3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics

Transkriptio

1 3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology

2 Sisältö Johdattelua Klassinen action Kvanttimekaaninen todennäköisyysamplitudi Schrödingerin aaltoyhtälö Häiriöteoriaa

3 Kaksoisrakokoe kokeellisesti havaitaan todennäköisyysjakauma vastaa aallon intensiteetille ominaista interferenssikuviota, kun molemmat raot ovat auki erikseen mitattuna samaa interferenssikuviota ei saada todennäköisyyksien summana eli P P 1 + P 2 interferenssikuvio = P(x) = φ(x) 2, missä φ(x) on todennäköisyysamplitudi (kompleksiluku). siis, kaksoisrakokoe φ(x):n avulla on φ(x) = φ 1 (x) + φ 2 (x) = P(x) = φ(x) 2 = φ 1 (x) 2 + φ 2 (x) 2 + φ 1 (x)φ 2(x) + φ 2 (x)φ 1(x)

4 Beyond kaksoisrakokoe lisätään kalvoon kolmaskin rako tällöin todennäköisyysamplitudi on φ(x) = φ 1(x) + φ 2(x) + φ 3(x) lisätään lähteen ja detektorin väliin toinen kalvo, jossa on N kappaletta rakoja = φ(x) = 3 i=1 j=1 N φ ij (x) laitetaan lähteen ja detektorin väliin M kappaletta kalvoja, joissa on N reikää = φ(x) = N N... i 1=1 i 2=1 N φ i1i 2...i M (x) i M=1

5 Beyond kaksoisrakokoe Feynmanin polut annetaan kalvojen ja rakojen lukumäärän lähestyä ääretöntä = φ(x) = lim N N... N,M i 1=1 i 2=1 = paths φ paths (x) N φ i1i 2...i M (x) i M=1 siis, todennäköisyys päätyä lähteestä (L) dektektorin pisteeseen x tyhjän tilan läpi on P(L x) = φ paths (x) paths 2

6 Klassinen action Klassisessa mekaniikassa kappaleen liikeyhtälöt voidaan johtaa tarkastelemalla suureen S ( action ) minimiä (tai yleisemmin ääriarvoa) action eli vuorovaikutusintegraali määritellään Lagrangen function L = T V avulla S = tb t a L(ẋ, x, t)dt siis, olettamalla δx(t a ) = δx(t b ) = 0 ja tarkastelemalla actionin ääriarvoa δs = S[x + δx] S[x] = 0 saadaan Euler Lagrangen liikeyhtälö d dt joka määrää klassisen trajektorin ( ) L L ẋ x = 0,

7 Kvanttimekaaninen todennäköisyysamplitudi kvanttimekaniikassa kaikki polut otetaan huomioon samalla painolla, mutta poluilla on eri vaihetekijät polun vaihetekijä on S/ siis, todennäköisyys sille, että hiukkanen siirtyy paikasta (x a, t a ) paikkaan (x b, t b ) on P(b, a) = K(b, a) 2, missä todennäköisyysamplitudi K(b, a) = = paths from a to b paths from a to b φ[x(t)] Ae i S[x(t)] kyseisestä kvanttimekaniikan amplitudista seuraa klassinen mekaniikka rajalla 0

8 Integraali kaikkien mahdollisten polkujen yli jaetaan aikaväli t b t a N:n yhtä suureen osaan eli Nǫ = t b t a, jolloin ǫ = t j+1 t j (ja ǫ 0, kun N ) lisäksi t 0 = t a, x 0 = x a, t N = t b ja x N = x b tällöin todennäköisyysamplitudi voidaan esittää muodossa K(b, a) = φ[x(t)]dx 1 dx 2 dx N 1 siis, etenemme paikasta (x 0, t 0) paikkaan (x 1, t 1), missä x 1 voi olla missä tahansa, jne. näin ollen voidaan kirjoittaa N 1 Y φ[x(t)] = lim K(j + 1, j), ǫ 0 j=0 missä ««i i K(j + 1, j) = A exp S[j + 1, j] A exp ǫl

9 Polkuintegraali (Path integral) notaation lyhentämiseksi edellinen kirjoitetaan usein muodossa missä K(b, a) = b a e (i/ )S[b,a] Dx(t), Dx(t) = lim N AN dx 1 dx 2 dx N 1 siis, K(b, a) = K(x b, t b ; x a, t a ) on todennäköisyysamplitudi löytymiselle pisteestä b sillä ehdolla, että alussa ollaan pisteessä a näin ollen K(b, a) on propagaattori

10 Aaltofunktio usein on (mahdollisesti) hyödyllisempää määritellä amplitudi ψ(x, t), joka ei riipu mistään tietystä aikaisemmasta systeemin tilasta kutsutaan tätä (kokonais-) amplitudia aaltofunktioksi ψ(x 2, t 2 ) = K(x 2, t 2 ; x 3, t 3 )ψ(x 3, t 3 )dx 3 tällöin todennäköisyys löytyä paikasta x hetkellä t on P(x, t) = ψ(x, t) 2

11 Schrödingerin aaltoyhtälö: vapaa hiukkanen (1/3) tarkastellaan vapaan hiukkasen aaltofunktiota ψ(x, t + ǫ), missä ǫ on infinitesimaalisen pieni: ψ(x, t + ǫ) = K(x, t + ǫ; y, t)ψ(y, t)dy ( ) i Aexp ǫl ψ(y, t)dy ( i m(x y) 2 ) = Aexp ψ(y, t)dy 2ǫ ( i mη 2 ) = Aexp ψ(x + η, t)dη 2ǫ lisäksi ψ(x, t) ψ(x, t + ǫ) ψ(x, t) + ǫ t ja ψ(x, t) ψ(x + η, t) ψ(x, t) + η + 1 x 2 η2 2 ψ(x, t) x 2

12 Schrödingerin aaltoyhtälö: vapaa hiukkanen (2/3) tarkastelemalla molempien puolien ensimmäisiä termejä voidaan normeeraustekijä A ratkaista eli ( i mη 2 ) ψ(x, t) = Aexp ψ(x, t)dη 2ǫ ( i mη 2 ) = ψ(x, t)a exp dη 2ǫ ( ) 1/2 2πi ǫ = ψ(x, t)a m rajalla ǫ 0 täytyy A valita siten, että A «1/2 2πi ǫ = 1 = A = m «1/2 2πi ǫ m

13 Schrödingerin aaltoyhtälö: vapaa hiukkanen (3/3) oikean puolen muita termejä sieventäessä on hyvä muistaa ja ( i Aexp Aexp ( i mη 2 ) ηdη = 0 2ǫ mη 2 ) η 2 dη = i ǫ 2ǫ m siis, hieman sieventämällä saadaan alkuperäinen yhtälö muotoon ψ(x, t) ψ(x, t) + ǫ + O(ǫ 2 ) = ψ(x, t) + i ǫ 2 ψ(x, t) t 2m x 2 + O(ǫ 2 ) joten rajalla ǫ 0 saadaan ψ(x, t) i = 2 2 ψ(x, t) t 2m x 2

14 Häiriöteoriaa (1/4) tarkastellaan actionia S = S 0 + σ, missä S 0 on jonkin tunnetun systeemin action (tai muuten helposti ratkaistavissa) ja σ = R V [x(s), s]ds on jokin pieni häiriö b K(b, a) = e i S Dx(t) a b = e i S0 e i σ Dx(t) a b a e i S0 [ 1 + i σ ] Dx(t) = K 0 (b, a) + i = K 0 (b, a) + i = K 0 (b, a) + i b e i S0 σdx(t) a tb b t a tb t a a F(s)ds e i S0 V [x(s), s]dx(t) ds

15 Häiriöteoriaa (2/4) polkuintegraalin F(s) tulkinta se on summa kaikkien amplitudien exp ` i S0 yli siten, että jokaista polkua painotetaan häiriöpotentiaalilla V [x(s), s], joka vaikuttaa ainoastaan ajanhetkellä t = s eli ennen ja jälkeen ajanhetken t = s polkuintegraalin F(s) polut ovat actionin S 0 määräämiä siis, F(s) voidaan kirjoittaa muotoon F(t c ) = merkitään K(b, a) K 0 (b, a) + K 1 (b, a) K 0 (b, c)v (x c, t c )K 0 (c, a)dx c = K 1 (b, a) = i = i tb F(t c )dt c t a tb t a Millainen on termi K 2 (b, a)? K 0 (b, c)v (x c, t c )K 0 (c, a)dx c dt c

16 ESIMERKKI: transitioamplitudi Häiriöteoriaa (3/4) alkutilaa kuvaa aaltofunktio ψ(x 1, t 1 ), joka kehittyy myöhemmän hetken t 2 tilaksi φ(x 2, t 2 ) Millä todennäköisyydellä systeemi löydetään tilalta χ(x 2, t 2 ) hetkellä t 2? vastaus: P = χ φ 2, missä χ φ = χ x 2 x 2 φ dx 2 = χ (x 2, t 2 )φ(x 2, t 2 )dx 2 = χ (x 2, t 2 )K(2, 1)ψ(x 1, t 1 )dx 2 dx 1 χ (x 2, t 2 )[K 0 (2, 1) + K 1 (2, 1)]ψ(x 1, t 1 )dx 2 dx 1 = χ φ + χ (x 2, t 2 )K 1 (2, 1)ψ(x 1, t 1 )dx 2 dx 1

17 Häiriöteoriaa (4/4) χ ja φ ortogonaaliset, joten ensimmäiseen kertalukuun χ φ = χ (x 2, t 2 )K 1 (2, 1)ψ(x 1, t 1 )dx 2 dx 1 [ i t2 = χ (x 2, t 2 ) K 0 (2, 3)V (3)K 0 (3, 1)dx 3 dt 3 ]ψ(x 1, t 1 )dx 2 dx 1 t 1 = i t2 χ (x 2, t 2 )K 0 (2, 3)V (3)K 0 (3, 1)ψ(x 1, t 1 )dx 3 dt 3 dx 2 dx 1 t 1 = i t2 [ ] [ ] χ (x 2, t 2 )K 0 (2, 3)dx 2 V (3) K 0 (3, 1)ψ(x 1, t 1 )dx 1 dx 3 dt 3 t 1 t2 = i t 1 χ (3)V (3)ψ(3)dx 3 dt 3 Millainen on toisen kertaluvun termi?