Nyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),
|
|
- Yrjö Haavisto
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien aaltofunktiot ovat naapuri-ionien kohdalla lähes nollia. naapuri-atomeihin liittyvät elektronien aaltofunktiot overlappaavat kuitenkin niin paljon, että on tarpeen korjata eristettyjen atomien kuvaa. Tähän tapaukseen sopiva menetelmä on ns. tiukan sidoksen malli (tight binding method). Yleinen formalismi Oletetaan, että jokaisen hilapisteen läheisyydessä todellista periodista Hamiltonin operaattoria H voidaan aproksimoida hilapisteeseen lokalisoituneen yksittäisen atomin Hamiltonilla H at. origossa sijaitsevan atomin sidottujen tilojen aaltofunktiot ψ n, H at ψ n E n ψ n, ovat lokalisoituneet, ts. ψ n (r) on hyvin pieni, kun r on suurempi kuin hilapisteiden välimatka. Sanotaan, että aaltofunktion ψ n kantama on hilavakion (naapurihilapisteiden välinen etäisyys) suuruusluokkaa. Jos hilan Hamilton H eroaa atomaarisesta Hamiltonista H at vasta aaltofunktion ψ n (r) kantaman ulkopuolella, niin ψ n (r) on ilmeisestikin erinomaisella tarkkuudella myös Hamiltonin H ominaisarvoon E n liittyvä ominaistila. Tällöin Hamiltonin H periodisuudesta johtuen myös funktiot ψ n (r ), kun on mielivaltainen hilapiste, ovat sen ominaistiloja. Korjataan yo. tiukasti lokalisoitunutta tapausta kirjoittamalla H H at + U(r), missä korjaus U(r) pitää huolen mm. siitä, että Hamilton H noudattaa hilan periodisuutta. Olkoon ψ n (r) atomaarinen aaltofunktio, ts. H at ψ n E n ψ n. Jos nyt U(r) on nolla aina kun ψ n (r) on nollasta poikkeva, niin ψ n (r), samoin kuin jokainen ψ n (r ), on ominaisarvoon E n liittyvä Hamiltonin H ominaistila, ts. energiataso E n on -kertaisesti degeneroitunut ( on hilapisteiden lukumäärä). Periodisessa potentiaalissa aaltofunktion ψ tulee toteuttaa Blochin teoreema ψ(r + ) e ik ψ(r). Muodostetaan degeneroituneista tiloista superpositio yt ψ nk (r + ) e ik ψ n (r + ) e ik [ e ik ( ) ψ n (r + ) e ik [ e ik ψ nk (r), e ik ψ n (r ) joten ψ nk (r) toteuttaa Blochin teoreeman. Hamiltonin H ominaisarvot E n (k) ovat yksinkertaisesti atomitasojen energiat E n, ts. riippumattomia aaltovektorista k. Oletetaan nyt, että atomaarinen aaltofunktio ψ n (r) ei täysin häviä siellä, missä U(r) alkaa poiketa nollasta. Kirjoitetaan kiteen aaltofunktio edelleen muotoon ψ(r) e ik φ(r ), Jos U(r)ψ n (r) on hyvin pieni, niin φ(r) poikkeaa vain vähän stationäärisestä atomaarisesta aaltofunktiosta ψ n (r). Kehitetään φ(r) atomaaristen tilojen superpositiona, kuten φ(r) n b n ψ n (r). Otetaan puolittain skalaaritulo Schrödingerin yhtälön Hψ(r) (H at + U(r))ψ(r) E(k)ψ(r) ja tilan ψ m (r) välillä: ψm(r)hψ(r) dr ψm(r)h at ψ(r) dr + ψm(r) U(r)ψ(r) dr E m ψm(r)ψ(r) dr + ψm(r) U(r)ψ(r) dr E(k) ψm(k)ψ(r) dr. ähdään, että (E(k) E m ) ψm(r)ψ(r) dr ψm(r) U(r)ψ(r) dr. Sijoitetaan tähän funktion ψ(r) kehitelmä ψ(r) e ik φ(r ) ] ] ψ nk (r) e ik ψ n (r ). e ik b n ψ n (r ), n
2 ja huomataan, että tilojen ψ n (r) ortonormaalisuuden perusteella yhtälön vasemmalla puolella esiintyväksi termiksi saadaan ψm(r)ψ(r) dr e ik b n ψm(r)ψ n (r ) dr n b n ψm(r)ψ n (r) dr n + b n e ik ψm(r)ψ n (r ) dr n 0 n + n b n δ mn Saamme siis ψ m(r)ψ(r) dr b m + n b n e ik ψm(r)ψ n (r ) dr. 0 b n e ik ψm(r)ψ n (r ) dr. 0 Yhtälön oikea puoli voidaan myös hajottaa samoin kahdeksi termiksi: ψm(r) U(r)ψ(r) dr e ik b n ψm(r) U(r)ψ n (r ) dr n b n ψm(r) U(r)ψ n (r) dr n + b n e ik ψm(r) U(r)ψ n (r ) dr. n 0 Asettamalla vasen ja oikea puoli yhtäsuuriksi saadaan (E(k) E m )b m (E(k) E m ) n b n 0 eik ψm(r)ψ n (r ) dr + n b n ψ m U(r)(r)ψ n (r) dr + n b n 0 eik ψm(r)ψ n (r ) dr. Olettamusten mukaan atomaariset tilat ovat hyvin lokalisoituja, joten tulot ψ m(r)ψ n (r ), 0, ovat pieniä. Täten yhtälön oikean puolen ensimmäinen ja kolmas termi ovat ykköseen verrattuna häviävän pieniä. Toisessa termissä esiintyvä tulo ψ m(r) U(r)ψ n (r) on myös pieni, sillä U(r) olettiin pieneksi aaltofunktioiden kantaman alueella. Kaiken kaikkiaan yhtälön oikea puoli on siis lähes nolla, eli (E(k) E m )b m 0. Tämän yhtälön ratkaisut ovat E(k) E m, b n 0 kun n m. (1) Kiinnitetään aaltovektori k ja oletetaan, että yhtälöiden (1) oikean puolen termit ovat pieniä. Oletetaan edelleen, että atomiset energiatasot E 0, E 1,..., E M 1 ovat lähes degeneroituneita. Tällöin yhtälöt kytkevät toisiinsa atomaariset tilat ψ 0, ψ 1,..., ψ M 1, sillä korjattu energia E poikkeaa vain vähän degeneroituneista energioista E i. koska b m 1 E E m, ovat kertoimet b m häviävän pieniä silloin, kun m M. oikean puolen summaukset voidaan rajoittaa vain lähes degeneroituneisiin tiloihin. Korjatut energiat E(k) ovat näiden yhtälöiden ominaisarvot ja superpositiokertoimet b m (k) vastaavien ominaisvektorien komponentit. Esim. atomaarinen s-tila degeneroitumattomana johtaa yhteen yhtälöön ja atomaarinen p-tila kolmikertaisesti degeneroituneena kolmen yhtälön ryhmään. Huom. Jos osoittautuu, että E(k) poikkeaakin huomattavsti alkuperäisistä energioista E i, on yhtälöryhmään otettava mukaan myös ne atomaariset energiatasot, joita E(k) lähestyy. Esim. transitiometalleilla uloimman s-kuoren tila ja osittain täytetyn d-kuoren tilat sekoittuvat: sanotaan, että kyseessä on s-d-sekoitus. Atomisesta s-tilasta aiheutuva s-vyö Oletetaan, että on tarpeen korjata ainoastaan yksittäistä atomista s-tilaa φ(r). Yhtälöryhmä (1) supistuu tällöin yhdeksi yhtälöksi. Kun merkitään β dr U(r) φ(r) 2, ja α() dr φ (r)φ(r ) γ() se voidaan kirjoittaa muotoon (E(k) E s ) Tästä saadaan energiaksi yt dr φ (r) U(r)φ(r ), (E(k) E s ) 0 e ik α() β 0 e ik γ(). E(k) E s β + 0 eik γ() eik α().
3 s-tilan aaltofunktiona φ(r) on reaalinen ja riippuu ainostaan vektorin r pituudesta r. Tällöin myös α() on reaalinen ja lisäksi inversiosymmetrinen, ts. α() α( ). Bravais n hilan inversiosymmetriasta johtuen täytyy termin U(r) toteuttaa ehto U(r) U( r), joten myös γ() γ( ). termit β, α ja γ ovat oletusten mukaan pieniä. Tällöin nimittäjässä olevan termin α aiheuttama dominoiva kontribuutio energiaan on (β + γ())α( ), eli ensimmäisessä aproksimaatiossa voidaan asettaa α 0. termin γ() overlap-integraali on sitä pienempi mitä kauempana hilapiste on origosta. Voidaan siis rajoittaa summaukset vain lähimpiin naapureihin. Energiaksi saadaan tällöin E(k) E s β l.n. γ() cos k, missä l.n. tarkoittaa summausta yli lähimpien naapurien. Tarkastellaan esimerkkinä fcc-kidettä. Origon lähimmät 12 naapuria ovat a 2 (±1, ±1, 0), a 2 (±1, 0, ±1), a (0, ±1, ±1). 2 Jos kirjoitetaan komponenteittain k (k x, k y, k z ), niin skalaaritulon k vastaavat 12 arvoa ovat k a 2 (±k i ± k j ), i, j x, y; y, z; z, x. Potentiaalikorjaus U(r) noudattaa hilan symmetriaa ja niin ollen myös kuutiollista symmetriaa. Siten U(r) U(x, y, z) on symmetrinen argumenttiensa permutoinnin ja merkkien vaihdon suhteen. Koska s-tilan aaltofunktiona φ(r) riippuu ainoastaan itseisarvosta r, on γ() saman suuruinen kaikissa lähinaapuripisteissä. Merkitään symbolilla γ tätä yhteistä arvoa: γ dr φ (x, y, z) U(x, y, z)φ(x 1 2 a, y 1 a, z). 2 Energia voidaan nyt kirjoittaa muotoon E(k) E s β 4γ(cos 1 2 k xa cos 1 2 k ya + cos 1 2 k ya cos 1 2 k za + cos 1 2 k za cos 1 2 k xa). Tästä nähdään tiukan sidoksen energiavöille ominainen piirre: vyön leveys (bandwidth) eli vyön maksimi- ja minimienergian erotus on verrannollinen pieneen overlap-integraaliin γ: mitä pienempi overlap sitä kapeampi vyö. Jos hilan atomit ovat täysin eristettyjä, overlap-integraali häviää ja vyön leveys kutistuu nollaksi. Energiat E(k) ovat tällöin -kertaisesti degeneroituneita ( on atomien tai hilapisteiden lukumäärä) ja niiden suuruus on sama kuin atomininen energia E s. Yleisiä huomioita 1. Käytännössä tiukan sidoksen menetelmää sovelletaan useampaan kuin yhteen atomiseen energiatasoon: p-tiloihin, d-tiloihin jne. 2. Vyön leveys tulee yleensä olemaan verrannollinen overlap-integraaleihin γ ij () dr φ i (r) U(r)φ j (r ). Jos suureet γ ij ovat pieniä, on energiavyö vastaavasti kapea. Koska yleensä atomitason energian kasvaessa vastaavan aaltofunktion kantama kasvaa, ovat kiteen alemmat energiavyöt kapeampia kuin ylemmät. Metallin atomien ylimpien energiatilojen aaltofunktioiden kantama on atomien välimatkan suuruusluokkaa, joten vastaavasti ylimmät energiavyöt ovat hyvin leveitä. Tällöin tiukan sidoksen menetelmä ei enää välttämättä ole käyttökelpoinen. 3. Vaikka tiukan sidoksen aaltofunktio ψ(r) e ik φ(r ) on konstruoitu lokalisoiduista atomisista aaltofunktioista φ(r), löytyy tässä tilassa oleva elektroni täsmälleen yhtä suurella todennäköisyydellä mistä tahansa hilan alkeiskopista: siirryttäessä alkeiskopista toiseen argumentti muuttuu määrällä, hilavektori, ja aaltofunktio saa vaiheen e ik itseisarvon säilyessä ennallaan. Aaltofunktion ψ reaali- ja imaginääriosien verhokäyrät oskilloivat sinusoidisesti. 4. Tiukan sidoksen menetelmä on yleistettävissä myös sellaisiin kiderakenteisiin, jotka eivät muodosta yksiatomista Bravais n hilaa. Atomitilat voidaan esim. korvata molekylaarisilla tiloilla. Diskreetti malli Tarkastellaan nytkin degeneroitumatonta atomaarista tilaa φ(r). Hilapisteeseen lokalisoituneen elektronin aaltofunktio φ (r) on silloin φ (r) φ(r ). Oletetaan elektronien sitoutuneen ioneihinsa niin tiukasti, että eri hilapisteisiin lokalisoituneiden elektronien aaltofunktiot eivät ulotu toistensa kantamien päälle, ts. että ehto φ (r)φ (r) φ(r )φ(r ) 0, r on voimassa kaikilla. Tällöin voidaan tiloja φ käsitellä ortonormaalisena joukkona, joille on voimassa φ φ dr φ (r)φ (r) dr φ (r )φ(r ) δ. Hieman mukavampaan käsittelyyn päästään ottamalla käyttöön tilamerkintä φ.
4 Hilapisteeseen lokalisoituneen elektronin aaltofunktio on siis Tarkastellaan tilaa φ (r) φ(r ) r r φ. k e ik, missä summaus käy yli kaikkien hilapisteiden ( on pisteiden lukumäärä). Olkoon Φ k (r) vastaava aaltofunktio, ts. Φ k (r) r k. Tila k toteuttaa Blochin ehdon, sillä Φ k (r + ) r + k e ik r + e ik φ (r + ) e ik φ(r + ) e ik +ik φ(r ) e ik e ik φ (r) e ik e ik r e ik r k e ik Φ k (r). ajoitetaan Blochin vektori k (ensimmäiseen) Brillouinin vyöhykkeeseen. Käyttäen hyväksi tasoaaltojen ominaisuuksia e ik δ k,0 e ik δ,0 k on helppo nähdä, että k k δ k,k e ik k. Oletetaan edelleen, että kiteen Hamiltonin H ainoat nollasta poikkeavat matriisielementit ovat U H dr φ (r)hφ (r) t H + δ dr φ ()Hφ +δ (r), missä hilapisteet + δ ovat pisteen lähimmät naapurit. Hamiltonin periodisuudesta johtuen on selvää, että suureet U ja t eivät riipu hilapisteestä. k Yksinkertaisuuden vuoksi oletamme myös, että matriisielementti t on sama kaikille lähinaapureille + δ (aaltofunktiot ja Hamilton ovat suunnasta riippumattomia). Malli on suoraviivaisesti yleistettävissä myös tapaukseen, missä t riippuu lähinaapurista. On ilmeistä, että tilavektorinotaatiossa Hamilton voidaan kirjoittaa muodossa H t + δ + U. δ Tämän kaltaisen Hamiltonin sanotaan olevan Hubbardin muotoa. Tässä ensimmäinen termi kuvaa hyppyjä (hopping) naapuripisteiden välillä ja jälkimmäinen termi elektronin hilapisteessä tuntemaa vuorovaikutusta (on site interaction). Hamiltonin vaikutus tilaan k on H k t + δ + U δ e ik e ik t + δ δ + e ik U t e ik δ +δ, δ +U e ik δ, t e ik δ e ik + U e ik δ t e ik δ + U k, δ ts. k on kiteen Hamiltonin H ominaistila. Vastaava ominaisarvo E(k) on E(k) U + t δ e ik δ. Wannierin funktiot Koska Blochin funktio ψ nk (r) on aaltovektorin k periodinen funktio, se voidaan kirjoittaa sellaisten k-avaruuden tasoaaltojen superpositiona, joiden aaltovektorit ovat käänteishilan käänteishilan vektoreita, ts. ψ nk (r) f n (, r)e i k. Tässä Fourier-komponentit f n (, r) riippuvat paitsi aaltovektoreista myös vektorista r, sillä kutakin vektorin r arvoa kohti kehitetään Fourier n sarjaksi muuttujan k eri funktiota.
5 Fourier-kertoimet saadaan kaavasta f n (, r) 1 v 0 dk e i k ψ nk (r), missä integrointi ulottuu yli ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen ja v 0 on tämän vyöhykkeen tilavuus. Jos on hilavektori, niin Blochin teoreeman perusteella on voimassa f n ( +, r + ) 1 v 0 dk e i k i k ψ nk (r + ) 1 v 0 dk e i k i k e ik ψ nk (r) f n (, r), eli f n (, r) itseasiassa riippuukin vain argumenttiensa erotuksesta r. Kun merkitään f n (, r) φ n (r ), nähdään, että jokainen Blochin funktio voidaan kirjoittaa tiukan sidoksen mallin mukaiseen muotoon ψ nk (r) e ik φ n (r ). Funktioita φ n (r ) sanotaan Wannierin funktioiksi. Toisin kuin tiukan sidoksen atomiset aaltofunktiot φ(r) Wannierin funktiot φ n (r ) ovat ortogonaalisia keskenään: dr φ n(r )φ m (r ) δ nm δ. Wannierin funktiot ovat käyttökelpoisimpia silloin, kun niiden kantama on korkeintaan kiteen atomien välimatkan suuruusluokkaa, ts. muistuttavat tiukan sidoksen aaltofunktioita. Wannierin funktioiden tärkeimmät käyttöalueet ovatkin 1. Blochin elektronien kuljetusteoria. Tällöin kuljetukseen osallistuvia elektroneja käsitellään sekä k:ssa että r:ssä lokalisoituneina aaltopaketteina. 2. lokalisoituihin elektronitiloihin liittyvät ilmiöt, kuten esim. kiteessä esiintyvien atraktiivisten epäpuhtauksien sitomat elektronit. 3. epäpuhtauksiin lokalisoituneet magneettiset momentit.
Vaihdetaan ryhmässä (1) summausindeksiksi K, jolloin saadaan (E E 0 k K 1
Heikot periodiset potentiaalit Useiden metallien (alkuaineryhmissä I, II, III ja IV) johde-elektronit liikkuvat heikossa kiteen ionien muodostamassa potentiaalissa, sillä näillä metalleilla on s- tai p-elektroni
LisätiedotT R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu
Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
Lisätiedotsillä hilassa vaikuttava periodinen potentiaali vaihtelee väleillä, jotka ovat pieniä verrattuna aaltopaketin
Semiklassinen elektronidynamiikka Blochin teoria osoittaa, että metallikiteissä elektronit eivät siroa ioneista (kuten Druden malli olettaa). Metallit eivät kuitenkaan ole täydellisiä johteita, sillä mikään
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotKRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA
KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA Aloita kertaamalla hilan indeksointi niin, että osaat kuutiollisen kiteen tasojen ja suuntien Miller-indeksit. Vektorit määritellään yleisessä muodossa r
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotFononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa
Fononit Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa Atomien lämpövärähtely Mikä on atomien värähtelyn taajuus ja amplitudi? Tarkastellaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotJatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti
LisätiedotValintakoe
Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotLASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä
LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotChem-C2400 Luento 2: Kiderakenteet Ville Jokinen
Chem-C2400 Luento 2: Kiderakenteet 11.1.2019 Ville Jokinen Oppimistavoitteet Metalli-, ioni- ja kovalenttinen sidos ja niiden rooli metallien ja keraamien kiderakenteissa. Metallien ja keraamien kiderakenteen
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotVektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotHomogeeniset puolijohteet Olemme jakaneet kiteet kahteen ryhmään:
Homogeeniset puolijohteet Olemme jakaneet kiteet kahteen ryhmään: metallit ainakin yksi energiavyö on osittain täytetty eristeet energiavyöt ovat joko tyhjiä tai täysiä. Eristeitä karakterisoi nollasta
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedotdx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotVuorovaikuttavat elektronit Tarkastellaan N elektronia kiteessä, jonka struktuuri on jokin Bravais n hila. Koska elektronit vuorovaikuttavat
Vuorovaikuttavat elektronit Tarkastellaan N elektronia kiteessä, jonka struktuuri on jokin Bravais n hila. Koska elektronit vuorovaikuttavat keskenään, on selvää, että tähän saakka käyttämämme yksihiukkaskuva,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
Lisätiedot2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)
Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.
Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotKidehilan perusominaisuudet
Kidehilan perusominaisuudet Kiteen muodostaa hila (usein kutsutaan Bravaisin hilaksi) ja yhdestä tai useammasta atomista muodostuva kanta(klusteri). Kantaklusteri toistuu kiteessä hilan määräämällä tavalla
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotE p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis
763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotKidehilan perusominaisuudet
Kidehilan perusominaisuudet Kiteen muodostaa hila (usein kutsutaan Bravaisin hilaksi) ja yhdestä tai useammasta atomista muodostuva kanta(klusteri). Kantaklusteri toistuu kiteessä hilan määräämällä tavalla
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
Lisätiedot, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,
S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotAstrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut
Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedot