miten varmistetaan aaltofunktion jatkuvuus ympäri kiekkoa mentäessä? Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 7
23 Atsimuuttiyhtälö 2 Φ(φ) = m 2 φ 2 l Φ(φ) Hiukkanen kiekolla Kuvaa elektronin liikettä r-säteisellä kiekolla Ratkaisuna saadaan Φ(φ) = A e imlφ + B e im lφ Luentoharjoituksena reunaehdot, eli m l :n kvantittuminen Vinkki 1: Miten varmistetaan aaltofunktion jatkuvuus ympäri kiekkoa mentäessä? Vinkki 2: Aaltofunktion täytyy toistua 2π välein Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 7
24 Atsimuuttiyhtälö 2 Φ(φ) = m 2 φ 2 l Φ(φ) Hiukkanen kiekolla Kuvaa elektronin liikettä r-säteisellä kiekolla Ratkaisuna saadaan Φ(φ) = A e imlφ + B e im lφ Luentoharjoituksena reunaehdot, eli m l :n kvantittuminen Vinkki 1: Miten varmistetaan aaltofunktion jatkuvuus ympäri kiekkoa mentäessä? Vinkki 2: Aaltofunktion täytyy toistua 2π välein Vinkki 3: A e imlφ + B e imlφ = A e imlφ e 2πim l + B e imlφ e 2πim l Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 7
25 Atsimuuttiyhtälö 2 Φ(φ) = m 2 φ 2 l Φ(φ) Hiukkanen kiekolla Kuvaa elektronin liikettä r-säteisellä kiekolla Ratkaisuna saadaan Φ(φ) = A e imlφ + B e im lφ Luentoharjoituksena reunaehdot, eli m l :n kvantittuminen Vinkki 1: Miten varmistetaan aaltofunktion jatkuvuus ympäri kiekkoa mentäessä? Vinkki 2: Aaltofunktion täytyy toistua 2π välein Vinkki 3: A e imlφ + B e imlφ = A e imlφ e 2πim l + B e imlφ e 2πim l Vastaus: valitaan B = 0 ja m l = 0, ±1, ±2,... Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 7
26 Atsimuuttiyhtälö ja elektronin liikemäärämomentti L m l :n etumerkit kuvaavat elektronin pyörimistä eri suuntiin Miten? Tarkastellaan elektronin liikemäärämomenttia (myös kulmaliikemäärä, engl. angular momentum) systeemin massakeskipisteen suhteen Klassisesti L = r p, josta saadaan komponentti Lz = xp y yp x ( Operaattorikielellä: ˆLz = (ˆxˆp y ŷˆp x ) = i x y y ) = i x φ Kun tämä operoi edelliseen aaltofunktioon, saadaan ˆL z Φ(φ) = i Φ(φ) φ = m lφ(φ) Mitä tämä tulos tarkoittaa?
27 Liikemäärämomentti L jatkoa Klassisesti L 2 = L 2 = ( r p) ( r p) = r 2 p 2 ( r p) 2 Edelleen p = p 2 = 1 r 2 ( r p)2 1 r L 2 2, mistä seuraa E = 1 2µ p2 + U(r) riippuu vain radiaalikoordinaatista Sama tulos pätee myös kvanttimekaniikassa, kun liikemäärämomentti korvataan vastaavalla operaattorilla Liikemäärämomenttioperaattorista ˆLz seuraa [Ĥ, ˆLz ] = 0 ja samalla tavoin [Ĥ, ˆLx ] = [Ĥ, ˆLy ] = 0 Kuitenkin [ˆLx, ˆLy ] = i ˆLz, [ˆLy, ˆLz ] = i ˆLx ja [ˆLz, ˆLx ] = i ˆLy Tämä tarkoittaa sitä, että liikemäärämomentin komponentteja ei voi määrittää yhtäaikaisesti (Heisenberg!) seuraus ainoastaan tehtävän symmetriasta Toisaalta, jos jonkin vektorioperaattorin komponentit noudattavat tällaista syklista kommutaatiorelaatiota, se on liikemäärämomenttioperaattori
28 Polaariyhtälö sin θ θ ( sin θ Θ(θ) θ ) C sin 2 θ Θ(θ) = ml 2 Θ(θ) Hiukkanen pallopinnalla Polaariyhtälö ja atsimuuttiyhtälö kuvaavat yhdessä hiukkasen liikettä pallopinnalla Ajatellaan pallopinta koostuvaksi päällekkäin pinotuista renkaista, joissa jokaisella renkaalla toteutuu äsken johdettu yhtälö Tehtävänä ratkaista polaariyhtälö, joka kuvaa hiukkasen liikettä renkaalta toiselle Ratkaisuna saadaan [ 2l + 1 Θ(θ) = 2 (l m l )! (l + m l )! ] 1 2 P m l l (cos θ) missä C = l(l + 1), P m l l (z) on Legendren liittofunktio, orbitaalikvanttiluku l = 0, 1, 2,... ja magneettikvanttiluku m l = 0, ±1, ±2,..., ±l (lisää luvussa 8) Yleensä merkitään lisäksi Y lml (θ, φ) = Θ lml (θ)φ ml (φ) palloharmoninen funktio
29 Liikemäärämomentin kvantittuminen Kaksi kvanttilukua: l ja m l Magneettikvanttiluku m l määrää liikemäärämomenttioperaattorin z-komponentin L z Orbitaalikvanttiluku l määrää liikemäärämomenttioperaattorin L, koska ˆL 2 Y lml = C 2 Y lml = l(l + 1) 2 Y lml joten L = l(l + 1), l = 0, 1, 2,... Miten on mahdollista että l = 0? Miten partikkeli voi olla ilman liikemäärämomenttia keskeisvoiman piirissä? Polaariyhtälö rajoittaa m l suurimman arvon l:ksi, aiemmin ei ylärajaa L ja L z ovat samaa vektoria, mutta L z,max = l < L. Mitä se tarkoittaa? Mitä tapahtuisi jos ne olisivat yhtä suuret?
30 Mikä ihmeen z-suunta? z-suunnan valinta on pallosymmetrisessä tapauksessa mielivaltainen! Schrödingerin yhtälön ratkaisu kvantittaa liikemäärämomentin suuruuden L ja yhden sen komponenteista Muiden komponenttien yhtäaikainen tietäminen rikkoo Heisenbergin epätarkkuusperiaatetta Myöskään ei voida kehittää koejärjestelyä, joka mittaisi kaikki liikemäärämomentin komponentit (Miksi?) Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 7
31 Mikä ihmeen z-suunta? z-suunnan valinta on pallosymmetrisessä tapauksessa mielivaltainen! Schrödingerin yhtälön ratkaisu kvantittaa liikemäärämomentin suuruuden L ja yhden sen komponenteista Muiden komponenttien yhtäaikainen tietäminen rikkoo Heisenbergin epätarkkuusperiaatetta Myöskään ei voida kehittää koejärjestelyä, joka mittaisi kaikki liikemäärämomentin komponentit (Miksi?) Ilman ulkoisesti määriteltyä z-akselia, ei ole järkevää puhua suunnista Esim ulkoinen sähkömagneettinen kenttä voi määritellä tämän akselin Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 7
32 Radiaaliyhtälö d ( r 2 dr r )R(r) 2µr 2 (E U) R(r) = l(l 1) R(r) 2 Monimutkainen ratkaisu (detaljeja esim. Arfken & Weber: Mathematical Methods for Physicists) Jotta ratkaisu olisi fysikaalinen, vakioiden arvot rajattu Ratkaisu on Laguerren liittofunktio (engl. associated Laguerre function) [( 2 ) 3 (n l 1)! ] 1 ( 2 2r ) ll 2l+1 R(r) = na 0 2n[(n + l)!] 3 na n+l (2r/na 0) e r na 0, 0 missä pääkvanttiluku n = 1, 2, 3,... ja l = 0, 1, 2,..., n 1 ja a 0 = 4πɛ 0 2 säde) m e e 2 (Bohrin Kokonaisratkaisu on atsimuutti-, polaari- ja radiaaliyhtälöiden tulo (normitus valmiina)
33 Vedyn aaltofunktioita l, ml Y lml (θ, φ) 1 0, 0 4π 3 1, 0 4π cos θ 3 ±iφ 1, ±1 sin θ e 8π 5 2, 0 16π (3 cos2 θ 1) 15 ±iφ 2, ±1 cos θ sin θ e 8π 15 2, ±2 32π sin2 θ e ±2iφ n, l R nl (r) 1 1, 0 (a 0 ) 3/2 2 e r/a 0 1 ( 2, 0 (2a 0 ) 3/2 2 1 r ) 2a 0 1 r 2, 1 e r/2a 0 (2a 0 ) 3/2 3a0 e r/2a 0
34 Atomiorbitaalit ja spektroskooppinen notaatio Yhden elektronin aaltofunktioita nimitetään atomiorbitaaleiksi Historiallisesti atomiorbitaalit on luetteloitu seuraavasti Numero kertoo pääkvanttiluvun arvon, kirjaimet s, p, d, f, g, h kertovat orbitaalikvanttiluvun arvon Esimerkiksi vedylle 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d jne.
35 Vedyn elektronin sijainti Todennäköisyysjakauma levittynyt pitkin avaruutta s-tilat ovat pallosymmetrisia, p-tilat tuovat orbitaaleihin tason, joissa elektroni ei voi olla ja d-tilat 2 tasoa l 0 -tiloilla todennäköisyystiheys häviää origossa (miksi?) Radiaalisuunnassa todennäköisyystiheys P(r) = r 2 R 2 (r) r 2 (r n 1 e r/na 0 ) 2 = r 2n e 2r/na 0 Radiaalisuunnan todennäköisyystiheyden maksimiarvo on etäisyydellä r max = n 2 a 0 kun l = n 1 Orbitaalin säde kasvaa pääkvanttiluvun toiseen potenssiin verrannollisesti ja Bohrin säde a 0 kertoo vetyatomin suuruusluokan
36 Kvanttiluvut, energia ja degeneraatio Vedyn elektronia kuvaa kolme kvanttilukua: pääkvanttiluku n = 1, 2,..., orbitaalikvanttiluku l = 0, 1, 2,..., n 1 ja magneettikvanttiluku m l = 0, ±1, ±2,..., ±l me 4 1 Energia E n = 2(4πɛ 0 ) 2 2 n 2 kaikille (n, l, m l )-yhdistelmille Ainoastaan pääkvanttiluku n vaikuttaa energiaan! kaikki muut tilat kuin perustila degeneroituneita joten degeneraatio verrannollinen n 2 m l vaikutus selvä, (L z = m l ) ei vaikuta energiaan L = l(l + 1) verrannollinen liikemäärämomenttivektorin suuruuteen, miksi se ei vaikuta energiaan?
37 Kvanttiluvut, energia ja degeneraatio Vedyn elektronia kuvaa kolme kvanttilukua: pääkvanttiluku n = 1, 2,..., orbitaalikvanttiluku l = 0, 1, 2,..., n 1 ja magneettikvanttiluku m l = 0, ±1, ±2,..., ±l me 4 1 Energia E n = 2(4πɛ 0 ) 2 2 n 2 kaikille (n, l, m l )-yhdistelmille Ainoastaan pääkvanttiluku n vaikuttaa energiaan! kaikki muut tilat kuin perustila degeneroituneita joten degeneraatio verrannollinen n 2 m l vaikutus selvä, (L z = m l ) ei vaikuta energiaan L = l(l + 1) verrannollinen liikemäärämomenttivektorin suuruuteen, miksi se ei vaikuta energiaan? Yleisessä tapauksessa se vaikuttaa! Syy on potentiaalin muodossa (vrt. gravitaatio ja ratojen elliptisyys)
38 Kvanttiluvut, energia ja degeneraatio Vedyn elektronia kuvaa kolme kvanttilukua: pääkvanttiluku n = 1, 2,..., orbitaalikvanttiluku l = 0, 1, 2,..., n 1 ja magneettikvanttiluku m l = 0, ±1, ±2,..., ±l me 4 1 Energia E n = 2(4πɛ 0 ) 2 2 n 2 kaikille (n, l, m l )-yhdistelmille Ainoastaan pääkvanttiluku n vaikuttaa energiaan! kaikki muut tilat kuin perustila degeneroituneita joten degeneraatio verrannollinen n 2 m l vaikutus selvä, (L z = m l ) ei vaikuta energiaan L = l(l + 1) verrannollinen liikemäärämomenttivektorin suuruuteen, miksi se ei vaikuta energiaan? Yleisessä tapauksessa se vaikuttaa! Syy on potentiaalin muodossa (vrt. gravitaatio ja ratojen elliptisyys) Jos tilanteessa olisi useita elektroneja, niiden vuorovaikutus sekoittaisi potentiaalin muodon ja l-degeneraatio poistuisi
39 Vetymäiset atomit Saaduissa ratkaisuissa keskeistä oli potentiaalin muoto U(r) = 1 e 2 4πɛ 0 r Vedynkaltaiset atomit ovat sellaisia, joilla Z kpl protoneja mutta vain yksi elektroni Tällöin potentiaali on muotoa U(r) = 1 Ze 2 4πɛ 0 r muuten aaltofunktiot ja ratkaisut ovat samoja Esimerkiksi kerran ionisoitu helium on vedynkaltainen atomi Lisäesimerkki kvanttipiste (Harrisin kirja s. 267)
Kvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
Lisätiedot3.1 Varhaiset atomimallit (1/3)
+ 3 ATOMIN MALLI 3.1 Varhaiset atomimallit (1/3) Thomsonin rusinakakkumallissa positiivisesti varautuneen hyytelömäisen aineen sisällä on negatiivisia elektroneja kuin rusinat kakussa. Rutherford pommitti
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotSpin ja atomifysiikka
Spin ja atomifysiikka Harris luku 8 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Lämmittelykysymys Pohdi parin kanssa 5 min Kysymys Atomin säde on epämääräinen käsite. Miksi?
LisätiedotAineen aaltoluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 4. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Aineen aaltoluonne Harris luku 4 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen
LisätiedotLuku 10: Atomien rakenne ja spektrit. Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit
Luku 10: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit 1 n 1 = 3 n 1 = 4 n 1 = 2 n 1 =1 Vetyatomin spektri koostuu viivoista Viivojen sijainti
LisätiedotLuento Atomin rakenne
Luento 10 5. Atomin rakenne Vetatomi Ulkoisten kenttien aiheuttama energiatasojen hajoaminen Zeemanin ilmiö Elektronin spin Monen elektronin atomit Röntgensäteiln spektri 1 Schrödingerin htälö kolmessa
Lisätiedot8. MONIELEKTRONISET ATOMIT
8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8.1. ELEKTRONIN SPIN Epärelativistinen kvanttimekaniikka selittää vetyatomin rakenteen melko tarkasti, mutta edelleen kokeellisissa atomien energioiden mittauksissa oli selittämättömiä
LisätiedotLuku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
Lisätiedot2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)
Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotJohdantoa. 0.1 Mustan kappaleen säteily. Musta kappale (black body): Kvanttimekaniikka. Wienin siirtymälaki jakautuman maksimille on
MNQT, sl 2015 1 MNQT, sl 2015 2 Johdantoa Kvanttimekaniikka tarvittiin selittämään uusia kokeellisia havaintoja korvaa Newtonin yhtälön Schrödingerin yhtälöllä, joka on tavallaan pienten hiukkasten "liikeyhtälö"
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
LisätiedotAtomien rakenteesta. Tapio Hansson
Atomien rakenteesta Tapio Hansson Ykköskurssista jo muistamme... Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Demokritos päätteli alunperin, että jatkuva aine ei voi koostua äärettömän pienistä alkeisosasista
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotFysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1
Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1 Wienin siirtymälaki: T λ max = 0.2898 cm K (1) Stefan Boltzmanin laki: M = σt 4 σ = 5.67 10 8 W m 2 K 4 (2) Planckin jakauma ρ = 8πkT λ 4 ( 1 ) e hc/λkt 1 (3)
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotKVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotTilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy
z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
Lisätiedotkolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
Lisätiedot( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V
Kenttäteorian matemaattisia apuneuvoja 4..7. Gaussin ja Stokesin lauseet V S ds A = dl A = V S A dv, =, tai ) ds ) A ). Greenin kaavat I : II : 3. Diracin deltafunktio 4. Vektorilaskentaa V V ψ ξ dv +
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus 1 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka: Harjoitus Ratkaisut Tehtävä i) Isotoopeilla on sama määrä protoneja, eli sama järjestysluku Z, mutta eri massaluku A. Tässä isotooppeja keskenään ovat 9 30 3 0 4Be ja 4 Be, 4Si,
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotAtomimallit. Tapio Hansson
Atomimallit Tapio Hansson Atomin käsite Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Filosofi Demokritos päätteli (n. 400 eaa.), että äärellisen maailman tulee koostua äärellisistä, jakamattomista hiukkasista
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
Lisätiedotja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005
LisätiedotMatematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4!
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo 16.00 (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4! Tämä laskuharjoitus ei ole pakollinen, eikä sen pisteitä
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotLuku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Vibraatio eli värähdysliike Rotaatio eli pyörimisliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
Lisätiedot2. Fotonit, elektronit ja atomit
Luento 4 2. Fotonit, elektronit ja atomit Valon kvanttiteoria; fotoni Valosähköinen ilmiö ja sen kvanttiselitys Valon emissio ja absorptio Säteilyn spektri; atomin energiatasot Atomin rakenne Niels Bohrin
LisätiedotSidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja
Lisätiedot6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:
6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotTeddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011
Teddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011 1. Dipolimomentti voidaan määritellä pistevarauksille seuraavan vektoriyhtälön avulla: µ = q i r i, (1) i missä q i on i:nnen varauksen suuruus ja r i = (x
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotATOMIN KVANTTIMEKAANINEN MALLI...133
ATOMIN KVANTTIMEKAANINEN MALLI...133 4.1 Johdanto...133 4. Atomin ydinmallin kehittyminen...134 4.3 Rutherfordin sironta...136 4.4 Rutherfordin sironnan kulmariippuvuus...138 4.5 Makroskooppisen vaikutusalan
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
LisätiedotKäytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin.
1.2 Elektronin energia Käytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin. -elektronit voivat olla vain tietyillä energioilla (pääkvanttiluku n = 1, 2, 3,...) -mitä kauempana
Lisätiedot766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013
766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9
LisätiedotLuento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami
LisätiedotAineen ja valon vuorovaikutukset
Aineen ja valon vuorovaikutukset Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tutkitaan aineen ja valon vuorovaikutuksia Ensiksi tutustutaan häiriöteoriaan, jonka
LisätiedotAtomimallit. Tapio Hansson
Atomimallit Tapio Hansson Atomin käsite Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Filosofi Demokritos päätteli (n. 400 eaa.), että äärellisen maailman tulee koostua äärellisistä, jakamattomista hiukkasista
LisätiedotKvanttimekaniikan perusteet
Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys
LisätiedotKEMIAN MIKROMAAILMA, KE2 Kvanttimekaaninen atomimalli
KEMIAN MIKROMAAILMA, KE2 Kvanttimekaaninen atomimalli Aineen rakenteen teoria alkoi hahmottua, kun 1800-luvun alkupuolella John Dalton kehitteli teoriaa atomeista jakamattomina aineen perusosasina. Toki
Lisätiedot9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit
9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /
M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43
LisätiedotLuento5 8. Atomifysiikka
Atomifysiikka Luento5 8 54 Kvanttimekaniikan avulla ymmärrämme atomin rakenteen ja toiminnan. Laser on yksi esimerkki atomien ja valon kvanttimekaniikasta. Luennon tavoite: Oppia ymmärtämään atomin rakenne
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
Lisätiedot(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:
7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan
Lisätiedotkertausta Esimerkki I
tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin
LisätiedotS Fysiikka III (Est) 2 VK
S-37 Fysiikka III (Est) VK 500 Tarkastellaan vedyn p energiatasoa a) Mikä on tämän tason energia Bohrin mallissa? b) Oletetaan että spinratavuorovaikutus voidaan jättää huomiotta Kirjoita kaikki tähän
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotTodennäköisyys ja epämääräisyysperiaate
Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotLuento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa
Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotS Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe
S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2002
Elektrodynamiikka, kevät 2002 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä muita pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Tähän on korjattu sellaiset painovirheet ja epämääräisyydet, joista voi olla
Lisätiedot