6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:

Transkriptio

1 6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus i = i i = 1 x = kompleksiluvun reaaliosa, Re(z) y = kompleksiluvun imaginääriosa, Im(z) Huom: älä sekoita imaginääriyksikköä i ja yksikkövektoria i Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: x x + 5 = 0 x = ± ( ) = ± 1 4 = ± 4i = ± 16 =1± i Merkitään juuria Z 1 = 1 + i, Z = 1 i Re(Z 1 ) = 1 Re(Z ) = 1 Im(Z 1 ) = Im(Z ) = 1

2 Kompleksilukujen laskutoimitukset Olkoon Z 1 = x 1 + y 1 i, Z = x + y i Yhteenlasku: Z 1 + Z = (x 1 + x ) + (y 1 + y )i Kertolasku: Z 1 Z = (x 1 + y 1 i)(x + y i) = x 1 x + x 1 y i + x y 1 i + y 1 y i = x 1 x + (x 1 y + x y 1 )i y 1 y = x 1 x y 1 y + (x 1 y + x y 1 )i Kompleksiluvun lii5oluku eli kompleksikonjugaa8 Merkitään Z* tai Z Z = x + yi Z* = x yi Huomaa ebä kompleksiluku kerrobuna liiboluvullaan antaa reaaliluvun: Z Z* = x + y Kompleksiluvun jakolasku (huom! Helpompikin tapa löytyy) Z 1 = x + y i 1 1 Z x + y i = (x + y i)(x y i) 1 1 (x + y i)(x y i) Kerrotaan molemmat puolet Z *:lla = (x 1 x x 1 y i + x y 1 i y 1 y i ) x + x y i x y i - y i = x 1 x + y 1 y + (x y 1 - x 1 y )i x + y

3 Kompleksiluvun pituus ja argument Kompleksiluku voidaan esibää vektorina ns. kompleksitasossa. Im(Z) Z = x + iy (x,y) y (x,y) x Kompleksiluvun pituus ja argument Kompleksiluku voidaan esibää vektorina ns. kompleksitasossa. Im(Z) y Z = x + iy (x,y) r (x,y) r: pisteen etäisyys origosta θ: vektorin ja akselin välinen kulma θ x 3

4 Im(Z) r θ (x,y) Olkon Z = x + iy. Tällöin = x ja Im(Z) = y. r = kompleksiluvun pituus (= moduli, itseisarvo), merkitään Z. Lasketaan pythagoraan kaavalla: Z = r = + Im(Z) = x + y θ = kompleksiluvun argument, merkitään Arg(Z): arctan( Im(Z) ) jos > 0 Arg(Z) = θ = { arctan( Im(Z) ) + π jos < 0 Yhteys napakoordinaabeihin Im(Z) r θ (x,y) = r cos(θ) Im(Z) = r sin(θ) Z = r (cos(θ) + i sin(θ)) 4

5 Im(Z) (x,y) Olkon Z = x + iy. Tällöin = x ja Im(Z) = y. θ = kompleksiluvun argument, merkitään Arg(Z): arctan( Im(Z) ) jos > 0 Arg(Z) = θ = { arctan( Im(Z) ) + π jos < 0 on vaaka- akseli, eli π (= 180 ) lisätään silloin kun ollaan pystyakselin vasemmalla puolella. r θ ArkustangenTfunkaon käytös +90 Arctan(x) x 90 5

6 Yksikköympyrä kompleksitasossa y=im(z) r=1 θ x= ArkustangenTfunkaon käytös ArkustangenT palaubaa kulmia 90 ja +90 asteen ( π/ ja π/ radiaanin) väliltä. Halutaan kuitenkin yleensä antaa argument kulmana 0 ja 360 väliltä! Jos y/x < 0, arctan(y/x) antaa tuloksena negaaivisen kulman Jos y/x > 0, arctan(y/x) antaa tuloksena posiaivisen kulman 6

7 Minkä merkkinen Im(Z)/ on? [ ] y posiaivinen arctan(y/x) x Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) Arctan antaa oikean kulman. Minkä merkkinen Im(Z)/ on? [ ] negaaivinen y x arctan(y/x) Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) +180 Arctan antaa negaaivisen & väärän kulman, pitää lisätä

8 Minkä merkkinen Im(Z)/ on? x arctan(y/x) [ ] posiaivinen Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) +180 y Arctan antaa posiaivisen muba väärän kulman, pitää lisätä 180. Minkä merkkinen Im(Z)/ on? Arctan antaa negaaivisen joskin sinänsä oikean kulman. Jos halutaan rajata kulma välille, pitää lisätä 360. x y negaaivinen arctan(y/x) Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) (+360 ) [ ] 8

9 Esimerkki Etsi kompleksiluvun pituus ja argument ja piirrä kompleksilukuvektori. a) Z = 1 + i Ratkaisu: Z = + Im(Z) = 1 +1 = Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) = arctan(1 1 ) = b) Z = 0.5 ( 3/)i Ratkaisu: Z = + Im(Z) = (- 1 3 ) + (- ) =1 3 Arg(Z) = arctan( Im(Z) ) +180 = arctan( ) +180 =

10 Eulerin kaava Z = + Im(Z) i = r cos(θ) + r sin(θ) i = r (cos(θ) + i sin(θ)) = re iθ Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ Eulerin kaava kytkee yhteen eksponen8funkbon ja trigonometriset funkbot, ja on hyvin hyödyllinen työkalu. Eulerin kaavan sovelluksia Z = r(cosθ + isinθ) = re iθ KonjugaaT: Z* = re iθ = r(cos(-θ) + isin(-θ)) = r(cos θ - isin θ) Kertolasku Z 1 = r 1 e iθ 1, Z = r eiθ Z 1 Z = r 1 e iθ 1 r eiθ = r 1 r eiθ 1+iθ = r 1 r e i(θ 1+θ ) Jakolasku Z 1 Z = r 1 eiθ1 r e iθ = r 1 r e i(θ 1 θ ) 10

11 Eulerin kaava helpobaa kompleksilukujen kertolaskua (ja jakolaskua) huomabavasa Z 1 Z = r 1 r e i(θ 1+θ ) Tulon itseisarvo: Z 1 Z = r 1 r Tulon argument: Arg(Z 1 Z ) =θ 1 +θ Kompleksilukujen tulo graafisesa pituudet kerrotaan, kulmat summataan Z 1 Z r 1 r θ 1 θ Z 1 Z = r 1 r e i(θ 1+θ ) r 1 r θ 1 +θ 11

12 Kompleksiluvut kemiassa Imaginääriluku i esiintyy usein kvantkemian operaaboreissa, näistä on jo tavabu esim: - Liikemäärän operaabori: - ImpulssimomenToperaaBori: (huom: saman näköiset!) ˆp x = -i d dx = i Ĵ z = i φ d dx Myös aaltofunkaoissa on usein kompleksilukutermejä. Esimerkki: kvantmekaaninen pyörimisliike Massat m 1 ja m, vastakkaisilla puolilla origoa ja etäisyyksien r 1 ja r päässä siitä, pyörivät origon ympäri. Merkitään kulmaa θ:lla. r m r 1 θ m 1 Systeemin Schrödingerin yhtälö: m d ψ I = 1 m (r I dθ = Eψ 1 + r ) m 1 +m (hitausmomen8) 1

13 Edellä annetun schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on ψ(θ) = Ce iaθ a R Ratkaisun reunaehdot saadaan vaaamalla ebä aaltofunkao on sama kulmalle θ ja θ + π: ψ(θ) = ψ(θ + π ) Ce iaθ = Ce ia(θ+π ) = e iaπ Ce iaθ, mistä nähdään ebä a:n on oltava kokonaisuluku: a = {0, ±1, ±...}. Ratkaistaan seuraavaksi energia operoimalla Hamiltonin operaaborilla annebuun funkaoon: d ψ(θ) I dθ = I = d I dθ Ceiaθ d dθ Ceiaθ ia = I Ceiaθ (ia) = a I Ceiaθ Äsken saaain d ψ(θ) = a I dθ I Ceiaθ = a I ψ(θ) Vertaamalla tätä alkuperäiseen Schrödingerin yhtälöön d ψ I dθ = Eψ nähdään hea ebä E = a I missä edelleen a = {0, ±1, ±...}. (Vain aetyt a:n kokonaislukuarvoja vastaavat energiaalat ovat siis mahdollisia; sanotaan ebä pyörivän kappaleen energiaalat ovat kvan:;uneet.) 13

14 Esimerkki: vetyatomin aaltofunkaon kulmaosat Vetyatomin aaltofunkaossa on kolme ns kvantlukua, n l ja m. r ψ n,l,m (r,θ,ϕ) = N n,l,m e na 0 ( r )L l+1 n l 1 ( r )Y m l (θ,ϕ) na 0 na 0 Kun sivukvantluku l = 1 ja magneetnen kvantluku m = ± 1, kulmaosa, joka kuvaa elektronin suuntaa vetyatomin yamestä, on palloharmoninen funkao johon sisältyy kompleksiarvoinen eksponent: Y ±1 1 (θ,ϕ) = ( 3 1 8π ) sin(θ)e ±iϕ Voidaan jakaa reaali- ja imaginääriosiin Eulerin kaavalla. 14