Lisävaatimuksia aaltofunktiolle

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lisävaatimuksia aaltofunktiolle"

Transkriptio

1 Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita Aaltofunktion antama informaatio Tarkastellaan yksidimensionaalista aaltofunktiota ψ(x): HΨ = EΨ H = m d dx +V x ( ) Ratkaisu vapaalle hiukkaselle [V(x) = 0], jonka massa on m: Ψ = Ae ikx + Be ikx ja E = k m

2 Osoitus, että kyseessä on aaltoyhtälön ratkaisu: m d Ψ dx = m d dx ( Ae ikx + Be ikx ) = m # A ik = k m ( ) e ikx + B( ik) e ikx ( Aeikx + Be ikx ) = EΨ $ % Ominaisyhtälö: Ωf = ω f (operaattori)(funktio) = (vakio) x (funktio) ominaisarvo ominaisfunktio Esimerkki Osoita, että e ax on operaattorin d/dx ominaisfunktio. Mikä on sen ominaisarvo? Onko e ax operaattorin d/dx ominaisfunktio? Jos tunnetaan systeemin aaltofunktio ja havaittavaa suuretta vastaava operaattori siten, että aaltofunktio on operaattorin ominaisfunktio, havaittavalle suureelle saadaan arvo yhtälön ominaisarvosta Schrödingerin aaltoyhtälö: (energiaoperaattori)(aaltofunktio) = (energia)x(aaltofunktio) havaittava suure

3 Liikemääräoperaattori Tarkastellaan yksiulotteista tapausta: ˆp = i d dx ˆpΨ = pψ Esimerkki Vapaa hiukkanen V(x) = 0 d Ψ m dx = EΨ Ψ = Aeikx + Be ikx ;E = k m (1) B = 0 Ψ = Ae ikx ˆpΨ = i p = k dψ dx = i A deikx dx = kaeikx Johtopäätökset: - Hiukkanen, jonka aaltofunktio on e ikx, liikkuu +x-suuntaan. - Hiukkanen, jonka aaltofunktio on e -ikx, liikkuu x-suuntaan. - Liikemäärä kummassakin tapauksessa on k. () A = 0 Ψ = Be ikx p = k (3) A = B Ψ = A( e ikx + e ikx ) = Acos x ˆpΨ = i d ( coskx) A dx = ka sinkx i Aaltofunktio ei ole ominaisfunktio

4 Odotusarvo Liikemäärällä ei ole täsmällistä arvoa. Ψ = Ψ + Ψ (1) Jos p mitataan, havaitaan yksi arvo liikemäärälle, joka vastaa tilaa Ψ i. () Havainnon todennäköisyys = c i p = k p = k tod. näk. 50 % tod. näk. 50 % Odotusarvo <Ω>: - suuren havaintojoukon keskiarvo Superpositio: => Ψ = Σc i Ψ i Ω = Ψ * ˆΩΨ dτ Odotusarvoja: (1) Olkoon Ψ Ω:n ominaisfunktio ja ω sen ominaisarvo. => Ω = Ψ * ˆΩΨ dτ = Ψ *ωψ dτ = ω Ψ * Ψ dτ = ω () Olkoon φ = c 1 Ψ 1 + c Ψ (Ψ i on ominaisfunktio operaattorille Ω). Ω = ( c 1 Ψ 1 + c Ψ )* ˆΩ ( c 1 Ψ 1 + c Ψ )dτ = ( c 1 Ψ 1 + c Ψ )*( c 1 ˆΩΨ1 + c ˆΩΨ )dτ = ( c 1 Ψ 1 + c Ψ )*( c 1 ω 1 Ψ 1 + c ω Ψ )dτ = c 1 *c 1 ω 1 Ψ 1 * Ψ 1 dτ + c *c ω Ψ * Ψ dτ + c *c 1 ω 1 Ψ * Ψ 1 dτ + c 1 *c ω Ψ 1 * Ψ dτ Ω = c 1 ω 1 + c ω

5 Esimerkki Laske perustilassa olevan vety-atomin 1s-elektronin keskimääräinen etäisyys ytimestä. (3) Hiukkasen kineettinen energia yhdessä dimensiossa E k = Ψ * Êk Ψ dx = m Ψ * d Ψ dx dx Suuri kontribuutio kineettiseen energiaan, kun dψ /dx on suuri ja kun ψ on suuri.

6 Heisenbergin epätarkkuusperiaate Lähtökohta: Ψ = e ikx p = k Werner Heisenberg Ψ * Ψ = ( Ae ikx ) * ( Ae ikx ) = (Ae ikx )(Ae ikx ) = A => Hiukkasen liikemäärä tiedetään tarkasti, sijaintia ei lainkaan. Epätarkkuusperiaate: Δx Δy Hiukkasen sijaintia ja liikemäärää ei koskaan voida määrittää tarkasti yhtäaikaa. Epätarkkuusperiatteen tulkinta: Epämääräinen sijainti: - Aaltofunktioiden superpositio. - Konstruktiivinen interferenssi. Tarkka sijainti tunnetaan: - Aaltofunktion arvo suuri yhdessä pisteessä, nolla muualla. - Aaltofunktio koostuu äärettömästä määrästä erilaisia aaltofunktioita, joiden liikemäärä on erisuuri.

7 Esimerkki (a) Luodin, jonka massa on 1,0 g, nopeuden epätarkkuus on 10-6 m s -1. Mikä on epätarkkuus luodin sijainnissa? (b) Jos elektronin nopeus tunnetaan samalla tarkkuudella, miikä on epätarkkuus elektronin sijainnissa? Esimerkki Hiukkasen aaltofunktio on Ψ(x) = a π 1/4 e ax missä a on vakio ja - < x <. Osoita, että tulo ΔpΔx on sopusoinnussa Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen kanssa.

8 Komplementaariset havaittavat muuttujat: Muuttujat ovat komplementaarisia, jos seuraava ehto täyttyy: ˆΩ 1 ( ˆΩ Ψ) ˆΩ ˆΩ1 Ψ ( ) Esimerkki Sijainnin ja liikemäärän komplementaarisuus ˆx = x ˆp = i d dx Kommutaattori: ˆΩ 1, ˆΩ = ˆΩ 1 ˆΩ ˆΩ ˆΩ1 ˆxˆpΨ = x i ˆpˆxΨ = i dψ dx d ( xψ) = dx i $ # Ψ + x dψ dx % ' & ˆxˆpΨ ˆpˆxΨ = x i dψ dx i Ψ x dψ dx = i Ψ = i Ψ Relaksaatioaika ja spektriresoluutio Heisenbergin epätarkkuusperiaate: ΔE Δt! ΔνΔt 1 π missä ΔE = epätarkkuus virittyneen tilan energiassa Δν = spektriviivan leveys (resoluutio) Δt = virittyneen tilan elinikä (relaksaatioaika)

9 Esimerkki Elektronispektrit Δt s (lyhyt elinikä) => ΔE 60 kj mol -1 Johtopäätös: - ΔE tilojen välinen energiaero - Vain muutama leveä absorptihuippu spektrissä; ei vähän hienorakennetta Esimerkki NMR - relaksaatioajat yleensä pitkiä - resoluutio yleensä hyvä 1,,3,4,5-Se 5 S :n 77 Se NMR spektri Esimerkki Mikroaaltospektroskopia Relaksaatio riippuu molekyylien keskinäisten törmäyksien välisestä ajasta (~ P) Johtopäätös: - Nesteissä ja liuoksissa ei MWspektriä voi havaita - Molekyylisäteessä parempi resoluutio

10 Schrödingerin aaltoyhtälön ratkaisuja yksinkertaisissa systeemeissä (1) Vapaa elektroni V(x) = 0 d Ψ m dx = EΨ Ψ = Aeikx + Be ikx ;E = k m Ψ*Ψ itsenäinen x- koordinaatista k voi saada minkä tahansa arvon Elektronin sijainti ei ole ennustettavissa Elektronin energia ei ole kvantittunut () Elektroni yksidimensionaalisessa laatikossa 0 < x < L :V(x) = 0; x 0, x L :V(x) = d Ψ m dx = EΨ Ψ = Aeikx + Be ikx ;E = k m => Kaikki ratkaisut eivät ole mahdollisia Reunaehdot: x = 0, Ψ = 0 ja x = L, Ψ = 0 => Ψ = Csinkx + Dcoskx Ψ = Csin nπ x L (n =1,,3,...) Pisteessä x = 0 ja Ψ = 0 => Ψ = C sin kx (C 0, D = 0) Pisteessä x = L ja Ψ = 0 => sin kl = 0 => kl = nπ E n = n π = n h (n =1,,3,...) ml 8mL

11 Normalisointi: Ψ = Csin nπ x L L # C sin nπ x & % (dx = C L $ L ' =1 C = L 0 Aaltofunktion kaarevuus kasvaa ja aallonpituus lyhenee, kun n kasvaa. Samalla energia kasvaa Ψ = # nπ x & sin% ( Energia kvantittunut L $ L ' (n = kvanttiluku) Huom! n > 0 => E 1 = h (nollapistenergia) 8mL - epätarkkuusperiaate - aaltofunktion kaarevuus Peräkkäisten energiatasojen välinen energiaero: ( E n+1 E n = n +1 ) h n h = 8mL ( n +1) 8mL Huom! ΔE pienenee, kun L kasvaa h 8mL Esimerkki Elektroni on lineaarisessa molekyylissä, jonka pituus on 1,0 nm. (a) Mikä on elektronin minimienergia? (b) Mikä on viritysenergia perustilalta 1. viritetylle tilalle?

12 Todennäköisyystiheys: Ψ * Ψ = Ψ = % $ 'sin nπ x % $ ' # L & # L & ψ Kun n kasvaa, todennäköisyys elektronin sijainnille laatikossa 0 < x < L tasoittuu. Vastaavuusperiaate: ψ Kvanttimekaniikka yhdistyy klassiseen mekaniikkaan korkeilla kvanttiluvuilla. Esimerkki Laske todennäköisyys, millä 10.0 nm pitkässä laatikossa perustilassa oleva hiukkanen sijaitsee (a) välillä 4,95 nm < x < 5,05 nm, (b) välillä 1,95 nm < x <,05 nm, (c) välillä 9,90 < x < 10,00 nm, (d) laatikon keskimmäisessä kolmanneksessa.

13 Ortogonaalisuus: Ψ n' * Ψ n dτ = 0 Esimerkki n = 1 Ψ 1 = L sin π x % $ ' # L & n = 3 Ψ 3 = 3π x % sin$ ' L # L & L 0 Ψ 1 * Ψ 3 dτ = % $ ' # L & L 0 sin π x % $ 'sin 3π x % $ 'dx = 0 # L & # L & (3) Elektroni kaksidimensionaalisessa laatikossa V(x, y) = 0 $ Ψ & m % x + Ψ y ' ) = EΨ ( Muuttujien erottaminen: Ψ = X(x)Y (y) d X m dx = E xx d Y m dy = E yy E = E x + E y

14 ! X n1 = sin n 1π x $ # & L 1 L 1 %! Y n = sin n π y $ # & L % Ψ n1.n = X n1 Y n L Ψ n1,n = sin n 1π x % $ 'sin n π y % $ ' 0 x L 1 ;0 y L L 1 L # & # & L 1 E n1,n = n 1 L + n % $ ' h # 1 L & 8m L ( ) Esimerkki Hiukkanen kaksi-dimensionaalisella pinnalla n 1 = n = n 1 = n = 1 n 1 = 1 n = (3) Elektroni kolmidimensionaalisessa laatikossa 8 % Ψ n1,n,n (x, y, z) = $ ' # L 1 L L 3 & 1/ sin n 1π x % $ 'sin n π y % $ 'sin n3π z % $ ' # & # L & # L3 & E n1,n,n 3 = n 1 L + n 1 L + n % 3 $ ' h # L 3 & 8m (0 x L ;0 y L ;0 z L ) 1 3 L 1 n 1 = 1 n = 1 (3) Degeneraatio Kaksiulotteinen tapaus, jossa L 1 = L = L Ψ n1,n = sin n 1π x sin n π y L L L ( ) E n1,n = n 1 + n h 8mL Esimerkki Tapaus 1: n 1 = 1, n = Ψ 1, = % $ 'sin π x % $ 'sin π y % $ ' # L & # L & # L & E 1, = 5h 8mL Tapaus : n 1 =, n = 1 Ψ 1, = % $ 'sin π x % $ 'sin π y % $ ' # L & # L & # L & E 1, = 5h 8mL

15 Tunneli-ilmiö Tunneli-ilmiöllä ymmärretään hiukkasen läpäisyä klassisen mekaniikan mukaista kiellettyä aluetta joko kokonaan tai osittain. Läpäisyn todennäköisyys: x < 0 : Ψ = Ae ikx + Be ikx k = me k 0 x L : m Ψ = Ce κ x + De κ x κ = d Ψ +VΨ = EΨ (E < V ) dx m( V E) 0 L L > x : Ψ=A'e ikx + B'e ikx (Olkoon B' = 0) ( ) % ' T= 1+ eκl e κl & 16ε ( 1 ε (' ) ) ' * +' 1 0 L Scanning tunneling microscope: Pt, Rh, W e - Sähkövirta riippuu neulan kärjen ja tarkasteltavan pinnan välisestä etäisyydestä: - Sähkövirta-moodi - Vakioetäisyys-moodi Cs-atomeja seostettu GaAs:n pinnalle

16 Esimerkki Vetysidokset 8-hydroxyquiliinissa (8-hq) Science 013 DOI:10.116/science.14603

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan perusteet

Kvanttimekaniikan perusteet Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys

Lisätiedot

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin

Lisätiedot

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA 5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista

Lisätiedot

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen) Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,

Lisätiedot

Sidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos

Sidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:

Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Vibraatio eli värähdysliike Rotaatio eli pyörimisliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön

Lisätiedot

Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:

Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön

Lisätiedot

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:

Lisätiedot

Tilat ja observaabelit

Tilat ja observaabelit Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ

Lisätiedot

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV = S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5

Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan

Lisätiedot

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4) 76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan

Lisätiedot

1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus

1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen

Lisätiedot

780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op

780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op 78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto

Lisätiedot

Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2011

Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2011 Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2011 Luennot: Henrik Kunttu, Nanoscience Center, huone YN213; puh: 050-5996134; henrik.m.kunttu@jyu.fi Laskuharjoitukset: Lauri Nykänen; lauri.j.a.nykanen@.jyu.fi

Lisätiedot

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa

Lisätiedot

Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2016

Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2016 Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2016 Luennot: Henrik Kunttu, Nanoscience Center, huone YN213; puh: 050-5996134; henrik.m.kunttu@jyu.fi Vastaanotto torstaisin klo 13-15 Laskuharjoitukset: FM

Lisätiedot

766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013

766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9

Lisätiedot

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,

Lisätiedot

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z. FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,

Lisätiedot

(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme

(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät

Lisätiedot

KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA

KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe

S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna

Lisätiedot

pääkiertoakseli #$%%ä 2C 2 C 2!"

pääkiertoakseli #$%%ä 2C 2 C 2! Tehtävä 1 Määritä seuraavien molekyylien pisteryhmät: (a) H 3 N H 3 N l o l NH 3 + NH 3 urataan lohkokaaviota: lineaari!"!" suuri symmetria 2s v #$%%ä 2v!" pääkiertoakseli #$%%ä 2 2 2!" s h Vastaavasti:

Lisätiedot

Esimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:

Esimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään: Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan perusteet

Kvanttimekaniikan perusteet Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys

Lisätiedot

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu

Lisätiedot

FYSA2031 Potentiaalikuoppa

FYSA2031 Potentiaalikuoppa FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali

Lisätiedot

ja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA

ja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57

KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57 KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57.1 Johdanto... 57. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys... 58.3 Schrödingerin yhtälö... 61.3.1 Vapaan hiukkasen aaltofunktio... 6.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta...

Lisätiedot

3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE

3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3.1. DE BROGLIE AALLOT 1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet 1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate

Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain

Lisätiedot

kolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä

kolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti

Lisätiedot

Vapaat tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 6. Mikro- ja nanotekniikan laitos

Vapaat tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 6. Mikro- ja nanotekniikan laitos Vapaat tilat Harris luku 6 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Potentiaaliaskel Potentiaalivalli ja tunneloituminen Aaltopaketti ja aineaallon eteneminen Potentiaaliaskel

Lisätiedot

Johdantoa. 0.1 Mustan kappaleen säteily. Musta kappale (black body): Kvanttimekaniikka. Wienin siirtymälaki jakautuman maksimille on

Johdantoa. 0.1 Mustan kappaleen säteily. Musta kappale (black body): Kvanttimekaniikka. Wienin siirtymälaki jakautuman maksimille on MNQT, sl 2015 1 MNQT, sl 2015 2 Johdantoa Kvanttimekaniikka tarvittiin selittämään uusia kokeellisia havaintoja korvaa Newtonin yhtälön Schrödingerin yhtälöllä, joka on tavallaan pienten hiukkasten "liikeyhtälö"

Lisätiedot

Kvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri

Kvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri Kvanttimekaniikka: Luento 2 Mar$kainen Jani- Petri Assarointimainos Fyssa tarvitsee assareita Noin 30 euroa tun$+ lisiä tyypillises$ n. 4h/viikko, muba voi olla enemmän/vähemmän Opintosuoritukset+ lyhyt

Lisätiedot

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama

Lisätiedot

Aineen aaltoluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 4. Mikro- ja nanotekniikan laitos

Aineen aaltoluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 4. Mikro- ja nanotekniikan laitos Aineen aaltoluonne Harris luku 4 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen

Lisätiedot

Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa

Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Kvanttiefektit ovat tärkeitä nanoskaalassa. Tässä on ksenon-atomeilla tehtyjä kirjaimia metallipinnalla. Luennon tavoite: Ymmärtää kvanttimekaniikan perusperiaatteet

Lisätiedot

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.

Lisätiedot

Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4!

Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4! Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo 16.00 (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4! Tämä laskuharjoitus ei ole pakollinen, eikä sen pisteitä

Lisätiedot

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka 1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää

Lisätiedot

Luku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi

Luku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi Luku 13: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien

Lisätiedot

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)

Lisätiedot

3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics

3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics 3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action

Lisätiedot

Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi

Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Harris luku 7 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Yleistetään viidennen luvun sidottujen tilojen

Lisätiedot

T R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu

T R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta

Lisätiedot

Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1

Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1 Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1 Wienin siirtymälaki: T λ max = 0.2898 cm K (1) Stefan Boltzmanin laki: M = σt 4 σ = 5.67 10 8 W m 2 K 4 (2) Planckin jakauma ρ = 8πkT λ 4 ( 1 ) e hc/λkt 1 (3)

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys

Klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys Klassise fysiika ja kvattimekaiika yhteys Scrödigeri yhtälö ei statioäärisistä tiloista muodostuvie aaltopakettie aikakäyttäytymie oudattaa Newtoi lakeja. Newtoi mekaiikka voidaa johtaa Schrödigeri yhtälöstä.

Lisätiedot

AINEAALTODYNAMIIKKA...105

AINEAALTODYNAMIIKKA...105 AINEAALTODYNAMIIKKA...105 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö... 105 3.1.1 Stationääriset tilat... 108 3.1.. Ei-stationääriset tilat... 109 3.1.3 Aaltofunktioon liittyvä todennäköisyysvirta... 113 3.1.4

Lisätiedot

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot

1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2 S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen

Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.

Lisätiedot

Luento Atomin rakenne

Luento Atomin rakenne Luento 10 5. Atomin rakenne Vetatomi Ulkoisten kenttien aiheuttama energiatasojen hajoaminen Zeemanin ilmiö Elektronin spin Monen elektronin atomit Röntgensäteiln spektri 1 Schrödingerin htälö kolmessa

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

8. MONIELEKTRONISET ATOMIT

8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8.1. ELEKTRONIN SPIN Epärelativistinen kvanttimekaniikka selittää vetyatomin rakenteen melko tarkasti, mutta edelleen kokeellisissa atomien energioiden mittauksissa oli selittämättömiä

Lisätiedot

Kvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.

Kvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Energian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1)

Energian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1) S-11446 Fysiikka IV (Sf), I Väliko 544 1 Osoita, ttä Comptonin sironnassa lktronin suurin mahdollinn rkyylinrgia voidaan sittää muodossa E Kin hf 1 + mc /hf Enrgian säilymislain prustlla lktronin rkyylinrgia

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: 6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus

Lisätiedot

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +

Lisätiedot

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2 766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta

Lisätiedot

MEI Kontinuumimekaniikka

MEI Kontinuumimekaniikka MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto

Lisätiedot

Aatofunktiot ja epätarkkuus

Aatofunktiot ja epätarkkuus Aatofunktiot ja epätarkkuus Aaltofunktio sisältää tiedon siitä, millä todennäköisyydellä hiukkanen on missäkin avaruuden pisteessä. Tämä tunnelointimikroskoopilla grafiitista otettu kuva näyttää elektronin

Lisätiedot

KVANTTIMEKANIIKKA I Johdatus alkuaineiden jaksolliseen järjestelmään A/S

KVANTTIMEKANIIKKA I Johdatus alkuaineiden jaksolliseen järjestelmään A/S KVANTTIMEKANIIKKA I Johdatus alkuaineiden jaksolliseen järjestelmään 76331A/S Mikko Saarela 13. elokuuta 013 Oppimateriaali Cohen-Tannoudji, Diu ja Laloë: Quantum Mechanics (volume one), 1977 Powell &

Lisätiedot

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Aineaaltodynamiikka. Aikariippuva Schrödingerin yhtälö. Stationääriset tilat. Ei-stationääriset tilat

Aineaaltodynamiikka. Aikariippuva Schrödingerin yhtälö. Stationääriset tilat. Ei-stationääriset tilat Aieaaltodyamiikka Aikariiuva Scrödigeri ytälö Aieaaltoketä aikariiuvuude määrää ytälö Aieaaltokettie riiuvuus ajasta aikariiuva Scrödigeri ytälö Statioääriset ja ei-statioääriset tilat Aaltoaketit Kvattimekaiika

Lisätiedot

, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,

, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n, S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion

Lisätiedot

Jatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen

Jatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN

Lisätiedot

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää

Lisätiedot

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0, 76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi

Lisätiedot

3.1 Varhaiset atomimallit (1/3)

3.1 Varhaiset atomimallit (1/3) + 3 ATOMIN MALLI 3.1 Varhaiset atomimallit (1/3) Thomsonin rusinakakkumallissa positiivisesti varautuneen hyytelömäisen aineen sisällä on negatiivisia elektroneja kuin rusinat kakussa. Rutherford pommitti

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot