766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka

Transkriptio

1 A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 1 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, Ytimen rakenne Luentomonisteen sivulla 3 oleva nuklidien N Z-diagrammi löytyy tarkempana kuvasta Ydinten massat Ydinten massoja voidaan mitata äärimmäisen tarkasti massaspektrometrialla tai ydinreaktioiden energiataseiden avulla. Näillä menetelmillä mitataan itse asiassa atomien massoja, mutta niistä saadaan vastaavien ydinten massat yksinkertaisesti vähentämällä tuloksista atomeissa olevien elektronien massat. Elektronien sidosenergia on niin pieni, että sen vaikutus atomin massaan voidaan jättää huomiotta. Kuva 15-7 esittää erästä massaspektrometrityyppiä, Bainbridgen massaspektrometriä. Siinä oleva ionilähde tuottaa kertaionisoituneita atomeja (joiden varaus on positiivisen alkeisvarauksen +e suuruinen). Ionit ohjataan tyhjiössä alueeseen, jossa niihin kohdistuu sähkökenttä E ja magneettikenttä B. Nämä kentät ovat kohtisuorassa sekä toisiaan että ionien liikesuuntaa vastaan siten, että ioneihin kohdistuvat voimat ee ja evb ovat vastakkaissuuntaiset (v on ionin nopeus). Tämä alue toimii nopeussuodattimena, sillä sen läpi päästetään vain suoraviivaisesti etenevät ionit, joihin kohdistuvat voimat kumoavat toisensa: ee = evb. (1.1) Tämä merkitsee sitä, että läpi päässeet ionit etenevät nopeudella v = E/B. Seuraavassa vaiheessa näihin ioneihin kohdistuu vain magneettikentän B aiheuttama voima F = evb, joka pakottaa ne liikkumaan R-säteisellä ympyräradalla siten, että F = evb = Mv2 R, (1.2)

2 2

3 3 missä M on ionin massa. Kun ionit ovat kulkeneet puoliympyrän verran, ne osuvat valokuvauslevyyn, johon muodostuu jälki. Ympyrän säde R voidaan mitata määrittämällä osumakohta, ja tämän perusteella ionin massaksi saadaan M = F R v 2 = evbr v 2 = ebr v = eb2 R E. (1.3) Käytännössä spektrometri kalibroidaan laajalla massa-alueella käyttämällä hyväksi tunnettujen hiilivetymolekyylien antamia jälkiä. Tavallisesti ionilähde tuottaa ionisoituneita hiilivetyjä automaattisesti, sillä niitä esiintyy laitteen tyhjiöpumpun öljyssä. 1-4 Ytimen koko Tietyn ytimen kokoa ja varaustiheyttä voidaan tutkia tarkimmin mittaamalla elektronien sirontaa ohuesta kohtiosta, joka sisältää ko. ytimiä. Näin saadaan näkyviin elektronien aaltofunktion muodostama diffraktiokuvio, joka riippuu ytimen varausjakaumasta. Jotta jakauma voitaisiin nähdä riittävän tarkasti, elektronien aallonpituuden on oltava riittävän pieni, so., enintään ytimen koon suuruusluokkaa. Tämä merkitsee sitä, että elektronien energian on oltava hyvin suuri, useita satoja MeV:ja (esimerkiksi 500 MeV:n elektronin aallonpituus on 2,4 F = 2, m). Kuva 15-4 esittää erästä laitteistoa, jolla elektronien sirontaa ytimistä voidaan tutkia. Elektronit saavat suuren energian lineaarikiihdyttimessä, josta ne ohjataan kohti tyhjiössä olevaa kohtiokalvoa. Eri suuntiin sironneet elektronit havaitaan spektrometrillä, joka mittaa niiden kineettiset energiat määrittämällä niiden liikesuuntien muutokset magneettikentässä. Vain kimmoisesti sironneet elektronit lasketaan, jotta mittaustulos kuvaisi ytimen perustilan varausjakaumaa.

4 4 Sironneiden elektronien jakauma suunnan funktiona antaa sironnan differentiaalisen vaikutusalan dσ/dω (engl. differential cross section). Jos kohtioon tulee S 0 elektronia aikaja pinta-alayksikköä kohti ja yhdestä ytimestä siroaa yksikkövektorin n suuntaan s s (n) elektronia aikaja avaruuskulmayksikköa kohti, sironnan differentiaalinen vaikutusala on dσ dω = s s(n). (1.4) S 0 Jos kohtion pintaelementille da tulee ajassa dt dn 0 elektronia, S 0 = dn 0 /(da dt). Jos vastaavasti ytimestä siroaa suunnassa n olevaan avaruuskulmaelementtiin dω ajassa dt dn s (n) elektronia, s s (n) = dn s (n)/(dω dt). Lukumäärä dn s (n) voidaan siis esittää määritelmää (1.4) käyttäen muodossa dn s (n) = dσ dω dn 0 dω. (1.5) da Jos kohtiokalvon kokonaispinta-ala on A ja siinä on n ydintä pinta-alayksikköä kohti, kohtiossa olevien ydinten lukumäärä on na. Jos kalvo on niin ohut, että elektroni siroaa vain yhdestä ytimestä, suunnassa n olevaan avaruuskulmaelementtiin dω sironneiden elektronien kokonaislukumäärä dn s (n) on (kaukana kalvosta) na-kertainen yhden ytimen antamaan lukumäärään (1.5) verrattuna, siis yhtälön (1.5) mukaan dn s (n) = na dn s (n) = dσ dω dn 0 dσ A n dω = I n dω, (1.6) da dω missä I = (dn 0 /da)a on kohtioon ajassa dt tulevien elektronien kokonaislukumäärä. Differentiaalinen vaikutusala dσ/dω suunnassa n voidaan siis mitata kokeellisesti laskemalla tässä suunnassa olevaan avaruuskulmaelementtiin dω sironneiden elektronien lukumäärä dn s (n) ja jakamalla saatu tulos dω:lla, n:llä ja I:llä.

5 5 Jos sironta tapahtuu tulevan elektronisuihkun suunnan suhteen symmetrisesti, differentiaalinen vaikutusala on vain tulevien ja lähtevien elektronien liikesuuntien välisen kulman θ funktio (kuva 4-8). Tällöin dσ/dω on sama kaikissa niissä suunnissa n, joissa yksikkövektori n muodostaa tulevien elektronien liikesuunnan kanssa pienellä välillä (θ, θ + dθ) olevan kulman. Kuvasta 4-8 käy ilmi, että nämä suunnat muodostavat avaruuskulmaelementin dω = 2π sin θ dθ.

6 Kuvassa 15-5 nähdään hiiliytimistä sironneiden 420 MeV:n elektronien jakauma sirontakulman θ funktiona. Kuvassa olevat pisteet ovat eri θ:n arvoilla mitattuja differentiaalisen vaikutusalan arvoja ja siinä esitetty käyrä on koepisteisiin sovitettu teoreettinen diffraktiokuvio. Analyysissä etsitään sellainen ytimen varausjakauma, jota vastaava teoreettisesti laskettu diffraktiokuvio kulkee mahdollisimman hyvin koepisteiden kautta. Tämän kuvion laskemisessa on käytettävä elektronien suuren energian takia normaalin Schrödingerin yhtälön sijasta relativistista Diracin aaltoyhtälöä. Analyysissä lasketaan ytimen eri kohdista sironneiden aaltojen summa, ottaen huomioon näissä kohdissa oleva varaustiheys ja niistä lähteneiden aaltojen väliset vaihe-erot. Sovitus on hyvin herkkä varausjakauman yksityiskohdille, joten jakauma voidaan määrittää tarkasti silloinkin, kun diffraktiokuviossa on vain yksi minimi (kuten kuvassa 15-5). Kuva 15-6 esittää tällaisen analyysin tuloksena saatuja varausjakaumia kahdeksalle eri ytimelle (mm. hiiliytimelle). Nämä kuvaajat esittävät ydinten radiaalista varausjakaumaa ρ(r), ts. varaustiheyttä ydinten keskipisteestä luetun etäisyyden r funktiona. Kuvaajiin sisältyvä tieto ydinten varausjakaumista voidaan esittää kompaktisti yhdellä yksinkertaisella mallifunktiolla ρ 0 ρ(r) =, (1.7) 1 + e (r a)/b missä ρ 0, a ja b ovat parametrejä. Kerroin ρ 0 on käytännössä sama kuin varaustiheyden arvo ytimen keskipisteessä r = 0, ρ(0), sillä e a/b 1. Varaustiheys ρ(0) pienenee hitaasti ytimen massaluvun A kasvaessa siten, että massatiheys ρ M (0) pysyy vakiona (A:n kasvaessa neutronien lukumäärä kasvaa nopeammin kuin protonien lukumäärä). Parametri a luonnehtii ytimen sädettä, sillä ρ(a) = ρ(0)/2. Se kasvaa hitaasti massaluvun kasvaessa: a = C A 1/3, missä C = 1, 07 F. Parametri 2b luonnehtii ytimen kuorikerroksen paksuutta. Se on kaikille ytimille sama, sillä b on vakio, jonka arvo on b = 0, 55 F. 6

7 7 2 Massakato ja sidosenergia Luentomonisteen sivulla 9 oleva ydinten sidososuuksia massaluvun funktiona esittävä diagrammi löytyy hieman eri tavalla esitettynä kuvasta Ytimen magneettiset ominaisuudet 3-1 Ytimen spin Protonit ja neutronit ovat elektronien tavoin spin- 1 2-hiukkasia, joten niillä on sisäiset liikemäärämomentit eli spinimpulssimomentit. Lisäksi niillä voi olla myös rataliikemäärämomentit, jotka aiheutuvat niiden rataliikkeestä ytimen sisällä. Näin ollen ytimellä voi olla nollasta eroava spin, sisäinen liikemäärämomentti eli spinimpulssimomentti I, joka on ytimessä olevien protonien ja neutronien spin- ja rataimpulssimomenttien vektorisumma. Kvanttimekaniikan mukaan impulssimomenttivektorin pituus ja suunta eivät ole mielivaltaisia, vaan ne voivat saada vain tiettyjä diskreettejä arvoja. Vektorin I pituus on I = I(I + 1) h, (3.1) missä I on kullekin ytimelle ominainen luku, ytimen spinkvanttiluku eli ydinspin tai lyhyesti

8 8 spin. Se on joku luvuista I = 0, 1 2, 1, 3 2,.... (3.2) I:n komponentti annetussa suunnassa (esim. z-akselin suunnassa) on I z = m h, (3.3) missä kvanttiluku m on joku luvuista m = I, I 1, I 2,..., I, (3.4) joita on yhteensä 2I + 1 kappaletta. Esimerkki Protonin spinkvanttiluku on I = 1 2, joten sen spinimpulssimomenttivektorin 1 pituus on I = 2 ( ) h = h. Vektorin I komponentin mittaus z-akselin suunnassa voi antaa tulokseksi vain joko arvon I z = 1 2 h (m 1 = I = 1 2 tällöin sanotaan, että protoni on spin ylös -tilassa eli α-tilassa) tai arvon I z = 1 2 h (m 2 = I 1 = I = 1 2 -tilassa eli β-tilassa). tällöin protonin sanotaan olevan spin alas Jos A on parillinen, kvanttiluku I on kokonaisluku. Jos A on pariton, I on parittoman kokonaisluvun puolikas 1 2, 3 2, 5 2 jne. I = 0 kaikilla nuklideilla, joilla sekä Z että N ovat parillisia. 3-2 Ytimen magneettinen momentti Jos ytimellä on spinimpulssimomentti (I 0), sillä on myös nollasta eroava magneettinen dipolimomentti µ, joka on I:n kanssa yhdensuuntainen (saman- tai vastakkaissuuntainen): µ = γi. (3.5) Verrannollisuuskerroin γ on myös kullekin ytimelle ominainen luku, ytimen gyromagneettinen suhde. Yhtälöiden (3.1) ja (3.5) mukaan µ:n itseisarvo on µ = µ = γ I = γ h I(I + 1). (3.6) ja yhtälöiden (3.3) ja (3.5) mukaan sen komponentti annetussa suunnassa on µ z = γi z = γ hm. (3.7) Jos protoni (varaus +e) kiertää ydintä r-säteisellä ympyräradalla nopeudella v, se aiheuttaa sähkövirran i = e/t, missä T = 2πr/v on yhteen kierrokseen kuluva aika. Koska protonin radan muodostaman virtasilmukan pinta-ala on A = πr 2, rataliikkeen aiheuttama magneettinen momentti on µ = ia = ev 2πr πr2 = 1 evr. (3.8) 2

9 Tämä voidaan esittää protonin (massa M p ) liikemäärämomentin L = M p vr avulla muodossa µ = e L, (3.9) josta saadaan magneettisen momentin ja liikemäärämomentin suuntia tarkastelemalla vektoriyhtälö µ = e L. (3.10) Voidaan osoittaa, että tämä tulos on aina voimassa riippumatta siitä, minkälaisella radalla protoni liikkuu. Koska rataimpulssimomentin z-komponentti voidaan esittää kvanttiluvun m L avulla muodossa L z = m L h (vrt. yhtälöön (3.3)), magneettisen momentin z-komponentille saadaan yhtälöä (3.10) käyttämällä lauseke missä määriteltyä kerrointa sanotaan ydinmagnetoniksi. µ z = e L z = e h m L µ N m L, (3.11) µ N = e h = 5, J/T (3.12) Koska neutroneilla ei ole sähkövarausta, niillä ei voi olla rataliikkeen aiheuttamaa magneettista momenttia. Jos ytimen magneettinen momentti ja spinimpulssimomentti aiheutuisivat pelkästään protonien rataliikkeestä, gyromagneettisen suhteen lausekkeeksi saataisiin yhtälöitä (3.5) ja (3.10) vertaamalla γ = e = µ N h (protonien rataliikkeelle). (3.13) Todellisuudessa myös nukleonien spinit ja niistä aiheutuvat magneettiset momentit vaikuttavat ytimen I:n ja µ:n arvoihin. Tästä syystä gyromagneettisen suhteen lausekkeeseen (3.13) tarvitaan korjauskerroin g N, jota sanotaan ytimen Landén tekijäksi: e µ N γ = g N = g N h. (3.14) Protonin tapauksessa Landén tekijä on g N = +5, 5855, joten I ja µ ovat samansuuntaisia. Varauksettomalla neutronillakin on magneettinen momentti, ja sen Landén tekijä on g N = 3, 8263, joten I ja µ ovat tässä tapauksessa vastakkaissuuntaisia vektoreita. Kun gyromagneettiselle suhteelle γ käytetään lauseketta (3.14), yhtälö (3.7) saa muodon µ z = γi z = γ hm = g N µ N h hm = g Nµ N m. (3.15) Komponentin µ z itseisarvon maksimiarvo saadaan m:n maksimiarvolla I: µ max z = g N µ N I. (3.16) Taulukoissa annetuilla ydinten magneettisilla momenteilla tarkoitetaan yleensä näitä maksimiarvoja, ja ne annetaan käyttäen yksikkönä ydinmagnetonia µ N. Esimerkiksi protonille annettu magneettisen momentin arvo on µ max z = g N Iµ N = 5, µ N = 2, 7928 µ N. Se ei ole sama kuin vektorin µ pituus µ, jolle yhtälöitä (3.6) ja (3.14) käyttäen saadaan lauseke µ = µ = γ h I(I + 1) = g N µ N I(I + 1). (3.17) 9