1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
|
|
- Inkeri Lotta Heikkilä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen olio eikä sitä voi mitata kokeellisesti. Mikäli systeemi on ajasta riippumaton, aaltofunktion voi ratkaistaa ajasta riippumattomasta Schrödingerin yhtälöstä eli energiaominaisarvoyhtälöstä: Ĥψ = Eψ, 1) jossa Ĥ on Hamiltonin operaattori ja E on systeemin energia. Hamiltonin operaattorin eksakti muoto riippuu tutkittavasta systeemistä ja se on yleensä helppo määrittää. Aaltofunktion voi ymmärtää matemaattisena reseptinä, joka sisältää tiedon systeemin kaikista ominaisuuksista, jotka voimme tietää ennen kuin mittaamme ne kokeellisesti. Vaikka aaltofunktiolla itsellään ei ole fysikaalista tulkintaa on sen modulin neliö 1 verrannollinen todennäköisyystiheyteen P. Yhdelle hiukkaselle yksiulotteisessa koordinaatistossa tämä tarkoittaa Px) = Nψ x) Nψx) = N ψ x)ψx), ) jossa N on normitusvakio. N:n arvo valitaan siten, että yhtälö N ψ x)ψx)dx = 1 3) toteutuu. Normitusvakion ratkaisua kutsutaan normittamiseksi ja aaltofunktion Nψ sanotaan olevan normitettu. Todennäköisyystiheys Px) kertoo meille, millä todennäköisyydellä löydämme ψ:n kuvaaman hiukkasen pisteen x välittömästä läheisyydestä. Yhtälössä 3) summaamme yhteen eli integroimme) todennäköisyyden löytää hiukkasen jokaisesta yksiulotteisen avaruuden pisteestä. Koska hiukkasen täytyy löytyä jostain, täytyy näiden todennäköisyyksien summautua ykköseen. Jos olemme kiinnostuneita millä todennäköisyydellä löydämme hiukkasen esimerksiksi pisten x = a ja x = b väliltä, summaamme yhteen kaikki todennäköisyydet tällä välillä: b prob a x b) = N ψ x)ψx)dx. 4) a 1 Modulin neliö tarkoittaa aaltofunktiota kerrottuna omalla kompleksikonjugaatillaan: ψ = ψ ψ. Täysin reaaliselle aaltofunktiolle modulin neliö on sama asian kuin aaltofunktion neliö: ψ = ψ. 1
2 Ortogonaalisuus, normaalisuus ja ortonormaalisuus Otetaan kaksi aaltofunktiota ψ i x) ja ψ j x) yksiulotteisessa avaruudessa, jotka ovat sama aaltofunktio, jos i = j ja muulloin ne eroavat toisistaan. Jos aaltofunktiot ovat normitettuja eli normaaleja, niin { ψi = 1, jos i = j x)ψ jx)dx =, 5) =?, jos i = j jossa? tarkoittaa, että tulos riippuu aaltofunktioiden ψ i x) ja ψ j x) eksplisiittisetä muodosta, eikä sitä voi päätellä laskematta integraalia. Jos aaltofunktiot ovat ortogonaalisia, niin ψ i x)ψ jx)dx = { =, jos i = j =, jos i = j. 6) Jos aaltofunktiot ovat ortonormaaleja, niin ψ i x)ψ jx)dx = { = 1, jos i = j =, jos i = j. 7) Ortonormaalisuus siis tarkoittaa, että aalfunktiot ovat sekä ortogonaalisia, että normitettuja. Jos tiedämme, että joukko funktioita on ortonormaaleja on niiden käsitteleminen integraalilausekkeissa huomattavasti helpompaa, kuin jos ne eivät olisi ortonormaaleja. Esimerksi palloharmoniset funktiota ovat keskenään ortonormaaleja ja tällöin integraali Yl,m l θ,φ)y l,m θ,φ) sin θdθdφ 8) l saa arvokseen nollan jos l = l tai m l = m l ja muussa tapauksessa ykkösen. Yleisesti tiedetään, että kaikki hermiittisen operaattorin ominaisfunktiot ks. kappale 3) ovat keskenään ortogonaalisia. Näin ollen esimerkiksi kaikki tietyn Hamiltonin operaattorin ominaisfunktiot esim. vetyatomin orbitaalit) ovat keskeään aina ortogonaalisia ja jos ne on normitettu, niin ne ovat keskenään ortonormaaleja. 3 Operaattorit, ominaisfunktiot ja ominaisarvot Kvanttimekaniikassa aaltofunktiosta puretaan informaatiota operoimalla sitä. Jokaista mitattavaa suuretta esim. liikemäärä, paikka, energia jne.) vastaa hermiittinen operaattori. ähtökohtaisesti, jos operoimme operaattorilla  funktiota f x) saamme uuden funktion gx):  f x) = gx). 9) Tietyssä erityistapauksessa, operointi palauttaa alkuperäisen funktion kerrottuna vakiolla a:  f x) = a f x). 1) Tällöin funktiota f x) kutsutaan operaattorin  ominaisfunktioksi ja vakiota a vastaavaksi ominaisarvoksi. ähtökohtaisesti jokaisella operaattorilla on lukuisa usein ääretön määrä) ominaisfunktioita ja niitä jokaista vastaa eri ominaisarvo tosin ei aina). Jos aaltofunktio ψ on
3 tiettyä mitattavaa suuretta kuvaavan operaattorin ominaisfunktio, on tällöin vastaava ominaisarvo mitattavan suureen arvo. Otetaan esimerkiksi yksi hiukkanen esim. elektroni) yhdessä ulottuvuudessa, jota kuvaa aaltofunktio ψx). Jos ψx) on liikemääräoperaattorin ˆp ominaisfunktio, tällöin ˆpψx) = pψx), 11) jossa ominaisarvo p on ψx):n kuvaaman hiukkasen liikemäärä. Tämä tarkoittaa käytännössä, että voimme tietää liikemäärän tarkan arvon ennen kuin mittaamme sen kokeellisesti vain jos ψx) on liikemääräoperaattorin ominaisfunktio. Eli, jos ψ on liikemääroperaattorin ominaisfunktio, kun mittaamme kokeellisesti hiukkasen liikemäärän saamme tulokseksi arvon p. Jos ψ ei ole liikemääräoperaattorin ominaisfunktio, emme voi ennen mittausta ennustaa tarkasti, minkä tuloksen saamme. Voimme kuitenkin ennustaa eri tulosten todennäköisyyksiä, kuten selitetään kappaleessa 5. 4 Kommutaattori Yleisesti ottaen, jos operoimme kahdella eri operaattorilla  ja ˆB aaltofunktiota ψ saamme eri tuloksen riippuen siitä missä järjestyksessä suoritamme operoinnin:  ˆBψ = ˆBÂψ. 1) Tällöin sanomme, että operaattorit  ja ˆB eivät kommutoi, eli emme voi mielivaltaisesti muuttaa niiden operointijärjestystä vaikuttamatta tulokseen. Tietyssä tapauksessa operaattorit voivat kuitenkin kommutoida. Jos kaksi operaattoria Ĉ ja ˆD kommutoivat, tällöin pätee Ĉ ˆDψ = ˆDĈψ = Ĉ ˆDψ ˆDĈψ = = Ĉ ˆD ˆDĈ ) ψ =. 13) Sulkeissa olevaa suuretta kutsutaan kommutaattoriksi. Yleisesti kahden operaattorin  ja ˆB kommutaattoria merkitään: [Â, ˆB] =  ˆB ˆBÂ. 14) Jos kommutaattori saa arvokseen nollan kuten yhtälössä 13) niin operaattorit kommutoivat ja niiden operointijärjestystä saa muuttaa mielivaltaisesti. Jos kommutaattorin arvo poikkeaa nollasta, operaattorit eivät kommutoi ja niiden operointijärjestystä ei saa muuttaa. Kommutaattorin määritelmästä näkee suoraan, että [Â, ˆB] = [ ˆB,Â]. Jos operaattorit  ja ˆB, jotka eivät kommutoi kuvaavat mitattavia suureita, on niiden kommutaattorilla myös käytännön merkitystä. Jos ψ on operaattorin  ominaisfunktio se ei voi olla samaan aikaan operaattorin ˆB ominaisfunktio. Näin ollen jos tiedämme ψ:n kuvaaman hiukkasen arvon suureelle, jota operaattori  kuvaa, emme voi samaan aikaan tietää arvoa suureelle, jota operaattori ˆB kuvaa. Keskeinen esimerkki tästä ovat paikka- ja liikemääroperaattori, jotka eivät kommutoi keskenään: [ ˆx, ˆp] = ˆx ˆp ˆp ˆx = i hx d dx + i h d dx x = i hx d dx + i hx d + i h = i h. 15) dx Olemme käyttäneet laskussa määritelmiä ˆx = x ja ˆp = i h d dx. Tulos tarkoittaa, että jos hiukkasta kuvaava aaltofunktio ψ on liikemääräoperaattorin ominaisfunktio, ei se voi samaan aikaan olla paikkaoperaattorin ominaisfunktio. Näin ollen, jos voimme tarkasti tietää, mikä hiukkasen liikemäärä on, emme voi tietää tarkasti sen paikkaa. Tämä on yksi oleellisimmista eroista ehkä jopa kaikista oleellisin) klassien mekaniikan ja kvanttimekaniikan välillä. 3
4 5 Superpositio ja odotusarvo Jos aaltofunktio ψ ei ole jonkun mitattavaa suuretta kuvaavan operaattorin ominaisfunktio, voimme kirjoittaa sen kyseisen operaattorin ominaisfunktioiden superpositiona eli lineaarikombinaationa. Otetaan esimerkiksi hiukkanen yksiulotteisessa potentiaalilaatikossa -mallin perustilan aaltofunktio πx ψx) = sin, x. 17) Kyseinen aaltofunktio saadaan ratkaisuna energiaominaisarvoyhtälöstä 1), eli se on Hamiltonin operaattorin ominaisfunktio. Se ei kuitenkaan ole liikemääroperaattorin ˆp = i h d dx ominaisfunktio. Tämä on helppo nähdä, koska dervionti muuttaa sinifunktion kosinifunktioksi, eikä operointi näin ollen voi palauttaa alkuperäistä funktiota kerrottuna vakiolla. Voimme kuitenkin kirjoittaa ψ:n eksponenttifunktiomuodossa käyttämällä Eulerin yhtälöä: ψx) = 1 [ ) iπx exp exp iπx )] = 1 i exp iπx Eksponenttifunktiot ovat liikemääroperaattorin ominaisfunktioita: i h d dx exp ± iπx ) = ± π h exp ± iπx ) 1 exp iπx ). 18) ), 19) jossa ± π h ovat liikemäärän ominaisarvot. Olemme siis kirjoittaneet alkuperäisen aaltofunktion ψx) superposition eli lineaarikombinaationa kahdesta liikemääräoperaattorin ominaisfunktiosta. Näitä eksponenttifunktioita kutsutaan superposition kantafunktioiksi. Jos mittaamme kokeellisesti liikemäärän ψx):n kuvaamasta hiukkasesta saamme tulokseksi jomman kumman kantafunktioiden liikemäärän ominaisarvoista eli p = π h π h tai p =. Todennäköisyys saada tulos p = π h on verrannollinen vastaavan ominaisfunktion kertoimen modulin neliö superpositiossa. Tässä tapauksessa siis todennäköisyys olisi prob p = π h ) 1 = 1. ) Tässä tapauksessa ψx):n kantafunktioiden kertoimet eroavat vain etumerkillä, joten todennäköisyys saada kumpi tahansa tuloksista on yhtä suuri. Jos kantafunktiot ovat normitettuja tässä tapauksessa ne eivät ole), on todennäköisyys suoraan ominaisfunktion modulin neliö. Superpositio voidaan tulkita siten muitakin tulkintoja on), että systeemi on yhtä aikaa useilla liikemääräoperaattorin ominaistiloilla ja liikemäärän mittaus pakottaa systeemin yhteen näistä tiloista. Toisin sanoen, systeemi saa tietyn liikemäärän arvon vasta sillä hetkellä, kun mittaus tehdään. ineaarikombinaatiolla funktioiden tapauksessatarkoitetaan sitä, että kirjoitamme funktion f x) summana kantafunktioista g 1 x), g x) jne. joista jokaista painotetaan lineaarikombinaation kertoimella c 1, c, jne: f x) = c 1 g 1 x) + c g x) + c 3 g 3 x) + = c i g i x). 16) i Riippuen funktiosta f x) ja valituista kantafunktioista, kantafunktioita voidaan tarvita muutamasta äärettömään määrään. 4
5 Voimme tässä kohtaa yleistää yllä olevassa esimerkissä tehdyt havainnot koskemaan myös muita aaltofunktioita ja muita operaattoreita: Otetaan jotain mitattavaa suuretta A vastaava operaattori Â, jonka ominaisfunktioita ovat φ 1, φ jne. ja näitä ominaisfunktioita vastaavat ominaisarvot ovat a 1, a jne. Otetaan sitten aaltofunktio ψ, joka ei ole operaattorin  ominaisfunktio. Tällöin emme voi ennen mittausta tietää mitattavan suureen A arvoa. Voimme kuitenkin kirjoittaa aaltofunktion ψ funktioiden φ 1,φ, lineaarikombinaationa eli superpositiona: ψ = c 1 φ 1 + c φ +, 1) jossa kertoimet c 1,c, ovat superposition painokertoimet. Jos kantafunktiot ovat normitettuja jota ne eivät aina ole), kertoimien modulien neliöiden summa on yksi. Esimerkiksi yllä olevassa esimerkissä kertoimien modulien neliöt eivät summaudu ykköseen. Kun mittaamme suuren A saamme tulokseksi jonkun ominaisarvoista a 1,a,. Todennäköisyys saada mittaustulokseksi tietty ominaisarvo a i on verrannollinen vastaavan painokertoimen modulin neliöön c i. Kun suoritamme suuren määrän liikemäärän mittauksia niiden keskiarvo lähestyy liikemäärän odotusarvoa. Odotusarvon voidaan ajatella olevan todennököisyydellä painotettu keskiarvo mahdollisista mittaustuloksista. iikemäärän odotusarvo merkitään p ja se on määritetty: p = ψ x) ˆpψx)dx. ) Voimme aina laskea odotusarvon riippumatta siitä onko ψ liikemääräoperaattorin ominaisfunktio vai ei. Jos ψx) on ˆp:n ominaisfunktio ja jos ψx) on normitettu, niin ˆpψx) = pψx) ja tällöin p = ψ x) ˆpψx)dx = ψ x)pψx)dx = p ψ x)ψx)dx } {{ } =1 = p. 3) Toisin sanoen, jos ψx) on liikemääräoperaattorin ominaisfunktio, tiedämme tällöin liikemäärän tarkan arvon ja odotusarvo on yksinkertaisesti tämä arvo. Yhtälön ) voi yleistää muihin operaattoreihin korvaamalla ˆp:n kyseisellä operaattorilla. Integrointi tapahtuu aina yli koko avaruuden, jossa aaltofunktio on määritetty. 6 Pyörimismäärä Paikan ja liikemäärän lisäksi voimme määrittää yksittäiselle hiukkaselle pyörimismäärän. Klassinen pyörimismäärä l on vektori, jolla on kolme komponenttia lx, l y ja l z. Jos klassinen kappale liikkuu tasomaisella ympyräradalla esimerkiksi planeetta kiertämässä aurinkoa) osoittaa pyörimismäärän vektori ylös- tai alaspäin pyörimistasosta riippuen kiertosuunnasta. 5
6 Kvanttimekaniikassa meillä on vastaavasti kokonaispyörimismäärän operaattori ˆl ja pyörimismäärän eri komponentteja vastaavat operaattorit ˆl x, ˆl y ja ˆl z. Yleensä kokonaispyörimismääräoperaattorin sijasta käytetään vastaavan operaattorin neliötä ˆl, joka ei ole vektorioperaattori. Operaattori ˆl voidaan kirjoittaa pyörimismäärän komponentteja vastaavien operaattorien avulla: ˆl = ˆl x + ˆl y + ˆl z. 4) Yksittäisten komponenttien operaattorit voidaan taasen kirjoittaa paikka- ja liikemääräoperaattorien avulla: ˆl x = ŷ ˆp z ẑ ˆp y = i h y d dz z d ), 5) dy ˆl y = ẑ ˆp x ˆx ˆp z = i h z d dx x d ) ja 6) dz ˆl z = ˆx ˆp y ŷ ˆp x = i h x d dy y d ). 7) dx Kaikkien pyörimismäärän komponenttien operaattorit kommutoivat kokonaispyörimismäärän neliön operaattorin kanssa: [ˆl,ˆl α ] =, α = x,y,z. Eri komponenttien operaattorit eivät kuitenkaan kommutoi keskenään: [ˆl x,ˆl y ] = i hˆl z, [ˆl y,ˆl z ] = i hˆl z ja [ˆl z,ˆl x ] = i hˆl y. 8) Tämä tarkoittaa, että aaltofunktio ψ voi olla yhtä aikaa ˆl :n ja yhden pyörimismäärän komponentin ominaisfunktio. On yleinen käytäntö, että valitsemme z-komponentin tähän tarkoitukseen, vaikka valinta on toki mielivaltainen. Käytännössä tämä tarkoittaa, että voimme tietää yksittäisen hiukkasen pyörimismäärästä parhaimmillaan vain pyörimismäärän suuruuden ˆl ) ja sen z-komponentin ˆl z ) eli projektion z-akselille. Otetaan aaltofunktio ψ l,ml θ,φ), joka on operaattoreiden ˆl ja ˆl z ominaisfunktio ja jonka pyörimismäärä on määritetty kvanttiluvuilla l ja m l. Tällöin ˆl ψ l,ml θ,φ) = ll + 1) h ψ l,ml θ,φ) ja 9) ˆl z ψ l,ml θ,φ) = m l hψ l,ml θ,φ). 3) Operaattoreiden ˆl ja ˆl z ominaisarvot ovat siis ll + 1) h ja m l h. Systeemin kokonaispyörimismäärä on kokonaispyörimismäärän neliön operaattorin ominaisarvon neliöjuuri eli ll + 1) h. Yleinen käytäntö pyörimismäärästä puhuttaessa on käyttää redusoitua Planckin vakiota h yksikkönä, jolloin sanoisimme, että aaltofunktion ψ l,ml θ,φ) kokonaispyörimismäärän on ll + 1) ja pyörimismäärän z-komponentti on m l. Pyörimismäärästä puhuttaessa käytämme usein klassisia analogioita pyörivistä kappaleista tai hiukkasista ympyräradalla; on kuitenkin tärkeää muistaa, että kvanttimekaniikassa mikään ei pyöri samalla tavalla kuin ajattelemme pyörimistä makroskooppisessa maailmassa. Esimerkiksi s-orbitaalin pyörimismäärä on nolla, vaikka voisimme klassisesti ajatella elektronin kiertävän ydintä jonkinlaisella kiertoradalla. Toisaalta, esimerkiksi reaaliset p-orbitaalit ovat seisovia aaltoja, mutta niiden ratapyörimismäärän suuruus on silti h. Kannattaa siis pitää mielessä, että vaikka usein ajattelemme elektroneja hiukkasiksi, jotka liikkuvat ympyräradalla atomiytimen ympärillä, kvanttimekaaninen todellisuus on hyvin erilainen. 6
7 7 Vetyatomi Vetyatomin ja muiden yksielektronisten atomien) aaltofunktio pallokoordinaateissa on yleisessä muodossa ψ n,l,ml r,θφ) = Y l,ml θ,φ)r n,l r), 31) jossa n, l ja m l ovat kvanttilukuja, jotka määrittävät orbitaalin. Aaltofunktio koostuu kahdesta osasta: palloharmonisesta funktiosta Y l,ml θ,φ) ja radiaalisesta funktiosta R n,l r). Palloharmoninen funktio on vain kulmien funktio ja riippuu kvanttiluvuista l ja m l kun taasen radiaalinen funktio on vain r:n funktio ja riippuu kvanttiluvuista l ja m l. Tämä helpottaa vetyatomien aaltofunktioiden integrointia, koska integraali on separoitavissa tuloon integraalista palloharmonisten funktioiden yli ja integraalista radiaalisen funktion yli. Esimerkiksi jonkun vetyatomin aaltofunktion jonka määrittävät kvanttiluvut n, l ja m l ) normitusintegraali on ψ n,l,m l r,θφ)ψ n,l,ml r,θφ)r dr sin θdθdφ 3) = Y l,m l θ,φ)r n,l r)y l,m l θ,φ)r n,l r)r dr sin θdθdφ 33) = Yl,m l θ,φ)y l,ml θ,φ) sin θdθdφ }{{} = =1 R n,l r)r n,lr)r dr 34) R n,l r)r n,lr)r dr, 35) jossa olemme ensin separoineet integraalin kulmaosaan ja radiaaliseen osaan ja sitten käyttäneet palloharmonisten funktioiden ortonormaalisuutta hyödyksi kulmaosan integraalissa. Kun kulmia integroidaan pallokoordinaatistossa on hyvä pitää mielessä ero sen kanssa onko laskussa mukana palloharmonisia funktioita vai ei. Integraali yli kulmien kuten yllä antaa tulokseksi ykkösen tai nollan riippuen siitä onko integroitavilla palloharmonisilla funktioilla samat kvanttiluvut: Y l,m l θ,φ)y l,m l θ,φ) sin θdθdφ = { 1, jos l = l ja m l = m l, jos l = l tai m l = m l 36) Jos laskussa ei ole mukana palloharmonisia funktioita antaa integraali kulmien yli tulokseksi sin θdθdφ = 4π. 37) 7
Tilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotSidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja
LisätiedotTilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy
z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat
LisätiedotLuku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Vibraatio eli värähdysliike Rotaatio eli pyörimisliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotKvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi
Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Harris luku 7 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Yleistetään viidennen luvun sidottujen tilojen
LisätiedotFysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2016
Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2016 Luennot: Henrik Kunttu, Nanoscience Center, huone YN213; puh: 050-5996134; henrik.m.kunttu@jyu.fi Vastaanotto torstaisin klo 13-15 Laskuharjoitukset: FM
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotFysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2011
Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2011 Luennot: Henrik Kunttu, Nanoscience Center, huone YN213; puh: 050-5996134; henrik.m.kunttu@jyu.fi Laskuharjoitukset: Lauri Nykänen; lauri.j.a.nykanen@.jyu.fi
LisätiedotKvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.
Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät
LisätiedotPHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä
PHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä J.-P. Martikainen 1 1 Aalto Varoitus! Tämä tiedosto on tarkoitettu lyhyeksi muistutukseksi kurssilla esiintyneistä konsepteista ja keskeisimmistä kaavoista
Lisätiedot6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:
6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
Lisätiedotkolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotLuku 10: Atomien rakenne ja spektrit. Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit
Luku 10: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit 1 n 1 = 3 n 1 = 4 n 1 = 2 n 1 =1 Vetyatomin spektri koostuu viivoista Viivojen sijainti
Lisätiedot2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)
Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
LisätiedotJohdantoa. 0.1 Mustan kappaleen säteily. Musta kappale (black body): Kvanttimekaniikka. Wienin siirtymälaki jakautuman maksimille on
MNQT, sl 2015 1 MNQT, sl 2015 2 Johdantoa Kvanttimekaniikka tarvittiin selittämään uusia kokeellisia havaintoja korvaa Newtonin yhtälön Schrödingerin yhtälöllä, joka on tavallaan pienten hiukkasten "liikeyhtälö"
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotEsimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:
Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 4. Martikainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 4 Martikainen Jani- Petri Viimeksi Ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö Alkuarvo- ongelman ratkaisu Aaltofunktio Tänään Mittauspostulaatti Diracin merkintätapa. Hermiittiset operaattorit
LisätiedotMatematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4!
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo 16.00 (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4! Tämä laskuharjoitus ei ole pakollinen, eikä sen pisteitä
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotDemo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen
Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotT R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu
Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta
LisätiedotLuku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
LisätiedotFysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1
Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1 Wienin siirtymälaki: T λ max = 0.2898 cm K (1) Stefan Boltzmanin laki: M = σt 4 σ = 5.67 10 8 W m 2 K 4 (2) Planckin jakauma ρ = 8πkT λ 4 ( 1 ) e hc/λkt 1 (3)
LisätiedotS Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe
S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna
LisätiedotKvanttimekaniikan perusteet
Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys
LisätiedotJatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotAINEAALTODYNAMIIKKA...105
AINEAALTODYNAMIIKKA...105 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö... 105 3.1.1 Stationääriset tilat... 108 3.1.. Ei-stationääriset tilat... 109 3.1.3 Aaltofunktioon liittyvä todennäköisyysvirta... 113 3.1.4
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotAtomimallit. Tapio Hansson
Atomimallit Tapio Hansson Atomin käsite Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Filosofi Demokritos päätteli (n. 400 eaa.), että äärellisen maailman tulee koostua äärellisistä, jakamattomista hiukkasista
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotJukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2
S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 2 Mar$kainen Jani- Petri Assarointimainos Fyssa tarvitsee assareita Noin 30 euroa tun$+ lisiä tyypillises$ n. 4h/viikko, muba voi olla enemmän/vähemmän Opintosuoritukset+ lyhyt
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotKVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotKvanttimekaniikka II A/S. Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto
Kvanttimekaniikka II 763313A/S Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto 17 huhtikuuta 015 Sisältö 1 Tilavektori 1 11 Hilbertin avaruus 3 111 Lineaarinen vektoriavaruus 3 11 Sisätulo 4 1 Hilbertin avaruuden
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotLuento Atomin rakenne
Luento 10 5. Atomin rakenne Vetatomi Ulkoisten kenttien aiheuttama energiatasojen hajoaminen Zeemanin ilmiö Elektronin spin Monen elektronin atomit Röntgensäteiln spektri 1 Schrödingerin htälö kolmessa
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V
Kenttäteorian matemaattisia apuneuvoja 4..7. Gaussin ja Stokesin lauseet V S ds A = dl A = V S A dv, =, tai ) ds ) A ). Greenin kaavat I : II : 3. Diracin deltafunktio 4. Vektorilaskentaa V V ψ ξ dv +
LisätiedotTodennäköisyys ja epämääräisyysperiaate
Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain
LisätiedotKorrespondenssiperiaate. Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela
Korrespondenssiperiaate Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela Sisältö 1 Johdanto 2 2 Liikeyhtälöt 2 2.1 Klassisen mekaniikan liikeyhtälöt................ 2 2.2 Poissonin
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotSymmetriat ja säilymislait
Symmetriat ja säilymislait Onni Veteläinen 2437668 LuK-tutkielma Fysiikan laitos Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 1 1 Symmetriat ja säilymislait klassisessa mekaniikassa 2 1.1 Liikemäärän säilyminen......................
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotKohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus
Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedotja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Lisätiedot